Das Programm zur Lösung linearer, quadratischer und gebrochener Ungleichungen gibt nicht nur die Lösung der Aufgabe, sondern eine ausführliche Lösung mit Erläuterungen, d.h. zeigt den Lösungsprozess an, um die Kenntnisse in Mathematik und / oder Algebra zu überprüfen.
Wenn beim Lösen einer der Ungleichungen beispielsweise eine quadratische Gleichung gelöst werden muss, wird auch deren detaillierte Lösung angezeigt (sie ist im Spoiler enthalten).
Dieses Programm kann für Gymnasiasten bei der Vorbereitung auf Tests nützlich sein, Eltern können die Lösung von Ungleichheiten durch ihre Kinder kontrollieren.
Dieses Programm kann für Gymnasiasten bei der Vorbereitung auf Tests und Prüfungen, beim Testen von Kenntnissen vor dem Einheitlichen Staatsexamen, für Eltern nützlich sein, um die Lösung vieler Probleme in Mathematik und Algebra zu kontrollieren. Oder ist es Ihnen vielleicht zu teuer, einen Nachhilfelehrer einzustellen oder neue Lehrbücher zu kaufen? Oder willst du einfach nur deine Mathe- oder Algebra-Hausaufgaben so schnell wie möglich erledigen? Auch in diesem Fall können Sie unsere Programme mit einer Detaillösung nutzen.
Auf diese Weise können Sie Ihr eigenes Training und/oder das Training Ihrer jüngeren Geschwister durchführen, während das Bildungsniveau im Bereich der zu lösenden Aufgaben erhöht wird.
Regeln für die Eingabe von Ungleichungen
Jeder lateinische Buchstabe kann als Variable fungieren.
Zum Beispiel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) usw.
Zahlen können als Ganzzahlen oder Brüche eingegeben werden.
Außerdem können Bruchzahlen nicht nur in Form einer Dezimalzahl, sondern auch in Form eines gewöhnlichen Bruchs eingegeben werden.
Regeln für die Eingabe von Dezimalbrüchen.
Bei Dezimalbrüchen kann der Bruchteil entweder durch einen Punkt oder ein Komma von der Ganzzahl getrennt werden.
Sie können beispielsweise Dezimalzahlen wie folgt eingeben: 2,5x - 3,5x^2
Regeln für die Eingabe gewöhnlicher Brüche.
Nur eine ganze Zahl kann als Zähler, Nenner und ganzzahliger Teil eines Bruchs fungieren.
Der Nenner darf nicht negativ sein.
Bei der Eingabe eines Zahlenbruchs wird der Zähler durch ein Divisionszeichen vom Nenner getrennt: /
Der ganzzahlige Teil wird durch ein kaufmännisches Und vom Bruch getrennt: &
Eingabe: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Ergebnis: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)
Bei der Eingabe von Ausdrücken können Klammern verwendet werden. In diesem Fall werden beim Lösen der Ungleichung zunächst die Ausdrücke vereinfacht.
Zum Beispiel: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)
Wählen Sie das gewünschte Ungleichheitszeichen und geben Sie die Polynome in die Felder darunter ein.
Lösen Sie das System der Ungleichungen Es wurde festgestellt, dass einige Skripte, die zur Lösung dieser Aufgabe erforderlich sind, nicht geladen wurden und das Programm möglicherweise nicht funktioniert.
Möglicherweise haben Sie AdBlock aktiviert.
Deaktivieren Sie es in diesem Fall und aktualisieren Sie die Seite.
JavaScript muss aktiviert sein, damit die Lösung angezeigt wird.
Hier finden Sie Anweisungen zum Aktivieren von JavaScript in Ihrem Browser.
weil Es gibt viele Leute, die das Problem lösen möchten, Ihre Anfrage ist in der Warteschlange.
Nach einigen Sekunden erscheint die Lösung unten.
Warten Sie bitte Sek...
Wenn Sie einen Fehler in der Lösung bemerkt, dann kannst du im Feedback - Formular darüber schreiben .
Vergessen Sie nicht angeben, welche Aufgabe du entscheidest was in die Felder eintragen.
Unsere Spiele, Puzzles, Emulatoren:
Ein bisschen Theorie.
Systeme von Ungleichungen mit einer Unbekannten. Numerische Spannen
Du hast in der 7. Klasse den Systembegriff kennengelernt und gelernt, lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten zu lösen. Als nächstes werden Systeme linearer Ungleichungen mit einer Unbekannten betrachtet. Die Lösungsmengen von Ungleichungssystemen können durch Intervalle (Intervalle, Halbintervalle, Segmente, Strahlen) geschrieben werden. Außerdem lernen Sie die Notation von Zahlenintervallen kennen.
Wenn in den Ungleichungen \(4x > 2000 \) und \(5x \leq 4000 \) die unbekannte Zahl x gleich ist, dann werden diese Ungleichungen zusammen betrachtet und man sagt, sie bilden ein Ungleichungssystem: $$ \left\ (\begin( array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right.$$
Die geschweifte Klammer zeigt, dass Sie solche Werte von x finden müssen, für die beide Ungleichungen des Systems zu echten numerischen Ungleichungen werden. Dieses System ist ein Beispiel für ein System linearer Ungleichungen mit einer Unbekannten.
Die Lösung eines Ungleichungssystems mit einer Unbekannten ist der Wert der Unbekannten, bei dem alle Ungleichungen des Systems zu echten numerischen Ungleichungen werden. Ein System von Ungleichungen lösen heißt, alle Lösungen dieses Systems zu finden oder festzustellen, dass es keine gibt.
Die Ungleichungen \(x \geq -2 \) und \(x \leq 3 \) lassen sich als doppelte Ungleichung schreiben: \(-2 \leq x \leq 3 \).
