Eigenständige Arbeit eines 1. Studienjahres zum Thema Abschlüsse mit validem Indikator. Gradeigenschaften mit reellem Exponenten (6 Stunden)
Theoriematerial studieren und Notizen machen (2 Stunden)
Lösen Sie das Kreuzworträtsel (2 Stunden)
Hausaufgaben machen (2 Stunden)
Nachstehend finden Sie Referenz- und Lehrmaterial.
Zum Gradbegriff mit rationalem Exponenten
Einige der meistengemeinsames
Arten von transzendentalen Funktionen vor
Völlig indikativ, offener Zugang zu
Viele Studien.
L. Eiler
Aus der Praxis, immer komplexere algebraische Probleme zu lösen und mit Potenzen zu operieren, wurde es notwendig, den Gradbegriff zu verallgemeinern und durch die Einführung von Null, negativen und gebrochenen Zahlen als Exponenten zu erweitern.
Die Gleichheit a 0 = 1 (für ) wurde in seinen Schriften zu Beginn des 15. Jahrhunderts verwendet. Samarkand-Wissenschaftler al-Kashi. Unabhängig von ihm wurde der Nullindikator im 15. Jahrhundert von N. Shuke eingeführt. Letzteres führte auch negative Exponenten ein. Die Idee der gebrochenen Exponenten ist in seinem französischen Mathematiker N. Orem (XIV. Jahrhundert) enthalten
Arbeit "Algorismus der Proportionen". Anstelle unseres Zeichens schrieb er , stattdessen schrieb er 4. Orem formuliert die Regeln für Handlungen mit Graden mündlich, zum Beispiel (in moderner Notation):, 
usw.
Später finden sich sowohl gebrochene als auch negative Exponenten in "Complete Arithmetic" (1544) der deutschen Mathematiker M. Stiefel und S. Stevin. Letzterer schreibt, dass die Wurzel des Grades P aus der Nummer a kann als Abschluss angerechnet werden a mit einem Bruchteil.
Die Zweckmäßigkeit der Einführung von Null-, Negativ- und Bruchindikatoren und modernen Symbolen wurde erstmals 1665 vom englischen Mathematiker John Vallis ausführlich beschrieben. Seine Arbeit wurde von I. Newton vervollständigt, der begann, systematisch neue Symbole anzuwenden, woraufhin sie allgemein verwendet wurden.
Die Einführung eines Grads mit rationalem Exponenten ist eines von vielen Beispielen für eine Verallgemeinerung des Begriffs einer mathematischen Handlung. Ein Grad mit null, negativen und gebrochenen Exponenten ist so definiert, dass für ihn dieselben Handlungsregeln gelten wie für einen Grad mit natürlichem Exponenten, d.h. dass die grundlegenden Eigenschaften des ursprünglich definierten Gradbegriffs erhalten bleiben , nämlich:
Die neue Definition eines Grades mit rationalem Exponenten widerspricht nicht der alten Definition eines Grades mit natürlichem Exponenten, d. h. die Bedeutung der neuen Definition eines Grades mit rationalem Exponenten bleibt für den Sonderfall eines Grades mit a erhalten natürlicher Exponent. Dieses Prinzip, das bei der Verallgemeinerung mathematischer Konzepte beobachtet wird, wird als Prinzip der Beständigkeit (Erhaltung, Konstanz) bezeichnet. Es wurde 1830 von dem englischen Mathematiker J. Peacock in einer unvollkommenen Form ausgedrückt und 1867 von dem deutschen Mathematiker G. Hankel vollständig und klar etabliert. Das Prinzip der Beständigkeit wird auch bei der Verallgemeinerung des Zahlenbegriffs und bei der Erweiterung beachtet es zum Begriff einer reellen Zahl, und davor die Einführung des Begriffs der Multiplikation mit einem Bruch usw.
Power-Funktion uGrafikGleichungen lösen undUngleichheiten
Dank der Entdeckung der Koordinatenmethode und der analytischen Geometrie ab dem 17. Jahrhundert. das allgemein anwendbare graphische Studium von Funktionen und das graphische Lösen von Gleichungen wurde möglich.
Leistung Eine Funktion ist eine Funktion der Form
wobei α eine konstante reelle Zahl ist. Zunächst beschränken wir uns aber auf rationale Werte von α und schreiben statt Gleichheit (1):
wo - Rationale Zahl. Für bzw. per Definition haben wir:
beim=1, y = x.
Plan die erste dieser Funktionen in der Ebene ist eine Gerade parallel zur Achse Oh, und der zweite ist die Winkelhalbierende des 1. und 3. Koordinatenwinkels.
Wenn der Funktionsgraph eine Parabel ist . Descartes, der den ersten Unbekannten mit bezeichnete z, die zweite - durch y, dritte - durch x:, schrieb die Parabelgleichung so: ( z- Abszisse). Er benutzte oft eine Parabel, um Gleichungen zu lösen. Zum Beispiel eine Gleichung 4. Grades lösen
Descartes durch Substitution
bekam eine quadratische Gleichung mit zwei Unbekannten:
einen Kreis darstellen, der sich in einer Ebene befindet (zx) mit Parabel (4). So führte Descartes die zweite Unbekannte ein (X), teilt Gleichung (3) in zwei Gleichungen (4) und (5), von denen jede einen bestimmten Ort von Punkten darstellt. Die Ordinaten ihrer Schnittpunkte ergeben die Wurzeln von Gleichung (3).
