Grundformeln und Integrationsmethoden. Summen- oder Differenzintegrationsregel. Entfernen der Konstante aus dem Integralzeichen. Variablenersetzungsmethode. Die Formel für die partielle Integration. Ein Beispiel für eine Problemlösung.

Die vier wichtigsten Integrationsmethoden sind unten aufgeführt.

1) Summen- oder Differenzintegrationsregel.
.
Hier und im Folgenden sind u, v, w Funktionen der Integrationsvariablen x .

2) Entfernen der Konstante aus dem Integralzeichen.
Sei c eine von x unabhängige Konstante. Dann kann es aus dem Integralzeichen herausgenommen werden.

3) Variablenersetzungsmethode.
Betrachten Sie das unbestimmte Integral.
Wenn es möglich ist, eine solche Funktion φ zu wählen (x) von x also
,
dann haben wir nach Änderung der Variablen t = φ(x)
.

4) Die Formel für die partielle Integration.
,
wobei u und v Funktionen der Integrationsvariablen sind.

Das ultimative Ziel der Berechnung unbestimmter Integrale besteht darin, das gegebene Integral durch Transformationen auf die einfachsten Integrale zu bringen, die Tabellenintegrale genannt werden. Tabellenintegrale werden in Form von elementaren Funktionen unter Verwendung wohlbekannter Formeln ausgedrückt.
Siehe Tabelle der Integrale >>>

Beispiel

Unbestimmtes Integral berechnen

Lösung

Beachten Sie, dass der Integrand die Summe und Differenz von drei Termen ist:
, und .
Wir wenden die Methode an 1 .

Weiterhin bemerken wir, dass die Integranden der neuen Integrale mit den Konstanten multipliziert werden 5, 4, und 2 , beziehungsweise. Wir wenden die Methode an 2 .

In der Integraltabelle finden wir die Formel
.
Einstellung n = 2 , finden wir das erste Integral.

Schreiben wir das zweite Integral in die Form um
.
Das merken wir. Dann

Wenden wir die dritte Methode an. Wir nehmen die Änderung der Variablen t = φ vor (x) = log x.
.
In der Integraltabelle finden wir die Formel

Da die Integrationsvariable mit einem beliebigen Buchstaben bezeichnet werden kann, dann

Schreiben wir das dritte Integral in die Form um
.
Wir wenden die Formel für die partielle Integration an.
Lassen .
Dann
;
;

;
;
.

Auf dieser Seite finden Sie:

1. Eigentlich die Stammfunktionstabelle - sie kann im PDF-Format heruntergeladen und ausgedruckt werden;

2. Video zur Verwendung dieser Tabelle;

3. Eine Reihe von Beispielen zur Berechnung der Stammfunktion aus verschiedenen Lehrbüchern und Tests.

Im Video selbst werden wir viele Aufgaben analysieren, bei denen es erforderlich ist, Stammfunktionen zu berechnen, die oft recht komplex sind, aber vor allem keine Potenzgesetze sind. Alle in der oben vorgeschlagenen Tabelle zusammengefassten Funktionen müssen wie Ableitungen auswendig bekannt sein. Ohne sie ist ein weiteres Studium der Integrale und ihre Anwendung zur Lösung praktischer Probleme unmöglich.

Heute beschäftigen wir uns weiter mit Primitives und gehen zu einem etwas komplexeren Thema über. Wenn wir letztes Mal Stammfunktionen nur von Potenzfunktionen und etwas komplexeren Strukturen betrachtet haben, werden wir heute Trigonometrie und vieles mehr analysieren.

Wie ich in der letzten Lektion gesagt habe, werden Stammfunktionen im Gegensatz zu Derivaten niemals mit Standardregeln "leer" gelöst. Die schlechte Nachricht ist außerdem, dass die Stammfunktion im Gegensatz zur Ableitung möglicherweise überhaupt nicht berücksichtigt wird. Wenn wir eine völlig zufällige Funktion schreiben und versuchen, ihre Ableitung zu finden, dann wird uns das mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit gelingen, aber die Stammfunktion wird in diesem Fall fast nie berechnet. Aber es gibt auch gute Nachrichten: Es gibt eine ziemlich große Klasse von Funktionen, die Elementarfunktionen genannt werden, deren Stammfunktionen sehr einfach zu berechnen sind. Und alle anderen komplexeren Konstruktionen, die bei verschiedenen Kontroll-, Selbstständigen- und Prüfungen gegeben werden, bestehen tatsächlich aus diesen elementaren Funktionen durch Addieren, Subtrahieren und andere einfache Aktionen. Die Stammfunktionen solcher Funktionen werden seit langem berechnet und in speziellen Tabellen zusammengefasst. Mit solchen Funktionen und Tabellen werden wir heute arbeiten.

