In dem Artikel werden wir zeigen wie man Brüche löst mit einfachen anschaulichen Beispielen. Lassen Sie uns verstehen, was ein Bruch ist und überlegen Brüche lösen!

Konzept Brüche wird ab der 6. Klasse der Sekundarschule in das Mathematikstudium eingeführt.

Brüche sehen so aus: ±X / Y, wobei Y der Nenner ist, der angibt, in wie viele Teile das Ganze geteilt wurde, und X der Zähler ist, der angibt, wie viele solcher Teile genommen wurden. Nehmen wir zur Verdeutlichung ein Beispiel mit einem Kuchen:

Im ersten Fall wurde der Kuchen gleichmäßig geschnitten und eine Hälfte genommen, d.h. 1/2. Im zweiten Fall wurde der Kuchen in 7 Teile geschnitten, von denen 4 Teile entnommen wurden, d.h. 4/7.

Wenn der Teil der Division einer Zahl durch eine andere keine ganze Zahl ist, wird er als Bruch geschrieben.

Beispielsweise ergibt der Ausdruck 4:2 \u003d 2 eine ganze Zahl, aber 4:7 ist nicht vollständig teilbar, daher wird dieser Ausdruck als Bruch 4/7 geschrieben.

Mit anderen Worten Fraktion ist ein Ausdruck, der die Division zweier Zahlen oder Ausdrücke bezeichnet und mit einem Schrägstrich geschrieben wird.

Ist der Zähler kleiner als der Nenner, ist der Bruch richtig, umgekehrt falsch. Ein Bruch kann eine ganze Zahl enthalten.

Zum Beispiel 5 ganze 3/4.

Dieser Eintrag bedeutet, dass ein Teil von vier nicht ausreicht, um die ganze 6 zu erhalten.

Wenn Sie sich erinnern wollen wie man Brüche für die 6. Klasse löst das musst du verstehen Brüche lösen Im Grunde geht es darum, ein paar einfache Dinge zu verstehen.

• Ein Bruch ist im Wesentlichen ein Ausdruck für einen Bruch. Das heißt, ein numerischer Ausdruck dafür, welcher Teil eines bestimmten Werts von einem Ganzen ist. Zum Beispiel drückt der Bruch 3/5 aus, dass wenn wir etwas Ganzes in 5 Teile teilen und die Anzahl der Teile oder Teile dieses Ganzen drei ist.
• Ein Bruch kann kleiner als 1 sein, zum Beispiel 1/2 (oder im Wesentlichen die Hälfte), dann ist er richtig. Wenn der Bruch größer als 1 ist, zum Beispiel 3/2 (drei Hälften oder eineinhalb), dann ist er falsch und zur Vereinfachung der Lösung wählen wir besser den ganzen Teil 3/2= 1 ganze 1 /2.
• Brüche sind die gleichen Zahlen wie 1, 3, 10 und sogar 100, nur sind die Zahlen nicht ganz, sondern gebrochen. Mit ihnen können Sie dieselben Operationen ausführen wie mit Zahlen. Das Zählen von Brüchen ist nicht schwieriger, und wir werden dies weiter an konkreten Beispielen zeigen.

Wie man Brüche löst. Beispiele.

Auf Brüche sind verschiedene arithmetische Operationen anwendbar.

Einen Bruch auf einen gemeinsamen Nenner bringen

Zum Beispiel müssen Sie die Brüche 3/4 und 4/5 vergleichen.

Um das Problem zu lösen, finden wir zuerst den kleinsten gemeinsamen Nenner, d.h. die kleinste Zahl, die ohne Rest durch jeden der Nenner der Brüche teilbar ist

Kleinster gemeinsamer Nenner (4,5) = 20

Dann wird der Nenner beider Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner gekürzt

Antwort: 15/20

Addition und Subtraktion von Brüchen

Wenn es notwendig ist, die Summe zweier Brüche zu berechnen, werden sie zuerst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht, dann werden die Zähler addiert, während der Nenner unverändert bleibt. Die Differenz von Brüchen wird auf ähnliche Weise betrachtet, der einzige Unterschied besteht darin, dass die Zähler subtrahiert werden.

Zum Beispiel musst du die Summe der Brüche 1/2 und 1/3 finden

Finden Sie nun die Differenz zwischen den Brüchen 1/2 und 1/4

Multiplikation und Division von Brüchen

Hier ist die Auflösung von Brüchen einfach, hier ist alles ganz einfach:

• Multiplikation - Zähler und Nenner von Brüchen werden untereinander multipliziert;
• Division - zuerst erhalten wir einen Bruch, den Kehrwert des zweiten Bruchs, d.h. vertauschen Zähler und Nenner, danach multiplizieren wir die resultierenden Brüche.

Zum Beispiel:

Dazu etwa wie man Brüche löst, alle. Bei Fragen bzgl Brüche lösen, etwas ist nicht klar, dann schreiben Sie in die Kommentare und wir werden Ihnen antworten.

Wenn Sie Lehrer sind, können Sie eine Präsentation für eine Grundschule herunterladen (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html), die sich als nützlich erweisen wird.

Dieser Artikel ist ein allgemeiner Blick auf Operationen mit Brüchen. Hier formulieren und begründen wir die Additions-, Subtraktions-, Multiplikations-, Divisions- und Potenzierungsregeln der allgemeinen Form A/B , wobei A und B Zahlen, numerische Ausdrücke oder Ausdrücke mit Variablen sind. Wie gewohnt liefern wir das Material mit anschaulichen Beispielen mit ausführlichen Lösungsbeschreibungen.

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Regeln zum Ausführen von Operationen mit numerischen Brüchen allgemeiner Form

Vereinbaren wir, dass allgemeine Zahlenbrüche Brüche sind, bei denen Zähler und/oder Nenner nicht nur durch natürliche Zahlen, sondern auch durch andere Zahlen oder Zahlenausdrücke dargestellt werden können. Zur Verdeutlichung hier ein paar Beispiele für solche Brüche: .

Wir kennen die Regeln, nach denen . Nach den gleichen Regeln können Sie Operationen mit Brüchen einer allgemeinen Form durchführen:

Begründung für die Regeln

Um die Gültigkeit der Regeln zum Ausführen von Aktionen mit numerischen Brüchen allgemeiner Form zu begründen, kann man von folgenden Punkten ausgehen:

• ein Bruchstrich ist im Wesentlichen ein Divisionszeichen,
• Die Division durch eine Zahl ungleich Null kann als Multiplikation mit dem Kehrwert des Divisors betrachtet werden (dies erklärt sofort die Regel für die Division von Brüchen).
• Eigenschaften von Aktionen mit reellen Zahlen,
• und sein allgemeines Verständnis,

Sie ermöglichen Ihnen die Durchführung der folgenden Transformationen, die die Regeln zum Addieren, Subtrahieren von Brüchen mit gleichem und unterschiedlichem Nenner sowie die Regel zum Multiplizieren von Brüchen rechtfertigen:

Beispiele

Lassen Sie uns Beispiele für die Ausführung einer Aktion mit Brüchen einer allgemeinen Form gemäß den im vorherigen Absatz erlernten Regeln geben. Nehmen wir gleich an, dass nach der Durchführung von Aktionen mit Brüchen der resultierende Bruch normalerweise vereinfacht werden muss, und der Prozess der Vereinfachung eines Bruchs ist oft komplizierter als die Durchführung der vorherigen Aktionen. Auf die Vereinfachung von Brüchen gehen wir nicht weiter ein (die entsprechenden Transformationen werden im Artikel Brüche transformieren besprochen), um nicht von dem für uns interessanten Thema abgelenkt zu werden.

