Wir listen die Integrale elementarer Funktionen auf, die manchmal tabellarisch genannt werden:

Jede der obigen Formeln kann bewiesen werden, indem die Ableitung der rechten Seite genommen wird (als Ergebnis wird der Integrand erhalten).

Integrationsmethoden

Betrachten wir einige grundlegende Methoden der Integration. Diese beinhalten:

1. Zersetzungsmethode(direkte Einbindung).

Diese Methode basiert auf der direkten Anwendung von Tabellenintegralen sowie auf der Anwendung der Eigenschaften 4 und 5 des unbestimmten Integrals (d.h. Herausnehmen des konstanten Faktors aus der Klammer und/oder Darstellung des Integranden als Summe von Funktionen - Erweitern des Integranden in Terme).

Beispiel 1 Um beispielsweise (dx/x 4) zu finden, können Sie direkt das Tabellenintegral für x n dx verwenden. Tatsächlich ist (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Sehen wir uns noch ein paar weitere Beispiele an.

Beispiel 2 Um zu finden, verwenden wir dasselbe Integral:

Beispiel 3 Um zu finden, müssen Sie nehmen

Beispiel 4 Um zu finden, stellen wir den Integranden in der Form dar und verwenden Sie das Tabellenintegral für die Exponentialfunktion:

Erwägen Sie die Verwendung von Klammern für den konstanten Faktor.

Beispiel 5Lassen Sie uns zum Beispiel finden . In Anbetracht dessen bekommen wir

Beispiel 6 Lass uns finden. Soweit verwenden wir das Tabellenintegral Werden

In den folgenden beiden Beispielen können Sie auch Klammern und Tabellenintegrale verwenden:

Beispiel 7

(wir verwenden und );

Beispiel 8

(wir gebrauchen und ).

Betrachten Sie komplexere Beispiele, die das Summenintegral verwenden.

Beispiel 9 Lassen Sie uns zum Beispiel finden
. Um die Erweiterungsmethode im Zähler anzuwenden, verwenden wir die Würfelsummenformel  und dividieren dann das resultierende Polynom Term für Term durch den Nenner.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Es sollte beachtet werden, dass am Ende der Lösung eine gemeinsame Konstante C geschrieben wird (und nicht getrennte, wenn jeder Term integriert wird). In Zukunft wird auch vorgeschlagen, die Konstanten bei der Integration einzelner Terme im Lösungsprozess wegzulassen, solange der Ausdruck mindestens ein unbestimmtes Integral enthält (eine Konstante schreiben wir am Ende der Lösung).

Beispiel 10 Lass uns finden . Um dieses Problem zu lösen, faktorisieren wir den Zähler (danach können wir den Nenner reduzieren).

Beispiel 11. Lass uns finden. Hier können trigonometrische Identitäten verwendet werden.

Manchmal müssen Sie komplexere Techniken anwenden, um einen Ausdruck in Begriffe zu zerlegen.

Beispiel 12. Lass uns finden . Im Integranden wählen wir den ganzzahligen Teil des Bruchs . Dann

Beispiel 13 Lass uns finden

2. Variablenersetzungsverfahren (Substitutionsverfahren)

Das Verfahren basiert auf folgender Formel: f(x)dx=f((t))`(t)dt, wobei x =(t) eine nach dem betrachteten Intervall differenzierbare Funktion ist.

Nachweisen. Lassen Sie uns die Ableitungen in Bezug auf die Variable t aus dem linken und rechten Teil der Formel finden.

Beachten Sie, dass es auf der linken Seite eine komplexe Funktion gibt, deren Zwischenargument x = (t) ist. Um es also nach t zu differenzieren, differenzieren wir zuerst das Integral nach x und nehmen dann die Ableitung des Zwischenarguments nach t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Ableitung der rechten Seite:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Da diese Ableitungen gleich sind, unterscheiden sich nach einer Folge des Satzes von Lagrange der linke und der rechte Teil der zu beweisenden Formel um eine Konstante. Da die unbestimmten Integrale selbst bis auf einen unbestimmten konstanten Term definiert sind, kann diese Konstante in der endgültigen Notation weggelassen werden. Bewährt.

Ein erfolgreicher Variablenwechsel ermöglicht es uns, das ursprüngliche Integral zu vereinfachen und im einfachsten Fall auf ein tabellarisches zu reduzieren. Bei der Anwendung dieses Verfahrens werden die Verfahren der linearen und nichtlinearen Substitution unterschieden.

a) Lineare Substitutionsmethode Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel 1
. Lett= 1 – 2x, dann

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Zu beachten ist, dass die neue Variable nicht explizit ausgeschrieben werden muss. Man spricht in solchen Fällen von der Transformation einer Funktion unter dem Vorzeichen des Differentials oder von der Einführung von Konstanten und Variablen unter dem Vorzeichen des Differentials, d.h. Über implizite Variablensubstitution.

Beispiel 2 Lassen Sie uns zum Beispiel cos(3x + 2)dx finden. Durch die Eigenschaften des Differentials dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), dann giltcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

In beiden betrachteten Beispielen wurde die lineare Substitution t=kx+b(k0) verwendet, um die Integrale zu finden.

Im allgemeinen Fall gilt der folgende Satz.

Linearer Substitutionssatz. Sei F(x) eine Stammfunktion für die Funktion f(x). Dannf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, wobei k und b einige Konstanten sind, k0.

Nachweisen.

Per Definition des Integrals f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Wir nehmen den konstanten Faktor k für das Integralzeichen heraus: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Nun können wir den linken und rechten Teil der Gleichheit durch k dividieren und erhalten die zu beweisende Behauptung bis zur Notation eines konstanten Gliedes.

Dieser Satz besagt, dass wenn der Ausdruck (kx+b) in die Definition des Integrals f(x)dx= F(x) + C eingesetzt wird, dies dazu führt, dass ein zusätzlicher Faktor 1/k davor erscheint des Antiderivativs.

Unter Verwendung des bewiesenen Theorems lösen wir die folgenden Beispiele.

Beispiel 3

Lass uns finden . Hier kx+b= 3 –x, also k= -1,b= 3. Dann

Beispiel 4

Lass uns finden. Hier kx+b= 4x+ 3, also k= 4,b= 3. Dann

Beispiel 5

Lass uns finden . Hier kx+b= -2x+ 7, also k= -2,b= 7. Dann

.

Beispiel 6 Lass uns finden
. Hier ist kx+b= 2x+ 0, also k= 2,b= 0.

.

Vergleichen wir das erhaltene Ergebnis mit Beispiel 8, das mit der Zerlegungsmethode gelöst wurde. Als wir das gleiche Problem mit einer anderen Methode lösten, bekamen wir die Antwort
. Vergleichen wir die Ergebnisse: Somit unterscheiden sich diese Ausdrücke durch einen konstanten Term voneinander , d.h. die eingegangenen Antworten widersprechen sich nicht.

Beispiel 7 Lass uns finden
. Wir wählen im Nenner ein ganzes Quadrat aus.

In einigen Fällen reduziert die Änderung der Variablen das Integral nicht direkt auf ein tabellarisches Integral, kann aber die Lösung vereinfachen, indem sie es ermöglicht, im nächsten Schritt die Zerlegungsmethode anzuwenden.

Beispiel 8 Lassen Sie uns zum Beispiel finden . Ersetze t=x+ 2, dann dt=d(x+ 2) =dx. Dann

,

wo C \u003d C 1 - 6 (wenn wir anstelle von t den Ausdruck (x + 2) ersetzen, erhalten wir anstelle der ersten beiden Terme ½x 2 -2x - 6).

Beispiel 9 Lass uns finden
. Sei t= 2x+ 1, dann dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Wir ersetzen den Ausdruck (2x + 1) anstelle von t, öffnen die Klammern und geben ähnliche an.

Beachten Sie, dass wir im Prozess der Transformationen zu einem anderen konstanten Begriff übergegangen sind, weil die Gruppe der konstanten Terme im Transformationsprozess könnte weggelassen werden.

b) Methode der nichtlinearen Substitution Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel 1
. Sei t= -x 2 . Außerdem könnte man x durch t ausdrücken, dann einen Ausdruck für dx finden und eine Variablenänderung in das gewünschte Integral implementieren. Aber in diesem Fall ist es einfacher, es anders zu machen. Finde dt=d(-x 2) = -2xdx. Beachten Sie, dass der Ausdruck xdx ein Faktor des Integranden des gewünschten Integrals ist. Wir drücken es aus der resultierenden Gleichheit xdx= - ½dt aus. Dann

Grundformeln und Integrationsmethoden. Summen- oder Differenzintegrationsregel. Entfernen der Konstante aus dem Integralzeichen. Variablenersetzungsmethode. Die Formel für die partielle Integration. Ein Beispiel für eine Problemlösung.

Die vier wichtigsten Integrationsmethoden sind unten aufgeführt.

1) Summen- oder Differenzintegrationsregel.
.
Hier und im Folgenden sind u, v, w Funktionen der Integrationsvariablen x .

2) Entfernen der Konstante aus dem Integralzeichen.
Sei c eine von x unabhängige Konstante. Dann kann es aus dem Integralzeichen herausgenommen werden.

3) Variablenersetzungsmethode.
Betrachten Sie das unbestimmte Integral.
Wenn es möglich ist, eine solche Funktion φ zu wählen (x) von x also
,
dann haben wir nach Änderung der Variablen t = φ(x)
.

4) Die Formel für die partielle Integration.
,
wobei u und v Funktionen der Integrationsvariablen sind.

Das ultimative Ziel der Berechnung unbestimmter Integrale besteht darin, das gegebene Integral durch Transformationen auf die einfachsten Integrale zu bringen, die Tabellenintegrale genannt werden. Tabellenintegrale werden in Form von elementaren Funktionen unter Verwendung wohlbekannter Formeln ausgedrückt.
Siehe Tabelle der Integrale >>>

Beispiel

Unbestimmtes Integral berechnen

Entscheidung

Beachten Sie, dass der Integrand die Summe und Differenz von drei Termen ist:
, und .
Wir wenden die Methode an 1 .

Weiterhin bemerken wir, dass die Integranden der neuen Integrale mit den Konstanten multipliziert werden 5, 4, und 2 , bzw. Wir wenden die Methode an 2 .

In der Integraltabelle finden wir die Formel
.
Einstellung n = 2 , finden wir das erste Integral.

Schreiben wir das zweite Integral in die Form um
.
Das merken wir. Dann

Wenden wir die dritte Methode an. Wir nehmen die Änderung der Variablen t = φ vor (x) = log x.
.
In der Integraltabelle finden wir die Formel

Da die Integrationsvariable mit einem beliebigen Buchstaben bezeichnet werden kann, dann

Schreiben wir das dritte Integral in die Form um
.
Wir wenden die Formel für die partielle Integration an.
Lassen .
Dann
;
;

;
;
.

Auf dieser Seite finden Sie:

1. Eigentlich die Stammfunktionstabelle - sie kann im PDF-Format heruntergeladen und ausgedruckt werden;

2. Video zur Verwendung dieser Tabelle;

3. Eine Reihe von Beispielen zur Berechnung der Stammfunktion aus verschiedenen Lehrbüchern und Tests.

Im Video selbst werden wir viele Probleme analysieren, bei denen Sie Stammfunktionen berechnen müssen, die oft recht komplex sind, aber vor allem keine Potenzgesetze sind. Alle in der oben vorgeschlagenen Tabelle zusammengefassten Funktionen müssen wie Ableitungen auswendig bekannt sein. Ohne sie ist ein weiteres Studium der Integrale und ihre Anwendung zur Lösung praktischer Probleme unmöglich.

Heute beschäftigen wir uns weiter mit Primitives und gehen zu einem etwas komplexeren Thema über. Wenn wir letztes Mal Stammfunktionen nur von Potenzfunktionen und etwas komplexeren Strukturen betrachtet haben, werden wir heute Trigonometrie und vieles mehr analysieren.

Wie ich in der letzten Lektion gesagt habe, werden Stammfunktionen im Gegensatz zu Derivaten niemals mit Standardregeln "leer" gelöst. Die schlechte Nachricht ist außerdem, dass die Stammfunktion im Gegensatz zur Ableitung möglicherweise überhaupt nicht berücksichtigt wird. Wenn wir eine völlig zufällige Funktion schreiben und versuchen, ihre Ableitung zu finden, dann wird uns das mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit gelingen, aber die Stammfunktion wird in diesem Fall fast nie berechnet. Aber es gibt gute Nachrichten: Es gibt eine ziemlich große Klasse von Funktionen, die Elementarfunktionen genannt werden, deren Stammfunktionen sehr einfach zu berechnen sind. Und alle anderen komplexeren Konstruktionen, die bei verschiedenen Kontroll-, Selbstständigen- und Prüfungen gegeben werden, bestehen tatsächlich aus diesen elementaren Funktionen durch Addieren, Subtrahieren und andere einfache Aktionen. Die Stammfunktionen solcher Funktionen werden seit langem berechnet und in speziellen Tabellen zusammengefasst. Mit solchen Funktionen und Tabellen werden wir heute arbeiten.

Aber wir beginnen wie immer mit einer Wiederholung: Denken Sie daran, was eine Stammfunktion ist, warum es unendlich viele davon gibt und wie man ihre allgemeine Form bestimmt. Dazu habe ich mir zwei einfache Aufgaben vorgenommen.

Einfache Beispiele lösen

Beispiel 1

Beachten Sie sofort, dass $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ und das Vorhandensein von $\text( )\!\!\pi\!\! \ text( )$ weist uns sofort darauf hin, dass die erforderliche Stammfunktion der Funktion mit der Trigonometrie verwandt ist. Und tatsächlich, wenn wir uns die Tabelle ansehen, stellen wir fest, dass $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ nichts anderes ist als $\text(arctg)x$. Schreiben wir also:

Um zu finden, müssen Sie Folgendes schreiben:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Beispiel #2

Hier auch wir redenüber trigonometrische Funktionen. Wenn wir uns die Tabelle ansehen, dann wird es tatsächlich so aussehen:

Wir müssen unter allen Stammfunktionen diejenige finden, die durch den angegebenen Punkt verläuft:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Schreiben wir es endlich auf:

So einfach ist das. Das einzige Problem ist, dass Sie, um die Stammfunktionen einfacher Funktionen zu zählen, die Tabelle der Stammfunktionen lernen müssen. Nachdem ich jedoch die Ableitungstabelle für Sie gelernt habe, denke ich, dass dies kein Problem sein wird.

Lösen von Problemen, die eine Exponentialfunktion enthalten

Beginnen wir mit dem Schreiben der folgenden Formeln:

\[((e)^(x))\bis ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\nach \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Mal sehen, wie das alles in der Praxis funktioniert.

Beispiel 1

Wenn wir uns den Inhalt der Klammern ansehen, werden wir feststellen, dass es in der Tabelle der Stammfunktionen keinen solchen Ausdruck gibt, dass $((e)^(x))$ in einem Quadrat steht, also muss dieses Quadrat geöffnet werden. Dazu verwenden wir die abgekürzten Multiplikationsformeln:

Lassen Sie uns die Stammfunktion für jeden der Terme finden:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((z )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Und jetzt sammeln wir alle Terme in einem einzigen Ausdruck und erhalten eine gemeinsame Stammfunktion:

Beispiel #2

Diesmal ist der Exponent bereits größer, daher wird die abgekürzte Multiplikationsformel ziemlich kompliziert. Erweitern wir die Klammern:

Versuchen wir nun, die Stammfunktion unserer Formel aus dieser Konstruktion zu entnehmen:

Wie Sie sehen können, gibt es in den Stammfunktionen der Exponentialfunktion nichts Kompliziertes und Übernatürliches. All one wird durch Tabellen berechnet, aufmerksame Schüler werden jedoch sicherlich feststellen, dass die Stammfunktion $((e)^(2x))$ viel näher an $((e)^(x))$ liegt als an $((a )^(x))$. Vielleicht gibt es also eine speziellere Regel, die es erlaubt, $((e)^(2x))$ zu finden, wenn man die Stammfunktion $((e)^(x))$ kennt? Ja, es gibt eine solche Regel. Und darüber hinaus ist es ein wesentlicher Bestandteil der Arbeit mit der Stammfunktionstabelle. Wir werden es jetzt anhand derselben Ausdrücke analysieren, mit denen wir gerade als Beispiel gearbeitet haben.

Regeln für die Arbeit mit der Stammfunktionstabelle

Schreiben wir unsere Funktion um:

Im vorherigen Fall haben wir die folgende Formel zur Lösung verwendet:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

Aber jetzt machen wir es etwas anders: Denken Sie daran, auf welcher Basis $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Wie bereits gesagt, weil die Ableitung von $((e)^(x))$ nichts anderes als $((e)^(x))$ ist, ist ihre Stammfunktion gleich $((e) ^( x))$. Aber das Problem ist, dass wir $((e)^(2x))$ und $((e)^(-2x))$ haben. Versuchen wir nun, die Ableitung $((e)^(2x))$ zu finden:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Schreiben wir unsere Konstruktion noch einmal um:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

Und das bedeutet, wenn wir die Stammfunktion $((e)^(2x))$ finden, erhalten wir Folgendes:

\[((e)^(2x))\zu \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Wie Sie sehen können, haben wir dasselbe Ergebnis wie zuvor erhalten, aber wir haben die Formel nicht verwendet, um $((a)^(x))$ zu finden. Das mag jetzt dumm erscheinen: Warum komplizierte Berechnungen, wenn es eine Standardformel gibt? Bei etwas komplexeren Ausdrücken werden Sie jedoch feststellen, dass diese Technik sehr effektiv ist, d.h. Verwendung von Derivaten, um Stammfunktionen zu finden.

Lassen Sie uns zum Aufwärmen die Stammfunktion von $((e)^(2x))$ auf ähnliche Weise finden:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

Bei der Berechnung wird unsere Konstruktion wie folgt geschrieben:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Wir haben genau das gleiche Ergebnis erzielt, sind aber in die andere Richtung gegangen. Dieser Weg, der uns jetzt etwas komplizierter erscheint, wird in Zukunft effizienter sein, um komplexere Stammfunktionen zu berechnen und Tabellen zu verwenden.

Beachten Sie! Dies ist ein sehr wichtiger Punkt: Stammfunktionen können wie Derivate auf viele verschiedene Arten gezählt werden. Wenn jedoch alle Berechnungen und Berechnungen gleich sind, ist die Antwort dieselbe. Das haben wir gerade am Beispiel von $((e)^(-2x))$ sichergestellt - zum einen haben wir diese Stammfunktion „durchgehend“ berechnet, indem wir die Definition verwendet und mit Hilfe von Transformationen berechnet haben, zum anderen Andererseits haben wir uns daran erinnert, dass $ ((e)^(-2x))$ als $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ dargestellt werden kann und dann Verwenden Sie die Stammfunktion für die Funktion $( (a)^(x))$. Nach all den Transformationen ist das Ergebnis jedoch das gleiche wie erwartet.

Und jetzt, wo wir das alles verstehen, ist es an der Zeit, zu etwas Wesentlicherem überzugehen. Jetzt werden wir zwei einfache Konstruktionen analysieren, aber die Technik, die zu ihrer Lösung festgelegt wird, ist ein mächtigeres und nützlicheres Werkzeug als ein einfaches „Laufen“ zwischen benachbarten Stammfunktionen aus der Tabelle.

Problemlösung: Finden Sie die Stammfunktion einer Funktion

Beispiel 1

Geben Sie den Betrag in den Zählern an und zerlegen Sie ihn in drei getrennte Brüche:

Dies ist ein ziemlich natürlicher und verständlicher Übergang - die meisten Schüler haben damit keine Probleme. Schreiben wir unseren Ausdruck wie folgt um:

Erinnern wir uns nun an diese Formel:

In unserem Fall erhalten wir Folgendes:

Um all diese dreistöckigen Brüche loszuwerden, schlage ich vor, Folgendes zu tun:

Beispiel #2

Anders als beim vorherigen Bruch ist der Nenner nicht das Produkt, sondern die Summe. In diesem Fall können wir unseren Bruch nicht mehr durch die Summe mehrerer einfacher Brüche dividieren, sondern müssen irgendwie versuchen sicherzustellen, dass der Zähler ungefähr den gleichen Ausdruck enthält wie der Nenner. In diesem Fall ist es ziemlich einfach:

Eine solche Notation, die in der Sprache der Mathematik "Addieren von Nullen" genannt wird, ermöglicht es uns, den Bruch erneut in zwei Teile zu teilen:

Lassen Sie uns nun finden, wonach wir gesucht haben:

Das sind alle Berechnungen. Trotz der offensichtlich größeren Komplexität als bei der vorherigen Aufgabe fiel der Rechenaufwand noch geringer aus.

Nuancen der Lösung

Und hier liegt die Hauptschwierigkeit bei der Arbeit mit tabellarischen Primitiven, dies macht sich besonders bei der zweiten Aufgabe bemerkbar. Tatsache ist, dass wir, um einige Elemente auszuwählen, die sich leicht durch die Tabelle zählen lassen, genau wissen müssen, wonach wir suchen, und in der Suche nach diesen Elementen besteht die gesamte Berechnung der Stammfunktionen.

Mit anderen Worten, es reicht nicht aus, sich nur die Tabelle der Stammfunktionen zu merken - Sie müssen in der Lage sein, etwas zu sehen, das noch nicht da ist, sondern was der Autor und Compiler dieses Problems gemeint hat. Deshalb streiten sich viele Mathematiker, Lehrer und Professoren ständig: „Was ist Stammfunktion oder Integration – ist es nur ein Werkzeug oder ist es echte Kunst?“ Tatsächlich ist Integration meiner persönlichen Meinung nach überhaupt keine Kunst - es ist nichts Erhabenes darin, es ist nur Übung und nochmals Übung. Und zur Übung lösen wir drei ernstere Beispiele.

Integration in der Praxis üben

Aufgabe 1

Lassen Sie uns die folgenden Formeln schreiben:

\[((x)^(n))\zu \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\bis \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Schreiben wir folgendes:

Aufgabe Nr. 2

Schreiben wir es wie folgt um:

Die Gesamtstammfunktion ist gleich:

Aufgabe Nr. 3

Die Komplexität dieser Aufgabe liegt darin, dass im Gegensatz zu den vorherigen Funktionen keine Variable $x$ darüber steht, d.h. Uns ist nicht klar, was wir addieren oder subtrahieren sollen, um zumindest etwas Ähnliches wie unten zu erhalten. Tatsächlich wird dieser Ausdruck jedoch als noch einfacher angesehen als jeder Ausdruck aus den vorherigen Konstrukten, da diese Funktion wie folgt umgeschrieben werden kann:

Sie fragen sich jetzt vielleicht: Warum sind diese Funktionen gleich? Lass uns das Prüfen:

Schreiben wir nochmal um:

Ändern wir unseren Ausdruck ein wenig:

Und wenn ich das alles meinen Schülern erkläre, taucht fast immer das gleiche Problem auf: Bei der ersten Funktion ist alles mehr oder weniger klar, bei der zweiten kann man mit Glück oder Übung auch herausfinden, aber was für ein alternatives Bewusstsein tun müssen Sie haben, um das dritte Beispiel zu lösen? Eigentlich keine Angst. Die Technik, die wir bei der Berechnung der letzten Stammfunktion verwendet haben, heißt „Zerlegen einer Funktion in die einfachste Funktion“, und dies ist eine sehr ernsthafte Technik, und ihr wird eine separate Videolektion gewidmet.

In der Zwischenzeit schlage ich vor, auf das eben Gelernte, nämlich Exponentialfunktionen, zurückzukommen und die Aufgaben inhaltlich etwas zu verkomplizieren.

Komplexere Probleme zur Lösung von Stammfunktionsfunktionen

Aufgabe 1

Beachte das Folgende:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Um die Stammfunktion dieses Ausdrucks zu finden, verwenden Sie einfach die Standardformel $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

In unserem Fall sieht das Primitiv so aus:

Vor dem Hintergrund der Konstruktion, die wir gerade gelöst haben, sieht diese natürlich einfacher aus.

Aufgabe Nr. 2

Auch hier ist leicht zu erkennen, dass diese Funktion leicht in zwei getrennte Terme zu unterteilen ist – zwei getrennte Brüche. Schreiben wir um:

Es bleibt, die Stammfunktion jedes dieser Begriffe gemäß der obigen Formel zu finden:

Trotz der scheinbar größeren Komplexität von Exponentialfunktionen im Vergleich zu Potenzfunktionen stellte sich der Gesamtaufwand an Berechnungen und Berechnungen als viel einfacher heraus.

Natürlich mag für sachkundige Studierende das gerade Behandelte (insbesondere vor dem Hintergrund des zuvor Behandelten) als elementare Ausdrücke erscheinen. Mit der Auswahl dieser beiden Aufgaben für das heutige Video-Tutorial habe ich mir jedoch nicht das Ziel gesetzt, Ihnen einen weiteren komplexen und ausgefallenen Trick zu verraten – ich wollte Ihnen nur zeigen, dass Sie keine Angst haben sollten, Standard-Algebra-Tricks zu verwenden, um die ursprünglichen Funktionen zu transformieren .

Mit der "geheimen" Technik

Abschließend möchte ich eine weitere interessante Technik analysieren, die einerseits über das hinausgeht, was wir heute hauptsächlich analysiert haben, andererseits aber erstens keineswegs kompliziert, d.h. selbst unerfahrene Schüler können es beherrschen, und zweitens findet es sich häufig in allen Arten von kontrollierter und unabhängiger Arbeit, d.h. es zu wissen, wird zusätzlich zur Kenntnis der Stammfunktionstabelle sehr nützlich sein.

Aufgabe 1

Offensichtlich haben wir etwas, das einer Potenzfunktion sehr ähnlich ist. Wie sollen wir in diesem Fall vorgehen? Denken wir darüber nach: $x-5$ unterscheidet sich nicht so sehr von $x$ - es wurden nur $-5$ hinzugefügt. Schreiben wir es so:

\[((x)^(4))\nach \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Versuchen wir, die Ableitung von $((\left(x-5 \right))^(5))$ zu finden:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Dies impliziert:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ rechts))^(\prime ))\]

Es gibt keinen solchen Wert in der Tabelle, also haben wir diese Formel jetzt selbst hergeleitet, indem wir die Standard-Stammfunktionsformel für eine Potenzfunktion verwendet haben. Schreiben wir die Antwort so:

Aufgabe Nr. 2

Für viele Schüler, die sich die erste Lösung ansehen, scheint alles sehr einfach zu sein: Es reicht aus, $x$ in der Potenzfunktion durch einen linearen Ausdruck zu ersetzen, und alles wird sich ergeben. Leider ist nicht alles so einfach, und das werden wir jetzt sehen.

In Analogie zum ersten Ausdruck schreiben wir Folgendes:

\[((x)^(9))\nach \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Um zu unserer Ableitung zurückzukehren, können wir schreiben:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \right))^(\prime ))\]

Ab hier folgt sofort:

Nuancen der Lösung

Bitte beachten Sie: Wenn sich beim letzten Mal tatsächlich nichts geändert hat, wurden im zweiten Fall anstelle von $-10$ $-30$ angezeigt. Was ist der Unterschied zwischen $-10$ und $-30$? Offensichtlich um einen Faktor von $-3$. Frage: Woher kam es? Wenn Sie genau hinsehen, können Sie sehen, dass es als Ergebnis der Berechnung der Ableitung einer komplexen Funktion genommen wurde – der Koeffizient, der bei $x$ stand, erscheint in der Stammfunktion unten. Dies ist eine sehr wichtige Regel, die ich im heutigen Video-Tutorial ursprünglich überhaupt nicht analysieren wollte, aber ohne sie wäre die Darstellung tabellarischer Stammfunktionen unvollständig.

Also machen wir es noch einmal. Sei unsere Hauptpotenzfunktion:

\[((x)^(n))\zu \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Und jetzt ersetzen wir statt $x$ den Ausdruck $kx+b$. Was wird dann passieren? Wir müssen Folgendes finden:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \right)\cdot k)\]

Auf welcher Grundlage behaupten wir das? Sehr einfach. Finden wir die Ableitung der oben geschriebenen Konstruktion:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

Dies ist derselbe Ausdruck, der ursprünglich war. Somit ist diese Formel auch richtig und kann zur Ergänzung der Stammfunktionstabelle verwendet werden, aber es ist besser, sich nur die gesamte Tabelle zu merken.

Schlussfolgerungen aus dem "Geheimnis: Rezeption:

• Beide Funktionen, die wir gerade betrachtet haben, lassen sich zwar durch Öffnen der Grade auf die in der Tabelle angegebenen Stammfunktionen zurückführen, aber wenn wir mit dem vierten Grad einigermaßen irgendwie fertig werden, dann würde ich den neunten Grad überhaupt nicht machen gewagt zu enthüllen.
• Wenn wir die Grade aufdecken würden, würden wir eine solche Menge an Berechnungen erhalten, dass eine einfache Aufgabe uns zu wenig Zeit in Anspruch nehmen würde.
• Deshalb müssen solche Aufgaben, in denen sich lineare Ausdrücke befinden, nicht "leer" gelöst werden. Sobald Sie auf eine Stammfunktion treffen, die sich von der in der Tabelle nur durch das Vorhandensein des Ausdrucks $kx+b$ darin unterscheidet, merken Sie sich sofort die oben geschriebene Formel, ersetzen Sie sie in Ihre tabellarische Stammfunktion, und alles wird viel werden schneller und einfacher.

Natürlich werden wir aufgrund der Komplexität und Ernsthaftigkeit dieser Technik in zukünftigen Video-Tutorials immer wieder darauf zurückkommen, aber für heute habe ich alles. Ich hoffe, dass diese Lektion den Schülern, die Stammfunktionen und Integration verstehen wollen, wirklich helfen wird.

Integrieren lernen ist nicht schwer. Dazu muss man nur ein gewisses, eher kleines Regelwerk lernen und ein gewisses Fingerspitzengefühl entwickeln. Natürlich ist es einfach, die Regeln und Formeln zu lernen, aber es ist ziemlich schwierig zu verstehen, wo und wann diese oder jene Integrations- oder Differenzierungsregel anzuwenden ist. Dies ist in der Tat die Fähigkeit zur Integration.

1. Stammfunktion. Unbestimmtes Integral.

Es wird davon ausgegangen, dass der Leser zum Zeitpunkt des Lesens dieses Artikels bereits über einige Differenzierungsfähigkeiten verfügt (d. H. Derivate finden).

Definition 1.1: Eine Funktion heißt Stammfunktion, wenn die Gleichheit gilt:

Bemerkungen:> Die Betonung im Wort „primordial“ kann auf zwei Arten gesetzt werden: Über genervt oder originell a wissen.

Eigenschaft 1: Wenn eine Funktion eine Stammfunktion einer Funktion ist, dann ist die Funktion auch eine Stammfunktion einer Funktion.

Nachweisen: Beweisen wir dies anhand der Definition einer Stammfunktion. Finden wir die Ableitung der Funktion:

Der erste Begriff in Definition 1.1 ist gleich , und der zweite Term ist die Ableitung der Konstante, die gleich 0 ist.

.

Zusammenfassen. Schreiben wir den Anfang und das Ende der Gleichheitskette:

Daher ist die Ableitung der Funktion gleich und daher per Definition ihre Stammfunktion. Die Eigenschaft wurde nachgewiesen.

Definition 1.2: Das unbestimmte Integral einer Funktion ist die Gesamtheit der Stammfunktionen dieser Funktion. Es wird so bezeichnet:

.

Betrachten Sie die Namen der einzelnen Teile des Datensatzes im Detail:

ist die allgemeine Notation für das Integral,

ist ein Integrand (Integrand) Ausdruck, eine integrierbare Funktion.

ist das Differential, und der Ausdruck nach dem Buchstaben , in diesem Fall , wird als Integrationsvariable bezeichnet.

Bemerkungen: Die Schlüsselwörter in dieser Definition sind „das ganze Set“. Jene. Wenn dieses „Plus C“ in Zukunft nicht in die Antwort geschrieben wird, hat der Inspektor das Recht, diese Aufgabe nicht zu würdigen, weil Es ist notwendig, den gesamten Satz von Antiderivativen zu finden, und wenn C fehlt, wird nur eine gefunden.

Fazit: Um zu überprüfen, ob das Integral richtig berechnet wurde, ist es notwendig, die Ableitung des Ergebnisses zu finden. Er muss mit dem Integranden übereinstimmen.
Beispiel:
Die Übung: Berechnen Sie das unbestimmte Integral und überprüfen Sie.

Entscheidung:

Dabei spielt es keine Rolle, wie dieses Integral berechnet wird. Angenommen, es ist eine Offenbarung von oben. Unsere Aufgabe ist es zu zeigen, dass die Offenbarung uns nicht getäuscht hat, und dies kann mit Hilfe der Verifikation geschehen.

Untersuchung:

Beim Differenzieren des Ergebnisses wurde ein Integrand erhalten, was bedeutet, dass das Integral korrekt berechnet wurde.

2. Starten. Tabelle der Integrale.

Für die Integration ist es nicht erforderlich, sich jedes Mal die Funktion zu merken, deren Ableitung gleich dem gegebenen Integranden ist (d. h. die Definition des Integrals direkt verwenden). Jede Aufgabensammlung oder jedes Lehrbuch der mathematischen Analysis enthält eine Liste der Eigenschaften von Integralen und eine Tabelle der einfachsten Integrale.

Lassen Sie uns die Eigenschaften auflisten.

Eigenschaften:
1.
Das Integral des Differentials ist gleich der Integrationsvariablen.
2. , wobei eine Konstante ist.
Der konstante Multiplikator kann aus dem Integralzeichen herausgenommen werden.

3.
Das Integral der Summe ist gleich der Summe der Integrale (wenn die Anzahl der Terme endlich ist).
Integrierter Tisch:

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

Meistens besteht die Aufgabe darin, das untersuchte Integral mithilfe von Eigenschaften und Formeln auf ein tabellarisches zu reduzieren.

Beispiel:

[Nutzen wir die dritte Eigenschaft von Integralen und schreiben sie als Summe von drei Integralen.]

[Nutzen wir die zweite Eigenschaft und entfernen die Konstanten aus dem Integrationszeichen.]

[ Beim ersten Integral verwenden wir das Tabellenintegral Nr. 1 (n=2), beim zweiten - die gleiche Formel, aber n=1, und beim dritten Integral können Sie entweder das gleiche Tabellenintegral verwenden, aber mit n=0, oder die erste Eigenschaft.]
.
Prüfen wir durch Differentiation:

Der ursprüngliche Integrand wurde erhalten, die Integration wurde also fehlerfrei durchgeführt (und sogar die Addition einer beliebigen Konstante C wurde nicht vergessen).

Tabellenintegrale müssen aus einem einfachen Grund auswendig gelernt werden - um zu wissen, wonach man streben muss, d.h. kennen den Zweck der Transformation des gegebenen Ausdrucks.

Hier noch ein paar Beispiele:
1)
2)
3)

Aufgaben zur selbstständigen Lösung:

Übung 1. Berechnen Sie das unbestimmte Integral:

+ Hinweis #1 ein-/ausblenden.

1) Verwenden Sie die dritte Eigenschaft und stellen Sie dieses Integral als Summe von drei Integralen dar.

+ Hinweis #2 ein-/ausblenden.

+ Hinweis #3 ein-/ausblenden.

3) Verwenden Sie für die ersten beiden Terme das erste Tabellenintegral und für das dritte - das zweite Tabellenintegral.

+ Lösung und Antwort ein-/ausblenden.

4) Lösung:

Antworten:

Hauptintegrale, die jeder Schüler kennen sollte

Die aufgeführten Integrale sind die Basis, die Basis der Fundamente. Diese Formeln sollten Sie sich natürlich merken. Wenn Sie komplexere Integrale berechnen, müssen Sie sie ständig verwenden.

Achten Sie besonders auf die Formeln (5), (7), (9), (12), (13), (17) und (19). Vergessen Sie nicht, beim Integrieren eine beliebige Konstante C zur Antwort hinzuzufügen!

Integral einer Konstante

∫ A d x = A x + C (1)

Leistungsfunktionsintegration

Eigentlich könnte man sich auf die Formeln (5) und (7) beschränken, aber die restlichen Integrale aus dieser Gruppe sind so häufig, dass es sich lohnt, ihnen ein wenig Aufmerksamkeit zu schenken.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = log | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Integrale der Exponentialfunktion und der hyperbolischen Funktionen

Natürlich kann Formel (8) (vielleicht am bequemsten zu merken) als Spezialfall von Formel (9) betrachtet werden. Die Formeln (10) und (11) für die Integrale des hyperbolischen Sinus und des hyperbolischen Cosinus lassen sich leicht aus Formel (8) ableiten, aber es ist besser, sich nur diese Beziehungen zu merken.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Grundintegrale trigonometrischer Funktionen

Ein Fehler, den Schüler oft machen: Sie verwechseln die Vorzeichen in den Formeln (12) und (13). Wenn man sich daran erinnert, dass die Ableitung des Sinus gleich dem Kosinus ist, glauben viele Menschen aus irgendeinem Grund, dass das Integral der sinx-Funktion gleich cosx ist. Das ist nicht wahr! Das Integral von Sinus ist "minus Cosinus", aber das Integral von Cosx ist "nur Sinus":

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 Sünde 2 x d x = − c t g x + C (15)

Integrale, die auf inverse trigonometrische Funktionen reduziert werden

Formel (16), die auf den Arcustangens führt, ist natürlich ein Spezialfall von Formel (17) für a = 1. Ebenso ist (18) ein Sonderfall von (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = ein r c t g x + C = − ein r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Komplexere Integrale

Es ist auch wünschenswert, sich diese Formeln zu merken. Sie werden auch ziemlich oft verwendet und ihre Ausgabe ist ziemlich langweilig.

∫ 1 x 2 + ein 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − ein 2 d x = ln | x + x 2 − ein 2 | +C(21)
∫ ein 2 − x 2 d x = x 2 ein 2 − x 2 + ein 2 2 arcsin x ein + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + ein 2 d x = x 2 x 2 + ein 2 + ein 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − ein 2 d x = x 2 x 2 − ein 2 − ein 2 2 ln | x + x 2 − ein 2 | + C (a > 0) (24)

Allgemeine Integrationsregeln

1) Das Integral der Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der entsprechenden Integrale: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Das Integral der Differenz zweier Funktionen ist gleich der Differenz der entsprechenden Integrale: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Die Konstante lässt sich aus dem Integralzeichen herausnehmen: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Es ist leicht zu sehen, dass Eigenschaft (26) einfach eine Kombination der Eigenschaften (25) und (27) ist.

4) Integral einer komplexen Funktion, wenn die innere Funktion linear ist: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Dabei ist F(x) die Stammfunktion der Funktion f(x). Beachten Sie, dass diese Formel nur funktioniert, wenn die innere Funktion Ax + B ist.

Wichtig: Es gibt keine allgemeingültige Formel für das Integral des Produkts zweier Funktionen sowie für das Integral eines Bruchs:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (dreißig)

Das bedeutet natürlich nicht, dass eine Fraktion oder ein Produkt nicht integriert werden kann. Es ist nur so, dass Sie jedes Mal, wenn Sie ein Integral wie (30) sehen, einen Weg finden müssen, damit zu „kämpfen“. In manchen Fällen hilft Ihnen die partielle Integration, irgendwo müssen Sie eine Variablenänderung vornehmen, und manchmal können sogar "Schulformeln" der Algebra oder Trigonometrie helfen.

Ein einfaches Beispiel zur Berechnung des unbestimmten Integrals

Beispiel 1. Finden Sie das Integral: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Wir verwenden die Formeln (25) und (26) (das Integral der Summe oder Differenz von Funktionen ist gleich der Summe oder Differenz der entsprechenden Integrale. Wir erhalten: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Erinnern Sie sich, dass die Konstante aus dem Integralzeichen herausgenommen werden kann (Formel (27)). Der Ausdruck wird in das Formular umgewandelt

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ Sünde x d x − 7 ∫ e ​​​​x d x + 12 ∫ 1 d x

Lassen Sie uns jetzt einfach die Tabelle der Basisintegrale verwenden. Wir müssen die Formeln (3), (12), (8) und (1) anwenden. Lassen Sie uns die Potenzfunktion, den Sinus, den Exponenten und die Konstante 1 integrieren. Vergessen Sie nicht, am Ende eine beliebige Konstante C hinzuzufügen:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

Nach elementaren Transformationen erhalten wir die endgültige Antwort:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Testen Sie sich selbst mit Differentiation: Nehmen Sie die Ableitung der resultierenden Funktion und vergewissern Sie sich, dass sie gleich dem ursprünglichen Integranden ist.

Übersichtstabelle der Integrale

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = log | x | +C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 Sünde 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = ein r c t g x + C = − ein r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a ein r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + ein 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C

∫ 1 x 2 − ein 2 d x = ln | x + x 2 − ein 2 | +C

∫ ein 2 − x 2 d x = x 2 ein 2 − x 2 + ein 2 2 arcsin x ein + C (a > 0)

∫ x 2 + ein 2 d x = x 2 x 2 + ein 2 + ein 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − ein 2 d x = x 2 x 2 − ein 2 − ein 2 2 ln | x + x 2 − ein 2 | + C (a > 0)

Laden Sie die Tabelle der Integrale (Teil II) von diesem Link herunter

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