Aber wir beginnen wie immer mit einer Wiederholung: Denken Sie daran, was eine Stammfunktion ist, warum es unendlich viele davon gibt und wie man sie bestimmt. generelle Form. Dazu habe ich mir zwei einfache Aufgaben vorgenommen.

Einfache Beispiele lösen

Beispiel 1

Beachten Sie sofort, dass $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ und das Vorhandensein von $\text( )\!\!\pi\!\! \ text( )$ weist uns sofort darauf hin, dass die erforderliche Stammfunktion der Funktion mit der Trigonometrie verwandt ist. Und tatsächlich, wenn wir uns die Tabelle ansehen, stellen wir fest, dass $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ nichts anderes ist als $\text(arctg)x$. Schreiben wir also:

Um zu finden, müssen Sie Folgendes schreiben:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Beispiel #2

Wir sprechen hier auch von trigonometrischen Funktionen. Wenn wir uns die Tabelle ansehen, dann wird es tatsächlich so aussehen:

Wir müssen unter allen Stammfunktionen diejenige finden, die durch den angegebenen Punkt geht:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Schreiben wir es endlich auf:

So einfach ist das. Das einzige Problem ist, dass Sie, um die Stammfunktionen einfacher Funktionen zu zählen, die Tabelle der Stammfunktionen lernen müssen. Nachdem ich jedoch die Ableitungstabelle für Sie gelernt habe, denke ich, dass dies kein Problem sein wird.

Lösen von Problemen, die eine Exponentialfunktion enthalten

Beginnen wir mit dem Schreiben der folgenden Formeln:

\[((e)^(x))\bis ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\nach \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Mal sehen, wie das alles in der Praxis funktioniert.

Beispiel 1

Wenn wir uns den Inhalt der Klammern ansehen, werden wir feststellen, dass es in der Tabelle der Stammfunktionen keinen solchen Ausdruck gibt, dass $((e)^(x))$ in einem Quadrat steht, also muss dieses Quadrat geöffnet werden. Dazu verwenden wir die abgekürzten Multiplikationsformeln:

Lassen Sie uns die Stammfunktion für jeden der Terme finden:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((z )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Und jetzt sammeln wir alle Terme in einem einzigen Ausdruck und erhalten eine gemeinsame Stammfunktion:

Beispiel #2

Diesmal ist der Exponent bereits größer, daher wird die abgekürzte Multiplikationsformel ziemlich kompliziert. Erweitern wir die Klammern:

Versuchen wir nun, die Stammfunktion unserer Formel aus dieser Konstruktion zu entnehmen:

Wie Sie sehen können, gibt es in den Stammfunktionen der Exponentialfunktion nichts Kompliziertes und Übernatürliches. All one wird durch Tabellen berechnet, aufmerksame Schüler werden jedoch sicherlich feststellen, dass die Stammfunktion $((e)^(2x))$ viel näher an $((e)^(x))$ liegt als an $((a )^(x))$. Vielleicht gibt es also eine speziellere Regel, die es erlaubt, $((e)^(2x))$ zu finden, wenn man die Stammfunktion $((e)^(x))$ kennt? Ja, es gibt eine solche Regel. Und darüber hinaus ist es ein wesentlicher Bestandteil der Arbeit mit der Stammfunktionstabelle. Wir werden es jetzt anhand derselben Ausdrücke analysieren, mit denen wir gerade als Beispiel gearbeitet haben.

Regeln für die Arbeit mit der Stammfunktionstabelle

Schreiben wir unsere Funktion um:

Im vorherigen Fall haben wir die folgende Formel zur Lösung verwendet:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

Aber jetzt machen wir es etwas anders: Denken Sie daran, auf welcher Basis $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Wie bereits gesagt, weil die Ableitung von $((e)^(x))$ nichts anderes als $((e)^(x))$ ist, ist ihre Stammfunktion gleich $((e) ^( x))$. Aber das Problem ist, dass wir $((e)^(2x))$ und $((e)^(-2x))$ haben. Versuchen wir nun, die Ableitung $((e)^(2x))$ zu finden:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Schreiben wir unsere Konstruktion noch einmal um:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

Und das bedeutet, wenn wir die Stammfunktion $((e)^(2x))$ finden, erhalten wir Folgendes:

\[((e)^(2x))\zu \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Wie Sie sehen können, haben wir dasselbe Ergebnis wie zuvor erhalten, aber wir haben die Formel nicht verwendet, um $((a)^(x))$ zu finden. Das mag jetzt dumm erscheinen: Warum komplizierte Berechnungen, wenn es eine Standardformel gibt? Bei etwas komplexeren Ausdrücken werden Sie jedoch feststellen, dass diese Technik sehr effektiv ist, d.h. Verwendung von Derivaten, um Stammfunktionen zu finden.

