Leider kennen und lieben nicht alle Schüler und Schülerinnen Algebra, aber alle müssen Hausaufgaben machen, Tests lösen und Prüfungen absolvieren. Besonders schwierig ist es für viele, Aufgaben zum Zeichnen von Funktionsgraphen zu finden: Wenn Sie irgendwo etwas nicht verstehen, beenden Sie es nicht, verpassen Sie es, Fehler sind vorprogrammiert. Aber wer will schon schlechte Noten bekommen?
Möchten Sie sich der Kohorte der Tailer und Verlierer anschließen? Dazu haben Sie zwei Möglichkeiten: Lehrbücher nehmen und Wissenslücken füllen oder einen virtuellen Assistenten verwenden - einen Dienst zum automatischen Zeichnen von Funktionsgraphen gemäß festgelegten Bedingungen. Mit oder ohne Entscheidung. Heute stellen wir Ihnen einige davon vor.
Das Beste an Desmos.com ist eine hochgradig anpassbare Benutzeroberfläche, Interaktivität, die Möglichkeit, die Ergebnisse in Tabellen zu verteilen und Ihre Arbeit kostenlos und ohne zeitliche Begrenzung in der Ressourcendatenbank zu speichern. Und der Nachteil ist, dass der Dienst nicht vollständig ins Russische übersetzt ist.
Grafikus.ru
Grafikus.ru ist ein weiterer bemerkenswerter Kartenrechner in russischer Sprache. Außerdem baut er sie nicht nur im zweidimensionalen, sondern auch im dreidimensionalen Raum.
Hier ist eine unvollständige Liste von Aufgaben, die dieser Dienst erfolgreich bewältigt:
- Zeichnen von 2D-Diagrammen einfacher Funktionen: Linien, Parabeln, Hyperbeln, trigonometrisch, logarithmisch usw.
- Zeichnen von 2D-Graphen parametrischer Funktionen: Kreise, Spiralen, Lissajous-Figuren und andere.
- Zeichnen von 2D-Diagrammen in Polarkoordinaten.
- Konstruktion von 3D-Oberflächen einfacher Funktionen.
- Konstruktion von 3D-Oberflächen parametrischer Funktionen.
Das fertige Ergebnis öffnet sich in einem separaten Fenster. Der Benutzer hat die Möglichkeit, den Link darauf herunterzuladen, auszudrucken und zu kopieren. Für letzteres müssen Sie sich über die Schaltflächen der sozialen Netzwerke beim Dienst anmelden.
Die Grafikus.ru-Koordinatenebene unterstützt das Ändern der Grenzen der Achsen, ihrer Beschriftungen, des Gitterabstands sowie der Breite und Höhe der Ebene selbst und der Schriftgröße.
Die größte Stärke von Grafikus.ru ist die Möglichkeit, 3D-Grafiken zu erstellen. Ansonsten funktioniert es nicht schlechter und nicht besser als analoge Mittel.
Onlinecharts.ru
Der Online-Assistent von Onlinecharts.ru erstellt keine Charts, sondern Charts fast aller existierenden Typen. Einschließlich:
- Linear.
- Säulenförmig.
- Kreisförmig.
- mit Bereichen.
- Radial.
- XY-Diagramme.
- Blase.
- Punkt.
- Polarbullen.
- Pyramiden.
- Tachometer.
- Spaltenlinear.
Die Ressource ist sehr einfach zu bedienen. Das Aussehen des Diagramms (Hintergrundfarbe, Raster, Linien, Zeiger, Eckenform, Schriftarten, Transparenz, Spezialeffekte usw.) ist vollständig benutzerdefiniert. Daten für Gebäude können entweder manuell eingegeben oder aus einer Tabelle in eine CSV-Datei importiert werden, die auf einem Computer gespeichert ist. Das fertige Ergebnis kann als Bild-, PDF-, CSV- oder SVG-Datei auf einen PC heruntergeladen und online auf dem Fotohosting von ImageShack.Us oder in Ihrem persönlichen Onlinecharts.ru-Konto gespeichert werden. Die erste Option kann von allen genutzt werden, die zweite - nur registrierte.
1. Lineare Bruchfunktion und ihr Graph
Eine Funktion der Form y = P(x) / Q(x), wobei P(x) und Q(x) Polynome sind, wird als gebrochen rationale Funktion bezeichnet.
