Nehmen wir an, Achilles läuft zehnmal schneller als die Schildkröte und ist ihr tausend Schritte hinterher. In der Zeit, die Achilles für diese Distanz benötigt, wird die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung kriechen. Wenn Achilles hundert Schritte gelaufen ist, kriecht die Schildkröte weitere zehn Schritte und so weiter. Der Prozess wird auf unbestimmte Zeit fortgesetzt, Achilles wird die Schildkröte niemals einholen.
Diese Argumentation wurde zu einem logischen Schock für alle nachfolgenden Generationen. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Alle betrachteten sie auf die eine oder andere Weise als Zenons Aporien. Der Schock war so stark, dass " ... die Diskussionen werden derzeit fortgesetzt, die wissenschaftliche Gemeinschaft hat es noch nicht geschafft, zu einer gemeinsamen Meinung über das Wesen von Paradoxien zu gelangen ... mathematische Analyse, Mengenlehre, neue physikalische und philosophische Ansätze waren an der Untersuchung des Problems beteiligt ; keiner von ihnen wurde zu einer allgemein akzeptierten Lösung des Problems ..."[Wikipedia," Zenos Aporien "]. Jeder versteht, dass er getäuscht wird, aber niemand versteht, was die Täuschung ist.
Aus mathematischer Sicht hat Zeno in seiner Aporie den Übergang vom Wert zu deutlich demonstriert. Dieser Übergang impliziert die Anwendung anstelle von Konstanten. Soweit ich weiß, ist der mathematische Apparat zur Anwendung variabler Maßeinheiten entweder noch nicht entwickelt oder auf Zenos Aporie nicht angewendet worden. Die Anwendung unserer üblichen Logik führt uns in eine Falle. Durch die Trägheit des Denkens wenden wir konstante Zeiteinheiten auf den Kehrwert an. Physikalisch sieht das wie eine Verlangsamung der Zeit aus, bis sie in dem Moment, in dem Achilles die Schildkröte einholt, komplett zum Stillstand kommt. Wenn die Zeit stehen bleibt, kann Achilles die Schildkröte nicht mehr überholen.
Wenn wir die gewohnte Logik umdrehen, ergibt sich alles. Achilles läuft mit konstanter Geschwindigkeit. Jedes nachfolgende Segment seines Weges ist zehnmal kürzer als das vorherige. Dementsprechend ist die Zeit, die für die Überwindung aufgewendet wird, zehnmal kürzer als die vorherige. Wenn wir in dieser Situation den Begriff „Unendlichkeit“ anwenden, dann wäre es richtig zu sagen „Achilles wird die Schildkröte unendlich schnell überholen“.
Wie vermeidet man diese logische Falle? Bleiben Sie in konstanten Zeiteinheiten und wechseln Sie nicht zu reziproken Werten. In Zenos Sprache sieht das so aus:
In der Zeit, die Achilles braucht, um tausend Schritte zu laufen, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Während des nächsten Zeitintervalls, das dem ersten entspricht, wird Achilles weitere tausend Schritte laufen und die Schildkröte wird hundert Schritte kriechen. Jetzt ist Achilles der Schildkröte achthundert Schritte voraus.
Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen ohne logische Paradoxien. Dies ist jedoch keine vollständige Lösung des Problems. Einsteins Aussage über die Unüberwindbarkeit der Lichtgeschwindigkeit ist Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“ sehr ähnlich. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung muss nicht in unendlich großen Zahlen, sondern in Maßeinheiten gesucht werden.
Eine andere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:
Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt ruht, und da er zu jedem Zeitpunkt ruht, ruht er immer.
In dieser Aporie wird das logische Paradoxon sehr einfach überwunden – es genügt zu verdeutlichen, dass der fliegende Pfeil zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum ruht, was tatsächlich Bewegung ist. Hier ist noch ein weiterer Punkt zu beachten. Aus einem Foto eines Autos auf der Straße kann weder die Tatsache seiner Bewegung noch die Entfernung zu ihm bestimmt werden. Um die Tatsache der Bewegung des Autos zu bestimmen, werden zwei Fotos benötigt, die vom selben Punkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen wurden, aber sie können nicht zur Bestimmung der Entfernung verwendet werden. Um die Entfernung zum Auto zu bestimmen, benötigen Sie zwei Fotos, die gleichzeitig von verschiedenen Punkten im Weltraum aufgenommen wurden, aber Sie können daraus nicht die Tatsache der Bewegung bestimmen (Sie benötigen natürlich noch zusätzliche Daten für Berechnungen, die Trigonometrie hilft Ihnen). . Was ich besonders hervorheben möchte, ist, dass zwei Zeitpunkte und zwei Punkte im Raum zwei verschiedene Dinge sind, die nicht verwechselt werden sollten, da sie unterschiedliche Möglichkeiten der Erforschung bieten.