Die Lösungen von Ungleichungssystemen mit einer Unbekannten sind verschiedene Zahlenmengen. Diese Sätze haben Namen. Auf der reellen Achse wird also die Menge der Zahlen x mit \(-2 \leq x \leq 3 \) durch ein Segment dargestellt, das an den Punkten -2 und 3 endet.
| -2 | 3 |
Wenn \(a ein Segment ist und mit [a; b] bezeichnet wird
Wenn \(ein Intervall und bezeichnet mit (a; b)
Mengen von Zahlen \(x \), die die Ungleichungen \(a \leq x um halbe Intervalle erfüllen, werden mit [a; b) bzw. (a; b] bezeichnet
Segmente, Intervalle, Halbintervalle und Strahlen werden genannt numerische Intervalle.
So können numerische Intervalle in Form von Ungleichungen angegeben werden.
Eine Lösung für eine Ungleichung mit zwei Unbekannten ist ein Zahlenpaar (x; y), das diese Ungleichung in eine echte numerische Ungleichung umwandelt. Eine Ungleichung zu lösen bedeutet, die Menge aller ihrer Lösungen zu finden. Die Lösungen der Ungleichung x > y sind also beispielsweise Zahlenpaare (5; 3), (-1; -1), da \(5 \geq 3 \) und \(-1 \geq - 1\)
Systeme von Ungleichungen lösen
Sie haben bereits gelernt, wie man lineare Ungleichungen mit einer Unbekannten löst. Wissen, was ein System von Ungleichheiten und eine Lösung für das System sind. Daher wird Ihnen der Prozess der Lösung von Ungleichungssystemen mit einer Unbekannten keine Schwierigkeiten bereiten.
Und doch erinnern wir uns: Um ein System von Ungleichungen zu lösen, müssen Sie jede Ungleichung separat lösen und dann den Schnittpunkt dieser Lösungen finden.
Beispielsweise wurde das ursprüngliche Ungleichungssystem auf die Form reduziert:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$
Um dieses Ungleichungssystem zu lösen, markieren Sie die Lösung jeder Ungleichung auf der reellen Achse und finden Sie ihren Schnittpunkt:
| -2 | 3 |
Der Schnittpunkt ist das Segment [-2; 3] - das ist die Lösung des ursprünglichen Ungleichungssystems.
Wir vertiefen uns weiter in das Thema „Auflösen von Ungleichungen mit einer Variablen“. Wir kennen bereits lineare Ungleichungen und quadratische Ungleichungen. Sie sind Sonderfälle. rationale Ungleichheiten die wir jetzt studieren werden. Beginnen wir damit, herauszufinden, welche Art von Ungleichheiten als rational bezeichnet werden. Als nächstes werden wir uns mit ihrer Unterteilung in ganzzahlige rationale und gebrochen rationale Ungleichungen befassen. Und danach untersuchen wir, wie die Lösung rationaler Ungleichungen mit einer Variablen durchgeführt wird, schreiben die entsprechenden Algorithmen auf und betrachten die Lösungen typischer Beispiele mit ausführlichen Erklärungen.
Seitennavigation.
Was sind rationale Ungleichheiten?
In der Schule, im Algebraunterricht, sobald das Gespräch über das Lösen von Ungleichungen aufkommt, kommt es sofort zur Begegnung mit rationalen Ungleichungen. Allerdings werden sie zunächst nicht beim richtigen Namen genannt, da die Art der Ungleichheiten in dieser Phase noch wenig interessiert und das Hauptziel darin besteht, erste Fähigkeiten im Umgang mit Ungleichheiten zu erwerben. Der Begriff "rationale Ungleichheit" selbst wird später in der 9. Klasse eingeführt, wenn eine detaillierte Untersuchung von Ungleichheiten dieser besonderen Art beginnt.
Lassen Sie uns herausfinden, was rationale Ungleichheiten sind. Hier ist die Definition:
In der stimmhaften Definition wird nichts über die Anzahl der Variablen gesagt, was bedeutet, dass eine beliebige Anzahl von ihnen erlaubt ist. Abhängig davon werden rationale Ungleichungen mit eins, zwei usw. unterschieden. Variablen. Übrigens gibt das Lehrbuch eine ähnliche Definition, aber für rationale Ungleichungen mit einer Variablen. Dies ist verständlich, da sich die Schule darauf konzentriert, Ungleichungen mit einer Variablen zu lösen (im Folgenden werden wir auch nur über das Lösen rationaler Ungleichungen mit einer Variablen sprechen). Ungleichungen mit zwei Variablen wenig beachtet und Ungleichungen mit drei oder mehr Variablen praktisch gar nicht beachtet.
Eine rationale Ungleichung erkennt man also an ihrer Notation, dazu genügt es, sich die Ausdrücke auf der linken und rechten Seite anzusehen und sich zu vergewissern, dass es sich um rationale Ausdrücke handelt. Diese Überlegungen erlauben es uns, Beispiele für rationale Ungleichungen zu geben. Zum Beispiel x>4 , x 3 +2 y≤5 (y−1) (x 2 +1), sind rationale Ungleichungen. Und Ungleichheit 
ist nicht rational, da seine linke Seite eine Variable unter dem Vorzeichen der Wurzel enthält, und ist daher kein rationaler Ausdruck. Die Ungleichheit ist auch nicht rational, da ihre beiden Teile keine rationalen Ausdrücke sind.
Zur Vereinfachung der weiteren Beschreibung führen wir die Unterteilung rationaler Ungleichungen in ganzzahlige und gebrochene ein.
Definition.
Rationale Ungleichheit wird genannt ganz, wenn beide Teile ganzzahlige rationale Ausdrücke sind.
Definition.
Bruchrationale Ungleichheit ist eine rationale Ungleichung, von der mindestens ein Teil ein Bruchausdruck ist.