Lassen Sie uns zum Aufwärmen die Stammfunktion von $((e)^(2x))$ auf ähnliche Weise finden:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

Bei der Berechnung wird unsere Konstruktion wie folgt geschrieben:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Wir haben genau das gleiche Ergebnis erzielt, sind aber in die andere Richtung gegangen. Dieser Weg, der uns jetzt etwas komplizierter erscheint, wird in Zukunft effizienter sein, um komplexere Stammfunktionen zu berechnen und Tabellen zu verwenden.

Beachten Sie! Dies ist ein sehr wichtiger Punkt: Stammfunktionen können wie Derivate auf viele verschiedene Arten gezählt werden. Wenn jedoch alle Berechnungen und Berechnungen gleich sind, ist die Antwort dieselbe. Das haben wir gerade am Beispiel von $((e)^(-2x))$ sichergestellt - zum einen haben wir diese Stammfunktion „durchgehend“ berechnet, indem wir die Definition verwendet und mit Hilfe von Transformationen berechnet haben, zum anderen Andererseits haben wir uns daran erinnert, dass $ ((e)^(-2x))$ als $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ dargestellt werden kann und dann Verwenden Sie die Stammfunktion für die Funktion $( (a)^(x))$. Nach all den Transformationen ist das Ergebnis jedoch das gleiche wie erwartet.

Und jetzt, wo wir das alles verstehen, ist es an der Zeit, zu etwas Wesentlicherem überzugehen. Jetzt werden wir zwei einfache Konstruktionen analysieren, aber die Technik, die zu ihrer Lösung festgelegt wird, ist ein leistungsfähigeres und nützlicheres Werkzeug als ein einfaches „Laufen“ zwischen benachbarten Stammfunktionen aus der Tabelle.

Problemlösung: Finden Sie die Stammfunktion einer Funktion

Beispiel 1

Geben Sie den Betrag in den Zählern an und zerlegen Sie ihn in drei getrennte Brüche:

Dies ist ein ziemlich natürlicher und verständlicher Übergang - die meisten Schüler haben damit keine Probleme. Schreiben wir unseren Ausdruck wie folgt um:

Erinnern wir uns nun an diese Formel:

In unserem Fall erhalten wir Folgendes:

Um all diese dreistöckigen Brüche loszuwerden, schlage ich vor, Folgendes zu tun:

Beispiel #2

Anders als beim vorherigen Bruch ist der Nenner nicht das Produkt, sondern die Summe. In diesem Fall können wir unseren Bruch nicht mehr durch die Summe mehrerer einfacher Brüche dividieren, sondern müssen irgendwie versuchen sicherzustellen, dass der Zähler ungefähr den gleichen Ausdruck enthält wie der Nenner. In diesem Fall ist es ziemlich einfach:

Eine solche Notation, die in der Sprache der Mathematik "Addieren von Nullen" genannt wird, ermöglicht es uns, den Bruch erneut in zwei Teile zu teilen:

Lassen Sie uns nun finden, wonach wir gesucht haben:

Das sind alle Berechnungen. Trotz der offensichtlich größeren Komplexität als bei der vorherigen Aufgabe fiel der Rechenaufwand noch geringer aus.

Nuancen der Lösung

Und hier liegt die Hauptschwierigkeit bei der Arbeit mit tabellarischen Primitiven, dies macht sich besonders bei der zweiten Aufgabe bemerkbar. Tatsache ist, dass wir, um einige Elemente auszuwählen, die sich leicht durch die Tabelle zählen lassen, genau wissen müssen, wonach wir suchen, und in der Suche nach diesen Elementen besteht die gesamte Berechnung der Stammfunktionen.

Mit anderen Worten, es reicht nicht aus, sich nur die Tabelle der Stammfunktionen zu merken - Sie müssen in der Lage sein, etwas zu sehen, das noch nicht da ist, sondern was der Autor und Compiler dieses Problems gemeint hat. Deshalb streiten sich viele Mathematiker, Lehrer und Professoren ständig: „Was ist Stammfunktion oder Integration – ist es nur ein Werkzeug oder ist es echte Kunst?“ Tatsächlich ist Integration meiner persönlichen Meinung nach überhaupt keine Kunst - es ist nichts Erhabenes darin, es ist nur Übung und nochmals Übung. Und zur Übung lösen wir drei ernstere Beispiele.