Beginnen wir mit Beispielen für das Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit demselben Nenner. Beginnen wir mit der Addition der Brüche und . Offensichtlich sind die Nenner gleich. Gemäß der entsprechenden Regel schreiben wir einen Bruch auf, dessen Zähler gleich der Summe der Zähler der ursprünglichen Brüche ist, und lassen den Nenner gleich, wir haben . Die Addition ist erledigt, es bleibt, den resultierenden Bruch zu vereinfachen: . So, .

Es war möglich, die Entscheidung auf andere Weise durchzuführen: Zuerst den Übergang zu gewöhnlichen Brüchen vornehmen und dann die Addition durchführen. Mit diesem Ansatz haben wir .

Subtrahiere nun von dem Bruch Fraktion . Die Nenner von Brüchen sind gleich, daher gehen wir nach der Regel zum Subtrahieren von Brüchen mit gleichen Nennern vor:

Kommen wir zu Beispielen für das Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Hier liegt die Hauptschwierigkeit darin, die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. Für Brüche einer allgemeinen Form ist dies ein ziemlich umfangreiches Thema, wir werden es in einem separaten Artikel ausführlich analysieren. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Im Moment beschränken wir uns auf ein paar allgemeine Empfehlungen, da wir uns im Moment mehr für die Technik der Durchführung von Aktionen mit Brüchen interessieren.

Im Allgemeinen ähnelt der Prozess der Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner gewöhnlicher Brüche. Das heißt, die Nenner werden als Produkte dargestellt, dann werden alle Faktoren aus dem Nenner des ersten Bruchs genommen und die fehlenden Faktoren aus dem Nenner des zweiten Bruchs dazu addiert.

Wenn die Nenner der addierten oder subtrahierten Brüche keine gemeinsamen Faktoren haben, dann ist es logisch, ihr Produkt als gemeinsamen Nenner zu nehmen. Nehmen wir ein Beispiel.

Nehmen wir an, wir müssen Brüche und 1/2 addieren. Hier ist es logisch, als gemeinsamen Nenner das Produkt der Nenner der ursprünglichen Brüche zu nehmen, also . In diesem Fall ist der zusätzliche Faktor für den ersten Bruch 2 . Nachdem Zähler und Nenner damit multipliziert wurden, nimmt der Bruch die Form an. Und für den zweiten Bruch ist der zusätzliche Faktor der Ausdruck. Mit seiner Hilfe wird der Bruch 1/2 auf die Form reduziert. Es bleibt übrig, die resultierenden Brüche mit denselben Nennern zu addieren. Hier ist eine Zusammenfassung der gesamten Lösung:

Bei Brüchen allgemeiner Form handelt es sich nicht mehr um den kleinsten gemeinsamen Nenner, auf den gewöhnliche Brüche meist zurückgeführt werden. Obwohl es in dieser Angelegenheit immer noch wünschenswert ist, nach etwas Minimalismus zu streben. Damit wollen wir sagen, dass es nicht notwendig ist, das Produkt der Nenner der ursprünglichen Brüche gleich als gemeinsamen Nenner zu nehmen. Zum Beispiel ist es überhaupt nicht notwendig, den gemeinsamen Nenner von Brüchen und dem Produkt zu nehmen . Hier können wir als gemeinsamen Nenner nehmen.

Wir wenden uns den Beispielen der Multiplikation von Brüchen einer allgemeinen Form zu. Multiplizieren Sie die Brüche und . Die Regel zur Durchführung dieser Aktion sagt uns, dass wir einen Bruch aufschreiben müssen, dessen Zähler das Produkt der Zähler der ursprünglichen Brüche ist und dessen Nenner das Produkt der Nenner ist. Wir haben . Hier, wie in vielen anderen Fällen beim Multiplizieren von Brüchen, können Sie den Bruch kürzen: .

Die Regel zum Teilen von Brüchen ermöglicht es Ihnen, von der Division zur Multiplikation mit einem Kehrwert zu wechseln. Hier müssen Sie daran denken, dass Sie Zähler und Nenner dieses Bruchs vertauschen müssen, um den Kehrwert eines gegebenen Bruchs zu erhalten. Hier ist ein Beispiel für den Übergang von der Division allgemeiner Brüche zur Multiplikation: . Es bleibt die Multiplikation durchzuführen und den resultierenden Bruch zu vereinfachen (siehe ggf. die Transformation irrationaler Ausdrücke):

Zum Abschluss der Informationen dieses Absatzes erinnern wir daran, dass jede Zahl oder jeder numerische Ausdruck als Bruch mit einem Nenner 1 dargestellt werden kann, daher kann die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division einer Zahl und eines Bruchs als Ausführung der entsprechenden Aktion angesehen werden Brüche, von denen einer eine Einheit im Nenner hat. Zum Beispiel Ersetzen im Ausdruck Wurzel aus drei Brüchen, werden wir von der Multiplikation eines Bruchs mit einer Zahl zur Multiplikation von zwei Brüchen übergehen: .

Durchführen von Operationen mit Brüchen, die Variablen enthalten

Die Regeln aus dem ersten Teil dieses Artikels gelten auch für Operationen mit Brüchen, die Variablen enthalten. Lassen Sie uns die erste von ihnen begründen - die Regel der Addition und Subtraktion von Brüchen mit demselben Nenner, der Rest wird auf genau die gleiche Weise bewiesen.

Beweisen wir, dass wir für alle Ausdrücke A , C und D (D ist identisch ungleich Null) die Gleichheit haben auf seinem Bereich akzeptabler Werte von Variablen.

