Lassen Sie uns die Diskussion über das kleinste gemeinsame Vielfache fortsetzen, die wir im Abschnitt LCM - Kleinstes gemeinsames Vielfaches, Definition, Beispiele begonnen haben. In diesem Thema werden wir uns mit Möglichkeiten befassen, das LCM für drei oder mehr Zahlen zu finden, wir werden die Frage analysieren, wie man das LCM einer negativen Zahl findet.

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Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM) durch ggT

Den Zusammenhang zwischen dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen und dem größten gemeinsamen Teiler haben wir bereits hergestellt. Lassen Sie uns nun lernen, wie man das LCM durch den GCD definiert. Lassen Sie uns zunächst herausfinden, wie dies für positive Zahlen zu tun ist.

Bestimmung 1

Sie können das kleinste gemeinsame Vielfache durch den größten gemeinsamen Teiler finden, indem Sie die Formel LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) verwenden.

Beispiel 1

Es ist notwendig, das LCM der Nummern 126 und 70 zu finden.

Lösung

Nehmen wir a = 126 , b = 70 . Ersetzen Sie die Werte in der Formel zur Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen durch den größten gemeinsamen Teiler LCM (a, b) = a · b: ggT (a, b) .

Findet den ggT der Zahlen 70 und 126. Dazu brauchen wir den Euklid-Algorithmus: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , also ggT (126 , 70) = 14 .

Lassen Sie uns das LCM berechnen: LCM (126, 70) = 126 70: ggT (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Antworten: LCM (126, 70) = 630.

Beispiel 2

Finde das Nok der Zahlen 68 und 34.

Lösung

GCD ist in diesem Fall leicht zu finden, da 68 durch 34 teilbar ist. Berechnen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache mit der Formel: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Antworten: LCM(68, 34) = 68.

In diesem Beispiel haben wir die Regel zum Ermitteln des kleinsten gemeinsamen Vielfachen positiver ganzer Zahlen a und b verwendet: Wenn die erste Zahl durch die zweite teilbar ist, dann ist das kgV dieser Zahlen gleich der ersten Zahl.

Ermitteln des LCM durch Faktorisieren von Zahlen in Primfaktoren

Schauen wir uns nun einen Weg an, um das LCM zu finden, das auf der Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren basiert.

Bestimmung 2

Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, müssen wir eine Reihe einfacher Schritte ausführen:

• wir bilden das Produkt aller Primfaktoren von Zahlen, für die wir das LCM finden müssen;
• wir schließen alle Primfaktoren aus ihren erhaltenen Produkten aus;
• Das nach Eliminierung der gemeinsamen Primfaktoren erhaltene Produkt ist gleich dem kgV der gegebenen Zahlen.

Diese Art, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, basiert auf der Gleichheit LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Schaut man sich die Formel an, wird klar: Das Produkt der Zahlen a und b ist gleich dem Produkt aller Faktoren, die an der Entwicklung dieser beiden Zahlen beteiligt sind. In diesem Fall ist der ggT zweier Zahlen gleich dem Produkt aller Primfaktoren, die gleichzeitig in den Faktorisierungen dieser beiden Zahlen vorkommen.

Beispiel 3

Wir haben zwei Nummern 75 und 210 . Wir können sie wie folgt ausrechnen: 75 = 3 5 5 und 210 = 2 3 5 7. Wenn Sie das Produkt aller Faktoren der beiden ursprünglichen Zahlen bilden, erhalten Sie: 2 3 3 5 5 5 7.

Wenn wir die beiden Zahlen 3 und 5 gemeinsamen Faktoren ausschließen, erhalten wir ein Produkt der folgenden Form: 2 3 5 5 7 = 1050. Dieses Produkt wird unser LCM für die Nummern 75 und 210 sein.

Beispiel 4

Finden Sie das LCM der Zahlen 441 und 700 , wobei beide Zahlen in Primfaktoren zerlegt werden.

Lösung

Lassen Sie uns alle Primfaktoren der in der Bedingung angegebenen Zahlen finden:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Wir erhalten zwei Zahlenketten: 441 = 3 3 7 7 und 700 = 2 2 5 5 7 .