Also 0,5 x≤3 (2−5 y) , 
sind ganzzahlige Ungleichungen, und 1:x+3>0 und 
- teilweise rational.
Jetzt haben wir ein klares Verständnis davon, was rationale Ungleichungen sind, und wir können sicher beginnen, uns mit den Prinzipien der Lösung ganzzahliger und gebrochen rationaler Ungleichungen mit einer Variablen zu befassen.
Ganzzahlige Ungleichungen lösen
Stellen wir uns die Aufgabe: Wir müssen eine ganzzahlige rationale Ungleichung mit einer Variablen x der Form r(x) lösen
Wir verschieben den Ausdruck von rechts nach links, was uns zu einer äquivalenten Ungleichung der Form r(x) − s(x) führt.<0 (≤, >, ≥) mit Null rechts. Offensichtlich ist auch der auf der linken Seite gebildete Ausdruck r(x)−s(x) eine ganze Zahl, und es ist bekannt, dass jeder . Nachdem wir den Ausdruck r(x)−s(x) in das identisch gleiche Polynom h(x) transformiert haben (hier bemerken wir, dass die Ausdrücke r(x)−s(x) und h(x) dieselbe Variable x haben), wir gehen zur äquivalenten Ungleichung h(x) über<0 (≤, >, ≥).
In den einfachsten Fällen reichen die durchgeführten Transformationen aus, um die gewünschte Lösung zu erhalten, da sie uns von der ursprünglichen ganzzahligen rationalen Ungleichung zu einer Ungleichung führen, die wir lösen können, beispielsweise zu einer linearen oder quadratischen. Betrachten Sie Beispiele.
Beispiel.
Finden Sie eine Lösung für die ganze rationale Ungleichung x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1 .
Entscheidung.
Zuerst verschieben wir den Ausdruck von rechts nach links: x (x+3)+2 x−(x+1) 2 −1≤0. Nachdem wir alles auf der linken Seite erledigt haben, erhalten wir die lineare Ungleichung 3·x−2≤0 , die der ursprünglichen ganzzahligen Ungleichung entspricht. Seine Lösung ist nicht schwierig:
3 x≤2 ,
x≤2/3 .
Antworten:
x≤2/3 .
Beispiel.
Löse die Ungleichung (x 2 +1) 2 −3 x 2 >(x 2 − x) (x 2 + x).
Entscheidung.
Wir beginnen wie üblich damit, den Ausdruck von der rechten Seite zu verschieben, und führen dann Transformationen auf der linken Seite durch mit:
(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0,
x 4 +2 x 2 +1−3 x 2 − x 4 + x 2 > 0,
1>0
.
Durch äquivalente Transformationen sind wir also auf die Ungleichung 1>0 gekommen, die für alle Werte der Variablen x gilt. Und das bedeutet, dass die Lösung der ursprünglichen ganzzahligen Ungleichung eine beliebige reelle Zahl ist.
Antworten:
x - beliebig.
Beispiel.
Löse die Ungleichung x+6+2 x 3 −2 x (x 2 +x−5)>0.
Entscheidung.
Auf der rechten Seite befindet sich eine Null, daher muss nichts davon bewegt werden. Lassen Sie uns den gesamten Ausdruck auf der linken Seite in ein Polynom umwandeln:
x+6+2 x 3 −2 x 3 −2 x 2 +10 x>0,
−2 x 2 +11 x+6>0 .
Wir haben eine quadratische Ungleichung erhalten, die der ursprünglichen Ungleichung entspricht. Wir lösen es mit jeder uns bekannten Methode. Wir werden die quadratische Ungleichung grafisch lösen.
Finden Sie die Wurzeln des quadratischen Trinoms −2 x 2 +11 x+6 : 
Wir machen eine schematische Zeichnung, auf der wir die gefundenen Nullstellen markieren, und berücksichtigen, dass die Zweige der Parabel nach unten gerichtet sind, da der führende Koeffizient negativ ist: 
Da wir die Ungleichung mit dem >-Zeichen lösen, interessieren uns die Intervalle, in denen sich die Parabel über der x-Achse befindet. Dies findet im Intervall (−0.5, 6) statt und ist die gewünschte Lösung.
Antworten:
(−0,5, 6) .
In komplizierteren Fällen auf der linken Seite der erhaltenen Ungleichung h(x)<0 (≤, >, ≥) ein Polynom dritten oder höheren Grades. Um solche Ungleichungen zu lösen, eignet sich die Intervallmethode, bei der man im ersten Schritt alle Nullstellen des Polynoms h (x) finden muss, was oft durchgezogen wird.
Beispiel.
Finde eine Lösung für die ganze rationale Ungleichung (x 2 +2) (x+4)<14−9·x .
Entscheidung.
Bewegen wir alles auf die linke Seite, danach dort und:
(x 2 +2) (x+4)−14+9 x<0
,
x 3 +4 x 2 +2 x+8−14+9 x<0
,
x 3 +4 x 2 +11 x−6<0
.
Die durchgeführten Manipulationen führen uns zu einer Ungleichheit, die der ursprünglichen äquivalent ist. Auf seiner linken Seite befindet sich ein Polynom dritten Grades. Es kann mit der Intervallmethode gelöst werden. Dazu müssen Sie zunächst die Wurzeln des Polynoms finden, das auf x 3 +4 x 2 +11 x−6=0 beruht. Lassen Sie uns herausfinden, ob es rationale Wurzeln hat, die nur unter den Teilern des freien Terms sein können, dh unter den Zahlen ±1, ±2, ±3, ±6. Setzen wir diese Zahlen wiederum anstelle der Variablen x in die Gleichung x 3 +4 x 2 +11 x−6=0 ein, finden wir heraus, dass die Wurzeln der Gleichung die Zahlen 1 , 2 und 3 sind. Damit können wir das Polynom x 3 +4 x 2 +11 x−6 als Produkt (x−1) (x−2) (x−3) und die Ungleichung x 3 +4 x 2 +11 x− darstellen 6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.