„Eines Tages beschloss der König, seinen ersten Assistenten unter seinen Höflingen auszuwählen. Er führte alle zu einem riesigen Schloss. "Wer es zuerst öffnet, ist der erste Helfer." Niemand berührte das Schloss. Nur ein Wesir kam und drückte auf das Schloss, das sich öffnete. Es war nicht verschlossen.
Dann sagte der König: „Du wirst diese Position erhalten, weil du dich nicht nur auf das verlässt, was du siehst und hörst, sondern auf deine eigene Kraft und keine Angst davor hast, es zu versuchen.“
Und heute werden wir versuchen, versuchen, die richtige Entscheidung zu treffen.
1. Mit welchem mathematischen Konzept sind die Wörter verbunden mit:
Base
Indikator (Grad)
Welche Wörter können die Wörter kombinieren:
Rationale Zahl
Ganze Zahl
Natürliche Zahl
Irrationale Zahl (reelle Zahl)
Formulieren Sie das Unterrichtsthema. (Potenz mit reellem Exponenten)
- Wiederholen Sie die Eigenschaften des Abschlusses
– die Verwendung von Gradeigenschaften in Berechnungen und Vereinfachungen von Ausdrücken berücksichtigen
- Entwicklung von Rechenfähigkeiten.
Also ein p, wobei p eine reelle Zahl ist.
Geben Sie Beispiele (wählen Sie aus den Ausdrücken 5–2, , 43, ) Grad
- mit einem natürlichen Indikator
- mit ganzzahligem Wert
- mit einem rationalen Indikator
- mit einem irrationalen Indikator
Für welche Werte von a macht der Ausdruck Sinn?
a n , wobei n (a beliebig ist)
a m , wo m (und ungleich 0) Wie geht man von einem negativen Exponenten zu einem positiven Exponenten?
Wo p, q (a > 0)
Welche Aktionen (mathematische Operationen) können mit Abschlüssen durchgeführt werden?
Übereinstimmung einstellen:
|
Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleichen Basen |
Die Basen werden multipliziert, aber der Exponent bleibt gleich |
|
Beim Teilen von Potenzen mit gleichen Basen |
Die Basen werden geteilt, aber der Exponent bleibt gleich |
Nachdem es festgestellt wurde Grad von, ist es logisch, darüber zu sprechen Grad Eigenschaften. In diesem Artikel geben wir die grundlegenden Eigenschaften des Grades einer Zahl an und gehen dabei auf alle möglichen Exponenten ein. Hier werden wir Beweise für alle Eigenschaften des Grades geben und auch zeigen, wie diese Eigenschaften beim Lösen von Beispielen angewendet werden.
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Eigenschaften von Graden mit natürlichen Indikatoren
Von Bestimmung des Grades mit einem natürlichen Indikator Die Potenz von a n ist das Produkt von n Faktoren, von denen jeder gleich a ist. Basierend auf dieser Definition und mit Eigenschaften der Multiplikation reeller Zahlen, können wir Folgendes erhalten und begründen Gradeigenschaften mit natürlichem Exponenten:
- die Haupteigenschaft des Grades a m ·a n = a m+n , ihre Verallgemeinerung ;
- die Eigenschaft von Teilpotenzen mit gleichen Basen a m:a n = a m−n ;
- Produkt Grad Eigenschaft (a b) n = a n b n , seine Erweiterung ;
- Quotient Sachvermögen (a:b) n =a n:b n ;
- Potenzierung (a m) n = a m n , ihre Verallgemeinerung (((ein n 1) n 2) ...) n k = ein n 1 n 2 ... n k;
- Grad mit Null vergleichen:
- wenn a>0 , dann a n >0 für jedes natürliche n ;
- wenn a=0 , dann ein n =0 ;
- wenn ein<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 wenn a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
- wenn a und b positive Zahlen sind und a
- wenn m und n natürliche Zahlen sind, so dass m>n , dann bei 0
- wenn m und n natürliche Zahlen sind, so dass m>n , dann bei 0
Wir stellen sofort fest, dass alle geschriebenen Gleichheiten sind identisch unter den angegebenen Bedingungen, und ihre rechten und linken Teile können ausgetauscht werden. Zum Beispiel ist die Haupteigenschaft des Bruchs a m a n = a m + n mit Vereinfachung von Ausdrücken oft in der Form a m+n = a m a n verwendet.
Sehen wir uns nun jeden von ihnen im Detail an.
Beginnen wir mit der Eigenschaft des Produkts zweier Potenzen mit gleichen Basen, die aufgerufen wird die Haupteigenschaft des Grades: Für jede reelle Zahl a und alle natürlichen Zahlen m und n gilt die Gleichheit a m ·a n = a m+n.
Beweisen wir die Haupteigenschaft des Grades. Durch die Definition eines Grads mit natürlichem Exponenten lässt sich das Produkt von Potenzen mit gleichen Basen der Form a m a n als Produkt schreiben. Aufgrund der Eigenschaften der Multiplikation kann der resultierende Ausdruck geschrieben werden als 
, und dieses Produkt ist die Potenz von a mit dem natürlichen Exponenten m+n , also a m+n . Damit ist der Beweis abgeschlossen.
Lassen Sie uns ein Beispiel geben, das die Haupteigenschaft des Grades bestätigt. Nehmen wir Grade mit denselben Basen 2 und natürlichen Potenzen 2 und 3, gemäß der Haupteigenschaft des Grades können wir die Gleichheit 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 schreiben. Lassen Sie uns seine Gültigkeit überprüfen, wofür wir die Werte der Ausdrücke 2 2 ·2 3 und 2 5 berechnen. Erfüllend Potenzierung, wir haben 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 und 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, da gleiche Werte erhalten werden, ist die Gleichheit 2 2 2 3 \u003d 2 5 korrekt und bestätigt die Haupteigenschaft des Grades.
Die Haupteigenschaft eines Grads, die auf den Eigenschaften der Multiplikation basiert, kann auf das Produkt von drei oder mehr Potenzen mit denselben Basen und natürlichen Exponenten verallgemeinert werden. Also für jede Zahl k natürlicher Zahlen n 1 , n 2 , …, n k die Gleichheit ein n 1 ein n 2 ein n k = ein n 1 +n 2 +…+n k.
Zum Beispiel, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Sie können mit einem natürlichen Indikator zur nächsten Eigenschaft von Graden übergehen - das Eigentum von Teilmächten mit gleichen Grundlagen: Für jede reelle Zahl a ungleich Null und beliebige natürliche Zahlen m und n, die die Bedingung m>n erfüllen, ist die Gleichheit a m:a n = a m−n wahr.
Bevor wir den Beweis dieser Eigenschaft geben, wollen wir die Bedeutung der zusätzlichen Bedingungen in der Aussage diskutieren. Die Bedingung a≠0 ist notwendig, um eine Division durch Null zu vermeiden, da 0 n =0, und als wir uns mit der Division bekannt gemacht haben, waren wir uns einig, dass es unmöglich ist, durch Null zu dividieren. Damit wir nicht über natürliche Exponenten hinausgehen, wird die Bedingung m>n eingeführt. Tatsächlich ist für m>n der Exponent a m−n eine natürliche Zahl, andernfalls ist er entweder Null (was für m−n passiert) oder eine negative Zahl (was für m passiert Nachweisen. Die Haupteigenschaft eines Bruchs erlaubt es uns, die Gleichheit zu schreiben ein m−n ein n =a (m−n)+n =ein m. Aus der erhaltenen Gleichheit a m−n ·a n = a m und daraus folgt, dass a m−n ein Quotient von Potenzen von a m und a n ist. Dies beweist die Eigenschaft von Teilpotenzen mit gleichen Basen. Nehmen wir ein Beispiel. Nehmen wir zwei Grade mit gleichen Basen π und natürlichen Exponenten 5 und 2, die betrachtete Eigenschaft des Grades entspricht der Gleichheit π 5: π 2 = π 5−3 = π 3. Jetzt bedenke Produkt Grad Eigenschaft: Der natürliche Grad n des Produkts zweier beliebiger reeller Zahlen a und b ist gleich dem Produkt der Grade a n und b n , d. h. (a b) n = a n b n . In der Tat haben wir per Definition einen Grad mit einem natürlichen Exponenten Hier ist ein Beispiel: Diese Eigenschaft erstreckt sich auf den Grad des Produkts von drei oder mehr Faktoren. Das heißt, die natürliche Potenzeigenschaft n des Produkts von k Faktoren wird geschrieben als (ein 1 ein 2 ... ein k) n = ein 1 n ein 2 n ... ein k n. Zur Verdeutlichung zeigen wir diese Eigenschaft an einem Beispiel. Für das Produkt aus drei Faktoren hoch 7 gilt: Die nächste Eigenschaft ist natürliches Eigentum: der Quotient der reellen Zahlen a und b , b≠0 zur natürlichen Potenz n ist gleich dem Quotienten der Potenzen a n und b n , also (a:b) n =a n:b n . Der Beweis kann mit der bisherigen Eigenschaft geführt werden. So (a:b) n b n = ((a: b) b) n = ein n, und die Gleichheit (a:b) n b n =a n impliziert, dass (a:b) n der Quotient von a n dividiert durch b n ist. Schreiben wir diese Eigenschaft am Beispiel bestimmter Zahlen: Lassen Sie uns jetzt sprechen Potenzierungseigenschaft: Für jede reelle Zahl a und jede natürliche Zahl m und n ist die Potenz von a m hoch n gleich der Potenz von a mit dem Exponenten m·n , d. h. (am) n = a m·n . Beispiel: (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 . Der Beweis der Machteigenschaft in einem Grad ist die folgende Gleichheitskette: Die betrachtete Eigenschaft kann zu Grad innerhalb