Sinus Der spitze Winkel α eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis Gegenteil Katheter zur Hypotenuse.
Sie wird wie folgt bezeichnet: sin α.
Kosinus Der spitze Winkel α eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis des angrenzenden Schenkels zur Hypotenuse.
Er wird wie folgt bezeichnet: cos α.
Tangente Der spitze Winkel α ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zum benachbarten Bein.
Sie wird wie folgt bezeichnet: tg α.
Kotangens Der spitze Winkel α ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zum gegenüberliegenden.
Er wird wie folgt bezeichnet: ctg α.
Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels hängen nur von der Größe des Winkels ab.
Regeln:
Grundlegende trigonometrische Identitäten in einem rechtwinkligen Dreieck:
(α - spitzer Winkel gegenüber dem Bein b und neben dem Bein a . Seite mit - Hypotenuse. β - der zweite spitze Winkel).
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
a | 1 | |
b | 1 | |
a | 1 1 | |
sinα |
Wenn der spitze Winkel zunimmtsinα undtg α erhöhen, undcos α nimmt ab.
Für jeden spitzen Winkel α:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
Erklärendes Beispiel:
Lassen Sie ein rechtwinkliges Dreieck ABC ein
AB = 6,
BC = 3,
Winkel A = 30º.
Berechne den Sinus von Winkel A und den Kosinus von Winkel B.
Entscheidung .
1) Zuerst finden wir den Wert des Winkels B. Hier ist alles einfach: Da in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der spitzen Winkel 90º beträgt, ist der Winkel B \u003d 60º:
B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.
2) Berechnen Sie sin A. Wir wissen, dass der Sinus gleich dem Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zur Hypotenuse ist. Bei Winkel A ist das gegenüberliegende Bein die Seite BC. So:
BC 3 1
Sünde A = -- = - = -
AB 6 2
3) Jetzt berechnen wir cos B. Wir wissen, dass der Cosinus gleich dem Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse ist. Für Winkel B ist das benachbarte Bein die gleiche Seite BC. Das bedeutet, dass wir wieder BC durch AB teilen müssen, also die gleichen Aktionen ausführen wie bei der Berechnung des Sinus des Winkels A:
BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Das Ergebnis ist:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Daraus folgt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Sinus eines spitzen Winkels gleich dem Kosinus eines anderen spitzen Winkels ist – und umgekehrt. Genau das bedeuten unsere beiden Formeln:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
Schauen wir es uns noch einmal an:
1) Sei α = 60º. Setzen wir den Wert von α in die Sinusformel ein, erhalten wir:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Sei α = 30º. Setzen wir den Wert von α in die Kosinusformel ein, erhalten wir:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30°.
(Weitere Informationen zur Trigonometrie finden Sie im Abschnitt Algebra.)
Einer der Zweige der Mathematik, mit dem Schulkinder die größten Schwierigkeiten haben, ist die Trigonometrie. Kein Wunder: Um dieses Wissensgebiet frei zu meistern, braucht man räumliches Denken, die Fähigkeit, Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens anhand von Formeln zu finden, Ausdrücke zu vereinfachen und die Zahl Pi in Berechnungen einsetzen zu können. Darüber hinaus müssen Sie beim Beweis von Theoremen Trigonometrie anwenden können, und dies erfordert entweder ein entwickeltes mathematisches Gedächtnis oder die Fähigkeit, komplexe logische Ketten abzuleiten.
Ursprünge der Trigonometrie
Die Bekanntschaft mit dieser Wissenschaft sollte mit der Definition von Sinus, Cosinus und Tangens des Winkels beginnen, aber zuerst müssen Sie herausfinden, was Trigonometrie im Allgemeinen tut.
In der Vergangenheit waren rechtwinklige Dreiecke das Hauptstudienobjekt in diesem Bereich der mathematischen Wissenschaft. Das Vorhandensein eines Winkels von 90 Grad ermöglicht es, verschiedene Operationen durchzuführen, die es ermöglichen, die Werte aller Parameter der betrachteten Figur unter Verwendung von zwei Seiten und einem Winkel oder zwei Winkeln und einer Seite zu bestimmen. In der Vergangenheit bemerkten die Menschen dieses Muster und begannen, es aktiv beim Bau von Gebäuden, in der Navigation, in der Astronomie und sogar in der Kunst zu nutzen.
Erste Stufe
Anfangs sprach man ausschließlich am Beispiel rechtwinkliger Dreiecke über das Verhältnis von Winkeln und Seiten. Dann wurden spezielle Formeln entdeckt, die es ermöglichten, die Grenzen der Verwendung dieses Teils der Mathematik im Alltag zu erweitern.
Das Studium der Trigonometrie in der Schule beginnt heute mit rechtwinkligen Dreiecken, wonach das erworbene Wissen von Schülern in Physik und beim Lösen abstrakter trigonometrischer Gleichungen verwendet wird, mit denen die Arbeit in der High School beginnt.
Sphärische Trigonometrie
Später, als die Wissenschaft die nächste Entwicklungsstufe erreichte, wurden Formeln mit Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens in der Kugelgeometrie verwendet, wo andere Regeln gelten und die Summe der Winkel in einem Dreieck immer mehr als 180 Grad beträgt. Dieser Abschnitt wird in der Schule nicht studiert, aber es ist notwendig, über seine Existenz Bescheid zu wissen, zumindest weil die Erdoberfläche und die Oberfläche jedes anderen Planeten konvex ist, was bedeutet, dass jede Oberflächenmarkierung "bogenförmig" ist dreidimensionaler Raum.
Nimm den Globus und den Faden. Befestigen Sie den Faden an zwei beliebigen Punkten auf dem Globus, so dass er straff ist. Passen Sie auf - es hat die Form eines Bogens angenommen. Mit solchen Formen befasst sich die sphärische Geometrie, die in der Geodäsie, Astronomie und anderen theoretischen und angewandten Bereichen verwendet wird.
