Das Gaußsche Verfahren hat eine Reihe von Nachteilen: Es ist unmöglich zu wissen, ob das System konsistent ist oder nicht, bis alle für das Gaußsche Verfahren erforderlichen Transformationen durchgeführt wurden; das Gaußsche Verfahren ist für Systeme mit Buchstabenkoeffizienten nicht geeignet.

Betrachten Sie andere Methoden zum Lösen von linearen Gleichungssystemen. Diese Methoden verwenden das Konzept des Rangs einer Matrix und reduzieren die Lösung eines beliebigen gemeinsamen Systems auf die Lösung eines Systems, auf das die Cramersche Regel zutrifft.

Beispiel 1 Finden Sie die allgemeine Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems unter Verwendung des fundamentalen Lösungssystems des reduzierten homogenen Systems und einer bestimmten Lösung des inhomogenen Systems.

1. Wir erstellen eine Matrix EIN und die erweiterte Matrix des Systems (1)

2. Erkunden Sie das System (1) für Kompatibilität. Dazu finden wir die Ränge der Matrizen EIN und https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Wenn sich herausstellt, dass , dann das System (1) unvereinbar. Wenn wir das bekommen , dann ist dieses System konsistent und wir werden es lösen. (Die Konsistenzstudie basiert auf dem Satz von Kronecker-Capelli).

a. Wir finden rA.

Finden rA, betrachten wir sukzessive von Null verschiedene Minoren der ersten, zweiten usw. Ordnung der Matrix EIN und die sie umgebenden Minderjährigen.

M1=1≠0 (1 wird aus der oberen linken Ecke der Matrix genommen SONDERN).

Angrenzend M1 die zweite Zeile und zweite Spalte dieser Matrix. . Wir fahren weiter an der Grenze M1 die zweite Zeile und die dritte Spalte..gif" width="37" height="20 src=">. Jetzt begrenzen wir den Moll ungleich Null М2′ zweite Bestellung.

Wir haben: (weil die ersten beiden Spalten gleich sind)

(weil die zweite und dritte Zeile proportional sind).

Wir sehen das rA=2, und ist der Basis-Minor der Matrix EIN.

b. Wir finden .

Ausreichend grundlegendes Moll М2′ Matrizen EIN Grenze mit einer Spalte mit freien Mitgliedern und allen Zeilen (wir haben nur die letzte Zeile).

. Daraus folgt das М3′′ bleibt die Basis Minor der Matrix https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Als М2′- Basis-Moll der Matrix EIN Systeme (2) , dann ist dieses System äquivalent zu dem System (3) , bestehend aus den ersten beiden Gleichungen des Systems (2) (zum М2′ befindet sich in den ersten beiden Zeilen der Matrix A).

(3)

Da der grundlegende Minor https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> ist (4)

In diesem System sind zwei freie Unbekannte ( x2 und x4 ). So FSR Systeme (4) besteht aus zwei Lösungen. Um sie zu finden, weisen wir freie Unbekannte zu (4) Werte zuerst x2=1 , x4=0 , und dann - x2=0 , x4=1 .

Beim x2=1 , x4=0 wir bekommen:

.

Dieses System hat bereits Das einzige Lösung (sie kann durch die Cramersche Regel oder durch jede andere Methode gefunden werden). Subtrahiert man die erste Gleichung von der zweiten Gleichung, erhält man:

Ihre Entscheidung wird sein x1= -1 , x3=0 . Angesichts der Werte x2 und x4 , die wir gegeben haben, erhalten wir die erste fundamentale Lösung des Systems (2) : .

Jetzt setzen wir ein (4) x2=0 , x4=1 . Wir bekommen:

.

Wir lösen dieses System mit dem Satz von Cramer:

.

Wir erhalten die zweite fundamentale Lösung des Systems (2) : .

Lösungen β1 , β2 und ausmachen FSR Systeme (2) . Dann wird seine allgemeine Lösung sein

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Hier C1 , C2 sind beliebige Konstanten.