Und dann bleiben noch die Standardschritte der Intervallmethode durchzuführen: Punkte auf dem Zahlenstrahl mit den Koordinaten 1, 2 und 3 markieren, die diesen Strich in vier Intervalle teilen, Vorzeichen bestimmen und setzen, Schraffur über die Intervalle mit Minuszeichen ziehen (da wir eine Ungleichung mit einem Vorzeichen lösen<) и записать ответ.
Daraus folgt (−∞, 1)∪(2, 3) .
Antworten:
(−∞, 1)∪(2, 3) .
Es sollte beachtet werden, dass es manchmal unpraktisch ist, da die Ungleichung r(x) − s(x)<0 (≤, >, ≥) auf die Ungleichung h(x) übergehen<0 (≤, >, ≥), wobei h(x) ein Polynom vom Grad größer als zwei ist. Dies gilt für Fälle, in denen es schwieriger ist, das Polynom h(x) zu faktorisieren, als den Ausdruck r(x) − s(x) als Produkt von linearen Binomen und quadratischen Trinomen darzustellen, beispielsweise durch Einklammern des gemeinsamen Faktors. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels erläutern.
Beispiel.
Löse die Ungleichung (x 2 −2 x−1) (x 2 −19)≥2 x (x 2 −2 x−1).
Entscheidung.
Das ist eine ganze Ungleichheit. Wenn wir den Ausdruck von seiner rechten Seite auf die linke Seite verschieben, dann die Klammern öffnen und ähnliche Terme einbringen, erhalten wir die Ungleichung x 4 −4 x 3 −16 x 2 +40 x+19≥0. Die Lösung ist sehr schwierig, da es darum geht, die Wurzeln eines Polynoms vierten Grades zu finden. Es ist leicht zu überprüfen, dass es keine rationalen Wurzeln hat (es könnten die Zahlen 1, -1, 19 oder -19 sein), und es ist problematisch, nach seinen anderen Wurzeln zu suchen. Daher ist dieser Weg eine Sackgasse.
Lassen Sie uns nach anderen möglichen Lösungen suchen. Es ist leicht zu sehen, dass wir nach Übertragung des Ausdrucks von der rechten Seite der ursprünglichen ganzzahligen Ungleichung auf die linke Seite den gemeinsamen Faktor x 2 −2 x −1 aus Klammern nehmen können:
(x 2 – 2 x – 1) (x 2 – 19) – 2 x (x 2 – 2 x – 1)≥0,
(x 2 – 2 x – 1) (x 2 – 2 x – 19)≥0.
Die durchgeführte Transformation ist äquivalent, sodass die Lösung der resultierenden Ungleichung die Lösung der ursprünglichen Ungleichung ist.
Und jetzt können wir die Nullstellen des Ausdrucks finden, die sich auf der linken Seite der resultierenden Ungleichung befinden, dafür brauchen wir x 2 −2 x−1=0 und x 2 −2 x−19=0 . Ihre Wurzeln sind Zahlen 
. Dies ermöglicht uns, zu einer äquivalenten Ungleichung überzugehen, und wir können sie mit der Intervallmethode lösen: 
Entsprechend der Zeichnung schreiben wir die Antwort auf.
Antworten:
Zum Abschluss dieses Absatzes möchte ich nur hinzufügen, dass es bei weitem nicht immer möglich ist, alle Wurzeln des Polynoms h (x) zu finden und es folglich in ein Produkt aus linearen Binomen und quadratischen Trinomen zu entwickeln. In diesen Fällen gibt es keine Möglichkeit, die Ungleichung h(x) zu lösen<0 (≤, >, ≥), was bedeutet, dass es keine Möglichkeit gibt, eine Lösung für die ursprüngliche ganze rationale Gleichung zu finden.
Lösung fraktional rationaler Ungleichungen
Beschäftigen wir uns nun mit der Lösung eines solchen Problems: Es sei gefordert, eine gebrochen rationale Ungleichung mit einer Variablen x der Form r(x) zu lösen
Algorithmus zum Lösen einer gebrochen rationalen Ungleichung mit einer Variablen r(x)
- Zuerst müssen Sie den Bereich akzeptabler Werte (ODV) der Variablen x für die ursprüngliche Ungleichung finden.
- Als nächstes müssen Sie den Ausdruck von der rechten Seite der Ungleichung auf die linke übertragen, und der dort gebildete Ausdruck r(x) − s(x) sollte in die Form eines Bruchs p(x)/q(x) umgewandelt werden ) , wobei p(x) und q(x) ganzzahlige Ausdrücke sind, die Produkte linearer Binome, unzerlegbarer quadratischer Trinome und ihrer Potenzen mit einem natürlichen Exponenten sind.
- Als nächstes müssen Sie die resultierende Ungleichung mit der Methode der Intervalle lösen.
- Schließlich ist es aus der im vorherigen Schritt erhaltenen Lösung notwendig, Punkte auszuschließen, die nicht im DPV der x-Variablen für die im ersten Schritt gefundene ursprüngliche Ungleichung enthalten sind.
Somit wird die gewünschte Lösung der gebrochen rationalen Ungleichung erhalten.
Der zweite Schritt des Algorithmus bedarf einiger Erläuterung. Die Übertragung des Ausdrucks von der rechten Seite der Ungleichung auf die linke Seite ergibt die Ungleichung r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), was dem Original entspricht. Hier ist alles klar. Aber Fragen werden durch seine weitere Transformation in die Form p(x)/q(x) aufgeworfen<0 (≤, >, ≥).