Nehmen wir einige Variablen von ODZ. Lassen Sie die Ausdrücke A , C und D die Werte a 0 , c 0 und d 0 für diese Werte der Variablen annehmen. Wenn Sie dann die Werte von Variablen aus der ausgewählten Menge in den Ausdruck einsetzen, wird daraus die Summe (Differenz) von numerischen Brüchen mit denselben Nennern der Form , die gemäß der Regel der Addition (Subtraktion) von numerischen Brüchen mit der gleichen Nennern, ist gleich . Wenn Sie jedoch die Werte der Variablen aus dem ausgewählten Satz in den Ausdruck einsetzen, wird daraus derselbe Bruch. Dies bedeutet, dass für den ausgewählten Satz von Variablenwerten aus der ODZ die Werte der Ausdrücke und gleich sind. Es ist klar, dass die Werte der angegebenen Ausdrücke für jeden anderen Satz von Werten von Variablen aus der ODZ gleich sind, was bedeutet, dass die Ausdrücke und identisch gleich sind, dh die bewiesene Gleichheit ist wahr .

Beispiele für Addition und Subtraktion von Brüchen mit Variablen

Wenn die Nenner der addierten oder subtrahierten Brüche gleich sind, ist alles ganz einfach - die Zähler werden addiert oder subtrahiert und der Nenner bleibt gleich. Es ist klar, dass der danach erhaltene Bruch falls nötig und möglich vereinfacht wird.

Beachten Sie, dass sich die Nenner von Brüchen manchmal nur auf den ersten Blick unterscheiden, tatsächlich aber identisch gleiche Ausdrücke sind, wie zum Beispiel und , oder und . Und manchmal reicht es schon, die Anfangsbrüche so zu vereinfachen, dass ihre identischen Nenner „erscheinen“.

Beispiel.

, b) , in) .

Lösung.

a) Wir müssen Brüche mit gleichem Nenner subtrahieren. Entsprechend der entsprechenden Regel lassen wir den Nenner gleich und subtrahieren die Zähler, wir haben . Aktion erledigt. Aber Sie können immer noch die Klammern im Zähler öffnen und ähnliche Begriffe bringen: .

b) Offensichtlich sind die Nenner der addierten Brüche gleich. Deshalb addieren wir die Zähler und lassen den Nenner gleich: . Ergänzung abgeschlossen. Aber es ist leicht zu sehen, dass der resultierende Bruch reduziert werden kann. Tatsächlich kann der Zähler des resultierenden Bruchs durch das Quadrat der Summe als (lgx + 2) 2 reduziert werden (siehe die abgekürzten Multiplikationsformeln), sodass die folgenden Transformationen stattfinden: .

c) Brüche in der Summe verschiedene Nenner haben. Aber indem du einen der Brüche umwandelst, kannst du damit fortfahren, Brüche mit denselben Nennern zu addieren. Wir zeigen zwei Lösungen.

Erster Weg. Der Nenner des ersten Bruchs kann mit der Quadratdifferenzformel faktorisiert und dieser Bruch dann reduziert werden: . Auf diese Weise, . Es schadet nicht, die Irrationalität im Nenner eines Bruchs loszuwerden: .

Der zweite Weg. Durch Multiplizieren des Zählers und Nenners des zweiten Bruchs (dieser Ausdruck verschwindet für keine Werte der Variablen x aus dem DPV für den ursprünglichen Ausdruck) können Sie zwei Ziele gleichzeitig erreichen: Irrationalität beseitigen und zum Addieren übergehen Brüche mit gleichem Nenner. Wir haben

Antworten:

a) , b) , in) .

Das letzte Beispiel brachte uns zu der Frage, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. Dort sind wir fast zufällig auf denselben Nenner gekommen, indem wir einen der addierten Brüche vereinfacht haben. Aber in den meisten Fällen muss man beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern die Brüche gezielt auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Dazu werden die Nenner von Brüchen üblicherweise als Produkte dargestellt, alle Faktoren aus dem Nenner des ersten Bruchs genommen und die fehlenden Faktoren aus dem Nenner des zweiten Bruchs dazu addiert.

Beispiel.

Aktionen mit Brüchen ausführen: a) , b) , c) .

Lösung.

a) Mit den Nennern der Brüche brauchen Sie nichts zu tun. Als gemeinsamen Nenner nehmen wir das Produkt . In diesem Fall ist der zusätzliche Faktor für den ersten Bruch der Ausdruck und für den zweiten Bruch die Zahl 3. Diese zusätzlichen Faktoren bringen Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, was es uns weiter ermöglicht, die Aktion auszuführen, die wir brauchen, die wir haben

b) In diesem Beispiel sind die Nenner bereits als Produkte dargestellt, und es sind keine weiteren Transformationen erforderlich. Offensichtlich unterscheiden sich die Faktoren in den Nennern nur in Exponenten, daher nehmen wir als gemeinsamen Nenner das Produkt der Faktoren mit den größten Exponenten, d.h. . Dann ist der zusätzliche Faktor für den ersten Bruch x 4 und für den zweiten - ln(x+1) . Jetzt können wir Brüche subtrahieren:

c) Und in diesem Fall arbeiten wir zunächst mit den Nennern von Brüchen. Die Formeln für die Differenz von Quadraten und das Quadrat der Summe ermöglichen es Ihnen, von der ursprünglichen Summe zum Ausdruck zu gelangen . Nun ist klar, dass diese Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden können . Mit diesem Ansatz sieht die Lösung wie folgt aus:

Antworten:

a)

b)

in)

Beispiele für die Multiplikation von Brüchen mit Variablen

Das Multiplizieren von Brüchen ergibt einen Bruch, dessen Zähler das Produkt der Zähler der ursprünglichen Brüche ist und dessen Nenner das Produkt der Nenner ist. Wie Sie sehen, ist hier alles vertraut und einfach, und wir können nur hinzufügen, dass der durch diese Aktion erhaltene Bruchteil oft reduziert wird. In diesen Fällen wird sie gekürzt, es sei denn, dies ist selbstverständlich erforderlich und gerechtfertigt.

Dieser Artikel behandelt Operationen mit Brüchen. Es werden Regeln zur Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division oder Potenzierung von Brüchen der Form A B gebildet und begründet, wobei A und B Zahlen, numerische Ausdrücke oder Ausdrücke mit Variablen sein können. Abschließend werden Lösungsbeispiele mit detaillierter Beschreibung betrachtet.

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Regeln zum Ausführen von Operationen mit numerischen Brüchen allgemeiner Form

Numerische Brüche einer allgemeinen Form haben einen Zähler und einen Nenner, in denen natürliche Zahlen oder numerische Ausdrücke stehen. Wenn wir Brüche wie 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5 - 2) , 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0 , 8 , 1 2 2 , π 1 - 2 3 + π betrachten, 2 0 , 5 ln 3 , dann ist klar, dass Zähler und Nenner nicht nur Zahlen, sondern auch Ausdrücke eines anderen Plans haben können.