Rechtwinkliges Dreieck
Nachdem wir ein wenig über die Verwendungsmöglichkeiten der Trigonometrie gelernt haben, kehren wir zur grundlegenden Trigonometrie zurück, um besser zu verstehen, was Sinus, Cosinus und Tangens sind, welche Berechnungen mit ihrer Hilfe durchgeführt werden können und welche Formeln zu verwenden sind.
Der erste Schritt besteht darin, die Konzepte im Zusammenhang mit einem rechtwinkligen Dreieck zu verstehen. Erstens ist die Hypotenuse die Seite gegenüber dem 90-Grad-Winkel. Sie ist die längste. Wir erinnern uns, dass nach dem Satz des Pythagoras sein Zahlenwert gleich der Wurzel der Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten ist.
Wenn beispielsweise zwei Seiten 3 bzw. 4 Zentimeter lang sind, beträgt die Länge der Hypotenuse 5 Zentimeter. Das wussten übrigens schon die alten Ägypter vor etwa viereinhalbtausend Jahren.
Die beiden verbleibenden Seiten, die einen rechten Winkel bilden, werden Beine genannt. Außerdem müssen wir uns daran erinnern, dass die Summe der Winkel in einem Dreieck in einem rechtwinkligen Koordinatensystem 180 Grad beträgt.
Definition
Schließlich können wir uns mit einem soliden Verständnis der geometrischen Basis der Definition von Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels zuwenden.
Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels (d. h. der dem gewünschten Winkel gegenüberliegenden Seite) zur Hypotenuse. Der Kosinus eines Winkels ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse.
Denken Sie daran, dass weder Sinus noch Cosinus größer als eins sein können! Wieso den? Da die Hypotenuse standardmäßig am längsten ist, ist sie, egal wie lang das Bein ist, kürzer als die Hypotenuse, was bedeutet, dass ihr Verhältnis immer kleiner als eins ist. Wenn Sie also in der Antwort auf die Aufgabe einen Sinus oder Kosinus mit einem Wert größer als 1 erhalten, suchen Sie nach einem Fehler in Berechnungen oder Argumentationen. Diese Antwort ist eindeutig falsch.
Schließlich ist der Tangens eines Winkels das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur benachbarten Seite. Das gleiche Ergebnis ergibt die Division des Sinus durch den Kosinus. Schauen Sie: Gemäß der Formel teilen wir die Seitenlänge durch die Hypotenuse, danach teilen wir durch die Länge der zweiten Seite und multiplizieren mit der Hypotenuse. Damit erhalten wir das gleiche Verhältnis wie bei der Tangentendefinition.
Der Kotangens ist jeweils das Verhältnis der an die Ecke angrenzenden Seite zur gegenüberliegenden Seite. Dasselbe Ergebnis erhalten wir, wenn wir die Einheit durch den Tangens dividieren.
Wir haben also die Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens betrachtet und können uns mit Formeln befassen.
Die einfachsten Formeln
In der Trigonometrie kann man nicht auf Formeln verzichten - wie findet man Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens ohne sie? Und genau das ist beim Lösen von Problemen gefragt.
Die erste Formel, die Sie kennen müssen, wenn Sie mit dem Studium der Trigonometrie beginnen, besagt, dass die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus eines Winkels gleich eins ist. Diese Formel ist eine direkte Folge des Satzes des Pythagoras, aber sie spart Zeit, wenn Sie den Wert des Winkels wissen wollen, nicht die Seite.
Viele Schüler können sich nicht an die zweite Formel erinnern, die auch beim Lösen von Schulaufgaben sehr beliebt ist: Die Summe aus Eins und dem Quadrat des Tangens eines Winkels ist gleich Eins geteilt durch das Quadrat des Kosinus des Winkels. Schauen Sie genauer hin: Das ist immerhin die gleiche Aussage wie in der ersten Formel, nur wurden beide Seiten der Identität durch das Quadrat des Kosinus dividiert. Es stellt sich heraus, dass eine einfache mathematische Operation die trigonometrische Formel völlig unkenntlich macht. Denken Sie daran: Wenn Sie wissen, was Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens sind, die Umrechnungsregeln und ein paar Grundformeln kennen, können Sie die benötigten komplexeren Formeln jederzeit selbstständig auf einem Blatt Papier herleiten.
Doppelwinkelformeln und Addition von Argumenten
Zwei weitere Formeln, die Sie lernen müssen, beziehen sich auf die Werte von Sinus und Kosinus für die Summe und Differenz der Winkel. Sie sind in der Abbildung unten dargestellt. Beachten Sie, dass im ersten Fall Sinus und Cosinus beide Male multipliziert werden und im zweiten Fall das paarweise Produkt aus Sinus und Cosinus addiert wird.
Es gibt auch Formeln, die mit Doppelwinkelargumenten verbunden sind. Sie sind vollständig von den vorherigen abgeleitet - als Übung versuchen Sie, sie selbst zu bekommen, indem Sie den Alpha-Winkel gleich dem Beta-Winkel nehmen.
Beachten Sie schließlich, dass die Doppelwinkelformeln konvertiert werden können, um den Grad von Sinus, Cosinus und Tangens Alpha zu verringern.
Sätze
Die beiden Hauptsätze in der grundlegenden Trigonometrie sind der Sinussatz und der Kosinussatz. Mit Hilfe dieser Sätze können Sie leicht verstehen, wie Sie Sinus, Kosinus und Tangens und damit die Fläche der Figur und die Größe jeder Seite usw. ermitteln.
Der Sinussatz besagt, dass wir als Ergebnis der Division der Länge jeder Seite des Dreiecks durch den Wert des gegenüberliegenden Winkels dieselbe Zahl erhalten. Außerdem ist diese Zahl gleich zwei Radien des umschriebenen Kreises, dh des Kreises, der alle Punkte des gegebenen Dreiecks enthält.
Der Kosinussatz verallgemeinert den Satz des Pythagoras und projiziert ihn auf beliebige Dreiecke. Es stellt sich heraus, dass von der Summe der Quadrate der beiden Seiten ihr Produkt subtrahiert wird, multipliziert mit dem Doppelkosinus des angrenzenden Winkels - der resultierende Wert ist gleich dem Quadrat der dritten Seite. Damit erweist sich der Satz des Pythagoras als Spezialfall des Kosinussatzes.
Fehler durch Unachtsamkeit
Selbst wenn man weiß, was Sinus, Cosinus und Tangens sind, kann man leicht einen Fehler aufgrund von Zerstreutheit oder einen Fehler in den einfachsten Berechnungen machen. Um solche Fehler zu vermeiden, machen wir uns mit den beliebtesten von ihnen vertraut.
Erstens sollten Sie gewöhnliche Brüche nicht in Dezimalzahlen umwandeln, bis Sie das Endergebnis erhalten haben - Sie können die Antwort als gewöhnlichen Bruch belassen, es sei denn, die Bedingung besagt etwas anderes. Eine solche Transformation kann nicht als Fehler bezeichnet werden, aber es sollte daran erinnert werden, dass in jeder Phase der Aufgabe neue Wurzeln auftreten können, die nach der Idee des Autors reduziert werden sollten. In diesem Fall verschwenden Sie Zeit mit unnötigen mathematischen Operationen. Das gilt besonders für Werte wie die Wurzel aus drei oder zwei, weil sie bei Aufgaben bei jedem Schritt vorkommen. Gleiches gilt für das Runden von "hässlichen" Zahlen.
Beachten Sie außerdem, dass der Kosinussatz für jedes Dreieck gilt, nicht jedoch der Satz des Pythagoras! Wenn Sie versehentlich vergessen, das Produkt der Seiten multipliziert mit dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen zweimal zu subtrahieren, erhalten Sie nicht nur ein völlig falsches Ergebnis, sondern demonstrieren auch ein völliges Missverständnis des Themas. Das ist schlimmer als ein Flüchtigkeitsfehler.
Drittens verwechseln Sie die Werte für Winkel von 30 und 60 Grad nicht mit Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens. Merken Sie sich diese Werte, denn der Sinus von 30 Grad ist gleich dem Kosinus von 60 und umgekehrt. Sie können leicht verwechselt werden, wodurch Sie zwangsläufig ein falsches Ergebnis erhalten.
Anwendung
Viele Studenten haben es nicht eilig, mit dem Studium der Trigonometrie zu beginnen, weil sie ihre angewandte Bedeutung nicht verstehen. Was ist Sinus, Cosinus, Tangens für einen Ingenieur oder Astronomen? Dies sind Konzepte, mit denen Sie die Entfernung zu fernen Sternen berechnen, den Fall eines Meteoriten vorhersagen und eine Forschungssonde zu einem anderen Planeten schicken können. Ohne sie ist es unmöglich, ein Gebäude zu bauen, ein Auto zu entwerfen, die Belastung der Oberfläche oder die Flugbahn eines Objekts zu berechnen. Und das sind nur die offensichtlichsten Beispiele! Schließlich wird Trigonometrie in der einen oder anderen Form überall verwendet, von der Musik bis zur Medizin.
Abschließend
Sie sind also Sinus, Cosinus, Tangens. Sie können sie in Berechnungen verwenden und Schulprobleme erfolgreich lösen.
Die ganze Essenz der Trigonometrie läuft darauf hinaus, dass unbekannte Parameter aus den bekannten Parametern des Dreiecks berechnet werden müssen. Es gibt insgesamt sechs Parameter: die Längen von drei Seiten und die Größen von drei Winkeln. Der ganze Unterschied bei den Aufgaben liegt darin, dass unterschiedliche Eingabedaten gegeben werden.
Wie man Sinus, Cosinus, Tangens anhand der bekannten Beinlängen oder der Hypotenuse findet, weißt du jetzt. Da diese Begriffe nichts anderes als ein Verhältnis bedeuten und ein Verhältnis ein Bruch ist, besteht das Hauptziel des trigonometrischen Problems darin, die Wurzeln einer gewöhnlichen Gleichung oder eines Gleichungssystems zu finden. Und hier hilft Ihnen die gewöhnliche Schulmathematik.
Anweisung
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beachten Sie
Bei der Berechnung der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kann die Kenntnis seiner Merkmale eine Rolle spielen:
1) Wenn das Bein eines rechten Winkels einem Winkel von 30 Grad gegenüberliegt, dann ist es gleich der halben Hypotenuse;
2) Die Hypotenuse ist immer länger als jedes der Beine;
3) Wird um ein rechtwinkliges Dreieck ein Kreis umschrieben, so muss sein Mittelpunkt in der Mitte der Hypotenuse liegen.
Die Hypotenuse ist die Seite in einem rechtwinkligen Dreieck, die dem 90-Grad-Winkel gegenüberliegt. Um seine Länge zu berechnen, reicht es aus, die Länge eines der Schenkel und den Wert eines der spitzen Winkel des Dreiecks zu kennen.
Anweisung
Teilen Sie uns eines der Beine und den angrenzenden Winkel mit. Sei es zur Eindeutigkeit das Bein |AB| und Winkel α. Dann können wir die Formel für das trigonometrische Cosinus-Cosinus-Verhältnis des Nachbarschenkels verwenden. Jene. in unserer Schreibweise cos α = |AB| / |AC|. Daraus ergibt sich die Länge der Hypotenuse |AC| = |AB| / cosα.
Wenn wir das Bein |BC| kennen und Winkel α, dann verwenden wir die Formel zur Berechnung des Sinus des Winkels - der Sinus des Winkels ist gleich dem Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse: sin α = |BC| / |AC|. Wir erhalten, dass die Länge der Hypotenuse als |AC| gefunden wird = |BC| / cosα.
