Die erste bemerkenswerte Grenze heißt die folgende Gleichheit:
\begin(gleichung)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(gleichung)
Da wir für $\alpha\to(0)$ $\sin\alpha\to(0)$ haben, sagen wir, dass die erste bemerkenswerte Grenze eine Unbestimmtheit der Form $\frac(0)(0)$ offenbart. Generell kann in Formel (1) anstelle der Variablen $\alpha$ unter dem Sinuszeichen und im Nenner ein beliebiger Ausdruck stehen, sofern zwei Bedingungen erfüllt sind:
- Die Ausdrücke unter dem Sinuszeichen und im Nenner gehen gleichzeitig gegen Null, d.h. es gibt eine Unsicherheit der Form $\frac(0)(0)$.
- Die Ausdrücke unter dem Sinuszeichen und im Nenner sind gleich.
Folgerungen aus der ersten bemerkenswerten Grenze werden auch oft verwendet:
\begin(gleichung) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(gleichung) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(gleichung)
Auf dieser Seite werden elf Beispiele gelöst. Beispiel Nr. 1 ist dem Beweis der Formeln (2)-(4) gewidmet. Die Beispiele #2, #3, #4 und #5 enthalten Lösungen mit ausführlichen Kommentaren. Die Beispiele 6–10 enthalten Lösungen mit wenig oder keinem Kommentar, da ausführliche Erläuterungen in den vorherigen Beispielen gegeben wurden. Beim Lösen werden einige trigonometrische Formeln verwendet, die gefunden werden können.
Ich merke an, dass das Vorhandensein trigonometrischer Funktionen, verbunden mit der Unsicherheit von $\frac (0) (0)$, nicht bedeutet, dass die erste bemerkenswerte Grenze angewendet werden muss. Manchmal reichen einfache trigonometrische Transformationen aus - siehe zum Beispiel.
Beispiel 1
Beweisen Sie, dass $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
a) Da $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, dann gilt:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
Da $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ und $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , dann:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
b) Machen wir die Ersetzung $\alpha=\sin(y)$. Da $\sin(0)=0$ ist, haben wir aus der Bedingung $\alpha\to(0)$ $y\to(0)$. Außerdem gibt es eine Umgebung von Null, wo $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, also:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Die Gleichheit $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ ist bewiesen.
c) Machen wir den Ersatz $\alpha=\tg(y)$. Da $\tg(0)=0$, sind die Bedingungen $\alpha\to(0)$ und $y\to(0)$ äquivalent. Außerdem gibt es eine Umgebung von Null, in der $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$ ist, daher erhalten wir unter Berufung auf die Ergebnisse von Punkt a):
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Die Gleichheit $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ ist bewiesen.
Gleichheiten a), b), c) werden oft zusammen mit der ersten bemerkenswerten Grenze verwendet.
Beispiel #2
Rechengrenze $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.
Da $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ und $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, d.h. und Zähler und Nenner des Bruchs gleichzeitig gegen Null gehen, dann haben wir es hier mit einer Unsicherheit der Form $\frac(0)(0)$ zu tun, also durchgeführt. Außerdem ist ersichtlich, dass die Ausdrücke unter dem Sinuszeichen und im Nenner gleich sind (d. h. und ist erfüllt):
Somit sind beide am Anfang der Seite aufgeführten Bedingungen erfüllt. Daraus folgt, dass die Formel anwendbar ist, d.h. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.
Antworten: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.
Beispiel #3
Finden Sie $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.
Da $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ und $\lim_(x\to(0))x=0$ haben wir es mit einer Unschärfe der Form $\frac( 0 )(0)$, d.h. durchgeführt. Die Ausdrücke unter dem Sinuszeichen und im Nenner stimmen jedoch nicht überein. Hier ist es erforderlich, den Ausdruck im Nenner auf die gewünschte Form anzupassen. Wir brauchen den Ausdruck $9x$ im Nenner - dann wird er wahr. Im Grunde fehlt uns der $9$-Faktor im Nenner, der nicht so schwer einzugeben ist, multiplizieren Sie einfach den Ausdruck im Nenner mit $9$. Um die Multiplikation mit 9$ zu kompensieren, müssen Sie natürlich sofort durch 9$ dividieren und teilen:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$
Jetzt sind die Ausdrücke im Nenner und unter dem Sinuszeichen gleich. Beide Bedingungen für den Grenzwert $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ sind erfüllt. Also $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Und das bedeutet:
$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
Antworten: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
Beispiel Nr. 4
Finde $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.