Bestimmung 1

Es gibt Regeln, nach denen Aktionen mit gewöhnlichen Brüchen ausgeführt werden. Es eignet sich auch für Brüche einer allgemeinen Form:

• Beim Subtrahieren von Brüchen mit demselben Nenner werden nur die Zähler addiert, und der Nenner bleibt gleich, nämlich: a d ± c d \u003d a ± c d, die Werte a, c und d ≠ 0 sind einige Zahlen oder numerische Ausdrücke.
• Wenn Sie Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren oder subtrahieren, müssen Sie sie auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren und dann die resultierenden Brüche mit denselben Indikatoren addieren oder subtrahieren. Wörtlich sieht es so aus a b ± c d = a p ± c r s , wobei die Werte a , b ≠ 0 , c , d ≠ 0 , p ≠ 0 , r ≠ 0 , s ≠ 0 reelle Zahlen sind und b p = d r = s. Wenn p = d und r = b, dann a b ± c d = a d ± c d b d.
• Beim Multiplizieren von Brüchen wird eine Aktion mit Zählern ausgeführt, danach erhalten wir mit Nennern a b c d \u003d a c b d, wobei a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 als reelle Zahlen fungieren.
• Wenn wir einen Bruch durch einen Bruch dividieren, multiplizieren wir den ersten mit dem zweiten Kehrwert, dh wir vertauschen Zähler und Nenner: a b: c d \u003d a b d c.

Begründung für die Regeln

Bestimmung 2

Es gibt folgende mathematische Punkte, auf die Sie sich bei der Berechnung verlassen sollten:

• ein Bruchstrich bedeutet ein Divisionszeichen;
• Division durch eine Zahl wird als Multiplikation mit ihrem Kehrwert behandelt;
• Anwendung der Wirkungseigenschaft mit reellen Zahlen;
• Anwendung der Grundeigenschaft eines Bruchs und numerischer Ungleichungen.

Mit ihrer Hilfe können Sie Transformationen des Formulars vornehmen:

ein d ± c d = ein d – 1 ± c d – 1 = ein ± c d – 1 = ein ± c d ; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c rs ; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = (a c) (b d) - 1 = a c b d

Beispiele

Im vorigen Absatz wurde über Aktionen mit Brüchen gesprochen. Danach muss der Bruch vereinfacht werden. Dieses Thema wurde ausführlich im Abschnitt über die Umwandlung von Brüchen behandelt.

Betrachten Sie zunächst das Beispiel der Addition und Subtraktion von Brüchen mit demselben Nenner.

Beispiel 1

Bei den Brüchen 8 2 , 7 und 1 2 , 7 ist es gemäß der Regel erforderlich, den Zähler zu addieren und den Nenner neu zu schreiben.

Lösung

Dann erhalten wir einen Bruch der Form 8 + 1 2 , 7 . Nach der Addition erhalten wir einen Bruch der Form 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 . Also 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .

Antworten: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Es gibt einen anderen Lösungsweg. Zunächst wird in die Form eines gewöhnlichen Bruchs übergegangen, danach führen wir eine Vereinfachung durch. Es sieht aus wie das:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Beispiel 2

Subtrahieren wir von 1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 Brüche der Form 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 .

Da gleiche Nenner gegeben sind, bedeutet dies, dass wir einen Bruch mit demselben Nenner berechnen. Das verstehen wir

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Es gibt Beispiele für die Berechnung von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Ein wichtiger Punkt ist die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner. Ohne dies können wir keine weiteren Aktionen mit Brüchen durchführen.

Der Vorgang erinnert entfernt an eine Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner. Das heißt, es wird nach dem kleinsten gemeinsamen Teiler im Nenner gesucht, wonach die fehlenden Faktoren zu den Brüchen addiert werden.

Wenn die addierten Brüche keine gemeinsamen Faktoren haben, kann ihr Produkt eins werden.

Beispiel 3

Betrachten Sie das Beispiel der Addition der Brüche 2 3 5 + 1 und 1 2 .

Lösung

In diesem Fall ist der gemeinsame Nenner das Produkt der Nenner. Dann bekommen wir das 2 · 3 5 + 1 . Wenn wir dann zusätzliche Faktoren setzen, haben wir, dass der erste Bruch gleich 2 und der zweite 3 5 + 1 ist. Nach der Multiplikation werden die Brüche auf die Form 4 2 3 5 + 1 gekürzt. Die allgemeine Besetzung 1 2 ist 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . Wir addieren die resultierenden Bruchausdrücke und erhalten das

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Antworten: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Wenn wir es mit Brüchen einer allgemeinen Form zu tun haben, dann ist der kleinste gemeinsame Nenner normalerweise nicht der Fall. Es ist unrentabel, das Produkt von Zählern als Nenner zu nehmen. Zuerst müssen Sie prüfen, ob es eine Zahl gibt, die weniger wert ist als ihr Produkt.

Beispiel 4

Betrachten Sie das Beispiel 1 6 2 1 5 und 1 4 2 3 5, wenn ihr Produkt gleich 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 ist. Dann nehmen wir 12 · 2 3 5 als gemeinsamen Nenner.

Betrachten Sie Beispiele für Multiplikationen von Brüchen einer allgemeinen Form.

Beispiel 5

Dazu müssen 2 + 1 6 und 2 · 5 3 · 2 + 1 multipliziert werden.

Lösung

Nach der Regel ist es notwendig, das Produkt von Zählern als Nenner umzuschreiben und zu schreiben. Wir bekommen das 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 . Wenn der Bruch multipliziert wird, können Kürzungen vorgenommen werden, um ihn zu vereinfachen. Dann 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 .

Unter Verwendung der Übergangsregel von der Division zur Multiplikation mit einem Kehrwert erhalten wir den Kehrwert des gegebenen. Dazu werden Zähler und Nenner vertauscht. Schauen wir uns ein Beispiel an:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Danach müssen sie multiplizieren und den resultierenden Bruch vereinfachen. Beseitigen Sie ggf. die Irrationalität im Nenner. Das verstehen wir

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Antworten: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Dieser Absatz ist anwendbar, wenn eine Zahl oder ein numerischer Ausdruck als Bruch mit einem Nenner gleich 1 dargestellt werden kann, dann wird die Operation mit einem solchen Bruch als separater Absatz betrachtet. Beispielsweise zeigt der Ausdruck 1 6 7 4 - 1 3, dass die Wurzel von 3 durch einen anderen 3 1-Ausdruck ersetzt werden kann. Dann sieht dieser Datensatz wie eine Multiplikation zweier Brüche der Form 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 aus.

Ausführen einer Aktion mit Brüchen, die Variablen enthalten

Die im ersten Artikel besprochenen Regeln gelten für Operationen mit Brüchen, die Variablen enthalten. Betrachten Sie die Subtraktionsregel, wenn die Nenner gleich sind.

Es muss bewiesen werden, dass A , C und D (D ungleich Null) beliebige Ausdrücke sein können und dass die Gleichheit A D ± C D = A ± C D ihrem gültigen Wertebereich entspricht.

Es ist notwendig, einen Satz von ODZ-Variablen zu nehmen. Dann müssen A, C, D die entsprechenden Werte a 0 , c 0 und annehmen d0. Eine Substitution der Form A D ± C D ergibt eine Differenz der Form a 0 d 0 ± c 0 d 0 , wobei wir nach der Additionsregel eine Formel der Form a 0 ± c 0 d 0 erhalten. Wenn wir den Ausdruck A ± C D ersetzen, erhalten wir denselben Bruch der Form a 0 ± c 0 d 0 . Daraus schließen wir, dass der gewählte Wert, der die ODZ erfüllt, A ± C D und A D ± C D als gleich angesehen werden.

Für jeden Wert der Variablen sind diese Ausdrücke gleich, das heißt, sie werden identisch gleich genannt. Das bedeutet, dass dieser Ausdruck als beweisbare Gleichheit der Form A D ± C D = A ± C D angesehen wird.

Beispiele für Addition und Subtraktion von Brüchen mit Variablen

Bei gleichen Nennern müssen nur die Zähler addiert oder subtrahiert werden. Dieser Bruch kann vereinfacht werden. Manchmal muss man mit identisch gleichen Brüchen arbeiten, was aber auf den ersten Blick nicht auffällt, da einige Umformungen vorgenommen werden müssen. Zum Beispiel x 2 3 x 1 3 + 1 und x 1 3 + 1 2 oder 1 2 sin 2 α und sin a cos a. Meistens ist eine Vereinfachung des ursprünglichen Ausdrucks erforderlich, um dieselben Nenner zu sehen.

Beispiel 6

Berechnen Sie: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 , 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Lösung

1. Um eine Berechnung durchzuführen, müssen Sie Brüche subtrahieren, die denselben Nenner haben. Dann erhalten wir x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Danach können Sie die Klammern mit der Reduzierung ähnlicher Begriffe öffnen. Wir erhalten, dass x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Da die Nenner gleich sind, müssen nur noch die Zähler addiert werden, wobei der Nenner übrig bleibt: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Die Ergänzung ist abgeschlossen. Es ist ersichtlich, dass der Anteil reduziert werden kann. Sein Zähler kann mit der Quadratsummenformel gefaltet werden, dann erhalten wir (l g x + 2) 2 aus den abgekürzten Multiplikationsformeln. Dann bekommen wir das
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Gegebene Brüche der Form x - 1 x - 1 + x x + 1 mit unterschiedlichen Nennern. Nach der Transformation können Sie mit der Addition fortfahren.

Betrachten wir eine Zwei-Wege-Lösung.

Die erste Methode besteht darin, dass der Nenner des ersten Bruchs einer Faktorisierung mit Quadraten und anschließender Reduktion unterzogen wird. Wir erhalten einen Bruchteil der Form

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Also x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

In diesem Fall ist es notwendig, die Irrationalität im Nenner loszuwerden.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Die zweite Möglichkeit besteht darin, Zähler und Nenner des zweiten Bruchs mit x-1 zu multiplizieren. So werden wir die Irrationalität los und fahren fort, einen Bruch mit demselben Nenner zu addieren. Dann

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Antworten: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1.

Im letzten Beispiel haben wir festgestellt, dass eine Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner unvermeidlich ist. Dazu müssen Sie die Brüche vereinfachen. Um zu addieren oder zu subtrahieren, müssen Sie immer nach einem gemeinsamen Nenner suchen, der wie das Produkt der Nenner mit der Addition zusätzlicher Faktoren zu den Zählern aussieht.

Beispiel 7

Berechnen Sie die Werte der Brüche: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Lösung

1. Der Nenner erfordert keine komplizierten Berechnungen, daher müssen Sie sein Produkt in der Form 3 x 7 + 2 2 wählen, dann wird zum ersten Bruch x 7 + 2 2 als zusätzlicher Faktor und 3 zum zweiten gewählt. Beim Multiplizieren erhalten wir einen Bruch der Form x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Es ist ersichtlich, dass die Nenner als Produkt dargestellt werden, was bedeutet, dass zusätzliche Transformationen unnötig sind. Der gemeinsame Nenner ist das Produkt der Form x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Ab hier x 4 ein zusätzlicher Faktor zum ersten Bruch ist und ln (x + 1) zum zweiten. Dann subtrahieren wir und erhalten:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - Sünde x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - sin x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = x x 4 + x 4 - Sünde x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) )
3. Dieses Beispiel ist sinnvoll, wenn man mit Nennern von Brüchen arbeitet. Es ist notwendig, die Formeln der Quadratdifferenz und des Summenquadrats anzuwenden, da sie es ermöglichen, zu einem Ausdruck der Form 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x ) 2 . Es ist ersichtlich, dass die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Wir erhalten cos x - x cos x + x 2 .

Dann bekommen wir das

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2

Antworten:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2 .

Beispiele für die Multiplikation von Brüchen mit Variablen

Bei der Multiplikation von Brüchen wird der Zähler mit dem Zähler und der Nenner mit dem Nenner multipliziert. Dann können Sie die Reduktionseigenschaft anwenden.

Beispiel 8

Multipliziere Brüche x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 und 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x.

Lösung

Du musst die Multiplikation machen. Das verstehen wir

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 In x + 1 Sünde (2 x - x)

Die Zahl 3 wird zur Vereinfachung der Berechnungen an die erste Stelle übertragen, und Sie können den Bruch um x 2 reduzieren, dann erhalten wir einen Ausdruck des Formulars

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 Sünde (2 x - x)

Antworten: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 Sünde (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 Sünde (2x-x) .

Aufteilung

Die Division von Brüchen ähnelt der Multiplikation, da der erste Bruch mit dem zweiten Kehrwert multipliziert wird. Nehmen wir zum Beispiel den Bruch x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 und dividieren ihn durch 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, dann lässt sich das schreiben als

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) , dann durch ein Produkt der Form x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + ersetzen 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 Sünde (2 x - x)

Potenzierung

Betrachten wir nun die Aktion mit Brüchen einer allgemeinen Form mit Potenzierung. Wenn es einen Grad mit einem natürlichen Exponenten gibt, wird die Aktion als Multiplikation identischer Brüche betrachtet. Es wird jedoch empfohlen, einen allgemeinen Ansatz zu verwenden, der auf den Eigenschaften von Potenzen basiert. Alle Ausdrücke A und C, wobei C nicht identisch gleich Null ist, und jedes reelle r auf der ODZ für einen Ausdruck der Form A C r, die Gleichheit A C r = A r C r ist wahr. Das Ergebnis ist ein potenzierter Bruch. Betrachten Sie zum Beispiel:

x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

Die Reihenfolge der Operationen mit Brüchen

Aktionen auf Fraktionen werden nach bestimmten Regeln durchgeführt. In der Praxis stellen wir fest, dass ein Ausdruck mehrere Brüche oder Bruchausdrücke enthalten kann. Dann müssen alle Aktionen in einer strengen Reihenfolge ausgeführt werden: potenzieren, multiplizieren, dividieren, dann addieren und subtrahieren. Wenn Klammern vorhanden sind, wird die erste Aktion in ihnen ausgeführt.