Betrachten Sie zur Verdeutlichung ein Beispiel. Sei die Beinlänge |AB| = 15. Und der Winkel α = 60°. Wir erhalten |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Überlegen Sie, wie Sie Ihr Ergebnis mit dem Satz des Pythagoras überprüfen können. Dazu müssen wir die Länge des zweiten Schenkels |BC| berechnen. Mit der Formel für den Tangens des Winkels tg α = |BC| / |AC| erhalten wir |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Als nächstes wenden wir den Satz des Pythagoras an, wir erhalten 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Die Überprüfung ist abgeschlossen.
Hilfreicher Rat
Überprüfen Sie nach der Berechnung der Hypotenuse, ob der resultierende Wert den Satz des Pythagoras erfüllt.
Quellen:
- Tabelle der Primzahlen von 1 bis 10000
Beine Nennen Sie die beiden kurzen Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, die seine Spitze bilden, deren Wert 90 ° beträgt. Die dritte Seite in einem solchen Dreieck heißt Hypotenuse. Alle diese Seiten und Winkel des Dreiecks sind durch bestimmte Beziehungen miteinander verbunden, die es Ihnen ermöglichen, die Beinlänge zu berechnen, wenn mehrere andere Parameter bekannt sind.
Anweisung
Verwenden Sie den Satz des Pythagoras für das Bein (A), wenn Sie die Länge der anderen beiden Seiten (B und C) des rechtwinkligen Dreiecks kennen. Dieser Satz besagt, dass die Summe der Beinlängen im Quadrat gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist. Daraus folgt, dass die Länge jedes Schenkels gleich der Quadratwurzel der Längen der Hypotenuse und des zweiten Schenkels ist: A=√(C²-B²).
Verwenden Sie die Definition der direkten trigonometrischen Funktion "Sinus" für einen spitzen Winkel, wenn Sie den Wert des Winkels (α) gegenüber dem berechneten Bein und die Länge der Hypotenuse (C) kennen. Diese besagt, dass der Sinus dieser bekanntlich das Verhältnis der Länge des gewünschten Schenkels zur Länge der Hypotenuse ist. Das heißt, die Länge des gewünschten Schenkels ist gleich dem Produkt aus der Länge der Hypotenuse und dem Sinus des bekannten Winkels: A=C∗sin(α). Für dieselben bekannten Werte können Sie den Kosekans verwenden und die gewünschte Länge berechnen, indem Sie die Länge der Hypotenuse durch den Kosekans des bekannten Winkels A=C/Cosec(α) dividieren.
Verwenden Sie die Definition der direkten trigonometrischen Kosinusfunktion, wenn neben der Länge der Hypotenuse (C) auch der Wert des spitzen Winkels (β) neben dem gesuchten bekannt ist. Der Kosinus dieses Winkels ist das Verhältnis der Längen des gewünschten Schenkels und der Hypotenuse, und daraus können wir schließen, dass die Länge des Schenkels gleich dem Produkt aus der Länge der Hypotenuse und dem Kosinus des bekannten Winkels ist: A=C∗cos(β). Sie können die Definition der Sekantenfunktion verwenden und den gewünschten Wert berechnen, indem Sie die Länge der Hypotenuse durch die Sekante des bekannten Winkels A=C/sec(β) teilen.
Leiten Sie die benötigte Formel aus einer ähnlichen Definition für die Ableitung der trigonometrischen Funktion Tangens ab, wenn neben dem Wert des spitzen Winkels (α) dem gewünschten Schenkel (A) die Länge des zweiten Schenkels (B) gegenüberliegt bekannt. Der Tangens des Winkels gegenüber dem gewünschten Schenkel ist das Verhältnis der Länge dieses Schenkels zur Länge des zweiten Schenkels. Das bedeutet, dass der gewünschte Wert gleich dem Produkt aus der Länge des bekannten Schenkels und dem Tangens des bekannten Winkels ist: A=B∗tg(α). Aus denselben bekannten Größen kann eine andere Formel unter Verwendung der Definition der Kotangensfunktion abgeleitet werden. In diesem Fall muss zur Berechnung der Beinlänge das Verhältnis der Länge des bekannten Beins zum Kotangens des bekannten Winkels ermittelt werden: A=B/ctg(α).
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Das Wort „katet“ kam aus dem Griechischen ins Russische. In exakter Übersetzung bedeutet es ein Lot, also senkrecht zur Erdoberfläche. In der Mathematik werden Beine als Seiten bezeichnet, die einen rechten Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks bilden. Die diesem Winkel gegenüberliegende Seite wird Hypotenuse genannt. Der Begriff „Bein“ wird auch in der Architektur und Schweißtechnik verwendet.
Die Sekante dieses Winkels erhält man, indem man die Hypotenuse durch den angrenzenden Schenkel dividiert, also secCAB=c/b. Es stellt sich der Kehrwert des Kosinus heraus, das heißt, er kann durch die Formel secCAB=1/cosSAB ausgedrückt werden.
Der Kosekans ist gleich dem Quotienten aus der Hypotenuse durch das gegenüberliegende Bein und ist der Kehrwert des Sinus. Er kann mit der Formel cosecCAB=1/sinCAB berechnet werden
Beide Schenkel sind miteinander verbunden und kotangent. In diesem Fall ist die Tangente das Verhältnis von Seite a zu Seite b, dh das gegenüberliegende Bein zum benachbarten. Dieses Verhältnis kann durch die Formel tgCAB=a/b ausgedrückt werden. Dementsprechend ist das umgekehrte Verhältnis der Kotangens: ctgCAB=b/a.
Das Verhältnis zwischen den Größen der Hypotenuse und beiden Beinen wurde vom antiken griechischen Pythagoras bestimmt. Das Theorem, sein Name, wird immer noch verwendet. Es besagt, dass das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Beine ist, dh c2 \u003d a2 + b2. Dementsprechend ist jedes Bein gleich der Quadratwurzel der Differenz zwischen den Quadraten der Hypotenuse und dem anderen Bein. Diese Formel kann als b=√(c2-a2) geschrieben werden.