Wahrscheinlich kennen Sie bereits das Konzept der rationalen Zahlen. Ähnlich rationale Funktionen sind Funktionen, die sich als Quotient zweier Polynome darstellen lassen.
Wenn eine gebrochene rationale Funktion ein Quotient zweier linearer Funktionen ist - Polynome ersten Grades, d.h. Ansichtsfunktion
y = (ax + b) / (cx + d), dann heißt es fraktional linear.
Beachten Sie, dass in der Funktion y = (ax + b) / (cx + d) c ≠ 0 (sonst wird die Funktion linear y = ax/d + b/d) und dass a/c ≠ b/d (sonst die Funktion ist eine Konstante ). Die linear-gebrochene Funktion ist für alle reellen Zahlen außer für x = -d/c definiert. Graphen linear-gebrochener Funktionen unterscheiden sich in der Form nicht von dem bekannten Graphen y = 1/x. Die Kurve, die der Graph der Funktion y = 1/x ist, wird aufgerufen Hyperbel. Bei unbegrenztem Anstieg von x im Absolutwert nimmt die Funktion y = 1/x im Absolutwert unendlich ab und beide Zweige des Diagramms nähern sich der Abszissenachse: der rechte nähert sich von oben und der linke nähert sich von unten. Die Linien, denen sich die Äste einer Hyperbel nähern, werden als ihre bezeichnet Asymptoten.
Beispiel 1
y = (2x + 1) / (x - 3).
Entscheidung.
Wählen wir den ganzzahligen Teil: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).
Nun ist leicht zu erkennen, dass der Graph dieser Funktion aus dem Graphen der Funktion y = 1/x durch folgende Transformationen erhalten wird: Verschiebung um 3 Einheitssegmente nach rechts, Dehnung entlang der Oy-Achse um 7 Mal und Verschiebung um 2 Einheitssegmente nach oben.
Jeder Bruch y = (ax + b) / (cx + d) kann auf die gleiche Weise geschrieben werden, wobei der „ganze Teil“ hervorgehoben wird. Folglich sind die Graphen aller linear-gebrochenen Funktionen Hyperbeln, die auf verschiedene Weise entlang der Koordinatenachsen verschoben und entlang der Oy-Achse gestreckt sind.
Um einen Graphen einer beliebigen linearen Bruchfunktion zu zeichnen, ist es überhaupt nicht notwendig, den Bruch, der diese Funktion definiert, umzuwandeln. Da wir wissen, dass der Graph eine Hyperbel ist, reicht es aus, die Linien zu finden, denen sich seine Zweige nähern - die Hyperbel-Asymptoten x = -d/c und y = a/c.
Beispiel 2
Finde die Asymptoten des Graphen der Funktion y = (3x + 5)/(2x + 2).
Entscheidung.
Die Funktion ist nicht definiert, für x = -1. Daher dient die Linie x = -1 als vertikale Asymptote. Um die horizontale Asymptote zu finden, wollen wir herausfinden, wie sich die Werte der Funktion y(x) annähern, wenn das Argument x im Absolutwert zunimmt.
Dazu dividieren wir Zähler und Nenner des Bruchs durch x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Für x → ∞ geht der Bruch gegen 3/2. Die horizontale Asymptote ist also die Gerade y = 3/2.
Beispiel 3
Zeichnen Sie die Funktion y = (2x + 1)/(x + 1).
Entscheidung.
Wir wählen den „ganzen Teil“ des Bruchs aus:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Nun ist leicht zu erkennen, dass der Graph dieser Funktion aus dem Graphen der Funktion y = 1/x durch folgende Transformationen erhalten wird: eine Verschiebung um 1 Einheit nach links, eine symmetrische Darstellung bezüglich Ox und eine Verschiebung von 2 Einheitsintervallen nach oben entlang der Oy-Achse.
Definitionsbereich D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Wertebereich E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Schnittpunkte mit Achsen: c Oy: (0; 1); c Ochse: (-1/2; 0). Die Funktion nimmt in jedem der Intervalle des Definitionsbereichs zu.
Antwort: Bild 1.
2. Bruchrationale Funktion
Stellen Sie sich eine gebrochene rationale Funktion der Form y = P(x) / Q(x) vor, wobei P(x) und Q(x) Polynome höheren Grades als das erste sind.