Integration in der Praxis üben

Aufgabe 1

Lassen Sie uns die folgenden Formeln schreiben:

\[((x)^(n))\zu \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\bis \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Schreiben wir folgendes:

Aufgabe Nr. 2

Schreiben wir es wie folgt um:

Die Gesamtstammfunktion ist gleich:

Aufgabe Nr. 3

Die Komplexität dieser Aufgabe liegt darin, dass im Gegensatz zu den vorherigen Funktionen keine Variable $x$ darüber steht, d.h. Uns ist nicht klar, was wir addieren oder subtrahieren sollen, um zumindest etwas Ähnliches wie unten zu erhalten. Tatsächlich wird dieser Ausdruck jedoch als noch einfacher angesehen als jeder Ausdruck aus den vorherigen Konstrukten, da diese Funktion wie folgt umgeschrieben werden kann:

Sie fragen sich jetzt vielleicht: Warum sind diese Funktionen gleich? Lass uns das Prüfen:

Schreiben wir nochmal um:

Ändern wir unseren Ausdruck ein wenig:

Und wenn ich das alles meinen Schülern erkläre, taucht fast immer das gleiche Problem auf: bei der ersten Funktion ist alles mehr oder weniger klar, bei der zweiten kann man es mit Glück oder Übung auch herausfinden, aber was für ein alternatives Bewusstsein tun müssen Sie haben, um das dritte Beispiel zu lösen? Eigentlich keine Angst. Die Technik, die wir beim Berechnen der letzten Stammfunktion verwendet haben, heißt „Zerlegen einer Funktion in die einfachste Funktion“, und dies ist eine sehr ernsthafte Technik, und ihr wird eine separate Videolektion gewidmet.

In der Zwischenzeit schlage ich vor, auf das eben Gelernte, nämlich Exponentialfunktionen, zurückzukommen und die Aufgaben inhaltlich etwas zu verkomplizieren.

Komplexere Probleme zur Lösung von Stammfunktionsfunktionen

Aufgabe 1

Beachte das Folgende:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Um die Stammfunktion dieses Ausdrucks zu finden, verwenden Sie einfach die Standardformel $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

In unserem Fall sieht das Primitiv so aus:

Vor dem Hintergrund der Konstruktion, die wir gerade gelöst haben, sieht diese natürlich einfacher aus.

Aufgabe Nr. 2

Auch hier ist leicht zu erkennen, dass diese Funktion leicht in zwei getrennte Terme zu unterteilen ist – zwei getrennte Brüche. Schreiben wir um:

Es bleibt, die Stammfunktion jedes dieser Begriffe gemäß der obigen Formel zu finden:

Trotz der scheinbar größeren Komplexität von Exponentialfunktionen im Vergleich zu Potenzfunktionen stellte sich der Gesamtaufwand an Berechnungen und Berechnungen als viel einfacher heraus.

Natürlich mag für sachkundige Studierende das gerade Behandelte (insbesondere vor dem Hintergrund des zuvor Behandelten) als elementare Ausdrücke erscheinen. Mit der Auswahl dieser beiden Aufgaben für das heutige Video-Tutorial habe ich mir jedoch nicht das Ziel gesetzt, Ihnen einen weiteren komplexen und ausgefallenen Trick zu verraten – ich wollte Ihnen nur zeigen, dass Sie keine Angst haben sollten, Standard-Algebra-Tricks anzuwenden, um die ursprünglichen Funktionen umzuwandeln .

Mit der "geheimen" Technik

Abschließend möchte ich eine weitere interessante Technik analysieren, die einerseits über das hinausgeht, was wir heute hauptsächlich analysiert haben, andererseits aber erstens keineswegs kompliziert, d.h. selbst unerfahrene Schüler können es beherrschen, und zweitens findet es sich häufig in allen Arten von kontrollierter und unabhängiger Arbeit, d.h. es zu wissen, wird zusätzlich zur Kenntnis der Stammfunktionstabelle sehr nützlich sein.

Aufgabe 1

Offensichtlich haben wir etwas, das einer Potenzfunktion sehr ähnlich ist. Wie sollen wir in diesem Fall vorgehen? Denken wir darüber nach: $x-5$ unterscheidet sich nicht so sehr von $x$ - es wurden nur $-5$ hinzugefügt. Schreiben wir es so:

\[((x)^(4))\nach \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Versuchen wir, die Ableitung von $((\left(x-5 \right))^(5))$ zu finden:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Dies impliziert:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ rechts))^(\prime ))\]

Es gibt keinen solchen Wert in der Tabelle, also haben wir diese Formel jetzt selbst hergeleitet, indem wir die Standard-Stammfunktionsformel für eine Potenzfunktion verwendet haben. Schreiben wir die Antwort so:

Aufgabe Nr. 2

Für viele Schüler, die sich die erste Lösung ansehen, scheint alles sehr einfach zu sein: Es reicht aus, $x$ in der Potenzfunktion durch einen linearen Ausdruck zu ersetzen, und alles wird sich ergeben. Leider ist nicht alles so einfach, und das werden wir jetzt sehen.