Beispiel 9

Berechnen Sie 1 - x cos x - 1 cos x · 1 + 1 x .

Lösung

Da wir den gleichen Nenner haben, also 1 - x cos x und 1 cos x , aber es ist unmöglich, gemäß der Regel zu subtrahieren, werden zuerst die Aktionen in Klammern ausgeführt, danach die Multiplikation und dann die Addition. Wenn wir dann rechnen, bekommen wir das

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Wenn wir den Ausdruck durch den ursprünglichen ersetzen, erhalten wir 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Beim Multiplizieren von Brüchen haben wir: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x . Nachdem wir alle Substitutionen vorgenommen haben, erhalten wir 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . Jetzt müssen Sie mit Brüchen arbeiten, die unterschiedliche Nenner haben. Wir bekommen:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

Antworten: 1 - x cos x - 1 cos x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x .

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Anweisung

Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner.

Gegeben seien die Brüche a/b und c/d.

Der Zähler und Nenner des ersten Bruchs wird mit LCM / b multipliziert

Zähler und Nenner des zweiten Bruchs werden mit LCM/d multipliziert

Ein Beispiel ist in der Abbildung dargestellt.

Um Brüche zu vergleichen, müssen sie einen gemeinsamen Nenner haben und dann die Zähler vergleichen. Zum Beispiel 3/4< 4/5, см. .

Addition und Subtraktion von Brüchen.

Um die Summe zweier gewöhnlicher Brüche zu finden, müssen sie auf einen gemeinsamen Nenner gebracht und dann die Zähler addiert werden, der Nenner bleibt unverändert. Ein Beispiel für das Addieren der Brüche 1/2 und 1/3 ist in der Abbildung dargestellt.

Die Differenz von Brüchen wird auf ähnliche Weise ermittelt, nachdem der gemeinsame Nenner gefunden wurde, werden die Zähler der Brüche subtrahiert, siehe Abbildung.

Beim Multiplizieren gewöhnlicher Brüche werden Zähler und Nenner miteinander multipliziert.

Um zwei Brüche zu dividieren, benötigt man einen Bruchteil des zweiten Bruchs, also Ändern Sie Zähler und Nenner und multiplizieren Sie dann die resultierenden Brüche.

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Quellen:

• Fraktionen Grad 5 zum Beispiel
• Grundaufgaben für Brüche

Modul stellt den absoluten Wert des Ausdrucks dar. Klammern werden verwendet, um ein Modul zu bezeichnen. Die darin enthaltenen Werte werden modulo genommen. Die Lösung des Moduls besteht darin, Klammern nach bestimmten Regeln zu öffnen und die Wertemenge des Ausdrucks zu finden. In den meisten Fällen wird ein Modul so erweitert, dass der Untermodulausdruck eine Reihe positiver und negativer Werte einschließlich Null annimmt. Basierend auf diesen Eigenschaften des Moduls werden weitere Gleichungen und Ungleichungen des ursprünglichen Ausdrucks erstellt und gelöst.

Anweisung

Schreiben Sie die ursprüngliche Gleichung mit auf. Öffnen Sie dazu das Modul. Betrachten Sie jeden Submodulausdruck. Bestimmen Sie, bei welchem ​​Wert der darin enthaltenen Unbekannten der Ausdruck in modularen Klammern verschwindet.

Setzen Sie dazu den Submodulausdruck mit Null gleich und finden Sie die resultierende Gleichung. Notieren Sie die gefundenen Werte. Bestimmen Sie auf die gleiche Weise die Werte der unbekannten Variablen für jeden Modul in der angegebenen Gleichung.

Zeichnen Sie einen Zahlenstrahl und tragen Sie darauf die resultierenden Werte ein. Die Werte der Variablen im Nullmodul dienen als Einschränkungen beim Lösen der modularen Gleichung.

In der ursprünglichen Gleichung müssen Sie die modularen öffnen und das Vorzeichen so ändern, dass die Werte der Variablen denen entsprechen, die auf der Zahlenlinie angezeigt werden. Lösen Sie die resultierende Gleichung. Überprüfen Sie den gefundenen Wert der Variablen gegen die vom Modul festgelegte Einschränkung. Wenn die Lösung die Bedingung erfüllt, ist sie wahr. Wurzeln, die die Beschränkungen nicht erfüllen, sollten verworfen werden.

Erweitern Sie auf ähnliche Weise die Module des ursprünglichen Ausdrucks unter Berücksichtigung des Vorzeichens und berechnen Sie die Wurzeln der resultierenden Gleichung. Schreiben Sie alle erhaltenen Wurzeln auf, die die Beschränkungsungleichungen erfüllen.

Mit Bruchzahlen können Sie den genauen Wert einer Menge auf unterschiedliche Weise ausdrücken. Mit Brüchen kannst du dieselben mathematischen Operationen durchführen wie mit ganzen Zahlen: Subtraktion, Addition, Multiplikation und Division. Um zu lernen, wie man sich entscheidet Brüche, ist es notwendig, sich an einige ihrer Merkmale zu erinnern. Sie sind typabhängig Brüche, das Vorhandensein eines ganzzahligen Teils, ein gemeinsamer Nenner. Einige arithmetische Operationen erfordern nach der Ausführung eine Reduzierung des Bruchteils des Ergebnisses.

Du wirst brauchen

• - Taschenrechner

Anweisung

Schau dir die Zahlen genau an. Wenn es unter den Brüchen Dezimalzahlen und unregelmäßige Brüche gibt, ist es manchmal bequemer, zuerst Aktionen mit Dezimalzahlen auszuführen und sie dann in die falsche Form umzuwandeln. Kannst du übersetzen Brüche Schreiben Sie in dieser Form zunächst den Wert nach dem Komma in den Zähler und setzen Sie 10 in den Nenner. Falls nötig, kürze den Bruch, indem du die Zahlen darüber und darunter durch einen Teiler dividierst. Brüche, bei denen der ganze Teil heraussticht, führen zur falschen Form, indem man ihn mit dem Nenner multipliziert und zum Ergebnis den Zähler addiert. Dieser Wert wird zum neuen Zähler Brüche. Das ganze Teil aus dem zunächst Falschen herauszulösen Brüche, teile den Zähler durch den Nenner. Schreiben Sie das gesamte Ergebnis ab Brüche. Und der Rest der Division wird zum neuen Zähler, zum Nenner Brüche während sie sich nicht ändern. Für Brüche mit einem ganzzahligen Teil ist es möglich, Aktionen separat auszuführen, zuerst für die ganze Zahl und dann für die Bruchteile. Beispielsweise kann die Summe von 1 2/3 und 2 ¾ berechnet werden:
- Brüche in die falsche Form umwandeln:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Summierung getrennt von ganzzahligen und gebrochenen Teilen von Termen:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Denn bei Werten unter der Linie findet man den gemeinsamen Nenner. Zum Beispiel ist der gemeinsame Nenner für 5/9 und 7/12 36. Dafür der Zähler und Nenner des ersten Brüche Sie müssen mit 4 multiplizieren (es ergibt 28/36) und die zweite mit 3 (es wird 15/36 ergeben). Jetzt können Sie die Berechnungen durchführen.