Mittwoch, 4. Juli 2018
Sehr gut sind die Unterschiede zwischen Menge und Multimenge in Wikipedia beschrieben. Wir schauen.
Wie Sie sehen können, „kann die Menge nicht zwei identische Elemente haben“, aber wenn es identische Elemente in der Menge gibt, wird eine solche Menge als „Multimenge“ bezeichnet. Vernünftige Wesen werden niemals eine solche Logik der Absurdität verstehen. Dies ist die Ebene sprechender Papageien und abgerichteter Affen, auf der der Verstand dem Wort „vollständig“ abwesend ist. Mathematiker agieren als gewöhnliche Trainer und predigen uns ihre absurden Ideen.
Es war einmal, dass die Ingenieure, die die Brücke gebaut haben, während der Tests der Brücke in einem Boot unter der Brücke waren. Wenn die Brücke einstürzte, starb der mittelmäßige Ingenieur unter den Trümmern seiner Schöpfung. Wenn die Brücke der Belastung standhalten konnte, baute der begabte Ingenieur weitere Brücken.
So sehr sich Mathematiker auch hinter dem Satz „wohlgemerkt, ich bin im Haus“ oder vielmehr „Mathematik studiert abstrakte Konzepte“ verstecken, es gibt eine Nabelschnur, die sie untrennbar mit der Realität verbindet. Diese Nabelschnur ist Geld. Wenden wir die mathematische Mengenlehre auf Mathematiker selbst an.
Wir haben sehr gut Mathematik studiert und jetzt sitzen wir an der Kasse und zahlen Gehälter aus. Hier kommt ein Mathematiker auf sein Geld zu uns. Wir zählen ihm den gesamten Betrag vor und legen ihn auf unserem Tisch in verschiedenen Stapeln aus, in die wir Scheine der gleichen Stückelung legen. Dann nehmen wir von jedem Stapel einen Schein und geben dem Mathematiker seinen „mathematischen Gehaltssatz“. Wir erklären die Mathematik, dass er die restlichen Rechnungen nur erhält, wenn er beweist, dass die Menge ohne identische Elemente nicht gleich der Menge mit identischen Elementen ist. Hier beginnt der Spaß.
Zunächst einmal wird die Logik der Abgeordneten funktionieren: "Sie können es auf andere anwenden, aber nicht auf mich!" Außerdem wird zugesichert, dass auf Banknoten derselben Stückelung unterschiedliche Banknotennummern vorhanden sind, was bedeutet, dass sie nicht als identische Elemente betrachtet werden können. Nun, wir zählen das Gehalt in Münzen - es gibt keine Zahlen auf den Münzen. Hier erinnert sich der Mathematiker hektisch an die Physik: Verschiedene Münzen haben unterschiedlich viel Schmutz, die Kristallstruktur und Anordnung der Atome für jede Münze ist einzigartig ...
Und jetzt habe ich die interessanteste Frage: Wo ist die Grenze, ab der Elemente einer Multimenge zu Elementen einer Menge werden und umgekehrt? Eine solche Linie gibt es nicht - alles wird von Schamanen entschieden, die Wissenschaft ist hier nicht einmal annähernd.
Schau hier. Wir wählen Fußballstadien mit gleicher Spielfeldfläche aus. Die Fläche der Felder ist gleich, was bedeutet, dass wir eine Multimenge haben. Aber wenn wir die Namen der gleichen Stadien betrachten, bekommen wir viel, weil die Namen unterschiedlich sind. Wie Sie sehen können, ist dieselbe Menge von Elementen gleichzeitig eine Menge und eine Multimenge. Wie richtig? Und hier holt der Mathematiker-Schamane-Schüler ein Trumpf-Ass aus seinem Ärmel und beginnt uns entweder von einem Set oder einem Multiset zu erzählen. Auf jeden Fall wird er uns davon überzeugen, dass er Recht hat.