In Analogie zum ersten Ausdruck schreiben wir Folgendes:

\[((x)^(9))\nach \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Um zu unserer Ableitung zurückzukehren, können wir schreiben:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \right))^(\prime ))\]

Ab hier folgt sofort:

Nuancen der Lösung

Bitte beachten Sie: Wenn sich beim letzten Mal nichts Wesentliches geändert hat, dann erschien im zweiten Fall $-30$ anstelle von $-10$. Was ist der Unterschied zwischen $-10$ und $-30$? Offensichtlich um einen Faktor von $-3$. Frage: Woher kam es? Wenn Sie genau hinsehen, können Sie sehen, dass es als Ergebnis der Berechnung der Ableitung einer komplexen Funktion genommen wurde – der Koeffizient, der bei $x$ stand, erscheint in der Stammfunktion unten. Dies ist eine sehr wichtige Regel, die ich im heutigen Video-Tutorial ursprünglich überhaupt nicht analysieren wollte, aber ohne sie wäre die Darstellung tabellarischer Stammfunktionen unvollständig.

Also machen wir es noch einmal. Sei unsere Hauptpotenzfunktion:

\[((x)^(n))\zu \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Und jetzt ersetzen wir statt $x$ den Ausdruck $kx+b$. Was wird dann passieren? Wir müssen Folgendes finden:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \right)\cdot k)\]

Auf welcher Grundlage behaupten wir das? Sehr einfach. Finden wir die Ableitung der oben geschriebenen Konstruktion:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

Dies ist derselbe Ausdruck, der ursprünglich war. Somit ist diese Formel auch richtig und kann zur Ergänzung der Stammfunktionstabelle verwendet werden, aber es ist besser, sich nur die gesamte Tabelle zu merken.

Schlussfolgerungen aus dem "Geheimnis: Rezeption:

• Beide Funktionen, die wir gerade betrachtet haben, lassen sich zwar durch Öffnen der Grade auf die in der Tabelle angegebenen Stammfunktionen zurückführen, aber wenn wir mit dem vierten Grad einigermaßen irgendwie fertig werden, dann würde ich den neunten Grad überhaupt nicht machen gewagt zu enthüllen.
• Wenn wir die Abschlüsse öffnen würden, würden wir eine solche Menge an Berechnungen erhalten, dass eine einfache Aufgabe uns zu wenig Zeit in Anspruch nehmen würde.
• Deshalb müssen solche Aufgaben, in denen sich lineare Ausdrücke befinden, nicht "leer" gelöst werden. Sobald Sie auf eine Stammfunktion treffen, die sich von der in der Tabelle nur durch das Vorhandensein des Ausdrucks $kx+b$ darin unterscheidet, merken Sie sich sofort die oben geschriebene Formel, ersetzen Sie sie in Ihre tabellarische Stammfunktion, und alles wird viel werden schneller und einfacher.

Natürlich werden wir aufgrund der Komplexität und Ernsthaftigkeit dieser Technik in zukünftigen Video-Tutorials immer wieder darauf zurückkommen, aber für heute habe ich alles. Ich hoffe, dass diese Lektion den Schülern, die Stammfunktionen und Integration verstehen wollen, wirklich helfen wird.

Stammfunktion und unbestimmtes Integral

Tatsache 1. Integration ist das Gegenteil von Differentiation, nämlich die Wiederherstellung einer Funktion aus der bekannten Ableitung dieser Funktion. Die Funktion wird auf diese Weise wiederhergestellt F(x) wird genannt Primitive für Funktion f(x).

Definition 1. Funktion F(x f(x) in einem bestimmten Intervall X, falls für alle Werte x ab diesem Intervall die Gleichheit F "(x)=f(x), also diese Funktion f(x) ist die Ableitung der Stammfunktion F(x). .

Zum Beispiel die Funktion F(x) = Sünde x ist die Stammfunktion für die Funktion f(x) = cos x auf dem gesamten Zahlenstrahl, da für jeden Wert von x (Sünde x)" = (cos x) .

Definition 2. Unbestimmtes Integral einer Funktion f(x) ist die Sammlung aller Stammfunktionen. Dies verwendet die Notation

∫

f(x)dx

,

wo ist das zeichen ∫ heißt das Integralzeichen, die Funktion f(x) ist ein Integrand, und f(x)dx ist der Integrand.