Da $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ und $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$ handelt es sich hier um eine Unbestimmtheit der bilden $\frac(0)(0)$. Die Form der ersten bemerkenswerten Grenze wird jedoch gebrochen. Ein Zähler, der $\sin(5x)$ enthält, erfordert $5x$ im Nenner. In dieser Situation ist es am einfachsten, den Zähler durch $5x$ zu dividieren und sofort mit $5x$ zu multiplizieren. Außerdem führen wir eine ähnliche Operation mit dem Nenner durch, indem wir $\tg(8x)$ mit $8x$ multiplizieren und dividieren:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
Wenn wir um $x$ reduzieren und die Konstante $\frac(5)(8)$ aus dem Grenzwertzeichen nehmen, erhalten wir:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
Beachten Sie, dass $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ die Anforderungen für die erste bemerkenswerte Grenze vollständig erfüllt. Um $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ zu finden, gilt folgende Formel:
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
Antworten: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
Beispiel #5
Finde $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.
Da $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (zur Erinnerung: $\cos(0)=1$) und $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, dann haben wir es mit einer Unbestimmtheit der Form $\frac(0)(0)$ zu tun. Um jedoch die erste wunderbare Grenze anzuwenden, sollten Sie den Kosinus im Zähler loswerden, indem Sie zu Sinus (um dann die Formel anzuwenden) oder Tangens (um dann die Formel anzuwenden) gehen. Sie können dies mit der folgenden Transformation tun:
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
Kommen wir zurück zum Limit:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$
Der Bruch $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ ist bereits nahe an der Form, die für den ersten bemerkenswerten Grenzwert erforderlich ist. Lassen Sie uns ein wenig mit dem Bruch $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ arbeiten und ihn an die erste wundervolle Grenze anpassen (beachten Sie, dass die Ausdrücke im Zähler und unter dem Sinus übereinstimmen müssen):
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$
Kommen wir zurück zur betrachteten Grenze:
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$
Antworten: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
Beispiel Nr. 6
Finde den Grenzwert $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.
Da $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ und $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, dann wir haben es mit der Unsicherheit von $\frac(0)(0)$ zu tun. Öffnen wir es mit Hilfe der ersten bemerkenswerten Grenze. Gehen wir dazu von Cosinus zu Sinus. Da $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, dann:
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
Wenn wir die gegebene Grenze für Sinus übergeben, haben wir:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
Antworten: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
Beispiel Nr. 7
Berechne den Grenzwert $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ gegeben $\alpha\neq\ beta $.
Detaillierte Erklärungen wurden früher gegeben, aber hier bemerken wir einfach, dass es wieder eine Unbestimmtheit von $\frac(0)(0)$ gibt. Gehen wir mit der Formel von Cosinus zu Sinus
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
Mit obiger Formel erhalten wir:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\richtig| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$
Antworten: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alpha^2)(2)$.
Beispiel #8
Finde den Grenzwert $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.
Da $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (zur Erinnerung: $\sin(0)=\tg(0)=0$) und $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, dann haben wir es hier mit einer Unbestimmtheit der Form $\frac(0)(0)$ zu tun. Lassen Sie es uns so aufschlüsseln:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) = \frac(1)(2). $$
Antworten: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
Beispiel Nr. 9
Finde den Grenzwert $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.
Da $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ und $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, dann liegt eine Unbestimmtheit der Form $\frac(0)(0)$ vor. Bevor Sie mit der Erweiterung fortfahren, ist es zweckmäßig, die Variable so zu ändern, dass die neue Variable gegen Null tendiert (beachten Sie, dass die Variable $\alpha \to 0$ in den Formeln ist). Am einfachsten ist es, die Variable $t=x-3$ einzuführen. Für die Bequemlichkeit weiterer Transformationen (dieser Vorteil wird im Verlauf der folgenden Lösung sichtbar) lohnt es sich jedoch, die folgende Ersetzung vorzunehmen: $t=\frac(x-3)(2)$. Ich stelle fest, dass in diesem Fall beide Substitutionen anwendbar sind, nur die zweite Substitution ermöglicht es Ihnen, weniger mit Brüchen zu arbeiten. Seit $x\to(3)$, dann $t\to(0)$.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\rechts| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t)=1\cdot(1)=1. $$
Antworten: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
Beispiel #10
Finde den Grenzwert $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.
Wieder haben wir es mit der Unsicherheit von $\frac(0)(0)$ zu tun. Bevor Sie mit der Erweiterung fortfahren, ist es zweckmäßig, die Variable so zu ändern, dass die neue Variable gegen Null tendiert (beachten Sie, dass die Variable in den Formeln $\alpha\to(0)$ ist). Am einfachsten ist es, die Variable $t=\frac(\pi)(2)-x$ einzuführen. Da $x\to\frac(\pi)(2)$, dann $t\to(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\links|\frac(0)(0)\rechts| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) = \frac(1)(2). $$
Antworten: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.