Wenn Sie die Summe oder Differenz von Brüchen berechnen wollen, schreiben Sie zuerst den gefundenen gemeinsamen Nenner unter den Strich. Führen Sie die erforderlichen Aktionen zwischen den Zählern durch und schreiben Sie das Ergebnis über die neue Zeile Brüche. Somit ist der neue Zähler die Differenz oder die Summe der Zähler der ursprünglichen Brüche.

Um das Produkt von Brüchen zu berechnen, multiplizieren Sie die Zähler der Brüche und schreiben Sie das Ergebnis anstelle des Zählers des Finales Brüche. Machen Sie dasselbe für die Nenner. Beim Teilen von eins Brüche schreibe einen Bruch auf den anderen und multipliziere dann seinen Zähler mit dem Nenner des zweiten. Gleichzeitig der Nenner des Ersten Brüche entsprechend mit dem Zähler der Sekunde multipliziert. Zugleich eine Art Umkehrung des Zweiten Brüche(Teiler). Der endgültige Bruch ergibt sich aus den Ergebnissen der Multiplikation der Zähler und Nenner beider Brüche. Leicht zu lernen Brüche, geschrieben im Zustand in Form eines "vierstöckigen" Brüche. Wenn es zwei trennt Brüche, schreiben Sie sie mit einem ":"-Trennzeichen neu und fahren Sie mit der normalen Division fort.

Um das Endergebnis zu erhalten, kürzen Sie den resultierenden Bruch, indem Sie Zähler und Nenner durch eine ganze Zahl teilen, in diesem Fall die größtmögliche. In diesem Fall müssen über und unter der Linie ganze Zahlen stehen.

beachten Sie

Rechnen Sie nicht mit Brüchen, die unterschiedliche Nenner haben. Wählen Sie eine Zahl so, dass, wenn Zähler und Nenner jedes Bruchs damit multipliziert werden, die Nenner beider Brüche gleich sind.

Nützlicher Rat

Beim Schreiben von Bruchzahlen wird der Dividende über dem Strich geschrieben. Diese Größe wird als Zähler eines Bruchs bezeichnet. Unter dem Strich steht der Teiler oder Nenner des Bruchs. Zum Beispiel werden anderthalb Kilogramm Reis in Form eines Bruchs wie folgt geschrieben: 1 ½ kg Reis. Wenn der Nenner eines Bruchs 10 ist, spricht man von einem Dezimalbruch. In diesem Fall steht der Zähler (Dividende) rechts vom ganzen Teil, getrennt durch ein Komma: 1,5 kg Reis. Zur Vereinfachung der Berechnungen kann ein solcher Bruch immer in der falschen Form geschrieben werden: 1 2/10 kg Kartoffeln. Zur Vereinfachung können Sie die Zähler- und Nennerwerte reduzieren, indem Sie sie durch eine einzelne ganze Zahl dividieren. In diesem Beispiel ist eine Division durch 2 möglich, das Ergebnis sind 1 1/5 kg Kartoffeln. Achte darauf, dass die Zahlen, mit denen du rechnen wirst, dieselbe Form haben.

Anweisung

Klicken Sie einmal auf den Menüpunkt „Einfügen“ und wählen Sie dann den Punkt „Symbol“ aus. Dies ist eine der einfachsten Möglichkeiten zum Einfügen Brüche jemandem eine SMS schicken. Es besteht im Folgenden. Der Satz von fertigen Zeichen hat Brüche. Ihre Anzahl ist normalerweise gering, aber wenn Sie ½ und nicht 1/2 in den Text schreiben müssen, ist diese Option die beste für Sie. Außerdem kann die Anzahl der Bruchzeichen von der Schriftart abhängen. Beispielsweise gibt es für die Schriftart Times New Roman etwas weniger Brüche als für dieselbe Arial. Variieren Sie Schriftarten, um die beste Option für einfache Ausdrücke zu finden.

Klicken Sie auf den Menüpunkt „Einfügen“ und wählen Sie den Unterpunkt „Objekt“ aus. Sie sehen ein Fenster mit einer Liste möglicher einzufügender Objekte. Wählen Sie unter ihnen Microsoft Equation 3.0. Diese App hilft Ihnen beim Tippen Brüche. Und nicht nur Brüche, aber auch komplexe mathematische Ausdrücke, die verschiedene trigonometrische Funktionen und andere Elemente enthalten. Doppelklicken Sie mit der linken Maustaste auf dieses Objekt. Sie sehen ein Fenster mit vielen Symbolen.

Um einen Bruch zu drucken, wählen Sie das Symbol, das einen Bruch mit leerem Zähler und Nenner darstellt. Klicken Sie einmal mit der linken Maustaste darauf. Es erscheint ein zusätzliches Menü, in dem das Schema der angegeben wird Brüche. Es kann mehrere Optionen geben. Wählen Sie die für Sie am besten geeignete aus und klicken Sie einmal mit der linken Maustaste darauf.

Aktionen mit Brüchen. In diesem Artikel werden wir Beispiele analysieren, alles ist mit Erklärungen detailliert. Wir betrachten gewöhnliche Brüche. In Zukunft werden wir Dezimalzahlen analysieren. Ich empfehle, das Ganze anzuschauen und der Reihe nach zu studieren.

1. Summe von Brüchen, Differenz von Brüchen.

Regel: Beim Addieren von Brüchen mit gleichem Nenner ist das Ergebnis ein Bruch, dessen Nenner gleich bleibt und dessen Zähler gleich der Summe der Zähler der Brüche ist.

Regel: Wenn wir die Differenz von Brüchen mit demselben Nenner berechnen, erhalten wir einen Bruch - der Nenner bleibt gleich und der Zähler des zweiten wird vom Zähler des ersten Bruchs subtrahiert.

Formale Schreibweise der Summe und Differenz von Brüchen mit gleichem Nenner:

Beispiele (1):

Es ist klar, dass, wenn gewöhnliche Brüche gegeben sind, alles einfach ist, aber wenn sie gemischt sind? Nichts kompliziertes...

Variante 1- Sie können sie in gewöhnliche umwandeln und dann berechnen.

Option 2- Sie können separat mit den ganzzahligen und gebrochenen Teilen "arbeiten".

