Die Zeichen der Zugehörigkeit sind aus dem Verlauf der Planimetrie bekannt. Unsere Aufgabe ist es, sie in Bezug auf die Projektionen geometrischer Objekte zu betrachten.

Ein Punkt gehört zu einer Ebene, wenn er zu einer Linie gehört, die in dieser Ebene liegt.

Die Zugehörigkeit zu einer geraden Ebene wird durch eines von zwei Zeichen bestimmt:

a) eine Gerade geht durch zwei in dieser Ebene liegende Punkte;

b) Eine Gerade geht durch einen Punkt und ist parallel zu Geraden, die in dieser Ebene liegen.

Anhand dieser Eigenschaften lösen wir das Problem beispielhaft. Die Ebene sei durch ein Dreieck gegeben ABC. Es ist erforderlich, um die fehlende Projektion zu erstellen D 1 Punkt D Zugehörigkeit zu diesem Flugzeug. Die Reihenfolge der Konstruktionen ist wie folgt (Abb. 2.5).

Reis. 2.5. Zur Konstruktion von Projektionen eines zu einer Ebene gehörenden Punktes

Durch den Punkt D 2 führen wir die Projektion einer Geraden durch d im Flugzeug liegen  ABC eine der Seiten des Dreiecks und den Punkt schneidet ABER 2. Dann gehört der Punkt 1 2 zu den Geraden ABER 2 D 2 und C 2 BEI 2. Daher kann man seine horizontale Projektion 1 1 erhalten C 1 BEI 1 auf der Kommunikationsleitung. Durch die Verbindungspunkte 1 1 und ABER 1 erhalten wir eine horizontale Projektion d eines . Es ist klar, dass der Punkt D 1 gehört dazu und liegt auf der Projektionslinie mit dem Punkt D 2 .

Es ist ziemlich einfach, Probleme zu lösen, um zu bestimmen, ob ein Punkt oder eine gerade Linie zu einer Ebene gehört. Auf Abb. 2.6 zeigt den Lösungsweg für solche Probleme. Zur klaren Darstellung des Problems wird die Ebene durch ein Dreieck festgelegt.

Reis. 2.6. Aufgaben zur Bestimmung der Zugehörigkeit eines Punktes zu einer geraden Ebene.

Um festzustellen, ob ein Punkt gehört E Flugzeug  ABC ziehen Sie eine Gerade durch seine Frontalprojektion E 2 a 2. Angenommen, die Linie a gehört zur Ebene  ABC, konstruieren seine horizontale Projektion a 1 an den Schnittpunkten 1 und 2. Wie Sie sehen können (Abb. 2.6, a), die gerade Linie a 1 geht nicht durch den Punkt E eines . Daher der Punkt E ABC.

Im Problem der Linienzugehörigkeit in dreieckige Ebene ABC(Abb. 2.6, b), es reicht für eine der Projektionen der Geraden in 2 baue einen anderen in 1 * in Anbetracht dessen in ABC. Wie wir sehen, in 1 * und in 1 stimmen nicht überein. Daher eine gerade Linie in   ABC.

2.4. Ebene Linien

Die Definition von Höhenlinien wurde bereits gegeben. Ebenenlinien, die zu einer bestimmten Ebene gehören, werden aufgerufen hauptsächlich . Diese Linien (Geraden) spielen eine wesentliche Rolle bei der Lösung einer Reihe von Problemen in der darstellenden Geometrie.

Betrachten Sie die Konstruktion von Niveaulinien in der durch das Dreieck angegebenen Ebene (Abb. 2.7).