von Grad innerhalb von Grad usw. erweitert werden. Zum Beispiel für alle natürlichen Zahlen p, q, r und s die Gleichheit Es bleibt, auf die Eigenschaften des Vergleichs von Graden mit einem natürlichen Exponenten einzugehen. Wir beginnen mit dem Beweis der Vergleichseigenschaft von Null und Potenz mit einem natürlichen Exponenten. Lassen Sie uns zunächst begründen, dass a n >0 für jedes a>0 . Das Produkt zweier positiver Zahlen ist eine positive Zahl, wie aus der Definition der Multiplikation hervorgeht. Diese Tatsache und die Eigenschaften der Multiplikation erlauben uns zu behaupten, dass das Ergebnis der Multiplikation einer beliebigen Anzahl positiver Zahlen auch eine positive Zahl sein wird. Und die Potenz von a mit dem natürlichen Exponenten n ist per Definition das Produkt von n Faktoren, von denen jeder gleich a ist. Diese Argumente erlauben uns zu behaupten, dass für jede positive Basis a der Grad von a n eine positive Zahl ist. Aufgrund der bewiesenen Eigenschaft 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 und Es ist ziemlich offensichtlich, dass für jedes natürliche n mit a=0 der Grad von a n Null ist. Tatsächlich ist 0 n =0·0·…·0=0 . Zum Beispiel 0 3 =0 und 0 762 =0 . Kommen wir zu den negativen Basen. Beginnen wir mit dem Fall, dass der Exponent eine gerade Zahl ist, bezeichnen Sie ihn als 2 m , wobei m eine natürliche Zahl ist. Dann Schließlich, wenn die Basis von a eine negative Zahl ist und der Exponent eine ungerade Zahl 2 m−1 ist, dann Wir wenden uns der Eigenschaft zu, Grade mit denselben natürlichen Exponenten zu vergleichen, die folgende Formulierung hat: Von zwei Graden mit denselben natürlichen Exponenten ist n kleiner als derjenige, dessen Basis kleiner ist, und größer als derjenige, dessen Basis größer ist. Beweisen wir es. Ungleichheit ein n Eigenschaften von Ungleichungen die bewiesene Ungleichung hat die Form an n (2,2) 7 und Es bleibt die letzte der aufgeführten Eigenschaften von Potenzen mit natürlichen Exponenten zu beweisen. Formulieren wir es. Von den zwei Graden mit natürlichen Indikatoren und denselben positiven Basen kleiner als eins ist der Grad größer, dessen Indikator kleiner ist; und von zwei Graden mit natürlichen Indikatoren und denselben Basen größer als eins, der Grad ist größer, dessen Indikator größer ist. Wir wenden uns dem Beweis dieser Eigenschaft zu. Beweisen wir das für m>n und 0 Es bleibt der zweite Teil der Eigenschaft zu beweisen. Beweisen wir, dass für m > n und a > 1 a m > a n wahr ist. Die Differenz a m − a n nach Entfernung von a n aus Klammern nimmt die Form a n ·(a m−n −1) an. Dieses Produkt ist positiv, da für a>1 der Grad von a n eine positive Zahl ist und die Differenz a m−n −1 eine positive Zahl ist, da m−n>0 aufgrund der Anfangsbedingung und für a>1 der Grad von a m−n ist größer als eins . Also a m − a n >0 und a m >a n , was zu beweisen war. Diese Eigenschaft wird durch die Ungleichung 3 7 > 3 2 veranschaulicht.
. Das letzte Produkt, basierend auf den Eigenschaften der Multiplikation, kann umgeschrieben werden als 
, was gleich a n b n ist.
.
.
.
. Zur Verdeutlichung hier ein Beispiel mit konkreten Nummern: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. Denn jedes der Produkte der Form a·a ist gleich dem Produkt der Module der Zahlen a und a ist also eine positive Zahl. Daher wird das Produkt auch positiv sein. 
und Grad a 2 m . Hier sind Beispiele: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 und .
. Alle Produkte a·a sind positive Zahlen, das Produkt dieser positiven Zahlen ist ebenfalls positiv, und seine Multiplikation mit der verbleibenden negativen Zahl a ergibt eine negative Zahl. Aufgrund dieser Eigenschaft (−5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
.
Eigenschaften von Graden mit ganzzahligen Exponenten
Da positive ganze Zahlen natürliche Zahlen sind, stimmen alle Eigenschaften von Potenzen mit positiven ganzzahligen Exponenten genau mit den Eigenschaften von Potenzen mit natürlichen Exponenten überein, die im vorherigen Absatz aufgeführt und bewiesen wurden.
Grad mit ganzzahligem negativem Exponenten, sowie den Grad mit Exponent Null, haben wir so definiert, dass alle Eigenschaften von Graden mit natürlichen Exponenten, ausgedrückt durch Gleichheiten, gültig bleiben. Daher gelten alle diese Eigenschaften sowohl für null Exponenten als auch für negative Exponenten, wobei natürlich die Basen der Grade ungleich null sind.
