Um ein bestimmtes Integral mit der Trapezmethode zu finden, wird die Fläche eines krummlinigen Trapezes ebenfalls in n rechteckige Trapeze mit Höhen h und Basen y 1, y 2, y 3,..y n unterteilt, wobei n die Anzahl der ist rechteckiges Trapez. Das Integral ist numerisch gleich der Summe der Flächen rechteckiger Trapeze (Abbildung 4).

Reis. 4

n - Anzahl der Splits

Der Fehler der Trapezformel wird durch die Zahl geschätzt

Der Fehler der Trapezformel nimmt mit dem Wachstum schneller ab als der Fehler der Rechteckformel. Daher ermöglicht Ihnen die Trapezformel eine höhere Genauigkeit als die Rechteckmethode.

Simpson-Formel

Wenn wir für jedes Segmentpaar ein Polynom zweiten Grades konstruieren, es dann auf dem Segment integrieren und die Additivitätseigenschaft des Integrals verwenden, erhalten wir die Simpson-Formel.

Bei der Simpson-Methode zur Berechnung des bestimmten Integrals wird das gesamte Integrationsintervall in Teilintervalle gleicher Länge h=(b-a)/n unterteilt. Die Anzahl der Partitionssegmente ist eine gerade Zahl. Dann wird auf jedem Paar benachbarter Teilintervalle die Teilintegralfunktion f(x) durch ein Lagrange-Polynom zweiten Grades ersetzt (Abbildung 5).

Reis. 5 Die Funktion y=f(x) auf dem Segment wird durch ein Polynom 2. Ordnung ersetzt

Betrachten Sie den Integranden des Intervalls. Ersetzen wir diesen Integranden durch ein Lagrange-Interpolationspolynom zweiten Grades, das an den Punkten mit y= zusammenfällt:

Integrieren wir über das Intervall:

Wir führen eine Variablenänderung ein:

Angesichts der Ersetzungsformeln

Nach der Integration erhalten wir die Simpson-Formel:

Der für das Integral erhaltene Wert stimmt mit der Fläche eines krummlinigen Trapezes überein, das durch eine Achse, gerade Linien und eine durch Punkte verlaufende Parabel begrenzt wird. Auf einem Segment sieht die Simpson-Formel folgendermaßen aus:

In der Parabelformel hat der Wert der Funktion f (x) an ungeraden Verteilungspunkten x 1, x 3, ..., x 2n-1 einen Koeffizienten von 4, an geraden Punkten x 2, x 4, ... , x 2n-2 - Koeffizient 2 und an zwei Grenzpunkten x 0 =a, x n =b - Koeffizient 1.

Die geometrische Bedeutung der Simpson-Formel: Die Fläche eines krummlinigen Trapezes unter dem Graphen der Funktion f(x) auf einem Segment wird ungefähr durch die Summe der Flächen der Figuren ersetzt, die unter den Parabeln liegen.

Wenn die Funktion f(x) eine kontinuierliche Ableitung vierter Ordnung hat, dann ist der Betrag des Fehlers der Simpson-Formel nicht größer als

wobei M der größte Wert im Segment ist. Da n 4 schneller wächst als n 2 , nimmt der Fehler der Simpson-Formel mit zunehmendem n viel schneller ab als der Fehler der Trapezformel.

Wir berechnen das Integral

Dieses Integral lässt sich leicht berechnen:

Nehmen wir n gleich 10, h = 0,1, berechnen Sie die Werte des Integranden an den Teilungspunkten sowie an halbzahligen Punkten.

Nach der Formel der mittleren Rechtecke erhalten wir I gerade = 0,785606 (der Fehler beträgt 0,027%), nach der Trapezformel I trap = 0,784981 (der Fehler beträgt etwa 0,054. Bei Verwendung der Methode der rechten und linken Rechtecke, die Fehler ist mehr als 3%.

