DER GROSSE SATZ VON FERMAT - die Aussage von Pierre Fermat (einem französischen Juristen und Teilzeitmathematiker), dass die diophantische Gleichung X n + Y n = Z n mit einem Exponenten n>2, wobei n = eine ganze Zahl ist, keine positiven Lösungen hat ganze Zahlen . Text des Autors: "Es ist unmöglich, einen Würfel in zwei Würfel oder ein Bi-Quadrat in zwei Bi-Quadrate oder allgemein eine Potenz größer als zwei in zwei Potenzen mit demselben Exponenten zu zerlegen."

"Fermat und sein Theorem", Amadeo Modigliani, 1920

Pierre stellte diesen Satz am 29. März 1636 auf. Und nach etwa 29 Jahren starb er. Aber damit fing alles an. Schließlich hat ein wohlhabender deutscher Mathematiker namens Wolfskel demjenigen hunderttausend Mark vermacht, der den vollständigen Beweis des Satzes von Fermat vorlegt! Aber die Aufregung um das Theorem war nicht nur damit verbunden, sondern auch mit professioneller mathematischer Aufregung. Fermat selbst deutete gegenüber der mathematischen Gemeinde an, dass er den Beweis kannte – kurz vor seinem Tod, 1665, hinterließ er am Rand des Buches Diophantus von Alexandria „Arithmetik“ folgenden Eintrag: „Ich habe einen sehr erstaunlichen Beweis, aber er ist es zu groß, um auf Feldern platziert zu werden."

Es war dieser Hinweis (und natürlich ein Geldpreis), der Mathematiker dazu veranlasste, ihre besten Jahre erfolglos mit der Suche nach Beweisen zu verbringen (laut amerikanischen Wissenschaftlern verbrachten allein professionelle Mathematiker insgesamt 543 Jahre damit).

Irgendwann (im Jahr 1901) erlangte die Arbeit an Fermats Theorem den zweifelhaften Ruhm einer „Arbeit, die der Suche nach einem Perpetuum Mobile gleicht“ (es gab sogar einen abfälligen Begriff – „Fermatisten“). Und plötzlich, am 23. Juni 1993, verkündete der englische Mathematikprofessor der Princeton University (New Jersey, USA) Andrew Wiles auf einer mathematischen Konferenz über Zahlentheorie in Cambridge, dass er endlich Fermat bewiesen habe!

Der Beweis war jedoch nicht nur kompliziert, sondern auch offensichtlich fehlerhaft, worauf Wiles von seinen Kollegen hingewiesen wurde. Aber Professor Wiles träumte sein ganzes Leben davon, das Theorem zu beweisen, daher ist es nicht verwunderlich, dass er im Mai 1994 der wissenschaftlichen Gemeinschaft eine neue, verbesserte Version des Beweises präsentierte. Es war keine Harmonie, keine Schönheit darin und es war immer noch sehr kompliziert - die Tatsache, dass Mathematiker diesen Beweis ein ganzes Jahr (!) Analysiert haben, um zu verstehen, ob er nicht falsch ist, spricht für sich!

Aber am Ende stellte sich heraus, dass Wiles' Beweis richtig war. Aber die Mathematiker verziehen Pierre Fermat nicht einmal seinen Hinweis in Arithmetik, und tatsächlich begannen sie, ihn für einen Lügner zu halten. Tatsächlich war die erste Person, die Fermats moralische Integrität in Frage stellte, Andrew Wiles selbst, der bemerkte, dass "Fermat solche Beweise nicht haben konnte. Dies ist ein Beweis des zwanzigsten Jahrhunderts." Dann wurde unter anderen Wissenschaftlern die Meinung stärker, dass Fermat "seinen Satz nicht auf andere Weise beweisen konnte, und Fermat konnte ihn aus objektiven Gründen nicht so beweisen, wie Wiles es vorschlug."

Tatsächlich konnte Fermat das natürlich beweisen, und wenig später wird dieser Beweis von den Analysten der New Analytical Encyclopedia nachgestellt. Aber - was sind diese "objektiven Gründe"?
Tatsächlich gibt es nur einen solchen Grund: In jenen Jahren, als Fermat lebte, konnte Taniyamas Vermutung, auf der Andrew Wiles seinen Beweis aufbaute, nicht erscheinen, weil die modularen Funktionen, auf denen Taniyamas Vermutung beruht, erst Ende des 19. Jahrhunderts entdeckt wurden .

Wie hat Wiles selbst den Satz bewiesen? Die Frage ist nicht müßig - dies ist wichtig, um zu verstehen, wie Fermat selbst seinen Satz beweisen konnte. Wiles baute seinen Beweis auf dem Beweis von Taniyamas Vermutung auf, der 1955 von dem 28-jährigen japanischen Mathematiker Yutaka Taniyama vorgebracht wurde.

Die Vermutung klingt so: „Jeder elliptischen Kurve entspricht eine bestimmte Modulform.“ Die seit langem bekannten elliptischen Kurven haben eine zweidimensionale Form (auf einer Ebene liegend), während modulare Funktionen eine vierdimensionale Form haben. Das heißt, Taniyamas Hypothese kombinierte völlig unterschiedliche Konzepte - einfache flache Kurven und unvorstellbare vierdimensionale Formen. Die bloße Tatsache, verschiedendimensionale Figuren in der Hypothese zu verbinden, erschien den Wissenschaftlern absurd, weshalb ihr 1955 keine Bedeutung beigemessen wurde.

Im Herbst 1984 wurde jedoch plötzlich wieder an die "Taniyama-Hypothese" erinnert, und zwar nicht nur erinnert, sondern ihr möglicher Beweis wurde mit dem Beweis des Satzes von Fermat verbunden! Dies wurde von dem Saarbrücker Mathematiker Gerhard Frey getan, der der wissenschaftlichen Gemeinschaft sagte, dass "wenn jemand Taniyamas Vermutung beweisen könnte, dann wäre Fermats letzter Satz bewiesen."

Was hat Frey getan? Er wandelte die Fermat-Gleichung in eine kubische um und wies dann darauf hin, dass eine elliptische Kurve, die durch Umwandeln der Fermat-Gleichung in eine kubische Kurve erhalten wird, nicht modular sein kann. Taniyamas Vermutung besagte jedoch, dass jede elliptische Kurve modular sein könnte! Dementsprechend kann eine aus der Fermat-Gleichung konstruierte elliptische Kurve nicht existieren, was bedeutet, dass es keine vollständigen Lösungen und den Satz von Fermat geben kann, was bedeutet, dass es wahr ist. Nun, 1993 bewies Andrew Wiles einfach Taniyamas Vermutung und damit Fermats Theorem.

Der Satz von Fermat kann jedoch viel einfacher bewiesen werden, auf der Grundlage derselben Mehrdimensionalität, mit der sowohl Taniyama als auch Frey operierten.

Beachten wir zunächst die von Pierre Fermat selbst festgelegte Bedingung - n>2. Warum war diese Bedingung notwendig? Ja, nur weil für n=2 der gewöhnliche Satz des Pythagoras X 2 + Y 2 = Z 2 ein Sonderfall des Satzes von Fermat wird, der unendlich viele ganzzahlige Lösungen hat - 3,4,5; 5,12,13; 7.24.25; 8,15,17; 12,16,20; 51.140.149 und so weiter. Somit ist der Satz des Pythagoras eine Ausnahme zum Satz von Fermat.

Aber warum genau bei n=2 tritt eine solche Ausnahme auf? Alles fügt sich zusammen, wenn Sie die Beziehung zwischen dem Grad (n = 2) und der Dimension der Figur selbst sehen. Das pythagoräische Dreieck ist eine zweidimensionale Figur. Es überrascht nicht, dass Z (d. h. die Hypotenuse) in Form von Beinen (X und Y) ausgedrückt werden kann, die ganze Zahlen sein können. Die Größe des Winkels (90) ermöglicht es, die Hypotenuse als Vektor zu betrachten, und die Beine sind Vektoren, die sich auf den Achsen befinden und vom Ursprung kommen. Dementsprechend ist es möglich, einen zweidimensionalen Vektor, der auf keiner der Achsen liegt, durch die darauf liegenden Vektoren auszudrücken.

Wenn wir nun in die dritte Dimension gehen und somit zu n=3, um einen dreidimensionalen Vektor auszudrücken, gibt es nicht genügend Informationen über zwei Vektoren, und daher wird es möglich sein, Z in der Fermat-Gleichung in auszudrücken mindestens drei Terme (jeweils drei Vektoren, die auf den drei Achsen des Koordinatensystems liegen).

Wenn n = 4, dann sollten es 4 Terme sein, wenn n = 5, dann sollten es 5 Terme sein, und so weiter. In diesem Fall wird es mehr als genug vollständige Lösungen geben. Zum Beispiel 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 und so weiter (Sie können andere Beispiele für n=3, n=4 usw. wählen).

Was folgt aus all dem? Daraus folgt, dass der Satz von Fermat tatsächlich keine vollständigen Lösungen für n>2 hat – aber nur, weil die Gleichung selbst falsch ist! Mit dem gleichen Erfolg könnte man versuchen, das Volumen eines Parallelepipeds durch die Längen seiner beiden Kanten auszudrücken – das ist natürlich unmöglich (ganze Lösungen werden nie gefunden), sondern nur, weil man das Volumen eines Parallelepipeds finden kann , müssen Sie die Längen aller drei Kanten kennen.

Als der berühmte Mathematiker David Gilbert gefragt wurde, was die derzeit wichtigste Aufgabe für die Wissenschaft sei, antwortete er: „Auf der anderen Seite des Mondes eine Fliege zu fangen“. Auf die vernünftige Frage "Wer braucht das?" er antwortete so: "Niemand braucht es. Aber denken Sie darüber nach, wie viele wichtige und komplexe Aufgaben Sie lösen müssen, um dies zu erreichen."

Mit anderen Worten, Fermat (in erster Linie ein Anwalt!) hat der gesamten mathematischen Welt einen geistreichen juristischen Streich gespielt, basierend auf einer falschen Formulierung des Problems. Tatsächlich schlug er Mathematikern vor, eine Antwort darauf zu finden, warum auf der anderen Seite des Mondes keine Fliege leben könne, und am Rande der Arithmetik wollte er nur schreiben, dass es auf dem Mond einfach keine Luft gibt, d.h. es kann nur deshalb keine ganzzahligen Lösungen seines Satzes für n > 2 geben, weil jeder Wert von n einer bestimmten Anzahl von Termen auf der linken Seite seiner Gleichung entsprechen muss.

Aber war es nur ein Scherz? Gar nicht. Fermats Genialität liegt gerade darin, dass er tatsächlich als Erster den Zusammenhang zwischen dem Grad und der Dimension einer mathematischen Figur gesehen hat – also das absolut Äquivalente, die Anzahl der Terme auf der linken Seite der Gleichung. Der Sinn seines berühmten Theorems bestand gerade darin, die mathematische Welt nicht nur auf die Idee dieses Zusammenhangs zu drängen, sondern auch den Beweis für die Existenz dieses Zusammenhangs einzuleiten – intuitiv verständlich, aber mathematisch noch nicht untermauert.

Fermat verstand wie kein anderer, dass die Herstellung einer Beziehung zwischen scheinbar unterschiedlichen Objekten nicht nur in der Mathematik, sondern in jeder Wissenschaft äußerst fruchtbar ist. Eine solche Beziehung weist auf ein tiefes Prinzip hin, das beiden Objekten zugrunde liegt und ein tieferes Verständnis von ihnen ermöglicht.

Beispielsweise betrachteten Physiker zunächst Elektrizität und Magnetismus als völlig voneinander unabhängige Phänomene, und im 19. Jahrhundert erkannten Theoretiker und Experimentatoren, dass Elektrizität und Magnetismus eng miteinander verbunden sind. Das Ergebnis war ein tieferes Verständnis von Elektrizität und Magnetismus. Elektrische Ströme erzeugen Magnetfelder, und Magnete können Elektrizität in Leitern in der Nähe der Magnete induzieren. Dies führte zur Erfindung von Dynamos und Elektromotoren. Schließlich wurde entdeckt, dass Licht das Ergebnis koordinierter harmonischer Schwingungen magnetischer und elektrischer Felder ist.

Die Mathematik zu Fermats Zeiten bestand aus Wissensinseln in einem Meer von Unwissenheit. Geometer untersuchten Formen auf einer Insel und Mathematiker untersuchten Wahrscheinlichkeit und Zufall auf der anderen Insel. Die Sprache der Geometrie unterschied sich stark von der Sprache der Wahrscheinlichkeitstheorie, und die algebraische Terminologie war denen fremd, die nur über Statistik sprachen. Leider besteht die Mathematik unserer Zeit aus ungefähr denselben Inseln.

Farm erkannte als erster, dass all diese Inseln miteinander verbunden sind. Und sein berühmter Satz – der GROSSE SATZ von Fermat – ist eine hervorragende Bestätigung dafür.

Im 17. Jahrhundert lebte in Frankreich der Jurist und Teilzeitmathematiker Pierre Fermat, der seinem Hobby viele Stunden Muße gab. Eines Winterabends, als er am Kamin saß, stellte er eine äußerst merkwürdige Aussage aus dem Bereich der Zahlentheorie vor – diese wurde später Fermats großer oder großer Satz genannt. Vielleicht wäre die Aufregung in mathematischen Kreisen nicht so groß gewesen, wenn ein Ereignis nicht stattgefunden hätte. Der Mathematiker verbrachte oft Abende damit, das Lieblingsbuch des Diophantos von Alexandria „Arithmetik“ (3. Jahrhundert) zu studieren und wichtige Gedanken an den Rand zu schreiben – diese Rarität wurde von seinem Sohn sorgfältig für die Nachwelt bewahrt. So hatte Fermats Hand an den breiten Rändern dieses Buches diese Inschrift hinterlassen: "Ich habe einen ziemlich auffälligen Beweis, aber er ist zu groß, um ihn an den Rand zu stellen." Es war dieser Eintrag, der die überwältigende Aufregung um das Theorem verursachte. Unter Mathematikern gab es keinen Zweifel, dass der große Wissenschaftler erklärte, er habe seinen eigenen Satz bewiesen. Sie fragen sich wahrscheinlich: „Hat er es wirklich bewiesen, oder war es eine banale Lüge, oder gibt es vielleicht andere Versionen, warum dieser Eintrag, der Mathematikern nachfolgender Generationen keinen ruhigen Schlaf ermöglichte, am Rande der Buchen?".

Die Essenz des Großen Satzes

Der ziemlich bekannte Satz von Fermat ist im Wesentlichen einfach und besteht darin, dass, vorausgesetzt, dass n größer als zwei ist, eine positive Zahl, die Gleichung X n + Y n \u003d Z n keine Lösungen vom Typ Null enthält das Gerüst der natürlichen Zahlen. In dieser scheinbar einfachen Formel steckte eine unglaubliche Komplexität, und es dauerte drei Jahrhunderte, sie zu beweisen. Es gibt eine Kuriosität - der Satz kam mit seiner Geburt spät, da sein Sonderfall für n = 2 vor 2200 Jahren auftauchte - das ist der nicht weniger berühmte Satz des Pythagoras.

Anzumerken ist, dass die Geschichte um den bekannten Satz von Fermat nicht nur für Mathematiker sehr lehrreich und unterhaltsam ist. Am interessantesten ist, dass die Wissenschaft für den Wissenschaftler kein Job war, sondern ein einfaches Hobby, das wiederum dem Farmer große Freude bereitete. Er hielt auch ständig Kontakt mit einem Mathematiker und einem Teilzeitfreund, der auch Ideen teilte, aber seltsamerweise versuchte er nicht, seine eigene Arbeit zu veröffentlichen.

Abhandlungen des Mathematikers Farmer

Die Werke von Farmer selbst wurden genau in Form gewöhnlicher Briefe gefunden. An manchen Stellen fehlten ganze Seiten, und nur Fragmente der Korrespondenz sind erhalten geblieben. Interessanter ist die Tatsache, dass Wissenschaftler seit drei Jahrhunderten nach dem Theorem suchen, das in den Schriften von Fermer entdeckt wurde.

Aber wer es nicht wagte, es zu beweisen, der Versuch wurde auf "null" reduziert. Der berühmte Mathematiker Descartes beschuldigte den Wissenschaftler sogar der Prahlerei, aber es lief alles auf den gewöhnlichsten Neid hinaus. Neben der Erstellung bewies Farmer auch sein eigenes Theorem. Die Lösung wurde zwar für den Fall n=4 gefunden. Den Fall für n=3 hat der Mathematiker Euler identifiziert.

Wie haben sie versucht, den Satz von Fermer zu beweisen?

Ganz am Anfang des 19. Jahrhunderts bestand dieses Theorem weiter. Mathematiker haben viele Beweise für Sätze gefunden, die auf natürliche Zahlen innerhalb von zweihundert beschränkt waren.

Und 1909 wurde eine ziemlich große Summe in Höhe von hunderttausend Mark deutscher Herkunft aufs Spiel gesetzt - und das alles nur, um das mit diesem Theorem verbundene Problem zu lösen. Den Fond der Preisklasse selbst hinterließ übrigens ein wohlhabender Mathematikliebhaber Paul Wolfskell, ursprünglich aus Deutschland, er war es übrigens, der "Hand an sich selbst legen" wollte, aber dank einer solchen Beteiligung an Fermers Theorem wollte er live. Die daraus resultierende Aufregung führte zu Unmengen von „Beweisen“, die die deutschen Universitäten überschwemmten, und im Kreis der Mathematiker war der Spitzname „Fermist“ geboren, der halb verächtlich jeden ambitionierten Emporkömmling nannte, der keinen eindeutigen Beweis erbrachte.

Hypothese des japanischen Mathematikers Yutaka Taniyama

Bis Mitte des 20. Jahrhunderts gab es keine Verschiebungen in der Geschichte des Großen Theorems, aber ein interessantes Ereignis ereignete sich. 1955 enthüllte der 28-jährige japanische Mathematiker Yutaka Taniyama der Welt eine Aussage aus einem ganz anderen mathematischen Gebiet - seine Hypothese war im Gegensatz zu Fermat seiner Zeit voraus. Dort heißt es: "Für jede elliptische Kurve gibt es eine entsprechende Modulform." Es scheint für jeden Mathematiker ein Unding zu sein, dass ein Baum aus einem bestimmten Metall besteht! Die paradoxe Hypothese wurde, wie die meisten anderen erstaunlichen und genialen Entdeckungen, nicht akzeptiert, weil sie ihr einfach noch nicht erwachsen waren. Und Yutaka Taniyama beging drei Jahre später Selbstmord - eine unerklärliche Tat, aber wahrscheinlich war die Ehre für ein wahres Samurai-Genie vor allem.

Ein ganzes Jahrzehnt lang wurde die Vermutung nicht in Erinnerung gerufen, aber in den siebziger Jahren erreichte sie den Höhepunkt der Popularität - sie wurde von allen bestätigt, die sie verstehen konnten, aber wie der Satz von Fermat blieb sie unbewiesen.

Wie Taniyamas Vermutung und Fermats Theorem zusammenhängen

Fünfzehn Jahre später ereignete sich ein Schlüsselereignis in der Mathematik, das die berühmte japanische Vermutung und den Satz von Fermat verband. Gerhard Gray erklärte, dass, wenn die Taniyama-Vermutung bewiesen ist, die Beweise für den Satz von Fermat gefunden werden. Das heißt, letzteres ist eine Folge der Taniyama-Hypothese, und anderthalb Jahre später wurde Fermats Theorem von einem Professor an der University of California, Kenneth Ribet, bewiesen.

Die Zeit verging, Rückschritt wurde durch Fortschritt ersetzt, und die Wissenschaft schritt schnell voran, insbesondere auf dem Gebiet der Computertechnologie. Somit begann der Wert von n immer mehr zuzunehmen.

Ganz am Ende des 20. Jahrhunderts standen die leistungsstärksten Computer in Militärlabors, es wurde programmiert, um eine Lösung für das bekannte Fermat-Problem abzuleiten. Als Folge aller Versuche zeigte sich, dass dieser Satz für viele Werte von n, x, y richtig ist. Aber leider wurde dies nicht der endgültige Beweis, da es keine Einzelheiten als solche gab.

John Wiles hat den großen Satz von Fermat bewiesen

Und schließlich fand und demonstrierte erst Ende 1994 ein Mathematiker aus England, John Wiles, einen exakten Beweis des umstrittenen Fermer-Theorems. Dann, nach vielen Verbesserungen, kamen die Diskussionen zu diesem Thema zu ihrem logischen Abschluss.

Die Widerlegung wurde auf mehr als hundert Seiten einer Zeitschrift veröffentlicht! Außerdem wurde der Satz auf einem moderneren Apparat der höheren Mathematik bewiesen. Und überraschenderweise gab es zu der Zeit, als der Farmer sein Werk schrieb, einen solchen Apparat noch nicht in der Natur. Mit einem Wort, der Mann wurde als Genie auf diesem Gebiet anerkannt, mit dem niemand streiten konnte. Trotz allem, was passiert ist, können Sie heute sicher sein, dass das vorgestellte Theorem des großen Wissenschaftlers Farmer gerechtfertigt und bewiesen ist, und kein Mathematiker mit gesundem Menschenverstand wird Streitigkeiten zu diesem Thema beginnen, dem selbst die eingefleischtesten Skeptiker der ganzen Menschheit zustimmen.

Der vollständige Name der Person, nach der das vorgestellte Theorem benannt wurde, lautete Pierre de Fermer. Er leistete Beiträge zu einer Vielzahl von Gebieten der Mathematik. Leider wurden die meisten seiner Werke erst nach seinem Tod veröffentlicht.

Das große Theorem Farm Singh Simon

"Ist Fermats letzter Satz bewiesen?"

Es war nur der erste Schritt zum Beweis der Taniyama-Shimura-Vermutung, aber die von Wiles gewählte Strategie war ein brillanter mathematischer Durchbruch, ein Ergebnis, das es verdiente, veröffentlicht zu werden. Aber aufgrund des Schweigegelübdes, das Wiles sich selbst auferlegt hatte, konnte er den Rest der Welt nicht über das Ergebnis informieren und hatte keine Ahnung, wer sonst noch einen so bedeutenden Durchbruch schaffen könnte.

Wiles erinnert sich an seine philosophische Einstellung gegenüber potenziellen Herausforderern: „Niemand möchte Jahre damit verbringen, etwas zu beweisen und feststellen, dass jemand anderes den Beweis ein paar Wochen zuvor gefunden hat. Aber seltsamerweise hatte ich, da ich versuchte, ein Problem zu lösen, das im Grunde als unlösbar galt, keine große Angst vor meinen Gegnern. Ich habe einfach nicht erwartet, dass ich oder jemand anderes auf eine Idee kommt, die zu einem Beweis führen würde."

Am 8. März 1988 war Wiles schockiert, als er auf der Titelseite groß gedruckte Schlagzeilen sah, die lauteten: „Fermats letzter Satz bewiesen“. Die Washington Post und die New York Times berichteten, dass der 38-jährige Yoichi Miyaoka von der Tokyo Metropolitan University das schwierigste mathematische Problem der Welt gelöst hatte. Bisher hat Miyaoka seinen Beweis noch nicht veröffentlicht, aber er skizzierte seinen Verlauf auf einem Seminar am Max-Planck-Institut für Mathematik in Bonn. Don Zagier, der an Miyaokas Bericht teilnahm, drückte den Optimismus der mathematischen Gemeinschaft mit den folgenden Worten aus: „Der von Miyaoka vorgelegte Beweis ist äußerst interessant, und einige Mathematiker glauben, dass er sich mit hoher Wahrscheinlichkeit als richtig erweisen wird. Es gibt noch keine Gewissheit, aber bisher sehen die Beweise sehr ermutigend aus.“

Auf einem Seminar in Bonn sprach Miyaoka über seinen Lösungsansatz, den er aus einem ganz anderen, algebrogeometrischen Blickwinkel betrachtete. In den letzten Jahrzehnten haben Geometer ein tiefes und subtiles Verständnis mathematischer Objekte, insbesondere der Eigenschaften von Oberflächen, erlangt. In den 1970er Jahren versuchte der russische Mathematiker S. Arakelov, Parallelen zwischen Problemen der algebraischen Geometrie und Problemen der Zahlentheorie herzustellen. Dies war eine der Programmlinien von Langlands, und Mathematiker hofften, dass ungelöste Probleme in der Zahlentheorie gelöst werden könnten, indem sie die entsprechenden Probleme in der Geometrie untersuchten, die ebenfalls ungelöst blieben. Ein solches Programm war als Nebenläufigkeitsphilosophie bekannt. Diese algebraischen Geometer, die versuchten, Probleme in der Zahlentheorie zu lösen, wurden "arithmetische algebraische Geometer" genannt. 1983 läuteten sie ihren ersten bedeutenden Sieg ein, als Gerd Faltings vom Princeton Institute for Advanced Study bedeutende Beiträge zum Verständnis von Fermats Theorem leistete. Daran erinnern, dass nach Fermat die Gleichung

bei n größer als 2 hat keine Lösungen in ganzen Zahlen. Faltings dachte, er habe Fortschritte beim Beweis von Fermats letztem Satz gemacht, indem er die geometrischen Oberflächen untersuchte, die mit verschiedenen Werten verbunden waren n. Oberflächen, die den Fermat-Gleichungen für verschiedene Werte zugeordnet sind n, unterscheiden sich voneinander, haben aber eine gemeinsame Eigenschaft - sie alle haben Durchgangslöcher oder, einfach gesagt, Löcher. Diese Oberflächen sind vierdimensional, ebenso wie die Graphen modularer Formen. Zweidimensionale Schnitte zweier Oberflächen sind in Abb. 1 dargestellt. 23. Die mit der Fermat-Gleichung verbundenen Flächen sehen ähnlich aus. Je größer der Wert n in der Gleichung, desto mehr Löcher in der entsprechenden Oberfläche.

Reis. 23. Diese beiden Oberflächen wurden unter Verwendung des Computerprogramms Mathematica erhalten. Jeder von ihnen stellt den Ort der Punkte dar, die die Gleichung erfüllen x n + ja n = z n(für die Fläche links n=3, für die rechte Fläche n=5). Variablen x und j gelten als komplex.

Faltings konnte nachweisen, dass, da solche Flächen immer mehrere Löcher haben, die zugehörige Fermat-Gleichung nur eine endliche Menge von Lösungen in ganzen Zahlen haben kann. Die Anzahl der Lösungen könnte von null, wie Fermat vorgeschlagen hat, bis zu einer Million oder einer Milliarde reichen. Somit hat Faltings den letzten Satz von Fermat nicht bewiesen, aber zumindest die Möglichkeit verworfen, dass die Fermat-Gleichung unendlich viele Lösungen haben könnte.

Fünf Jahre später berichtete Miyaoka, dass er noch einen Schritt weiter gegangen sei. Er war damals Anfang zwanzig. Miyaoka formulierte eine Vermutung über eine gewisse Ungleichheit. Es wurde klar, dass der Beweis seiner geometrischen Vermutung bedeuten würde, zu beweisen, dass die Anzahl der Lösungen der Fermatschen Gleichung nicht nur endlich, sondern null ist. Miyaokas Ansatz war dem von Wiles insofern ähnlich, als sie beide versuchten, Fermats letzten Satz zu beweisen, indem sie ihn mit einer fundamentalen Vermutung in einem anderen Bereich der Mathematik in Beziehung setzten. Für Miyaoka war es die algebraische Geometrie, für Wiles führte der Weg zum Beweis über elliptische Kurven und modulare Formen. Sehr zu Wiles' Leidwesen kämpfte er immer noch mit dem Beweis der Taniyama-Shimura-Vermutung, als Miyaoka behauptete, einen vollständigen Beweis seiner eigenen Vermutung und damit von Fermats letztem Satz zu haben.

Zwei Wochen nach seiner Rede in Bonn veröffentlichte Miyaoka die fünf Seiten mit Berechnungen, die die Essenz seines Beweises bildeten, und eine gründliche Überprüfung begann. Zahlentheoretiker und algebraische Geometrien auf der ganzen Welt haben Zeile für Zeile studiert, Berechnungen veröffentlicht. Ein paar Tage später entdeckten Mathematiker einen Widerspruch im Beweis, der nur Anlass zur Sorge geben musste. Ein Teil von Miyaokas Arbeit führte zu einer Aussage aus der Zahlentheorie, aus der, übersetzt in die Sprache der algebraischen Geometrie, eine Aussage gewonnen wurde, die dem einige Jahre zuvor erhaltenen Ergebnis widersprach. Während dies Miyaokas gesamten Beweis nicht notwendigerweise ungültig machte, passte die entdeckte Diskrepanz nicht in die Philosophie der Parallelität zwischen Zahlentheorie und Geometrie.

Zwei Wochen später gab Gerd Faltings, der den Weg für Miyaoke ebnete, bekannt, dass er die genaue Ursache für die offensichtliche Verletzung der Parallelität herausgefunden habe – eine Begründungslücke. Der japanische Mathematiker war Geometer und übertrug seine Ideen nicht unbedingt streng auf das weniger vertraute Gebiet der Zahlentheorie. Eine Armee von Zahlentheoretikern bemühte sich verzweifelt, das Loch in Miyaokis Beweis zu stopfen, aber vergebens. Zwei Monate nachdem Miyaoka bekannt gab, dass er einen vollständigen Beweis von Fermats letztem Satz hatte, kam die mathematische Gemeinschaft zu dem einstimmigen Schluss, dass Miyaokas Beweis zum Scheitern verurteilt war.

Wie bei früheren fehlgeschlagenen Beweisen gelang es Miyaoka, viele interessante Ergebnisse zu erzielen. Teile seines Beweises verdienen Aufmerksamkeit als sehr geniale Anwendungen der Geometrie auf die Zahlentheorie, und in späteren Jahren benutzten andere Mathematiker sie, um bestimmte Theoreme zu beweisen, aber niemandem gelang es, Fermats letzten Satz auf diese Weise zu beweisen.

Der Hype um Fermats letzten Satz legte sich bald, und die Zeitungen brachten kurze Notizen, dass das dreihundert Jahre alte Rätsel immer noch ungelöst sei. An der Wand der New Yorker U-Bahnstation in der Eighth Street erschien die folgende Inschrift, zweifellos inspiriert von Presseveröffentlichungen über Fermats letzten Satz: „Die Gleichung xn + yn = zn hat keine Lösungen. Ich habe einen wirklich erstaunlichen Beweis für diese Tatsache gefunden, aber ich kann ihn hier nicht niederschreiben, weil mein Zug gekommen ist.

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Da nur wenige Menschen mit mathematischem Denken vertraut sind, werde ich über die größte wissenschaftliche Entdeckung – den elementaren Beweis von Fermats letztem Satz – in der verständlichsten Schulsprache sprechen.

Der Beweis wurde für einen speziellen Fall (für eine Primzahlpotenz n>2) gefunden, auf den (und den Fall n=4) alle Fälle mit zusammengesetztem n leicht zurückgeführt werden können.

Wir müssen also beweisen, dass die Gleichung A^n=C^n-B^n keine Lösung in ganzen Zahlen hat. (Hier bedeutet das ^-Zeichen Grad.)

Der Beweis wird in einem Zahlensystem mit einfacher Basis n geführt. In diesem Fall werden in jeder Einmaleins-Tabelle die letzten Ziffern nicht wiederholt. Beim üblichen Dezimalsystem ist die Situation anders. Wenn Sie beispielsweise die Zahl 2 sowohl mit 1 als auch mit 6 multiplizieren, enden beide Produkte – 2 und 12 – auf denselben Zahlen (2). Und zum Beispiel sind im Septensystem für die Zahl 2 alle letzten Ziffern unterschiedlich: 0x2=...0, 1x2=...2, 2x2=...4, 3x2=...6, 4x2 =...1, 5x2=...3, 6x2=...5, mit einer Reihe von Endziffern 0, 2, 4, 6, 1, 3, 5.

Dank dieser Eigenschaft ist für jede Zahl A, die nicht auf Null endet (und in Fermats Gleichheit die letzte Ziffer der Zahlen A, wohl oder B, nach Division der Gleichheit durch den gemeinsamen Teiler der Zahlen A, B, C ist ungleich Null), können Sie einen Faktor g so wählen, dass die Zahl Ag eine beliebig lange Endung wie 000...001 hat. Mit einer solchen Zahl g multiplizieren wir alle Basiszahlen A, B, C in der Fermatschen Gleichheit. Gleichzeitig machen wir das einzelne Ende lang genug, nämlich zwei Stellen länger als die Anzahl (k) von Nullen am Ende der Zahl U=A+B-C.

Die Zahl U ist ungleich Null - sonst C \u003d A + B und A ^ n<(А+В)^n-B^n, т.е. равенство Ферма является неравенством.

Das ist in der Tat die ganze Vorbereitung von Fermats Gleichheit für eine kurze und abschließende Studie. Das einzige, was wir noch tun müssen: Wir schreiben die rechte Seite von Fermats Gleichheit - C ^ n-B ^ n - um, indem wir die Schulerweiterungsformel verwenden: C ^ n-B ^ n \u003d (C-B) P oder aP. Und da wir im Folgenden nur mit den Ziffern der (k + 2)-Ziffernenden der Zahlen A, B, C operieren (multiplizieren und addieren), können wir deren Kopfteile ignorieren und einfach verwerfen (wobei nur eine Tatsache übrig bleibt zur Erinnerung: die linke Seite von Fermats Gleichheit ist eine POWER).

Erwähnenswert sind nur noch die letzten Ziffern der Zahlen a und P. In Fermats ursprünglicher Gleichheit endet die Zahl P in der Zahl 1. Dies folgt aus der Formel des kleinen Satzes von Fermat, die in Nachschlagewerken zu finden ist. Und nach Multiplikation der Fermat-Gleichung mit der Zahl g ^ n wird die Zahl P mit der Zahl g hoch n-1 multipliziert, was nach dem kleinen Satz von Fermat ebenfalls auf der Zahl 1 endet. Also im neuen Fermat Äquivalente Gleichheit, die Zahl P endet auf 1. Und wenn A auf 1 endet, dann endet auch A^n auf 1, und daher endet auch die Zahl a auf 1.

Wir haben also eine Ausgangssituation: Die letzten Ziffern A", a", P" der Zahlen A, a, P enden in der Zahl 1.

Nun, dann beginnt eine süße und faszinierende Operation, die vorzugsweise "Mühle" genannt wird: Indem wir die nachfolgenden Ziffern a "", a """ usw. berücksichtigen, berechnen wir ausschließlich "einfach", dass sie auch sind gleich Null! Ich habe „einfach“ in Anführungszeichen gesetzt, weil die Menschheit den Schlüssel zu diesem „einfach“ 350 Jahre lang nicht finden konnte! Und der Schlüssel stellte sich wirklich als unerwartet und verblüffend primitiv heraus: Die Zahl P muss als P dargestellt werden = q ^ (n-1) + Qn ^(k + 2) Es lohnt sich nicht, den zweiten Term in dieser Summe zu beachten - schließlich haben wir im weiteren Beweis alle Zahlen nach der (k + 2)-ten verworfen in den Zahlen (und das vereinfacht die Analyse drastisch!) Nach Verwerfen der Kopfteilzahlen nimmt die Fermatsche Gleichheit also die Form an: ...1=aq^(n-1), wobei a und q keine Zahlen sind, sondern nur die Endungen der Zahlen a und q! (Ich führe keine neue Notation ein, da dies das Lesen erschwert.)

Die letzte philosophische Frage bleibt: Warum kann die Zahl P als P=q^(n-1)+Qn^(k+2) dargestellt werden? Die Antwort ist einfach: weil jede ganze Zahl P mit 1 am Ende in dieser Form und IDENTISCH dargestellt werden kann. (Sie können es sich auf viele andere Arten vorstellen, aber wir müssen es nicht.) Tatsächlich ist die Antwort für P=1 offensichtlich: P=1^(n-1). Für P=hn+1 ist die Zahl q=(n-h)n+1, was leicht zu überprüfen ist, indem man die Gleichung [(n-h)n+1]^(n-1)==hn+1 nach zwei Werten löst Enden. Und so weiter (aber wir brauchen keine weiteren Berechnungen, da wir nur die Darstellung von Zahlen der Form P=1+Qn^t brauchen).

Uf-f-f-f! Nun, die Philosophie ist vorbei, Sie können mit Berechnungen auf der Ebene der zweiten Klasse fortfahren, es sei denn, Sie erinnern sich nur noch einmal an Newtons Binomialformel.

Lassen Sie uns also die Zahl a"" (in der Zahl a=a""n+1) einführen und sie verwenden, um die Zahl q"" (in der Zahl q=q""n+1) zu berechnen:
...01=(a""n+1)(q""n+1)^(n-1), oder...01=(a""n+1)[(n-q"")n+ 1 ], womit q""=a"".

Und jetzt kann die rechte Seite von Fermats Gleichheit umgeschrieben werden als:
A^n=(a""n+1)^n+Dn^(k+2), wobei uns der Wert der Zahl D nicht interessiert.

Und jetzt kommen wir zum entscheidenden Schluss. Die Zahl a „“ n + 1 ist eine zweistellige Endung der Zahl A und bestimmt DESHALB nach einem einfachen Lemma eindeutig die DRITTE Ziffer des Grades A ^ n. Und außerdem von der Erweiterung des Newtonschen Binoms
(a "" n + 1) ^ n, da jeder Term der Erweiterung (außer dem ersten, den das Wetter nicht mehr ändern kann!) durch einen EINFACHEN Faktor n (die Basis der Zahl!) verbunden ist, ist es klar, dass diese dritte Ziffer gleich einem "" ist. Aber durch Multiplizieren von Fermats Gleichheit mit g ^ n haben wir die Ziffer k + 1 vor der letzten 1 in der Zahl A in 0 umgewandelt. Und daher ein "" \u003d 0 !!!

Damit haben wir den Kreis geschlossen: Durch die Einführung von a"" haben wir festgestellt, dass q""=a"", und schließlich a""=0!

Nun, es bleibt zu sagen, dass wir nach Durchführung ganz ähnlicher Berechnungen und den anschließenden k Ziffern die endgültige Gleichheit erhalten: (k + 2)-stellige Endung der Zahl a, oder C-B, - genau wie die Zahl A, ist gleich 1. Aber dann ist die (k+2)-te Ziffer von C-A-B gleich Null, während sie NICHT gleich Null ist!!!

Hier ist eigentlich der ganze Beweis. Um es zu verstehen, muss man keine Hochschulbildung haben und darüber hinaus ein professioneller Mathematiker sein. Doch Profis schweigen...

Der lesbare Text des vollständigen Beweises befindet sich hier:

Bewertungen

Hallo Viktor. Mir hat Ihr Lebenslauf gefallen. „Lass nicht vor dem Tod sterben“ klingt natürlich toll. Von der Begegnung in Prosa mit dem Satz von Fermat war ich, um ehrlich zu sein, fassungslos! Gehört sie hierher? Es gibt wissenschaftliche, populärwissenschaftliche und Teekannenseiten. Ansonsten vielen Dank für Ihre literarische Arbeit.
Mit freundlichen Grüßen Anja.

Liebe Anya, trotz der ziemlich strengen Zensur erlaubt dir Prosa, ÜBER ALLES zu schreiben. Mit dem Satz von Fermat ist die Situation wie folgt: Große mathematische Foren behandeln Fermatisten schräg, mit Unhöflichkeit und behandeln sie im Großen und Ganzen so gut sie können. In kleinen russischen, englischen und französischen Foren habe ich jedoch die letzte Version des Beweises präsentiert. Bisher hat noch niemand Gegenargumente vorgebracht, und ich bin mir sicher, dass es auch niemand tun wird (der Beweis wurde sehr sorgfältig geprüft). Am Samstag werde ich eine philosophische Notiz über das Theorem veröffentlichen.
Es gibt fast keine Flegel in der Prosa, und wenn du nicht mit ihnen herumhängst, dann kommen sie ziemlich bald heraus.
Fast alle meine Arbeiten werden in Prosa vorgelegt, daher habe ich auch den Beweis hier platziert.
Bis bald,

Datei FERMA-KDVar © N. M. Koziy, 2008

Zertifikat der Ukraine Nr. 27312

EIN KURZER BEWEIS DES GROßEN SATZES VON FERMAT

Der letzte Satz von Fermat wird wie folgt formuliert: Diophantische Gleichung (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

ABER n + v n = C n * /1/

wo n- eine positive ganze Zahl größer als zwei hat keine Lösung in positiven ganzen Zahlen EIN , B , AUS .

NACHWEISEN

Aus der Formulierung des letzten Satzes von Fermat folgt: wenn n eine positive ganze Zahl größer als zwei ist, vorausgesetzt, dass zwei der drei Zahlen ABER , BEI oder AUS positive ganze Zahlen sind, eine dieser Zahlen keine positive ganze Zahl ist.

Wir bauen den Beweis auf der Grundlage des Fundamentalsatzes der Arithmetik auf, der als „Satz von der Eindeutigkeit der Faktorisierung“ oder „Satz von der Eindeutigkeit der Faktorisierung von ganzzahligen zusammengesetzten Zahlen in Primfaktoren“ bezeichnet wird. Ungerade und gerade Exponenten möglich n . Betrachten wir beide Fälle.

1. Fall eins: Exponent n - ungerade Zahl.

Dabei wird der Ausdruck /1/ nach bekannten Formeln wie folgt umgerechnet:

ABER n + BEI n = AUS n /2/

wir glauben das EIN und B sind positive ganze Zahlen.

Zahlen ABER , BEI und AUS müssen relativ Primzahlen sein.

Aus Gleichung /2/ folgt das für gegebene Zahlenwerte EIN und B Faktor ( EIN + B ) n , AUS.