Für alle reellen und von Null verschiedenen Zahlen a und b sowie alle ganzen Zahlen m und n gilt also Folgendes Eigenschaften von Graden mit ganzzahligen Exponenten:
- ein m ein n \u003d ein m + n;
- ein m: ein n = ein m−n ;
- (ein b) n = ein n b n ;
- (a:b) n = ein n:b n ;
- (am) n = am n ;
- wenn n eine positive ganze Zahl ist, a und b positive Zahlen sind und a b-n;
- wenn m und n ganze Zahlen sind und m>n , dann bei 0
Für a=0 machen die Potenzen a m und a n nur dann Sinn, wenn sowohl m als auch n positive ganze Zahlen, also natürliche Zahlen sind. Die eben geschriebenen Eigenschaften gelten also auch für die Fälle, in denen a=0 und die Zahlen m und n positive ganze Zahlen sind.
Es ist nicht schwierig, jede dieser Eigenschaften zu beweisen, dazu reicht es aus, die Definitionen des Grades mit einem natürlichen und ganzzahligen Exponenten sowie die Eigenschaften von Aktionen mit reellen Zahlen zu verwenden. Lassen Sie uns als Beispiel beweisen, dass die Potenzeigenschaft sowohl für positive ganze Zahlen als auch für nicht positive ganze Zahlen gilt. Dazu müssen wir zeigen, dass, wenn p Null oder eine natürliche Zahl ist und q Null oder eine natürliche Zahl ist, die Gleichungen (a p) q = a p q , (a −p) q = a (−p) q , (a p ) – q = a p (– q) und (a−p)−q =a (−p) (−q). Machen wir das.
Für positive p und q wurde im vorigen Unterabschnitt die Gleichheit (a p) q = a p·q bewiesen. Wenn p=0 , dann haben wir (a 0) q =1 q =1 und a 0 q =a 0 =1 , womit (a 0) q =a 0 q . Wenn q=0 , dann ist (a p ) 0 = 1 und a p 0 = a 0 = 1 , womit (a p) 0 = a p 0 . Wenn sowohl p=0 als auch q=0 , dann (a 0) 0 =1 0 =1 und a 0 0 =a 0 =1 , womit (a 0) 0 =a 0 0 .
Beweisen wir nun, dass (a −p) q =a (−p) q . Per Definition eines Grades mit negativem ganzzahligen Exponenten also 
. Durch die Eigenschaft des Quotienten im Grad haben wir 
. Da 1 p =1·1·…·1=1 und , dann . Der letzte Ausdruck ist per Definition eine Potenz der Form a −(p q) , die aufgrund der Multiplikationsregeln als a (−p) q geschrieben werden kann.
Ähnlich 
.
Und 
.
Nach dem gleichen Prinzip kann man alle anderen Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten, geschrieben in Form von Gleichheiten, beweisen.
Bei der vorletzten der aufgeschriebenen Eigenschaften lohnt es sich, beim Beweis der Ungleichung a −n >b −n zu verweilen, die für jede negative ganze Zahl −n und alle positiven a und b gilt, für die die Bedingung a gilt . Da nach Bedingung a 0 . Das Produkt a n ·b n ist auch als Produkt positiver Zahlen a n und b n positiv. Dann ist der resultierende Bruch positiv als Quotient aus positiven Zahlen b n − a n und a n b n . Daher gilt a −n >b −n , was zu beweisen war.
Die letzte Eigenschaft von Graden mit ganzzahligen Exponenten wird genauso bewiesen wie die analoge Eigenschaft von Graden mit natürlichen Exponenten.
Eigenschaften von Potenzen mit rationalen Exponenten
Grad mit einem gebrochenen Exponenten Wir haben die Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten bestimmt, indem wir darauf erweitert haben. Mit anderen Worten, Grade mit gebrochenen Exponenten haben die gleichen Eigenschaften wie Grade mit ganzzahligen Exponenten. Nämlich:
Der Beweis der Eigenschaften von Graden mit gebrochenem Exponenten basiert auf der Definition eines Grades mit gebrochenem Exponenten, auf und auf den Eigenschaften eines Grades mit ganzzahligem Exponenten. Lassen Sie uns den Beweis erbringen.
Per Definition des Grades mit einem gebrochenen Exponenten und dann 
. Die Eigenschaften der arithmetischen Wurzel erlauben es uns, die folgenden Gleichungen zu schreiben. Weiter erhalten wir unter Verwendung der Eigenschaft des Grades mit ganzzahligem Exponenten , woraus wir durch die Definition eines Grades mit gebrochenem Exponenten haben 
, und der Exponent des erreichten Abschlusses kann wie folgt umgerechnet werden: . Damit ist der Beweis abgeschlossen.
Die zweite Eigenschaft von Potenzen mit gebrochenen Exponenten beweist man genauso: 
Der Rest der Gleichheiten wird durch ähnliche Prinzipien bewiesen: 
Wir wenden uns dem Beweis der nächsten Eigenschaft zu. Beweisen wir das für jedes positive a und b , a b p . Wir schreiben die rationale Zahl p als m/n , wobei m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist. Konditionen p<0 и p>0 entspricht in diesem Fall den Bedingungen m<0 и m>0 bzw. Für m>0 und a
Ebenso für m<0 имеем a m >b m , woher das heißt, und a p > b p .