4. Finden Sie einen Privat Entscheidung heterogenes System(1) . Wie im Absatz 3 , anstelle des Systems (1) Betrachten Sie das äquivalente System (5) , bestehend aus den ersten beiden Gleichungen des Systems (1) .

(5)

Wir übertragen die freien Unbekannten auf die rechte Seite x2 und x4.

(6)

Lassen Sie uns freie Unbekannte geben x2 und x4 beliebige Werte, zum Beispiel x2=2 , x4=1 und stecke sie ein (6) . Holen wir uns das System

Dieses System hat eine eindeutige Lösung (weil seine Determinante М2′0). Wenn wir es lösen (unter Verwendung des Cramer-Theorems oder der Gauß-Methode), erhalten wir x1=3 , x3=3 . Gegeben sind die Werte der freien Unbekannten x2 und x4 , wir bekommen spezielle Lösung eines inhomogenen Systems(1)α1=(3,2,3,1).

5. Jetzt bleibt noch zu schreiben allgemeine Lösung α eines inhomogenen Systems(1) : es ist gleich der Summe private Entscheidung dieses System u allgemeine Lösung seines reduzierten homogenen Systems (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(-С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Das heisst: (7)

6. Untersuchung. Um zu überprüfen, ob Sie das System richtig gelöst haben (1) , brauchen wir eine allgemeine Lösung (7) einwechseln (1) . Wenn jede Gleichung eine Identität wird ( C1 und C2 zerstört werden soll), dann ist die Lösung richtig gefunden.

Wir werden ersetzen (7) beispielsweise nur in der letzten Gleichung des Systems (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Wir erhalten: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Wobei -1=-1. Wir haben eine Identität. Das machen wir mit allen anderen Gleichungen des Systems (1) .

Kommentar. Die Verifizierung ist in der Regel recht umständlich. Wir können folgende „Teilprüfung“ empfehlen: in der Gesamtlösung des Systems (1) Weisen Sie beliebigen Konstanten einige Werte zu und ersetzen Sie die resultierende bestimmte Lösung nur in den verworfenen Gleichungen (d.h. in jenen Gleichungen aus (1) die nicht darin enthalten sind (5) ). Wenn Sie Identitäten bekommen, dann wahrscheinlich, Lösung des Systems (1) korrekt gefunden (aber eine solche Überprüfung gibt keine volle Garantie für die Korrektheit!). Wenn zum Beispiel in (7) stellen C2=- 1 , C1=1, dann erhalten wir: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Durch Einsetzen in die letzte Gleichung des Systems (1) haben wir: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , also –1=–1. Wir haben eine Identität.

Beispiel 2 Finden Sie eine allgemeine Lösung für ein lineares Gleichungssystem (1) , die die wichtigsten Unbekannten in Form von freien ausdrückt.

Entscheidung. Wie in Beispiel 1, Matrizen erstellen EIN und https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> dieser Matrizen. Jetzt lassen wir nur noch diese Gleichungen des Systems (1) , deren Koeffizienten in diesem grundlegenden Minor enthalten sind (d. h. wir haben die ersten beiden Gleichungen), und betrachten das System, das aus ihnen besteht, das dem System (1) entspricht.

Übertragen wir die freien Unbekannten auf die rechte Seite dieser Gleichungen.

System (9) wir lösen nach der Gaußschen Methode, wobei wir die rechten Teile als freie Glieder betrachten.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Option 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Möglichkeit 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Möglichkeit 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Möglichkeit 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Homogenes System linearer Gleichungen über einem Feld

DEFINITION. Das fundamentale Lösungssystem des Gleichungssystems (1) ist ein nichtleeres linear unabhängiges System seiner Lösungen, dessen lineare Spannweite mit der Menge aller Lösungen des Systems (1) zusammenfällt.

Beachten Sie, dass ein homogenes System linearer Gleichungen, das nur eine Nulllösung hat, kein fundamentales Lösungssystem hat.

VORSCHLAG 3.11. Zwei beliebige fundamentale Lösungssysteme eines homogenen linearen Gleichungssystems bestehen aus der gleichen Anzahl von Lösungen.

Nachweisen. Tatsächlich sind zwei beliebige fundamentale Lösungssysteme des homogenen Gleichungssystems (1) äquivalent und linear unabhängig. Daher sind ihre Ränge nach Satz 1.12 gleich. Daher ist die Anzahl der Lösungen, die in einem fundamentalen System enthalten sind, gleich der Anzahl der Lösungen, die in jedem anderen fundamentalen Lösungssystem enthalten sind.

Wenn die Hauptmatrix A des homogenen Gleichungssystems (1) Null ist, dann ist jeder Vektor von eine Lösung des Systems (1); In diesem Fall ist jede Sammlung linear unabhängiger Vektoren von ein grundlegendes System von Lösungen. Wenn der Spaltenrang von Matrix A ist, dann hat System (1) nur eine Lösung - Null; daher hat das Gleichungssystem (1) in diesem Fall kein fundamentales Lösungssystem.

SATZ 3.12. Wenn der Rang der Hauptmatrix des homogenen linearen Gleichungssystems (1) kleiner als die Anzahl der Variablen ist, dann hat System (1) ein fundamentales Lösungssystem, das aus Lösungen besteht.

Nachweisen. Ist der Rang der Hauptmatrix A des homogenen Systems (1) gleich Null oder , so wurde oben gezeigt, dass der Satz gilt. Daher wird im Folgenden angenommen, dass wir unter der Annahme annehmen, dass die ersten Spalten der Matrix A linear unabhängig sind. In diesem Fall ist die Matrix A zeilenweise äquivalent zu der reduzierten Stufenmatrix, und System (1) ist äquivalent zu dem folgenden reduzierten Stufengleichungssystem:

Es ist leicht zu überprüfen, dass jedes System von Werten freier Variablen von System (2) einer und nur einer Lösung von System (2) und daher von System (1) entspricht. Insbesondere entspricht nur die Nulllösung von System (2) und System (1) dem System der Nullwerte.

In System (2) weisen wir einer der freien Variablen einen Wert gleich 1 und den anderen Variablen Nullwerte zu. Als Ergebnis erhalten wir Lösungen des Gleichungssystems (2), die wir als Zeilen der folgenden Matrix C schreiben:

Das Zeilensystem dieser Matrix ist linear unabhängig. In der Tat, für alle Skalare von der Gleichheit

Gleichberechtigung folgt

und damit Gleichberechtigung

Beweisen wir, dass die lineare Spannweite des Zeilensystems der Matrix C mit der Menge aller Lösungen des Systems (1) übereinstimmt.

Beliebige Lösung von System (1). Dann der Vektor

ist auch eine Lösung für System (1), und

Ein lineares Gleichungssystem, in dem alle freien Terme gleich Null sind, heißt homogen :

Jedes homogene System ist immer konsistent, weil es das schon immer getan hat Null (trivial ) Lösung. Es stellt sich die Frage, unter welchen Bedingungen ein homogenes System eine nichttriviale Lösung haben wird.

Satz 5.2.Ein homogenes System hat genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn der Rang der zugrunde liegenden Matrix kleiner ist als die Anzahl ihrer Unbekannten.

Folge. Ein quadratisches homogenes System hat genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn die Determinante der Hauptmatrix des Systems ungleich Null ist.

Beispiel 5.6. Bestimmen Sie die Werte des Parameters l, für die das System nichttriviale Lösungen hat, und finden Sie diese Lösungen:

Entscheidung. Dieses System hat eine nicht triviale Lösung, wenn die Determinante der Hauptmatrix gleich Null ist:

Somit ist das System nichttrivial, wenn l=3 oder l=2. Für l=3 ist der Rang der Hauptmatrix des Systems 1. Dann lässt man nur eine Gleichung und nimmt diese an j=a und z=b, wir bekommen x=b-a, d.h.

Für l = 2 ist der Rang der Hauptmatrix des Systems 2. Wählen Sie dann als Basis-Minor:

Wir erhalten ein vereinfachtes System

Ab hier finden wir das x=z/4, y=z/2. Vorausgesetzt z=4a, wir bekommen

Die Menge aller Lösungen eines homogenen Systems hat eine sehr große Bedeutung lineare Eigenschaft : wenn X Spalten 1 und X 2 - Lösungen des homogenen Systems AX = 0, dann jede lineare Kombination von ihnen a X 1+b X 2 wird auch die Lösung dieses Systems sein. In der Tat seit AXT 1 = 0 und AXT 2 = 0 , dann EIN(a X 1+b X 2) = ein AXT 1+b AXT 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Aufgrund dieser Eigenschaft gibt es unendlich viele dieser Lösungen, wenn ein lineares System mehr als eine Lösung hat.

Linear unabhängige Säulen E 1 , E 2 , Ek, die Lösungen eines homogenen Systems sind, heißt fundamentales Entscheidungssystem homogenes System linearer Gleichungen, wenn die allgemeine Lösung dieses Systems als Linearkombination dieser Spalten geschrieben werden kann:

Wenn ein homogenes System hat n Variablen, und der Rang der Hauptmatrix des Systems ist gleich r, dann k = nr.

Beispiel 5.7. Finden Sie das fundamentale Lösungssystem des folgenden linearen Gleichungssystems:

Entscheidung. Finden Sie den Rang der Hauptmatrix des Systems:

Somit bildet die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems einen linearen Unterdimensionsraum n - r= 5 - 2 = 3. Wir wählen als Grundmoll

.

Wenn wir dann nur die Grundgleichungen (der Rest ist eine Linearkombination dieser Gleichungen) und die Grundvariablen (den Rest, die sogenannten freien Variablen, übertragen wir nach rechts) übrig lassen, erhalten wir ein vereinfachtes Gleichungssystem:

Vorausgesetzt x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, wir finden

, .

Vorausgesetzt a= 1, b=c= 0 erhalten wir die erste Grundlösung; vorausgesetzt b= 1, a = c= 0 erhalten wir die zweite Grundlösung; vorausgesetzt c= 1, a = b= 0 erhalten wir die dritte Grundlösung. Als Ergebnis nimmt das normale Fundamentalsystem von Lösungen die Form an

Unter Verwendung des Fundamentalsystems kann die allgemeine Lösung des homogenen Systems geschrieben werden als

X = aE 1 + sein 2 + cE 3 . a

Halten wir einige Eigenschaften von Lösungen des inhomogenen Systems linearer Gleichungen fest AX=B und ihre Beziehung zum entsprechenden homogenen Gleichungssystem AX = 0.

Allgemeine Lösung eines inhomogenen Systemsgleich der Summe der allgemeinen Lösung des entsprechenden homogenen Systems AX = 0 und einer beliebigen partikulären Lösung des inhomogenen Systems ist. In der Tat, lassen Sie Y 0 ist eine beliebige spezielle Lösung eines inhomogenen Systems, d.h. JA 0 = B, und Y ist die allgemeine Lösung eines inhomogenen Systems, d.h. AY=B. Wenn wir eine Gleichheit von der anderen subtrahieren, erhalten wir
EIN(Y-Y 0) = 0, d.h. Y-Y 0 ist die allgemeine Lösung des entsprechenden homogenen Systems AXT=0. Somit, Y-Y 0 = X, oder J=J 0 + X. Q.E.D.

Ein inhomogenes System habe die Form AX = B 1 + B 2 . Dann kann die allgemeine Lösung eines solchen Systems geschrieben werden als X = X 1 + X 2 , wo AX 1 = B 1 und AX 2 = B 2. Diese Eigenschaft drückt die universelle Eigenschaft aller linearen Systeme im Allgemeinen aus (algebraisch, differentiell, funktional usw.). In der Physik nennt man diese Eigenschaft Prinzip der Superposition, in der Elektro- und Funktechnik - Overlay-Prinzip. Beispielsweise kann in der Theorie linearer elektrischer Schaltungen der Strom in jedem Stromkreis als algebraische Summe der Ströme erhalten werden, die von jeder Energiequelle separat verursacht werden.

Ein homogenes System ist immer konsistent und hat eine triviale Lösung
. Damit eine nichttriviale Lösung existiert, ist es notwendig, dass der Rang der Matrix war kleiner als die Anzahl der Unbekannten:

.

Grundlegendes Entscheidungssystem homogenes System
nennen wir das Lösungssystem in Form von Spaltenvektoren
, die der kanonischen Basis entsprechen, also Basis, in der beliebige Konstanten
werden abwechselnd auf eins gesetzt, während der Rest auf null gesetzt wird.

Dann hat die allgemeine Lösung des homogenen Systems die Form:

wo
sind beliebige Konstanten. Mit anderen Worten, die allgemeine Lösung ist eine Linearkombination des fundamentalen Lösungssystems.

Die Basislösungen können also aus der allgemeinen Lösung gewonnen werden, wenn den freien Unbekannten abwechselnd der Wert Eins gegeben wird, wobei alle anderen als Null angenommen werden.

Beispiel. Lassen Sie uns eine Lösung für das System finden

Wir akzeptieren , dann erhalten wir die Lösung in der Form:

Konstruieren wir nun ein grundlegendes System von Lösungen:

.

Die allgemeine Lösung kann geschrieben werden als:

Lösungen eines Systems homogener linearer Gleichungen haben die folgenden Eigenschaften:

Mit anderen Worten, jede lineare Kombination von Lösungen zu einem homogenen System ist wieder eine Lösung.

Lösung linearer Gleichungssysteme nach der Gauß-Methode

Das Lösen linearer Gleichungssysteme ist für Mathematiker seit mehreren Jahrhunderten von Interesse. Die ersten Ergebnisse wurden im 18. Jahrhundert erzielt. 1750 veröffentlichte G. Kramer (1704–1752) seine Arbeiten über die Determinanten quadratischer Matrizen und schlug einen Algorithmus zum Auffinden der inversen Matrix vor. 1809 skizzierte Gauß ein neues Lösungsverfahren, das als Eliminationsverfahren bekannt ist.

Das Gauß-Verfahren oder das Verfahren der sukzessiven Eliminierung von Unbekannten besteht darin, dass das Gleichungssystem mit Hilfe elementarer Transformationen auf ein äquivalentes System einer Stufen- (oder Dreiecks-) Form reduziert wird. Mit solchen Systemen können Sie alle Unbekannten in einer bestimmten Reihenfolge konsistent finden.

Angenommen, in System (1)
(was immer möglich ist).

(1)

Multipliziert man die erste Gleichung wiederum mit der sog passende Zahlen

und indem wir das Ergebnis der Multiplikation mit den entsprechenden Gleichungen des Systems addieren, erhalten wir ein äquivalentes System, in dem alle Gleichungen außer der ersten keine Unbekannte haben X 1

(2)

Wir multiplizieren nun die zweite Gleichung des Systems (2) mit geeigneten Zahlen, vorausgesetzt, dass

,

und indem wir es zu den unteren hinzufügen, eliminieren wir die Variable aller Gleichungen, beginnend mit der dritten.

Fortsetzung dieses Prozesses, danach
Schritte, die wir bekommen:

(3)

Wenn mindestens eine der Nummern
nicht gleich Null ist, dann ist die entsprechende Gleichheit inkonsistent und System (1) ist inkonsistent. Umgekehrt für jedes gemeinsame Nummernsystem
gleich Null sind. Anzahl ist nichts anderes als der Rang der Systemmatrix (1).

Der Übergang von System (1) nach (3) wird aufgerufen in einer geraden Linie Gaußsche Methode und Finden von Unbekannten aus (3) - rückwärts .

Kommentar : Es ist bequemer, Transformationen nicht mit den Gleichungen selbst durchzuführen, sondern mit der erweiterten Matrix des Systems (1).

Beispiel. Lassen Sie uns eine Lösung für das System finden

.

Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems:

.

Fügen wir zu den Zeilen 2,3,4 die erste hinzu, multipliziert mit (-2), (-3), (-2):

.

Lassen Sie uns die Zeilen 2 und 3 vertauschen und dann in der resultierenden Matrix Zeile 2 zu Zeile 4 addieren, multipliziert mit :

.

Addiere zu Zeile 4 Zeile 3 multipliziert mit
:

.

Es ist klar, dass
, also ist das System konsistent. Aus dem resultierenden Gleichungssystem

wir finden die Lösung durch umgekehrte Substitution:

,
,
,
.

Beispiel 2 Systemlösung finden:

.

Es ist offensichtlich, dass das System inkonsistent ist, weil
, a
.

Vorteile der Gauß-Methode :

Weniger zeitaufwändig als die Methode von Cramer.

Stellt eindeutig die Kompatibilität des Systems fest und ermöglicht Ihnen, eine Lösung zu finden.

Gibt die Möglichkeit, den Rang beliebiger Matrizen zu bestimmen.

Lassen M 0 ist die Lösungsmenge des homogenen Systems (4) linearer Gleichungen.

Definition 6.12. Vektoren mit 1 ,mit 2 , …, mit P, die Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems sind, genannt Grundlegende Menge von Lösungen(abgekürzt FNR) wenn

1) Vektoren mit 1 ,mit 2 , …, mit P linear unabhängig (das heißt, keiner von ihnen kann in Bezug auf die anderen ausgedrückt werden);

2) jede andere Lösung eines homogenen linearen Gleichungssystems kann durch Lösungen ausgedrückt werden mit 1 ,mit 2 , …, mit P.

Beachten Sie, dass wenn mit 1 ,mit 2 , …, mit P ist etwas f.n.r., dann durch den Ausdruck k 1× mit 1 + k 2× mit 2 + … + kp× mit P kann das ganze Set beschreiben M 0 Lösungen zu System (4), so heißt es Gesamtansicht der Systemlösung (4).

Satz 6.6. Jedes unbestimmte homogene System linearer Gleichungen hat einen fundamentalen Satz von Lösungen.

Der Weg, um die grundlegende Menge von Lösungen zu finden, ist wie folgt:

Finden Sie die allgemeine Lösung eines homogenen linearen Gleichungssystems;

Bauen ( n – r) Teillösungen dieses Systems, während die Werte der freien Unbekannten eine Identitätsmatrix bilden müssen;

Schreiben Sie die allgemeine Form der Lösung auf, die in enthalten ist M 0 .

Beispiel 6.5. Finden Sie den fundamentalen Lösungssatz des folgenden Systems:

Entscheidung. Lassen Sie uns die allgemeine Lösung dieses Systems finden.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Dieses System hat fünf Unbekannte ( n= 5), von denen es zwei Hauptunbekannte gibt ( r= 2), drei freie Unbekannte ( n – r), d. h. die fundamentale Lösungsmenge enthält drei Lösungsvektoren. Bauen wir sie. Wir haben x 1 und x 3 - Hauptunbekannte, x 2 , x 4 , x 5 - freie Unbekannte

Werte freier Unbekannter x 2 , x 4 , x 5 bilden die Identitätsmatrix E dritte Bestellung. Habe diese Vektoren mit 1 ,mit 2 , mit 3 form v.n.r. dieses System. Dann wird die Lösungsmenge dieses homogenen Systems sein M 0 = {k 1× mit 1 + k 2× mit 2 + k 3× mit 3 , k 1 , k 2 , k 3 Î R).

Lassen Sie uns nun die Bedingungen für die Existenz von Lösungen ungleich Null eines homogenen Systems linearer Gleichungen herausfinden, mit anderen Worten, die Bedingungen für die Existenz einer fundamentalen Menge von Lösungen.

Ein homogenes System linearer Gleichungen hat Lösungen ungleich Null, d. h. es ist unbestimmt, wenn

1) der Rang der Hauptmatrix des Systems ist kleiner als die Anzahl der Unbekannten;

2) in einem homogenen System linearer Gleichungen ist die Anzahl der Gleichungen kleiner als die Anzahl der Unbekannten;

3) wenn in einem homogenen System linearer Gleichungen die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der Unbekannten ist und die Determinante der Hauptmatrix gleich Null ist (d.h. | EIN| = 0).

Beispiel 6.6. Bei welchem ​​Wert des Parameters a homogenes System linearer Gleichungen hat Lösungen ungleich Null?

Entscheidung. Lassen Sie uns die Hauptmatrix dieses Systems zusammenstellen und ihre Determinante finden: = = 1×(–1) 1+1 × = – a– 4. Die Determinante dieser Matrix ist gleich Null, wenn a = –4.

Antworten: –4.

7. Arithmetik n-dimensionaler Vektorraum

Grundlegendes Konzept

In den vorangegangenen Abschnitten sind wir bereits auf das Konzept einer Menge reeller Zahlen gestoßen, die in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet sind. Dies ist eine Zeilenmatrix (oder Spaltenmatrix) und eine Lösung für ein lineares Gleichungssystem mit n Unbekannt. Diese Informationen können zusammengefasst werden.

Definition 7.1. n-dimensionaler arithmetischer Vektor heißt eine geordnete Menge von n reale Nummern.

Meint a= (ein 1 , ein 2 , …, ein n), wo ein ichО R, ich = 1, 2, …, n ist die allgemeine Ansicht des Vektors. Anzahl n namens Abmessungen Vektor und die Zahlen a ich nannten ihn Koordinaten.

Zum Beispiel: a= (1, –8, 7, 4, ) ist ein fünfdimensionaler Vektor.

Alles bereit n-dimensionale Vektoren werden normalerweise als bezeichnet R n.

Definition 7.2. Zwei Vektoren a= (ein 1 , ein 2 , …, ein n) und b= (b 1 , b 2 , …, b n) der gleichen Dimension gleich genau dann, wenn ihre jeweiligen Koordinaten gleich sind, d. h. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Definition 7.3.Summe zwei n-dimensionale Vektoren a= (ein 1 , ein 2 , …, ein n) und b= (b 1 , b 2 , …, b n) heißt Vektor a + b= (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , …, a n+b n).

Definition 7.4. Arbeit reelle Zahl k pro Vektor a= (ein 1 , ein 2 , …, ein n) heißt Vektor k× a = (k×a 1 , k×a 2 , …, k×a n)

Definition 7.5. Vektor Über= (0, 0, …, 0) aufgerufen Null(oder Null-Vektor).

Es ist leicht zu überprüfen, dass die Aktionen (Operationen) der Addition von Vektoren und deren Multiplikation mit einer reellen Zahl die folgenden Eigenschaften haben: a, b, c Î R n, " k, lОR:

1) a + b = b + a;

2) a + (b+ c) = (a + b) + c;

3) a + Über = a;

4) a+ (–a) = Über;

5) 1× a = a, 1 Î R;

6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;

7) (k + l)× a = k× a + l× a;

8) k×( a + b) = k× a + k× b.

Definition 7.6. Ein Haufen R n mit den Operationen des Addierens von Vektoren und Multiplizieren mit einer darauf gegebenen reellen Zahl bezeichnet arithmetischer n-dimensionaler Vektorraum.