Einige algebraische Beispiele der einen Art können Schulkinder erschrecken. Lange Ausdrücke sind nicht nur einschüchternd, sondern auch sehr schwer zu berechnen. Versuchen, das Folgende und das Folgende sofort zu verstehen, um nicht lange verwirrt zu sein. Aus diesem Grund versuchen Mathematiker immer, die "schreckliche" Aufgabe so weit wie möglich zu vereinfachen und erst dann an die Lösung zu gehen. Seltsamerweise beschleunigt ein solcher Trick den Prozess erheblich.

Vereinfachung ist einer der grundlegenden Punkte in der Algebra. Wenn bei einfachen Aufgaben noch darauf verzichtet werden kann, dann können schwieriger zu berechnende Beispiele „zu schwer“ sein. Hier kommen diese Fähigkeiten ins Spiel! Darüber hinaus sind keine komplexen mathematischen Kenntnisse erforderlich: Es reicht aus, sich nur einige grundlegende Techniken und Formeln zu merken und zu lernen, wie man sie in die Praxis umsetzt.

Unabhängig von der Komplexität der Berechnungen ist dies beim Lösen eines Ausdrucks wichtig Folgen Sie der Reihenfolge der Operationen mit Zahlen:

1. Klammern;
2. Potenzierung;
3. Multiplikation;
4. Aufteilung;
5. Zusatz;
6. Subtraktion.

Die letzten beiden Punkte können bedenkenlos vertauscht werden, was das Ergebnis in keiner Weise beeinflusst. Aber das Addieren zweier benachbarter Zahlen, wenn neben einer ein Multiplikationszeichen steht, ist absolut unmöglich! Die Antwort ist, wenn überhaupt, falsch. Daher müssen Sie sich die Reihenfolge merken.

Die Verwendung solcher

Zu solchen Elementen gehören Zahlen mit einer Variablen gleicher Ordnung oder gleichen Grades. Es gibt auch sogenannte freie Mitglieder, die nicht neben sich die Buchstabenbezeichnung des Unbekannten haben.

Die Quintessenz ist, dass ohne Klammern Sie können den Ausdruck vereinfachen, indem Sie like hinzufügen oder subtrahieren.

Ein paar anschauliche Beispiele:

• 8x 2 und 3x 2 - beide Zahlen haben die gleiche Variable zweiter Ordnung, also sind sie ähnlich und wenn sie addiert werden, vereinfachen sie sich zu (8+3)x 2 = 11x 2, während sich beim Subtrahieren (8-3)x ergibt 2 = 5 x 2;
• 4x 3 und 6x - und hier hat "x" einen anderen Grad;
• 2y 7 und 33x 7 - enthalten unterschiedliche Variablen und gehören daher wie im vorherigen Fall nicht zu ähnlichen.

Faktorisieren einer Zahl

Dieser kleine mathematische Trick hilft Ihnen, wenn Sie lernen, wie man ihn richtig anwendet, in Zukunft mehr als einmal mit einer kniffligen Aufgabe fertig zu werden. Und es ist leicht zu verstehen, wie das „System“ funktioniert: eine Zerlegung ist ein Produkt mehrerer Elemente, deren Berechnung den ursprünglichen Wert ergibt. Somit kann 20 als 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 oder auf andere Weise dargestellt werden.

Auf einer Notiz: Multiplikatoren sind immer gleich Divisoren. Sie müssen also unter den Zahlen, durch die das Original ohne Rest teilbar ist, ein funktionierendes „Paar“ zur Erweiterung suchen.

Sie können eine solche Operation sowohl mit freien Elementen als auch mit an eine Variable angehängten Ziffern ausführen. Die Hauptsache ist, letzteres bei Berechnungen nicht zu verlieren - auch nicht Nach der Zersetzung kann das Unbekannte nicht „nirgendwo hingehen“. Es bleibt bei einem der Faktoren:

• 15x=3(5x);
• 60 Jahre 2 \u003d (15 Jahre 2) 4.

Primzahlen, die nur durch sich selbst geteilt werden können oder 1 niemals faktorisieren - es macht keinen Sinn..

Grundlegende Vereinfachungsmethoden

Das Erste, was ins Auge fällt:

• das Vorhandensein von Klammern;
• Brüche;
• Wurzeln.

Algebraische Beispiele im Schullehrplan werden oft mit der Annahme entworfen, dass sie schön vereinfacht werden können.

Klammerberechnungen

Achten Sie genau auf das Schild vor den Klammern! Multiplikation oder Division wird auf jedes Element im Inneren angewendet, und Minus - ändert die vorhandenen Zeichen "+" oder "-" in das Gegenteil.

Klammern werden nach den Regeln oder nach den Formeln der abgekürzten Multiplikation berechnet, wonach ähnliche angegeben werden.

Fraktionsreduktion

Brüche kürzen ist auch einfach. Sie selbst „laufen bereitwillig weg“, es lohnt sich, solche Mitglieder mitzubringen. Aber Sie können das Beispiel auch schon vorher vereinfachen: Achte auf Zähler und Nenner. Sie enthalten oft explizite oder versteckte Elemente, die sich gegenseitig reduzieren können. Richtig, wenn Sie im ersten Fall nur das Überflüssige löschen müssen, müssen Sie im zweiten Fall nachdenken und einen Teil des Ausdrucks zur Vereinfachung in das Formular bringen. Verwendete Methoden:

• Suchen und Einklammern des größten gemeinsamen Teilers von Zähler und Nenner;
• Dividieren jedes obersten Elements durch den Nenner.

Wenn sich ein Ausdruck oder ein Teil davon unter der Wurzel befindet, ist das primäre Vereinfachungsproblem fast das gleiche wie bei Brüchen. Es muss nach Möglichkeiten gesucht werden, es vollständig zu beseitigen oder, falls dies nicht möglich ist, das Vorzeichen zu minimieren, das die Berechnungen stört. Zum Beispiel zu dezent √(3) oder √(7).

Ein sicherer Weg, den radikalen Ausdruck zu vereinfachen, besteht darin, zu versuchen, ihn auszuklammern, von denen einige außerhalb des Zeichens liegen. Ein anschauliches Beispiel: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

Andere kleine Tricks und Nuancen:

• diese Vereinfachungsoperation kann mit Brüchen durchgeführt werden, indem sie sowohl als Ganzes als auch einzeln als Zähler oder Nenner aus dem Zeichen herausgenommen werden;
• Es ist unmöglich, einen Teil der Summe oder Differenz über die Wurzel hinaus zu zerlegen und herauszunehmen;
• Wenn Sie mit Variablen arbeiten, achten Sie darauf, ihren Grad zu berücksichtigen, er muss gleich oder ein Vielfaches der Wurzel sein, damit Folgendes wiedergegeben werden kann: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)= √(x 2 ×x)=x√( x);
• manchmal ist es erlaubt, die Wurzelvariable loszuwerden, indem man sie mit einer Bruchzahl potenziert: √ (y 3)=y 3/2.

Vereinfachung von Potenzausdrücken

Wenn bei einfachen Berechnungen mit Minus oder Plus Beispiele vereinfacht werden, indem ähnliche verwendet werden, was ist dann, wenn Variablen mit unterschiedlichen Potenzen multipliziert oder dividiert werden? Sie können leicht vereinfacht werden, indem man sich an zwei Hauptpunkte erinnert:

1. Wenn zwischen den Variablen ein Multiplikationszeichen steht, werden die Exponenten addiert.
2. Wenn sie durcheinander dividiert werden, wird derselbe Nenner vom Grad des Zählers subtrahiert.