Es bleibt die letzte der aufgeführten Eigenschaften zu beweisen. Beweisen wir, dass für rationale Zahlen p und q p>q für 0 gilt 
und 
. Und die Definition eines Grads mit einem rationalen Exponenten erlaubt uns, zu den Ungleichungen bzw. überzugehen. Daraus ziehen wir den endgültigen Schluss: für p>q und 0
Eigenschaften von Graden mit irrationalen Exponenten
Davon, wie es definiert ist Grad mit einem irrationalen Exponenten, können wir schlussfolgern, dass es alle Eigenschaften von Potenzen mit rationalen Exponenten hat. Für a>0 , b>0 und irrationale Zahlen p und q gilt also Folgendes Eigenschaften von Graden mit irrationalen Exponenten:
- ein p ein q = ein p + q ;
- a p:a q = a p−q ;
- (ein b) p = ein p b p ;
- (a:b) p = a p:b p ;
- (ein p) q = ein p q ;
- für alle positiven Zahlen a und b , a 0 die Ungleichung a p b p ;
- für irrationale Zahlen p und q gilt p>q bei 0
Daraus können wir schließen, dass Potenzen mit beliebigen reellen Exponenten p und q für a>0 die gleichen Eigenschaften haben.
Referenzliste.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematik Zh Lehrbuch für 5 Zellen. Bildungsinstitutionen.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: ein Lehrbuch für 7 Zellen. Bildungsinstitutionen.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: Lehrbuch für 8 Zellen. Bildungsinstitutionen.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: ein Lehrbuch für 9 Zellen. Bildungsinstitutionen.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. und andere Algebra und die Anfänge der Analyse: Ein Lehrbuch für die Klassen 10-11 allgemeiner Bildungseinrichtungen.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Bewerber an technischen Schulen).
Wir erinnern Sie daran, dass wir in dieser Lektion verstehen Grad Eigenschaften mit natürlichen Indikatoren und Null. Abschlüsse mit rationalen Indikatoren und deren Eigenschaften werden im Unterricht der 8. Klasse besprochen.
Ein Exponent mit einem natürlichen Exponenten hat mehrere wichtige Eigenschaften, mit denen Sie Berechnungen in Exponentenbeispielen vereinfachen können.
Eigentum Nr. 1
Produkt der Kräfte
Erinnern!
Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis bleibt die Basis unverändert und die Exponenten werden addiert.
a m a n \u003d a m + n, wobei " a" - eine beliebige Zahl und " m", " n" - eine beliebige natürliche Zahl.
Diese Eigenschaft von Potenzen wirkt sich auch auf das Produkt von drei oder mehr Potenzen aus.
- Den Ausdruck vereinfachen.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Als Abschluss vorhanden.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - Als Abschluss vorhanden.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Wichtig!
Bitte beachten Sie, dass es bei der angegebenen Eigenschaft nur darum ging, Potenzen mit zu multiplizieren die gleichen Gründe . Sie gilt nicht für deren Hinzufügung.
Du kannst die Summe (3 3 + 3 2) nicht durch 3 5 ersetzen. Das ist verständlich, wenn
Berechnen Sie (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 und 3 5 = 243
Eigentum Nr. 2
Private Abschlüsse
Erinnern!
Beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis bleibt die Basis unverändert und der Exponent des Divisors wird vom Exponenten des Dividenden subtrahiert.
= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 443 8: t = 3 4
T = 3 8 − 4
Antwort: t = 3 4 = 81Mit den Eigenschaften Nr. 1 und Nr. 2 können Sie Ausdrücke einfach vereinfachen und Berechnungen durchführen.
- Beispiel. Den Ausdruck vereinfachen.
4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5 - Beispiel. Ermitteln Sie den Wert eines Ausdrucks mithilfe von Gradeigenschaften.
= = =
=2 9 + 2 2 5
= 2 11 − 5 = 2 6 = 642 11 2 5 Wichtig!
Bitte beachten Sie, dass Eigenschaft 2 sich nur mit der Gewaltenteilung mit gleichen Grundlagen befasste.
Du kannst die Differenz (4 3 −4 2) nicht durch 4 1 ersetzen. Dies ist verständlich, wenn wir bedenken (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , und 4 1 = 4
Seien Sie aufmerksam!
Eigenschaft Nr. 3
PotenzierungErinnern!
Beim Potenzieren einer Potenz bleibt die Basis der Potenz unverändert und die Exponenten werden multipliziert.
(a n) m \u003d a n m, wobei "a" eine beliebige Zahl und "m", "n" beliebige natürliche Zahlen sind.
Eigenschaften 4
Produkt GradErinnern!
Bei der Potenzierung eines Produkts wird jeder der Faktoren potenziert. Die Ergebnisse werden dann multipliziert.
(a b) n \u003d a n b n, wobei "a", "b" beliebige rationale Zahlen sind; "n" - jede natürliche Zahl.