Um die Genauigkeit der Näherungsformeln zu vergleichen, berechnen wir noch einmal das Integral

jetzt aber nach der Simpson-Formel für n=4. Wir teilen das Segment in vier gleiche Teile mit den Punkten x 0 \u003d 0, x 1 \u003d 1/4, x 2 \u003d 1/2, x 3 \u003d 3/4, x 4 \u003d 1 und berechnen ungefähr die Werte ​​der Funktion f (x) \u003d 1 / ( 1+x) an diesen Punkten: y 0 = 1,0000, y 1 = 0,8000, y 2 = 0,6667, y 3 = 0,5714, y 4 = 0,5000.

Nach der Simpson-Formel erhalten wir

Schätzen wir den Fehler des erhaltenen Ergebnisses ab. Für den Integranden f(x)=1/(1+x) gilt: f (4) (x)=24/(1+x) 5 , woraus folgt, dass auf der Strecke . Daher können wir M = 24 nehmen, und der Ergebnisfehler übersteigt 24/(2880 4 4) = 0,0004 nicht. Wenn wir den ungefähren Wert mit dem exakten vergleichen, schließen wir daraus, dass der absolute Fehler des durch die Simpson-Formel erhaltenen Ergebnisses kleiner als 0,00011 ist. Dies steht im Einklang mit der oben angegebenen Fehlerschätzung und zeigt zusätzlich, dass die Simpson-Formel viel genauer ist als die Trapezformel. Daher wird die Simpson-Formel zur näherungsweisen Berechnung bestimmter Integrale häufiger verwendet als die Trapezformel.

Es entsteht das Problem der numerischen Berechnung eines bestimmten Integrals, das mit Hilfe von Formeln gelöst wird, die als Quadratur bezeichnet werden.

Erinnern Sie sich an die einfachsten Formeln für die numerische Integration.

Lassen Sie uns den ungefähren Zahlenwert von berechnen. Wir teilen das Integrationsintervall [à, b] in n gleiche Teile, indem wir Punkte teilen
, Knoten der Quadraturformel genannt. Lassen Sie die Werte in den Knoten bekannt sein
:

Wert

wird als Integrationsintervall oder -schritt bezeichnet. Beachten Sie, dass in der Praxis von -Rechnungen die Zahl i klein gewählt wird, normalerweise nicht mehr als 10-20

der Integrand wird durch das Interpolationspolynom ersetzt

was näherungsweise die Funktion f(x) auf dem betrachteten Intervall darstellt.

a) Behalte dann nur einen ersten Term im Interpolationspolynom

Die resultierende quadratische Formel

wird die Formel der Rechtecke genannt.

b) Behalten Sie dann die ersten beiden Terme im Interpolationspolynom bei

(2)

Formel (2) wird die Trapezformel genannt.

c) Integrationsintervall
wir teilen in eine gerade Anzahl von 2n gleichen Teilen, wobei der Integrationsschritt h gleich sein wird . Im Intervall
der Länge 2h ersetzen wir den Integranden durch ein Interpolationspolynom zweiten Grades, d. h. wir behalten die ersten drei Terme im Polynom:

Die resultierende Quadraturformel wird Simpson-Formel genannt

(3)

Die Formeln (1), (2) und (3) haben eine einfache geometrische Bedeutung. In der Formel von Rechtecken ist der Integrand f(x) auf dem Intervall
wird durch ein gerades Liniensegment y \u003d uk parallel zur x-Achse und in der Trapezformel durch ein gerades Liniensegment ersetzt
und die Fläche eines Rechtecks ​​bzw. eines geradlinigen Trapezes berechnet, die dann aufsummiert werden. In der Simpson-Formel ist die Funktion f(x) auf dem Intervall
Länge 2h wird durch ein quadratisches Trinom ersetzt - eine Parabel
Die Fläche eines krummlinigen parabolischen Trapezes wird berechnet, dann werden die Flächen summiert.

FAZIT

Abschließend möchte ich einige Merkmale der Anwendung der oben diskutierten Methoden hervorheben. Jedes Verfahren zur Näherungslösung eines bestimmten Integrals hat seine Vor- und Nachteile, je nach Aufgabenstellung sollten spezielle Verfahren verwendet werden.