Beispiele für solche rationalen Funktionen:
y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) oder y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Wenn die Funktion y = P(x) / Q(x) ein Quotient aus zwei Polynomen mit höherem Grad als dem ersten ist, dann wird ihr Graph in der Regel komplizierter sein, und es kann manchmal schwierig sein, ihn genau zu erstellen , mit allen Details. Oft reicht es jedoch aus, Techniken anzuwenden, die denen ähneln, die wir oben bereits kennengelernt haben.
Der Bruch sei echt (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 + p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 + p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).
Offensichtlich kann der Graph einer gebrochenen rationalen Funktion als Summe von Graphen elementarer Brüche erhalten werden.
Darstellung von gebrochenen rationalen Funktionen
Betrachten Sie mehrere Möglichkeiten, eine gebrochen-rationale Funktion zu zeichnen.
Beispiel 4
Zeichnen Sie die Funktion y = 1/x 2 .
Entscheidung.
Wir verwenden den Graphen der Funktion y \u003d x 2, um den Graphen y \u003d 1 / x 2 zu zeichnen, und verwenden die Methode zum "Teilen" der Graphen.
Definitionsbereich D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Wertebereich E(y) = (0; +∞).
Es gibt keine Schnittpunkte mit den Achsen. Die Funktion ist gerade. Erhöht für alle x aus dem Intervall (-∞; 0), verringert für x von 0 bis +∞.
Antwort: Bild 2.
Beispiel 5
Zeichnen Sie die Funktion y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).
Entscheidung.
Definitionsbereich D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.
Hier haben wir die Technik der Faktorisierung, Reduktion und Reduktion auf eine lineare Funktion verwendet.
Antwort: Bild 3.
Beispiel 6
Zeichnen Sie die Funktion y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).
Entscheidung.
Der Definitionsbereich ist D(y) = R. Da die Funktion gerade ist, ist der Graph symmetrisch zur y-Achse. Vor dem Plotten transformieren wir den Ausdruck erneut, indem wir den ganzzahligen Teil hervorheben:
y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).
Beachten Sie, dass die Auswahl des ganzzahligen Teils in der Formel einer gebrochenen rationalen Funktion eine der wichtigsten beim Zeichnen von Diagrammen ist.
Wenn x → ±∞, dann y → 1, d.h. die Linie y = 1 ist eine horizontale Asymptote.
Antwort: Bild 4.
Beispiel 7
Betrachten Sie die Funktion y = x/(x 2 + 1) und versuchen Sie, genau ihren größten Wert zu finden, d.h. der höchste Punkt in der rechten Hälfte des Diagramms. Um diese Grafik genau zu erstellen, reicht das heutige Wissen nicht aus. Es ist offensichtlich, dass unsere Kurve nicht sehr hoch "klettern" kann, da der Nenner beginnt schnell, den Zähler zu „überholen“. Mal sehen, ob der Wert der Funktion gleich 1 sein kann. Dazu müssen Sie die Gleichung x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0 lösen. Diese Gleichung hat keine echten Wurzeln. Unsere Annahme ist also falsch. Um den größten Wert der Funktion zu finden, müssen Sie herausfinden, für welches größte A die Gleichung A \u003d x / (x 2 + 1) eine Lösung hat. Ersetzen wir die ursprüngliche Gleichung durch eine quadratische: Ax 2 - x + A \u003d 0. Diese Gleichung hat eine Lösung, wenn 1 - 4A 2 ≥ 0. Von hier aus finden wir den größten Wert A \u003d 1/2. 
Antwort: Abbildung 5, max y(x) = ½.
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Die Länge des Segments auf der Koordinatenachse ergibt sich aus der Formel:
Die Länge des Segments in der Koordinatenebene wird durch die Formel gesucht:
Um die Länge eines Segments in einem dreidimensionalen Koordinatensystem zu finden, wird die folgende Formel verwendet:
Die Koordinaten der Mitte des Segments (für die Koordinatenachse wird nur die erste Formel verwendet, für die Koordinatenebene - die ersten beiden Formeln, für das dreidimensionale Koordinatensystem - alle drei Formeln) werden nach den Formeln berechnet:
Funktion ist eine Entsprechung der Form j= f(x) zwischen Variablen, aufgrund derer jeder betrachtete Wert einer Variablen x(Argument oder unabhängige Variable) entspricht einem bestimmten Wert einer anderen Variablen, j(abhängige Variable, manchmal wird dieser Wert einfach als Wert der Funktion bezeichnet). Beachten Sie, dass die Funktion diesen einen Wert des Arguments annimmt X es kann nur einen Wert der abhängigen Variablen geben beim. Allerdings der gleiche Wert beim kann mit verschiedenen erhalten werden X.