- Beispiel 1
(6 ein 2 b 3 c) 2 = 6 2 ein 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 ein 4 b 6 s 2 - Beispiel 2
(−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6
Wichtig!
Bitte beachten Sie, dass Eigenschaft Nr. 4, wie andere Eigenschaften von Graden, auch in umgekehrter Reihenfolge angewendet wird.
(a n b n) = (a b) nDas heißt, um Potenzen mit denselben Exponenten zu multiplizieren, können Sie die Basen multiplizieren und den Exponenten unverändert lassen.
- Beispiel. Berechnung.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000 - Beispiel. Berechnung.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
In komplexeren Beispielen kann es Fälle geben, in denen Multiplikation und Division mit Potenzen mit unterschiedlichen Basen und unterschiedlichen Exponenten durchgeführt werden müssen. In diesem Fall empfehlen wir Ihnen, Folgendes zu tun.
Zum Beispiel, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Beispiel für die Potenzierung eines Dezimalbruchs.
4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4Eigenschaften 5
Potenz des Quotienten (Brüche)Erinnern!
Um einen Quotienten zu potenzieren, kannst du den Dividenden und den Divisor separat potenzieren und das erste Ergebnis durch das zweite dividieren.
(a: b) n \u003d a n: b n, wobei "a", "b" beliebige rationale Zahlen sind, b ≠ 0, n eine beliebige natürliche Zahl ist.
- Beispiel. Drücken Sie den Ausdruck als Teilpotenzen aus.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Wir erinnern Sie daran, dass ein Quotient als Bruch dargestellt werden kann. Auf das Thema der Potenzierung eines Bruchs gehen wir daher auf der nächsten Seite näher ein.
- Beispiel 1
Diese Lektion ist Teil des Themas "Umwandlung von Ausdrücken, die Potenzen und Wurzeln enthalten".
Die Zusammenfassung ist eine detaillierte Entwicklung einer Lektion über die Eigenschaften eines Abschlusses mit einem rationalen und realen Indikator. Es werden Computer-, Gruppen- und Spiellerntechnologien verwendet.
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Vorschau:
Methodische Entwicklung eines Unterrichts in Algebra
Mathematiklehrer GAU KO PO KST
Pechova Nadezhda Yurievna
zum Thema: "Eigenschaften eines Grades mit rationalem und reellem Exponenten."
Unterrichtsziele:
- pädagogisch: Festigung und Vertiefung des Wissens über die Eigenschaften eines Abschlusses mit einem rationalen Indikator und deren Anwendung in Übungen; Verbesserung der Kenntnisse über die Entwicklungsgeschichte der Abschlüsse;
- Entwicklung: Entwicklung der Fähigkeit zur Selbst- und gegenseitigen Kontrolle; Entwicklung der intellektuellen Fähigkeiten, Denkfähigkeiten,
- erziehen: Erziehung zum kognitiven Interesse am Fach, Erziehung zur Verantwortung für die geleistete Arbeit, um die Schaffung einer Atmosphäre aktiver kreativer Arbeit zu fördern.
Unterrichtstyp: Unterricht zur Verbesserung von Kenntnissen, Fertigkeiten und Fähigkeiten.
Methoden des Dirigierens: verbal - visuell.
Pädagogische Technologien: Computer-, Gruppen- und Spiellerntechnologien.
Unterrichtsausstattung: Projektionstechnik, Computer, Präsentation für den Unterricht, Arbeiten
Notizbücher, Lehrbücher, Karten mit dem Text eines Kreuzworträtsels und ein Reflexionstest.
Unterrichtszeit: 1 Stunde 20 Minuten.
Die Hauptphasen des Unterrichts:
1. Organisatorischer Moment. Nachrichtenthemen, Ziele der Lektion.
2. Aktualisierung des Grundwissens. Wiederholung der Eigenschaften eines Grads mit einem rationalen Exponenten.
3. Mathematisches Diktat über die Eigenschaften eines Grads mit einem rationalen Exponenten.
4. Mitteilungen der Schüler anhand einer Computerpräsentation.
5. Arbeiten Sie in Gruppen.
6. Kreuzworträtsellösung.
7. Zusammenfassen, benoten. Betrachtung.
8. Hausaufgaben.
Während des Unterrichts:
1. Org. Moment. Präsentation des Themas, Unterrichtsziele, Unterrichtsplan. Folien 1, 2.
2. Aktualisierung des Grundwissens.
1) Wiederholung der Eigenschaften des Abschlusses mit einem rationalen Indikator: Die Studenten müssen die schriftlichen Eigenschaften fortsetzen - eine Frontalbefragung. Folie 3.
2) Schüler an der Tafel - Analyse von Übungen aus dem Lehrbuch (Alimov Sh.A.): a) Nr. 74, b) Nr. 77.
C) Nr. 82-a, b, c.
Nr. 74: a) = = a;
B) + = ;
B) : = = = b.
Nr. 77: a) = = ;
b) = = = b.
Nr. 82: a) = = = ;
B) = = j;
B) () () = .
