Das wichtigste Konzept in der Theorie linearer Räume ist die lineare Abhängigkeit von Vektoren. Bevor wir dieses Konzept definieren, sehen wir uns einige Beispiele an.
Beispiele. 1. Gegeben sei folgendes System von drei Vektoren aus dem Raum Tk:
Das sieht man auch leicht
2. Nehmen wir nun ein anderes System von Vektoren aus
Es ist schwierig, für dieses System von Vektoren eine der Gleichheit (1) ähnliche Beziehung zu sehen. Das lässt sich aber leicht überprüfen
Die Koeffizienten 4, –7,5 der Beziehung (2) könnten wie folgt gefunden werden. Bezeichnen wir sie als unbekannt, lösen wir die Vektorgleichung:
Nachdem wir die angegebenen Multiplikations- und Additionsoperationen durchgeführt und zur Gleichheit der Vektorkomponenten in (2) übergegangen sind, erhalten wir ein homogenes System linearer Gleichungen in Bezug auf
Eine Lösung für dieses System ist:
3. Betrachten Sie das Vektorsystem:
Gleichberechtigung
führt zu einem Gleichungssystem, das eine eindeutige – Null – Lösung hat. (Überprüfen!) Somit folgt aus Gleichheit (3)
die Mit anderen Worten, Gleichheit (3) ist nur für erfüllt
Die Vektorsysteme in den Beispielen 1-2 sind linear abhängig, das System von Beispiel 3 ist linear unabhängig.
Definition 3. Ein System von Vektoren in einem linearen Raum über einem Körper heißt linear abhängig, wenn nicht alle Zahlen des Körpers R gleich Null sind, so dass
Wenn für Vektoren Gleichheit nur bei at besteht, dann heißt das Vektorsystem linear unabhängig.
Beachten Sie, dass die Eigenschaft der linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeit eine Eigenschaft eines Systems von Vektoren ist. Dieselben Adjektive werden jedoch in der Literatur häufig verwendet, wenn sie direkt auf die Vektoren selbst angewendet werden, und sie sagen, mit freier Redefreiheit, "ein System linear unabhängiger Vektoren" und sogar "Vektoren sind linear unabhängig".
Wenn es nur einen Vektor a im System gibt, dann folgt für Eigenschaft 6 (§ 2) aus Daraus folgt, dass das System, das aus einem Vektor ungleich Null besteht, linear unabhängig ist. Im Gegensatz dazu ist jedes Vektorsystem, das den Nullvektor 0 enthält, linear abhängig. Zum Beispiel wenn dann
Wenn das System zweier Vektoren linear abhängig ist, dann gilt die Gleichheit für (oder . Dann
d.h. die Vektoren sind proportional. Auch die Umkehrung gilt, denn es folgt aus: Ein System aus zwei Vektoren ist also genau dann linear abhängig, wenn die Vektoren proportional sind.
Die proportionalen Vektoren von liegen auf derselben Geraden; In diesem Zusammenhang und im Allgemeinen werden proportionale Vektoren manchmal als kollinear bezeichnet.
Wir bemerken einige Eigenschaften der linearen Abhängigkeit von Vektoren.
Eigenschaft 1. Ein System von Vektoren, das ein linear abhängiges Teilsystem enthält, ist linear abhängig.
Sei ein linear abhängiges Teilsystem
Dann gibt es nicht alle Nullzahlen so
Wenn wir die verbleibenden Vektoren des gegebenen Systems mit Nullkoeffizienten zur linken Seite dieser Gleichheit hinzufügen, erhalten wir den erforderlichen.
Aus Eigenschaft 1 folgt, dass jedes Teilsystem eines linear unabhängigen Vektorsystems linear unabhängig ist.
Eigenschaft 2. Wenn das System von Vektoren
linear unabhängig ist, und das System von Vektoren
linear abhängig ist, dann wird der Vektor durch die Vektoren des Systems (4) linear ausgedrückt.
Da das Vektorsystem (5) linear abhängig ist, gibt es also nicht alle Zahlen gleich Null
Wenn dann und dann werden Koeffizienten ungleich Null darunter sein, was eine lineare Abhängigkeit von System (4) bedeuten würde. Daher und
Eigenschaft 3. Geordnetes System von Vektoren ungleich Null
ist genau dann linear abhängig, wenn ein Vektor eine Linearkombination vorheriger Vektoren ist.
Das System sei linear abhängig. Weil der Vektor linear unabhängig ist. Bezeichne die kleinste natürliche Zahl, für die das System linear abhängig ist. (Dies gilt: Im Extremfall, wenn die Systeme linear unabhängig sind, dann sind nicht alle Zahlen gleich Null, so dass die Gleichheit
Wenn dann Koeffizienten ungleich Null darunter wären und die Gleichheit gelten würde
was eine lineare Abhängigkeit des Systems bedeuten würde, was aber der Wahl der Zahl widersprechen würde
Umgekehrt impliziert Eigenschaft 1 aus Gleichheit (7) eine lineare Abhängigkeit des Systems
Eigenschaft 3 impliziert leicht, dass ein System von Vektoren genau dann linear abhängig ist, wenn mindestens einer seiner Vektoren durch die anderen linear ausgedrückt wird. In diesem Sinne sagen sie, dass das Konzept der linearen Abhängigkeit dem Konzept der linearen Ausdrückbarkeit entspricht.
Eigenschaft 4. Wenn der Vektor x linear durch die Vektoren des Systems ausgedrückt wird
und der Vektor durch die verbleibenden Vektoren des Systems (8) linear ausgedrückt wird, dann wird der Vektor auch durch diese Vektoren des Systems (8) linear ausgedrückt.
Tatsächlich,
Jetzt können wir einen der wichtigsten Sätze über die lineare Abhängigkeit von Vektoren beweisen.
Satz 1. Wenn jeder Vektor eines linear unabhängigen Systems ist
ist eine Linearkombination von Vektoren
then Mit anderen Worten, in einem linear unabhängigen System von Vektoren, die Linearkombinationen von Vektoren sind, kann die Anzahl der Vektoren nicht größer sein als
Nachweisen. 1. Schritt. Lassen Sie uns ein System bauen
Gemäß der Annahme wird jeder Vektor des Systems (9), insbesondere der Vektor, linear durch die Vektoren (10) ausgedrückt, und daher ist das System (11) linear abhängig. Durch Eigenschaft 3 in System (11) wird ein Vektor linear in Bezug auf die vorherigen Vektoren und daher auch in Bezug auf die Vektoren des Systems ausgedrückt
erhalten aus (11) durch Löschen des Vektors Von hier aus haben wir durch Eigenschaft 4: Jeder Vektor des Systems (9) wird linear durch die Vektoren des Systems (12) ausgedrückt.
2. Schritt. Wenden Sie dieselbe Argumentation wie im Schritt auf Systeme von Vektoren an
und (12) und unter Berücksichtigung, dass das Vektorsystem linear unabhängig ist, erhalten wir ein Vektorsystem
durch die alle Vektoren des Systems (9) linear ausgedrückt werden.
Wenn wir davon ausgehen, dass wir durch Fortsetzen dieses Prozesses alle Vektoren durch Schritte erschöpfen und das System erhalten
derart, dass jeder Vektor des Systems (9) insbesondere linear durch die Vektoren des Systems (14) ausgedrückt wird. Dann erweist sich System (9) als linear abhängig, was der Bedingung widerspricht. Das bleibt zu akzeptieren
Betrachten wir nun, was die lineare Abhängigkeit von Vektoren in verschiedenen Räumen bedeutet.
1. Raum Wenn ein System aus zwei Vektoren linear abhängig ist, dann sind oder, dh die Vektoren kollinear. Das Gegenteil ist auch wahr. Ein System aus drei Raumvektoren ist genau dann linear abhängig, wenn sie in derselben Ebene liegen. (Beweisen Sie!) Das System der vier Raumzeiger ist immer linear abhängig. Wenn irgendein Teilsystem unseres Systems linear abhängig ist, dann ist das gesamte System linear abhängig. Wenn aber kein echtes Teilsystem linear abhängig ist, dann bedeutet dies nach dem vorigen, dass keine drei Vektoren unseres Systems auf derselben Ebene liegen. Dann folgt aus geometrischen Überlegungen, dass es reelle Zahlen gibt, so dass der Quader mit Kantenvektoren eine Diagonale haben wird, d.h. in der Gleichheit
Fahren wir mit der Beschreibung der Eigenschaften linearer Räume fort. Zuallererst beinhalten sie die Beziehungen zwischen ihren Elementen.
Lineare Kombination Elemente über dem Körper der reellen Zahlen R Element genannt
Definition. Eine Menge von Elementen heißt linear unabhängig, falls von Gleichheit
daraus folgt zwangsläufig,. Es ist klar, dass jeder Teil der Elemente aus auch linear unabhängig ist. Wenn mindestens einer von, dann heißt die Menge linear abhängig.
BeispielIII.6. Gegeben sei eine Vektormenge. Wenn einer der Vektoren beispielsweise ist, dann ist ein solches System von Vektoren linear abhängig. In der Tat, sei die Menge,, …,,, …, linear unabhängig, dann folgt aus der Gleichheit, dass.
Wenn wir zu dieser Menge den Vektor multiplizieren, haben wir immer noch die Gleichheit
Daher ist die Menge der Vektoren sowie alle anderen Elemente, die ein Nullelement enthalten, immer linear abhängig ▼.
Kommentar. Wenn die Menge der Vektoren leer ist, dann ist sie linear unabhängig. Wenn es nämlich keine Indizes gibt, ist es unmöglich, die entsprechenden Nicht-Null-Zahlen für sie so zu wählen, dass die Summe der Form (III.2) gleich 0 ist. Eine solche Interpretation der linearen Unabhängigkeit kann als a angesehen werden Beweis, zumal ein solches Ergebnis gut mit der Theorie übereinstimmt 11.
Im Zusammenhang damit lässt sich die Definition der linearen Unabhängigkeit wie folgt formulieren: Eine Menge von Elementen ist genau dann linear unabhängig, wenn und für welche kein Index existiert. Insbesondere kann diese Menge auch leer sein.
BeispielIII.7. Zwei beliebige Gleitvektoren sind linear abhängig. Denken Sie daran, dass gleitende Vektoren Vektoren sind, die auf einer geraden Linie liegen. Wenn Sie einen Einheitsvektor nehmen, können Sie jeden anderen Vektor erhalten, indem Sie ihn mit der entsprechenden reellen Zahl multiplizieren, also oder. Daher sind bereits zwei beliebige Vektoren im eindimensionalen Raum linear abhängig.
BeispielIII.8. Betrachten Sie den Raum der Polynome, wobei ,,,. Schreiben wir auf
Unter der Annahme ,,, erhalten wir identisch in t
das heißt, die Menge ist linear abhängig. Beachten Sie, dass jede endliche Menge der Form linear unabhängig ist. Betrachten Sie zum Beweis den Fall, dann von der Gleichheit
bei Annahme ihrer linearen Abhängigkeit würde daraus folgen, dass nicht alle Zahlen gleich Null sind 1 , 2 , 3 , die für jedes (III.3) identisch ist, aber dies widerspricht dem Fundamentalsatz der Algebra: jedem Polynom n-ten Grades hat nicht mehr als n echte Wurzeln. In unserem Fall hat diese Gleichung nur zwei Wurzeln und nicht unendlich viele. Wir haben einen Widerspruch.
§ 2. Linearkombinationen. Basen
Lassen . Das sagen wir dort lineare Kombination Elemente .
SatzIII.1 (Haupt). Die Menge der Nicht-Null-Elemente ist genau dann linear abhängig, wenn ein Element eine Linearkombination der vorhergehenden Elemente ist.
Nachweisen. Brauchen. Angenommen, die Elemente ,, …, seien linear abhängig und sei dann die erste natürliche Zahl, für die die Elemente ,, …, linear abhängig sind
denn nicht alle gleich Null und notwendigerweise (sonst wäre dieser Koeffizient, was dem Gesagten widersprechen würde). Also haben wir eine Linearkombination
Angemessenheit ist offensichtlich, weil jede Menge, die eine linear abhängige Menge enthält, selbst linear abhängig ist ▼.
Definition. Basis (Koordinatensystem) eines linearen Raums L heißt Menge EIN linear unabhängige Elemente, so dass jedes Element aus L ist eine Linearkombination von Elementen aus EIN, 11.
Wir betrachten endlichdimensionale lineare Räume ,.
BeispielIII.9. Betrachten Sie einen dreidimensionalen Vektorraum . Nimm Einheitsvektoren,,. Sie bilden die Grundlage für
Zeigen Sie, dass die Vektoren linear unabhängig sind. Tatsächlich haben wir
oder . Von hier aus erhalten wir gemäß den Regeln der Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl und der Addition von Vektoren (Beispiel III.2).
Daher ,,▼.
Sei ein beliebiger Raumvektor, dann erhalten wir aufgrund der linearen Raumaxiome
Ähnliche Überlegungen gelten für ein Leerzeichen mit einer Basis, . Aus dem Hauptsatz folgt, dass in einem beliebigen endlichdimensionalen linearen Raum L Jedes Element kann als Linearkombination seiner Grundelemente,, ..., dargestellt werden, d.h.
Darüber hinaus ist eine solche Zerlegung einzigartig. In der Tat, lassen Sie uns haben
dann erhalten wir nach der Subtraktion
Aufgrund der Unabhängigkeit der Elemente ,,
Das ist ▼.
SatzIII.2 (zusätzlich zur Basis). Sei ein endlichdimensionaler linearer Raum und eine Menge linear unabhängiger Elemente. Wenn sie keine Basis bilden, dann ist es möglich, solche Elemente zu finden,, ...,, in denen die Menge der Elemente eine Basis bildet. Das heißt, jede linear unabhängige Menge von Elementen eines linearen Raums kann zu einer Basis vervollständigt werden.
Nachweisen. Da der Raum endlichdimensional ist, hat er eine Basis, die beispielsweise aus besteht n Elemente, seien diese Elemente. Betrachten Sie eine Reihe von Elementen.
Wenden wir den Hauptsatz an. Betrachten Sie in der Reihenfolge der Elemente die Menge EIN. Sie ist offensichtlich linear abhängig, da jedes der Elemente eine Linearkombination ist. Da die Elemente,, ..., linear unabhängig sind, fügt man der Reihe nach Elemente hinzu, bis beispielsweise das erste Element erscheint, so dass es sich um eine Linearkombination der vorherigen Vektoren dieser Menge handelt. Entfernen dieses Elements aus dem Set EIN, wir bekommen . Wir setzen dieses Verfahren fort, bis dieser Satz enthält n linear unabhängige Elemente, darunter alle Elemente ,, …, und n-m aus Elementen. Die resultierende Menge ist die Basis ▼.
BeispielIII.10. Beweisen Sie, dass die Vektoren , und eine linear abhängige Menge bilden und alle drei von ihnen linear unabhängig sind.
Zeigen wir, dass es nicht alle Nullzahlen gibt, für die
In der Tat haben wir für
Lineare Abhängigkeit ist bewiesen. Zeigen wir, dass ein Tripel von Vektoren, zum Beispiel ,,, eine Basis bildet. Machen wir eine Gleichstellung
Wenn wir Aktionen mit Vektoren ausführen, erhalten wir
Wenn wir die entsprechenden Koordinaten im rechten und linken Teil der letzten Gleichheit gleichsetzen, erhalten wir das Gleichungssystem ,,, es zu lösen, erhalten wir.
Eine ähnliche Überlegung gilt für die verbleibenden Tripel der Vektoren ,, oder ,,.
SatzIII.3 (über die Raumdimension). Alle Basen eines endlichdimensionalen linearen Raums L bestehen aus der gleichen Anzahl von Grundelementen.
Nachweisen. Gegeben seien zwei Mengen, wobei;,. Wir weisen jedem von ihnen eine von zwei Eigenschaften zu, die die Basis bestimmen: 1) durch die Elemente der Menge EIN beliebige Elemente aus L, 2) Elemente der Menge B stellen eine linear unabhängige Menge dar, aber nicht notwendigerweise alle. L. Wir gehen davon aus, dass die Elemente EIN und B bestellt.
Betrachten Sie den Satz EIN und auf seine Elemente anwenden m mal die Methode aus dem Hauptsatz. Da die Elemente aus B linear unabhängig sind, dann erhalten wir wie zuvor eine linear abhängige Menge
In der Tat, wenn , dann würden wir eine linear unabhängige Menge erhalten, und die verbleibenden n Elemente setzen B durch sie linear ausgedrückt werden, was unmöglich ist, was bedeutet . Aber auch das kann nicht sein, da die Menge (III.4) nach Konstruktion die Eigenschaft der Basis der Menge hat EIN. Weil Platz L endlichdimensional, also nur zwei unterschiedliche Basen des Raumes L bestehen aus der gleichen Anzahl von Elementen ▼.
Folge. In irgendeiner n-dimensionaler linearer Raum () kann unendlich viele Basen finden.
Nachweisen folgt aus der Regel der Multiplikation von Elementen eines linearen (Vektor-)Raums mit einer Zahl.
Definition. Die Dimension eines linearen Raums L ist die Anzahl der Elemente, die seine Basis bilden.
Aus der Definition folgt, dass die leere Menge von Elementen – ein trivialer linearer Raum – die Dimension 0 hat, was, wie angemerkt werden sollte, die Terminologie der linearen Abhängigkeit rechtfertigt und es uns erlaubt zu sagen: n-dimensionaler Raum hat Dimension n, .
Wenn wir also das Gesagte zusammenfassen, erhalten wir, dass jeder Satz von n+1 Artikel n-dimensionaler linearer Raum ist linear abhängig; Satz von n Elemente eines linearen Raums sind genau dann eine Basis, wenn sie linear unabhängig sind (oder jedes Element des Raums eine lineare Kombination von Elementen seiner Basis ist); In jedem linearen Raum ist die Anzahl der Basen unendlich.
BeispielIII.11 (Kronecker-Cappelli-Theorem).
Gegeben sei ein System linearer algebraischer Gleichungen
wo EIN – Koeffizientenmatrix des Systems, erweiterte Koeffizientenmatrix des Systems
Wo , (III.6)
diese Notation entspricht dem Gleichungssystem (III.5).
SatzIII.4 (Kronecker-Capelli). Das lineare algebraische Gleichungssystem (III.5) ist genau dann konsistent, wenn der Rang der Matrix A gleich dem Rang der Matrix ist, d.
Nachweisen.Brauchen. Sei System (III.5) widerspruchsfrei, dann hat es eine Lösung: ,,. Betrachten wir (III.6), , aber in diesem Fall gibt es eine Linearkombination von Vektoren,, …,. Daher kann man durch die Menge der Vektoren,,, ... jeden beliebigen Vektor ausdrücken. Das bedeutet es.
Angemessenheit. Lassen . Wir wählen eine beliebige Basis aus ,, …,, dann wird sie linear durch die Basis ausgedrückt (es können sowohl alle Vektoren als auch deren Teil sein) und somit durch alle Vektoren. Das Gleichungssystem ist also konsistent ▼.
Prüfen n-dimensionaler linearer Raum L. Jeder Vektor kann als Linearkombination dargestellt werden, wobei die Menge aus Basisvektoren besteht. Wir schreiben die lineare Kombination in das Formular um und stellen eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen den Elementen und ihren Koordinaten her
Das bedeutet, dass zwischen n-dimensionaler linearer Vektorraum von Vektoren über n-dimensionalen Feld der reellen Zahlen eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz hergestellt.
Definition. Zwei lineare Räume und über demselben Skalarfeld isomorph wenn es möglich ist, eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen ihren Elementen herzustellen f, so dass
Das heißt, ein Isomorphismus wird als eine Eins-zu-Eins-Entsprechung verstanden, die alle linearen Beziehungen bewahrt. Es ist klar, dass isomorphe Räume die gleiche Dimension haben.
Aus dem Beispiel und der Definition der Isomorphie folgt, dass isomorphe Räume vom Standpunkt der Untersuchung der Probleme der Linearität also formal gleich sind anstattn-dimensionaler linearer RaumLüber dem Feld kann nur das Feld untersucht werden.
Aufgabe 1. Finden Sie heraus, ob das Vektorsystem linear unabhängig ist. Das Vektorsystem wird durch die Matrix des Systems definiert, deren Spalten aus den Koordinaten der Vektoren bestehen.
Entscheidung. Die Linearkombination sei gleich Null. Nachdem wir diese Gleichheit in Koordinaten geschrieben haben, erhalten wir das folgende Gleichungssystem:
Ein solches Gleichungssystem heißt dreieckig. Es hat nur eine Lösung. Daher sind die Vektoren linear unabhängig.
Aufgabe 2. Finden Sie heraus, ob das Vektorsystem linear unabhängig ist.
Entscheidung. Die Vektoren sind linear unabhängig (siehe Aufgabe 1). Beweisen wir, dass der Vektor eine Linearkombination von Vektoren ist. Aus dem Gleichungssystem werden die Ausdehnungskoeffizienten in Vektoren bestimmt
Dieses System hat, wie ein dreieckiges, eine einzigartige Lösung.
Daher ist das Vektorsystem linear abhängig.
Kommentar. Matrizen wie in Aufgabe 1 werden aufgerufen dreieckig , und in Problem 2 – gestuft dreieckig . Die Frage nach der linearen Abhängigkeit eines Systems von Vektoren lässt sich leicht lösen, wenn die aus den Koordinaten dieser Vektoren zusammengesetzte Matrix schrittweise dreieckig ist. Wenn die Matrix keine spezielle Form hat, dann mit elementare Zeichenfolgentransformationen , unter Beibehaltung linearer Beziehungen zwischen Spalten, kann es auf eine gestufte Dreiecksform reduziert werden.
Elementare String-Transformationen Matrizen (EPS) heißen die folgenden Operationen auf der Matrix:
1) Permutation von Zeilen;
2) Multiplizieren einer Zeichenfolge mit einer Zahl ungleich Null;
3) Hinzufügen einer weiteren Zeichenfolge zu der Zeichenfolge, multipliziert mit einer beliebigen Zahl.
Aufgabe 3. Finden Sie das maximale linear unabhängige Teilsystem und berechnen Sie den Rang des Vektorsystems
Entscheidung. Reduzieren wir die Matrix des Systems mit Hilfe von EPS auf eine gestufte Dreiecksform. Zur Erläuterung des Verfahrens wird die Zeile mit der Nummer der zu transformierenden Matrix mit dem Symbol bezeichnet. Die Spalte nach dem Pfeil zeigt die Aktionen, die an den Zeilen der konvertierten Matrix durchgeführt werden müssen, um die Zeilen der neuen Matrix zu erhalten.
Offensichtlich sind die ersten beiden Spalten der resultierenden Matrix linear unabhängig, die dritte Spalte ist ihre Linearkombination und die vierte hängt nicht von den ersten beiden ab. Die Vektoren heißen basisch. Sie bilden das maximale linear unabhängige Subsystem des Systems , und der Rang des Systems ist drei.
Basis, Koordinaten
Aufgabe 4. Finden Sie die Basis und die Koordinaten der Vektoren in dieser Basis auf der Menge der geometrischen Vektoren, deren Koordinaten die Bedingung erfüllen.
Entscheidung. Die Menge ist eine Ebene, die durch den Ursprung geht. Eine beliebige Basis auf der Ebene besteht aus zwei nicht kollinearen Vektoren. Die Koordinaten der Vektoren in der gewählten Basis werden durch Lösen des entsprechenden linearen Gleichungssystems bestimmt.
Es gibt einen anderen Weg, dieses Problem zu lösen, wenn Sie die Basis durch Koordinaten finden können.
Die Raumkoordinaten sind keine Koordinaten in der Ebene, da sie durch die Relation zusammenhängen, also nicht unabhängig sind. Die unabhängigen Variablen und (sie heißen frei) bestimmen eindeutig den Vektor in der Ebene und können daher als Koordinaten in gewählt werden. Dann besteht die Basis aus Vektoren, die in Mengen freier Variablen und liegen und diesen entsprechen, also .
Aufgabe 5. Finden Sie die Basis und die Koordinaten der Vektoren in dieser Basis auf der Menge aller Vektoren im Raum , deren ungerade Koordinaten gleich sind.
Entscheidung. Wir wählen, wie in der vorherigen Aufgabe, die Koordinaten im Raum .
Seit , bestimmen die freien Variablen eindeutig den Vektor aus und sind daher Koordinaten. Die entsprechende Basis besteht aus Vektoren.
Aufgabe 6. Finden Sie die Basis und Koordinaten von Vektoren in dieser Basis auf der Menge aller Matrizen der Form , wobei beliebige Zahlen sind.
Entscheidung. Jede Matrix von kann eindeutig dargestellt werden als:
Diese Beziehung ist die Erweiterung des Vektors von in Bezug auf eine Basis mit Koordinaten .
Aufgabe 7. Finden Sie die Dimension und Basis der linearen Spannweite eines Vektorsystems
Entscheidung. Mit dem EPS transformieren wir die Matrix aus den Koordinaten der Systemvektoren in eine gestufte Dreiecksform.
Die Spalten der letzten Matrix sind linear unabhängig, und die Spalten werden durch sie linear ausgedrückt. Daher bilden die Vektoren eine Basis , und .
Kommentar. Die Basis in ist mehrdeutig gewählt. Beispielsweise bilden auch Vektoren eine Basis.
Sei ein Feld von Skalaren und F seine Basismenge. Lassen Sie - -dimensionalen arithmetischen Raum über - beliebiges System von Raumvektoren
DEFINITION. Eine Linearkombination eines Vektorsystems ist eine Summe der Form wobei . Die Skalare heißen die Koeffizienten der Linearkombination. Eine Linearkombination heißt nichttrivial, wenn mindestens einer ihrer Koeffizienten nicht Null ist. Eine Linearkombination heißt trivial, wenn alle ihre Koeffizienten gleich Null sind.
DEFINITION. Die Menge aller Linearkombinationen von Vektoren eines Systems heißt lineare Spanne dieses Systems und wird mit bezeichnet. Die lineare Spanne eines leeren Systems wird als eine Menge betrachtet, die aus einem Nullvektor besteht.
Also per definitionem
Es ist leicht zu sehen, dass die lineare Spanne eines gegebenen Vektorsystems unter den Operationen der Vektoraddition, Vektorsubtraktion und Multiplikation von Vektoren mit Skalaren geschlossen ist.
DEFINITION. Ein System von Vektoren heißt linear unabhängig, wenn für beliebige Skalare aus Gleichheit Gleichheit folgt. Leeres Vektorsystem
als linear unabhängig betrachtet.
Mit anderen Worten, ein endliches Vektorsystem ist genau dann linear unabhängig, wenn eine nicht triviale Linearkombination von Vektoren im System nicht gleich einem Nullvektor ist.
DEFINITION. Ein System von Vektoren heißt linear abhängig, wenn es Skalare gibt, die nicht alle gleich Null sind, so dass
Mit anderen Worten, ein endliches Vektorsystem heißt linear abhängig, wenn es eine nicht-triviale Linearkombination der Vektoren des Systems gibt, die gleich dem Nullvektor ist.
Vektorsystem
heißt Einheitsvektorsystem des Vektorraums und ist linear unabhängig. In der Tat impliziert Gleichheit für alle Skalare Gleichheit, und daher die Gleichheiten
Betrachten Sie die Eigenschaften der linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeit eines Vektorsystems.
EIGENTUM 1.1. Das Vektorsystem, das den Nullvektor enthält, ist linear abhängig.
Nachweisen. Wenn im Vektorsystem einer der Vektoren beispielsweise der Vektor Null ist, dann ist die Linearkombination der Vektoren des Systems, deren Koeffizienten alle Null sind, mit Ausnahme des Koeffizienten bei, gleich dem Nullvektor. Daher ist ein solches Vektorsystem linear abhängig.
EIGENTUM 1.2. Ein Vektorsystem ist linear abhängig, wenn eines seiner Teilsysteme linear abhängig ist.
Nachweisen. Sei ein linear abhängiges Teilsystem des Systems und mindestens einer der Koeffizienten sei ungleich Null. Dann ist das Vektorsystem folglich linear abhängig.
FOLGE. Jedes Teilsystem eines linear unabhängigen Systems ist linear unabhängig.
EIGENTUM 1.3. Vektorsystem
wobei genau dann linear abhängig ist, wenn mindestens einer der Vektoren eine Linearkombination der vorherigen Vektoren ist.
Nachweisen. Sei System (1) linear abhängig und dann gibt es Skalare, die nicht alle gleich Null sind, so dass
Bezeichne mit k die größte der Zahlen, die die Bedingung erfüllen, dann kann Gleichheit (2) geschrieben werden als
Beachten Sie, dass für andernfalls, da . Aus (3) folgt die Gleichheit
Nehmen wir nun an, dass der Vektor eine Linearkombination der ihm vorangehenden Vektoren ist, d. h. Dann ist , d. h. das Teilsystem von System (1) linear abhängig. Daher ist nach Eigenschaft 1.2 auch das ursprüngliche System (1) linear abhängig.
EIGENTUM 1.4. Wenn das Vektorsystem linear unabhängig ist, und das Vektorsystem
linear abhängig ist, dann wird der Vektor v durch die Vektoren linear ausgedrückt
und das auf einzigartige Weise.
Nachweisen. Nach Annahme ist System (2) linear abhängig, d. h. es gibt Skalare, die nicht alle gleich Null sind, so dass
Außerdem widerspricht seit dem die lineare Unabhängigkeit von System (1). Aus (3) folgt die Gleichheit
Aufgrund der linearen Unabhängigkeit von System (1) impliziert dies
EIGENTUM 1.5. Ob
Nachweisen. Die Bedingung bedeutet, dass es solche Skalare gibt
Die Bedingung bedeutet, dass es solche Skalare gibt
Aufgrund von (1) und (2) erhalten wir
SATZ 1.2. Wenn ein
dann ist das Vektorsystem linear abhängig. Beweis (durch Induktion über ).
Das System der Vektoren heißt linear abhängig, wenn es solche Zahlen gibt , von denen mindestens eine von Null verschieden ist, dass die Gleichheit https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.
Gilt diese Gleichheit nur, wenn alle , so heißt das Vektorsystem linear unabhängig.
Satz. Das System der Vektoren wird linear abhängig genau dann, wenn mindestens einer ihrer Vektoren eine Linearkombination der anderen ist.
Beispiel 1 Das Polynom ist eine lineare Kombination von Polynomen https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polynome bilden ein linear unabhängiges System, seit dem https-Polynom ://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.
Beispiel 2 Das Matrixsystem , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> ist linear unabhängig, da die Linearkombination gleich der ist Nullmatrix nur in wenn https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> linear abhängig.
Entscheidung.
Erstellen Sie eine lineare Kombination dieser Vektoren https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height ="22">.
Wenn wir die gleichnamigen Koordinaten gleicher Vektoren gleichsetzen, erhalten wir https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">
Endlich bekommen wir
Das System hat eine eindeutige triviale Lösung, sodass die Linearkombination dieser Vektoren nur dann Null ist, wenn alle Koeffizienten Null sind. Daher ist dieses Vektorsystem linear unabhängig.
Beispiel 4 Die Vektoren sind linear unabhängig. Was werden die Systeme von Vektoren sein
Entscheidung.
a). Bilden Sie eine Linearkombination und setzen Sie sie mit Null gleich
Unter Verwendung der Eigenschaften von Operationen mit Vektoren in einem linearen Raum schreiben wir die letzte Gleichheit in der Form um
Da die Vektoren linear unabhängig sind, müssen die Koeffizienten für gleich Null sein, d.h..gif" width="12" height="23 src=">
Das resultierende Gleichungssystem hat eine eindeutig triviale Lösung.
Seit Gleichberechtigung (*) ausgeführt nur unter https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – linear unabhängig;
b). Verfassen Sie die Gleichheit https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)
Wenn wir ähnliche Argumente anwenden, erhalten wir
Durch Lösen des Gleichungssystems nach der Gauß-Methode erhalten wir
Das letzte System hat unendlich viele Lösungen https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Somit gibt es eine nicht- Nullsatz von Koeffizienten, für die die Gleichheit (**) . Daher ist das Vektorsystem linear abhängig.
Beispiel 5 Das Vektorsystem ist linear unabhängig und das Vektorsystem ist linear abhängig..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)
In Gleichberechtigung (***) . Tatsächlich wäre das System für linear abhängig.
Aus der Relation (***) wir bekommen oder bezeichnen .
Aufgaben zur selbstständigen Lösung (im Unterricht)
1. Ein System, das einen Nullvektor enthält, ist linear abhängig.
2. Einzelvektorsystem a, ist genau dann linear abhängig, wenn a=0.
3. Ein aus zwei Vektoren bestehendes System ist genau dann linear abhängig, wenn die Vektoren proportional sind (d. h. einer aus dem anderen durch Multiplikation mit einer Zahl entsteht).
4. Addiert man zu einem linear abhängigen System einen Vektor, so erhält man ein linear abhängiges System.
5. Wenn ein Vektor aus einem linear unabhängigen System entfernt wird, dann ist das resultierende Vektorsystem linear unabhängig.
6. Wenn das System S linear unabhängig, wird aber linear abhängig, wenn ein Vektor hinzugefügt wird b, dann der Vektor b linear ausgedrückt durch die Vektoren des Systems S.
c). Das Matrizensystem , , im Raum der Matrizen zweiter Ordnung.
10. Lassen Sie das System von Vektoren a,b,c Der Vektorraum ist linear unabhängig. Beweisen Sie die lineare Unabhängigkeit der folgenden Vektorsysteme:
a).ein+b, b, c.
b).ein+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– willkürliche Nummer
c).ein+b, a+c, b+c.
11. Lassen a,b,c sind drei Vektoren in der Ebene, die verwendet werden können, um ein Dreieck zu bilden. Werden diese Vektoren linear abhängig sein?
12. Gegeben zwei Vektoren a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Nehmen Sie zwei weitere 4D-Vektoren auf a3 unda4 damit das System a1,a2,a3,a4 war linear unabhängig .