Variable Substitutionsmethode ist eine der wichtigsten Methoden zur Berechnung unbestimmter Integrale. Auch wenn wir nach einer anderen Methode integrieren, müssen wir oft auf eine Änderung von Variablen in Zwischenrechnungen zurückgreifen. Der Erfolg der Integration hängt zu einem großen Teil davon ab, ob wir eine so gute Variablenänderung finden, die das gegebene Integral vereinfachen würde.

Im Wesentlichen läuft das Studium der Integrationsmethoden darauf hinaus, herauszufinden, welche Art von Variablenänderung für die eine oder andere Form des Integranden vorgenommen werden sollte.

Auf diese Weise, Integration jedes rationalen Bruchs reduziert sich auf die Integration eines Polynoms und einiger einfacher Brüche.

Das Integral jeder rationalen Funktion kann in Form von elementaren Funktionen in der endgültigen Form ausgedrückt werden, nämlich:

durch Logarithmen - bei den einfachsten Brüchen vom Typ 1;

durch rationale Funktionen - bei einfachen Brüchen vom Typ 2

durch Logarithmen und Arkustangens - bei einfachen Brüchen vom Typ 3

durch rationale Funktionen und Arkustangens - bei den einfachsten Brüchen vom Typ 4. Die universelle trigonometrische Substitution rationalisiert immer den Integranden, führt aber oft zu sehr umständlichen rationalen Brüchen, bei denen es insbesondere praktisch unmöglich ist, die Wurzeln des Nenners zu finden. Daher werden nach Möglichkeit partielle Substitutionen verwendet, die den Integranden ebenfalls rationalisieren und zu weniger komplexen Brüchen führen.

Newton-Leibniz-Formel ist ein allgemeiner Ansatz, um bestimmte Integrale zu finden.

Die Methoden zur Berechnung bestimmter Integrale unterscheiden sich praktisch nicht von all diesen Methoden und Methoden.

Das gleiche gilt Substitutionsmethoden(Änderung der Variablen), die Methode der partiellen Integration, die gleichen Methoden zum Finden von Stammfunktionen für trigonometrische, irrationale und transzendente Funktionen. Die einzige Besonderheit besteht darin, dass bei der Anwendung dieser Techniken die Transformation nicht nur auf die Teilintegralfunktion, sondern auch auf die Integrationsgrenzen ausgedehnt werden muss. Denken Sie beim Ändern der Integrationsvariablen daran, die Integrationsgrenzen entsprechend zu ändern.

Brunnen aus dem Satz die Stetigkeitsbedingung der Funktion ist eine hinreichende Bedingung für die Integrierbarkeit der Funktion. Das bedeutet aber nicht, dass das bestimmte Integral nur für stetige Funktionen existiert. Die Klasse der integrierbaren Funktionen ist viel breiter. So gibt es beispielsweise ein bestimmtes Integral von Funktionen, die endlich viele Unstetigkeitsstellen haben.

Die Berechnung eines bestimmten Integrals einer stetigen Funktion mit der Newton-Leibniz-Formel reduziert sich auf das Auffinden einer Stammfunktion, die immer existiert, aber nicht immer eine elementare Funktion oder eine Funktion ist, für die Tabellen erstellt werden, die es ermöglichen, den Wert zu erhalten des Integrals. In zahlreichen Anwendungen wird die integrierbare Funktion in einer Tabelle angegeben, und die Newton-Leibniz-Formel ist nicht direkt anwendbar.

Wenn Sie das genaueste Ergebnis wünschen, ideal Simpsons Methode.

Aus dem oben Gesagten kann die folgende Schlussfolgerung gezogen werden, dass das Integral in Wissenschaften wie Physik, Geometrie, Mathematik und anderen Wissenschaften verwendet wird. Mit Hilfe des Integrals wird die Arbeit der Kraft berechnet, die Koordinaten des Massenschwerpunkts, der vom Materialpunkt zurückgelegte Weg gefunden. In der Geometrie wird es verwendet, um das Volumen eines Körpers zu berechnen, die Länge eines Bogens einer Kurve zu ermitteln usw.