Sagen wir die Zahl AUS - eine positive ganze Zahl. Unter Berücksichtigung der akzeptierten Bedingungen und des Hauptsatzes der Arithmetik, der Bedingung :

AUS n = EIN n + B n = (A+B) n ∙ D n , / 3/

wo ist der multiplikator D n D

Aus Gleichung /3/ folgt:

Gleichung /3/ impliziert auch, dass die Zahl [ C n = Ein + B n ] vorausgesetzt, die Nummer AUS ( EIN + B ) n. Es ist jedoch bekannt, dass:

Ein + B n < ( EIN + B ) n /5/

Folglich:

ist eine Bruchzahl kleiner als eins. /6/

Bruchzahl.

n

Für ungerade Exponenten n >2 Nummer:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Aus der Analyse der Gleichung /2/ folgt das mit ungeradem Exponenten n Nummer:

AUS n = ABER n + BEI n = (A+B)

besteht aus zwei bestimmten algebraischen Faktoren und für jeden Wert des Exponenten n der algebraische Faktor bleibt unverändert ( EIN + B ).

Somit hat der letzte Satz von Fermat keine Lösung in positiven ganzen Zahlen für einen ungeraden Exponenten n >2.

2. Fall zwei: Exponent n - gerade Zahl .

Die Essenz des letzten Satzes von Fermat ändert sich nicht, wenn die Gleichung /1/ wie folgt umgeschrieben wird:

Ein = C n - B n /7/

In diesem Fall wird die Gleichung /7/ wie folgt transformiert:

Ein n = C n - B n = ( AUS +B)∙(C n-1 + C n-2 B+ C n-3 ∙ B 2 +…+ C ∙ B n -2 + B n -1 ). /8/

Das akzeptieren wir AUS und BEI- ganze Zahlen.

Aus Gleichung /8/ folgt das für gegebene Zahlenwerte B und C Faktor (C+ B ) hat für jeden Wert des Exponenten denselben Wert n , daher ist es ein Teiler einer Zahl EIN .

Sagen wir die Zahl ABER- ganze Zahl. Unter Berücksichtigung der akzeptierten Bedingungen und des Hauptsatzes der Arithmetik, der Bedingung :

ABER n = C n - B n =(C+ B ) n ∙ D n , / 9/

wo ist der multiplikator D n muss eine Ganzzahl und somit eine Zahl sein D muss auch eine ganze Zahl sein.

Aus Gleichung /9/ folgt:

/10/

Gleichung /9/ impliziert auch, dass die Zahl [ ABER n = AUS n - B n ] vorausgesetzt, die Nummer ABER- eine ganze Zahl, muss durch eine Zahl teilbar sein (C+ B ) n. Es ist jedoch bekannt, dass:

AUS n - B n < (С+ B ) n /11/

Folglich:

ist eine Bruchzahl kleiner als eins. /12/

Bruchzahl.

Daraus folgt für einen ungeraden Wert des Exponenten n Gleichung /1/ des letzten Satzes von Fermat hat keine Lösung in positiven ganzen Zahlen.

Mit geraden Exponenten n >2 Nummer:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Somit hat der letzte Satz von Fermat keine Lösung in positiven ganzen Zahlen und für einen geraden Exponenten n >2.

Aus dem Obigen folgt die allgemeine Schlussfolgerung: Die Gleichung /1/ des letzten Satzes von Fermat hat keine Lösung in positiven ganzen Zahlen A, B und AUS vorausgesetzt, dass der Exponent n > 2 ist.

ZUSÄTZLICHE GRÜNDE

In dem Fall, wenn der Exponent n – gerade Zahl, algebraischer Ausdruck ( C n - B n ) zerlegt in algebraische Faktoren:

C 2 - B 2 \u003d(C-B) ∙ (C+B); /13/

C4 – B4 = ( C-B) ∙ (C+B) (C 2 + B 2);/14/

C6 - B6 =(C-B) ∙ (C + B) (C 2 -CB + B 2) ∙ (C 2 + CB + B 2) ; /15/

C 8 - B 8= (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C 2 + B 2) ∙ (C 4 + B 4)./16/

Lassen Sie uns Beispiele in Zahlen geben.

BEISPIEL 1: B = 11; C=35.

C 2 – B 2 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) = 2 4 3 23;

C 4 – B 4 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) = 2 4 3 23 673;

C 6 – B 6 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (31 2) (3 577) =2 ∙ 3 ​​​​∙ 23 ∙ 31 2 ∙ 577;

C 8 – B 8 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) ∙ (2 75633) = 2 5 ∙ 3 ∙ 23 ∙673 ∙ 75633 .

BEISPIEL 2: B = 16; C=25.

C 2 – B 2 = (3 2) ∙ (41) = 3 2 ∙ 41;

C 4 – B 4 = (3 2) ∙ (41) (881) =3 2 ∙ 41 881;

C 6 – B 6 = (3 2) ∙ (41) ∙ (2 2 ∙ 3) ∙ (13 37) (3 ∙ 7 61) = 3 3 7 ∙ 13 37 ∙ 41 ∙ 61;

C 8 – B 8 = (3 2) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 26833) = 3 2 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 26833.

Aus der Analyse der Gleichungen /13/, /14/, /15/ und /16/ und den entsprechenden Zahlenbeispielen folgt:

Für einen gegebenen Exponenten n , wenn es eine gerade Zahl ist, eine Zahl ABER n = C n - B n zerfällt in eine wohldefinierte Anzahl wohldefinierter algebraischer Faktoren;

Für jeden Abschluss n , wenn es eine gerade Zahl ist, im algebraischen Ausdruck ( C n - B n ) Es gibt immer Multiplikatoren ( C - B ) und ( C + B ) ;

Jeder algebraische Faktor entspricht einem wohldefinierten numerischen Faktor;

Für gegebene Zahlenwerte BEI und AUS numerische Faktoren können Primzahlen oder zusammengesetzte numerische Faktoren sein;

Jeder zusammengesetzte numerische Faktor ist ein Produkt von Primzahlen, die teilweise oder vollständig in anderen zusammengesetzten numerischen Faktoren fehlen;

Der Wert der Primzahlen in der Zusammensetzung zusammengesetzter numerischer Faktoren steigt mit der Zunahme dieser Faktoren;

Die Zusammensetzung des größten zusammengesetzten numerischen Faktors, der dem größten algebraischen Faktor entspricht, enthält die größte Primzahl mit einer Potenz kleiner als der Exponent n(meistens im ersten Studiengang).

SCHLUSSFOLGERUNGEN: Zusätzliche Begründungen stützen die Schlussfolgerung, dass der letzte Satz von Fermat keine Lösung in positiven ganzen Zahlen hat.

Maschinenbauingenieur