Der Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz in einer geraden Linie S \u003d t 4 +2t (S - in Metern t- in Sekunden). Finden Sie seine durchschnittliche Beschleunigung zwischen den Momenten t 1 = 5 s, t 2 = 7 s, sowie seine wahre Beschleunigung im Moment t 3 = 6 s.

Lösung.

1. Finden Sie die Geschwindigkeit des Punktes als Ableitung des Weges S nach der Zeit t, diese.

2. Wenn wir anstelle von t seine Werte t 1 \u003d 5 s und t 2 \u003d 7 s ersetzen, finden wir die Geschwindigkeiten:

V 1 \u003d 4 5 3 + 2 \u003d 502 m / s; V 2 \u003d 4 7 3 + 2 \u003d 1374 m / s.

3. Geschwindigkeitsinkrement ΔV über die Zeit Δt = 7 - 5 = 2 s ermitteln:

ΔV \u003d V 2 - V 1= 1374 - 502 = 872 m/s.

4. Somit wird die durchschnittliche Beschleunigung des Punktes gleich sein

5. Um den wahren Wert der Beschleunigung des Punktes zu bestimmen, leiten wir die Geschwindigkeit nach der Zeit ab:

6. Stattdessen ersetzen t Wert t 3 \u003d 6 s, wir erhalten die Beschleunigung zu diesem Zeitpunkt

a cf \u003d 12-6 3 \u003d 432 m / s 2.

krummlinige Bewegung. Bei einer krummlinigen Bewegung ändert sich die Geschwindigkeit eines Punktes in Größe und Richtung.

Stellen Sie sich einen Punkt vor M, die sich während der Zeit Δt entlang einer krummlinigen Trajektorie zu der Position bewegt hat M 1(Abb. 6).

Erhöhen (ändern) Sie den Vektor der Geschwindigkeit ΔV wird sein

Zum Wenn wir den Vektor ΔV finden, bewegen wir den Vektor V 1 zum Punkt M und konstruiere ein Geschwindigkeitsdreieck. Lassen Sie uns den durchschnittlichen Beschleunigungsvektor definieren:

Vektor eine Hochzeit ist parallel zum Vektor ΔV, da das Teilen des Vektors durch einen Skalarwert die Richtung des Vektors nicht ändert. Der wahre Beschleunigungsvektor ist die Grenze, bis zu der das Verhältnis des Geschwindigkeitsvektors zum entsprechenden Zeitintervall Δt gegen Null geht, d.h.

Eine solche Grenze heißt Vektorableitung.

Auf diese Weise, Die wahre Beschleunigung eines Punktes während einer krummlinigen Bewegung ist gleich der Vektorableitung in Bezug auf die Geschwindigkeit.

Von Abb. 6 zeigt das der Beschleunigungsvektor während der krummlinigen Bewegung ist immer auf die Konkavität der Trajektorie gerichtet.

Zur Vereinfachung der Berechnungen wird die Beschleunigung in zwei Komponenten zur Bewegungsbahn zerlegt: tangential, genannt tangentiale (tangentiale) Beschleunigung a, und entlang der Normalen, genannt Normalbeschleunigung a n (Abb. 7).

In diesem Fall wird die Gesamtbeschleunigung sein

Die Tangentialbeschleunigung fällt in Richtung mit der Geschwindigkeit des Punktes oder entgegengesetzt dazu zusammen. Sie charakterisiert die Änderung des Geschwindigkeitswerts und wird dementsprechend durch die Formel bestimmt

Die Normalbeschleunigung ist senkrecht zur Richtung der Punktgeschwindigkeit, und ihr numerischer Wert wird durch die Formel bestimmt

wo r - Krümmungsradius der Bahn am betrachteten Punkt.

Da die Tangential- und Normalbeschleunigung senkrecht zueinander stehen, wird daher die Größe der Gesamtbeschleunigung durch die Formel bestimmt

und seine Richtung

Wenn ein , dann sind die tangentialen Beschleunigungs- und Geschwindigkeitsvektoren in die gleiche Richtung gerichtet und die Bewegung wird beschleunigt.