Das Produkt aller Faktoren, die an der Expansion dieser Zahlen beteiligt waren, sieht folgendermaßen aus: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Lassen Sie uns die gemeinsamen Faktoren finden. Diese Zahl ist 7. Wir schließen es aus dem allgemeinen Produkt aus: 2 2 3 3 5 5 7 7. Es stellt sich heraus, dass NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Antworten: LCM (441 , 700) = 44 100 .

Lassen Sie uns eine weitere Formulierung der Methode zum Ermitteln des LCM geben, indem Zahlen in Primfaktoren zerlegt werden.

Bestimmung 3

Zuvor haben wir von der Gesamtzahl der Faktoren ausgeschlossen, die beiden Zahlen gemeinsam sind. Jetzt machen wir es anders:

• Zerlegen wir beide Zahlen in Primfaktoren:
• addiere zum Produkt der Primfaktoren der ersten Zahl die fehlenden Faktoren der zweiten Zahl;
• wir erhalten das Produkt, das das gewünschte LCM von zwei Zahlen sein wird.

Beispiel 5

Kommen wir noch einmal auf die Nummern 75 und 210 zurück, für die wir bereits in einem der vorherigen Beispiele nach dem LCM gesucht haben. Zerlegen wir sie in einfache Faktoren: 75 = 3 5 5 und 210 = 2 3 5 7. Zum Produkt der Faktoren 3 , 5 und 5 Nummer 75 füge die fehlenden Faktoren hinzu 2 und 7 Zahlen 210 . Wir bekommen: 2 3 5 5 7 . Dies ist das LCM der Nummern 75 und 210.

Beispiel 6

Es ist notwendig, das LCM der Zahlen 84 und 648 zu berechnen.

Lösung

Zerlegen wir die Zahlen aus der Bedingung in Primfaktoren: 84 = 2 2 3 7 und 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Addiere zum Produkt der Faktoren 2 , 2 , 3 und 7 Zahlen 84 fehlende Faktoren 2 , 3 , 3 und
3 Nummern 648 . Wir bekommen das Produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Dies ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 84 und 648.

Antworten: LCM (84, 648) = 4536.

Ermitteln des LCM von drei oder mehr Zahlen

Unabhängig davon, mit wie vielen Zahlen wir es zu tun haben, der Algorithmus unserer Aktionen wird immer derselbe sein: Wir werden immer das LCM von zwei Zahlen finden. Für diesen Fall gibt es einen Satz.

Satz 1

Angenommen, wir haben ganze Zahlen a 1 , a 2 , … , ein k. NOK m k dieser Zahlen findet sich in sequentieller Rechnung m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

Sehen wir uns nun an, wie der Satz auf bestimmte Probleme angewendet werden kann.

Beispiel 7

Sie müssen das kleinste gemeinsame Vielfache der vier Zahlen 140, 9, 54 und berechnen 250 .

Lösung

Lassen Sie uns die Notation einführen: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.

Beginnen wir mit der Berechnung von m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Verwenden wir den euklidischen Algorithmus, um den ggT der Zahlen 140 und 9 zu berechnen: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Wir erhalten: ggT(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: ggT(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Daher ist m 2 = 1 260 .

Lassen Sie uns nun nach demselben Algorithmus m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) berechnen. Im Laufe der Berechnung erhalten wir m 3 = 3 780.

Es bleibt uns, m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) zu berechnen. Wir handeln nach demselben Algorithmus. Wir bekommen m 4 \u003d 94 500.

Das LCM der vier Zahlen aus der Beispielbedingung ist 94500 .

Antworten: LCM (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Wie Sie sehen können, sind die Berechnungen einfach, aber ziemlich mühsam. Um Zeit zu sparen, können Sie den anderen Weg gehen.