Beispiel #11
Grenzwerte finden $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
In diesem Fall müssen wir die erste wunderbare Grenze nicht verwenden. Bitte beachten Sie: Sowohl in der ersten als auch in der zweiten Grenze gibt es nur trigonometrische Funktionen und Zahlen. Oft ist es in solchen Beispielen möglich, den unter dem Grenzzeichen stehenden Ausdruck zu vereinfachen. In diesem Fall verschwindet nach der erwähnten Vereinfachung und Reduzierung einiger Faktoren die Unsicherheit. Ich habe dieses Beispiel nur zu einem Zweck gegeben: um zu zeigen, dass das Vorhandensein trigonometrischer Funktionen unter dem Grenzwertzeichen nicht unbedingt die Anwendung des ersten bemerkenswerten Grenzwerts bedeutet.
Da $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (zur Erinnerung: $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) und $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (denken Sie daran, dass $\cos\frac(\pi)(2)=0$), dann haben wir es mit Unsicherheit zu tun der Form $\frac(0)(0)$. Dies bedeutet jedoch keineswegs, dass wir die erste bemerkenswerte Grenze verwenden müssen. Um die Unsicherheit aufzuzeigen, genügt es, zu berücksichtigen, dass $\cos^2x=1-\sin^2x$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x))=\frac(1)(1+1)=\frac(1)(2). $$
Eine ähnliche Lösung findet sich im Lösungsbuch von Demidovich (Nr. 475). Was die zweite Grenze betrifft, haben wir wie in den vorherigen Beispielen dieses Abschnitts eine Unsicherheit der Form $\frac(0)(0)$. Warum entsteht es? Es entsteht, weil $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ und $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Wir verwenden diese Werte, um Ausdrücke in Zähler und Nenner umzuwandeln. Der Zweck unserer Aktionen: Schreiben Sie die Summe in Zähler und Nenner als Produkt. Übrigens ist es oft bequem, eine Variable innerhalb einer ähnlichen Form so zu verändern, dass die neue Variable gegen Null tendiert (siehe zB Beispiel Nr. 9 oder Nr. 10 auf dieser Seite). In diesem Beispiel macht es jedoch keinen Sinn, die Variable zu ersetzen, obwohl es einfach ist, die Ersetzung der Variablen $t=x-\frac(2\pi)(3)$ zu implementieren, falls gewünscht.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ zu\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2 \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$
Wie Sie sehen können, mussten wir die erste wundervolle Grenze nicht anwenden. Dies kann natürlich auf Wunsch erfolgen (siehe Hinweis unten), ist aber nicht notwendig.
Was wäre die Lösung mit der ersten bemerkenswerten Grenze? Anzeigen Ausblenden
Unter Verwendung der ersten bemerkenswerten Grenze erhalten wir:
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ rechts))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right)=1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$
Antworten: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3)) $.
Die erste bemerkenswerte Grenze wird oft verwendet, um Grenzen zu berechnen, die Sinus, Arcussinus, Tangens, Arkustangens und die resultierenden Unsicherheiten Null geteilt durch Null enthalten.
Formel
Die Formel für die erste bemerkenswerte Grenze lautet: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$
Wir bemerken, dass $ \alpha\to 0 $ $ \sin\alpha \to 0 $ ergibt, also haben wir Nullen im Zähler und Nenner. Daher wird die Formel des ersten bemerkenswerten Grenzwerts benötigt, um die Unsicherheiten von $ \frac(0)(0) $ aufzudecken.
Damit die Formel gilt, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
- Die im Sinus und Nenner eines Bruchs enthaltenen Ausdrücke sind gleich
- Ausdrücke im Sinus und Nenner eines Bruchs gehen gegen Null
Aufmerksamkeit! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ Die Ausdrücke unter dem Sinus und im Nenner sind zwar gleich, aber $ 2x ^2+1 = 1 $, wenn $ x\to 0 $. Die zweite Bedingung ist nicht erfüllt, daher kann die Formel NICHT angewendet werden!
Konsequenzen
Ganz selten sieht man in den Aufgaben eine saubere erste wunderbare Grenze, in die man sofort die Antwort schreiben könnte. In der Praxis sieht alles etwas komplizierter aus, aber für solche Fälle wird es nützlich sein, die Konsequenzen der ersten bemerkenswerten Grenze zu kennen. Dank ihnen können Sie schnell die gewünschten Limits berechnen.