Einzige Bedingung für eine solche Vereinfachung ist, dass beide Begriffe die gleiche Grundlage haben. Beispiele zur Verdeutlichung:

• 5x 2 × 4x 7 + (y 13 / y 11) \u003d (5 × 4)x 2+7 + y 13- 11 \u003d 20x 9 + y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

Wir weisen darauf hin, dass Operationen mit Zahlenwerten vor Variablen nach den üblichen mathematischen Regeln ablaufen. Und wenn man genau hinschaut, wird deutlich, dass die Machtelemente des Ausdrucks „funktionieren“ auf ähnliche Weise:

• ein Mitglied zu potenzieren bedeutet, es eine bestimmte Anzahl von Malen mit sich selbst zu multiplizieren, d. H. x 2 \u003d x × x;
• Division ist ähnlich: Wenn Sie den Grad von Zähler und Nenner erweitern, werden einige der Variablen reduziert, während der Rest „gesammelt“ wird, was einer Subtraktion entspricht.

Wie in jedem Geschäft sind auch beim Vereinfachen algebraischer Ausdrücke nicht nur Grundlagenkenntnisse, sondern auch Übung notwendig. Nach nur wenigen Lektionen werden einst kompliziert erscheinende Beispiele ohne große Schwierigkeiten zu kurzen und leicht lösbaren Beispielen.

Video

Dieses Video hilft Ihnen zu verstehen und sich daran zu erinnern, wie Ausdrücke vereinfacht werden.

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Im fünften Jahrhundert v. Chr. formulierte der antike griechische Philosoph Zeno von Elea seine berühmten Aporien, von denen die berühmteste die Aporie „Achilles und die Schildkröte“ ist. So klingt es:

Nehmen wir an, Achilles läuft zehnmal schneller als die Schildkröte und ist ihr tausend Schritte hinterher. In der Zeit, die Achilles für diese Distanz benötigt, wird die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung kriechen. Wenn Achilles hundert Schritte gelaufen ist, kriecht die Schildkröte weitere zehn Schritte und so weiter. Der Prozess wird auf unbestimmte Zeit fortgesetzt, Achilles wird die Schildkröte niemals einholen.

Diese Argumentation wurde zu einem logischen Schock für alle nachfolgenden Generationen. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Alle betrachteten sie auf die eine oder andere Weise als Zenons Aporien. Der Schock war so stark, dass " ... die Diskussionen werden derzeit fortgesetzt, die wissenschaftliche Gemeinschaft hat es noch nicht geschafft, zu einer gemeinsamen Meinung über das Wesen von Paradoxien zu gelangen ... mathematische Analyse, Mengenlehre, neue physikalische und philosophische Ansätze waren an der Untersuchung des Problems beteiligt ; keiner von ihnen wurde zu einer allgemein akzeptierten Lösung des Problems ..."[Wikipedia," Zenos Aporien "]. Jeder versteht, dass er getäuscht wird, aber niemand versteht, was die Täuschung ist.

Aus mathematischer Sicht hat Zeno in seiner Aporie den Übergang vom Wert zu deutlich demonstriert. Dieser Übergang impliziert die Anwendung anstelle von Konstanten. Soweit ich weiß, ist der mathematische Apparat zur Anwendung variabler Maßeinheiten entweder noch nicht entwickelt oder auf Zenos Aporie nicht angewendet worden. Die Anwendung unserer üblichen Logik führt uns in eine Falle. Durch die Trägheit des Denkens wenden wir konstante Zeiteinheiten auf den Kehrwert an. Aus physikalischer Sicht sieht es so aus, als ob die Zeit in dem Moment, in dem Achilles die Schildkröte einholt, verlangsamt und vollständig angehalten wird. Wenn die Zeit stehen bleibt, kann Achilles die Schildkröte nicht mehr überholen.

Wenn wir die gewohnte Logik umdrehen, ergibt sich alles. Achilles läuft mit konstanter Geschwindigkeit. Jedes nachfolgende Segment seines Weges ist zehnmal kürzer als das vorherige. Dementsprechend ist die Zeit, die für die Überwindung aufgewendet wird, zehnmal kürzer als die vorherige. Wenn wir in dieser Situation den Begriff „Unendlichkeit“ anwenden, dann wäre es richtig zu sagen „Achilles wird die Schildkröte unendlich schnell überholen“.

Wie vermeidet man diese logische Falle? Bleiben Sie in konstanten Zeiteinheiten und wechseln Sie nicht zu reziproken Werten. In Zenos Sprache sieht das so aus:

In der Zeit, die Achilles braucht, um tausend Schritte zu laufen, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Während des nächsten Zeitintervalls, gleich dem ersten, wird Achilles weitere tausend Schritte laufen und die Schildkröte wird hundert Schritte kriechen. Jetzt ist Achilles der Schildkröte achthundert Schritte voraus.

Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen ohne logische Paradoxien. Dies ist jedoch keine vollständige Lösung des Problems. Einsteins Aussage über die Unüberwindbarkeit der Lichtgeschwindigkeit ist Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“ sehr ähnlich. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung muss nicht in unendlich großen Zahlen, sondern in Maßeinheiten gesucht werden.

Eine andere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:

Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt ruht, und da er zu jedem Zeitpunkt ruht, ruht er immer.

In dieser Aporie wird das logische Paradoxon sehr einfach überwunden – es genügt zu verdeutlichen, dass der fliegende Pfeil zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum ruht, was tatsächlich Bewegung ist. Hier ist noch ein weiterer Punkt zu beachten. Aus einem Foto eines Autos auf der Straße kann weder die Tatsache seiner Bewegung noch die Entfernung zu ihm bestimmt werden. Um die Tatsache der Bewegung des Autos zu bestimmen, werden zwei Fotos benötigt, die vom selben Punkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen wurden, aber sie können nicht zur Bestimmung der Entfernung verwendet werden. Um die Entfernung zum Auto zu bestimmen, benötigen Sie zwei Fotos, die gleichzeitig von verschiedenen Punkten im Weltraum aufgenommen wurden, aber Sie können daraus nicht die Tatsache der Bewegung bestimmen (Sie benötigen natürlich noch zusätzliche Daten für Berechnungen, die Trigonometrie hilft Ihnen). . Was ich besonders hervorheben möchte, ist, dass zwei Zeitpunkte und zwei Punkte im Raum zwei verschiedene Dinge sind, die nicht verwechselt werden sollten, da sie unterschiedliche Möglichkeiten der Erforschung bieten.

Mittwoch, 4. Juli 2018

Sehr gut sind die Unterschiede zwischen Menge und Multimenge in Wikipedia beschrieben. Wir schauen.

Wie Sie sehen können, "kann die Menge nicht zwei identische Elemente haben", aber wenn es identische Elemente in der Menge gibt, wird eine solche Menge als "Multimenge" bezeichnet. Vernünftige Wesen werden niemals eine solche Logik der Absurdität verstehen. Dies ist die Ebene sprechender Papageien und abgerichteter Affen, auf der der Verstand dem Wort „vollständig“ abwesend ist. Mathematiker agieren als gewöhnliche Trainer und predigen uns ihre absurden Ideen.

Es war einmal, dass die Ingenieure, die die Brücke gebaut haben, während der Tests der Brücke in einem Boot unter der Brücke waren. Wenn die Brücke einstürzte, starb der mittelmäßige Ingenieur unter den Trümmern seiner Schöpfung. Wenn die Brücke der Belastung standhalten konnte, baute der begabte Ingenieur andere Brücken.

So sehr sich Mathematiker auch hinter dem Satz „wohlgemerkt, ich bin im Haus“ oder vielmehr „Mathematik studiert abstrakte Konzepte“ verstecken, es gibt eine Nabelschnur, die sie untrennbar mit der Realität verbindet. Diese Nabelschnur ist Geld. Wenden wir die mathematische Mengenlehre auf Mathematiker selbst an.

Wir haben sehr gut Mathematik studiert und jetzt sitzen wir an der Kasse und zahlen Gehälter aus. Hier kommt ein Mathematiker auf sein Geld zu uns. Wir zählen ihm den ganzen Betrag vor und legen ihn auf unserem Tisch in verschiedene Stapel, in die wir Scheine gleichen Werts legen. Dann nehmen wir von jedem Stapel einen Schein und geben dem Mathematiker seinen „mathematischen Gehaltssatz“. Wir erklären die Mathematik, dass er die restlichen Rechnungen nur erhält, wenn er beweist, dass die Menge ohne identische Elemente nicht gleich der Menge mit identischen Elementen ist. Hier beginnt der Spaß.

Zunächst einmal wird die Logik der Abgeordneten funktionieren: "Sie können es auf andere anwenden, aber nicht auf mich!" Außerdem wird zugesichert, dass auf Banknoten derselben Stückelung unterschiedliche Banknotennummern vorhanden sind, was bedeutet, dass sie nicht als identische Elemente angesehen werden können. Nun, wir zählen das Gehalt in Münzen - es gibt keine Zahlen auf den Münzen. Hier erinnert sich der Mathematiker hektisch an die Physik: Verschiedene Münzen haben unterschiedlich viel Schmutz, die Kristallstruktur und Anordnung der Atome für jede Münze ist einzigartig ...

Und jetzt habe ich die interessanteste Frage: Wo ist die Grenze, ab der Elemente einer Multimenge zu Elementen einer Menge werden und umgekehrt? Eine solche Linie gibt es nicht - alles wird von Schamanen entschieden, die Wissenschaft ist hier nicht einmal annähernd.

Schau hier. Wir wählen Fußballstadien mit gleicher Spielfeldfläche aus. Die Fläche der Felder ist gleich, was bedeutet, dass wir eine Multimenge haben. Aber wenn wir die Namen der gleichen Stadien betrachten, bekommen wir viel, weil die Namen unterschiedlich sind. Wie Sie sehen können, ist dieselbe Menge von Elementen gleichzeitig eine Menge und eine Multimenge. Wie richtig? Und hier holt der Mathematiker-Schamane-Schüler ein Trumpf-Ass aus seinem Ärmel und beginnt uns entweder von einem Set oder einem Multiset zu erzählen. Auf jeden Fall wird er uns davon überzeugen, dass er Recht hat.

Um zu verstehen, wie moderne Schamanen mit der Mengentheorie arbeiten und sie mit der Realität verknüpfen, genügt es, eine Frage zu beantworten: Wie unterscheiden sich die Elemente einer Menge von den Elementen einer anderen Menge? Ich werde es Ihnen zeigen, ohne „als nicht ein Ganzes denkbar“ oder „nicht als ein Ganzes denkbar“.

Sonntag, 18. März 2018

Die Quersumme einer Zahl ist ein Schamanentanz mit Tamburin, der nichts mit Mathematik zu tun hat. Ja, im Mathematikunterricht wird uns beigebracht, die Summe der Ziffern einer Zahl zu finden und zu verwenden, aber dafür sind sie Schamanen, um ihren Nachkommen ihre Fähigkeiten und Weisheit beizubringen, sonst sterben Schamanen einfach aus.

Benötigen Sie einen Nachweis? Öffnen Sie Wikipedia und versuchen Sie, die Seite „Summe der Ziffern einer Zahl“ zu finden. Sie existiert nicht. In der Mathematik gibt es keine Formel, mit der man die Quersumme einer beliebigen Zahl ermitteln kann. Schließlich sind Zahlen grafische Symbole, mit denen wir Zahlen schreiben, und in der Sprache der Mathematik klingt die Aufgabe so: „Finde die Summe von grafischen Symbolen, die eine beliebige Zahl darstellen.“ Mathematiker können dieses Problem nicht lösen, aber Schamanen können es elementar.

Lassen Sie uns herausfinden, was und wie wir tun, um die Summe der Ziffern einer bestimmten Zahl zu finden. Nehmen wir also an, wir haben die Zahl 12345. Was muss getan werden, um die Quersumme dieser Zahl zu finden? Betrachten wir alle Schritte der Reihe nach.

1. Notieren Sie die Nummer auf einem Blatt Papier. Was haben wir getan? Wir haben die Zahl in ein grafisches Zahlensymbol umgewandelt. Dies ist keine mathematische Operation.

2. Wir schneiden ein empfangenes Bild in mehrere Bilder mit separaten Nummern. Das Schneiden eines Bildes ist keine mathematische Operation.

3. Wandeln Sie einzelne Grafikzeichen in Zahlen um. Dies ist keine mathematische Operation.

4. Addieren Sie die resultierenden Zahlen. Das ist jetzt Mathematik.

Die Quersumme der Zahl 12345 ist 15. Dies sind die „Schneide- und Nähkurse“ von Schamanen, die von Mathematikern verwendet werden. Aber das ist nicht alles.

Aus mathematischer Sicht spielt es keine Rolle, in welchem ​​Zahlensystem wir die Zahl schreiben. In verschiedenen Zahlensystemen ist die Summe der Ziffern derselben Zahl also unterschiedlich. In der Mathematik wird das Zahlensystem als Index rechts neben der Zahl angegeben. Bei einer großen Zahl von 12345 möchte ich mir nicht den Kopf verdrehen, betrachten Sie die Zahl 26 aus dem Artikel darüber. Lassen Sie uns diese Zahl in binären, oktalen, dezimalen und hexadezimalen Zahlensystemen schreiben. Wir werden nicht jeden Schritt unter die Lupe nehmen, das haben wir bereits getan. Schauen wir uns das Ergebnis an.

Wie Sie sehen können, ist in verschiedenen Zahlensystemen die Summe der Ziffern derselben Zahl unterschiedlich. Dieses Ergebnis hat nichts mit Mathematik zu tun. Es ist genauso, als würde man bei der Bestimmung der Fläche eines Rechtecks ​​in Metern und Zentimetern ganz andere Ergebnisse erhalten.

Die Null sieht in allen Zahlensystemen gleich aus und hat keine Quersumme. Dies ist ein weiteres Argument dafür, dass . Eine Frage an die Mathematiker: Wie bezeichnet man in der Mathematik das, was keine Zahl ist? Was existiert für Mathematiker nur aus Zahlen? Für Schamanen kann ich das zulassen, aber für Wissenschaftler nicht. Realität besteht nicht nur aus Zahlen.

Das erhaltene Ergebnis sollte als Beweis dafür angesehen werden, dass Zahlensysteme Maßeinheiten für Zahlen sind. Schließlich können wir Zahlen mit unterschiedlichen Maßeinheiten nicht vergleichen. Wenn gleiche Handlungen mit unterschiedlichen Maßeinheiten derselben Größe nach dem Vergleich zu unterschiedlichen Ergebnissen führen, dann hat das nichts mit Mathematik zu tun.

Was ist echte Mathematik? Dies ist der Fall, wenn das Ergebnis einer mathematischen Aktion nicht vom Wert der Zahl, der verwendeten Maßeinheit und davon abhängt, wer diese Aktion ausführt.

Schild an der Tür Öffnet die Tür und sagt:

Autsch! Ist das nicht die Damentoilette?
- Junge Frau! Dies ist ein Labor zum Studium der unbestimmten Heiligkeit der Seelen beim Aufstieg in den Himmel! Nimbus oben und Pfeil nach oben. Welche andere Toilette?

Weiblich ... Ein Heiligenschein oben und ein Pfeil nach unten sind männlich.

Wenn Sie ein solches Designkunstwerk mehrmals täglich vor Augen haben,

Dann ist es nicht verwunderlich, dass Sie plötzlich ein seltsames Symbol in Ihrem Auto finden:

Ich persönlich gebe mir Mühe, bei einer kackenden Person (ein Bild) minus vier Grad zu sehen (Zusammensetzung mehrerer Bilder: Minuszeichen, Zahl vier, Gradbezeichnung). Und ich halte dieses Mädchen nicht für einen Narren, der keine Physik versteht. Sie hat nur ein Bogenstereotyp der Wahrnehmung von grafischen Bildern. Und Mathematiker lehren uns das ständig. Hier ist ein Beispiel.

1A ist nicht "minus vier Grad" oder "ein a". Das ist „pooping man“ oder die Zahl „sechsundzwanzig“ im hexadezimalen Zahlensystem. Wer ständig in diesem Zahlensystem arbeitet, nimmt Zahl und Buchstabe automatisch als ein grafisches Symbol wahr.

Erste Ebene

Ausdruckskonvertierung. Detaillierte Theorie (2019)

Ausdruckskonvertierung

Oft hören wir diesen unangenehmen Satz: "Vereinfachen Sie den Ausdruck." Normalerweise haben wir in diesem Fall eine Art Monster wie dieses:

„Ja, viel einfacher“, sagen wir, aber eine solche Antwort funktioniert meistens nicht.

Jetzt werde ich dich lehren, keine Angst vor solchen Aufgaben zu haben. Außerdem werden Sie am Ende der Lektion dieses Beispiel selbst zu einer (nur!) gewöhnlichen Zahl vereinfachen (ja, zum Teufel mit diesen Buchstaben).

Aber bevor Sie mit dieser Lektion beginnen, müssen Sie in der Lage sein, mit Brüchen und Faktorpolynomen umzugehen. Wenn Sie dies noch nicht getan haben, sollten Sie daher zunächst die Themen "" und "" beherrschen.

Lesen? Wenn ja, dann sind Sie bereit.

Grundlegende Vereinfachungsoperationen

Jetzt werden wir die wichtigsten Techniken analysieren, die zur Vereinfachung von Ausdrücken verwendet werden.

Die einfachste von ihnen ist

1. Ähnliches mitbringen

Was ist ähnlich? Sie haben das in der 7. Klasse durchgemacht, als in der Mathematik erstmals Buchstaben statt Zahlen auftauchten. Ähnlich sind Begriffe (Monome) mit gleichem Buchstabenteil. Zum Beispiel sind in der Summe gleiche Terme und.

Fiel ein?

Gleiche Begriffe bringen bedeutet, mehrere ähnliche Begriffe miteinander zu addieren und einen Begriff zu erhalten.

Aber wie können wir Buchstaben zusammensetzen? - du fragst.

Dies ist sehr leicht zu verstehen, wenn Sie sich vorstellen, dass die Buchstaben eine Art Objekte sind. Der Buchstabe ist zum Beispiel ein Stuhl. Was ist dann der Ausdruck? Zwei Stühle plus drei Stühle, wie viel wird es sein? Richtig, Stühle: .

Versuchen Sie nun diesen Ausdruck:

Um nicht verwirrt zu werden, lassen Sie unterschiedliche Buchstaben unterschiedliche Objekte bezeichnen. Zum Beispiel - das ist (wie üblich) ein Stuhl und - das ist ein Tisch. Dann:

Stühle Tische Stuhl Tische Stühle Stühle Tische

Die Zahlen, mit denen die Buchstaben in solchen Begriffen multipliziert werden, werden aufgerufen Koeffizienten. Zum Beispiel ist im Monom der Koeffizient gleich. Und er ist gleich.

Also, die Regel für das Bringen von ähnlichem:

Beispiele:

Ähnliches mitbringen:

Antworten:

2. (und sind ähnlich, da diese Begriffe daher den gleichen Buchstabenteil haben).

2. Faktorisierung

Dies ist normalerweise der wichtigste Teil beim Vereinfachen von Ausdrücken. Nachdem Sie ähnliche angegeben haben, muss der resultierende Ausdruck meistens faktorisiert, dh als Produkt dargestellt werden. Das ist besonders wichtig bei Brüchen, denn um einen Bruch zu kürzen, müssen Zähler und Nenner als Produkt dargestellt werden.

Sie haben die detaillierten Methoden zum Faktorisieren von Ausdrücken im Thema "" durchgearbeitet, also müssen Sie sich hier nur daran erinnern, was Sie gelernt haben. Lösen Sie dazu ein paar Beispiele(auszurechnen):

Lösungen:

3. Fraktionsreduktion.

Nun, was gibt es Schöneres, als einen Teil des Zählers und Nenners durchzustreichen und aus seinem Leben zu werfen?

Das ist die Schönheit der Abkürzung.

Es ist einfach:

Wenn Zähler und Nenner die gleichen Faktoren enthalten, können sie gekürzt, also aus dem Bruch entfernt werden.

Diese Regel folgt aus der Grundeigenschaft eines Bruchs:

Das heißt, die Essenz der Reduktionsoperation ist dies Wir dividieren Zähler und Nenner eines Bruchs durch dieselbe Zahl (oder durch denselben Ausdruck).

Um einen Bruch zu kürzen, benötigen Sie:

1) Zähler und Nenner faktorisieren

2) wenn Zähler und Nenner enthalten übliche Faktoren, sie können gelöscht werden.

Das Prinzip, denke ich, ist klar?

Auf einen typischen Abkürzungsfehler möchte ich aufmerksam machen. Dieses Thema ist zwar einfach, aber viele Menschen machen alles falsch, ohne sich dessen bewusst zu sein schneiden- das heisst teilen Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl.

Keine Abkürzungen, wenn Zähler oder Nenner die Summe ist.

Zum Beispiel: Sie müssen vereinfachen.

Einige tun dies: was absolut falsch ist.

Anderes Beispiel: Reduzieren.

"Die Klügsten" werden dies tun:.

Sag mir, was ist hier falsch? Es scheint: - Dies ist ein Multiplikator, also können Sie reduzieren.

Aber nein: - Dies ist ein Faktor von nur einem Term im Zähler, aber der Zähler selbst als Ganzes wird nicht in Faktoren zerlegt.

Hier ist ein weiteres Beispiel: .

Dieser Ausdruck wird in Faktoren zerlegt, was bedeutet, dass Sie Zähler und Nenner reduzieren, also durch und dann durch dividieren können:

Sie können sofort dividieren durch:

Um solche Fehler zu vermeiden, merken Sie sich einen einfachen Weg, um festzustellen, ob ein Ausdruck faktorisiert ist:

Die arithmetische Operation, die zuletzt ausgeführt wird, wenn der Wert des Ausdrucks berechnet wird, ist die "Hauptoperation". Das heißt, wenn Sie einige (beliebige) Zahlen anstelle von Buchstaben einsetzen und versuchen, den Wert des Ausdrucks zu berechnen, dann haben wir ein Produkt, wenn die letzte Aktion eine Multiplikation ist (der Ausdruck wird in Faktoren zerlegt). Wenn die letzte Aktion eine Addition oder Subtraktion ist, bedeutet dies, dass der Ausdruck nicht faktorisiert wird (und daher nicht reduziert werden kann).

Um es zu beheben, lösen Sie es selbst ein paar Beispiele:

Antworten:

1. Ich hoffe, Sie haben sich nicht sofort zum Schneiden beeilt und? Es war immer noch nicht genug Einheiten wie diese zu „reduzieren“:

Der erste Schritt sollte sein, zu faktorisieren:

4. Addition und Subtraktion von Brüchen. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Das Addieren und Subtrahieren gewöhnlicher Brüche ist eine bekannte Operation: Wir suchen nach einem gemeinsamen Nenner, multiplizieren jeden Bruch mit dem fehlenden Faktor und addieren / subtrahieren die Zähler. Lass uns erinnern:

Antworten:

1. Die Nenner und sind teilerfremd, das heißt, sie haben keine gemeinsamen Teiler. Daher ist das LCM dieser Zahlen gleich ihrem Produkt. Dies wird der gemeinsame Nenner sein:

2. Hier ist der gemeinsame Nenner:

3. Hier verwandeln wir zunächst gemischte Brüche in unechte und dann - nach dem üblichen Schema:

Anders sieht es aus, wenn die Brüche Buchstaben enthalten, zum Beispiel:

Fangen wir einfach an:

a) Nenner enthalten keine Buchstaben

Hier ist alles wie bei gewöhnlichen Zahlenbrüchen: Wir finden einen gemeinsamen Nenner, multiplizieren jeden Bruch mit dem fehlenden Faktor und addieren / subtrahieren die Zähler:

Jetzt können Sie in den Zähler ähnliche bringen, falls vorhanden, und sie faktorisieren:

Versuch es selber:

b) Nenner enthalten Buchstaben

Erinnern wir uns an das Prinzip, einen gemeinsamen Nenner ohne Buchstaben zu finden:

Zunächst ermitteln wir die gemeinsamen Faktoren;

Dann schreiben wir alle Gemeinsamkeiten einmal auf;

und multipliziere sie mit allen anderen Faktoren, nicht den üblichen.

Um die gemeinsamen Faktoren der Nenner zu bestimmen, zerlegen wir diese zunächst in einfache Faktoren:

Wir betonen die gemeinsamen Faktoren:

Jetzt schreiben wir die gemeinsamen Faktoren einmal aus und fügen ihnen alle nicht gemeinsamen (nicht unterstrichenen) Faktoren hinzu:

Das ist der gemeinsame Nenner.

Kommen wir zurück zu den Buchstaben. Die Nenner werden genauso angegeben:

Wir zerlegen die Nenner in Faktoren;

gemeinsame (gleiche) Multiplikatoren ermitteln;

alle Gemeinsamkeiten einmal aufschreiben;

Wir multiplizieren sie mit allen anderen Faktoren, nicht mit gewöhnlichen.

Also der Reihe nach:

1) die Nenner in Faktoren zerlegen:

2) Bestimmen Sie die gemeinsamen (identischen) Faktoren:

3) Schreibe alle gemeinsamen Faktoren einmal auf und multipliziere sie mit allen anderen (nicht unterstrichenen) Faktoren:

Der gemeinsame Nenner ist also da. Der erste Bruch muss multipliziert werden mit, der zweite - mit:

Übrigens gibt es einen Trick:

Zum Beispiel: .

Wir sehen die gleichen Faktoren in den Nennern, nur alle mit unterschiedlichen Indikatoren. Der gemeinsame Nenner wird sein:

soweit

soweit

soweit

im Grad.

Lassen Sie uns die Aufgabe erschweren:

Wie bringt man Brüche dazu, denselben Nenner zu haben?

Erinnern wir uns an die grundlegende Eigenschaft eines Bruchs:

Nirgendwo steht, dass dieselbe Zahl vom Zähler und Nenner eines Bruchs subtrahiert (oder addiert) werden kann. Weil es nicht wahr ist!

Überzeugen Sie sich selbst: Nehmen Sie zum Beispiel einen beliebigen Bruch und addieren Sie zu Zähler und Nenner eine Zahl, zum Beispiel . Was wurde gelernt?

Also, eine weitere unerschütterliche Regel:

Wenn Sie Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, verwenden Sie nur die Multiplikationsoperation!

Aber was müssen Sie multiplizieren, um zu erhalten?

Hier auf und multiplizieren. Und multipliziere mit:

Ausdrücke, die nicht faktorisiert werden können, werden "Elementarfaktoren" genannt. Zum Beispiel ist ein elementarer Faktor. - zu. Aber - nein: es wird in Faktoren zerlegt.

Was ist mit dem Ausdruck? Ist es elementar?

Nein, denn es kann faktorisiert werden:

(Über Faktorisierung haben Sie bereits im Thema "" gelesen).

Die elementaren Faktoren, in die Sie einen Ausdruck mit Buchstaben zerlegen, sind also ein Analogon zu den einfachen Faktoren, in die Sie Zahlen zerlegen. Und wir werden dasselbe mit ihnen tun.

Wir sehen, dass beide Nenner einen Faktor haben. Es wird zum gemeinsamen Nenner in der Macht gehen (erinnern Sie sich, warum?).

Der Multiplikator ist elementar und sie haben ihn nicht gemeinsam, was bedeutet, dass der erste Bruch einfach damit multipliziert werden muss:

Ein anderes Beispiel:

Lösung:

Bevor Sie diese Nenner in Panik multiplizieren, müssen Sie darüber nachdenken, wie Sie sie faktorisieren können. Beide vertreten:

Exzellent! Dann:

Ein anderes Beispiel:

Lösung:

Wie üblich faktorisieren wir die Nenner. Den ersten Nenner setzen wir einfach aus Klammern; im zweiten - die Differenz der Quadrate:

Es scheint, dass es keine gemeinsamen Faktoren gibt. Aber wenn man genau hinschaut, sind sie sich schon so ähnlich ... Und die Wahrheit ist:

Schreiben wir also:

Das heißt, es stellte sich so heraus: Innerhalb der Klammer haben wir die Terme vertauscht, und gleichzeitig änderte sich das Vorzeichen vor dem Bruch ins Gegenteil. Beachten Sie, dass Sie dies oft tun müssen.

Nun bringen wir auf einen gemeinsamen Nenner:

Ich habs? Lassen Sie uns jetzt überprüfen.

Aufgaben zur selbstständigen Lösung:

Antworten:

Hier müssen wir uns noch an eine Sache erinnern - den Unterschied der Würfel:

Bitte beachten Sie, dass der Nenner des zweiten Bruchs nicht die Formel "Quadrat der Summe" enthält! Das Quadrat der Summe würde so aussehen:

A ist das sogenannte unvollständige Quadrat der Summe: Der zweite Term darin ist das Produkt des ersten und des letzten und nicht ihr verdoppeltes Produkt. Das unvollständige Quadrat der Summe ist einer der Faktoren bei der Erweiterung der Differenz von Kubikzahlen:

Was ist, wenn es bereits drei Brüche gibt?

Ja das Gleiche! Zunächst stellen wir sicher, dass die maximale Anzahl der Faktoren in den Nennern gleich ist:

Achtung: Wenn Sie die Vorzeichen innerhalb einer Klammer ändern, ändert sich das Vorzeichen vor dem Bruch ins Gegenteil. Wenn wir die Vorzeichen in der zweiten Klammer ändern, wird das Vorzeichen vor dem Bruch wieder umgekehrt. Infolgedessen hat er (das Zeichen vor dem Bruch) sich nicht geändert.

Wir schreiben den ersten Nenner vollständig in den gemeinsamen Nenner und fügen dann alle noch nicht geschriebenen Faktoren hinzu, vom zweiten und dann vom dritten (und so weiter, wenn es mehr Brüche gibt). Das heißt, es geht so:

Hmm ... Mit Brüchen ist klar, was zu tun ist. Aber was ist mit den beiden?

Es ist ganz einfach: Sie wissen, wie man Brüche addiert, oder? Sie müssen also sicherstellen, dass die Zwei ein Bruch wird! Denken Sie daran: Ein Bruch ist eine Divisionsoperation (der Zähler wird durch den Nenner dividiert, falls Sie es plötzlich vergessen haben). Und es gibt nichts Einfacheres, als eine Zahl durch zu dividieren. In diesem Fall ändert sich die Zahl selbst nicht, sondern wird zu einem Bruch:

Genau das, was gebraucht wird!

5. Multiplikation und Division von Brüchen.

Nun, der schwierigste Teil ist jetzt vorbei. Und vor uns liegt das Einfachste, aber gleichzeitig das Wichtigste:

Verfahren

Wie wird ein numerischer Ausdruck berechnet? Denken Sie in Anbetracht des Wertes eines solchen Ausdrucks daran:

Hast du gezählt?

Es sollte funktionieren.

Also, ich erinnere dich.

Der erste Schritt ist die Berechnung des Abschlusses.

Die zweite ist Multiplikation und Division. Wenn es mehrere Multiplikationen und Divisionen gleichzeitig gibt, kannst du sie in beliebiger Reihenfolge durchführen.

Und schließlich führen wir Addition und Subtraktion durch. Wieder in beliebiger Reihenfolge.

Aber: der eingeklammerte Ausdruck wird falsch ausgewertet!

Wenn mehrere Klammern miteinander multipliziert oder dividiert werden, werten wir zuerst den Ausdruck in jeder der Klammern aus und multiplizieren oder dividieren sie dann.

Was ist, wenn es andere Klammern in den Klammern gibt? Nun, stellen wir uns vor: In die Klammern steht irgendein Ausdruck. Was ist das erste, was zu tun ist, wenn ein Ausdruck ausgewertet wird? Richtig, Klammern berechnen. Nun, wir haben es herausgefunden: Zuerst berechnen wir die inneren Klammern, dann alles andere.

Die Reihenfolge der Aktionen für den obigen Ausdruck ist also wie folgt (die aktuelle Aktion ist rot hervorgehoben, d. h. die Aktion, die ich gerade ausführe):

Okay, es ist alles einfach.

Aber das ist nicht dasselbe wie ein Ausdruck mit Buchstaben, oder?

Nein, es ist dasselbe! Nur anstelle von arithmetischen Operationen müssen algebraische Operationen durchgeführt werden, dh die im vorherigen Abschnitt beschriebenen Operationen: Ähnliches bringen, Brüche addieren, Brüche kürzen usw. Der einzige Unterschied besteht in der Faktorisierung von Polynomen (wir verwenden dies häufig bei der Arbeit mit Brüchen). Meistens müssen Sie für die Faktorisierung i verwenden oder einfach den gemeinsamen Faktor aus Klammern nehmen.

Normalerweise ist es unser Ziel, einen Ausdruck als Produkt oder Quotient darzustellen.

Zum Beispiel:

Vereinfachen wir den Ausdruck.

1) Zuerst vereinfachen wir den Ausdruck in Klammern. Da haben wir die Differenz von Brüchen, und unser Ziel ist es, sie als Produkt oder Quotient darzustellen. Also bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner und addieren:

Es ist unmöglich, diesen Ausdruck weiter zu vereinfachen, alle Faktoren hier sind elementar (erinnern Sie sich noch, was das bedeutet?).

2) Wir erhalten:

Multiplikation von Brüchen: was einfacher sein könnte.

3) Jetzt können Sie kürzen:

OK, jetzt ist alles vorbei. Nichts kompliziertes, oder?

Ein anderes Beispiel:

Den Ausdruck vereinfachen.

Versuchen Sie zuerst, es selbst zu lösen, und schauen Sie sich erst dann die Lösung an.

Lassen Sie uns zunächst das Verfahren definieren. Fügen wir zuerst die Brüche in Klammern hinzu, statt zwei Brüche wird einer herauskommen. Dann machen wir die Division von Brüchen. Nun, wir addieren das Ergebnis mit dem letzten Bruch. Ich werde die Schritte schematisch nummerieren:

Jetzt zeige ich den gesamten Prozess und färbe die aktuelle Aktion rot:

Abschließend möchte ich Ihnen zwei nützliche Tipps geben:

1. Wenn es ähnliche gibt, müssen sie sofort gebracht werden. In jedem Moment, in dem wir ähnliche haben, ist es ratsam, sie sofort mitzubringen.

2. Gleiches gilt für die Kürzung von Brüchen: Sobald sich eine Möglichkeit zur Kürzung ergibt, muss diese genutzt werden. Die Ausnahme sind Brüche, die du addierst oder subtrahierst: Wenn sie jetzt den gleichen Nenner haben, sollte die Kürzung für später aufgehoben werden.

Hier sind einige Aufgaben, die Sie selbst lösen können:

Und gleich zu Beginn versprochen:

Lösungen (kurz):

Wenn Sie zumindest die ersten drei Beispiele bewältigt haben, dann haben Sie, bedenken Sie, das Thema gemeistert.

Jetzt geht es ans Lernen!

AUSDRUCKKONVERTIERUNG. ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMEL

Grundlegende Vereinfachungsoperationen:

• Ähnliches mitbringen: Um ähnliche Terme hinzuzufügen (zu reduzieren), müssen Sie ihre Koeffizienten addieren und den Buchstabenteil zuweisen.
• Faktorisierung: Herausnehmen des gemeinsamen Faktors aus Klammern, Anwenden usw.
• Fraktionsreduktion: Zähler und Nenner eines Bruchs können mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert oder dividiert werden, ab der sich der Wert des Bruchs nicht ändert.
  1) Zähler und Nenner faktorisieren
  2) Wenn Zähler und Nenner gemeinsame Teiler haben, können sie durchgestrichen werden.

  WICHTIG: Es können nur Multiplikatoren reduziert werden!

• Addition und Subtraktion von Brüchen:
  ;
• Multiplikation und Division von Brüchen:
  ;

Bei Aufgaben ist es oft erforderlich, eine vereinfachte Antwort zu geben. Obwohl sowohl die vereinfachten als auch die nicht vereinfachten Antworten richtig sind, kann Ihr Kursleiter Ihre Note herabsetzen, wenn Sie Ihre Antwort nicht vereinfachen. Darüber hinaus ist es viel einfacher, mit einem vereinfachten mathematischen Ausdruck zu arbeiten. Daher ist es sehr wichtig zu lernen, wie man Ausdrücke vereinfacht.

Schritte

Richtige Reihenfolge der mathematischen Operationen

1. Erinnere dich an die richtige Reihenfolge bei mathematischen Operationen. Beim Vereinfachen eines mathematischen Ausdrucks muss eine bestimmte Reihenfolge eingehalten werden, da einige mathematische Operationen Vorrang vor anderen haben und zuerst ausgeführt werden müssen (tatsächlich führt das Nichtbefolgen der richtigen Reihenfolge der Operationen zu einem falschen Ergebnis). Merken Sie sich die folgende Reihenfolge der mathematischen Operationen: Ausdruck in Klammern, Exponentiation, Multiplikation, Division, Addition, Subtraktion.

   • Beachten Sie, dass die Kenntnis der richtigen Reihenfolge der Operationen es Ihnen ermöglicht, die meisten der einfachsten Ausdrücke zu vereinfachen, aber um ein Polynom (einen Ausdruck mit einer Variablen) zu vereinfachen, müssen Sie spezielle Tricks kennen (siehe nächster Abschnitt).

2. Beginnen Sie damit, den Ausdruck in Klammern zu lösen. In der Mathematik geben Klammern an, dass der eingeschlossene Ausdruck zuerst ausgewertet werden muss. Beginnen Sie daher beim Vereinfachen eines mathematischen Ausdrucks damit, den in Klammern eingeschlossenen Ausdruck zu lösen (es spielt keine Rolle, welche Operationen Sie innerhalb der Klammern ausführen müssen). Denken Sie jedoch daran, dass Sie bei der Arbeit mit einem in Klammern eingeschlossenen Ausdruck die Reihenfolge der Operationen einhalten sollten, dh die Terme in Klammern werden zuerst multipliziert, dividiert, addiert, subtrahiert usw.

   • Vereinfachen wir beispielsweise den Ausdruck 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Hier beginnen wir mit den Ausdrücken in Klammern: 5 + 2 = 7 und 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.
     • Der Ausdruck im zweiten Klammerpaar vereinfacht sich zu 5, da 4/2 zuerst dividiert werden muss (entsprechend der richtigen Rechenreihenfolge). Wenn Sie diese Reihenfolge nicht einhalten, erhalten Sie die falsche Antwort: 3 + 4 = 7 und 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Wenn sich innerhalb der Klammern ein weiteres Klammerpaar befindet, beginnen Sie mit der Vereinfachung, indem Sie den Ausdruck in der inneren Klammer lösen, und fahren Sie dann mit der Lösung des Ausdrucks in der äußeren Klammer fort.

3. Zur Macht erheben. Nachdem Sie die Ausdrücke in Klammern gelöst haben, fahren Sie mit dem Potenzieren fort (denken Sie daran, dass eine Potenz einen Exponenten und eine Basis hat). Potenzieren Sie den entsprechenden Ausdruck (oder die Zahl) und setzen Sie das Ergebnis in den Ihnen gegebenen Ausdruck ein.

   • In unserem Beispiel ist der einzige Ausdruck (Zahl) in der Potenz 3 2: 3 2 = 9. Ersetzen Sie in dem Ihnen gegebenen Ausdruck 9 anstelle von 3 2 und Sie erhalten: 2x + 4(7) + 9 - 5 .

4. Multiplizieren. Denken Sie daran, dass die Multiplikationsoperation durch die folgenden Symbole gekennzeichnet werden kann: "x", "∙" oder "*". Wenn aber zwischen einer Zahl und einer Variablen (z. B. 2x) oder zwischen einer Zahl und einer Zahl in Klammern (z. B. 4(7)) keine Symbole stehen, handelt es sich ebenfalls um eine Multiplikation.

   • In unserem Beispiel gibt es zwei Multiplikationen: 2x (zwei mal x) und 4(7) (vier mal sieben). Wir kennen den Wert von x nicht, also lassen wir den Ausdruck 2x so wie er ist. 4(7) \u003d 4 x 7 \u003d 28. Jetzt können Sie den Ihnen gegebenen Ausdruck wie folgt umschreiben: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Teilen. Denken Sie daran, dass die Divisionsoperation durch die folgenden Symbole gekennzeichnet werden kann: "/", "÷" oder "-" (Sie können das letzte Symbol in Brüchen sehen). Zum Beispiel ist 3/4 drei geteilt durch vier.

   • In unserem Beispiel gibt es keine Division mehr, da Sie beim Lösen des eingeklammerten Ausdrucks bereits 4 durch 2 (4/2) dividiert haben. Daher können Sie mit dem nächsten Schritt fortfahren. Denken Sie daran, dass die meisten Ausdrücke nicht alle mathematischen Operationen auf einmal haben (nur einige davon).

6. Zusammenfalten. Wenn Sie Terme eines Ausdrucks hinzufügen, können Sie mit dem äußersten (linken) Term beginnen, oder Sie können zuerst die Terme hinzufügen, die sich leicht addieren lassen. Zum Beispiel ist es beim Ausdruck 49 + 29 + 51 +71 einfacher, zuerst 49 + 51 = 100 zu addieren, dann 29 + 71 = 100 und schließlich 100 + 100 = 200. Es ist viel schwieriger, so zu addieren : 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • In unserem Beispiel 2x + 28 + 9 + 5 gibt es zwei Additionsoperationen. Beginnen wir mit dem extremsten (linken) Term: 2x + 28; Sie können 2x und 28 nicht addieren, weil Sie den Wert von x nicht kennen. Addieren Sie daher 28 + 9 = 37. Nun kann der Ausdruck wie folgt umgeschrieben werden: 2x + 37 - 5.

7. Subtrahieren. Dies ist die letzte Operation in richtige Reihenfolge mathematische Operationen durchführen. In dieser Phase können Sie auch negative Zahlen hinzufügen, oder Sie können dies beim Hinzufügen von Mitgliedern tun - dies wirkt sich in keiner Weise auf das Endergebnis aus.

   • In unserem Beispiel 2x + 37 - 5 gibt es nur eine Subtraktionsoperation: 37 - 5 = 32.

8. In diesem Stadium sollten Sie, nachdem Sie alle mathematischen Operationen durchgeführt haben, einen vereinfachten Ausdruck erhalten. Wenn der Ihnen gegebene Ausdruck jedoch eine oder mehrere Variablen enthält, denken Sie daran, dass das Mitglied mit der Variablen so bleibt, wie es ist. Um einen Ausdruck mit einer Variablen zu lösen (anstatt ihn zu vereinfachen), müssen Sie den Wert dieser Variablen finden. Manchmal können Ausdrücke mit einer Variablen durch spezielle Methoden vereinfacht werden (siehe nächster Abschnitt).

   • In unserem Beispiel lautet die endgültige Antwort 2x + 32. Sie können keine zwei Terme addieren, bis Sie den Wert von x kennen. Sobald Sie den Wert der Variablen kennen, können Sie dieses Binomial leicht vereinfachen.

   Komplexe Ausdrücke vereinfachen

   1. Hinzufügen ähnlicher Mitglieder. Denken Sie daran, dass Sie nur ähnliche Terme subtrahieren und addieren können, also Terme mit derselben Variablen und demselben Exponenten. Du kannst zum Beispiel 7x und 5x addieren, aber nicht 7x und 5x 2 (weil die Exponenten hier unterschiedlich sind).

      • Diese Regel gilt auch für Elemente mit mehreren Variablen. Sie können beispielsweise 2xy 2 und -3xy 2 hinzufügen, aber nicht 2xy 2 und -3x 2 y oder 2xy 2 und -3y 2 .
      • Betrachten Sie ein Beispiel: x 2 + 3x + 6 - 8x. Hier sind die gleichen Terme 3x und 8x, also können sie addiert werden. Der vereinfachte Ausdruck sieht so aus: x 2 - 5x + 6.

   2. Vereinfache die Zahl. In einem solchen Bruch enthalten sowohl der Zähler als auch der Nenner Zahlen (ohne Variable). Ein numerischer Bruch wird auf verschiedene Weise vereinfacht. Teilen Sie zunächst einfach den Nenner durch den Zähler. Zweitens, faktorisiere Zähler und Nenner und kürze dieselben Faktoren (denn wenn du eine Zahl durch sich selbst dividierst, erhältst du 1). Mit anderen Worten, wenn Zähler und Nenner denselben Faktor haben, kannst du ihn verwerfen und erhältst einen vereinfachten Bruch.

      • Betrachten Sie zum Beispiel den Bruch 36/60. Teile mit einem Taschenrechner 36 durch 60 und erhalte 0,6. Aber du kannst diesen Bruch auf andere Weise vereinfachen, indem du Zähler und Nenner faktorisierst: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Seit 6/6 \u003d 1, dann der vereinfachte Bruch: 1 x 6/10 \u003d 6/10. Dieser Bruch kann aber auch vereinfacht werden: 6/10 \u003d (2x3) / (2 * 5) \u003d (2/2) * (3/5) \u003d 3/5.

   3. Wenn der Bruch eine Variable enthält, können Sie dieselben Faktoren mit der Variablen reduzieren. Faktorisieren Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner und löschen Sie dieselben Faktoren, selbst wenn sie eine Variable enthalten (denken Sie daran, dass dieselben Faktoren hier eine Variable enthalten können oder nicht).

      • Betrachten Sie ein Beispiel: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Dieser Ausdruck kann wie folgt umgeschrieben (faktorisiert) werden: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Da der Term 3x sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommt, kann er auf einen vereinfachten Ausdruck reduziert werden: (x + 1)/(5 - x). Betrachten Sie ein weiteres Beispiel: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Bitte beachten Sie, dass Sie keine Terme kürzen können - nur die gleichen Faktoren, die sowohl im Zähler als auch im Nenner vorhanden sind, werden gestrichen. Zum Beispiel ist im Ausdruck (x(x + 2))/x die Variable (Multiplikator) „x“ sowohl im Zähler als auch im Nenner, sodass „x“ reduziert werden kann und man einen vereinfachten Ausdruck erhält: (x + 2) / 1 = x + 2. Allerdings kann im Ausdruck (x + 2)/x die Variable „x“ nicht reduziert werden (weil im Zähler „x“ kein Faktor ist).

   4. Klammer öffnen. Multiplizieren Sie dazu den Term außerhalb der Klammer mit jedem Term in der Klammer. Manchmal hilft es, einen komplexen Ausdruck zu vereinfachen. Dies gilt sowohl für Mitglieder, die Primzahlen sind, als auch für Mitglieder, die eine Variable enthalten.

      • Beispiel: 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 und 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Bitte beachten Sie, dass bei Bruchausdrücken keine Klammern geöffnet werden müssen, wenn Zähler und Nenner den gleichen Faktor enthalten. Beispielsweise müssen Sie im Ausdruck (3(x 2 + 8)) / 3x die Klammern nicht erweitern, da Sie hier den Faktor 3 reduzieren können und einen vereinfachten Ausdruck (x 2 + 8) / x erhalten. Mit diesem Ausdruck ist es einfacher zu arbeiten; Wenn Sie die Klammern erweitern, erhalten Sie den folgenden komplexen Ausdruck: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. Faktorisiere die Polynome. Mit dieser Methode können Sie einige Ausdrücke und Polynome vereinfachen. Factoring ist das Gegenteil von Klammerexpansion, d. h. ein Ausdruck wird als Produkt zweier Ausdrücke geschrieben, die jeweils in Klammern eingeschlossen sind. In einigen Fällen können Sie durch Faktorisieren denselben Ausdruck kürzen. In besonderen Fällen (normalerweise bei quadratischen Gleichungen) können Sie die Gleichung durch Faktorisieren lösen.

      • Betrachten Sie den Ausdruck x 2 - 5x + 6. Er wird in Faktoren zerlegt: (x - 3) (x - 2). Wenn also beispielsweise ein Ausdruck gegeben ist (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), dann können Sie ihn umschreiben als (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)), reduzieren Sie den Ausdruck (x - 2) und erhalten Sie einen vereinfachten Ausdruck (x - 3) / 2.
      • Das Faktorisieren von Polynomen wird verwendet, um Gleichungen zu lösen (Wurzeln zu finden) (eine Gleichung ist ein Polynom gleich 0). Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung x 2 - 5x + 6 \u003d 0. Wenn Sie sie herausrechnen, erhalten Sie (x - 3) (x - 2) \u003d 0. Da jeder mit 0 multiplizierte Ausdruck 0 ist, können wir ihn so schreiben dies: x - 3 = 0 und x - 2 = 0. Somit sind x = 3 und x = 2, das heißt, Sie haben zwei Wurzeln der Ihnen gegebenen Gleichung gefunden.

Unter den verschiedenen Ausdrücken, die in der Algebra berücksichtigt werden, nehmen Summen von Monomen einen wichtigen Platz ein. Hier sind Beispiele für solche Ausdrücke:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Die Summe von Monomen heißt Polynom. Die Terme in einem Polynom heißen Glieder des Polynoms. Mononome werden auch als Polynome bezeichnet, wobei ein Monom als ein Polynom betrachtet wird, das aus einem Mitglied besteht.

Zum Beispiel Polynom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
vereinfacht werden kann.

Wir stellen alle Terme als Monome der Standardform dar:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Wir geben ähnliche Terme im resultierenden Polynom an:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Das Ergebnis ist ein Polynom, dessen Mitglieder alle Monome der Standardform sind und unter denen es keine ähnlichen gibt. Solche Polynome werden aufgerufen Polynome der Standardform.

Pro Polynomgrad Standardform nehmen die größten Befugnisse ihrer Mitglieder. Das Binom \(12a^2b - 7b \) hat also den dritten Grad und das Trinom \(2b^2 -7b + 6 \) hat den zweiten.

Normalerweise werden die Terme von Polynomen in Standardform, die eine Variable enthalten, in absteigender Reihenfolge ihrer Exponenten angeordnet. Zum Beispiel:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Die Summe mehrerer Polynome kann (vereinfacht) in ein Normalformpolynom umgewandelt werden.

Manchmal müssen die Mitglieder eines Polynoms in Gruppen eingeteilt werden, wobei jede Gruppe in Klammern gesetzt wird. Da Klammern das Gegenteil von Klammern sind, ist sie einfach zu formulieren Klammern Öffnungsregeln:

Steht das +-Zeichen vor den Klammern, so werden die in Klammern eingeschlossenen Begriffe mit den gleichen Zeichen geschrieben.

Wird den Klammern ein „-“ vorangestellt, so werden die in Klammern eingeschlossenen Begriffe mit entgegengesetzten Vorzeichen geschrieben.

Transformation (Vereinfachung) des Produkts aus einem Monom und einem Polynom

Unter Verwendung des Distributivgesetzes der Multiplikation kann man das Produkt eines Monoms und eines Polynoms in ein Polynom transformieren (vereinfachen). Zum Beispiel:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Das Produkt eines Monoms und eines Polynoms ist identisch gleich der Summe der Produkte dieses Monoms und jedes der Terme des Polynoms.

Dieses Ergebnis wird üblicherweise als Regel formuliert.

Um ein Monom mit einem Polynom zu multiplizieren, muss man dieses Monom mit jedem der Terme des Polynoms multiplizieren.

Wir haben diese Regel wiederholt zum Multiplizieren mit einer Summe verwendet.

Das Produkt von Polynomen. Transformation (Vereinfachung) des Produkts zweier Polynome

Im Allgemeinen ist das Produkt zweier Polynome identisch gleich der Summe des Produkts jedes Terms eines Polynoms und jedes Terms des anderen.

Verwenden Sie normalerweise die folgende Regel.

Um ein Polynom mit einem Polynom zu multiplizieren, müssen Sie jeden Term eines Polynoms mit jedem Term des anderen multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren.

Abgekürzte Multiplikationsformeln. Summe, Differenz und Differenzquadrat

Einige Ausdrücke in algebraischen Transformationen müssen häufiger behandelt werden als andere. Die vielleicht gebräuchlichsten Ausdrücke sind \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) und \(a^2 - b^2 \), also das Quadrat der Summe, die Quadrat der Differenz und quadratische Differenz. Sie haben bemerkt, dass die Namen dieser Ausdrücke unvollständig zu sein scheinen, also ist beispielsweise \((a + b)^2 \) natürlich nicht nur das Quadrat der Summe, sondern das Quadrat der Summe von A und B. Das Quadrat der Summe von a und b ist jedoch in der Regel nicht so verbreitet, statt der Buchstaben a und b enthält es verschiedene, manchmal recht komplexe Ausdrücke.

Ausdrücke \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) lassen sich leicht in Polynome der Standardform umwandeln (vereinfachen), tatsächlich ist Ihnen eine solche Aufgabe bereits beim Multiplizieren von Polynomen begegnet :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Die resultierenden Identitäten sind nützlich, um sie sich zu merken und ohne Zwischenberechnungen anzuwenden. Dabei helfen kurze verbale Formulierungen.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - das Quadrat der Summe ist gleich der Summe der Quadrate und des doppelten Produkts.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - das Quadrat der Differenz ist die Summe der Quadrate ohne das Produkt zu verdoppeln.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - die Differenz der Quadrate ist gleich dem Produkt aus der Differenz und der Summe.

Diese drei Identitäten erlauben in Transformationen, ihre linken Teile durch rechte zu ersetzen und umgekehrt - rechte Teile durch linke. Das Schwierigste in diesem Fall ist, die entsprechenden Ausdrücke zu sehen und zu verstehen, was die Variablen a und b darin ersetzen. Sehen wir uns einige Beispiele für die Verwendung abgekürzter Multiplikationsformeln an.