Die erste Frage lautet: „Ist es immer möglich, sie durchzuführen“? Theoretisch ja. Wir wissen, dass alles möglich ist. Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs sind Polynome. Und aus dem Fundamentalsatz der Algebra und dem Satz von Bezout folgt, dass jedes Polynom vom Grad n mit einer Variablen als Produkt linearer Binome dargestellt werden kann. Dies erklärt die Möglichkeit, diese Transformation durchzuführen.
In der Praxis ist es ziemlich schwierig, Polynome zu faktorisieren, und wenn ihr Grad höher als der vierte ist, dann ist es nicht immer möglich. Wenn eine Faktorisierung nicht möglich ist, gibt es keine Möglichkeit, eine Lösung für die ursprüngliche Ungleichung zu finden, aber solche Fälle treten normalerweise nicht in der Schule auf.
Zweite Frage: „Wird die Ungleichung p(x)/q(x)<0
(≤, >, ≥) ist äquivalent zur Ungleichung r(x)−s(x)<0
(≤, >, ≥), und damit auch das Original“? Es kann entweder gleich oder ungleich sein. Es ist äquivalent, wenn die ODZ für den Ausdruck p(x)/q(x) dieselbe ist wie die ODZ für den Ausdruck r(x)−s(x) . In diesem Fall ist der letzte Schritt des Algorithmus redundant. Aber der DPV für den Ausdruck p(x)/q(x) kann breiter sein als der DPV für den Ausdruck r(x) – s(x) . Die Erweiterung der ODZ kann erfolgen, wenn Fraktionen reduziert werden, wie zum Beispiel bei einem Umzug aus 
zu . Auch der Ausbau der ODZ kann durch die Kürzung ähnlicher Laufzeiten, wie beispielsweise beim Übergang, erleichtert werden 
zu . Für diesen Fall ist der letzte Schritt des Algorithmus vorgesehen, der Fremdlösungen aus der Erweiterung der ODZ eliminiert. Lassen Sie uns dies im Auge behalten, wenn wir unten die Lösungen der Beispiele analysieren.
Wir analysieren weiterhin Wege zur Lösung von Ungleichungen, die eine Variable in ihrer Zusammensetzung haben. Wir haben bereits lineare und quadratische Ungleichungen untersucht, die Spezialfälle rationaler Ungleichungen sind. In diesem Artikel werden wir klären, welche Art von Ungleichungen rational sind, wir werden Ihnen sagen, in welche Arten sie unterteilt sind (ganzzahlig und gebrochen). Danach zeigen wir, wie man sie richtig löst, geben die notwendigen Algorithmen an und analysieren spezifische Probleme.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Das Konzept der rationalen Gleichheiten
Wenn in der Schule das Thema der Lösung von Ungleichheiten behandelt wird, nehmen sie sofort rationale Ungleichungen. Sie erwerben und verfeinern die Fähigkeiten, mit dieser Art von Ausdruck zu arbeiten. Lassen Sie uns die Definition dieses Begriffs formulieren:
Bestimmung 1
Eine rationale Ungleichung ist eine Ungleichung mit Variablen, die in beiden Teilen rationale Ausdrücke enthält.
Beachten Sie, dass die Definition die Anzahl der Variablen in keiner Weise beeinflusst, was bedeutet, dass es beliebig viele davon geben kann. Daher sind rationale Ungleichungen mit 1, 2, 3 oder mehr Variablen möglich. Meistens hat man es mit Ausdrücken zu tun, die nur eine Variable enthalten, seltener zwei, und Ungleichungen mit vielen Variablen werden im Rahmen eines Schulkurses meist gar nicht berücksichtigt.
Daher können wir eine rationale Ungleichung lernen, indem wir uns ihre Notation ansehen. Sowohl auf der rechten als auch auf der linken Seite sollte es rationale Ausdrücke haben. Hier sind einige Beispiele:
x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2
Und hier ist eine Ungleichung der Form 5 + x + 1< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.
Alle rationalen Ungleichungen werden in ganze und gebrochene Ungleichungen unterteilt.
Bestimmung 2
Eine ganzzahlige rationale Gleichheit besteht aus ganzzahligen rationalen Ausdrücken (in beiden Teilen).
Bestimmung 3
Teilweise rationale Gleichheit- Dies ist eine Gleichheit, die einen Bruchausdruck in einem oder beiden ihrer Teile enthält.
Beispielsweise sind Ungleichungen der Form 1 + x – 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 – 2 1 3 x – 1 > 4 – x 4 und 1 – 2 3 5 – y > 1 x 2 – y 2 Bruch rational und 0,5 x ≤ 3 (2 − 5 y) und 1: x + 3 > 0- ganz.
Wir haben analysiert, was rationale Ungleichheiten sind, und ihre Haupttypen identifiziert. Wir können zu einer Übersicht übergehen, wie man sie löst.
Angenommen, wir müssen Lösungen für eine ganzzahlige rationale Ungleichung finden r(x)< s (x) , die nur eine Variable x enthält. Dabei r(x) und s(x) beliebige ganzzahlige rationale Zahlen oder Ausdrücke sind und das Ungleichheitszeichen unterschiedlich sein kann. Um diese Aufgabe zu lösen, müssen wir sie transformieren und eine äquivalente Gleichheit erhalten.
Beginnen wir damit, den Ausdruck von rechts nach links zu verschieben. Wir erhalten Folgendes:
der Form r (x) − s (x)< 0 (≤ , > , ≥)
Wir wissen das r(x) − s(x) ist ein ganzzahliger Wert, und jeder ganzzahlige Ausdruck kann in ein Polynom konvertiert werden. Verwandeln wir uns r(x) − s(x) in h(x) . Dieser Ausdruck ist ein identisch gleiches Polynom. In Anbetracht dessen, dass r (x) − s (x) und h (x) den gleichen Bereich möglicher Werte von x haben, können wir zu den Ungleichungen h (x) übergehen< 0 (≤ , >, ≥) , was dem Original entspricht.