Reis. 2.7. Konstruktion der Hauptlinien der durch das Dreieck definierten Ebene

Ebene Kontur  ABC Wir beginnen mit dem Zeichnen seiner Frontalprojektion h 2 , die bekanntermaßen parallel zur Achse ist OH. Da diese horizontale Linie zu der gegebenen Ebene gehört, geht sie durch zwei Punkte der Ebene  ABC, nämlich Punkte ABER und 1. mit ihren frontalen Projektionen ABER 2 und 1 2 erhalten wir entlang der Kommunikationslinie horizontale Projektionen ( ABER 1 existiert bereits) 1 1 . Indem man die Punkte verbindet ABER 1 und 1 1 haben wir eine horizontale Projektion h 1 horizontale Ebene  ABC. Profilprojektion h 3 ebene Konturen  ABC wird parallel zur Achse sein OH per Definition.

Flugzeug vorne  ABC ist ähnlich aufgebaut (Abb. 2.7) mit dem einzigen Unterschied, dass seine Zeichnung mit einer horizontalen Projektion beginnt f 1 , da bekannt ist, dass sie parallel zur OX-Achse verläuft. Profilprojektion f 3 Fronten sollten parallel zur OZ-Achse sein und durch die Vorsprünge gehen AUS 3 , 2 3 gleiche Punkte AUS und 2.

Ebene Profillinie  ABC hat eine Waagerechte R 1 und vorne R 2 Vorsprünge parallel zu den Achsen OY und oz, und die Profilprojektion R 3 kann frontal über Schnittpunkte erreicht werden BEI und 3 s  ABC.

Beim Konstruieren der Hauptlinien des Flugzeugs müssen Sie sich nur an eine Regel erinnern: Um das Problem zu lösen, müssen Sie immer zwei Schnittpunkte mit einem bestimmten Flugzeug erhalten. Die Konstruktion der in einer anders gegebenen Ebene liegenden Hauptleitungen ist nicht schwieriger als die oben besprochene. Auf Abb. 2.8 zeigt die Konstruktion der Horizontalen und Frontalen der Ebene, die durch zwei sich schneidende Linien gegeben ist a und in.

Reis. 2.8. Konstruktion der Hauptlinien der Ebene, die durch sich schneidende Geraden gegeben ist.

Punkt und Linie sind die wichtigsten geometrischen Figuren in der Ebene.

Die Definition eines Punktes und einer geraden Linie wird nicht in die Geometrie eingeführt, diese Konzepte werden auf einer intuitiven konzeptionellen Ebene betrachtet.

Punkte werden durch große (große, große) lateinische Buchstaben angezeigt: A, B, C, D, ...

Gerade Linien werden durch einen kleinen (kleinen) lateinischen Buchstaben gekennzeichnet, z. B.

- gerade Linie a.

Eine Gerade besteht aus unendlich vielen Punkten und hat weder Anfang noch Ende. Die Figur stellt nur einen Teil einer geraden Linie dar, aber es versteht sich, dass sie sich unendlich weit im Raum erstreckt und sich in beide Richtungen unendlich fortsetzt.

Punkte, die auf einer Geraden liegen, liegen auf dieser Geraden. Die Mitgliedschaft ist mit dem Zeichen ∈ gekennzeichnet. Punkte außerhalb einer Linie gehören nicht zu dieser Linie. Das Zeichen „gehört nicht dazu“ ist ∉.

Zum Beispiel gehört Punkt B zu Linie a (geschrieben: B∈a),

der Punkt F gehört nicht zur Geraden a, (man schreibt: F∉a).

Die Haupteigenschaften der Zugehörigkeit von Punkten und Linien in der Ebene:

Was auch immer die Linie ist, es gibt Punkte, die zu dieser Linie gehören, und Punkte, die nicht dazu gehören.

Es ist möglich, eine gerade Linie durch zwei beliebige Punkte zu ziehen, aber nur durch einen.

Linien werden auch mit zwei großen lateinischen Buchstaben bezeichnet, entsprechend den Namen der Punkte, die auf der Linie liegen.

- Gerade AB.

- diese Linie kann MK oder MN oder NK genannt werden.

Zwei Geraden können sich schneiden oder auch nicht. Wenn Linien sich nicht schneiden, haben sie keine gemeinsamen Punkte. Wenn sich Linien schneiden, haben sie einen gemeinsamen Punkt. Kreuzungszeichen - ∩ .