Wenn ein , dann ist der tangentiale Beschleunigungsvektor in die entgegengesetzte Richtung zum Geschwindigkeitsvektor gerichtet, und die Bewegung wird langsam sein.

Der Vektor der Normalbeschleunigung ist immer zum Krümmungsmittelpunkt gerichtet, daher heißt er zentripetal.

Die physikalische Bedeutung der Ableitung. Die USE in Mathematik umfasst eine Gruppe von Aufgaben, für deren Lösung Kenntnisse und Verständnis der physikalischen Bedeutung der Ableitung erforderlich sind. Insbesondere gibt es Aufgaben, bei denen das Bewegungsgesetz eines bestimmten Punktes (Objektes) gegeben ist, ausgedrückt durch eine Gleichung, und es erforderlich ist, seine Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt der Bewegung oder der Zeit nach der das Objekt gefunden wird eine bestimmte vorgegebene Geschwindigkeit erreicht.Die Aufgaben sind sehr einfach, sie werden in einem Schritt gelöst. So:

Gegeben sei das Bewegungsgesetz eines materiellen Punktes x (t) entlang der Koordinatenachse, wobei x die Koordinate des sich bewegenden Punktes, t die Zeit ist.

Die Geschwindigkeit zu einem gegebenen Zeitpunkt ist die zeitliche Ableitung der Koordinate. Dies ist die mechanische Bedeutung der Ableitung.

Ebenso ist die Beschleunigung die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit:

Somit ist die physikalische Bedeutung der Ableitung Geschwindigkeit. Dies kann die Bewegungsgeschwindigkeit, die Geschwindigkeit einer Änderung in einem Prozess (z. B. das Wachstum von Bakterien), die Arbeitsgeschwindigkeit (und so weiter, es gibt viele angewandte Aufgaben) sein.

Außerdem müssen Sie die Ableitungstabelle kennen (Sie müssen sie ebenso kennen wie das Einmaleins) und die Ableitungsregeln. Konkret ist es zur Lösung der angegebenen Probleme erforderlich, die ersten sechs Ableitungen zu kennen (siehe Tabelle):

Betrachten Sie die Aufgaben:

x (t) \u003d t 2 - 7t - 20

wobei x t die Zeit in Sekunden ist, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 5 s.

Die physikalische Bedeutung der Ableitung ist Geschwindigkeit (Bewegungsgeschwindigkeit, Prozessänderungsgeschwindigkeit, Arbeitsgeschwindigkeit usw.)

Finden wir das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Für t = 5 gilt:

Antwort: 3

Entscheiden Sie selbst:

Der materielle Punkt bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz x (t) = 6t 2 - 48t + 17, wobei x- Entfernung vom Bezugspunkt in Metern, t- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 9 s.

Der materielle Punkt bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, wo xt- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 6 s.

Der materielle Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz in einer geraden Linie

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

wo x- Entfernung vom Bezugspunkt in Metern,t- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 3 s.

Der materielle Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz in einer geraden Linie

x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28

wobei x der Abstand vom Referenzpunkt in Metern ist, t die Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Zu welchem ​​Zeitpunkt (in Sekunden) war ihre Geschwindigkeit gleich 6 m/s?

Finden wir das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung:

Um herauszufinden, zu welchem ​​ZeitpunkttDie Geschwindigkeit war gleich 3 m / s, es ist notwendig, die Gleichung zu lösen:

Antwort: 3

Entscheide dich selbst:

Ein materieller Punkt bewegt sich in einer geraden Linie nach dem Gesetz x (t) \u003d t 2 - 13t + 23, wobei x- Entfernung vom Bezugspunkt in Metern, t- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Zu welchem ​​Zeitpunkt (in Sekunden) war ihre Geschwindigkeit gleich 3 m/s?

Der materielle Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz in einer geraden Linie

x (t) \u003d (1/3) t 3 - 3 t 2 - 5 t + 3

wo x- Entfernung vom Bezugspunkt in Metern, t- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Zu welchem ​​Zeitpunkt (in Sekunden) war ihre Geschwindigkeit gleich 2 m/s?