Bestimmung 4

Wir bieten Ihnen den folgenden Aktionsalgorithmus an:

• alle Zahlen in Primfaktoren zerlegen;
• addieren Sie zum Produkt der Faktoren der ersten Zahl die fehlenden Faktoren aus dem Produkt der zweiten Zahl;
• füge die fehlenden Faktoren der dritten Zahl zu dem in der vorherigen Stufe erhaltenen Produkt hinzu usw.;
• das resultierende Produkt ist das kleinste gemeinsame Vielfache aller Zahlen aus der Bedingung.

Beispiel 8

Es ist notwendig, das LCM von fünf Nummern 84, 6, 48, 7, 143 zu finden.

Lösung

Zerlegen wir alle fünf Zahlen in Primfaktoren: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Primzahlen, also die Zahl 7, können nicht in Primfaktoren eingerechnet werden. Solche Zahlen fallen mit ihrer Zerlegung in Primfaktoren zusammen.

Nehmen wir nun das Produkt der Primfaktoren 2, 2, 3 und 7 der Zahl 84 und addieren die fehlenden Faktoren der zweiten Zahl dazu. Wir haben die Zahl 6 in 2 und 3 zerlegt. Diese Faktoren sind bereits im Produkt der ersten Zahl enthalten. Daher lassen wir sie weg.

Wir fügen weiterhin die fehlenden Multiplikatoren hinzu. Wir wenden uns der Zahl 48 zu, aus dem Produkt der Primfaktoren, von denen wir 2 und 2 nehmen. Dann addieren wir einen einfachen Faktor von 7 von der vierten Zahl und Faktoren von 11 und 13 von der fünften. Wir erhalten: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Dies ist das kleinste gemeinsame Vielfache der fünf ursprünglichen Zahlen.

Antworten: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von negativen Zahlen

Um das kleinste gemeinsame Vielfache von negativen Zahlen zu finden, müssen diese Zahlen zunächst durch Zahlen mit entgegengesetztem Vorzeichen ersetzt werden, und dann sollten die Berechnungen nach den oben genannten Algorithmen durchgeführt werden.

Beispiel 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) und LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Solche Handlungen sind aufgrund der Tatsache zulässig, dass, wenn dies akzeptiert wird a und − ein- entgegengesetzte Nummern
dann die Menge der Vielfachen a fällt mit der Menge der Vielfachen einer Zahl zusammen − ein.

Beispiel 10

Es ist notwendig, das LCM von negativen Zahlen zu berechnen − 145 und − 45 .

Lösung

Lassen Sie uns die Zahlen ändern − 145 und − 45 zu ihren Gegenstücken 145 und 45 . Nun berechnen wir mit dem Algorithmus LCM (145 , 45) = 145 45 : GCD (145 , 45) = 145 45 : 5 = 1 305 , nachdem wir zuvor den ggT mit dem Euklid-Algorithmus bestimmt haben.

Wir erhalten, dass das LCM der Zahlen − 145 und − 45 gleich 1 305 .

Antworten: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

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Betrachten Sie drei Möglichkeiten, um das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden.

Finden durch Factoring

Der erste Weg besteht darin, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, indem die gegebenen Zahlen in Primfaktoren zerlegt werden.

Angenommen, wir müssen das LCM von Zahlen finden: 99, 30 und 28. Dazu zerlegen wir jede dieser Zahlen in Primfaktoren:

Damit die gesuchte Zahl durch 99, 30 und 28 teilbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass sie alle Primfaktoren dieser Teiler enthält. Dazu müssen wir alle Primfaktoren dieser Zahlen mit der höchsten vorkommenden Potenz potenzieren und miteinander multiplizieren:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

LCM (99, 30, 28) = 13 860. Keine andere Zahl kleiner als 13 860 ist ohne Rest durch 99, 30 oder 28 teilbar.

Um das kleinste gemeinsame Vielfache gegebener Zahlen zu finden, musst du sie in Primfaktoren zerlegen, dann jeden Primfaktor mit dem größten Exponenten nehmen, mit dem er vorkommt, und diese Faktoren miteinander multiplizieren.