Also wenn F(x) ist eine Stammfunktion für f(x) , dann

∫

f(x)dx = F(x) +C

wo C - beliebige Konstante (Konstante).

Um die Bedeutung der Menge der Stammfunktionen einer Funktion als unbestimmtes Integral zu verstehen, ist die folgende Analogie angebracht. Lass es eine Tür geben (eine traditionelle Holztür). Seine Funktion ist es, „eine Tür zu sein“. Woraus besteht die Tür? Von einem Baum. Dies bedeutet, dass die Menge der Stammfunktionen des Integranden „eine Tür sein“, dh sein unbestimmtes Integral, die Funktion „ein Baum sein + C“ ist, wobei C eine Konstante ist, die in diesem Zusammenhang z B. eine Baumart. So wie eine Tür aus Holz mit einigen Werkzeugen hergestellt wird, wird die Ableitung einer Funktion aus der Stammfunktion mit "gemacht". Formel, die wir durch das Studium der Ableitung gelernt haben .

Dann ist die Tabelle der Funktionen gewöhnlicher Objekte und ihrer entsprechenden Primitiven ("eine Tür sein" - "ein Baum sein", "ein Löffel sein" - "ein Metall sein" usw.) ähnlich der Tabelle von grundlegende unbestimmte Integrale, die unten angegeben werden. Die Tabelle der unbestimmten Integrale listet allgemeine Funktionen auf und gibt die Stammfunktionen an, aus denen diese Funktionen "hergestellt" werden. Im Rahmen der Aufgaben zur Bestimmung des unbestimmten Integrals werden solche Integranden angegeben, die ohne besonderen Aufwand direkt integriert werden können, also gemäß der Tabelle der unbestimmten Integrale. Bei komplexeren Problemen muss der Integrand zunächst transformiert werden, damit Tabellenintegrale verwendet werden können.

Tatsache 2. Um eine Funktion als Stammfunktion wiederherzustellen, müssen wir eine beliebige Konstante (Konstante) berücksichtigen C, und um keine Liste von Stammfunktionen mit verschiedenen Konstanten von 1 bis unendlich zu schreiben, müssen Sie eine Reihe von Stammfunktionen mit einer beliebigen Konstante aufschreiben C, so: 5 x³+C. Daher wird eine beliebige Konstante (Konstante) in den Ausdruck der Stammfunktion aufgenommen, da die Stammfunktion eine Funktion sein kann, z. B. 5 x³+4 oder 5 x³+3 und beim Differenzieren von 4 oder 3 oder jeder anderen Konstante verschwindet.

Wir stellen das Integrationsproblem: für eine gegebene Funktion f(x) finden Sie eine solche Funktion F(x), dessen Ableitung ist gleich f(x).

Beispiel 1 Finden Sie die Menge der Stammfunktionen einer Funktion

Lösung. Für diese Funktion ist die Stammfunktion die Funktion

Funktion F(x) heißt Stammfunktion für die Funktion f(x) wenn die Ableitung F(x) ist gleich f(x) oder, was dasselbe ist, das Differential F(x) ist gleich f(x) dx, d.h.

(2)

Daher ist die Funktion Stammfunktion für die Funktion . Es ist jedoch nicht die einzige Stammfunktion für . Sie sind auch Funktionen

wo AUS ist eine beliebige Konstante. Dies kann durch Differenzierung überprüft werden.

Wenn es also eine Stammfunktion für eine Funktion gibt, dann gibt es für sie eine unendliche Menge von Stammfunktionen, die sich durch einen konstanten Summanden unterscheiden. Alle Stammfunktionen einer Funktion werden in obiger Form geschrieben. Dies folgt aus dem folgenden Satz.

Theorem (formale Tatsachenfeststellung 2). Wenn ein F(x) ist die Stammfunktion für die Funktion f(x) in einem bestimmten Intervall X, dann jede andere Stammfunktion für f(x) im selben Intervall dargestellt werden kann als F(x) + C, wo AUS ist eine beliebige Konstante.

Im folgenden Beispiel wenden wir uns bereits der Tabelle der Integrale zu, die in Abschnitt 3 nach den Eigenschaften des unbestimmten Integrals angegeben wird. Wir tun dies, bevor wir uns mit der gesamten Tabelle vertraut machen, damit die Essenz des oben Gesagten klar ist. Und nach der Tabelle und den Eigenschaften werden wir sie bei der Integration vollständig verwenden.