Zum Beispiel schneiden sich die Linien a und b am Punkt O

(Schreib ein ∩ b=0).

Die Linien c und d schneiden sich ebenfalls, obwohl ihr Schnittpunkt in der Figur nicht gezeigt ist.

Reis. 3.2Gegenseitige Anordnung von Linien

Linien im Raum können eine von drei Positionen relativ zueinander einnehmen:

1) parallel sein;

2) schneiden;

3) sich kreuzen.

Parallelsogenannte Geraden, die in der gleichen Ebene liegen und keine gemeinsamen Punkte haben.

Wenn die Linien parallel zueinander sind, dann sind auch ihre gleichnamigen Projektionen auf den CC parallel (siehe Abschn. 1.2).

schneidensogenannte Geraden, die in einer Ebene liegen und einen gemeinsamen Punkt haben.

Bei sich schneidenden Linien auf CC schneiden sich die gleichnamigen Projektionen in den Projektionen des Punktes ABER. Darüber hinaus sollten die frontalen () und horizontalen () Projektionen dieses Punktes auf derselben Kommunikationslinie liegen.

Kreuzungsogenannte Geraden, die in parallelen Ebenen liegen und keine gemeinsamen Punkte haben.

Wenn sich die Linien schneiden, dann können sich auf dem CC ihre gleichnamigen Projektionen schneiden, aber die Schnittpunkte der gleichnamigen Projektionen werden nicht auf derselben Kommunikationslinie liegen.

Auf Abb. 3,4 Punkt AUS gehört zur Linie b, und der Punkt D- gerade a. Diese Punkte haben den gleichen Abstand von der Frontalprojektionsebene. Ähnlich Punkte E und F zu unterschiedlichen Linien gehören, aber den gleichen Abstand von der horizontalen Projektionsebene haben. Daher stimmen ihre Frontalprojektionen auf dem CC überein.

Es gibt zwei Fälle, in denen sich ein Punkt relativ zu einer Ebene befindet: Ein Punkt kann zur Ebene gehören oder nicht (Abb. 3.5).

Zeichen der Zugehörigkeit eines Punktes und einer geraden Ebene:

Punkt gehört zur Ebene, wenn sie zu einer Linie gehört, die in dieser Ebene liegt.

Die Linie gehört zum Flugzeug, wenn sie zwei gemeinsame Punkte mit ihr hat oder einen gemeinsamen Punkt mit ihr hat und parallel zu einer anderen in dieser Ebene liegenden Linie ist.

Auf Abb. 3.5 zeigt eine Ebene und Punkte D und E. Punkt D gehört zur Ebene, da es zur Linie gehört l, die zwei gemeinsame Punkte mit dieser Ebene hat - 1 und ABER. Punkt E gehört nicht zum Flugzeug, weil Es ist unmöglich, eine gerade Linie durch sie zu ziehen, die in der gegebenen Ebene liegt.

Auf Abb. 3.6 zeigt eine Ebene und eine Gerade t in dieser Ebene liegen, weil hat damit eine Gemeinsamkeit 1 und parallel zur Linie a.

Auf dem kartesischen Produkt , wo M eine Menge von Punkten ist, führen wir eine 3-stellige Relation d ein. Wenn ein geordnetes Punkttripel (A, B, C) zu dieser Beziehung gehört, dann sagen wir, dass Punkt B zwischen den Punkten A und C liegt und verwenden die Notation: A-B-C. Die eingeführte Beziehung muss die folgenden Axiome erfüllen:

Wenn Punkt B zwischen den Punkten A und C liegt, dann sind A, B, C drei verschiedene Punkte auf derselben Linie, und B liegt zwischen C und A.

Was auch immer die Punkte A und B sind, es gibt mindestens einen Punkt C, sodass B zwischen A und C liegt.

Unter drei Punkten auf einer Geraden gibt es höchstens einen, der zwischen den beiden anderen liegt.

Um das letzte, vierte Axiom der zweiten Gruppe zu formulieren, ist es zweckmäßig, den folgenden Begriff einzuführen.

Definition 3.1. Unter einer Strecke (nach Hilbert) verstehen wir ein Punktepaar AB. Die Punkte A und B werden die Enden des Segments genannt, die zwischen seinen Enden liegenden Punkte - die inneren Punkte des Segments oder einfach die Punkte des Segments und die Punkte der Linie AB, die nicht zwischen den Enden A liegen und B - die externen Punkte des Segments.

. (Axiom von Pascha) Seien A, B und C drei Punkte, die nicht auf derselben Geraden liegen, und sei l die Linie der Ebene ABC, die nicht durch diese Punkte geht. Wenn dann die Gerade l durch einen Punkt der Strecke AB geht, dann enthält sie entweder einen Punkt der Strecke AC oder einen Punkt der Strecke BC.

Aus den Axiomen der ersten und zweiten Gruppe folgen eine ganze Reihe geometrischer Eigenschaften von Punkten, Linien und Strecken. Man kann beweisen, dass jede Strecke mindestens einen inneren Punkt hat, unter den drei Punkten einer Geraden gibt es immer einen und nur einen, der zwischen den beiden anderen liegt, zwischen zwei Punkten der Geraden gibt es immer unendlich viele Punkte, also dort sind unendlich viele Punkte auf der Geraden . Es lässt sich auch beweisen, dass die Aussage des Pasch-Axioms auch für auf derselben Geraden liegende Punkte gilt: Wenn die Punkte A, B und C auf derselben Geraden liegen, geht die Gerade l nicht durch diese Punkte und schneidet einen der Punkte B. AB an einem inneren Punkt, dann schneidet sie an einem inneren Punkt entweder das Segment AC oder das Segment BC. Beachten Sie auch, dass aus den Axiomen der ersten und zweiten Gruppe nicht folgt, dass die Menge der Punkte einer Geraden nicht abzählbar ist. Wir werden keine Beweise für diese Behauptungen präsentieren. Der Leser kann sie in Handbüchern kennenlernen, und. Gehen wir näher auf die geometrischen Grundbegriffe Strahl, Halbebene und Halbraum ein, die mit den Zugehörigkeits- und Ordnungsaxiomen eingeführt werden.

Folgende Aussage ist wahr:

Der Punkt O der Linie l teilt die Menge der anderen Punkte dieser Linie in zwei nichtleere Teilmengen, so dass für zwei beliebige Punkte A und B, die zur selben Teilmenge gehören, der Punkt O ein externer Punkt der Strecke AB ist, und für zwei beliebige Punkte C und D, die zu unterschiedlichen Teilmengen gehören, ist Punkt O ein innerer Punkt des Segments CD.

Jede dieser Teilmengen wird aufgerufen Strahl Linie l mit Ursprung im Punkt O. Die Strahlen werden mit h, l, k, … OA, OB, OC, … bezeichnet, wobei O der Anfang des Strahls ist und A, B und C die Punkte des Strahls sind Strahl. Der Beweis dieser Behauptung wird später, in Abschnitt 7, gegeben, aber unter Verwendung einer anderen Axiomatik des dreidimensionalen euklidischen Raums. Das Konzept eines Strahls ermöglicht es uns, das wichtigste geometrische Objekt zu definieren - den Winkel.

Definition 3.2.Unter einem Winkel (nach Hilbert) verstehen wir ein Strahlenpaar h und k, das einen gemeinsamen Ursprung O hat und nicht auf einer Geraden liegt.

Der Punkt O heißt Scheitelpunkt des Winkels, und die Strahlen h und k sind seine Seiten. Für Winkel verwenden wir die Notation . Betrachten Sie das wichtigste Konzept der elementaren Geometrie - das Konzept einer Halbebene.

Satz 3.1.Die Linie a, die in der Ebene a liegt, teilt ihre Menge von Punkten, die nicht zur Linie gehören, in zwei nicht leere Teilmengen, so dass, wenn die Punkte A und B zur selben Teilmenge gehören, die Strecke AB keine gemeinsamen Punkte hat die Gerade l, und wenn die Punkte A und B B zu unterschiedlichen Teilmengen gehören, dann schneidet die Strecke AB die Gerade l an ihrem inneren Punkt.

Nachweisen. Im Beweis verwenden wir die folgende Eigenschaft der Äquivalenzrelation. Wenn eine binäre Relation auf einer Menge eingeführt wird, die eine Äquivalenzrelation ist, d.h. die Bedingungen der Reflexivität, Symmetrie und Transitivität erfüllt, dann wird die gesamte Menge in sich nicht überschneidende Teilmengen unterteilt - Äquivalenzklassen, und zwei beliebige Elemente gehören zu derselben Klasse, wenn und nur wenn sie äquivalent sind.

Betrachten Sie die Menge der Punkte in der Ebene, die nicht zur Linie a gehören. Wir nehmen an, dass zwei Punkte A und B genau dann in der binären Beziehung d: AdB stehen, wenn es auf der Strecke AB keine inneren Punkte gibt, die zur Geraden a gehören. Wir werden auch zählen Nehmen wir an, dass jeder Punkt in einer binären Beziehung d zu sich selbst steht. Zeigen wir, dass es für jeden Punkt A, der nicht zur Geraden a gehört, Punkte gibt, die von A verschieden sind und mit ihr in einer binären Beziehung stehen und nicht. Wir wählen einen beliebigen Punkt P der Geraden a (siehe Abb. 6). Dann existiert gemäß dem Axiom ein Punkt B der Linie AP, so dass P-A-B. Die Linie AB schneidet a an einem Punkt P, der nicht zwischen den Punkten A und B liegt, also stehen die Punkte A und B in Relation zu d. Nach demselben Axiom existiert ein Punkt C, so dass A-P-C. Punkt P liegt also zwischen A und C, Punkte A und C stehen nicht in Beziehung zu d.

Beweisen wir, dass die Relation d eine Äquivalenzrelation ist. Die Reflexivitätsbedingung ist offensichtlich aufgrund der Definition der binären Relation d: AdA erfüllt. Die Punkte A und B seien in Relation zu d. Dann gibt es auf der Strecke AB keine Punkte der Geraden a. Daraus folgt, dass es auf der Strecke BA keine Punkte der Geraden a gibt, also BdA, die Symmetrierelation ist erfüllt. Gegeben seien schließlich drei Punkte A, B und C, so dass AdB und BdC. Zeigen wir, dass die Punkte A und C in der binären Beziehung d stehen. Nehmen wir das Gegenteil an, auf der Strecke AC gibt es einen Punkt P der Geraden a (Abb. 7). Dann schneidet aufgrund des Axioms , des Pasch-Axioms, die Gerade a entweder die Strecke BC oder die Strecke AB (in Abb. 7 schneidet die Gerade a die Strecke BC). Wir sind auf einen Widerspruch gestoßen, da aus den Bedingungen AdB und BdC folgt, dass die Gerade a diese Segmente nicht schneidet. Die Relation d ist also eine Äquivalenzrelation und teilt die Menge der Punkte der Ebene, die nicht zur Linie a gehören, in Äquivalenzklassen ein.

Prüfen wir, ob es genau zwei solcher Äquivalenzklassen gibt. Dazu reicht es zu beweisen, dass, wenn die Punkte A und C und B und C nicht äquivalent sind, die Punkte A und B wiederum einander äquivalent sind. Da die Punkte A und C und B und C nicht in der Äquivalenzrelation d liegen, schneidet die Gerade a die Strecken AC und BC an den Punkten P und Q (siehe Abb. 7). Aber dann kann diese Linie aufgrund des Pasha-Axioms die Strecke AB nicht schneiden. Daher sind die Punkte A und B äquivalent zueinander. Der Satz ist bewiesen.

Jede der in Satz 3.2 definierten Äquivalenzklassen wird aufgerufen Halbebene. So teilt jede gerade Linie einer Ebene diese in zwei Halbebenen, denen sie dient Grenze.

Ähnlich dem Konzept einer Halbebene wird das Konzept eines Halbraums eingeführt. Es wird ein Satz bewiesen, der besagt, dass jede Raumebene a Punkte des Raums in zwei Mengen teilt. Eine Strecke, deren Enden Punkte einer Menge sind, hat mit der Ebene a keine Punkte gemeinsam. Gehören die Endpunkte eines Segments zu unterschiedlichen Mengen, so hat ein solches Segment als inneren Punkt der Ebene a. Der Beweis dieser Behauptung ist ähnlich dem Beweis von Satz 3.2, wir werden ihn hier nicht präsentieren.

Lassen Sie uns das Konzept eines inneren Punktes eines Winkels definieren. Gegeben sei ein Winkel. Betrachten Sie die Linie OA, die den Strahl OA enthält, die Seite dieses Winkels. Es ist klar, dass die Punkte des Strahls OB in Bezug auf die Linie OA zu derselben Halbebene a gehören. Ebenso gehören die Punkte des Strahls OA, die Seiten des gegebenen Winkels, zu derselben Halbebene b, deren Rand ist direkter OB (Abb. 8). Die zum Schnittpunkt der Halbebenen a und b gehörenden Punkte werden genannt interne Punkte Winkel. In Abbildung 8 ist Punkt M ein interner Punkt. Die Menge aller inneren Punkte eines Winkels heißt seine innere Region. Ein Strahl, dessen Scheitelpunkt mit dem Scheitelpunkt eines Winkels zusammenfällt und dessen Punkte alle innenliegen, heißt interner Strahl Winkel. Abbildung 8 zeigt den inneren Strahl h des AOB-Winkels.

Die folgenden Behauptungen sind wahr.

zehn . Wenn ein Strahl mit Ursprung am Scheitelpunkt eines Winkels mindestens einen seiner inneren Punkte enthält, dann ist er ein innerer Strahl dieses Winkels.

zwanzig . Wenn sich die Enden des Segments auf zwei verschiedenen Seiten des Winkels befinden, dann ist jeder innere Punkt des Segments ein innerer Punkt des Winkels.

dreißig . Jeder innere Strahl eines Winkels schneidet ein Segment, dessen Enden auf den Seiten des Winkels liegen.

Wir werden die Beweise dieser Aussagen später in Abschnitt 5 betrachten. Unter Verwendung der Axiome der zweiten Gruppe definieren wir die Konzepte einer unterbrochenen Linie, eines Dreiecks, eines Polygons, das Konzept des Inneren eines einfachen Polygons und beweisen, dass ein einfaches Polygon teilt eine Ebene in zwei Bereiche, einen internen und einen externen in Bezug auf sie.

Die dritte Gruppe von Hilberts Axiomen des dreidimensionalen euklidischen Raums sind die sogenannten Kongruenzaxiomen. Sei S die Menge der Segmente, A die Menge der Winkel. Bei den kartesischen Produkten und führen wir binäre Relationen ein, die wir Kongruenzrelation nennen wollen.

Beachten Sie, dass die auf diese Weise eingeführte Beziehung nicht die Beziehung der Hauptobjekte der betrachteten Axiomatik ist, d.h. Punkte von Linien und Ebenen. Die dritte Gruppe von Axiomen kann erst eingeführt werden, wenn die Begriffe Segment und Winkel definiert sind, d.h. die erste und zweite Gruppe von Hilberts Axiomen werden eingeführt.

Wir vereinbaren auch, deckungsgleiche Segmente oder Winkel auch geometrisch gleiche oder einfach gleiche Segmente oder Winkel zu nennen, wobei der Begriff „kongruent“, sofern dies nicht zu Missverständnissen führt, durch den Begriff „gleich“ ersetzt und mit dem Symbol gekennzeichnet wird "=".