Bei diesem Verfahren wird vorgeschlagen, den Integranden auf einem Teilintervall durch eine durch die Punkte verlaufende Parabel zu approximieren
(x j , f(xj)), wo j = ich-1; ich-0.5; ich, das heißt, wir approximieren den Integranden durch das Lagrange-Interpolationspolynom zweiten Grades:

(10.14)

Nach Integration erhalten wir:

(10.15)

Das ist es Simpsons Formel oder die Formel der Parabeln. Auf dem Segment
[ein, b] Simpsons Formel nimmt die Form an

(10.16)

Eine grafische Darstellung des Simpson-Verfahrens ist in Abb. 1 gezeigt. 2.4.

Reis. 10.4. Simpson-Methode

Lassen Sie uns gebrochene Indizes in Ausdruck (2.16) loswerden, indem wir die Variablen umbenennen:

(10.17)

Dann nimmt die Simpson-Formel die Form an

(10.18)

Der Fehler der Formel (2.18) wird durch den folgenden Ausdruck geschätzt:

, (10.19)

wo h n = b-a, . Somit ist der Fehler der Simpson-Formel proportional zu Ö(h 4).

Kommentar. Es sollte beachtet werden, dass in der Simpson-Formel das Integrationssegment notwendigerweise unterteilt ist sogar Anzahl Intervalle.

10.5. Berechnung bestimmter Integrale nach Methoden
Monte Carlo

Die zuvor besprochenen Methoden werden aufgerufen deterministisch , das heißt, ohne das Element des Zufalls.

Monte-Carlo-Methoden(MMK) sind numerische Verfahren zur Lösung mathematischer Probleme durch Modellierung von Zufallsvariablen. MCM ermöglichen es, mathematische Probleme, die durch probabilistische Prozesse verursacht werden, erfolgreich zu lösen. Darüber hinaus kann man beim Lösen von Problemen, die mit keinen Wahrscheinlichkeiten verbunden sind, künstlich ein Wahrscheinlichkeitsmodell (und sogar mehr als eines) entwickeln, das die Lösung dieser Probleme ermöglicht. Betrachten Sie die Berechnung des bestimmten Integrals

(10.20)

Bei der Berechnung dieses Integrals mit der Rechteckformel ist das Intervall [ ein, b] aufgeteilt in N identische Intervalle, in deren Mitte die Werte des Integranden berechnet wurden. Durch die Berechnung der Funktionswerte an zufälligen Knoten erhalten Sie ein genaueres Ergebnis:

(10.21)

(10.22)

Dabei ist γ i eine gleichmäßig über das Intervall verteilte Zufallszahl
. Der Fehler bei der Berechnung des MMK-Integrals ~ , der viel größer ist als der der zuvor untersuchten deterministischen Methoden.

Auf Abb. 2.5 zeigt eine grafische Implementierung des Monte-Carlo-Verfahrens zur Berechnung eines einzelnen Integrals mit zufälligen Knoten (2.21) und (2.22).

(2.23)

Reis. 10.6. Monte-Carlo-Integration (2. Fall)

Wie in Abb. 2.6 liegt die Integralkurve im Einheitsquadrat, und wenn wir Paare von Zufallszahlen erhalten können, die gleichmäßig über das Intervall verteilt sind, können die erhaltenen Werte (γ 1, γ 2) als Koordinaten eines Punktes im interpretiert werden Einheit Quadrat. Wenn es dann genug von diesen Zahlenpaaren gibt, können wir davon ungefähr ausgehen
. Hier S ist die Anzahl der Punktepaare, die unter die Kurve fallen, und N ist die Gesamtzahl der Zahlenpaare.

Beispiel 2.1. Berechnen Sie das folgende Integral:

Das Problem wurde durch verschiedene Methoden gelöst. Die erhaltenen Ergebnisse sind in der Tabelle zusammengefaßt. 2.1.

Tabelle 2.1

Kommentar. Die Wahl des Tabellenintegrals ermöglichte es uns, den Fehler jeder Methode zu vergleichen und den Einfluss der Anzahl der Partitionen auf die Genauigkeit der Berechnungen herauszufinden.