Beispiel 2 Finde Stammfunktionen:

Lösung. Wir finden Mengen von Stammfunktionen, aus denen diese Funktionen "gemacht" werden. Wenn Sie Formeln aus der Tabelle der Integrale erwähnen, akzeptieren Sie vorerst einfach, dass es solche Formeln gibt, und wir werden die Tabelle der unbestimmten Integrale ein wenig weiter studieren.

1) Anwendung von Formel (7) aus der Integraltabelle für n= 3, erhalten wir

2) Verwendung von Formel (10) aus der Tabelle der Integrale für n= 1/3 haben wir

3) Seit

dann nach Formel (7) an n= -1/4 finden

Unter dem Integralzeichen schreiben sie nicht die Funktion selbst f, und sein Produkt durch das Differential dx. Dies geschieht hauptsächlich, um anzugeben, nach welcher Variablen die Stammfunktion gesucht wird. Zum Beispiel,

, ;

hier ist der Integrand in beiden Fällen gleich , aber seine unbestimmten Integrale fallen in den betrachteten Fällen unterschiedlich aus. Im ersten Fall wird diese Funktion als Funktion einer Variablen betrachtet x, und in der zweiten - als Funktion von z .

Der Prozess, das unbestimmte Integral einer Funktion zu finden, wird Integration dieser Funktion genannt.

Die geometrische Bedeutung des unbestimmten Integrals

Es sei erforderlich, eine Kurve zu finden y=F(x) und wir wissen bereits, dass die Tangente der Steigung der Tangente an jedem ihrer Punkte eine gegebene Funktion ist f(x) Abszisse dieses Punktes.

Nach der geometrischen Bedeutung der Ableitung ist die Tangente die Steigung der Tangente an einem bestimmten Punkt der Kurve y=F(x) gleich dem Wert des Derivats F"(x). Also müssen wir eine solche Funktion finden F(x), wofür F"(x)=f(x). Erforderliche Funktion in der Aufgabe F(x) ist abgeleitet von f(x). Die Bedingung des Problems wird nicht von einer Kurve erfüllt, sondern von einer Familie von Kurven. y=F(x)- eine dieser Kurven, und jede andere Kurve kann daraus durch parallele Verschiebung entlang der Achse erhalten werden Ey.

Nennen wir den Graphen der Stammfunktion von f(x) integrale Kurve. Wenn ein F"(x)=f(x), dann der Graph der Funktion y=F(x) ist eine Integralkurve.

Tatsache 3. Das unbestimmte Integral wird geometrisch durch die Familie aller Integralkurven dargestellt wie im Bild unten. Der Abstand jeder Kurve vom Ursprung wird durch eine willkürliche Integrationskonstante (Konstante) bestimmt C.

Eigenschaften des unbestimmten Integrals

Tatsache 4. Satz 1. Die Ableitung eines unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden, und sein Differential ist gleich dem Integranden.

Fakt 5. Satz 2. Das unbestimmte Integral des Differentials einer Funktion f(x) ist gleich der Funktion f(x) bis zu einer konstanten Laufzeit , d.h.

(3)

Die Sätze 1 und 2 zeigen, dass Differentiation und Integration zueinander inverse Operationen sind.

Tatsache 6. Satz 3. Der konstante Faktor im Integranden kann aus dem Vorzeichen des unbestimmten Integrals herausgenommen werden , d.h.

Integrieren lernen ist nicht schwer. Dazu muss man nur ein gewisses, eher kleines Regelwerk lernen und ein gewisses Fingerspitzengefühl entwickeln. Natürlich ist es einfach, die Regeln und Formeln zu lernen, aber es ist ziemlich schwierig zu verstehen, wo und wann diese oder jene Integrations- oder Differenzierungsregel anzuwenden ist. Dies ist in der Tat die Fähigkeit zur Integration.

1. Stammfunktion. Unbestimmtes Integral.

Es wird davon ausgegangen, dass der Leser zum Zeitpunkt des Lesens dieses Artikels bereits über einige Differenzierungsfähigkeiten verfügt (d. H. Derivate finden).

Definition 1.1: Eine Funktion heißt Stammfunktion, wenn die Gleichheit gilt:

Kommentare:> Die Betonung im Wort „primordial“ kann auf zwei Arten gesetzt werden: um genervt oder originell a wissen.

Eigenschaft 1: Wenn eine Funktion eine Stammfunktion einer Funktion ist, dann ist die Funktion auch eine Stammfunktion einer Funktion.

Nachweisen: Beweisen wir dies anhand der Definition einer Stammfunktion. Finden wir die Ableitung der Funktion:

Der erste Begriff in Definition 1.1 ist gleich , und der zweite Term ist die Ableitung der Konstante, die gleich 0 ist.