$$ \lim_(\alpha\bis 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\bis 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$
$$ \lim_(\alpha\bis 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\bis 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\bis 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$
Lösungsbeispiele
Betrachten wir den ersten bemerkenswerten Grenzwert, Beispiele für Lösungen zur Berechnung von Grenzwerten mit trigonometrischen Funktionen und Unsicherheiten $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $
| Beispiel 1 |
| Berechne $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $ |
| Lösung |
|
Betrachten Sie den Grenzwert und beachten Sie, dass er einen Sinus enthält. Als nächstes setzen wir $ x = 0 $ in Zähler und Nenner ein und erhalten die Unsicherheit von Null dividiert durch Null: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)( 0) $$ Bereits zwei Zeichen, dass Sie eine wunderbare Grenze anwenden müssen, aber es gibt eine kleine Nuance: Wir können die Formel nicht sofort anwenden, da sich der Ausdruck unter dem Sinuszeichen vom Ausdruck im Nenner unterscheidet. Und wir brauchen sie, um gleich zu sein. Daher verwandeln wir ihn mit Hilfe elementarer Transformationen des Zählers in $2x$. Dazu nehmen wir die Zwei durch einen separaten Faktor aus dem Nenner des Bruchs heraus. Das sieht so aus: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ , dass am Ende $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $ durch die Formel erhalten wurde. Wenn Sie Ihr Problem nicht lösen können, dann senden Sie es an uns. Wir werden eine detaillierte Lösung anbieten. Sie können sich mit dem Ablauf der Berechnung vertraut machen und Informationen sammeln. Dies wird Ihnen helfen, rechtzeitig eine Gutschrift vom Lehrer zu erhalten! |
| Antworten |
| $$ \lim_(x\bis 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$ |
| Beispiel 2 |
| Finden Sie $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $ |
| Lösung |
|
Wie immer müssen Sie zuerst die Art der Unsicherheit kennen. Wenn es Null geteilt durch Null ist, dann achten wir auf das Vorhandensein eines Sinus: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ Diese Unsicherheit erlaubt es uns, die Formel der ersten bemerkenswerten Grenze zu verwenden, aber der Ausdruck des Nenners ist nicht gleich dem Argument des Sinus? Daher ist es unmöglich, die Formel "auf der Stirn" anzuwenden. Sie müssen den Bruch mit dem Sinusargument multiplizieren und dividieren: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x-x^ 4)(x ^3+2x)) = $$ Nun beschreiben wir die Eigenschaften der Grenzwerte: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x-x^4 )\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ Die zweite Grenze passt genau in die Formel und ist gleich eins: $ $ = \lim_(x\to 0 ) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x)(2x- x^4) = $$ Setzen Sie wieder $ x = 0 $ in einen Bruch ein und erhalten Sie die Unsicherheit $ \frac(0)(0) $. Um es zu eliminieren, genügt es, $ x $ aus Klammern zu nehmen und um es zu reduzieren: $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^ 3)) = \ lim_(x\to 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2 )(2) = 1 $$ |
| Antworten |
| $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$ |
| Beispiel 4 |
| Berechnen Sie $ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $ |
| Lösung |
|
Beginnen wir die Berechnung, indem wir $ x=0 $ ersetzen. Als Ergebnis erhalten wir die Unsicherheit $ \frac(0)(0) $. Die Grenze enthält einen Sinus und einen Tangens, was mit der Formel der ersten bemerkenswerten Grenze auf eine mögliche Entwicklung der Situation hinweist. Lassen Sie uns den Zähler und Nenner des Bruchs in eine Formel und eine Konsequenz umwandeln: $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ Jetzt sehen wir im Zähler und Nenner, dass es Ausdrücke gibt, die für die Formel und die Konsequenzen geeignet sind. Das Sinusargument und das Tangentenargument sind für die jeweiligen Nenner gleich $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$ |
| Antworten |
| $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$ |
In dem Artikel: "Die erste bemerkenswerte Grenze, Beispiele für Lösungen" wurde über die Fälle berichtet, in denen es ratsam ist, diese Formel und ihre Konsequenzen zu verwenden.
Der Begriff „bemerkenswerte Grenze“ wird häufig in Lehrbüchern und Lehrmitteln verwendet, um sich auf wichtige Identitäten zu beziehen, die erheblich helfen vereinfachen die Arbeit Grenzen zu finden.
Aber zu bringen können ihre Grenze zum Bemerkenswerten muss man genau hinsehen, denn sie treten nicht direkt auf, sondern oft in Form von Konsequenzen, ausgestattet mit zusätzlichen Begriffen und Faktoren. Aber erst die Theorie, dann die Beispiele, und Sie werden es schaffen!
Erste wunderbare Grenze
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Die erste bemerkenswerte Grenze wird wie folgt geschrieben (eine Unsicherheit der Form $0/0$):
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$
Konsequenzen aus der ersten bemerkenswerten Grenze
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(x)(\sin x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1. $$Lösungsbeispiele: 1 wunderbare Grenze
Beispiel 1 Limit berechnen $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$
Lösung. Der erste Schritt ist immer gleich – wir setzen den Grenzwert $x=0$ in die Funktion ein und erhalten:
$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$
Wir haben eine Unsicherheit der Form $\left[\frac(0)(0)\right]$ erhalten, die gelöst werden sollte. Wenn Sie genau hinsehen, ist die ursprüngliche Grenze der ersten bemerkenswerten sehr ähnlich, stimmt jedoch nicht mit ihr überein. Unsere Aufgabe ist es, Ähnlichkeit herzustellen. Lass es uns so umwandeln - schau dir den Ausdruck unter dem Sinus an, mache dasselbe im Nenner (relativ gesprochen, multipliziere und dividiere durch $3x$), reduziere und vereinfache weiter:
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$
Oben wurde die erste wunderbare Grenze erhalten: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y))(y)=1, \text( hat eine bedingte Substitution vorgenommen ) y=3x. $$ Antworten: $3/8$.
Beispiel 2 Limit berechnen $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$
Lösung. Wir setzen den Grenzwert $x=0$ in die Funktion ein und erhalten:
$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\right].$$
Wir haben eine Unsicherheit der Form $\left[\frac(0)(0)\right]$ erhalten. Lassen Sie uns die Grenze transformieren, indem wir die erste wunderbare Grenze zur Vereinfachung verwenden (dreimal!):
$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$
Antworten: $9/16$.
Beispiel 3 Finden Sie die Grenze $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$
Lösung. Was aber, wenn es unter der trigonometrischen Funktion einen komplexen Ausdruck gibt? Es spielt keine Rolle, und hier handeln wir genauso. Überprüfen Sie zuerst die Art der Unsicherheit, setzen Sie $x=0$ in die Funktion ein und erhalten Sie:
$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$
Wir haben eine Unsicherheit der Form $\left[\frac(0)(0)\right]$ erhalten. Multipliziere und dividiere durch $2x^3+3x$:
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \links[\frac(0)(0)\rechts] = $$
Wieder die Unsicherheit, aber in diesem Fall ist es nur ein Bruchteil. Reduzieren wir Zähler und Nenner um $x$:
$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ frac(3)(5). $$
Antworten: $3/5$.
Die zweite wunderbare Grenze
Die zweite bemerkenswerte Grenze wird wie folgt geschrieben (Unbestimmtheit der Form $1^\infty$):
$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(or) \quad \lim\limits_( x\bis 0) \links(1+x\rechts)^(1/x)=e. $$
Folgen der zweiten bemerkenswerten Grenze
$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(a)(x)\right)^(bx)=e^(ab). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, a \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\bis 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1. $$Lösungsbeispiele: 2 wunderbare Grenze
Beispiel 4 Finden Sie die Grenze $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$
Lösung. Lassen Sie uns die Art der Unsicherheit überprüfen, $x=\infty$ in die Funktion einsetzen und erhalten:
$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$
Wir haben eine Unsicherheit der Form $\left$ erhalten. Die Grenze kann auf die zweite bemerkenswerte reduziert werden. Lassen Sie uns transformieren:
$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\right)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$
Der Klammerausdruck ist eigentlich die zweite wunderbare Grenze $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, nur $t=- 3x/2$, also
$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$
Antworten:$e^(-2/3)$.
Beispiel 5 Finden Sie die Grenze $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$ $
Lösung. Setzen Sie $x=\infty$ in die Funktion ein und erhalten Sie die Unsicherheit der Form $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$. Und wir brauchen $\left$. Beginnen wir also mit der Konvertierung des eingeklammerten Ausdrucks:
$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\right)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \right)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\right) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$
Der Klammerausdruck ist eigentlich die zweite wunderbare Grenze $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, nur $t=\ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, also
$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$
Aus dem obigen Artikel können Sie herausfinden, was das Limit ist und womit es gegessen wird - das ist SEHR wichtig. Wieso den? Möglicherweise verstehen Sie nicht, was Determinanten sind, und lösen sie erfolgreich, Sie verstehen möglicherweise überhaupt nicht, was eine Ableitung ist, und finden sie auf der "Fünf". Aber wenn Sie nicht verstehen, was eine Grenze ist, wird es schwierig sein, praktische Aufgaben zu lösen. Es ist auch nicht überflüssig, sich mit den Beispielen für die Gestaltung von Entscheidungen und meinen Gestaltungsempfehlungen vertraut zu machen. Alle Informationen werden auf einfache und zugängliche Weise präsentiert.
Und für die Zwecke dieser Lektion benötigen wir die folgenden methodischen Materialien: Bemerkenswerte Grenzen und Trigonometrische Formeln. Sie sind auf der Seite zu finden. Am besten drucken Sie sich die Handbücher aus – das ist viel bequemer, außerdem müssen sie oft offline abgerufen werden.
Was ist bemerkenswert an wunderbaren Grenzen? Die Besonderheit dieser Grenzen liegt darin, dass sie von den größten Köpfen berühmter Mathematiker bewiesen wurden und dankbare Nachkommen nicht unter schrecklichen Grenzen mit einem Haufen trigonometrischer Funktionen, Logarithmen und Graden leiden müssen. Das heißt, wir werden beim Finden der Grenzen vorgefertigte Ergebnisse verwenden, die theoretisch bewiesen wurden.
Es gibt mehrere bemerkenswerte Grenzen, aber in der Praxis haben Teilzeitstudierende in 95% der Fälle zwei bemerkenswerte Grenzen: Erste wunderbare Grenze, Die zweite wunderbare Grenze. Es sollte beachtet werden, dass dies historisch etablierte Namen sind, und wenn sie beispielsweise von der „ersten wunderbaren Grenze“ sprechen, meinen sie damit etwas ganz Bestimmtes und nicht irgendeine zufällige Grenze, die von der Decke genommen wurde.
Erste wunderbare Grenze
Beachten Sie die folgende Grenze: (Anstelle des einheimischen Buchstabens "er" werde ich den griechischen Buchstaben "alpha" verwenden, dies ist in Bezug auf die Präsentation des Materials bequemer).
Gemäß unserer Regel zum Finden von Grenzen (siehe Artikel Grenzen. Lösungsbeispiele) versuchen wir, Null in die Funktion einzusetzen: Im Zähler erhalten wir Null (der Sinus von Null ist Null), im Nenner natürlich auch Null. Wir stehen also vor einer Unbestimmtheit der Form, die glücklicherweise nicht offengelegt werden muss. Im Laufe der mathematischen Analyse wird bewiesen, dass:
Diese mathematische Tatsache heißt Erste wunderbare Grenze. Ich werde keinen analytischen Beweis für den Grenzwert geben, aber wir werden seine geometrische Bedeutung in der nächsten Lektion betrachten infinitesimale Funktionen.
Oft können in praktischen Aufgaben Funktionen anders angeordnet werden, das ändert nichts:
– die gleiche erste wunderbare Grenze.
Aber Sie können Zähler und Nenner nicht selbst umstellen! Wenn in der Form ein Limit angegeben ist, muss es in der gleichen Form gelöst werden, ohne etwas neu anzuordnen.
In der Praxis kann nicht nur eine Variable als Parameter fungieren, sondern auch eine elementare Funktion, eine komplexe Funktion. Wichtig ist nur, dass er gegen Null geht.
Beispiele:
, , 
, 
Hier , , , 
, und alles brummt - die erste wunderbare Grenze gilt.
Und hier ist der nächste Eintrag - Ketzerei:
Wieso den? Da das Polynom nicht gegen null tendiert, tendiert es gegen fünf.
Übrigens ist die Frage nach dem Verfüllen, aber wo ist die Grenze 
? Die Antwort finden Sie am Ende der Lektion.
In der Praxis ist nicht alles so glatt, fast nie wird einem Studenten angeboten, ein kostenloses Limit zu lösen und einen einfachen Kredit zu erhalten. Hmmm... Ich schreibe diese Zeilen, und da kam mir ein ganz wichtiger Gedanke in den Sinn - schließlich scheint es besser zu sein, sich „freie“ mathematische Definitionen und Formeln auswendig zu merken, das kann im Test eine unschätzbare Hilfe sein, wenn die Frage wird zwischen „zwei“ und „drei“ entschieden, und der Lehrer beschließt, dem Schüler eine einfache Frage zu stellen oder anzubieten, das einfachste Beispiel zu lösen („vielleicht weiß er (a) noch was?!“).
Kommen wir zu praktischen Beispielen:
Beispiel 1
Finden Sie die Grenze
Wenn wir einen Sinus im Grenzwert bemerken, sollte uns das sofort dazu bringen, über die Möglichkeit nachzudenken, den ersten bemerkenswerten Grenzwert anzuwenden.
Zuerst versuchen wir, 0 im Ausdruck unter dem Grenzzeichen zu ersetzen (wir tun dies gedanklich oder auf einem Entwurf):
Wir haben also eine Unbestimmtheit der Form , its unbedingt angeben bei einer Entscheidung. Der Ausdruck unter dem Grenzwertzeichen sieht aus wie der erste wunderbare Grenzwert, aber das ist es nicht ganz, er steht unter dem Sinus, sondern im Nenner.
In solchen Fällen müssen wir das erste bemerkenswerte Limit selbst organisieren, indem wir ein künstliches Gerät verwenden. Die Argumentationslinie kann wie folgt lauten: „Unter dem Sinus haben wir, was bedeutet, dass wir auch in den Nenner kommen müssen“.
Und das geht ganz einfach:
Das heißt, der Nenner wird in diesem Fall künstlich mit 7 multipliziert und durch die gleiche Sieben dividiert. Jetzt hat die Platte eine vertraute Form angenommen.
Wenn die Aufgabe von Hand erstellt wird, empfiehlt es sich, die erste wunderbare Grenze mit einem einfachen Bleistift zu markieren:
Was ist passiert? Tatsächlich ist der eingekreiste Ausdruck zu einer Einheit geworden und im Produkt verschwunden: 
Jetzt bleibt nur noch die dreistöckige Fraktion loszuwerden: 
Wer die Vereinfachung mehrstöckiger Brüche vergessen hat, bitte den Stoff im Nachschlagewerk auffrischen Hot-School-Mathematik-Formeln .
Bereit. Endgültige Antwort:
Wenn Sie keine Bleistiftmarkierungen verwenden möchten, kann die Lösung folgendermaßen formatiert werden:
“
Wir verwenden die erste bemerkenswerte Grenze 
“
Beispiel 2
Finden Sie die Grenze
Wieder sehen wir einen Bruch und einen Sinus im Grenzwert. Wir versuchen, Null im Zähler und Nenner einzusetzen:
In der Tat haben wir Unsicherheit und müssen daher versuchen, die erste bemerkenswerte Grenze zu organisieren. Im Unterricht Grenzen. Lösungsbeispiele Wir haben die Regel berücksichtigt, dass wir bei Unsicherheit Zähler und Nenner in Faktoren zerlegen müssen. Hier - das gleiche, wir werden die Abschlüsse als Produkt (Multiplikatoren) präsentieren:
Ähnlich wie im vorherigen Beispiel skizzieren wir die wunderbaren Grenzen mit einem Bleistift (hier gibt es zwei davon) und weisen darauf hin, dass sie zu einer tendieren:
Eigentlich ist die Antwort fertig:
In den folgenden Beispielen werde ich keine Kunst in Paint machen, ich denke, wie man eine Lösung in einem Notizbuch richtig erstellt - Sie verstehen bereits.
Beispiel 3
Finden Sie die Grenze
Wir ersetzen den Ausdruck durch Null unter dem Grenzwertzeichen:
Es wurde eine Unsicherheit erlangt, die offengelegt werden muss. Wenn im Grenzwert ein Tangens steht, dann wird dieser fast immer nach der bekannten trigonometrischen Formel in Sinus und Cosinus umgerechnet (das machen sie übrigens mit dem Kotangens ungefähr genauso, siehe Methodenmaterial Heiße trigonometrische Formeln Auf der Seite Mathematische Formeln, Tabellen und Referenzmaterialien).
In diesem Fall:
Der Kosinus von Null ist gleich Eins, und es ist leicht, ihn loszuwerden (vergessen Sie nicht zu markieren, dass er gegen Eins tendiert):
Wenn also der Kosinus im Grenzfall ein MULTIPLIKATOR ist, dann muss er grob gesagt in eine Einheit umgewandelt werden, die im Produkt verschwindet.
Hier erwies sich alles als einfacher, ohne Multiplikationen und Divisionen. Auch die erste bemerkenswerte Grenze wird zur Einheit und verschwindet im Produkt:
Als Ergebnis wird Unendlichkeit erhalten, es passiert.
Beispiel 4
Finden Sie die Grenze
Wir versuchen, Null im Zähler und Nenner einzusetzen:
Erhaltene Unsicherheit (Kosinus von Null ist, wie wir uns erinnern, gleich Eins)
Wir verwenden die trigonometrische Formel. Etwas beachten! Aus irgendeinem Grund sind Grenzwerte, die diese Formel verwenden, sehr verbreitet.
Wir nehmen die konstanten Multiplikatoren jenseits des Limit-Symbols heraus:
Lassen Sie uns das erste bemerkenswerte Limit organisieren:
Hier haben wir nur eine wunderbare Grenze, die zu einer wird und im Produkt verschwindet:
Lassen Sie uns die dreistöckigen loswerden:
Der Grenzwert ist tatsächlich gelöst, wir geben an, dass der verbleibende Sinus gegen Null geht:
Beispiel 5
Finden Sie die Grenze 
Dieses Beispiel ist komplizierter, versuchen Sie es selbst herauszufinden:
Manche Limits lassen sich durch Änderung der Variable auf das 1. bemerkenswerte Limit reduzieren, dazu kannst du etwas später im Artikel lesen Lösungsmethoden einschränken.
Die zweite wunderbare Grenze
In der Theorie der mathematischen Analyse ist bewiesen, dass:
Diese Tatsache heißt zweite bemerkenswerte Grenze.
Bezug: 
ist eine irrationale Zahl.
Als Parameter kann nicht nur eine Variable fungieren, sondern auch eine komplexe Funktion. Wichtig ist nur, dass es nach Unendlichkeit strebt.
Beispiel 6
Finden Sie die Grenze
Wenn der Ausdruck unter dem Grenzzeichen in der Macht steht, ist dies das erste Zeichen, dass Sie versuchen müssen, die zweite wunderbare Grenze anzuwenden.
Aber zuerst versuchen wir, wie immer, eine unendlich große Zahl in den Ausdruck einzusetzen, nach welchem Prinzip das geht, wurde im Unterricht analysiert Grenzen. Lösungsbeispiele.
Es ist leicht zu sehen, wann die Basis des Grads und der Exponent - , das heißt, es gibt eine Unschärfe der Form:
Diese Unsicherheit wird gerade mit Hilfe der zweiten bemerkenswerten Grenze aufgedeckt. Aber wie so oft liegt die zweite wunderbare Grenze nicht auf dem Silbertablett, sondern muss künstlich organisiert werden. Sie können wie folgt argumentieren: In diesem Beispiel bedeutet der Parameter, dass wir auch den Indikator organisieren müssen. Dazu potenzieren wir die Basis und damit sich der Ausdruck nicht ändert, potenzieren wir ihn:
Wenn die Aufgabe von Hand erstellt wird, markieren wir mit einem Bleistift:
Fast alles ist fertig, aus dem schrecklichen Abschluss ist ein hübscher Brief geworden:
Gleichzeitig wird das Limit-Symbol selbst zum Indikator verschoben:
Beispiel 7
Finden Sie die Grenze
Aufmerksamkeit! Diese Art von Begrenzung ist sehr verbreitet, bitte studieren Sie dieses Beispiel sehr sorgfältig.
Wir versuchen, im Ausdruck unter dem Grenzwertzeichen eine unendlich große Zahl einzusetzen:
Die Folge ist eine Unsicherheit. Aber die zweite bemerkenswerte Grenze gilt für die Unbestimmtheit der Form. Was zu tun ist? Sie müssen die Basis des Abschlusses umrechnen. Wir argumentieren so: Im Nenner haben wir , was bedeutet, dass wir auch im Zähler organisieren müssen.
Die Formel für den zweiten bemerkenswerten Grenzwert lautet lim x → ∞ 1 + 1 x x = e . Eine andere Schreibweise sieht so aus: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e .
Wenn wir über den zweiten bemerkenswerten Grenzwert sprechen, haben wir es mit einer Unschärfe der Form 1 ∞ zu tun, d.h. Einheit bis ins Unendliche.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Betrachten Sie Probleme, bei denen wir die Fähigkeit brauchen, die zweite wundervolle Grenze zu berechnen.
Beispiel 1
Finde den Grenzwert lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .
Lösung
Ersetzen Sie die gewünschte Formel und führen Sie die Berechnungen durch.
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞
In unserer Antwort haben wir eine Einheit hoch Unendlich bekommen. Zur Bestimmung des Lösungsverfahrens verwenden wir die Unsicherheitstabelle. Wir wählen die zweite bemerkenswerte Grenze und nehmen eine Variablenänderung vor.
t \u003d - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 \u003d - t 2
Wenn x → ∞ dann t → - ∞ .
Mal sehen, was wir nach dem Austausch bekommen haben:
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2
Antworten: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .
Beispiel 2
Berechnen Sie den Grenzwert lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .
Lösung
Ersetzen Sie unendlich und erhalten Sie Folgendes.
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞
Als Antwort erhalten wir wieder dasselbe wie bei der vorherigen Aufgabe, daher können wir wieder die zweite wunderbare Grenze verwenden. Als nächstes müssen wir den ganzzahligen Teil an der Basis der Potenzfunktion auswählen:
x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1
Danach nimmt die Grenze folgende Form an:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x
Wir ersetzen Variablen. Nehmen wir an, dass t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; wenn x → ∞ , dann t → ∞ .
Danach schreiben wir auf, was wir im ursprünglichen Limit erhalten haben:
lim x → ∞ x – 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 – 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t – 2 t – 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 (1 + 0) - 1 = e - 2
Um diese Transformation durchzuführen, haben wir die grundlegenden Eigenschaften von Grenzen und Potenzen verwendet.
Antworten: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .
Beispiel 3
Berechnen Sie den Grenzwert lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .
Lösung
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1∞
Danach müssen wir eine Funktionstransformation durchführen, um die zweite wundervolle Grenze anzuwenden. Wir haben folgendes bekommen:
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
Da wir jetzt dieselben Exponenten im Zähler und Nenner des Bruchs haben (gleich sechs), ist die Grenze des Bruchs im Unendlichen gleich dem Verhältnis dieser Koeffizienten bei höheren Potenzen.
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3
Wenn wir t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 ersetzen, erhalten wir die zweite bemerkenswerte Grenze. Bedeutet, was:
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3
Antworten: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .
Schlussfolgerungen
Unsicherheit 1 ∞ , d.h. Einheit in unendlichem Maße, ist eine Potenzgesetz-Unschärfe, daher kann sie unter Verwendung der Regeln zum Auffinden der Grenzen exponentieller Potenzfunktionen aufgedeckt werden.
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