Da teilerfremde Zahlen keine gemeinsamen Primfaktoren haben, ist ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches gleich dem Produkt dieser Zahlen. Zum Beispiel sind drei Zahlen: 20, 49 und 33 teilerfremd. Deshalb

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Das gleiche sollte man tun, wenn man nach dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen verschiedener Primzahlen sucht. Zum Beispiel LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Finden durch Auswahl

Die zweite Möglichkeit besteht darin, das kleinste gemeinsame Vielfache durch Anpassen zu finden.

Beispiel 1. Wenn die größte der gegebenen Zahlen durch andere gegebene Zahlen ohne Rest teilbar ist, dann ist das LCM dieser Zahlen gleich der größeren von ihnen. Zum Beispiel vier Zahlen: 60, 30, 10 und 6. Jede von ihnen ist durch 60 teilbar, daher:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

In anderen Fällen wird zum Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen das folgende Verfahren verwendet:

1. Bestimme aus den gegebenen Zahlen die größte Zahl.
2. Als nächstes finden wir Zahlen, die Vielfache der größten Zahl sind, multiplizieren sie mit natürlichen Zahlen in aufsteigender Reihenfolge und prüfen, ob die verbleibenden gegebenen Zahlen durch das resultierende Produkt teilbar sind.

Beispiel 2. Gegeben sind drei Zahlen 24, 3 und 18. Bestimmen Sie die größte von ihnen – dies ist die Zahl 24. Als nächstes finden Sie die Vielfachen von 24 und prüfen, ob jede von ihnen durch 18 und durch 3 teilbar ist:

24 1 = 24 ist durch 3 teilbar, aber nicht durch 18 teilbar.

24 2 = 48 - teilbar durch 3, aber nicht teilbar durch 18.

24 3 \u003d 72 - teilbar durch 3 und 18.

Also LCM(24, 3, 18) = 72.

Finden durch sequentielles Finden LCM

Der dritte Weg besteht darin, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, indem sukzessive das LCM gefunden wird.

Das LCM zweier gegebener Zahlen ist gleich dem Produkt dieser Zahlen dividiert durch ihren größten gemeinsamen Teiler.

Beispiel 1. Finden Sie das LCM von zwei gegebenen Zahlen: 12 und 8. Bestimmen Sie ihren größten gemeinsamen Teiler: GCD (12, 8) = 4. Multiplizieren Sie diese Zahlen:

Wir unterteilen das Produkt in ihren GCD:

Also LCM(12, 8) = 24.

Um das LCM von drei oder mehr Zahlen zu finden, wird das folgende Verfahren verwendet:

1. Zuerst wird das LCM von zwei beliebigen der gegebenen Zahlen gefunden.
2. Dann das LCM des gefundenen kleinsten gemeinsamen Vielfachen und der dritten gegebenen Zahl.
3. Dann das LCM des resultierenden kleinsten gemeinsamen Vielfachen und die vierte Zahl und so weiter.
4. Somit wird die LCM-Suche fortgesetzt, solange Zahlen vorhanden sind.

Beispiel 2. Lassen Sie uns das LCM von drei gegebenen Zahlen finden: 12, 8 und 9. Wir haben bereits das LCM der Zahlen 12 und 8 im vorherigen Beispiel gefunden (dies ist die Zahl 24). Es bleibt das kleinste gemeinsame Vielfache von 24 und der dritten gegebenen Zahl - 9 zu finden. Bestimmen Sie ihren größten gemeinsamen Teiler: ggT (24, 9) = 3. Multiplizieren Sie LCM mit der Zahl 9:

Wir unterteilen das Produkt in ihren GCD:

Also LCM(12, 8, 9) = 72.

Beim Addieren und Subtrahieren von algebraischen Brüchen mit unterschiedlichen Nennern führen die Brüche zunächst zu gemeinsamer Nenner. Das bedeutet, dass sie einen solchen einzigen Nenner finden, der durch den ursprünglichen Nenner jedes algebraischen Bruchs geteilt wird, der Teil dieses Ausdrucks ist.

Wie Sie wissen, ändert sich der Wert des Bruchs nicht, wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl außer Null multipliziert (oder dividiert) werden. Dies ist die Haupteigenschaft eines Bruchs. Wenn also Brüche zu einem gemeinsamen Nenner führen, wird der ursprüngliche Nenner jedes Bruchs mit dem fehlenden Faktor zu einem gemeinsamen Nenner multipliziert. In diesem Fall muss mit diesem Faktor und dem Zähler des Bruchs multipliziert werden (er ist für jeden Bruch unterschiedlich).

Gegeben ist zum Beispiel die folgende Summe algebraischer Brüche:

Es ist erforderlich, den Ausdruck zu vereinfachen, dh zwei algebraische Brüche zu addieren. Dazu müssen zunächst die Term-Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Der erste Schritt besteht darin, ein Monom zu finden, das sowohl durch 3x als auch durch 2y teilbar ist. In diesem Fall ist es wünschenswert, dass es das kleinste ist, d. h. das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) für 3x und 2y findet.

Für numerische Koeffizienten und Variablen wird das LCM separat durchsucht. LCM(3, 2) = 6 und LCM(x, y) = xy. Außerdem werden die gefundenen Werte multipliziert: 6xy.

Jetzt müssen wir bestimmen, mit welchem ​​Faktor wir 3x multiplizieren müssen, um 6xy zu erhalten:
6xy ÷ 3x = 2y

Das bedeutet, dass beim Reduzieren des ersten algebraischen Bruchs auf einen gemeinsamen Nenner dessen Zähler mit 2y multipliziert werden muss (der Nenner wurde bereits multipliziert, wenn er auf einen gemeinsamen Nenner reduziert wird). Der Faktor für den Zähler des zweiten Bruchs wird ähnlich gesucht. Es wird gleich 3x sein.

Somit erhalten wir:

Außerdem kann man bereits wie bei Brüchen mit gleichem Nenner vorgehen: Die Zähler werden addiert und ein gemeinsamer Teil in den Nenner geschrieben:

Nach Transformationen wird ein vereinfachter Ausdruck erhalten, der ein algebraischer Bruch ist, der die Summe zweier ursprünglicher ist:

Algebraische Brüche im ursprünglichen Ausdruck können Nenner enthalten, die Polynome und keine Monome sind (wie im obigen Beispiel). In diesem Fall, bevor Sie einen gemeinsamen Nenner finden, faktorisieren Sie die Nenner (wenn möglich). Ferner wird der gemeinsame Nenner aus verschiedenen Faktoren gesammelt. Steht der Faktor in mehreren Anfangsnennern, so wird er einmal genommen. Wenn der Faktor in den ursprünglichen Nennern unterschiedliche Grade hat, wird er mit einem größeren genommen. Zum Beispiel:

Hier kann das Polynom a 2 - b 2 als Produkt (a - b)(a + b) dargestellt werden. Der Faktor 2a – 2b wird zu 2(a – b) erweitert. Somit ist der gemeinsame Nenner gleich 2(a - b)(a + b).

Mit dem Online-Rechner können Sie schnell den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei oder einer beliebigen anderen Anzahl von Zahlen finden.

Rechner zum Finden von GCD und NOC

Finden Sie GCD und NOC

GCD und NOC gefunden: 5806

So verwenden Sie den Rechner

• Geben Sie Zahlen in das Eingabefeld ein
• Bei Eingabe falscher Zeichen wird das Eingabefeld rot hinterlegt
• Drücken Sie die Schaltfläche "Find GCD and NOC"

So geben Sie Zahlen ein

• Zahlen werden durch Leerzeichen, Punkte oder Kommas getrennt eingegeben
• Die Länge der eingegebenen Nummern ist nicht begrenzt, also wird es nicht schwierig sein, ggT und LCM von langen Zahlen zu finden

Was ist NOD und NOK?

Größter gemeinsamer Teiler aus mehreren Zahlen ist die größte natürliche ganze Zahl, durch die alle ursprünglichen Zahlen ohne Rest teilbar sind. Der größte gemeinsame Teiler wird mit abgekürzt GCD.
Kleinstes gemeinsames Vielfaches mehrere Zahlen ist die kleinste Zahl, die durch jede der ursprünglichen Zahlen ohne Rest teilbar ist. Das kleinste gemeinsame Vielfache wird mit abgekürzt NOK.

Wie überprüfe ich, ob eine Zahl ohne Rest durch eine andere Zahl teilbar ist?

Um herauszufinden, ob eine Zahl ohne Rest durch eine andere teilbar ist, können Sie einige Eigenschaften der Teilbarkeit von Zahlen verwenden. Indem man sie dann kombiniert, kann man die Teilbarkeit durch einige von ihnen und ihre Kombinationen überprüfen.

Einige Zeichen der Teilbarkeit von Zahlen

1. Zeichen der Teilbarkeit einer Zahl durch 2
Um festzustellen, ob eine Zahl durch zwei teilbar ist (ob sie gerade ist), genügt es, die letzte Ziffer dieser Zahl zu betrachten: Wenn sie gleich 0, 2, 4, 6 oder 8 ist, dann ist die Zahl gerade, was bedeutet, dass es durch 2 teilbar ist.
Beispiel: Bestimmen Sie, ob die Zahl 34938 durch 2 teilbar ist.
Lösung: Schauen Sie sich die letzte Ziffer an: 8 bedeutet, dass die Zahl durch zwei teilbar ist.

2. Zeichen der Teilbarkeit einer Zahl durch 3
Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Um also festzustellen, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist, müssen Sie die Summe der Ziffern berechnen und prüfen, ob sie durch 3 teilbar ist. Auch wenn sich herausstellt, dass die Summe der Ziffern sehr groß ist, können Sie denselben Vorgang wiederholen wieder.
Beispiel: Bestimmen Sie, ob die Zahl 34938 durch 3 teilbar ist.
Lösung: wir zählen die Summe der Ziffern: 3+4+9+3+8 = 27. 27 ist durch 3 teilbar, was bedeutet, dass die Zahl durch drei teilbar ist.

3. Zeichen der Teilbarkeit einer Zahl durch 5
Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine Null oder eine Fünf ist.
Beispiel: Bestimmen Sie, ob die Zahl 34938 durch 5 teilbar ist.
Lösung: Schauen Sie sich die letzte Ziffer an: 8 bedeutet, dass die Zahl NICHT durch fünf teilbar ist.

4. Zeichen der Teilbarkeit einer Zahl durch 9
Dieses Zeichen ist dem Zeichen der Teilbarkeit durch drei sehr ähnlich: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Beispiel: Bestimmen Sie, ob die Zahl 34938 durch 9 teilbar ist.
Lösung: wir berechnen die Quersumme: 3+4+9+3+8 = 27. 27 ist durch 9 teilbar, was bedeutet, dass die Zahl durch neun teilbar ist.

So finden Sie GCD und LCM von zwei Zahlen

So finden Sie den ggT zweier Zahlen

Der einfachste Weg, den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu berechnen, besteht darin, alle möglichen Teiler dieser Zahlen zu finden und den größten davon auszuwählen.

Betrachten Sie diese Methode am Beispiel des Auffindens von GCD(28, 36) :

1. Wir faktorisieren beide Zahlen: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Wir finden gemeinsame Teiler, also solche, die beide Zahlen haben: 1, 2 und 2.
3. Wir berechnen das Produkt dieser Faktoren: 1 2 2 \u003d 4 - das ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 28 und 36.

So finden Sie das LCM von zwei Zahlen

Es gibt zwei gängige Methoden, um das kleinste Vielfache von zwei Zahlen zu finden. Die erste Möglichkeit besteht darin, dass Sie die ersten Vielfachen zweier Zahlen aufschreiben und dann eine solche Zahl auswählen können, die beiden Zahlen gemeinsam und gleichzeitig die kleinste ist. Und die zweite besteht darin, den ggT dieser Zahlen zu finden. Betrachten wir es einfach.