Oft reicht eine solche einfache Transformation aus, um die Ungleichung zu lösen, da das Ergebnis eine lineare oder quadratische Ungleichung sein kann, deren Wert nicht schwer zu berechnen ist. Werfen wir einen Blick auf diese Probleme.
Beispiel 1
Zustand: eine ganzzahlige rationale Ungleichung lösen x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.
Entscheidung
Beginnen wir damit, den Ausdruck von der rechten Seite auf die linke Seite mit umgekehrtem Vorzeichen zu übertragen.
x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0
Nachdem wir alle Operationen mit Polynomen auf der linken Seite abgeschlossen haben, können wir uns der linearen Ungleichung zuwenden 3 x − 2 ≤ 0, entspricht dem, was in der Bedingung angegeben wurde. Die Lösung ist einfach:
3 x ≤ 2 x ≤ 2 3
Antworten: x ≤ 2 3 .
Beispiel 2
Zustand: eine Lösung für die Ungleichung finden (x 2 + 1) 2 - 3 x 2 > (x 2 - x) (x 2 + x).
Entscheidung
Wir übertragen den Ausdruck von der linken Seite auf die rechte Seite und führen weitere Transformationen mit den abgekürzten Multiplikationsformeln durch.
(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0
Als Ergebnis unserer Transformationen haben wir eine Ungleichung erhalten, die für alle Werte von x gilt, daher kann jede reelle Zahl die Lösung der ursprünglichen Ungleichung sein.
Antworten: jede reelle Zahl.
Beispiel 3
Zustand: die Ungleichung lösen x + 6 + 2 x 3 − 2 x (x 2 + x − 5) > 0.
Entscheidung
Wir werden nichts von der rechten Seite übertragen, da es 0 gibt. Beginnen wir gleich damit, die linke Seite in ein Polynom umzuwandeln:
x + 6 + 2 x 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 10 x > 0 − 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .
Wir haben eine der ursprünglichen äquivalente quadratische Ungleichung hergeleitet, die mit mehreren Methoden leicht gelöst werden kann. Wenden wir die grafische Methode an.
Beginnen wir mit der Berechnung der Wurzeln des quadratischen Trinoms − 2 x 2 + 11 x + 6:
D \u003d 11 2 - 4 (- 2) 6 \u003d 169 x 1 \u003d - 11 + 169 2 - 2, x 2 \u003d - 11 - 169 2 - 2 x 1 \u003d - 0, 5, x 2 \ u003d 6
Jetzt markieren wir im Diagramm alle notwendigen Nullen. Da der führende Koeffizient kleiner als Null ist, sehen die Zweige der Parabel im Diagramm nach unten.
Wir brauchen eine über der Abszissenachse liegende Parabelfläche, da wir in der Ungleichung ein >-Zeichen haben. Das gewünschte Intervall ist (− 0 , 5 , 6) Daher wird dieser Wertebereich die Lösung sein, die wir brauchen.
Antworten: (− 0 , 5 , 6) .
Es gibt auch kompliziertere Fälle, in denen links ein Polynom dritten oder höheren Grades erhalten wird. Um eine solche Ungleichung zu lösen, empfiehlt es sich, die Intervallmethode zu verwenden. Zuerst berechnen wir alle Wurzeln des Polynoms h(x), was meistens durch Faktorisieren eines Polynoms erfolgt.
Beispiel 4
Zustand: berechnen (x 2 + 2) (x + 4)< 14 − 9 · x .
Entscheidung
Beginnen wir wie immer damit, den Ausdruck auf die linke Seite zu verschieben, danach müssen die Klammern geöffnet und ähnliche Begriffe reduziert werden.
(x 2 + 2) (x + 4) − 14 + 9 x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0
Als Ergebnis der Transformationen erhalten wir eine der ursprünglichen äquivalente Gleichheit, auf deren linker Seite sich ein Polynom dritten Grades befindet. Zur Lösung wenden wir die Intervallmethode an.
Zuerst berechnen wir die Wurzeln des Polynoms, für das wir die kubische Gleichung lösen müssen x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 = 0. Hat es rationale Wurzeln? Sie können nur unter den Teilern des freien Begriffs stehen, d.h. unter den Zahlen ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 . Wir setzen sie wiederum in die ursprüngliche Gleichung ein und finden heraus, dass die Zahlen 1, 2 und 3 ihre Wurzeln sein werden.
Also das Polynom x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 kann als Produkt bezeichnet werden (x − 1) (x − 2) (x − 3), und Ungleichheit x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 kann dargestellt werden als (x − 1) (x − 2) (x − 3)< 0 . Mit einer solchen Ungleichung wird es uns dann leichter fallen, die Vorzeichen der Intervalle zu bestimmen.
Als nächstes führen wir die restlichen Schritte der Intervallmethode aus: Zeichnen Sie einen Zahlenstrahl und Punkte darauf mit den Koordinaten 1 , 2 , 3 . Sie teilen die gerade Linie in 4 Intervalle, in denen die Vorzeichen bestimmt werden müssen. Wir schattieren die Lücken mit einem Minus, da die ursprüngliche Ungleichung das Vorzeichen hat < .
Wir müssen nur die fertige Antwort aufschreiben: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
Antworten: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
Führen Sie in einigen Fällen den Übergang von der Ungleichung r (x) − s (x) durch< 0 (≤ , >, ≥) bis h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , wo h(x)– ein Polynom größer als 2 ist ungeeignet. Dies gilt auch für Fälle, in denen es einfacher ist, r(x) − s(x) als Produkt linearer Binome und quadratischer Trinome darzustellen, als h(x) in separate Faktoren zu zerlegen. Werfen wir einen Blick auf dieses Problem.
