Burkowskaja Nina Dmitrijewna

Mathe-Lehrer

Ural-Technologische Hochschule "Service".

Programmthema: Rotationskörper - 10 Stunden.

Unterrichtsthema: Rechter Kreiskegel, seine Elemente. Schnitte eines Kegels durch eine Ebene. Kegelentwicklung. Die Oberfläche eines Kegels.

Das Ziel des Unterrichts: Bildung theoretischer Kenntnisse über einen Kegel als Rotationskörper, seine Eigenschaften, Schnittarten durch eine Ebene und die Fläche der vollen Oberfläche. Mathematisches Denken, räumliche Darstellung;

Unabhängigkeit von pädagogischer und kognitiver Aktivität.

Unterrichtsart: Kombinierter Unterricht.

Managementmethoden: Vorlesungspraktischer Unterricht.

Unterrichtsausstattung: Mathe-UmgebungGeoGebra.

WÄHREND DES UNTERRICHTS:

Organisatorischer Moment - 1 - 2 Minuten.

Studenten grüßen.

Mark abwesend.

II . Hausaufgabenumfrage

1. Der Bereich der Mantelfläche des Zylinders;

2. Die Fläche der vollen Oberfläche des Zylinders;

3. Ein Zylinder in einem Prisma eingeschrieben;

4. Zylinder in der Nähe eines Prismas umschrieben.

III . Erklärung des neuen Materials. Kurze Zusammenfassung.

1. Kegel - ein Körper, der aus einem Kreis besteht - der Basis des Kegels, einem Punkt, der nicht in der Ebene dieses Kreises liegt - der Spitze des Kegels und allen Segmenten, die die Spitze des Kegels mit den Spitzen der Basis verbinden.

Der Kegel wird erhalten, indem ein rechtwinkliges Dreieck um das Bein gedreht wird.

2. Überlegen Sie nun, wie der Kegel aufgebaut ist. Zeichne zuerst einen Kreis mit MittelpunktÖund direktBetriebssystemsenkrecht zur Ebene dieses Kreises. Wir verbinden jeden Punkt des Kreises durch ein Segment mit einem PunktS. Die von diesen Segmenten gebildete Oberfläche wird als konische Oberfläche bezeichnet, und die Segmente selbst werden als Erzeuger der konischen Oberfläche bezeichnet.

3. T.S- die Spitze des Kegelkreises (O, OA) - die Basis des Kegels

SA= SBsind Kegelgeneratoren. LiniensegmentSOist die Höhe des Kegels. GeradeSO- Kegelachse

4. a) Der Axialschnitt des Kegels ist ein gleichschenkliges Dreieck

Der Axialschnitt des Kegels ist der Schnitt des Kegels durch eine Ebene, die durch die Achse des Kegels und verläuft

durch seine Spitze ist ein gleichschenkliges Dreieck.

Der Schnitt des Kegels durch eine Ebene senkrecht zur Symmetrieachse ist ein Kreis,

AB - Schnitt senkrecht zur Symmetrieachse und parallel zur Basis.

Wir drücken die Fläche der Mantelfläche des Kegels durch seine Erzeugende und den Radius der Basis aus.

Gradmaß eines Bogens

Die Länge des Bogens des Sektors ist gleich der Länge des Umfangs der Basis des Kegels.

ausdrücken durch und, dann

, .

Wie findet man die Gesamtfläche?

Die Gesamtfläche ist die Summe aus Seitenfläche und Grundfläche.

, .

Die Tangentialebene an den Kegel ist die Ebene, die durch die Erzeugende des Kegels verläuft und senkrecht zur Ebene des Axialschnitts ist, der diese Erzeugende enthält..

IV . Neues Material fixieren:

Aufgabe: Der Radius der Basis des Kegels beträgt 14 cm. Finden Sie die Fläche des Schnitts, der senkrecht zu seiner Achse durch seine Mitte gezogen wird .