Funktionsumfang sind alle Werte der unabhängigen Variablen (Funktionsargument, normalerweise X), für die die Funktion definiert ist, d. h. seine Bedeutung existiert. Der Definitionsbereich ist angegeben D(j). Im Großen und Ganzen sind Sie mit diesem Konzept bereits vertraut. Der Gültigkeitsbereich einer Funktion wird auch als Domäne gültiger Werte oder ODZ bezeichnet, die Sie seit langem finden können.
Funktionsumfang sind alle möglichen Werte der abhängigen Variablen dieser Funktion. Bezeichnet E(beim).
Funktion steigt auf dem Intervall, auf dem der größere Wert des Arguments dem größeren Wert der Funktion entspricht. Funktion abnehmend auf dem Intervall, auf dem der größere Wert des Arguments dem kleineren Wert der Funktion entspricht.
Funktionsintervalle sind die Intervalle der unabhängigen Variablen, in denen die abhängige Variable ihr positives oder negatives Vorzeichen behält.
Funktion Nullen sind diejenigen Werte des Arguments, für die der Wert der Funktion gleich Null ist. An diesen Punkten schneidet der Graph der Funktion die Abszissenachse (OX-Achse). Sehr oft bedeutet die Notwendigkeit, die Nullstellen einer Funktion zu finden, einfach die Gleichung zu lösen. Außerdem bedeutet die Notwendigkeit, Intervalle mit konstantem Vorzeichen zu finden, oft die Notwendigkeit, die Ungleichung einfach zu lösen.
Funktion j = f(x) werden genannt sogar X
Dies bedeutet, dass für alle entgegengesetzten Werte des Arguments die Werte der geraden Funktion gleich sind. Der Graph einer geraden Funktion ist immer symmetrisch zur y-Achse des Operationsverstärkers.
Funktion j = f(x) werden genannt seltsam, wenn es auf einer symmetrischen Menge und für alle definiert ist X aus dem Definitionsbereich ist die Gleichheit erfüllt:
Das bedeutet, dass bei entgegengesetzten Werten des Arguments auch die Werte der ungeraden Funktion entgegengesetzt sind. Der Graph einer ungeraden Funktion ist immer symmetrisch zum Ursprung.
Die Summe der Wurzeln gerader und ungerader Funktionen (Schnittpunkte der Abszissenachse OX) ist immer gleich Null, weil für jede positive Wurzel X hat eine negative Wurzel X.
Es ist wichtig zu beachten, dass einige Funktionen nicht gerade oder ungerade sein müssen. Es gibt viele Funktionen, die weder gerade noch ungerade sind. Solche Funktionen werden aufgerufen allgemeine Funktionen, und keine der obigen Gleichheiten oder Eigenschaften gelten für sie.
Lineare Funktion heißt eine Funktion, die durch die Formel gegeben werden kann:
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade und sieht im Allgemeinen so aus (ein Beispiel wird für den Fall gegeben, wenn k> 0, in diesem Fall ist die Funktion steigend; für den Anlass k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Diagramm der quadratischen Funktion (Parabel)
Der Graph einer Parabel ist durch eine quadratische Funktion gegeben:
Eine quadratische Funktion schneidet wie jede andere Funktion die OX-Achse an den Punkten, die ihre Wurzeln sind: ( x ein ; 0) und ( x 2; 0). Wenn es keine Wurzeln gibt, schneidet die quadratische Funktion die OX-Achse nicht, wenn es eine Wurzel gibt, dann an diesem Punkt ( x 0; 0) die quadratische Funktion berührt nur die OX-Achse, schneidet sie aber nicht. Eine quadratische Funktion schneidet die OY-Achse immer an einem Punkt mit den Koordinaten: (0; c). Der Graph einer quadratischen Funktion (Parabel) kann so aussehen (die Abbildung zeigt Beispiele, die bei weitem nicht alle möglichen Arten von Parabeln erschöpfen):
Dabei:
- wenn der Koeffizient a> 0, in der Funktion j = Axt 2 + bx + c, dann sind die Äste der Parabel nach oben gerichtet;
- Wenn a < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Scheitelkoordinaten von Parabeln können mit den folgenden Formeln berechnet werden. X-Spitzen (p- in den obigen Abbildungen) einer Parabel (oder dem Punkt, an dem das quadratische Trinom seinen maximalen oder minimalen Wert erreicht):
Y-Spitzen (q- in den obigen Abbildungen) einer Parabel oder das Maximum, wenn die Äste der Parabel nach unten gerichtet sind ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), der Wert des quadratischen Trinoms:
Graphen anderer Funktionen
Machtfunktion
Hier sind einige Beispiele für Graphen von Potenzfunktionen:
Umgekehrt proportionale Abhängigkeit Rufen Sie die durch die Formel gegebene Funktion auf:
Je nach Vorzeichen der Zahl k Ein umgekehrt proportionaler Graph kann zwei grundlegende Optionen haben:
Asymptote ist die Gerade, der die Gerade des Funktionsgraphen unendlich nahe kommt, sich aber nicht schneidet. Die Asymptoten für die in der obigen Abbildung gezeigten Graphen der inversen Proportionalität sind die Koordinatenachsen, denen der Graph der Funktion unendlich nahe kommt, sie aber nicht schneidet.
Exponentialfunktion mit basis a Rufen Sie die durch die Formel gegebene Funktion auf:
a Der Graph einer Exponentialfunktion kann zwei grundlegende Optionen haben (wir werden auch Beispiele geben, siehe unten):
Logarithmische Funktion Rufen Sie die durch die Formel gegebene Funktion auf:
Je nachdem, ob die Zahl größer oder kleiner als eins ist a Der Graph einer logarithmischen Funktion kann zwei grundlegende Optionen haben:
Funktionsgraph j = |x| wie folgt:
Graphen periodischer (trigonometrischer) Funktionen
Funktion beim = f(x) wird genannt Zeitschrift, wenn es eine solche Zahl ungleich Null gibt T, was f(x + T) = f(x), für jeden X außerhalb des Funktionsumfangs f(x). Wenn die Funktion f(x) ist periodisch mit Punkt T, dann die Funktion:
wo: EIN, k, b sind konstante Zahlen, und k ungleich Null, auch periodisch mit Punkt T 1 , die durch die Formel bestimmt wird:
Die meisten Beispiele für periodische Funktionen sind trigonometrische Funktionen. Hier sind die Graphen der wichtigsten trigonometrischen Funktionen. Die folgende Abbildung zeigt einen Teil des Graphen der Funktion j= Sünde x(der ganze Graph setzt sich unendlich nach links und rechts fort), der Graph der Funktion j= Sünde x namens sinusförmig:
Funktionsgraph j= cos x namens Kosinuswelle. Dieses Diagramm ist in der folgenden Abbildung dargestellt. Seit dem Graphen des Sinus setzt er sich entlang der OX-Achse unendlich nach links und rechts fort:
Funktionsgraph j=tg x namens Tangente. Dieses Diagramm ist in der folgenden Abbildung dargestellt. Wie die Graphen anderer periodischer Funktionen wiederholt sich dieser Graph endlos entlang der OX-Achse nach links und nach rechts.
Und schließlich der Graph der Funktion j=ctg x namens Kotangensoid. Dieses Diagramm ist in der folgenden Abbildung dargestellt. Wie die Graphen anderer periodischer und trigonometrischer Funktionen wiederholt sich dieser Graph unbegrenzt entlang der OX-Achse nach links und nach rechts.
Die erfolgreiche, sorgfältige und verantwortungsbewusste Umsetzung dieser drei Punkte ermöglicht es Ihnen, ein hervorragendes Ergebnis auf dem CT zu zeigen, das Maximum dessen, was Sie können.
Fehler gefunden?
Wenn Sie, wie es Ihnen scheint, einen Fehler in den Schulungsunterlagen gefunden haben, schreiben Sie bitte per E-Mail darüber. Sie können auch über den Fehler im sozialen Netzwerk schreiben (). Geben Sie im Schreiben das Fach (Physik oder Mathematik), den Namen oder die Nummer des Themas oder Tests, die Nummer der Aufgabe oder die Stelle im Text (Seite) an, an der Ihrer Meinung nach ein Fehler vorliegt. Beschreiben Sie auch den angeblichen Fehler. Ihr Schreiben bleibt nicht unbemerkt, der Fehler wird entweder korrigiert oder Ihnen wird erklärt, warum es sich nicht um einen Fehler handelt.