.

Zusammenfassen. Schreiben wir den Anfang und das Ende der Gleichheitskette:

Daher ist die Ableitung der Funktion gleich und daher per Definition ihre Stammfunktion. Die Eigenschaft wurde nachgewiesen.

Definition 1.2: Das unbestimmte Integral einer Funktion ist die Gesamtheit der Stammfunktionen dieser Funktion. Es wird so bezeichnet:

.

Betrachten Sie die Namen der einzelnen Teile des Datensatzes im Detail:

ist die allgemeine Notation für das Integral,

ist ein Integrand (Integrand) Ausdruck, eine integrierbare Funktion.

ist das Differential, und der Ausdruck nach dem Buchstaben , in diesem Fall , wird als Integrationsvariable bezeichnet.

Kommentare: Die Schlüsselwörter in dieser Definition sind „das ganze Set“. Diese. Wenn dieses „Plus C“ in Zukunft nicht in die Antwort geschrieben wird, hat der Inspektor das Recht, diese Aufgabe nicht zu würdigen, weil Es ist notwendig, den gesamten Satz von Antiderivativen zu finden, und wenn C fehlt, wird nur eine gefunden.

Fazit: Um zu überprüfen, ob das Integral richtig berechnet wurde, ist es notwendig, die Ableitung des Ergebnisses zu finden. Er muss mit dem Integranden übereinstimmen.
Beispiel:
Übung: Berechnen Sie das unbestimmte Integral und überprüfen Sie.

Lösung:

Dabei spielt es keine Rolle, wie dieses Integral berechnet wird. Angenommen, es ist eine Offenbarung von oben. Unsere Aufgabe ist es zu zeigen, dass die Offenbarung uns nicht getäuscht hat, und dies kann mit Hilfe der Verifikation geschehen.

Untersuchung:

Beim Differenzieren des Ergebnisses wurde ein Integrand erhalten, was bedeutet, dass das Integral korrekt berechnet wurde.

2. Starten. Tabelle der Integrale.

Für die Integration ist es nicht notwendig, sich jedes Mal die Funktion zu merken, deren Ableitung gleich dem gegebenen Integranden ist (d. h. die Definition des Integrals direkt verwenden). Jede Aufgabensammlung oder jedes Lehrbuch zur mathematischen Analysis enthält eine Liste der Eigenschaften von Integralen und eine Tabelle der einfachsten Integrale.

Lassen Sie uns die Eigenschaften auflisten.

Eigenschaften:
1.
Das Integral des Differentials ist gleich der Integrationsvariablen.
2. , wobei eine Konstante ist.
Der konstante Multiplikator kann aus dem Integralzeichen herausgenommen werden.

3.
Das Integral der Summe ist gleich der Summe der Integrale (wenn die Anzahl der Terme endlich ist).
Integrierter Tisch:

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

Meistens besteht die Aufgabe darin, das untersuchte Integral mithilfe von Eigenschaften und Formeln auf ein tabellarisches zu reduzieren.

Beispiel:

[Nutzen wir die dritte Eigenschaft von Integralen und schreiben sie als Summe von drei Integralen.]

[Nutzen wir die zweite Eigenschaft und entfernen die Konstanten aus dem Integrationszeichen.]

[ Beim ersten Integral verwenden wir das Tabellenintegral Nr. 1 (n=2), beim zweiten - die gleiche Formel, aber n=1, und beim dritten Integral können Sie entweder das gleiche Tabellenintegral verwenden, aber mit n=0, oder die erste Eigenschaft.]
.
Prüfen wir durch Differentiation:

Der ursprüngliche Integrand wurde erhalten, die Integration wurde also fehlerfrei durchgeführt (und sogar die Addition einer beliebigen Konstante C wurde nicht vergessen).

Tabellenintegrale müssen aus einem einfachen Grund auswendig gelernt werden - um zu wissen, wonach man streben muss, d.h. kennen den Zweck der Transformation des gegebenen Ausdrucks.

Hier noch ein paar Beispiele:
1)
2)
3)

Aufgaben zur selbstständigen Lösung:

Übung 1. Berechnen Sie das unbestimmte Integral:

+ Hinweis #1 ein-/ausblenden.

1) Verwenden Sie die dritte Eigenschaft und stellen Sie dieses Integral als Summe von drei Integralen dar.

+ Hinweis #2 ein-/ausblenden.

+ Hinweis #3 ein-/ausblenden.

3) Verwenden Sie für die ersten beiden Terme das erste Tabellenintegral und für das dritte - das zweite Tabellenintegral.

+ Lösung und Antwort ein-/ausblenden.

4) Lösung:

Antworten: