Fachmann für Staatshaushalt Bildungseinrichtung Teeli-Dorf der Republik Tuwa

Entwicklung einer Mathematikstunde

Unterrichtsthema:

„Homogene trigonometrische Gleichungen“

Lehrer: Oorzhak

Ailana Michailowna

Unterrichtsthema : „Homogene trigonometrische Gleichungen“(nach dem Lehrbuch von A.G. Mordkovich)

Gruppe : Meister des Pflanzenbaus, 1 Kurs

Unterrichtsart: Eine Lektion im Erlernen neuer Materialien.

Lernziele:

2. Entwickeln Sie logisches Denken, die Fähigkeit, Schlussfolgerungen zu ziehen, die Fähigkeit, die Ergebnisse durchgeführter Handlungen zu bewerten

3. Den Schülern Genauigkeit, Verantwortungsbewusstsein und die Erziehung positiver Lernmotive zu vermitteln

Unterrichtsausrüstung: Laptop, Projektor, Leinwand, Karten, Trigonometrie-Poster: Werte trigonometrischer Funktionen, Grundformeln der Trigonometrie.

Unterrichtsdauer: 45 Minuten.

Unterrichtsaufbau:

Während des Unterrichts.

1. Organisatorischer Moment (1 Minute)

Überprüfen Sie die Bereitschaft der Schüler für den Unterricht und hören Sie der diensthabenden Gruppe zu.

2. Aktualisierung des Grundwissens (3 Min.)

2.1. Hausaufgaben überprüfen.

Drei Studierende entscheiden an der Tafel Nr. 18.8 (c, d); Nr. 18.19. Der Rest der Studierenden führt ein Peer-Review durch.

3. Neues Material lernen (13 Min.)

3.1. Motivation der Studierenden.

Die Schüler werden gebeten, die Gleichungen zu benennen, die sie kennen und lösen können (Folie Nummer 1).

1) 3 cos 2 x - 3 cos x \u003d 0;

2) cos (x - 1) =;

3) 2 Sünde 2 x + 3 Sünde x \u003d 0;

4) 6 sin 2 x - 5 cos x + 5 = 0; 12

5) sin x cos x + cos² x = 0;

6) tg + 3ctg = 4.

7) 2sin x - 3cos x = 0;

8) sin 2 x + cos 2 x \u003d 0;

9) sin²x - 3sinx cos x + 2cos²x \u003d 0.

Die Schüler können die Lösung der Gleichungen 7-9 nicht benennen.

3.2. Erläuterung des neuen Themas.

Lehrer: Gleichungen, die Sie nicht lösen konnten, kommen in der Praxis recht häufig vor. Sie werden homogene trigonometrische Gleichungen genannt. Schreiben Sie das Thema der Lektion auf: „Homogene trigonometrische Gleichungen“. (Folie Nummer 2)

Definition homogener Gleichungen auf der Leinwand. (Folie Nummer 3)

Betrachten Sie eine Methode zur Lösung homogener trigonometrischer Gleichungen (Folie Nr. 4, 5)

Lösungsbeispiele analysieren

Beispiel 1 Lösen Sie die Gleichung 2sin x – 3cos x = 0; (Folie Nummer 6)

Dies ist eine homogene Gleichung ersten Grades. Wir dividieren beide Seiten der Gleichung Term für Term durch cos x , wir erhalten:

2tg x - 3 = 0

tg x =

x = arctg + πn , n Z.

Antwort: x \u003d arctg + π n, n Z.

Beispiel 2 . Lösen Sie die Gleichung sin 2 x + cos 2 x = 0; (Folie Nummer 7)

Dies ist eine homogene Gleichung ersten Grades. Wir dividieren beide Seiten der Gleichung Term für Term durch cos 2 x , wir erhalten:

tg2 x + 1 = 0

tg2 x = - 1

2x = arctg (-1) + πn, nZ.

2x = - + πn, nZ.

x = - + , n Z.

Antwort: x = - + , n Z.

Beispiel 3 . Lösen Sie die Gleichung sin²x - 3sinx cos x + 2cos²x \u003d 0. (Folie Nr. 8)

Jeder Term in der Gleichung hat den gleichen Grad. Dies ist eine homogene Gleichung zweiten Grades. Wir teilen beide Seiten der Gleichung Term für Term in cos auf 2 x ≠ 0, wir erhalten:

tg 2 x-3tg x+2 = 0. Lassen Sie uns eine neue Variable z = tg x einführen, wir erhalten

z 2 – 3z + 2 =0

z 1 = 1, z 2 = 2

also entweder tg x = 1 oder tg x = 2

4. Festigung des gelernten Materials (10 Min.)

Der Lehrer analysiert detailliert Beispiele mit schwachen Schülern an der Tafel, starke Schüler lösen diese selbstständig in Heften.

5. Differenziertes selbstständiges Arbeiten (15 Min.)

Der Lehrer gibt Karten mit Aufgaben auf drei Niveaus aus: Grundkenntnisse (A), Mittelstufe (B), Fortgeschrittene (C). Die Schüler entscheiden selbst, welche Level-Beispiele sie lösen möchten.

6. Zusammenfassung. Reflexion der pädagogischen Tätigkeit im Unterricht (2 Min.)

Beantworten Sie die Fragen:

Welche Arten trigonometrischer Gleichungen haben wir untersucht?

Wie wird eine homogene Gleichung ersten Grades gelöst?

Wie wird eine homogene Gleichung zweiten Grades gelöst?

Ich habe erfahren …

Ich habe gelernt …

Markieren Sie die gute Arbeit im Unterricht einzelner Schüler, setzen Sie Noten.

7. Hausaufgaben. (1 Minute)

Informieren Sie die Schüler über die Hausaufgaben und geben Sie eine kurze Einweisung in deren Umsetzung.