Beispiel 5
Zustand: eine Lösung für die Ungleichung finden (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) ≥ 2 x (x 2 − 2 x − 1).
Entscheidung
Diese Ungleichung gilt für ganze Zahlen. Wenn wir den Ausdruck von der rechten Seite nach links verschieben, die Klammern öffnen und die Reduktion der Terme durchführen, erhalten wir x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 .
Das Lösen einer solchen Ungleichung ist nicht einfach, da man die Wurzeln eines Polynoms vierten Grades suchen muss. Es hat keine rationale Wurzel (zum Beispiel 1 , − 1 , 19 oder − 19 passen nicht), und es ist schwierig, nach anderen Wurzeln zu suchen. Daher können wir diese Methode nicht verwenden.
Aber es gibt auch andere Lösungen. Wenn wir die Ausdrücke von der rechten Seite der ursprünglichen Ungleichung auf die linke Seite übertragen, dann können wir die Klammerung des gemeinsamen Faktors durchführen x 2 − 2 x − 1:
(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .
Wir haben eine Ungleichung erhalten, die der ursprünglichen äquivalent ist, und ihre Lösung wird uns die erforderliche Antwort geben. Finden Sie die Nullstellen des Ausdrucks auf der linken Seite, für die wir die quadratischen Gleichungen lösen x 2 − 2 x − 1 = 0 und x 2 − 2 x − 19 = 0. Ihre Wurzeln sind 1 ± 2 , 1 ± 2 5 . Wir wenden uns der Gleichung x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0 zu, die mit der Intervallmethode gelöst werden kann:
Laut Bild lautet die Antwort - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .
Antworten: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .
Wir fügen hinzu, dass es manchmal nicht möglich ist, alle Wurzeln eines Polynoms zu finden h(x), daher können wir es nicht als Produkt linearer Binome und quadratischer Trinome darstellen. Dann löse eine Ungleichung der Form h (x)< 0 (≤ , >, ≥) können wir nicht, also ist es auch unmöglich, die ursprüngliche rationale Ungleichung zu lösen.
Angenommen, wir müssen gebrochen rationale Ungleichungen der Form r (x) lösen< s (x) (≤ , >, ≥) , wobei r (x) und s(x) sind rationale Ausdrücke, x ist eine Variable. Mindestens einer der angegebenen Ausdrücke ist ein Bruch. Der Lösungsalgorithmus lautet in diesem Fall wie folgt:
- Wir bestimmen den Bereich akzeptabler Werte für die Variable x .
- Wir übertragen den Ausdruck von der rechten Seite der Ungleichung auf die linke Seite und den resultierenden Ausdruck r(x) − s(x) als Bruch dargestellt. In der Zwischenzeit, wo p(x) und q(x) werden ganzzahlige Ausdrücke sein, die Produkte linearer Binome, unzerlegbarer quadratischer Trinome sowie Potenzen mit einem natürlichen Exponenten sind.
- Als nächstes lösen wir die resultierende Ungleichung mit der Intervallmethode.
- Der letzte Schritt besteht darin, die während der Lösung erhaltenen Punkte aus dem Bereich der akzeptablen Werte für die x-Variable auszuschließen, die wir zu Beginn definiert haben.
Dies ist der Algorithmus zum Lösen einer gebrochen rationalen Ungleichung. Das meiste ist klar, kleine Erklärungen sind nur für Absatz 2 erforderlich. Wir haben den Ausdruck von rechts nach links verschoben und erhalten r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) , und wie man es dann in die Form bringt p (x) q (x)< 0 (≤ , > , ≥) ?
Zuerst bestimmen wir, ob eine gegebene Transformation immer durchgeführt werden kann. Theoretisch besteht immer eine solche Möglichkeit, da jeder rationale Ausdruck in einen rationalen Bruch umgewandelt werden kann. Hier haben wir einen Bruch mit Polynomen im Zähler und Nenner. Erinnern Sie sich an den fundamentalen Satz der Algebra und den Satz von Bezout und stellen Sie fest, dass jedes Polynom n-ten Grades, das eine Variable enthält, in ein Produkt linearer Binome transformiert werden kann. Daher können wir den Ausdruck theoretisch immer auf diese Weise umwandeln.
In der Praxis ist das Faktorisieren von Polynomen oft eine ziemlich schwierige Aufgabe, insbesondere wenn der Grad größer als 4 ist. Wenn wir die Erweiterung nicht durchführen können, werden wir diese Ungleichheit nicht lösen können, aber solche Probleme werden normalerweise nicht im Rahmen des Schulunterrichts untersucht.
Als nächstes müssen wir entscheiden, ob die resultierende Ungleichung p (x) q (x)< 0 (≤ , >, ≥) äquivalent zu r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) und zum Original. Es besteht die Möglichkeit, dass es sich als ungleich herausstellt.
Die Äquivalenz der Ungleichheit wird gewährleistet, wenn der Bereich akzeptabler Werte liegt p(x)q(x) entspricht dem Bereich des Ausdrucks r(x) − s(x). Dann braucht der letzte Absatz der Anleitung zum Lösen gebrochen rationaler Ungleichungen nicht befolgt zu werden.
Aber die Reichweite für p(x)q(x) kann breiter sein als r(x) − s(x), beispielsweise durch Kürzung von Brüchen. Ein Beispiel wäre, von x x - 1 3 x - 1 2 x + 3 zu x x - 1 x + 3 zu gehen. Oder dies kann passieren, wenn ähnliche Begriffe hinzugefügt werden, z. B. hier:
x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 bis 1 x + 3
Für solche Fälle wird der letzte Schritt des Algorithmus hinzugefügt. Durch die Ausführung werden Sie die Fremdwerte der Variablen los, die durch die Erweiterung des Bereichs gültiger Werte entstehen. Nehmen wir ein paar Beispiele, um klarer zu machen, wovon wir sprechen.