11 UNGEFÄHRLICHE LÖSUNG VON NICHTLINEAR
UND TRANSZENDENTE GLEICHUNGEN

Berechnung von Integralen mit den Formeln von Rechtecken, Trapezen und der Simpson-Formel. Schätzung von Fehlern.

Hinweise zu Thema 4.1:

Berechnung von Integralen durch Formeln von Rechtecken. Fehlerschätzung:

Die Lösung vieler technischer Probleme reduziert sich auf die Berechnung bestimmter Integrale, deren genaue Angabe schwierig ist, langwierige Berechnungen erfordert und in der Praxis nicht immer gerechtfertigt ist. Hier reicht ihr ungefährer Wert völlig aus. Zum Beispiel müssen Sie die Fläche berechnen, die von einer Linie begrenzt wird, deren Gleichung unbekannt ist, die Achse X und zwei Ordinaten. In diesem Fall können Sie diese Linie durch eine einfachere ersetzen, für die die Gleichung bekannt ist. Die so erhaltene Fläche des krummlinigen Trapezes wird als Näherungswert des gewünschten Integrals genommen. Geometrisch ist die Idee hinter der Methode zur Berechnung des bestimmten Integrals mit der Formel der Rechtecke, dass die Fläche eines krummlinigen Trapezes ist A 1 ABB 1 wird durch die Fläche eines flächengleichen Rechtecks ​​ersetzt A 1 A 2 B 1 B 2, die nach dem Mittelwertsatz gleich ist

Woher f(c)--- Rechteckhöhe A 1 A 2 B 1 B 2, das ist der Wert des Integranden an einem Zwischenpunkt c (ein< c

Es ist praktisch schwierig, einen solchen Wert zu finden mit, bei welchem (b-a)f(c) wäre genau gleich. Um einen genaueren Wert zu erhalten, wird der Bereich eines krummlinigen Trapezes unterteilt n Rechtecke gleicher Höhe y 0 , y 1 , y 2 , …, y n -1 und Stiftungen.

Wenn wir die Flächen von Rechtecken zusammenfassen, die die Fläche eines krummlinigen Trapezes mit einem Nachteil abdecken, ist die Funktion nicht abnehmend, dann wird anstelle der Formel die Formel verwendet

Wenn im Überschuss, dann

Werte werden aus Gleichheiten gefunden. Diese Formeln werden aufgerufen Rechteckformeln und geben Sie ein ungefähres Ergebnis an. Mit der Erhöhung n das Ergebnis wird genauer.

Beispiel 1 . Berechnen Sie aus der Formel der Rechtecke

Wir teilen das Integrationsintervall in 5 Teile. Dann . Mit einem Taschenrechner oder einer Tabelle finden wir die Werte des Integranden (mit einer Genauigkeit von 4 Dezimalstellen):

Nach der Rechteckformel (mit Nachteil)

Andererseits nach der Newton-Leibniz-Formel

Lassen Sie uns den relativen Berechnungsfehler mit der Rechteckformel finden:

Berechnung von Integralen durch Trapezformeln. Fehlerschätzung:

Die geometrische Bedeutung der folgenden Methode zur näherungsweisen Berechnung von Integralen besteht darin, die Fläche eines ungefähr gleich großen "geradlinigen" Trapezes zu finden.

Lassen Sie es notwendig sein, die Fläche zu berechnen A 1 AmBB 1 krummliniges Trapez, ausgedrückt durch die Formel .

Lassen Sie uns den Bogen ersetzen AmB Akkord AB und anstelle der Fläche eines krummlinigen Trapezes A 1 AmBB 1 Berechnen Sie die Fläche des Trapezes A 1 ABB 1: , wo A.A. 1 und BB 1 - die Basis des Trapezes und A1B 1 ist seine Höhe.

Bezeichnen f(a)=A 1 A,f(b)=B 1 B. trapezförmige Höhe A 1 B 1 \u003d b-a, Quadrat . Somit, oder

Diese sog kleine Trapezformel.