3. Mathematisches Diktat mit gegenseitiger Überprüfung. Die Schüler teilen ihre Arbeit, vergleichen Antworten und geben Noten.
Folien 4 - 5
4. Nachrichten von Studenten einiger historischer Fakten zum untersuchten Thema.
Folien 6 - 12:
Erster Schüler: Folie 6
Das Konzept eines Abschlusses mit einem natürlichen Indikator wurde bereits bei den alten Völkern geprägt. Quadrat und WürfelZahlen wurden verwendet, um Flächen und Volumen zu berechnen. Die Kräfte einiger Zahlen wurden von Wissenschaftlern des alten Ägypten und Babylons zur Lösung bestimmter Probleme genutzt.
Im 3. Jahrhundert wurde ein Buch des griechischen Gelehrten Diophantus veröffentlicht"Arithmetik", in der die Einführung alphabetischer Symbole eingeleitet wurde. Diophantus führt Symbole für die ersten sechs Potenzen des Unbekannten und ihre Kehrwerte ein. In diesem Buch wird ein Quadrat durch ein Zeichen und einen Index bezeichnet; Zum Beispiel ist ein Würfel das Zeichen k mit dem Index r usw.
Zweiter Schüler: Folie 7
Einen großen Beitrag zur Entwicklung des Gradbegriffs leistete der antike griechische Wissenschaftler Pythagoras. Er hatte eine ganze Schule, und alle seine Schüler hießen Pythagoräer. Sie kamen auf die Idee, dass jede Zahl in Form von Zahlen dargestellt werden kann. Beispielsweise stellten sie die Zahlen 4, 9 und 16 als Quadrate dar.
Erster Schüler: Folien 8-9
Folie 8
Folie 9
XVI Jahrhundert. In diesem Jahrhundert hat sich der Begriff des Grades erweitert: Er wurde nicht nur einer bestimmten Zahl, sondern auch einer Variablen zugeschrieben. Wie sagten die englischen Mathematiker damals „zu Zahlen im Allgemeinen“. S. Stevin prägte eine Notation zur Bezeichnung des Grades: Notation 3(3)+5(2)–4 bezeichnete eine solche moderne Notation 3 3 + 5 2 – 4.
Zweiter Schüler: Folie 10
Später finden sich gebrochene und negative Exponenten in „Complete Arithmetic“ (1544) der deutschen Mathematiker M. Stiefel und S. Stevin.
S. Stevin schlug vor, mit Grad mit einem Indikator für die Form zu meinen Wurzel, d.h. .
Erster Schüler: Folie 11
Am Ende des sechzehnten Jahrhunderts, Francois VietBuchstaben eingeführt, um nicht nur Variablen, sondern auch ihre Koeffizienten zu bezeichnen. Er verwendete Abkürzungen: N, Q, C - für den ersten, zweiten und dritten Grad.
Aber moderne Bezeichnungen (wie z, ) wurde im 17. Jahrhundert von René Descartes eingeführt.
Zweiter Schüler: Folie 12
Moderne Definitionenund Gradnotation mit null, negativem und gebrochenem Exponenten stammen aus der Arbeit englischer Mathematiker Johannes Wallis (1616-1703) und Isaac Newton.
5. Kreuzworträtsel Lösung.
Die Schüler erhalten Kreuzworträtsel. Lösen Sie zu zweit. Das Paar, das zuerst entscheidet, bekommt die Punktzahl. Folien 13-15.
6. Gruppenarbeit. Folie 16.
Die Studierenden führen eigenständige Arbeiten durch, arbeiten in 4er-Gruppen und beraten sich gegenseitig. Anschließend wird die Arbeit zur Begutachtung eingereicht.
7. Zusammenfassen, benoten.
Betrachtung.
Die Schüler absolvieren einen Reflexionstest. Markieren Sie "+", wenn Sie damit einverstanden sind, andernfalls "-".
Reflektierender Test:
1. Ich habe viele neue Dinge gelernt.
2. Es wird mir in Zukunft nützlich sein.
3. Im Unterricht gab es etwas zu bedenken.
4. Ich habe (a) Antworten auf alle Fragen erhalten, die während des Unterrichts aufgekommen sind.
5. Ich habe im Unterricht gewissenhaft gearbeitet und die Unterrichtsziele erreicht.
8. Hausaufgaben: Folie 17.
1) № 76 (1; 3); № 70 (1; 2)
2) Optional: Erstellen Sie ein Kreuzworträtsel mit den wichtigsten Konzepten des untersuchten Themas.
Verweise:
- Alimov Sh.A. Algebra und der Beginn der Analyse Klassen 10-11, Lehrbuch - M.: Bildung, 2010.
- Algebra und der Beginn der Analyse Klasse 10. Didaktische Materialien. Aufklärung, 2012.
Internetquellen:
- Bildungsseite - RusCopyBook.Com - Elektronische Lehrbücher und GDZ
- Site Bildungsressourcen des Internets - für Schüler und Studenten. http://www.alleng.ru/edu/educ.htm
- Website Lehrerportal - http://www.uchportal.ru/