Auch die Beinlänge lässt sich durch die Ihnen bekannten Beziehungen ausdrücken. Nach den Sätzen von Sinus und Cosinus ist das Bein gleich dem Produkt der Hypotenuse und einer dieser Funktionen. Sie können es ausdrücken und oder Kotangens. Das Bein a kann beispielsweise durch die Formel a \u003d b * tan CAB ermittelt werden. Genauso wird je nach gegebener Tangente bzw. der zweite Schenkel bestimmt.
In der Architektur wird auch der Begriff „Bein“ verwendet. Es wird auf ein ionisches Kapitell aufgetragen und senkrecht durch die Mitte seines Rückens geführt. Das heißt in diesem Fall durch diesen Term die Senkrechte zu der gegebenen Linie.
In der Schweißtechnik gibt es einen „Schenkel einer Kehlnaht“. Wie in anderen Fällen ist dies die kürzeste Entfernung. Hier sprechen wir über den Spalt zwischen einem der zu schweißenden Teile und dem Rand der Naht, der sich auf der Oberfläche des anderen Teils befindet.
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Quellen:
- Was ist das Bein und die Hypotenuse im Jahr 2019?
Was der Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens eines Winkels ist, wird dir helfen, ein rechtwinkliges Dreieck zu verstehen.
Wie heißen die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? Richtig, Hypotenuse und Beine: Die Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt (in unserem Beispiel ist das die Seite \ (AC \) ); die Beine sind die beiden verbleibenden Seiten \ (AB \) und \ (BC \) (diejenigen, die an den rechten Winkel angrenzen), außerdem, wenn wir die Beine in Bezug auf den Winkel \ (BC \) betrachten, dann das Bein \ (AB \) ist das benachbarte Bein, und das Bein \ (BC \) ist das gegenüberliegende. Beantworten wir nun die Frage: Was sind Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels?
Sinus eines Winkels- Dies ist das Verhältnis des gegenüberliegenden (fernen) Beins zur Hypotenuse.
In unserem Dreieck:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Kosinus eines Winkels- Dies ist das Verhältnis des angrenzenden (nahen) Beins zur Hypotenuse.
In unserem Dreieck:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Winkel Tangente- Dies ist das Verhältnis des gegenüberliegenden (fernen) Beins zum benachbarten (nahen).
In unserem Dreieck:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Kotangens eines Winkels- Dies ist das Verhältnis des benachbarten (nahen) Beins zum gegenüberliegenden (fernen).
In unserem Dreieck:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC)\]
Diese Definitionen sind notwendig erinnern! Damit Sie sich leichter merken können, welches Bein durch was geteilt werden muss, müssen Sie das klar verstehen Tangente und Kotangens nur die Beine sitzen, und die Hypotenuse erscheint nur in Sinus und Kosinus. Und dann kann man sich eine Assoziationskette ausdenken. Zum Beispiel dieser:
Kosinus→Berührung→Berührung→benachbart;
Kotangens → Berührung → Berührung → benachbart.
Zunächst ist zu beachten, dass Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens als Verhältnisse der Seiten eines Dreiecks nicht von der Länge dieser Seiten (in einem Winkel) abhängen. Glaubst du nicht? Dann stellen Sie sicher, indem Sie sich das Bild ansehen:
Betrachten wir zum Beispiel den Kosinus des Winkels \(\beta \) . Per Definition aus einem Dreieck \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), aber wir können den Kosinus des Winkels \(\beta \) aus dem Dreieck \(AHI \) berechnen: \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Sie sehen, die Längen der Seiten sind unterschiedlich, aber der Wert des Kosinus eines Winkels ist gleich. Somit hängen die Werte von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens ausschließlich von der Größe des Winkels ab.
Wenn Sie die Definitionen verstehen, dann machen Sie weiter und beheben Sie sie!
Für das in der Abbildung unten gezeigte Dreieck \(ABC \) finden wir \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)
Na, hast du es verstanden? Dann versuchen Sie es selbst: Berechnen Sie dasselbe für den Winkel \(\beta \) .
Antworten: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Einheitskreis (trigonometrischer Kreis).
Nachdem wir die Konzepte von Grad und Radiant verstanden hatten, betrachteten wir einen Kreis mit einem Radius gleich \ (1 \) . Ein solcher Kreis heißt Single. Es ist sehr nützlich beim Studium der Trigonometrie. Deshalb gehen wir etwas ausführlicher darauf ein.
Wie Sie sehen, ist dieser Kreis im kartesischen Koordinatensystem aufgebaut. Der Radius des Kreises ist gleich eins, während der Mittelpunkt des Kreises im Ursprung liegt, ist die Anfangsposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der \(x \)-Achse festgelegt (in unserem Beispiel ist dies die Radius \(AB \) ).
Jeder Punkt auf dem Kreis entspricht zwei Zahlen: der Koordinate entlang der Achse \(x \) und der Koordinate entlang der Achse \(y \) . Was sind diese Koordinatenzahlen? Und überhaupt, was haben sie mit dem Thema zu tun? Denken Sie dazu an das betrachtete rechtwinklige Dreieck. In der obigen Abbildung sehen Sie zwei ganze rechtwinklige Dreiecke. Betrachten Sie das Dreieck \(ACG \) . Es ist rechteckig, weil \(CG \) senkrecht zur \(x \)-Achse steht.
Was ist \(\cos \ \alpha \) aus dem Dreieck \(ACG \) ? Alles ist richtig \(\cos\\alpha=\dfrac(AG)(AC)\). Außerdem wissen wir, dass \(AC \) der Radius des Einheitskreises ist, also \(AC=1 \) . Setzen Sie diesen Wert in unsere Kosinusformel ein. Folgendes passiert:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
Und was ist \(\sin \ \alpha \) aus dem Dreieck \(ACG \) ? Nun, natürlich, \(\sin\alpha=\dfrac(CG)(AC)\)! Setzen Sie den Wert des Radius \ (AC \) in diese Formel ein und erhalten Sie:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Können Sie mir also sagen, was die Koordinaten des Punktes \(C \) sind, der zum Kreis gehört? Nun, auf keinen Fall? Aber was, wenn Sie erkennen, dass \(\cos \ \alpha \) und \(\sin \alpha \) nur Zahlen sind? Welcher Koordinate entspricht \(\cos \alpha \)? Nun, natürlich ist die Koordinate \(x \) ! Und welcher Koordinate entspricht \(\sin \alpha \)? Richtig, die \(y\)-Koordinate! Also der Punkt \(C(x;y)=C(\cos\alpha;\sin\alpha)\).