Um die Simpson-Formel zu konstruieren, betrachten wir zunächst das folgende Problem: Berechnen Sie die Fläche S eines krummlinigen Trapezes, das von oben durch den Graphen der Parabel y \u003d Ax 2 + Bx + C begrenzt wird, von links durch die gerade Linie x \u003d - h, von rechts durch die gerade Linie x \u003d h und von unten durch das Segment [-h; h]. Lassen Sie die Parabel durch drei Punkte gehen (Abb. 8): D (-h; y 0) E (0; y 1) und F (h; y 2) und x 2 - x 1 = x 1 - x 0 = h . Somit,

x 1 \u003d x 0 + h \u003d 0; x 2 = x 0 + 2h.

Dann ist die Fläche S gleich dem Integral:

Wir drücken diese Fläche durch h, y 0 , y 1 und y 2 aus. Dazu berechnen wir die Koeffizienten der Parabel A, B, C. Aus der Bedingung, dass die Parabel durch die Punkte D, E und F geht, haben wir:

Wenn wir dieses System lösen, erhalten wir: C = y 1 ; A=

Wenn wir diese Werte A und C in (3) einsetzen, erhalten wir die gewünschte Fläche

Wenden wir uns nun der Herleitung der Simpson-Formel zur Berechnung des Integrals zu

Dazu teilen wir das Integrationssegment in 2n gleich lange Teile

An den Teilungspunkten (Abb. 4) a \u003d x 0, x 1, x 2, ..., x 2n-2, x 2n-1, x 2n \u003d b,

Wir berechnen die Werte des Integranden f: y 0 , y 1 , y 2 , ...,y 2n-2 , y 2n-1 , y 2n , de y i = f(x i), x i = a + ih (i = 0, 1, 2, ..., 2n).

Auf dem Segment ersetzen wir den Integranden durch eine Parabel, die durch die Punkte (x 0; y 0), (x 1; y 1) und (x 2; y 2) verläuft, und berechnen den Näherungswert des Integrals aus x 0 bis x 2 verwenden wir die Formel (4 ). Dann (der schraffierte Bereich in Abb. 4):

Ebenso finden wir:

................................................

Wenn wir die resultierenden Gleichheiten addieren, haben wir:

Formel (5) wird aufgerufen verallgemeinerte Simpson-Formel oder Parabelformel, da bei seiner Ableitung der Graph des Integranden auf einem Teilstück der Länge 2h durch einen Parabelbogen ersetzt wird.

Arbeitsauftrag:

1. Nach Anweisung des Lehrers oder in Übereinstimmung mit einer Option von Tische 4 Aufgaben (siehe Anhang), um die Bedingungen zu übernehmen - der Integrand, die Integrationsgrenzen.

2. Erstellen Sie ein Flussdiagramm des Programms und ein Programm, das:

Fordern Sie die Genauigkeit der Berechnung eines bestimmten Integrals, der unteren und oberen Integrationsgrenzen an;

Berechnen Sie das gegebene Integral nach Methoden: für Optionen 1,4,7, 10… - richtig, für Optionen 2,5,8,… - Durchschnitt; für Optionen 2,5,8,… - linke Rechtecke. Ausgabe der Anzahl der Teilungen des Integrationsbereichs, bei der die angegebene Berechnungsgenauigkeit erreicht wird;

Berechnen Sie das gegebene Integral mit der Trapezmethode (für gerade Optionen) und der Simpson-Methode (für ungerade Optionen).

Ausgabe der Anzahl der Teilungen des Integrationsbereichs, bei der die angegebene Berechnungsgenauigkeit erreicht wird;

Geben Sie die Werte der Steuerfunktion für den gegebenen Wert des Arguments aus und vergleichen Sie sie mit den berechneten Werten des Integrals. Schlussfolgerungen.

Testfragen

1. Was ist ein bestimmtes Integral?

2. Warum werden neben analytischen Methoden numerische Methoden zur Berechnung bestimmter Integrale verwendet?

3. Was ist die Essenz der wichtigsten numerischen Methoden zur Berechnung bestimmter Integrale?

4. Einfluss der Anzahl der Partitionen auf die Genauigkeit der Berechnung eines bestimmten Integrals mit numerischen Methoden.

5. Wie berechnet man das Integral mit einer beliebigen Methode mit einer bestimmten Genauigkeit?