Beispiel 6
Zustand: Finden Sie Lösungen für die rationale Gleichheit x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 x x - 3 2 x + 1 .
Entscheidung
Wir handeln nach dem oben angegebenen Algorithmus. Zuerst bestimmen wir den Bereich der akzeptablen Werte. In diesem Fall wird sie durch das Ungleichungssystem x + 1 x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 (x + 1) ≠ 0 bestimmt, dessen Lösung die Menge (− ∞ , − ist 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0
Danach müssen wir es so umwandeln, dass es bequem ist, die Intervallmethode anzuwenden. Zunächst bringen wir algebraische Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner (x − 3) 2 (x + 1):
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)
Wir reduzieren den Ausdruck im Zähler, indem wir die Formel des Quadrats der Summe anwenden:
x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1
Der Bereich gültiger Werte des resultierenden Ausdrucks ist (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) . Wir sehen, dass es ähnlich dem ist, das für die ursprüngliche Gleichheit definiert wurde. Wir schließen daraus, dass die Ungleichung x + 2 2 x - 3 2 x + 1 ≥ 0 äquivalent zur ursprünglichen ist, was bedeutet, dass wir den letzten Schritt des Algorithmus nicht benötigen.
Wir verwenden die Intervallmethode:
Wir sehen die Lösung ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) , die die Lösung der ursprünglichen rationalen Ungleichung x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 sein wird x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .
Antworten: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .
Beispiel 7
Zustand: Berechnen Sie die Lösung x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 .
Entscheidung
Wir bestimmen den Bereich der zulässigen Werte. Im Falle dieser Ungleichung ist sie allen reellen Zahlen außer − 2 , − 1 , 0 und gleich 1 .
Wir verschieben die Ausdrücke von rechts nach links:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0
Angesichts des Ergebnisses schreiben wir:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1
Für den Ausdruck - 1 x - 1 ist der Bereich gültiger Werte die Menge aller reellen Zahlen außer einer. Wir sehen, dass sich der Wertebereich erweitert hat: − 2 , − 1 und 0 . Also müssen wir den letzten Schritt des Algorithmus ausführen.
Da wir bei der Ungleichung - 1 x - 1 > 0 angelangt sind, können wir ihr Äquivalent 1 x - 1 schreiben< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .
Wir schließen Punkte aus, die nicht im Bereich der akzeptablen Werte der ursprünglichen Gleichheit enthalten sind. Wir müssen aus (− ∞ , 1) die Zahlen − 2 , − 1 und ausschließen 0 . Somit wird die Lösung der rationalen Ungleichung x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 die Werte (− ∞ , − 2 ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
Antworten: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
Abschließend geben wir noch ein Beispiel für ein Problem, bei dem die endgültige Antwort vom Bereich der zulässigen Werte abhängt.
Beispiel 8
Zustand: Finde die Lösung der Ungleichung 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 .
Entscheidung
Der Bereich der zulässigen Werte der in der Bedingung angegebenen Ungleichung wird durch das System x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 bestimmt - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0.
Dieses System hat keine Lösungen, weil
x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0
Dies bedeutet, dass die ursprüngliche Gleichheit 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 keine Lösung hat, da es keine solchen Werte der Variablen gibt, für die sie gelten würde Sinn ergeben.
Antworten: es gibt keine lösungen.
Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Enter
In dem Artikel werden wir darüber nachdenken Lösung von Ungleichungen. Reden wir offen darüber wie man eine Lösung für Ungleichheiten entwickelt mit anschaulichen Beispielen!
Bevor wir die Lösung von Ungleichungen anhand von Beispielen betrachten, wollen wir uns mit den grundlegenden Konzepten befassen.
Einführung in Ungleichheiten
Ungleichheit heißt ein Ausdruck, in dem Funktionen durch Beziehungszeichen >, verbunden sind. Ungleichheiten können sowohl numerisch als auch alphabetisch sein.
Ungleichungen mit zwei Beziehungszeichen heißen doppelt, mit drei - dreifach usw. Zum Beispiel:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x)b(x).
a(x) Ungleichungen, die das Zeichen > oder oder enthalten, sind nicht streng.
Ungleichheitslösung ein beliebiger Wert der Variablen ist, für den diese Ungleichung gilt.
"Löse die Ungleichung" bedeutet, dass Sie die Menge aller Lösungen finden müssen. Es gibt verschiedene Methoden zur Lösung von Ungleichungen. Für Ungleichheit Lösungen Verwenden Sie einen Zahlenstrahl, der unendlich ist. Zum Beispiel, Lösung der Ungleichung x > 3 ist ein Intervall von 3 bis +, und die Zahl 3 ist nicht in diesem Intervall enthalten, daher wird der Punkt auf der Linie durch einen leeren Kreis gekennzeichnet, weil die Ungleichheit ist streng. 
+
Die Antwort lautet: x (3; +).
Der Wert x=3 ist nicht in der Menge der Lösungen enthalten, daher ist die Klammer rund. Das Unendlichkeitszeichen steht immer in einer Klammer. Das Zeichen bedeutet „Zugehörigkeit“.
Überlegen Sie, wie Sie Ungleichungen anhand eines anderen Beispiels mit dem Vorzeichen lösen können:
x2
-
+
Der Wert x = 2 ist in der Lösungsmenge enthalten, daher werden die eckige Klammer und der Punkt auf der Geraden durch einen gefüllten Kreis gekennzeichnet.
Die Antwort lautet: x )