Was sind dann \(tg \alpha \) und \(ctg \alpha \) ? Das ist richtig, lass uns die entsprechenden Definitionen von Tangens und Kotangens verwenden und das bekommen \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), a \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Was ist, wenn der Winkel größer ist? Hier zum Beispiel, wie auf diesem Bild:
Was hat sich in diesem Beispiel geändert? Finden wir es heraus. Dazu wenden wir uns wieder einem rechtwinkligen Dreieck zu. Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : ein Winkel (als Nebenwinkel \(\beta \) ). Welchen Wert haben Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens für einen Winkel? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Richtig, wir halten uns an die entsprechenden Definitionen trigonometrischer Funktionen:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)
Nun, wie Sie sehen können, entspricht der Wert des Sinus des Winkels immer noch der Koordinate \ (y \) ; der Wert des Kosinus des Winkels - die Koordinate \ (x \) ; und die Werte von Tangens und Kotangens zu den entsprechenden Verhältnissen. Somit sind diese Beziehungen auf beliebige Drehungen des Radiusvektors anwendbar.
Es wurde bereits erwähnt, dass die Anfangsposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der \(x \)-Achse liegt. Bisher haben wir diesen Vektor gegen den Uhrzeigersinn gedreht, aber was passiert, wenn wir ihn im Uhrzeigersinn drehen? Nichts Außergewöhnliches, Sie erhalten auch einen Winkel einer bestimmten Größe, aber nur er wird negativ sein. Wenn wir also den Radiusvektor gegen den Uhrzeigersinn drehen, erhalten wir positive Winkel, und beim Drehen im Uhrzeigersinn - Negativ.
Wir wissen also, dass die gesamte Umdrehung des Radiusvektors um den Kreis \(360()^\circ \) oder \(2\pi \) ist. Ist es möglich, den Radiusvektor um \(390()^\circ \) oder um \(-1140()^\circ \) zu drehen? Nun, natürlich können Sie! Im ersten Fall, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), also macht der Radiusvektor eine volle Umdrehung und stoppt bei \(30()^\circ \) oder \(\dfrac(\pi )(6) \) .
Im zweiten Fall \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), das heißt, der Radiusvektor macht drei vollständige Umdrehungen und stoppt an der Position \(-60()^\circ \) oder \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Aus den obigen Beispielen können wir also schließen, dass Winkel, die sich um \(360()^\circ \cdot m \) oder \(2\pi \cdot m \) unterscheiden (wobei \(m \) eine beliebige ganze Zahl ist) entsprechen der gleichen Position des Radiusvektors.
Die folgende Abbildung zeigt den Winkel \(\beta =-60()^\circ \) . Dasselbe Bild entspricht der Ecke \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) usw. Diese Liste lässt sich beliebig fortführen. Alle diese Winkel können mit der allgemeinen Formel geschrieben werden \(\beta +360()^\circ \cdot m \) oder \(\beta +2\pi \cdot m \) (wobei \(m \) eine beliebige ganze Zahl ist)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
Versuchen Sie nun, nachdem Sie die Definitionen der grundlegenden trigonometrischen Funktionen kennen und den Einheitskreis verwenden, zu beantworten, was die Werte gleich sind:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
Hier ist ein Einheitskreis, der Ihnen hilft:
Irgendwelche Schwierigkeiten? Dann lass es uns herausfinden. Das wissen wir also:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array) \)
Von hier aus bestimmen wir die Koordinaten der Punkte, die bestimmten Winkelmaßen entsprechen. Nun, fangen wir der Reihe nach an: die Ecke rein \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) entspricht einem Punkt mit den Koordinaten \(\left(0;1 \right) \) , also:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- existiert nicht;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Wenn wir uns an die gleiche Logik halten, stellen wir außerdem fest, dass die Ecken innen sind \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) entsprechen Punkten mit Koordinaten \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \right) \), bzw. Mit diesem Wissen ist es einfach, die Werte trigonometrischer Funktionen an den entsprechenden Punkten zu bestimmen. Probieren Sie es zuerst selbst aus und überprüfen Sie dann die Antworten.
Antworten:
\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- existiert nicht
\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rechtspfeil \text(tg)\ 270()^\circ \)- existiert nicht
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin\360()^\circ=0\)
\(\cos\360()^\circ=1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- existiert nicht
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- existiert nicht
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Somit können wir folgende Tabelle erstellen:
Es ist nicht nötig, sich all diese Werte zu merken. Es reicht aus, sich an die Entsprechung zwischen den Koordinaten von Punkten auf dem Einheitskreis und den Werten trigonometrischer Funktionen zu erinnern:
\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Muss sich merken oder ausgeben können!! \) !}
Und hier sind die Werte der trigonometrischen Funktionen der Winkel in und \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) In der folgenden Tabelle müssen Sie Folgendes beachten:
Keine Angst, jetzt zeigen wir eines der Beispiele für ein ziemlich einfaches Auswendiglernen der entsprechenden Werte:
Um diese Methode zu verwenden, ist es wichtig, sich die Sinuswerte für alle drei Winkelmaße zu merken ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), sowie den Wert des Tangens des Winkels in \(30()^\circ \) . Wenn Sie diese \(4\)-Werte kennen, können Sie ganz einfach die gesamte Tabelle wiederherstellen - die Kosinuswerte werden gemäß den Pfeilen übertragen, dh:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(array) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \) Wenn Sie dies wissen, ist es möglich, die Werte für wiederherzustellen \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Der Zähler „\(1 \) “ entspricht \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , und der Nenner „\(\sqrt(\text(3)) \) “ entspricht \ (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangenswerte werden gemäß den in der Abbildung gezeigten Pfeilen übertragen. Wenn Sie dies verstehen und sich an das Schema mit Pfeilen erinnern, reicht es aus, sich nur \ (4 \) Werte aus der Tabelle zu merken.
Koordinaten eines Punktes auf einem Kreis
Ist es möglich, einen Punkt (seine Koordinaten) auf einem Kreis zu finden, wenn man die Koordinaten des Kreismittelpunkts, seinen Radius und seinen Rotationswinkel kennt? Nun, natürlich können Sie! Lassen Sie uns eine allgemeine Formel zum Ermitteln der Koordinaten eines Punktes herleiten. Hier haben wir zum Beispiel einen solchen Kreis:
Dieser Punkt ist uns gegeben \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) ist der Mittelpunkt des Kreises. Der Radius des Kreises ist \(1,5 \) . Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes \(P \) zu finden, die durch Drehen des Punktes \(O \) um \(\delta \) Grad erhalten werden.
Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, entspricht die Koordinate \ (x \) des Punktes \ (P \) der Länge des Segments \ (TP=UQ=UK+KQ \) . Die Länge des Segments \ (UK \) entspricht der Koordinate \ (x \) des Kreismittelpunkts, dh sie ist gleich \ (3 \) . Die Länge des Segments \(KQ \) kann mit der Definition von Kosinus ausgedrückt werden:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Dann haben wir für den Punkt \(P\) die Koordinate \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
Durch die gleiche Logik finden wir den Wert der y-Koordinate für den Punkt \(P \) . Auf diese Weise,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
Allgemein werden die Koordinaten von Punkten also durch die Formeln bestimmt:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), wo
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - Koordinaten des Kreismittelpunkts,
\(r\) - Kreisradius,
\(\delta \) - Rotationswinkel des Vektorradius.
Wie Sie sehen können, sind diese Formeln für den Einheitskreis, den wir betrachten, erheblich reduziert, da die Koordinaten des Zentrums Null sind und der Radius gleich Eins ist:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
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Trigonometrie ist ein Zweig der Mathematik, der trigonometrische Funktionen und ihre Verwendung in der Geometrie untersucht. Die Entwicklung der Trigonometrie begann in den Tagen des antiken Griechenlands. Im Mittelalter leisteten Wissenschaftler aus dem Nahen Osten und Indien einen wichtigen Beitrag zur Entwicklung dieser Wissenschaft.
Dieser Artikel ist den grundlegenden Konzepten und Definitionen der Trigonometrie gewidmet. Es behandelt die Definitionen der wichtigsten trigonometrischen Funktionen: Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens. Ihre Bedeutung im Kontext der Geometrie wird erklärt und illustriert.
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Anfänglich wurden die Definitionen trigonometrischer Funktionen, deren Argument ein Winkel ist, durch das Verhältnis der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks ausgedrückt.
Definitionen trigonometrischer Funktionen
Der Sinus eines Winkels (sin α) ist das Verhältnis des diesem Winkel gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse.
Der Kosinus des Winkels (cos α) ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse.
Der Tangens des Winkels (t g α) ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten.
Der Kotangens des Winkels (c t g α) ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zum gegenüberliegenden.
Diese Definitionen gelten für einen spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks!
Lassen Sie uns eine Illustration geben.
Im Dreieck ABC mit rechtem Winkel C ist der Sinus des Winkels A gleich dem Verhältnis von Schenkel BC zu Hypotenuse AB.
Die Definitionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens ermöglichen es, die Werte dieser Funktionen aus den bekannten Seitenlängen eines Dreiecks zu berechnen.
Wichtig zu merken!
Der Bereich der Sinus- und Kosinuswerte: von -1 bis 1. Mit anderen Worten, Sinus und Kosinus nehmen Werte von -1 bis 1 an. Der Bereich der Tangens- und Kotangenswerte ist die gesamte Zahlenlinie, dh diese Funktionen können beliebige Werte annehmen.
Die oben angegebenen Definitionen beziehen sich auf spitze Winkel. In der Trigonometrie wird das Konzept des Drehwinkels eingeführt, dessen Wert im Gegensatz zu einem spitzen Winkel nicht durch Rahmen von 0 bis 90 Grad begrenzt ist.Der Drehwinkel in Grad oder Bogenmaß wird durch eine beliebige reelle Zahl von ausgedrückt - ∞ bis + ∞.
Dabei kann man Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels beliebiger Größe definieren. Stellen Sie sich einen Einheitskreis vor, dessen Mittelpunkt der Ursprung des kartesischen Koordinatensystems ist.
Der Startpunkt A mit den Koordinaten (1 , 0) dreht sich um einen Winkel α um den Mittelpunkt des Einheitskreises und geht zum Punkt A 1 . Die Definition erfolgt durch die Koordinaten des Punktes A 1 (x, y).
Sinus (sin) des Drehwinkels
Der Sinus des Drehwinkels α ist die Ordinate des Punktes A 1 (x, y). sin α = y
Kosinus (cos) des Drehwinkels
Der Kosinus des Drehwinkels α ist die Abszisse des Punktes A 1 (x, y). cos α = x
Tangens (tg) des Drehwinkels
Der Tangens des Drehwinkels α ist das Verhältnis der Ordinate des Punktes A 1 (x, y) zu seiner Abszisse. t g α = y x
Kotangens (ctg) des Drehwinkels
Der Kotangens des Drehwinkels α ist das Verhältnis der Abszisse des Punktes A 1 (x, y) zu seiner Ordinate. c t g α = x y
Sinus und Cosinus sind für beliebige Drehwinkel definiert. Dies ist logisch, da die Abszisse und Ordinate des Punktes nach der Drehung in jedem beliebigen Winkel bestimmt werden können. Anders verhält es sich mit Tangens und Kotangens. Die Tangente ist nicht definiert, wenn der Punkt nach der Drehung zu dem Punkt mit der Abszisse Null (0 , 1) und (0 , - 1) geht. In solchen Fällen macht der Ausdruck für die Tangente t g α = y x einfach keinen Sinn, da er eine Division durch Null enthält. Ähnlich verhält es sich mit dem Kotangens. Der Unterschied besteht darin, dass der Kotangens in Fällen, in denen die Ordinate des Punktes verschwindet, nicht definiert ist.
Wichtig zu merken!
Sinus und Cosinus sind für beliebige Winkel α definiert.
Die Tangente ist für alle Winkel definiert außer α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)
Der Kotangens ist für alle Winkel definiert außer α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Sagen Sie beim Lösen von praktischen Beispielen nicht "Sinus des Drehwinkels α". Die Wörter "Drehwinkel" werden einfach weggelassen, was impliziert, dass aus dem Kontext bereits klar ist, worum es geht.
Zahlen
Was ist mit der Definition von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens einer Zahl und nicht des Drehwinkels?
Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens einer Zahl
Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens einer Zahl t eine Zahl genannt, die jeweils gleich dem Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens ist t Bogenmaß.
Beispielsweise ist der Sinus von 10 π gleich dem Sinus des Rotationswinkels von 10 π rad.
Es gibt einen anderen Ansatz zur Definition von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens einer Zahl. Betrachten wir es genauer.
Jede reelle Zahl t Ein Punkt auf dem Einheitskreis wird in Übereinstimmung mit dem Mittelpunkt am Ursprung des rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystems gesetzt. Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens werden in Bezug auf die Koordinaten dieses Punktes definiert.
Der Startpunkt auf dem Kreis ist Punkt A mit den Koordinaten (1 , 0).
positive Zahl t
Negative Zahl t entspricht dem Punkt, zu dem sich der Startpunkt bewegt, wenn er sich gegen den Uhrzeigersinn um den Kreis bewegt und den Pfad t passiert.
Nachdem nun die Verbindung zwischen der Zahl und dem Punkt auf dem Kreis hergestellt ist, fahren wir mit der Definition von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens fort.
Sinus (Sünde) der Zahl t
Sinus einer Zahl t- Ordinate des Punkts des Einheitskreises, der der Zahl entspricht t. Sünde t = y
Kosinus (cos) von t
Kosinus einer Zahl t- Abszisse des Punktes des Einheitskreises, der der Zahl entspricht t. Kosten t = x
Tangente (tg) von t
Tangens einer Zahl t- das Verhältnis der Ordinate zur Abszisse des Punktes des Einheitskreises, der der Zahl entspricht t. t g t = y x = sin t cos t
Die letztgenannten Definitionen stimmen mit der Definition zu Beginn dieses Abschnitts überein und widersprechen ihr nicht. Zeigen Sie auf einen Kreis, der einer Zahl entspricht t, fällt mit dem Punkt zusammen, zu dem der Startpunkt nach dem Wenden durch den Winkel führt t Bogenmaß.
Trigonometrische Funktionen des Winkel- und Zahlenarguments
Jeder Wert des Winkels α entspricht einem bestimmten Wert des Sinus und Cosinus dieses Winkels. Wie alle Winkel α außer α = 90 ° + 180 ° · k , entspricht k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) einem bestimmten Wert der Tangente. Der Kotangens ist, wie oben erwähnt, für alle α definiert, außer für α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).
Wir können sagen, dass sin α , cos α , t g α , c t g α Funktionen des Winkels alpha oder Funktionen des Winkelarguments sind.
Ebenso kann man von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens als Funktionen eines numerischen Arguments sprechen. Jede reelle Zahl t entspricht einem bestimmten Wert des Sinus oder Cosinus einer Zahl t. Alle Zahlen außer π 2 + π · k , k ∈ Z, entsprechen dem Wert der Tangente. Der Kotangens ist für alle Zahlen außer π · k , k ∈ Z ähnlich definiert.
Grundfunktionen der Trigonometrie
Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens sind die grundlegenden trigonometrischen Funktionen.
Aus dem Zusammenhang ist meist ersichtlich, mit welchem Argument der Winkelfunktion (Winkelargument oder Zahlenargument) wir es zu tun haben.
Kommen wir zurück zu den Daten ganz am Anfang der Definitionen und dem Winkel Alpha, der im Bereich von 0 bis 90 Grad liegt. Die trigonometrischen Definitionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens stimmen vollständig mit den geometrischen Definitionen überein, die durch die Seitenverhältnisse eines rechtwinkligen Dreiecks gegeben sind. Zeigen wir es.
Nehmen Sie einen Einheitskreis, der auf einem rechteckigen kartesischen Koordinatensystem zentriert ist. Drehen wir den Startpunkt A (1, 0) um einen Winkel von bis zu 90 Grad und zeichnen vom resultierenden Punkt A 1 (x, y) senkrecht zur x-Achse. In dem resultierenden rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel A 1 O H gleich dem Rotationswinkel α, die Länge des Schenkels O H ist gleich der Abszisse des Punktes A 1 (x, y) . Die Länge des Beins gegenüber der Ecke ist gleich der Ordinate des Punktes A 1 (x, y), und die Länge der Hypotenuse ist gleich eins, da sie der Radius des Einheitskreises ist.
Gemäß der Definition aus der Geometrie ist der Sinus des Winkels α gleich dem Verhältnis des Gegenschenkels zur Hypotenuse.
Sünde α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y
Das bedeutet, dass die Definition des Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck durch das Seitenverhältnis gleichbedeutend ist mit der Definition des Sinus des Drehwinkels α, wobei Alpha im Bereich von 0 bis 90 Grad liegt.
Ebenso kann die Übereinstimmung der Definitionen für Cosinus, Tangens und Kotangens gezeigt werden.
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