Um zu verstehen, wie moderne Schamanen mit der Mengentheorie arbeiten und sie mit der Realität verknüpfen, genügt es, eine Frage zu beantworten: Wie unterscheiden sich die Elemente einer Menge von den Elementen einer anderen Menge? Ich werde es Ihnen zeigen, ohne „als nicht ein Ganzes denkbar“ oder „nicht als ein Ganzes denkbar“.
Sonntag, 18. März 2018
Die Quersumme einer Zahl ist ein Schamanentanz mit Tamburin, der nichts mit Mathematik zu tun hat. Ja, im Mathematikunterricht wird uns beigebracht, die Summe der Ziffern einer Zahl zu finden und zu verwenden, aber dafür sind sie Schamanen, um ihren Nachkommen ihre Fähigkeiten und Weisheit beizubringen, sonst sterben Schamanen einfach aus.
Benötigen Sie einen Nachweis? Öffnen Sie Wikipedia und versuchen Sie, die Seite „Summe der Ziffern einer Zahl“ zu finden. Sie existiert nicht. In der Mathematik gibt es keine Formel, mit der man die Quersumme einer beliebigen Zahl ermitteln kann. Schließlich sind Zahlen grafische Symbole, mit denen wir Zahlen schreiben, und in der Sprache der Mathematik klingt die Aufgabe so: „Finde die Summe von grafischen Symbolen, die eine beliebige Zahl darstellen.“ Mathematiker können dieses Problem nicht lösen, aber Schamanen können es elementar.
Lassen Sie uns herausfinden, was und wie wir tun, um die Summe der Ziffern einer bestimmten Zahl zu finden. Nehmen wir also an, wir haben die Zahl 12345. Was muss getan werden, um die Quersumme dieser Zahl zu finden? Betrachten wir alle Schritte der Reihe nach.
1. Notieren Sie die Nummer auf einem Blatt Papier. Was haben wir getan? Wir haben die Zahl in ein grafisches Zahlensymbol umgewandelt. Dies ist keine mathematische Operation.
2. Wir schneiden ein empfangenes Bild in mehrere Bilder mit separaten Nummern. Das Schneiden eines Bildes ist keine mathematische Operation.
3. Wandeln Sie einzelne Grafikzeichen in Zahlen um. Dies ist keine mathematische Operation.
4. Addieren Sie die resultierenden Zahlen. Das ist jetzt Mathematik.
Die Quersumme der Zahl 12345 ist 15. Dies sind die „Schneide- und Nähkurse“ von Schamanen, die von Mathematikern verwendet werden. Aber das ist nicht alles.
Aus mathematischer Sicht spielt es keine Rolle, in welchem Zahlensystem wir die Zahl schreiben. In verschiedenen Zahlensystemen ist die Summe der Ziffern derselben Zahl also unterschiedlich. In der Mathematik wird das Zahlensystem als Index rechts neben der Zahl angegeben. Bei einer großen Zahl von 12345 möchte ich mir nicht den Kopf verdrehen, betrachten Sie die Zahl 26 aus dem Artikel darüber. Lassen Sie uns diese Zahl in binären, oktalen, dezimalen und hexadezimalen Zahlensystemen schreiben. Wir werden nicht jeden Schritt unter die Lupe nehmen, das haben wir bereits getan. Schauen wir uns das Ergebnis an.
Wie Sie sehen können, ist in verschiedenen Zahlensystemen die Summe der Ziffern derselben Zahl unterschiedlich. Dieses Ergebnis hat nichts mit Mathematik zu tun. Es ist, als würde man die Fläche eines Rechtecks in Metern und Zentimetern zu ganz anderen Ergebnissen bringen.
Die Null sieht in allen Zahlensystemen gleich aus und hat keine Quersumme. Dies ist ein weiteres Argument dafür, dass . Eine Frage an die Mathematiker: Wie bezeichnet man in der Mathematik das, was keine Zahl ist? Was existiert für Mathematiker nur aus Zahlen? Für Schamanen kann ich das zulassen, aber für Wissenschaftler nicht. Realität besteht nicht nur aus Zahlen.
Das erhaltene Ergebnis sollte als Beweis dafür angesehen werden, dass Zahlensysteme Maßeinheiten für Zahlen sind. Schließlich können wir Zahlen mit unterschiedlichen Maßeinheiten nicht vergleichen. Wenn gleiche Handlungen mit unterschiedlichen Maßeinheiten derselben Größe nach dem Vergleich zu unterschiedlichen Ergebnissen führen, dann hat das nichts mit Mathematik zu tun.
Was ist echte Mathematik? Dies ist der Fall, wenn das Ergebnis einer mathematischen Aktion nicht vom Wert der Zahl, der verwendeten Maßeinheit und davon abhängt, wer diese Aktion ausführt.
Autsch! Ist das nicht die Damentoilette?
- Junge Frau! Dies ist ein Labor zum Studium der unbestimmten Heiligkeit der Seelen beim Aufstieg in den Himmel! Nimbus oben und Pfeil nach oben. Welche andere Toilette?
Weiblich ... Ein Heiligenschein oben und ein Pfeil nach unten sind männlich.
Wenn Sie ein solches Designkunstwerk mehrmals täglich vor Augen haben,
Dann ist es nicht verwunderlich, dass Sie plötzlich ein seltsames Symbol in Ihrem Auto finden:
Ich persönlich gebe mir Mühe, bei einer kackenden Person (ein Bild) minus vier Grad zu sehen (Zusammensetzung mehrerer Bilder: Minuszeichen, Zahl vier, Gradbezeichnung). Und ich halte dieses Mädchen nicht für einen Narren, der keine Physik versteht. Sie hat nur ein Bogenstereotyp der Wahrnehmung von grafischen Bildern. Und Mathematiker lehren uns das ständig. Hier ist ein Beispiel.
1A ist nicht "minus vier Grad" oder "ein a". Das ist „pooping man“ oder die Zahl „sechsundzwanzig“ im hexadezimalen Zahlensystem. Wer ständig in diesem Zahlensystem arbeitet, nimmt Zahl und Buchstabe automatisch als ein grafisches Symbol wahr.
TABELLE DER WERTE DER TRIGONOMETRISCHEN FUNKTIONEN
Die Wertetabelle trigonometrischer Funktionen wird für Winkel von 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 und 360 Grad und die entsprechenden Winkel im Bogenmaß erstellt. Von den trigonometrischen Funktionen zeigt die Tabelle Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens, Sekante und Kosekan. Zur Vereinfachung der Lösung von Schulbeispielen werden die Werte der trigonometrischen Funktionen in der Tabelle als Bruch geschrieben, wobei die Vorzeichen des Ziehens der Quadratwurzel aus Zahlen erhalten bleiben, was sehr oft dazu beiträgt, komplexe mathematische Ausdrücke zu reduzieren. Für Tangens und Kotangens können die Werte einiger Winkel nicht bestimmt werden. Für die Werte von Tangens und Kotangens solcher Winkel gibt es einen Strich in der Wertetabelle trigonometrischer Funktionen. Es ist allgemein anerkannt, dass der Tangens und der Kotangens solcher Winkel gleich unendlich sind. Auf einer separaten Seite finden Sie Formeln zum Reduzieren trigonometrischer Funktionen.
Die Wertetabelle für die trigonometrische Funktion Sinus zeigt die Werte für folgende Winkel: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 in Gradmaß , was sin 0 pi, sin pi / 6 , sin pi / 4, sin pi / 3, sin pi / 2, sin pi, sin 3 pi / 2, sin 2 pi im Winkelmaß im Bogenmaß entspricht. Schultabelle der Sinus.
Für die trigonometrische Kosinusfunktion zeigt die Tabelle die Werte für die folgenden Winkel: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 in Gradmaß, was entspricht cos 0 pi, cos pi bis 6, cos pi mal 4, cos pi mal 3, cos pi mal 2, cos pi, cos 3 pi mal 2, cos 2 pi im Bogenmaß von Winkeln. Schultabelle der Cosinus.
Die trigonometrische Tabelle für die trigonometrische Funktion Tangens gibt Werte für folgende Winkel an: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 in Gradmaß, was tg 0 pi, tg pi / entspricht 6, tg pi / 4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi im Winkelmaß im Bogenmaß. Die folgenden Werte der trigonometrischen Funktionen der Tangente sind nicht definiert tg 90, tg 270, tg pi/2, tg 3 pi/2 und gelten als gleich unendlich.
Für die trigonometrische Funktion Kotangens in der trigonometrischen Tabelle sind folgende Winkel angegeben: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 in Grad, was ctg pi / 6, ctg pi / 4, ctg pi / 3 entspricht , tg pi / 2, tg 3 pi/2 im Winkelmaß im Bogenmaß. Die folgenden Werte der trigonometrischen Kotangensfunktionen sind nicht definiert ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi und gelten als gleich unendlich.
Die Werte der trigonometrischen Funktionen Sekante und Kosekan sind für die gleichen Winkel in Grad und Bogenmaß wie Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens angegeben.
Die Wertetabelle der trigonometrischen Funktionen von Nicht-Standardwinkeln zeigt die Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens für Winkel in Grad 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 Grad und im Bogenmaß Pi/12 , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 Bogenmaß. Die Werte trigonometrischer Funktionen werden in Form von Brüchen und Quadratwurzeln ausgedrückt, um die Kürzung von Brüchen in Schulbeispielen zu vereinfachen.
Drei weitere Monster der Trigonometrie. Der erste ist der Tangens von 1,5 Grad und eine Hälfte oder pi geteilt durch 120. Der zweite ist der Kosinus von pi geteilt durch 240, pi/240. Der längste ist der Kosinus von pi geteilt durch 17, pi/17.
Der trigonometrische Kreis der Werte der Sinus- und Kosinusfunktionen stellt die Vorzeichen von Sinus und Kosinus in Abhängigkeit von der Größe des Winkels visuell dar. Speziell bei Blondinen sind die Cosinus-Werte mit einem grünen Strich unterstrichen, um weniger durcheinander zu kommen. Auch die Umrechnung von Grad in Radiant wird sehr übersichtlich dargestellt, wenn Radiant durch Pi ausgedrückt wird.
Diese trigonometrische Tabelle zeigt die Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens für Winkel von 0 null bis 90 neunzig Grad in Intervallen von einem Grad. Für die ersten fünfundvierzig Grad müssen die Namen der trigonometrischen Funktionen oben in der Tabelle betrachtet werden. Die erste Spalte enthält Grade, die Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens werden in die nächsten vier Spalten geschrieben.
Für Winkel von fünfundvierzig Grad bis neunzig Grad stehen die Namen der trigonometrischen Funktionen am Ende der Tabelle. Die letzte Spalte enthält Grade, die Werte von Cosinus, Sinus, Kotangens und Tangens werden in die vorherigen vier Spalten geschrieben. Seien Sie vorsichtig, denn die Namen trigonometrischer Funktionen im unteren Teil der trigonometrischen Tabelle unterscheiden sich von den Namen im oberen Teil der Tabelle. Sinus und Kosinus sind vertauscht, genau wie Tangens und Kotangens. Dies liegt an der Symmetrie der Werte trigonometrischer Funktionen.
Die Vorzeichen trigonometrischer Funktionen sind in der obigen Abbildung dargestellt. Der Sinus hat positive Werte von 0 bis 180 Grad bzw. von 0 bis Pi. Die negativen Werte des Sinus sind von 180 bis 360 Grad oder von pi bis 2 pi. Kosinuswerte sind positiv von 0 bis 90 und 270 bis 360 Grad oder 0 bis 1/2 pi und 3/2 bis 2 pi. Tangens und Kotangens haben positive Werte von 0 bis 90 Grad und von 180 bis 270 Grad, was Werten von 0 bis 1/2 pi und von pi bis 3/2 pi entspricht. Negativer Tangens und Kotangens sind 90 bis 180 Grad und 270 bis 360 Grad oder 1/2 Pi zu Pi und 3/2 Pi zu 2 Pi. Bei der Bestimmung der Vorzeichen von trigonometrischen Funktionen für Winkel größer als 360 Grad oder 2 Pi sollten die Periodizitätseigenschaften dieser Funktionen verwendet werden.
Die trigonometrischen Funktionen Sinus, Tangens und Kotangens sind ungerade Funktionen. Die Werte dieser Funktionen für negative Winkel sind negativ. Kosinus ist eine gerade trigonometrische Funktion – der Kosinuswert für einen negativen Winkel ist positiv. Beim Multiplizieren und Dividieren trigonometrischer Funktionen müssen Sie die Vorzeichenregeln beachten.
Die Wertetabelle für die trigonometrische Funktion Sinus zeigt die Werte für die folgenden Winkel
DokumentierenEine separate Seite enthält Gießformeln trigonometrischFunktionen. BEI TischWertezumtrigonometrischFunktionenSinusgegebenWertezumnächsteEcken: Sünde 0, Sünde 30, Sünde 45 ...
Der vorgeschlagene mathematische Apparat ist ein vollständiges Analogon des komplexen Kalküls für n-dimensionale hyperkomplexe Zahlen mit einer beliebigen Anzahl von Freiheitsgraden n und ist für die mathematische Modellierung von Nichtlinearitäten bestimmt
Dokumentieren... Funktionen gleich Funktionen Bilder. Aus diesem Satz sollte, was zum Wenn Sie die Koordinaten U, V finden, reicht es aus, sie zu berechnen Funktion... Geometrie; polynar Funktionen(mehrdimensionale Analoga von zweidimensional trigonometrischFunktionen), ihre Eigenschaften, Tische und Anwendung; ...
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1. Trigonometrische Funktionen sind elementare Funktionen, deren Argument ist Ecke. Trigonometrische Funktionen beschreiben die Beziehung zwischen Seiten und spitzen Winkeln in einem rechtwinkligen Dreieck. Die Anwendungsgebiete trigonometrischer Funktionen sind äußerst vielfältig. So lassen sich beispielsweise beliebige periodische Prozesse als Summe trigonometrischer Funktionen (Fourier-Reihen) darstellen. Diese Funktionen treten häufig beim Lösen von Differential- und Funktionsgleichungen auf.
2. Trigonometrische Funktionen umfassen die folgenden 6 Funktionen: Sinus, Kosinus, Tangente,Kotangens, Sekante und Kosekans. Für jede dieser Funktionen gibt es eine inverse trigonometrische Funktion.
3. Es ist bequem, die geometrische Definition trigonometrischer Funktionen mit einzuführen Einheitskreis. Die folgende Abbildung zeigt einen Kreis mit Radius r=1. Auf dem Kreis wird der Punkt M(x,y) markiert. Der Winkel zwischen dem Radiusvektor OM und der positiven Richtung der Ox-Achse ist α.
4. Sinus der Winkel α ist das Verhältnis der Ordinate y des Punktes M(x,y) zum Radius r:
sinα=y/r.
Da r=1 ist, ist der Sinus gleich der Ordinate des Punktes M(x,y).5. Kosinus der Winkel α ist das Verhältnis der Abszisse x des Punktes M(x,y) zum Radius r:
cosα=x/r6. Tangente der Winkel α ist das Verhältnis der Ordinate y des Punktes M(x,y) zu seiner Abszisse x:
tanα=y/x,x≠07. Kotangens der Winkel α ist das Verhältnis der Abszisse x des Punktes M(x,y) zu seiner Ordinate y:
cotα=x/y,y≠08. Sekante Winkel α ist das Verhältnis des Radius r zur Abszisse x des Punktes M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠09. Kosekans Winkel α ist das Verhältnis des Radius r zur Ordinate y des Punktes M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠010. Im Einheitskreis der Projektion x, y bilden die Punkte M(x, y) und der Radius r ein rechtwinkliges Dreieck, in dem x, y die Schenkel und r die Hypotenuse sind. Daher werden die obigen Definitionen trigonometrischer Funktionen, angewendet auf ein rechtwinkliges Dreieck, wie folgt formuliert:
Sinus Winkel α ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse.
Kosinus Winkel α ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse.
Tangente Winkel α wird das gegenüberliegende Bein zum benachbarten genannt.
Kotangens Winkel α wird das benachbarte Bein zum gegenüberliegenden genannt.
Sekante Winkel α ist das Verhältnis der Hypotenuse zum benachbarten Schenkel.
Kosekans Winkel α ist das Verhältnis der Hypotenuse zum gegenüberliegenden Schenkel.11. Sinusfunktionsgraph
y=sinx, Definitionsbereich: x∈R, Definitionsbereich: −1≤sinx≤112. Graph der Kosinusfunktion
y=cosx, Wertebereich: x∈R, Wertebereich: −1≤cosx≤113. Tangentenfunktionsgraph
y=tanx, Definitionsbereich: x∈R,x≠(2k+1)π/2, Definitionsbereich: −∞
14. Graph der Kotangensfunktion
y=cotx, Definitionsbereich: x∈R,x≠kπ, Definitionsbereich: −∞
15. Graph der Sekantenfunktion
y=secx, Definitionsbereich: x∈R,x≠(2k+1)π/2, Definitionsbereich: secx∈(−∞,−1]∪∪)