Entscheidung: △ SONDERN S O - rechteckig ( S Ö  Basis), ∠ S AO=30 0 , S O (liegt gegen einen Winkel von 30 0 )=, dann ALS =2O S \u003d 2 * 12 \u003d 24. Laut Pythagorean O; S b. = Antworten: S b. =.

Hausaufgaben §6.1 – 6.2, Nr.8

Literatur

Zh. Kaidasov, V. Gusev, A. Kagazbaeva Geometrie 10, 11 Klassen. Didaktisches Material zur Geometrie für die Klassen 10, 11.

Eine der Figuren, die beim Lösen geometrischer Probleme im Raum auftreten, ist ein Kegel. Es gehört im Gegensatz zu Polyedern zur Klasse der Rotationsfiguren. Wir werden in dem Artikel betrachten, was damit in der Geometrie gemeint ist, und wir werden die Eigenschaften verschiedener Abschnitte des Kegels untersuchen.

Angenommen, es gibt eine Kurve in der Ebene. Es kann eine Parabel, ein Kreis, eine Ellipse usw. sein. Nehmen Sie einen Punkt, der nicht zur angegebenen Ebene gehört, und verbinden Sie alle Punkte der Kurve damit. Die resultierende Oberfläche wird als Kegel oder einfach als Kegel bezeichnet.

Wenn die ursprüngliche Kurve geschlossen ist, kann die Kegelfläche mit Materie gefüllt werden. Die so erhaltene Figur ist ein dreidimensionaler Körper. Er wird auch Kegel genannt. Einige Papierkegel sind unten gezeigt.

Die konische Oberfläche findet man im gewöhnlichen Leben. Zum Beispiel hat eine Eiswaffel oder ein gestreifter Verkehrskegel diese Form, die die Aufmerksamkeit von Autofahrern und Fußgängern auf sich ziehen soll.

Arten von Kegeln

Wie Sie sich vorstellen können, unterscheiden sich die betrachteten Figuren durch die Art der Kurve, auf der sie gebildet werden. Beispielsweise gibt es einen runden Kegel oder einen elliptischen. Diese Kurve wird als Basis der Figur bezeichnet. Die Form der Basis ist jedoch nicht das einzige Merkmal, das eine Klassifizierung der Zapfen ermöglicht.

Ihr zweites wichtiges Merkmal ist die Position der Höhe relativ zur Basis. Die Höhe eines Kegels ist ein gerades Liniensegment, das von der Oberseite der Figur auf die Ebene der Basis abgesenkt ist und senkrecht zu dieser Ebene steht. Wenn die Höhe die Basis im geometrischen Zentrum schneidet (z. B. in der Mitte des Kreises), ist der Kegel gerade. Wenn das senkrechte Segment auf einen anderen Punkt der Basis oder darüber hinaus fällt, ist die Figur gerade geneigt.

Geometrische Namen von Kegelelementen

Oben wurde gesagt, dass der Kegel eine Basis hat. Es wird von einem Kreis begrenzt, der als Kegelführung bezeichnet wird. Die Segmente, die die Führung mit einem Punkt verbinden, der nicht in der Ebene der Basis liegt, werden Generatoren genannt. Die Menge aller Punkte der Generatoren wird als Kegel- oder Mantelfläche der Figur bezeichnet. Bei einem runden rechten Kegel haben alle Generatoren die gleiche Länge.

Der Punkt, an dem sich die Generatoren schneiden, wird als Scheitelpunkt der Figur bezeichnet. Im Gegensatz zu Polyedern hat ein Kegel einen einzigen Scheitelpunkt und keine Flächen.

Die gerade Linie, die durch die Oberseite der Figur und den Mittelpunkt des Kreises verläuft, wird als Achse bezeichnet. Die Achse enthält die Höhe eines geraden Kegels, bildet also mit der Ebene der Grundfläche einen rechten Winkel. Diese Information ist wichtig für die Berechnung der Fläche des Axialschnitts des Kegels.

Runder gerader Kegel - Rotationsfigur

Der betrachtete Kegel ist eine ziemlich symmetrische Figur, die durch die Drehung eines Dreiecks erhalten werden kann. Angenommen, wir haben ein Dreieck mit einem rechten Winkel. Um einen Kegel zu erhalten, reicht es aus, dieses Dreieck um eines der Beine zu drehen, wie in der folgenden Abbildung gezeigt.

Es ist ersichtlich, dass die Rotationsachse die Achse des Kegels ist. Eines der Beine entspricht der Höhe der Figur, und das zweite Bein wird zum Radius der Basis. Die Hypotenuse eines Dreiecks als Ergebnis der Drehung beschreibt eine Kegelfläche. Es wird die Erzeugende des Kegels sein.

Diese Methode zum Erhalten eines runden geraden Kegels ist praktisch, um die mathematische Beziehung zwischen den linearen Parametern der Figur zu untersuchen: der Höhe h, dem Radius der runden Basis r und der Führung g. Die entsprechende Formel folgt aus den Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks. Es ist unten aufgeführt:

Da wir eine Gleichung und drei Variablen haben, bedeutet dies, dass man zur eindeutigen Einstellung der Parameter eines Rundkegels zwei beliebige Größen kennen muss.

Schnitte eines Kegels durch eine Ebene, die die Spitze der Figur nicht enthält

Die Frage der Konstruktion von Schnitten einer Figur ist nicht trivial. Tatsache ist, dass die Form des Kegelschnitts durch die Oberfläche von der relativen Position der Figur und der Sekante abhängt.

Angenommen, wir schneiden den Kegel mit einer Ebene. Was wird das Ergebnis dieser geometrischen Operation sein? Schnittformoptionen sind in der Abbildung unten dargestellt.

Der rosa Abschnitt ist ein Kreis. Es entsteht durch den Schnittpunkt der Figur mit einer Ebene, die parallel zur Basis des Kegels verläuft. Dies sind Schnitte senkrecht zur Figurenachse. Die über der Schnittebene gebildete Figur ist ein Kegel ähnlich dem Original, aber mit einem kleineren Kreis an der Basis.

Der grüne Bereich ist eine Ellipse. Sie wird erhalten, wenn die Schnittebene nicht parallel zur Basis verläuft, sondern sich nur schneidet.Die oberhalb der Ebene abgeschnittene Figur wird als elliptischer geneigter Kegel bezeichnet.

Die blauen und orangefarbenen Abschnitte sind parabolisch bzw. hyperbolisch. Wie aus der Figur ersichtlich, erhält man sie, wenn die Schnittebene gleichzeitig die Seitenfläche und die Grundfläche der Figur schneidet.

Um die Flächen der betrachteten Kegelabschnitte zu bestimmen, müssen die Formeln für die entsprechende Figur in der Ebene verwendet werden. Für einen Kreis ist dies beispielsweise Pi multipliziert mit dem Quadrat des Radius, und für eine Ellipse ist dies das Produkt von Pi mit der Länge der kleinen und großen Halbachse:

Kreis: S \u003d pi * r 2;

Ellipse: S = pi*a*b .

Abschnitte mit der Spitze eines Kegels

Betrachten Sie nun die Optionen für Schnitte, die entstehen, wenn die Schnittebene durch die Spitze des Kegels verläuft. Drei Fälle sind möglich:

1. Der Abschnitt ist ein einzelner Punkt. Zum Beispiel ergibt eine Ebene, die durch den Scheitel und parallel zur Basis verläuft, genau einen solchen Schnitt.
2. Der Schnitt ist eine gerade Linie. Diese Situation tritt auf, wenn die Ebene eine Kegelfläche berührt. Die gerade Linie des Abschnitts ist in diesem Fall die Erzeugende des Kegels.
3. Axialschnitt. Es wird gebildet, wenn die Ebene nicht nur die Oberseite der Figur, sondern auch ihre gesamte Achse enthält. In diesem Fall steht die Ebene senkrecht zur runden Basis und teilt den Kegel in zwei gleiche Teile.

Es ist offensichtlich, dass die Flächen der ersten beiden Abschnittsarten gleich Null sind. Was die Querschnittsfläche des Kegels für den 3. Typ betrifft, wird dieses Problem im nächsten Absatz ausführlicher erörtert.

Axialschnitt

Es wurde oben angemerkt, dass der Axialschnitt eines Kegels die Figur ist, die entsteht, wenn der Kegel von einer Ebene geschnitten wird, die durch seine Achse verläuft. Es ist leicht zu erraten, dass dieser Abschnitt die in der Abbildung unten gezeigte Figur darstellt.

Das ist ein gleichschenkliges Dreieck. Die Spitze des axialen Abschnitts des Kegels ist die Spitze dieses Dreiecks, das durch den Schnittpunkt identischer Seiten gebildet wird. Letztere sind gleich der Länge der Mantellinie des Kegels. Die Basis eines Dreiecks ist der Durchmesser der Basis des Kegels.

Die Berechnung der Fläche des Axialschnitts des Kegels reduziert sich auf die Ermittlung der Fläche des resultierenden Dreiecks. Wenn der Radius der Basis r und die Höhe h des Kegels zunächst bekannt sind, ist die Fläche S des betrachteten Abschnitts gleich:

Dieser Ausdruck ist eine Folge der Anwendung der Standardformel für die Fläche eines Dreiecks (halbe Höhe multipliziert mit der Basis).

Beachten Sie, dass der axiale Abschnitt des Kegels ein gleichseitiges Dreieck ist, wenn er gleich dem Durchmesser seiner runden Basis ist.

Ein dreieckiger Querschnitt entsteht, wenn die Schnittebene senkrecht zur Basis des Kegels steht und durch dessen Achse verläuft. Jede andere Ebene, die parallel zur benannten Ebene liegt, ergibt im Schnitt eine Hyperbel. Wenn die Ebene jedoch die Spitze des Kegels enthält und seine Basis nicht durch den Durchmesser schneidet, ist der resultierende Schnitt ebenfalls ein gleichschenkliges Dreieck.

Die Aufgabe, die linearen Parameter des Kegels zu bestimmen

Wir werden zeigen, wie man die für die Fläche des Axialschnitts geschriebene Formel verwendet, um ein geometrisches Problem zu lösen.

Es ist bekannt, dass die Fläche des Axialschnitts des Kegels 100 cm 2 beträgt. Das resultierende Dreieck ist gleichseitig. Wie groß ist die Höhe des Kegels und der Radius seiner Basis?

Da das Dreieck gleichseitig ist, hängt seine Höhe h mit der Seitenlänge a durch die folgende Beziehung zusammen:

Unter der Annahme, dass die Seite des Dreiecks doppelt so groß ist wie der Radius der Basis des Kegels, und wenn wir diesen Ausdruck in die Formel für die Querschnittsfläche einsetzen, erhalten wir:

S = h*r = √3/2*2*r*r =>

r = √(S/√3).

Dann ist die Höhe des Kegels:

h = √3/2*2*r = √3*√(S/√3) = √(√3*S).

Es bleibt, den Wert der Fläche durch die Bedingung des Problems zu ersetzen und die Antwort zu erhalten:

r = √(100/√3) ≈ 7,60 cm;

h = √(√3*100) ≈ 13,16 cm.

In welchen Bereichen ist es wichtig, die Parameter der betrachteten Abschnitte zu kennen?

Das Studium verschiedener Arten von Kegelschnitten ist nicht nur von theoretischem Interesse, sondern hat auch praktische Anwendungen.

Zunächst ist der Bereich der Aerodynamik zu nennen, wo es mit Hilfe von Kegelschnitten möglich ist, ideale glatte Formen von Festkörpern zu erzeugen.

Zweitens sind Kegelschnitte Trajektorien, auf denen sich Weltraumobjekte in Gravitationsfeldern bewegen. Was genau die Bewegungsbahn der kosmischen Körper des Systems ist, wird durch das Verhältnis ihrer Massen, absoluten Geschwindigkeiten und Abstände zwischen ihnen bestimmt.

Der Radius der Basis des Kegels mit der Spitze ist gleich 6 und die Länge seiner Erzeugenden ist gleich 9. Punkte und werden auf dem Kreis der Basis des Kegels ausgewählt und teilen den Kreis in zwei Bögen, deren Längen im Verhältnis 1:3 stehen. Finden Sie die Fläche des Kegelschnitts durch das Flugzeug.

Die Lösung des Problems

Diese Lektion zeigt, wie man einen Abschnitt eines Kegels mit einem Flugzeug richtig konstruiert und die Fläche dieses Abschnitts ermittelt. Der Hauptpunkt bei der Lösung dieses Problems ist das Verhältnis der Bögen, das durch die Bedingung gegeben ist: Wenn das Verhältnis 1: 3 beträgt, kann eindeutig bestimmt werden, dass das Gradmaß eines Bogens 90 ° beträgt. Und dies vereinfacht die Lösung des Problems erheblich. Die Formel für die Fläche eines Dreiecks: das halbe Produkt aus der Basis und der Höhe - ermöglicht es, die Segmente zu bestimmen, deren Längen wir finden müssen. Um die Länge der Basis zu ermitteln, verwenden wir den Satz des Pythagoras (das Dreieck ist nicht nur rechteckig, sondern auch gleichschenklig - die Beine des Dreiecks sind die Radien der Basis des Kreises). Wir finden auch die Höhe des Abschnitts mit dem Satz des Pythagoras. Wir kennen bereits die Basis (wir brauchen die Hälfte davon) und die Länge der Erzeugenden ist durch Bedingung gegeben. Es bleibt das Produkt der erhaltenen Segmente zu finden und es in zwei Teile zu teilen. Antwort erhalten.

Die Lösung dieses Problems wird Schülern der 8. Klasse beim Studium des Themas "Fläche" ("The Pythagorean Theorem", "Fläche des Dreiecks") empfohlen; für Schüler der 11. Klasse beim Studium des Themas "Körper der Revolution" ("Problemlösung. Kegel"). Zur Vorbereitung auf die Prüfung wird die Unterrichtsstunde bei Wiederholung des Themas „Bereich“, „Körper der Revolution“ empfohlen.

Du wirst brauchen

• Kegelziehen mit festgelegten Parametern
• Herrscher
• Bleistift
• Mathematische Formeln und Definitionen
• Kegelhöhe
• Der Radius des Kreises der Basis des Kegels
• Dreiecksflächenformel

Anweisung

Zeichne einen Kegel mit den gegebenen Parametern. Beschriften Sie den Mittelpunkt des Kreises mit O und die Spitze mit P. Sie müssen den Radius und die Höhe des Kegels kennen. Denken Sie an die Höhen des Kegels. Es ist eine Senkrechte von der Spitze des Kegels zu seiner Basis. Der Schnittpunkt der Höhe des Kegels mit der Basis des rechten Kegels fällt mit dem Mittelpunkt des Kreises der Basis zusammen. Konstruieren Sie einen Axialschnitt des Kegels. Es ist der Durchmesser der Basis und der Generatoren des Kegels, die durch die Schnittpunkte des Durchmessers mit dem Kreis verlaufen. Beschriften Sie die resultierenden Punkte als A und B.

Der Axialschnitt wird durch zwei in einer Ebene liegende rechtwinklige Dreiecke mit einem gemeinsamen Schenkel gebildet. Es gibt zwei Möglichkeiten, die Fläche des Axialschnitts zu berechnen. Der erste Weg besteht darin, die Flächen der resultierenden Dreiecke zu finden und sie zusammenzufügen. Dies ist der visuellste Weg, aber tatsächlich unterscheidet er sich nicht von der klassischen Berechnung eines Dreiecks. Sie haben also 2 rechtwinklige Dreiecke, deren gemeinsames Bein die Höhe des Kegels h ist, die zweiten Beine sind die Radien des Umfangs der Basis R und die Hypotenusen sind die Erzeuger des Kegels. Da alle drei Seiten dieser Dreiecke einander gleich sind, erwiesen sich auch die Dreiecke selbst als gleich, gemäß der dritten Eigenschaft der Gleichheit der Dreiecke. Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich dem halben Produkt seiner Schenkel, also S=1/2Rh. Die Fläche der beiden Dreiecke ist jeweils gleich dem Produkt aus der Basis und der Höhe, S=Rh.

Der axiale Abschnitt wird am häufigsten als betrachtet, dessen Höhe die Höhe des Kegels ist. In diesem Fall ist dies ein Dreieck APV, dessen Basis gleich dem Durchmesser des Umfangs der Basis des Kegels D ist und dessen Höhe gleich der Höhe des Kegels h ist. Seine Fläche wird nach der klassischen Formel für die Fläche eines Dreiecks berechnet, das heißt, als Ergebnis erhalten wir dieselbe Formel S = 1/2Dh = Rh, wobei S die Fläche des Dreiecks R ist der Radius des Grundkreises ist und h die Höhe des Dreiecks ist, die auch die Höhe des Kegels ist.

Hilfreicher Rat

Die Fläche des Axialschnitts des Kegels wird nach der Formel für die Fläche eines Trapezes berechnet. In diesem Fall müssen Sie sowohl die Basisradien als auch die Höhe und die Mittellinie kennen.

Quellen:

• Unterrichtsthema „Kegelschnitte

Ein Kegel ist ein Körper, der durch die Vereinigung aller Strahlen entsteht, die von einem Punkt ausgehen, der Kegelspitze genannt wird, und durch eine flache Oberfläche gehen, die Kegelbasis genannt wird. Die Fläche eines Kegels ist die Fläche seiner Mantelfläche und die Fläche der Basis, die ein Kreis ist.

Du wirst brauchen

• Grundkenntnisse der Stereometrie.

Anweisung

Die Endfläche eines Kegels ist gleich der Summe der Flächen seiner Oberfläche und Basis. Das heißt, S \u003d P * R * R + P * R * l. Nun, oder nach der Transformation, S \u003d P * R (R + l).

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beachten Sie

Die Fläche ist ein positiver Wert, und wenn Sie einen negativen Wert erhalten, haben Sie irgendwo einen Fehler gemacht. Überprüfen Sie alle Ihre Berechnungen sorgfältig.

Hilfreicher Rat

Wenn Sie die Fläche des Kegels und den Radius seiner Basis kennen, können Sie die Länge seiner Führung ermitteln und die Fläche und Länge der Führung kennen - den Radius seiner Basis.

Quellen:

• wie man die Oberfläche eines Kegels im Jahr 2019 findet

Das Konstruieren eines Abschnitts eines Kegels ist keine so schwierige Aufgabe. Die Hauptsache ist, eine strenge Abfolge von Aktionen einzuhalten. Dann wird diese Aufgabe einfach zu erledigen sein und keine große Anstrengung von Ihnen erfordern.

Du wirst brauchen

• - Papier;
• - Griff;
• - Kreis;
• - Herrscher.

Anweisung

Bei der Beantwortung dieser Frage müssen Sie zunächst entscheiden, auf welche Parameter die Sektion eingestellt ist.
Dies sei die Schnittlinie der Ebene l mit der Ebene und dem Punkt O, der der Schnittpunkt mit ihrem Schnitt ist.

Die Konstruktion ist in Fig. 1 dargestellt. Der erste Schritt beim Konstruieren eines Schnitts ist durch die Mitte des Schnitts seines Durchmessers, verlängert bis l senkrecht zu dieser Linie. Als Ergebnis erhält man Punkt L. Ziehe weiter durch Punkt O eine gerade Linie LW und baue zwei Richtkegel, die in den Hauptabschnitten O2M und O2C liegen. Am Schnittpunkt dieser Hilfslinien liegen der Punkt Q sowie der bereits gezeigte Punkt W. Dies sind die ersten beiden Punkte des gewünschten Abschnitts.

Zeichnen Sie nun einen senkrechten MC an der Basis des Kegels BB1 und bauen Sie die Generatoren des senkrechten Abschnitts O2B und O2B1. Zeichnen Sie in diesem Abschnitt eine gerade Linie RG durch t.O, parallel zu BB1. T.R und t.G - zwei weitere Punkte des gewünschten Abschnitts. Wenn der Querschnitt der Kugel bekannt wäre, könnte man sie bereits in diesem Stadium konstruieren. Dies ist jedoch überhaupt keine Ellipse, sondern etwas Elliptisches, das Symmetrie in Bezug auf das Segment QW hat. Daher sollten Sie möglichst viele Punkte des Abschnitts bauen, um sie in Zukunft mit einer glatten Kurve zu verbinden, um eine möglichst zuverlässige Skizze zu erhalten.

Konstruieren Sie einen beliebigen Schnittpunkt. Zeichnen Sie dazu am Kegelfuß einen beliebigen Durchmesser AN und bauen Sie die entsprechenden Führungen O2A und O2N. Ziehen Sie durch PO eine gerade Linie, die durch PQ und WG verläuft, bis sie sich mit den neu konstruierten Hilfslinien an den Punkten P und E schneidet. Dies sind zwei weitere Punkte des gewünschten Abschnitts. In gleicher Weise und weiter fortfahrend, können Sie beliebig gewünschte Punkte erreichen.

Zwar kann das Verfahren zu ihrer Gewinnung leicht vereinfacht werden, indem Symmetrie in Bezug auf QW verwendet wird. Dazu ist es möglich, in der Ebene des gewünschten Schnitts parallel zu RG gerade Linien SS' parallel zu RG zu ziehen, bis sie sich mit der Kegeloberfläche schneiden. Die Konstruktion wird abgeschlossen, indem die konstruierte Polylinie aus Sehnen abgerundet wird. Aufgrund der bereits erwähnten Symmetrie gegenüber QW genügt es, die Hälfte des benötigten Querschnitts zu konstruieren.

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Tipp 4: So finden Sie die Fläche des Axialschnitts eines Kegelstumpfs

Um dieses Problem zu lösen, müssen Sie sich daran erinnern, was ein Kegelstumpf ist und welche Eigenschaften er hat. Unbedingt zeichnen. Dadurch wird bestimmt, welche geometrische Figur ein Schnitt ist. Gut möglich, dass Ihnen danach die Lösung des Problems nicht mehr schwer fällt.

Anweisung

Ein runder Kegel ist ein Körper, der durch Drehen eines Dreiecks um einen seiner Schenkel entsteht. Von oben kommen gerade Linien Zapfen und seine Basis schneiden, werden Generatoren genannt. Wenn alle Generatoren gleich sind, dann ist der Kegel gerade. An der Basis der Runde Zapfen liegt ein Kreis. Die von oben auf die Basis fallende Senkrechte ist die Höhe Zapfen. An der runden Geraden Zapfen Höhe fällt mit seiner Achse zusammen. Die Achse ist eine gerade Linie, die mit der Mitte der Basis verbunden ist. Wenn die horizontale Schnittebene des Kreises Zapfen, dann ist seine obere Basis ein Kreis.

Da in der Aufgabenstellung nicht angegeben ist, hier der Kegel gegeben ist, können wir daraus schließen, dass es sich um einen geraden Kegelstumpf handelt, dessen horizontaler Schnitt parallel zur Grundfläche verläuft. Sein Axialschnitt, d.h. vertikale Ebene, die durch die Achse eines Kreises Zapfen, ist ein gleichschenkliges Trapez. Alles axial Abschnitte rund gerade Zapfen sind einander gleich. Daher zu finden Quadrat axial Abschnitte, es ist erforderlich, um zu finden Quadrat Trapez, dessen Basen die Durchmesser der Basen des Stumpfes sind Zapfen, und die Seiten sind seine Generatoren. Abgeschnittene Höhe Zapfen ist auch die Höhe des Trapezes.

Die Fläche eines Trapezes wird durch die Formel bestimmt: S = ½(a+b) h, wobei S ist Quadrat Trapez; a - der Wert der unteren Basis des Trapezes; b - der Wert seiner oberen Basis; h - die Höhe des Trapezes.

Schnittfläche eines Kegels. Ein weiterer Artikel mit Zapfen wird Ihnen präsentiert. Zum Zeitpunkt dieses Schreibens hat der Blog alle Beispiele (Prototypen) von Aufgaben mit Kegeln gelöst, die in der Prüfung möglich sind. Der Lösungsprozess ist einfach (1-2 Aktionen), mit einer gewissen Übung werden sie mündlich gelöst. Sie müssen das Konzept einer Generatrix kennen, Informationen dazu in. Es ist auch notwendig zu verstehen, wie Abschnitte eines Kegels gebildet werden.

1. Wenn die Ebene durch die Spitze des Kegels verläuft, ist der Schnitt ein Dreieck.

*Wenn die Ebene durch die Achse des Kegels geht, dann ist der Schnitt ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Höhe gleich der Höhe des Kegels ist, und die Basis, auf der diese Höhe abgesenkt wird, ist gleich dem Durchmesser der Basis des Kegels.

2. Wenn die Ebene senkrecht zur Kegelachse verläuft, ist der Schnitt ein Kreis.

Ein Merkmal dieser Aufgaben ist, dass die Dreiecksflächenformel angewendet wird. Formeln regelmäßig wiederholen. Betrachten Sie die Aufgaben:

324453. Die Fläche der Basis des Kegels beträgt 16 pi, die Höhe 6. Finden Sie die Fläche des axialen Abschnitts des Kegels.

Der axiale Querschnitt des Kegels ist ein Dreieck mit einer Basis gleich dem Durchmesser der Basis des Kegels und einer Höhe gleich der Höhe des Kegels. Nennen wir den Durchmesser als D, die Höhe als H, schreiben Sie die Formel für die Fläche eines Dreiecks auf:

Die Höhe ist bekannt, wir berechnen den Durchmesser. Wir verwenden die Formel für die Fläche eines Kreises:

Der Durchmesser ist also gleich 8. Berechnen Sie die Querschnittsfläche:

Antwort: 24

324454. Die Fläche der Basis des Kegels beträgt 18. Die Ebene parallel zur Ebene der Basis des Kegels teilt seine Höhe in Segmente der Länge 3 und 6, von oben gezählt. Finden Sie die Querschnittsfläche des Kegels durch diese Ebene.

Der Abschnitt ist ein Kreis. Sie müssen die Fläche dieses Kreises finden.

Lassen Sie uns einen Axialschnitt erstellen:

Betrachten Sie die Dreiecke AKL und AOC - sie sind ähnlich. Es ist bekannt, dass in ähnlichen Figuren die Verhältnisse der entsprechenden Elemente gleich sind. Wir betrachten das Verhältnis von Höhen und Beinen (Radien):

OC ist der Radius der Basis, er kann gefunden werden:

Meint

Jetzt können wir die Querschnittsfläche berechnen:

*Dies ist eine algebraische Berechnungsweise ohne Verwendung der Flächeneigenschaft ähnlicher Körper. Man könnte so argumentieren:

Zwei Kegel (Original und abgeschnitten) sind ähnlich, also schonen ihre Basen ähnliche Figuren. Für die Bereiche ähnlicher Zahlen gibt es eine Abhängigkeit:

Der Ähnlichkeitskoeffizient ist in diesem Fall gleich 1/3 (die Höhe des ursprünglichen Kegels ist 9, abgeschnitten 3), 3/9 = 1/3.

Somit beträgt die Fläche der Basis des resultierenden Kegels:

Antwort: 2

323455. Die Höhe des Kegels beträgt 8 und die Länge der Erzeugenden 10. Finden Sie die Fläche des axialen Abschnitts dieses Kegels.

Die Erzeugende sei L, die Höhe H und der Radius der Basis R.

Finden Sie den Durchmesser der Basis und verwenden Sie die Formel für die Fläche eines Dreiecks, um die Fläche zu berechnen. Nach dem Satz des Pythagoras:

Die Erzeugende sei L, die Höhe H, der Radius der Basis R. Das war's. Viel Glück!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh.

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie in sozialen Netzwerken über die Website berichten würden.