Nr. 18.12 (c, d), Nr. 18.24 (c, d), Nr. 18.27 (a)

Verweise:

Folie 2

„Homogene trigonometrische Gleichungen“

1. Eine Gleichung der Form a sin x + b cos x \u003d 0, wobei a ≠ 0, b ≠ 0, wird als homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades bezeichnet. 2. Eine Gleichung der Form a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x \u003d 0, wobei a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0, wird als homogene trigonometrische Gleichung zweiten Grades bezeichnet. Definition:

Ich graduiere a sinx + b cosx = 0, (a, b ≠ 0). Teilen Sie beide Teile der Gleichung Term für Term durch cosx ≠ 0. Wir erhalten: a tgx + b = 0 tgx = -b /a die einfachste trigonometrische Gleichung Bei Division der homogenen Gleichung a sinx + b cosx = 0 durch cos x ≠ 0 , gehen die Wurzeln dieser Gleichung nicht verloren. Methode zur Lösung homogener trigonometrischer Gleichungen

a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0. 1) Wenn a ≠ 0, dividiere beide Teile der Gleichung Term für Term durch cos ² x ≠0. Wir erhalten: a tg ² x + b tgx + c = 0, we Lösen Sie durch Einführung einer neuen Variablen z \u003d tgx 2) Wenn a \u003d 0, dann erhalten wir: b sinx cosx + c cos ² x \u003d 0, wir lösen durch Faktorisieren / Beim Teilen der homogenen Gleichung a sin ² x + b sinx cosx + c cos ² x \u003d 0 durch cos 2 x ≠ 0 gehen die Wurzeln dieser Gleichung nicht verloren. II. Grad

Dies ist eine homogene Gleichung ersten Grades. Teilen wir beide Teile der Gleichung Term für Term durch cos x, erhalten wir: Beispiel 1. Lösen Sie die Gleichung 2 sin x - 3 cos x \u003d 0

Dies ist eine homogene Gleichung ersten Grades. Teilen Sie beide Teile der Gleichung Term für Term durch cos 2 x , wir erhalten: Beispiel 2 . Lösen Sie die Gleichung sin 2 x + cos 2 x = 0

Jeder Term in der Gleichung hat den gleichen Grad. Dies ist eine homogene Gleichung zweiten Grades. Teilen wir beide Seiten der Gleichung Term für Term auf mit os 2 x ≠ 0, erhalten wir: Beispiel 3 . Lösen Sie die Gleichung sin ² x - 3 sin x cos x + 2 cos ² x = 0

Beantworten Sie die Fragen: - Welche Arten trigonometrischer Gleichungen haben wir untersucht? Wie löst man eine homogene Gleichung ersten Grades? Wie löst man eine homogene Gleichung zweiten Grades? Zusammenfassend

Ich habe gelernt ... - Ich habe gelernt ... Reflexion

Nr. 18.12 (c, d), Nr. 18.24 (c, d), Nr. 18.27 (a) Hausaufgaben.

Vielen Dank für die Lektion! Gute Leute!

Vorschau:

Selbstanalyse der Mathematikstunde des Lehrers Oorzhak A.M.

Gruppe : Meister des Pflanzenbaus, 1 Kurs.

Unterrichtsthema : Homogene trigonometrische Gleichungen.

Unterrichtsart : Lektion zum Erlernen neuer Materialien.

Lernziele:

1. Um die Fähigkeiten der Schüler zur Lösung homogener trigonometrischer Gleichungen zu verbessern, sollten Sie Methoden zur Lösung homogener Gleichungen mit grundlegendem und fortgeschrittenem Komplexitätsgrad in Betracht ziehen.

2. Entwickeln Sie logisches Denken, die Fähigkeit, Schlussfolgerungen zu ziehen und die Ergebnisse der durchgeführten Maßnahmen zu bewerten.

3. Den Schülern Genauigkeit, Verantwortungsbewusstsein und die Erziehung positiver Lernmotive zu vermitteln.

Der Unterricht wurde nach thematischer Planung durchgeführt. Das Unterrichtsthema spiegelt den theoretischen und praktischen Teil des Unterrichts wider und ist für die Studierenden verständlich. Alle Phasen des Unterrichts waren darauf ausgerichtet, diese Ziele unter Berücksichtigung der Besonderheiten der Gruppe zu erreichen.

Unterrichtsstruktur.

1. Der organisatorische Moment umfasste die Vororganisation der Gruppe, den mobilisierenden Beginn des Unterrichts, die Schaffung psychologischen Trostes und die Vorbereitung der Schüler auf die aktive und bewusste Aufnahme neuer Stoffe. Die Vorbereitung der Gruppe und jedes einzelnen Schülers wurde von mir visuell überprüft. Didaktische Aufgabe der Bühne: Ppositive Einstellung zum Unterricht.

2. Der nächste Schritt ist die Aktualisierung des Grundwissens der Studierenden. Die Hauptaufgabe dieser Phase besteht darin, das für das Studium neuer Materialien erforderliche Wissen im Gedächtnis der Schüler wiederherzustellen. Die Aktualisierung erfolgte in Form der Kontrolle der Hausaufgaben an der Tafel.

3. (Hauptphase des Unterrichts) Bildung neuen Wissens. In dieser Phase wurden folgende didaktische Aufgaben umgesetzt: Vermittlung der Wahrnehmung, des Verständnisses und des primären Auswendiglernens von Wissen und Handlungsweisen, Zusammenhängen und Zusammenhängen im Untersuchungsgegenstand.

Dies wurde erleichtert durch: die Schaffung einer Problemsituation, die Gesprächsmethode in Kombination mit dem Einsatz von IKT. Ein Indikator für die Wirksamkeit des Erlernens neuen Wissens durch die Studierenden ist die Richtigkeit der Antworten, das selbstständige Arbeiten und die aktive Beteiligung der Studierenden an der Arbeit.

4. Der nächste Schritt ist die Erstfixierung des Materials. Der Zweck besteht darin, Feedback zu erstellen, um Informationen über den Grad des Verständnisses des neuen Materials, die Vollständigkeit, die Richtigkeit seiner Aufnahme und die rechtzeitige Korrektur festgestellter Fehler zu erhalten. Dazu habe ich verwendet: die Lösung einfacher homogener trigonometrischer Gleichungen. Dabei wurden Aufgaben aus dem Lehrbuch verwendet, die den geforderten Lernergebnissen entsprechen. Die erste Konsolidierung des Materials erfolgte in einer Atmosphäre des guten Willens und der Zusammenarbeit. In dieser Phase arbeitete ich mit schwachen Schülern, der Rest entschied selbst, gefolgt von einer Selbstprüfung durch die Tafel.

5. Der nächste Moment der Lektion war die primäre Wissenskontrolle. Didaktische Aufgabe der Bühne: Offenlegung der Qualität und Beherrschung von Wissen und Handlungsmethoden sowie Sicherstellung ihrer Korrektur. Hier habe ich einen differenzierten Lernansatz umgesetzt und den Kindern eine Auswahl an Aufgaben auf drei Niveaus angeboten: Grundstufe (A), Mittelstufe (B), Fortgeschritten (C). Ich machte einen Umweg und markierte die Schüler, die sich für die Grundstufe entschieden hatten. Diese Schüler führten die Arbeit unter der Aufsicht des Lehrers durch.

6. Im nächsten Schritt – zusammenfassend – wurden die Aufgaben der Analyse und Bewertung des Erfolgs der Zielerreichung gelöst. Als Abschluss der Lektion führte ich gleichzeitig eine Reflexion der Bildungsaktivitäten durch. Die Studierenden lernten, homogene trigonometrische Gleichungen zu lösen. Es wurden Bewertungen abgegeben.

7. Die letzte Phase ist eine Hausaufgabe. Didaktische Aufgabe: Den Studierenden die Inhalte und Methoden der Hausaufgabenbearbeitung näherbringen. Gab kurze Anweisungen zu den Hausaufgaben.

Während des Unterrichts hatte ich die Möglichkeit, Lehr-, Entwicklungs- und Bildungsziele zu verwirklichen. Ich denke, dass dies dadurch erleichtert wurde, dass die Jungs von den ersten Minuten des Unterrichts an Aktivität zeigten. Sie waren bereit für die Wahrnehmung eines neuen Themas. Die Atmosphäre in der Gruppe war psychologisch günstig.




Das letzte Detail zur Lösung der Aufgaben C1 aus der Prüfung in Mathematik - Lösung homogener trigonometrischer Gleichungen. In dieser letzten Lektion erklären wir Ihnen, wie Sie diese lösen können.

Was sind diese Gleichungen? Schreiben wir sie allgemein auf.

$$a\sin x + b\cos x = 0,$$

wobei „a“ und „b“ einige Konstanten sind. Diese Gleichung wird als homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades bezeichnet.

Homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades

Um eine solche Gleichung zu lösen, müssen Sie sie durch „\cos x“ dividieren. Dann wird es die Form annehmen

$$\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))) a \tg x + b = 0.$$

Die Antwort auf eine solche Gleichung lässt sich leicht in Form des Arcus-Tangens schreiben.

Beachten Sie, dass „\cos x ≠0“ ist. Um dies zu überprüfen, setzen wir Null anstelle des Kosinus in die Gleichung ein und erhalten, dass der Sinus ebenfalls gleich Null sein muss. Sie können jedoch nicht gleichzeitig gleich Null sein, was bedeutet, dass der Kosinus nicht Null ist.

Einige Aufgaben der diesjährigen echten Prüfung wurden auf eine homogene trigonometrische Gleichung reduziert. Folgen Sie dem Link zu. Nehmen wir eine leicht vereinfachte Version des Problems.

Erstes Beispiel. Lösung einer homogenen trigonometrischen Gleichung ersten Grades

$$\sin x + \cos x = 0.$$

Teilen Sie durch „\cos x“.

$$\tg x + 1 = 0,$$

$$x = -\frac(\pi)(4)+\pi k.$$

Ich wiederhole, eine ähnliche Aufgabe stand in der Prüfung :) Natürlich müssen Sie noch die Wurzeln auswählen, aber auch das sollte keine besonderen Schwierigkeiten bereiten.

Kommen wir nun zum nächsten Gleichungstyp.

Homogene trigonometrische Gleichung zweiten Grades

Im Allgemeinen sieht es so aus:

$$a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x =0,$$

wobei „a, b, c“ einige Konstanten sind.

Solche Gleichungen werden durch Division durch „\cos^2 x“ (was wiederum ungleich Null ist) gelöst. Schauen wir uns gleich ein Beispiel an.

Zweites Beispiel. Lösung einer homogenen trigonometrischen Gleichung zweiten Grades

$$\sin^2 x - 2\sin x \, \cos x - 3\cos^2 x = 0.$$

Teilen Sie durch „\cos^2 x“.

$$(\tg)^2 x - 2\tg x -3 =0.$$

Ersetzen Sie „t = \tg x“.

$$t^2 - 2t -3 = 0,$$

$$t_1 = 3, \t_2 = -1.$$

Umgekehrter Ersatz

$$\tg x = 3, \text( oder ) \tg x = -1,$$

$$x = \arctan(3)+\pi k, \text( or ) x= -\frac(\pi)(4)+ \pi k.$$

Antwort erhalten.

Drittes Beispiel. Lösung einer homogenen trigonometrischen Gleichung zweiten Grades

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2.$$

Alles wäre gut, aber diese Gleichung ist nicht homogen – wir werden durch „-2“ auf der rechten Seite behindert. Was zu tun ist? Lassen Sie uns die grundlegende trigonometrische Identität verwenden und damit „-2“ schreiben.

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2(\sin^2 x + \cos^2 x ),$$

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x + 2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 0,$$

$$\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - \cos^2 x = 0.$$

Teilen Sie durch „\cos^2 x“.

$$(\tg)^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3) \tg x - 1 = 0,$$

Ersetzt `t= \tg x`.

$$t^2 + \frac(2\sqrt(2))(3) t - 1 = 0,$$

$$t_1 = \frac(\sqrt(3))(3),\ t_2 = -\sqrt(3).$$

Durch die umgekehrte Substitution erhalten wir:

$$\tg x = \frac(\sqrt(3))(3) \text( oder ) \tg x = -\sqrt(3).$$

$$x =-\frac(\pi)(3) + \pi k,\ x = \frac(\pi)(6)+ \pi k.$$

Dies ist das letzte Beispiel in diesem Tutorial.

Wie immer möchte ich Sie daran erinnern: Training ist unser Alles. Ganz gleich, wie brillant ein Mensch ist, seine Fähigkeiten werden sich ohne Training nicht entwickeln. Bei einer Prüfung ist dies voller Aufregung, Fehlern und Zeitverschwendung (führen Sie diese Liste selbst fort). Seien Sie unbedingt beschäftigt!

Trainingsaufgaben

Lösen Sie die Gleichungen:

• `10^(\sin x) = 2^(\sin x) \cdot 5^(-\cos x)`. Dies ist eine Aufgabe aus dem echten Einheitlichen Staatsexamen 2013. Niemand hat das Wissen über die Eigenschaften der Abschlüsse annulliert, aber wenn Sie es vergessen haben, gucken Sie;
• `\sqrt(3) \sin x + \sin^2 \frac(x)(2) = \cos^2 \frac(x)(2)`. Nützliche Formel aus der siebten Lektion.
• `\sqrt(3) \sin 2x + 3 \cos 2x = 0`.

Das ist alles. Und wie immer zum Schluss: Fragen in den Kommentaren stellen, Likes setzen, Videos schauen, lernen, wie man die Prüfung löst.

Heute beschäftigen wir uns mit homogenen trigonometrischen Gleichungen. Befassen wir uns zunächst mit der Terminologie: Was ist eine homogene trigonometrische Gleichung? Es weist folgende Eigenschaften auf:

1. es sollte mehrere Begriffe haben;
2. alle Begriffe müssen den gleichen Grad haben;
3. Alle in einer homogenen trigonometrischen Identität enthaltenen Funktionen müssen notwendigerweise das gleiche Argument haben.

Lösungsalgorithmus

Trennen Sie die Begriffe

Und wenn beim ersten Punkt alles klar ist, lohnt es sich, ausführlicher auf den zweiten Punkt einzugehen. Was bedeutet der gleiche Grad an Begriffen? Schauen wir uns die erste Aufgabe an:

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

Der erste Term in dieser Gleichung ist 3cosx 3\cos x. Beachten Sie, dass es hier nur eine trigonometrische Funktion gibt – cosx\cos x - und hier sind keine anderen trigonometrischen Funktionen vorhanden, daher ist der Grad dieses Termes 1. Das Gleiche gilt für die zweite - 5sinx 5 \ sin x - hier ist nur der Sinus vorhanden, d.h. der Grad dieses Termes ist ebenfalls gleich eins. Wir haben also eine Identität vor uns, die aus zwei Elementen besteht, von denen jedes eine trigonometrische Funktion enthält, und gleichzeitig nur eines. Dies ist eine Gleichung ersten Grades.

Kommen wir zum zweiten Ausdruck:

4Sünde2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

Der erste Term dieser Konstruktion ist 4Sünde2 X 4((\sin )^(2))x.

Jetzt können wir die folgende Lösung schreiben:

Sünde2 x=sinx⋅sinx

((\sin )^(2))x=\sin x\cdot \sin x

Mit anderen Worten: Der erste Term enthält zwei trigonometrische Funktionen, das heißt, sein Grad ist zwei. Befassen wir uns mit dem zweiten Element – sin2x\sin 2x. Erinnern Sie sich an die folgende Formel – die Doppelwinkelformel:

sin2x=2sinx⋅cosx

\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x

Und wieder haben wir in der resultierenden Formel zwei trigonometrische Funktionen – Sinus und Cosinus. Somit ist der Leistungswert dieses Konstruktionselements ebenfalls gleich zwei.

Kommen wir zum dritten Element – ​​3. Aus dem Mathematikkurs weiterführende Schule Wir erinnern uns, dass jede Zahl mit 1 multipliziert werden kann, also schreiben wir:

˜ 3=3⋅1

Und die Einheit, die die grundlegende trigonometrische Identität verwendet, kann in der folgenden Form geschrieben werden:

1=Sünde2 x⋅ cos2 X

1=((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x

Daher können wir 3 wie folgt umschreiben:

3=3(Sünde2 x⋅ cos2 X)=3Sünde2 x+3 cos2 X

3=3\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x \right)=3((\sin )^(2))x+3(( \cos )^(2))x

Somit wurde unser Term 3 in zwei Elemente aufgespalten, die jeweils homogen sind und einen zweiten Grad haben. Der Sinus im ersten Term kommt zweimal vor, der Cosinus im zweiten kommt ebenfalls zweimal vor. Somit kann 3 auch als Term mit einem Exponenten von zwei dargestellt werden.

Das Gleiche gilt für den dritten Ausdruck:

Sünde3 x+ Sünde2 xcosx=2 cos3 X

Werfen wir einen Blick darauf. Die erste Amtszeit - Sünde3 X((\sin )^(3))x ist eine trigonometrische Funktion dritten Grades. Das zweite Element ist Sünde2 xcosx((\sin )^(2))x\cos x.

Sünde2 ((\sin )^(2)) ist eine Verknüpfung mit einem Potenzwert von zwei multipliziert mit cosx\cos x ist der Term des ersten. Insgesamt hat auch der dritte Term einen Potenzwert von drei. Schließlich ist auf der rechten Seite ein weiterer Link - 2cos3 X 2((\cos )^(3))x ist ein Element dritten Grades. Somit haben wir eine homogene trigonometrische Gleichung dritten Grades.

Wir haben drei Identitäten unterschiedlichen Grades erfasst. Beachten Sie noch einmal den zweiten Ausdruck. Im ursprünglichen Eintrag hat eines der Mitglieder ein Argument 2x 2x. Wir sind gezwungen, dieses Argument loszuwerden, indem wir es gemäß der Formel des Sinus eines doppelten Winkels umwandeln, da alle in unserer Identität enthaltenen Funktionen notwendigerweise das gleiche Argument haben müssen. Und das ist eine Voraussetzung für homogene trigonometrische Gleichungen.

Wir verwenden die Formel der trigonometrischen Hauptidentität und schreiben die endgültige Lösung auf

Wir haben die Bedingungen herausgefunden und fahren mit der Lösung fort. Unabhängig vom Potenzexponenten erfolgt die Lösung derartiger Gleichungen immer in zwei Schritten:

1) beweisen Sie das

cosx≠0

\cos x\ne 0. Dazu genügt es, sich die Formel für die grundlegende trigonometrische Identität ins Gedächtnis zu rufen (Sünde2 x⋅ cos2 x=1)\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x=1 \right) und setze es in diese Formel ein cosx=0\cosx=0. Wir erhalten den folgenden Ausdruck:

Sünde2 x=1sinx=±1

\begin(align)& ((\sin )^(2))x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\end(align)

Ersetzen der erhaltenen Werte, d.h. statt cosx\cos x ist Null, und statt sinx\sin x - 1 oder -1, im Originalausdruck erhalten wir eine falsche numerische Gleichheit. Das ist der Grund dafür

cosx≠0

2) Der zweite Schritt folgt logisch aus dem ersten. Weil das

cosx≠0

\cos x\ne 0, wir dividieren beide Seiten unserer Konstruktion durch cosN X((\cos )^(n))x, wobei N n ist der Potenzexponent der homogenen trigonometrischen Gleichung. Was bringt uns das:

\[\begin(array)((35)(l))

sinxcosx=tgxcosxcosx=1

\begin(align)& \frac(\sin x)(\cos x)=tgx \\& \frac(\cos x)(\cos x)=1 \\\end(align) \\() \\ \end(array)\]

Dadurch reduziert sich unsere umständliche Anfangskonstruktion auf die Gleichung N n-Potenz bezüglich des Tangens, deren Lösung leicht durch eine Variablenänderung geschrieben werden kann. Das ist der ganze Algorithmus. Mal sehen, wie es in der Praxis funktioniert.

Wir lösen echte Probleme

Aufgabe 1

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

Wir haben bereits herausgefunden, dass es sich um eine homogene trigonometrische Gleichung mit einem Potenzexponenten gleich eins handelt. Lassen Sie uns das also zunächst einmal herausfinden cosx≠0\cos x\ne 0. Nehmen wir das Gegenteil an

cosx=0→sinx=±1

\cos x=0\to \sin x=\pm 1.

Setzen wir den resultierenden Wert in unseren Ausdruck ein, erhalten wir:

3⋅0+5⋅(±1)=0±5=0

\begin(align)& 3\cdot 0+5\cdot \left(\pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\\end(align)

Auf dieser Grundlage kann man das sagen cosx≠0\cos x\ne 0. Teilen Sie unsere Gleichung durch cosx\cos x, weil unser gesamter Ausdruck einen Potenzwert von eins hat. Wir bekommen:

3(cosxcosx) +5(sinxcosx) =0 3+5tgx=0tgx=− 3 5

\begin(align)& 3\left(\frac(\cos x)(\cos x) \right)+5\left(\frac(\sin x)(\cos x) \right)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac(3)(5) \\\end(align)

Da es sich hierbei nicht um einen Tabellenwert handelt, enthält die Antwort Folgendes: arctgx arctgx:

x=Bogen (−3 5 ) + πn,n∈Z

x=arctg\left(-\frac(3)(5) \right)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

Weil das arctg arctg arctg ist eine ungerade Funktion, wir können das „Minus“ aus dem Argument herausnehmen und es vor arctg setzen. Wir erhalten die endgültige Antwort:

x=−arctg 3 5 + πn,n∈Z

x=-arctg\frac(3)(5)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

Aufgabe Nr. 2

4Sünde2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

Wie Sie sich erinnern, müssen Sie einige Transformationen durchführen, bevor Sie mit der Lösung fortfahren. Wir führen Transformationen durch:

4Sünde2 x+2sinxcosx−3 (Sünde2 x+ cos2 X)=0 4Sünde2 x+2sinxcosx−3 Sünde2 x−3 cos2 x=0Sünde2 x+2sinxcosx−3 cos2 x=0

\begin(align)& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3\left(((\sin )^(2))x+((\cos )^(2 ))x \right)=0 \\& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\sin )^(2))x-3((\cos )^(2))x=0 \\& ((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\cos )^(2))x=0 \\\end (ausrichten)

Wir haben eine Struktur erhalten, die aus drei Elementen besteht. Im ersten Semester sehen wir Sünde2 ((\sin )^(2)), d. h. sein Potenzwert ist zwei. Im zweiten Term sehen wir sinx\sin x und cosx\cos x - wieder gibt es zwei Funktionen, sie werden multipliziert, sodass der Gesamtgrad wieder zwei ist. Im dritten Link sehen wir cos2 X((\cos )^(2))x – ähnlich dem ersten Wert.

Lasst uns das beweisen cosx=0\cos x=0 ist keine Lösung für diese Konstruktion. Nehmen Sie dazu das Gegenteil an:

\[\begin(array)((35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left(\pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \ \1=0 \\\end(array)\]

Das haben wir bewiesen cosx=0\cos x=0 kann keine Lösung sein. Wir gehen zum zweiten Schritt über – wir dividieren unseren gesamten Ausdruck durch cos2 X((\cos )^(2))x. Warum im Quadrat? Weil der Exponent dieser homogenen Gleichung gleich zwei ist:

Sünde2 Xcos2 X+2sinxcosxcos2 X−3=0 T G2 x+2tgx−3=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(2))x)(((\cos )^(2))x)+2\frac(\sin x\cos x)(((\ cos )^(2))x)-3=0 \\& t((g)^(2))x+2tgx-3=0 \\\end(align)

Kann dieser Ausdruck mit der Diskriminante gelöst werden? Natürlich kannst du. Aber ich schlage vor, mich an den umgekehrten Satz zum Satz von Vieta zu erinnern, und wir erhalten, dass dieses Polynom als zwei einfache Polynome dargestellt werden kann, nämlich:

(tgx+3) (tgx−1)=0tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Ztgx=1→x= π 4 + πk,k∈Z

\begin(align)& \left(tgx+3 \right)\left(tgx-1 \right)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\ text( )\!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(align)

Viele Studenten fragen sich, ob es sich lohnt, für jede Gruppe von Identitätslösungen separate Koeffizienten zu schreiben, oder ob man sich nicht die Mühe macht und überall den gleichen Koeffizienten schreibt. Persönlich denke ich, dass es besser und zuverlässiger ist, unterschiedliche Buchstaben zu verwenden, damit die Prüfer bei der Zulassung zu einer seriösen technischen Universität mit Zusatzprüfungen in Mathematik nichts an der Antwort bemängeln.

Aufgabe Nr. 3

Sünde3 x+ Sünde2 xcosx=2 cos3 X

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x=2((\cos )^(3))x

Wir wissen bereits, dass es sich um eine homogene trigonometrische Gleichung dritten Grades handelt, es sind keine besonderen Formeln erforderlich und wir müssen lediglich den Term übertragen 2cos3 X 2((\cos )^(3))x nach links. Umschreiben:

Sünde3 x+ Sünde2 xcosx−2 cos3 x=0

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x-2((\cos )^(3))x=0

Wir sehen, dass jedes Element drei trigonometrische Funktionen enthält, daher hat diese Gleichung einen Potenzwert von drei. Wir lösen es. Das müssen wir zunächst beweisen cosx=0\cos x=0 ist keine Wurzel:

\[\begin(array)((35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\end(array)\]

Setzen Sie diese Zahlen in unsere ursprüngliche Konstruktion ein:

(±1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0−0=0±1=0

\begin(align)& ((\left(\pm 1 \right))^(3))+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\end(align)

Somit, cosx=0\cos x=0 ist keine Lösung. Das haben wir bewiesen cosx≠0\cos x\ne 0. Nachdem wir dies nun bewiesen haben, dividieren wir unsere ursprüngliche Gleichung durch cos3 X((\cos )^(3))x. Warum in einem Würfel? Weil wir gerade bewiesen haben, dass unsere ursprüngliche Gleichung eine dritte Potenz hat:

Sünde3 Xcos3 X+Sünde2 xcosxcos3 X−2=0 T G3 x+t G2 x−2=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(3))x)(((\cos )^(3))x)+\frac(((\sin )^(2))x\ cos x)(((\cos )^(3))x)-2=0 \\& t((g)^(3))x+t((g)^(2))x-2=0 \\\end(align)

Lassen Sie uns eine neue Variable einführen:

tgx=t

Umschreiben der Struktur:

T3 +T2 −2=0

((t)^(3))+((t)^(2))-2=0

Wir haben eine kubische Gleichung. Wie man es löst? Als ich dieses Video-Tutorial gerade zusammenstellte, hatte ich zunächst vor, zunächst über die Zerlegung von Polynomen in Faktoren und andere Tricks zu sprechen. Aber in diesem Fall ist alles viel einfacher. Schauen Sie, unsere reduzierte Identität mit dem Term mit dem höchsten Grad ist 1. Außerdem sind alle Koeffizienten ganze Zahlen. Und das bedeutet, dass wir die Folgerung des Satzes von Bezout verwenden können, der besagt, dass alle Wurzeln Teiler der Zahl -2 sind, also ein freier Term.

Es stellt sich die Frage: Was wird durch -2 geteilt? Da 2 eine Primzahl ist, gibt es nicht so viele Möglichkeiten. Es können folgende Zahlen sein: 1; 2; -1; -2. Negative Wurzeln verschwinden sofort. Warum? Da beide im absoluten Wert größer als 0 sind, gilt: T3 ((t)^(3)) wird im Modul größer sein als T2 ((t)^(2)). Und da der Würfel eine ungerade Funktion ist, ist die Zahl im Würfel negativ und T2 ((t)^(2)) ist positiv, und diese ganze Konstruktion mit t=−1 t=-1 und t=−2 t=-2 wird nicht größer als 0 sein. Subtrahieren Sie -2 davon und erhalten Sie eine Zahl, die offensichtlich kleiner als 0 ist. Es bleiben nur 1 und 2 übrig. Ersetzen wir jede dieser Zahlen:

˜ t=1→ 1+1−2=0→0=0

˜t=1\to \text( )1+1-2=0\to 0=0

Wir haben die richtige numerische Gleichheit erhalten. Somit, t=1 t=1 ist die Wurzel.

t=2→8+4−2=0→10≠0

t=2\bis 8+4-2=0\bis 10\ne 0

t=2 t=2 ist keine Wurzel.

Nach dem Korollar und demselben Bezout-Theorem ist jedes Polynom, dessen Wurzel ist X0 ((x)_(0)), darstellen als:

Q(x)=(x= X0 )P(x)

Q(x)=(x=((x)_(0)))P(x)

In unserem Fall, als X x ist eine Variable T t, und in der Rolle X0 ((x)_(0)) ist eine Wurzel gleich 1. Wir erhalten:

T3 +T2 −2=(t−1)⋅P(t)

((t)^(3))+((t)^(2))-2=(t-1)\cdot P(t)

So finden Sie ein Polynom P (T) P\left(t\right)? Offensichtlich müssen Sie Folgendes tun:

P(t)= T3 +T2 −2 t−1

P(t)=\frac(((t)^(3))+((t)^(2))-2)(t-1)

Wir ersetzen:

T3 +T2 +0⋅t−2t−1=T2 +2t+2

\frac(((t)^(3))+((t)^(2))+0\cdot t-2)(t-1)=((t)^(2))+2t+2

Unser ursprüngliches Polynom wird also ohne Rest dividiert. Somit können wir unsere ursprüngliche Gleichheit wie folgt umschreiben:

(t−1)( T2 +2t+2)=0

(t-1)(((t)^(2))+2t+2)=0

Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Den ersten Faktor haben wir bereits berücksichtigt. Schauen wir uns den zweiten an:

T2 +2t+2=0

((t)^(2))+2t+2=0

Erfahrene Studenten haben wahrscheinlich bereits verstanden, dass diese Konstruktion keine Wurzeln hat, aber berechnen wir trotzdem die Diskriminante.

D=4−4⋅2=4−8=−4

D=4-4\cdot 2=4-8=-4

Die Diskriminante ist kleiner als 0, daher hat der Ausdruck keine Wurzeln. Insgesamt wurde die riesige Konstruktion auf die übliche Gleichheit reduziert:

\[\begin(array)((35)(l))

t=\text( )1 \\tgx=\text( )1 \\x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(array)\]

Abschließend möchte ich noch ein paar Anmerkungen zur letzten Aufgabe hinzufügen:

1. ob die Bedingung immer erfüllt sein wird cosx≠0\cos x\ne 0 und ob diese Prüfung überhaupt durchgeführt werden sollte. Natürlich nicht immer. In Fällen, in denen cosx=0\cos x=0 ist eine Lösung unserer Gleichheit, wir sollten sie aus Klammern entfernen, und dann bleibt eine vollwertige homogene Gleichung in Klammern.
2. Was ist die Division eines Polynoms durch ein Polynom? Tatsächlich beschäftigen sich die meisten Schulen nicht damit, und wenn die Schüler zum ersten Mal eine solche Struktur sehen, verspüren sie einen leichten Schock. Tatsächlich handelt es sich jedoch um eine einfache und schöne Technik, die die Lösung von Gleichungen höheren Grades erheblich erleichtert. Natürlich wird es noch ein eigenes Video-Tutorial geben, das ich demnächst veröffentlichen werde.

Wichtige Punkte

Homogene trigonometrische Gleichungen sind ein beliebtes Thema in verschiedenen Tests. Sie sind ganz einfach zu lösen – es genügt, einmal zu üben. Um zu verdeutlichen, wovon wir sprechen, führen wir eine neue Definition ein.

Eine homogene trigonometrische Gleichung ist eine Gleichung, bei der jeder Nicht-Null-Term aus der gleichen Anzahl trigonometrischer Faktoren besteht. Dies können Sinus, Cosinus oder Kombinationen davon sein – die Lösungsmethode ist immer die gleiche.

Der Grad einer homogenen trigonometrischen Gleichung ist die Anzahl der trigonometrischen Faktoren, die in Termen ungleich Null enthalten sind. Beispiele:

sinx+15 cos x=0

\sin x+15\text( cos )x=0 – Identität 1. Grades;

2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0

2\text( sin)2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 - 2. Grad;

sin3x+2sinxcos2x=0

\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 - 3. Grad;

sinx+cosx=1

\sin x+\cos x=1 - und diese Gleichung ist nicht homogen, da es rechts eine Einheit gibt - einen von Null verschiedenen Term, in dem es keine trigonometrischen Faktoren gibt;

sin2x+2sinx−3=0

\sin 2x+2\sin x-3=0 ist ebenfalls eine inhomogene Gleichung. Element sin2x\sin 2x - der zweite Grad (weil Sie sich das vorstellen können

sin2x=2sinxcosx

\sin 2x=2\sin x\cos x), 2sinx 2 \ sin x - der erste, und der Term 3 ist im Allgemeinen Null, da er weder Sinus noch Cosinus enthält.

Allgemeines Lösungsschema

Das Lösungsschema ist immer das gleiche:

Tun wir mal so cosx=0\cosx=0. Dann sinx=±1\sin x=\pm 1 – dies folgt aus der Hauptidentität. Ersatz sinx\sin x und cosx\cos x in den ursprünglichen Ausdruck ein, und wenn das Ergebnis Unsinn ist (z. B. der Ausdruck 5=0 5=0), gehe zum zweiten Punkt;

Wir dividieren alles durch die Potenz des Kosinus: cosx, cos2x, cos3x ... - hängt vom Potenzwert der Gleichung ab. Wir erhalten die übliche Gleichheit mit Tangenten, die nach der Ersetzung tgx=t erfolgreich gelöst wird.

tgx=tDie gefundenen Wurzeln sind die Antwort auf den ursprünglichen Ausdruck.

In diesem Artikel betrachten wir eine Methode zur Lösung homogener trigonometrischer Gleichungen.

Homogene trigonometrische Gleichungen haben die gleiche Struktur wie homogene Gleichungen anderer Art. Ich möchte Sie daran erinnern, wie man homogene Gleichungen zweiten Grades löst:

Betrachten Sie homogene Gleichungen der Form


Besonderheiten homogener Gleichungen:

a) alle Monome haben den gleichen Grad,

b) der freie Term ist gleich Null,

c) die Gleichung enthält Potenzen mit zwei verschiedenen Basen.

Homogene Gleichungen werden mit einem ähnlichen Algorithmus gelöst.

Um diese Art von Gleichung zu lösen, teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch (kann durch oder durch geteilt werden)

Aufmerksamkeit! Wenn Sie die rechte und linke Seite der Gleichung durch einen Ausdruck dividieren, der eine Unbekannte enthält, können Sie die Wurzeln verlieren. Daher muss überprüft werden, ob die Wurzeln des Ausdrucks, durch den wir beide Teile der Gleichung dividieren, die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung sind.

Wenn ja, dann schreiben wir diese Wurzel aus, damit wir sie später nicht vergessen, und dividieren dann durch diesen Ausdruck.

Wenn man eine Gleichung mit einer Null auf der rechten Seite löst, muss man im Allgemeinen zunächst versuchen, die linke Seite der Gleichung auf jede mögliche Weise zu faktorisieren. Und dann jeden Faktor auf Null setzen. In diesem Fall werden wir die Wurzeln definitiv nicht verlieren.

Teilen Sie also die linke Seite der Gleichung Term für Term sorgfältig in einen Ausdruck auf. Wir bekommen:



Reduzieren Sie Zähler und Nenner des zweiten und dritten Bruchs:



Lassen Sie uns einen Ersatz einführen:

Wir erhalten eine quadratische Gleichung:



Wir lösen die quadratische Gleichung, finden die Werte und kehren dann zur ursprünglichen Unbekannten zurück.

Beim Lösen homogener trigonometrischer Gleichungen sind einige wichtige Dinge zu beachten:

1. Der freie Term kann mithilfe der grundlegenden trigonometrischen Identität in das Quadrat von Sinus und Cosinus umgewandelt werden:

2. Sinus und Cosinus eines Doppelarguments sind Monome zweiten Grades – der Sinus eines Doppelarguments lässt sich leicht in das Produkt aus Sinus und Cosinus umwandeln und der Cosinus eines Doppelarguments in das Quadrat eines Sinus oder Cosinus :



Betrachten Sie mehrere Beispiele für die Lösung homogener trigonometrischer Gleichungen.

1 . Lösen wir die Gleichung:

Dies ist ein klassisches Beispiel für eine homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades: Der Grad jedes Monoms ist gleich eins, der freie Term ist gleich Null.

Bevor beide Seiten der Gleichung durch dividiert werden, muss überprüft werden, dass die Wurzeln der Gleichung nicht die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung sind. Überprüfen Sie: if , then title="sin(x)0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch.

Wir bekommen:

, Wo

, Wo

Antworten: , Wo

2. Lösen wir die Gleichung:

Dies ist ein Beispiel für eine homogene trigonometrische Gleichung zweiten Grades. Wir erinnern uns daran, dass es wünschenswert ist, die linke Seite der Gleichung zu faktorisieren. In dieser Gleichung können wir die Klammern entfernen. Lass es uns tun:





Lösung der ersten Gleichung: , wo

Die zweite Gleichung ist eine homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades. Um es zu lösen, teilen wir beide Seiten der Gleichung durch. Wir bekommen:



Antwort: Wo

3 . Lösen wir die Gleichung:

Um diese Gleichung homogen zu machen, wandeln wir sie in ein Produkt um und stellen die Zahl 3 als Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus dar:

Wir verschieben alle Begriffe nach links, öffnen die Klammern und geben gleiche Begriffe an. Wir bekommen:



Lassen Sie uns die linke Seite faktorisieren und jeden Faktor mit Null gleichsetzen:



Antwort: Wo

4 . Lösen wir die Gleichung:

Wir schauen, was wir einklammern können. Lass es uns tun:

Setzen Sie jeden Faktor auf Null:



Lösung der ersten Gleichung:

Die zweite Mengengleichung ist eine klassische homogene Gleichung zweiten Grades. Die Wurzeln der Gleichung sind nicht die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung, daher dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch:





Lösung der ersten Gleichung:

Lösung der zweiten Gleichung.

Nichtlineare Gleichungen in zwei Unbekannten

Definition 1 . Lass A etwas sein Menge von Zahlenpaaren (X; j). Man sagt, dass die Menge A gegeben ist numerische Funktion z aus zwei Variablen x und y, wenn eine Regel angegeben ist, mit deren Hilfe jedem Zahlenpaar aus der Menge A eine bestimmte Zahl zugeordnet wird.

Die Angabe einer numerischen Funktion z zweier Variablen x und y erfolgt häufig benennen So:

Wo F (X , j) - jede andere Funktion als die Funktion

F (X , j) = Axt+durch+c ,

wobei a, b, c gegebene Zahlen sind.

Definition 3 . Gleichung (2) Lösung Nennen Sie ein Zahlenpaar X; j) , für die Formel (2) eine echte Gleichheit ist.

Beispiel 1 . löse die Gleichung

Da das Quadrat jeder Zahl nicht negativ ist, folgt aus Formel (4), dass die Unbekannten x und y das Gleichungssystem erfüllen



Die Lösung davon ist ein Zahlenpaar (6; 3).

Antwort: (6; 3)

Beispiel 2 . löse die Gleichung

Daher lautet die Lösung für Gleichung (6). eine unendliche Anzahl von Zahlenpaaren Art

(1 + j ; j) ,

wobei y eine beliebige Zahl ist.

linear

Definition 4 . Lösen des Gleichungssystems



Nennen Sie ein Zahlenpaar X; j) Wenn wir sie in jede der Gleichungen dieses Systems einsetzen, erhalten wir die richtige Gleichheit.

Systeme aus zwei Gleichungen, von denen eine linear ist, haben die Form



G(X , j)

Beispiel 4 . Lösen Sie ein Gleichungssystem

Lösung . Drücken wir die Unbekannte y aus der ersten Gleichung des Systems (7) durch die Unbekannte x aus und setzen den resultierenden Ausdruck in die zweite Gleichung des Systems ein:





Lösen der Gleichung

X 1 = - 1 , X 2 = 9 .

Somit,

j 1 = 8 - X 1 = 9 ,
j 2 = 8 - X 2 = - 1 .





Systeme aus zwei Gleichungen, von denen eine homogen ist

Systeme aus zwei Gleichungen, von denen eine homogen ist, haben die Form



wobei a, b, c gegebene Zahlen sind, und G(X , j) ist eine Funktion zweier Variablen x und y .

Beispiel 6 . Lösen Sie ein Gleichungssystem

Lösung . Lösen wir die homogene Gleichung

3X 2 + 2xy - j 2 = 0 ,

3X 2 + 17xy + 10j 2 = 0 ,

Behandeln Sie es als quadratische Gleichung in Bezug auf die Unbekannte x:

.

Für den Fall, dass X = - 5j, aus der zweiten Gleichung des Systems (11) erhalten wir die Gleichung

5j 2 = - 20 ,

das keine Wurzeln hat.

Für den Fall, dass

Aus der zweiten Gleichung des Systems (11) erhalten wir die Gleichung

,

deren Wurzeln Zahlen sind j 1 = 3 , j 2 = - 3 . Finden wir für jeden dieser Werte y den entsprechenden Wert x , erhalten wir zwei Lösungen des Systems: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

Antwort: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)

Beispiele für die Lösung von Gleichungssystemen anderer Art

Beispiel 8 . Lösen Sie das Gleichungssystem (MIPT)

Lösung . Wir führen neue Unbekannte u und v ein, die durch x und y durch die Formeln ausgedrückt werden:

Um System (12) in Bezug auf neue Unbekannte umzuschreiben, drücken wir zunächst die Unbekannten x und y durch u und v aus. Aus System (13) folgt das

Wir lösen das lineare System (14), indem wir die Variable x aus der zweiten Gleichung dieses Systems ausschließen. Zu diesem Zweck führen wir die folgenden Transformationen auf System (14) durch:

• wir lassen die erste Gleichung des Systems unverändert;
• Subtrahieren Sie die erste Gleichung von der zweiten Gleichung und ersetzen Sie die zweite Gleichung des Systems durch die resultierende Differenz.

Dadurch wird System (14) in ein äquivalentes System umgewandelt



daraus finden wir

Unter Verwendung der Formeln (13) und (15) schreiben wir das ursprüngliche System (12) um als

Die erste Gleichung des Systems (16) ist linear, daher können wir die Unbekannte u daraus durch die Unbekannte v ausdrücken und diesen Ausdruck in die zweite Gleichung des Systems einsetzen.