Um das LCM zu berechnen, müssen Sie das Produkt der ursprünglichen Zahlen berechnen und es dann durch den zuvor gefundenen ggT dividieren. Lassen Sie uns das LCM für die gleichen Zahlen 28 und 36 finden:

1. Finden Sie das Produkt der Zahlen 28 und 36: 28 36 = 1008
2. ggT(28, 36) ist bereits als 4 bekannt
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Finden von GCD und LCM für mehrere Zahlen

Den größten gemeinsamen Teiler findet man für mehrere Zahlen, nicht nur für zwei. Dazu werden die nach dem größten gemeinsamen Teiler zu suchenden Zahlen in Primfaktoren zerlegt, dann wird das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren dieser Zahlen gefunden. Um den ggT mehrerer Zahlen zu finden, können Sie auch die folgende Beziehung verwenden: ggT(a, b, c) = ggT(ggT(a, b), c).

Eine ähnliche Beziehung gilt auch für das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Beispiel: Finden Sie GCD und LCM für die Zahlen 12, 32 und 36.

1. Zuerst faktorisieren wir die Zahlen: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Lassen Sie uns gemeinsame Faktoren finden: 1, 2 und 2 .
3. Ihr Produkt ergibt ggT: 1 2 2 = 4
4. Nun suchen wir das LCM: Dazu finden wir zuerst das LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Um das LCM aller drei Zahlen zu finden, müssen Sie ggT(96, 36) finden: 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , ggT = 1 2 , 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Betrachten Sie die Lösung des folgenden Problems. Der Schritt des Jungen beträgt 75 cm und der des Mädchens 60 cm. Es ist notwendig, den kleinsten Abstand zu finden, bei dem beide eine ganzzahlige Anzahl von Schritten machen.

Lösung. Der gesamte Weg, den die Jungs durchlaufen werden, muss ohne Rest durch 60 und 70 teilbar sein, da sie jeweils eine ganzzahlige Anzahl von Schritten zurücklegen müssen. Mit anderen Worten, die Antwort muss ein Vielfaches von 75 und 60 sein.

Zuerst schreiben wir alle Vielfachen für die Zahl 75 aus. Wir erhalten:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Lassen Sie uns nun die Zahlen aufschreiben, die ein Vielfaches von 60 sein werden. Wir erhalten:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Jetzt finden wir die Zahlen, die in beiden Reihen stehen.

• Gemeinsame Vielfache von Zahlen sind Zahlen, 300, 600 usw.

Die kleinste von ihnen ist die Zahl 300. In diesem Fall wird sie das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 75 und 60 genannt.

Um auf den Zustand des Problems zurückzukommen, beträgt die kleinste Entfernung, bei der die Jungs eine ganze Zahl von Schritten machen, 300 cm. Der Junge geht diesen Weg in 4 Schritten und das Mädchen muss 5 Schritte machen.

Suche nach dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen

• Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier natürlicher Zahlen a und b ist die kleinste natürliche Zahl, die ein Vielfaches von a und b ist.

Um das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen zu finden, ist es nicht notwendig, alle Vielfachen dieser Zahlen hintereinander aufzuschreiben.

Sie können die folgende Methode verwenden.

So finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache

Zuerst müssen Sie diese Zahlen in Primfaktoren zerlegen.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Schreiben wir nun alle Faktoren auf, die in der Erweiterung der ersten Zahl (2,2,3,5) enthalten sind, und addieren alle fehlenden Faktoren aus der Erweiterung der zweiten Zahl (5).

Als Ergebnis erhalten wir eine Reihe von Primzahlen: 2,2,3,5,5. Das Produkt dieser Zahlen ist der kleinste gemeinsame Faktor für diese Zahlen. 2*2*3*5*5 = 300.

Allgemeines Schema zum Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen

• 1. Zahlen in Primfaktoren zerlegen.
• 2. Schreiben Sie die Primfaktoren auf, die zu einem von ihnen gehören.
• 3. Füge zu diesen Faktoren alle diejenigen hinzu, die in der Zerlegung des Rests enthalten sind, aber nicht in der ausgewählten.
• 4. Finde das Produkt aller ausgeschriebenen Faktoren.

Diese Methode ist universell. Es kann verwendet werden, um das kleinste gemeinsame Vielfache einer beliebigen Anzahl natürlicher Zahlen zu finden.