Ich stelle fest, dass es sich nicht lohnt, sich nur auf diese Art von Aufgaben in der Prüfung zu konzentrieren. Sie können völlig unerwartet Aufgaben einführen, die umgekehrt zu den präsentierten sind. Wenn das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung gegeben ist, stellt sich die Frage nach der Bestimmung des Bewegungsgesetzes.

Hinweis: In diesem Fall müssen Sie das Integral der Geschwindigkeitsfunktion finden (dies sind auch Aufgaben in einer Aktion). Wenn Sie die für einen bestimmten Zeitpunkt zurückgelegte Entfernung ermitteln müssen, müssen Sie die Zeit in die resultierende Gleichung einsetzen und die Entfernung berechnen. Wir werden aber auch solche Aufgaben analysieren, verpassen Sie es nicht!Ich wünsche Ihnen Erfolg!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh.

P.S: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie in sozialen Netzwerken über die Website berichten.

„Materielle Verantwortung der Arbeitsvertragsparteien“- Haftung des Arbeitgebers. Wenn die Höhe der Rückforderung den durchschnittlichen Verdienst für 1 Monat nicht übersteigt. Freiwillig auf Antrag oder schriftliche Zusage. Für einen Mitarbeiter. Haftung eines Mitarbeiters Limited Full Individual Collective (Team). Durch Lohnabzug auf Anordnung des Arbeitgebers.

„Punktschwingen“- 5. Lineare Schwingungen. 7. Freie Vibrationen mit viskosem Widerstand. 4. Beispiele für Schwingungen. schlagen. 3. Beispiele für Schwingungen. Die Bewegung ist gedämpft und aperiodisch. Zeigt an, wie oft die Schwingungsamplitude die statische Abweichung überschreitet. Freie Schwingungen, die durch eine treibende Kraft verursacht werden. 4) Die Periode gedämpfter Schwingungen ist größer als die ungedämpfter.

"Geradlinige Bewegung" - Diagramme für PRD. Geradlinige gleichförmige Bewegung (PRD). Sx \u003d X - X0 \u003d vx t - Bewegungsprojektion auf der X-Achse Geradlinige, gleichmäßig beschleunigte Bewegung (TEICH). Teich. X = X0 + sx ist das Bewegungsgesetz. POND-Karten. Bedeutet das, dass sich die Geschwindigkeit ändert? - Das Bewegungsgesetz. Beispiel: X = X0 + Vx t - das Bewegungsgesetz für die PRD.

"Punkte der himmlischen Sphäre"- Die Tage der Sonnenwende können sich ebenso wie die Tage der Tagundnachtgleiche ändern. Bei 1 Radiant, 57°17?45". Ein Grad ist der Zentriwinkel, der 1/360 eines Kreises entspricht. Zur Sommersonnenwende am 22. Juni hat die Sonne ihre maximale Deklination. Die Bewegung der Sonne entlang der Ekliptik ist verursacht durch die jährliche Bewegung der Erde um die Sonne.

"Abstand von Punkt zu Linie"- Finden Sie im Einheitswürfel A…D1 die Entfernung von Punkt A zur Linie CB1. Abstände ermitteln 2. Im Einheitswürfel A…D1 ist Punkt E der Mittelpunkt der Kante C1D1. Finden Sie im Einheitswürfel A…D1 die Entfernung von Punkt A zur Linie CD. Finden Sie im Einheitswürfel A…D1 die Entfernung von Punkt A zu Linie CD1. Finden Sie im Einheitswürfel A…D1 die Entfernung von Punkt A zu Linie BD.

"Vier bemerkenswerte Punkte des Dreiecks"- Die Höhe des Dreiecks. Der Median eines Dreiecks. Segment AN ist eine Senkrechte, die von Punkt A auf Linie a fällt, wenn. Median. Ein Liniensegment, das einen Scheitelpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet, wird aufgerufen. Winkelhalbierende eines Dreiecks. Aufgabe Nummer 2. Problem Nr. 1. Die Senkrechte, die von der Spitze des Dreiecks auf die Linie fällt, die die gegenüberliegende Seite enthält, wird aufgerufen.