Beispiele (2):

Noch:

Und wenn die Differenz zweier gemischter Brüche gegeben ist und der Zähler des ersten Bruchs kleiner ist als der Zähler des zweiten? Es kann auch auf zwei Arten erfolgen.

Beispiele (3):

* Umgerechnet in gewöhnliche Brüche, berechnete die Differenz, wandelte den resultierenden unechten Bruch in einen gemischten um.

* In ganze und gebrochene Teile geteilt, drei bekommen, dann 3 als Summe von 2 und 1 dargestellt, mit der Einheit als 11/11 dargestellt, dann die Differenz zwischen 11/11 und 7/11 gefunden und das Ergebnis berechnet. Die Bedeutung der obigen Transformationen besteht darin, eine Einheit zu nehmen (auszuwählen) und sie als Bruch mit dem benötigten Nenner darzustellen, dann können wir von diesem Bruch bereits einen anderen subtrahieren.

Ein anderes Beispiel:

Fazit: Es gibt einen universellen Ansatz - um die Summe (Differenz) gemischter Brüche mit gleichen Nennern zu berechnen, können sie immer in unechte Brüche umgewandelt und dann die erforderliche Aktion ausgeführt werden. Wenn wir danach einen unechten Bruch erhalten, übersetzen wir ihn in einen gemischten.

Oben haben wir uns Beispiele mit Brüchen angesehen, die denselben Nenner haben. Was ist, wenn die Nenner unterschiedlich sind? In diesem Fall werden die Brüche auf denselben Nenner gekürzt und die angegebene Aktion ausgeführt. Um einen Bruch zu ändern (zu transformieren), wird die Haupteigenschaft des Bruchs verwendet.

Betrachten Sie einfache Beispiele:

In diesen Beispielen sehen wir sofort, wie einer der Brüche umgewandelt werden kann, um gleiche Nenner zu erhalten.

Wenn wir Wege angeben, um Brüche auf einen Nenner zu bringen, wird dieser aufgerufen METHODE EINS.

Das heißt, Sie müssen sofort beim „Auswerten“ des Bruchs herausfinden, ob ein solcher Ansatz funktioniert - wir prüfen, ob der größere Nenner durch den kleineren teilbar ist. Und wenn es geteilt wird, führen wir die Transformation durch - wir multiplizieren Zähler und Nenner, sodass die Nenner beider Brüche gleich werden.

Sehen Sie sich nun diese Beispiele an:

Für sie gilt dieser Ansatz nicht. Es gibt andere Möglichkeiten, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, ziehen Sie sie in Betracht.

Methode ZWEITE.

Wir multiplizieren Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten und Zähler und Nenner des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten:

*Tatsächlich bringen wir Brüche in die Form, wenn die Nenner gleich werden. Als nächstes wenden wir die Regel an, ängstlich mit gleichen Nennern zu addieren.

Beispiel:

*Diese Methode kann als universell bezeichnet werden und funktioniert immer. Das einzig Negative ist, dass sich nach den Berechnungen möglicherweise ein Bruchteil herausstellt, der weiter reduziert werden muss.

Betrachten Sie ein Beispiel:

Es ist ersichtlich, dass Zähler und Nenner durch 5 teilbar sind:

Methode DRITT.

Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) der Nenner. Dies wird der gemeinsame Nenner sein. Was ist das für eine Nummer? Dies ist die kleinste natürliche Zahl, die durch jede der Zahlen teilbar ist.

Schauen Sie, hier sind zwei Zahlen: 3 und 4, es gibt viele Zahlen, die durch sie teilbar sind - das sind 12, 24, 36, ... Die kleinste von ihnen ist 12. Oder 6 und 15, 30, 60, 90 sind durch sie teilbar .... Mindestens 30. Frage - wie bestimmt man dieses kleinste gemeinsame Vielfache?

Es gibt einen klaren Algorithmus, aber oft kann dies sofort ohne Berechnungen durchgeführt werden. Zum Beispiel wird nach den obigen Beispielen (3 und 4, 6 und 15) kein Algorithmus benötigt, wir haben große Zahlen (4 und 15) genommen, verdoppelt und gesehen, dass sie durch die zweite Zahl teilbar sind, aber Zahlenpaare können andere sein, wie 51 und 119.

Algorithmus. Um das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen zu bestimmen, müssen Sie:

- jede der Zahlen in EINFACHE Faktoren zerlegen

- Schreiben Sie die Zerlegung des GRÖSSEREN von ihnen auf

- multipliziere es mit den FEHLENDEN Faktoren anderer Zahlen

Betrachten Sie Beispiele:

50 und 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

bei der Erweiterung einer größeren Zahl fehlt eine Fünf

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 und 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

bei der Erweiterung einer größeren Zahl fehlen zwei und drei

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Primzahlen ist gleich ihrem Produkt

Frage! Und warum ist es sinnvoll, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, weil man die zweite Methode verwenden und den resultierenden Bruch einfach kürzen kann? Ja, das können Sie, aber es ist nicht immer bequem. Schauen Sie sich den Nenner für die Zahlen 48 und 72 an, wenn Sie sie einfach multiplizieren 48∙72 = 3456. Stimmen Sie zu, dass es angenehmer ist, mit kleineren Zahlen zu arbeiten.

Betrachten Sie Beispiele:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

bei der Erweiterung einer größeren Zahl fehlt ein Tripel

=> LCM(51,119) = 3∙7∙17

Und jetzt wenden wir die erste Methode an:

* Sehen Sie sich den Unterschied in den Berechnungen an, im ersten Fall gibt es ein Minimum davon, und im zweiten Fall müssen Sie separat auf einem Blatt Papier arbeiten, und sogar der Bruchteil, den Sie erhalten haben, muss reduziert werden. Das Auffinden des LCM vereinfacht die Arbeit erheblich.

Mehr Beispiele:

* Im zweiten Beispiel ist bereits klar, dass die kleinste Zahl, die durch 40 und 60 teilbar ist, 120 ist.

GESAMT! ALLGEMEINER BERECHNUNGSALGORITHMUS!

- Wir bringen Brüche zu gewöhnlichen, wenn es einen ganzzahligen Teil gibt.

- Wir bringen die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner (zuerst schauen wir, ob ein Nenner durch einen anderen teilbar ist, wenn er teilbar ist, dann multiplizieren wir Zähler und Nenner dieses anderen Bruchs; wenn er nicht teilbar ist, handeln wir mit dem andere oben angegebene Methoden).

- Nachdem wir Brüche mit gleichem Nenner erhalten haben, führen wir Aktionen durch (Addition, Subtraktion).

- gegebenenfalls kürzen wir das Ergebnis.

- Wählen Sie ggf. den gesamten Teil aus.

2. Produkt von Brüchen.

Die Regel ist einfach. Beim Multiplizieren von Brüchen werden deren Zähler und Nenner multipliziert:

Beispiele: