Ich trigonometrische Form. Trigonometrische und Exponentialformen einer komplexen Zahl

3.1. Polar Koordinaten

Wird oft im Flugzeug verwendet Polarkoordinatensystem . Es wird definiert, wenn ein Punkt O gegeben ist, aufgerufen Pole, und ein Strahl, der von der Stange ausgeht (für uns ist dies die Achse Ox) ist die Polachse. Die Position des Punktes M wird durch zwei Zahlen festgelegt: Radius (oder Radiusvektor) und der Winkel φ zwischen der Polachse und dem Vektor . Der Winkel φ heißt Polarwinkel; im Bogenmaß gemessen und von der Polachse gegen den Uhrzeigersinn gezählt.

Die Position eines Punktes im Polarkoordinatensystem wird durch ein geordnetes Zahlenpaar (r; φ) angegeben. An der Stange r = 0 und φ ist nicht definiert. Für alle anderen Punkte r > 0 und φ ist bis zu einem Vielfachen von 2π definiert. Dabei wird den Zahlenpaaren (r; φ) und (r 1 ; φ 1) der gleiche Punkt zugeordnet, wenn .

Für ein rechteckiges Koordinatensystem xOy Die kartesischen Koordinaten eines Punktes lassen sich leicht in Form seiner Polarkoordinaten wie folgt ausdrücken:

3.2. Geometrische Interpretation einer komplexen Zahl

Betrachten Sie in der Ebene das rechtwinklige kartesische Koordinatensystem xOy.

Jeder komplexen Zahl z=(a, b) wird ein Punkt der Ebene mit Koordinaten ( x, y), wo Koordinate x = a, d.h. der Realteil der komplexen Zahl, und die Koordinate y = bi ist der Imaginärteil.

Eine Ebene, deren Punkte komplexe Zahlen sind, ist eine komplexe Ebene.

In der Abbildung die komplexe Zahl z = (a, b) Matchball M(x,y).

Übung.Zeichnen Sie komplexe Zahlen auf der Koordinatenebene:

3.3. Trigonometrische Form einer komplexen Zahl

Eine komplexe Zahl in der Ebene hat die Koordinaten eines Punktes M(x;y). Dabei:

Schreiben einer komplexen Zahl - trigonometrische Form einer komplexen Zahl.

Die Zahl r wird aufgerufen Modul komplexe Zahl z und bezeichnet ist. Modul ist eine nicht negative reelle Zahl. Zum .

Der Modul ist genau dann Null, wenn z = 0, d.h. a=b=0.

Die Zahl φ wird aufgerufen Argument z und bezeichnet. Das Argument z ist wie der Polarwinkel im Polarkoordinatensystem mehrdeutig definiert, nämlich bis zu einem Vielfachen von 2π.

Dann akzeptieren wir: , wobei φ der kleinste Wert des Arguments ist. Es ist klar, dass

Bei einer tieferen Beschäftigung mit dem Thema wird ein Hilfsargument φ* eingeführt, so dass

Beispiel 1. Finden Sie die trigonometrische Form einer komplexen Zahl.

Lösung. 1) wir betrachten das Modul: ;

2) Suche nach φ: ;

3) trigonometrische Form:

Beispiel 2 Finde die algebraische Form einer komplexen Zahl .

Hier reicht es aus, die Werte trigonometrischer Funktionen zu ersetzen und den Ausdruck umzuwandeln:

Beispiel 3 Finden Sie den Betrag und das Argument einer komplexen Zahl ;

1) ;

2) ; φ - in 4 Vierteln:

3.4. Operationen mit komplexen Zahlen in trigonometrischer Form

· Addition und Subtraktion Es ist bequemer, mit komplexen Zahlen in algebraischer Form zu arbeiten:

· Multiplikation– mit Hilfe einfacher trigonometrischer Transformationen lässt sich das zeigen Beim Multiplizieren werden die Zahlenmodule multipliziert und die Argumente addiert: ;

KOMPLEXE ZAHLEN XI

§ 256. Trigonometrische Form komplexer Zahlen

Lassen Sie die komplexe Zahl ein + bi entspricht Vektor OA> mit Koordinaten ( ein, b ) (siehe Abb. 332).

Bezeichnen Sie die Länge dieses Vektors mit r , und den Winkel, den es mit der Achse bildet X , durch φ . Per Definition von Sinus und Cosinus:

a / r = cos φ , b / r = Sünde φ .

Deshalb a = r cos φ , b = r Sünde φ . Aber in diesem Fall die komplexe Zahl ein + bi kann geschrieben werden als:

ein + bi = r cos φ + ir Sünde φ = r (Kos φ + ich Sünde φ ).

Wie Sie wissen, ist das Quadrat der Länge eines beliebigen Vektors gleich der Summe der Quadrate seiner Koordinaten. Deshalb r 2 = a 2 + b 2 , woher r = √a 2 + b 2

So, jede komplexe Zahl ein + bi darstellen kann als :

ein + bi = r (Kos φ + ich Sünde φ ), (1)

wo r = √a 2 + b 2 und der Winkel φ ermittelt aus der Bedingung:

Diese Form des Schreibens von komplexen Zahlen nennt man trigonometrisch.

Nummer r in Formel (1) genannt Modul, und der Winkel φ - Streit, komplexe Zahl ein + bi .

Wenn eine komplexe Zahl ein + bi ungleich Null ist, dann ist sein Modul positiv; wenn ein + bi = 0, dann a = b = 0 und dann r = 0.

Der Modul jeder komplexen Zahl ist eindeutig bestimmt.

Wenn eine komplexe Zahl ein + bi nicht gleich Null ist, dann wird sein Argument durch die Formeln (2) bestimmt bestimmt bis zu einem Vielfachen des Winkels von 2 π . Wenn ein + bi = 0, dann a = b = 0. In diesem Fall r = 0. Aus Formel (1) ist dies als Argument leicht zu verstehen φ In diesem Fall können Sie jeden Winkel wählen: schließlich für jeden φ

0 (Kos φ + ich Sünde φ ) = 0.

Daher ist das Nullargument nicht definiert.

Komplexer Zahlenmodul r bezeichnen manchmal | z |, und das Argument arg z . Schauen wir uns einige Beispiele für die Darstellung komplexer Zahlen in trigonometrischer Form an.

Beispiel. eines. 1 + ich .

Lassen Sie uns das Modul finden r und Argument φ diese Nummer.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Deshalb Sünde φ = 1 / √ 2 , cos φ = 1 / √ 2 , woher φ = π / 4 + 2nπ .

Auf diese Weise,

1 + ich = √ 2 ,

wo P - jede ganze Zahl. Normalerweise wird aus einer unendlichen Menge von Werten des Arguments einer komplexen Zahl einer ausgewählt, der zwischen 0 und 2 liegt π . In diesem Fall ist dieser Wert π / vier . Deshalb

1 + ich = √ 2 (Kos π / 4 + ich Sünde π / 4)

Beispiel 2 Schreiben Sie in trigonometrischer Form eine komplexe Zahl √ 3 - ich . Wir haben:

r = √ 3+1 = 2 cos φ = √ 3 / 2 , Sünde φ = - 1 / 2

Also bis auf einen durch 2 teilbaren Winkel π , φ = 11 / 6 π ; Folglich,

√ 3 - ich = 2(cos 11 / 6 π + ich Sünde 11 / 6 π ).

Beispiel 3 Schreiben Sie in trigonometrischer Form eine komplexe Zahl ich .

komplexe Zahl ich entspricht Vektor OA> endet am Punkt A der Achse bei mit Ordinate 1 (Abb. 333). Die Länge eines solchen Vektors ist gleich 1, und der Winkel, den er mit der Abszissenachse bildet, ist gleich π / 2. Deshalb

ich = cos π / 2 + ich Sünde π / 2 .

Beispiel 4 Schreibe die komplexe Zahl 3 in trigonometrischer Form.

Die komplexe Zahl 3 entspricht dem Vektor OA > X Abszisse 3 (Abb. 334).

Die Länge eines solchen Vektors ist 3, und der Winkel, den er mit der x-Achse bildet, ist 0. Also

3 = 3 (cos 0 + ich Sünde 0),

Beispiel 5 Schreiben Sie in trigonometrischer Form die komplexe Zahl -5.

Die komplexe Zahl -5 entspricht dem Vektor OA> endet am Achspunkt X mit Abszisse -5 (Abb. 335). Die Länge eines solchen Vektors ist 5, und der Winkel, den er mit der x-Achse bildet, ist π . Deshalb

5 = 5 (cos π + ich Sünde π ).

Übungen

2047. Schreiben Sie diese komplexen Zahlen in trigonometrischer Form und definieren Sie ihre Module und Argumente:

1) 2 + 2√3 ich , 4) 12ich - 5; 7).3ich ;

2) √3 + ich ; 5) 25; 8) -2ich ;

3) 6 - 6ich ; 6) - 4; 9) 3ich - 4.

2048. Geben Sie auf der Ebene die Punktmengen an, die komplexe Zahlen darstellen, deren Module r und Argumente φ die Bedingungen erfüllen:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Können Zahlen gleichzeitig Modul einer komplexen Zahl sein? r und - r ?

2050. Kann das Argument einer komplexen Zahl gleichzeitig Winkel sein? φ und - φ ?

Stellen Sie diese komplexen Zahlen in trigonometrischer Form dar, indem Sie ihre Module und Argumente definieren:

2051*. 1 + cos α + ich Sünde α . 2054*. 2(cos 20° - ich Sünde 20°).

2052*. Sünde φ + ich cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - ich Sünde 15°).

2.3. Trigonometrische Form komplexer Zahlen

Der Vektor sei auf der komplexen Ebene durch die Zahl gegeben.

Bezeichne mit φ den Winkel zwischen der positiven Halbachse Ox und dem Vektor (der Winkel φ gilt als positiv, wenn er gegen den Uhrzeigersinn gezählt wird, und ansonsten als negativ).

Bezeichne die Länge des Vektors mit r. Dann . Wir bezeichnen auch

Schreiben einer komplexen Zahl ungleich Null z als

heißt die trigonometrische Form der komplexen Zahl z. Die Zahl r heißt Modul der komplexen Zahl z, und die Zahl φ heißt Argument dieser komplexen Zahl und wird mit Arg z bezeichnet.

Die trigonometrische Schreibweise einer komplexen Zahl - (Eulers Formel) - eine exponentielle Schreibweise einer komplexen Zahl:

Die komplexe Zahl z hat unendlich viele Argumente: Wenn φ0 irgendein Argument der Zahl z ist, dann können alle anderen durch die Formel gefunden werden

Für eine komplexe Zahl sind das Argument und die trigonometrische Form nicht definiert.

Somit ist das Argument einer komplexen Zahl ungleich Null jede Lösung des Gleichungssystems:

(3)

Der Wert φ des Arguments einer komplexen Zahl z, der die Ungleichungen erfüllt, heißt Hauptwert und wird mit arg z bezeichnet.

Die Argumente Arg z und arg z sind durch Gleichheit verwandt

, (4)

Formel (5) ist eine Folge von System (3), also erfüllen alle Argumente der komplexen Zahl Gleichung (5), aber nicht alle Lösungen φ von Gleichung (5) sind Argumente der Zahl z.

Der Hauptwert des Arguments einer komplexen Zahl ungleich Null wird durch die Formeln gefunden:

Die Formeln für die Multiplikation und Division komplexer Zahlen in trigonometrischer Form lauten wie folgt:

. (7)

Wenn eine komplexe Zahl in eine natürliche Potenz erhoben wird, wird die Formel von de Moivre verwendet:

Beim Wurzelziehen aus einer komplexen Zahl wird die Formel verwendet:

, (9)

wobei k=0, 1, 2, …, n-1.

Aufgabe 54. Berechnen Sie , wobei .

Stellen wir die Lösung dieses Ausdrucks in der Exponentialform dar, indem wir eine komplexe Zahl schreiben: .

Wenn, dann .

Dann , . Also dann und , wo .

Antworten: , bei .

Aufgabe 55. Schreiben Sie komplexe Zahlen in trigonometrischer Form:

a) ; b) ; in) ; G) ; e) ; e) ; und) .

Da die trigonometrische Form einer komplexen Zahl ist, dann:

a) In einer komplexen Zahl: .

Deshalb

b) , wo ,

G) , wo ,

e) .

und) , a , dann .

Deshalb

Antworten: ; 4; ; ; ; ; .

Aufgabe 56. Finden Sie die trigonometrische Form einer komplexen Zahl

Lassen , .

Dann , , .

Weil und , , dann , und

Deshalb, deshalb

Antworten: , wo .

Aufgabe 57. Führen Sie unter Verwendung der trigonometrischen Form einer komplexen Zahl die folgenden Aktionen aus: .

Stellen Sie sich Zahlen vor und in trigonometrischer Form.

1), wo dann

Den Wert des Hauptarguments ermitteln:

Ersetzen Sie die Werte und in den Ausdruck , wir erhalten

2) wo dann

Dann

3) Finden Sie den Quotienten

Unter der Annahme k=0, 1, 2 erhalten wir drei verschiedene Werte der gesuchten Wurzel:

Wenn, dann

wenn, dann

wenn, dann .

Antworten: :

: .

Aufgabe 58. Seien , , , verschiedene komplexe Zahlen und . Beweise das

eine Zahl ist eine reelle positive Zahl;

b) die Gleichstellung erfolgt:

a) Stellen wir diese komplexen Zahlen in trigonometrischer Form dar:

Als .

Stellen wir uns das vor. Dann

Der letzte Ausdruck ist eine positive Zahl, da unter den Sinuszeichen Zahlen aus dem Intervall stehen.

weil die nummer echt und positiv. In der Tat, wenn a und b komplexe Zahlen sind und reell und größer als Null sind, dann .

Außerdem,

damit ist die geforderte Gleichheit bewiesen.

Aufgabe 59. Schreiben Sie die Zahl in algebraischer Form auf .

Wir stellen die Zahl in trigonometrischer Form dar und finden dann ihre algebraische Form. Wir haben . Zum Wir bekommen das System:

Daraus folgt die Gleichheit: .

Anwendung der Formel von De Moivre:

wir bekommen

Die trigonometrische Form der gegebenen Zahl wird gefunden.

Wir schreiben diese Zahl nun in algebraischer Form:

Antworten: .

Aufgabe 60. Finde die Summe , ,

Betrachten Sie die Summe

Wenden wir die Formel von De Moivre an, finden wir

Diese Summe ist die Summe von n Gliedern einer geometrischen Folge mit einem Nenner und erstes Mitglied .

Wenden wir die Formel für die Summe der Terme einer solchen Progression an, haben wir

Trennen Sie den Imaginärteil im letzten Ausdruck, finden wir

Durch Trennen des Realteils erhalten wir auch die folgende Formel: , , .

Aufgabe 61. Finden Sie die Summe:

a) ; b) .

Nach Newtons Potenzformel haben wir

Nach der Formel von De Moivre finden wir:

Wenn wir die Real- und Imaginärteile der erhaltenen Ausdrücke für gleichsetzen, haben wir:

und .

Diese Formeln können in kompakter Form wie folgt geschrieben werden:

, wobei der ganzzahlige Teil der Zahl a ist.

Aufgabe 62. Finden Sie alle, für die .

Weil die , dann Anwendung der Formel

, Um die Wurzeln zu extrahieren, bekommen wir ,

Folglich, , ,

, .

Die den Zahlen entsprechenden Punkte befinden sich an den Ecken eines Quadrats, das in einen Kreis mit Radius 2 eingeschrieben ist, dessen Mittelpunkt der Punkt (0;0) ist (Abb. 30).

Antworten: , ,

, .

Aufgabe 63. Lösen Sie die Gleichung , .

Nach Bedingung ; daher hat diese Gleichung keine Wurzel und ist daher äquivalent zu der Gleichung.

Damit die Zahl z die Wurzel dieser Gleichung ist, muss die Zahl die n-te Wurzel der Zahl 1 sein.

Daraus schließen wir, dass die ursprüngliche Gleichung Wurzeln hat, die aus den Gleichungen bestimmt sind

Auf diese Weise,

d.h. ,

Antworten: .

Aufgabe 64. Lösen Sie die Gleichung in der Menge der komplexen Zahlen.

Da die Zahl nicht die Wurzel dieser Gleichung ist, dann ist diese Gleichung gleichbedeutend mit der Gleichung

Das heißt, die Gleichung.

Alle Nullstellen dieser Gleichung erhält man aus der Formel (siehe Aufgabe 62):

; ; ; ; .

Aufgabe 65. Zeichnen Sie auf der komplexen Ebene eine Menge von Punkten, die die Ungleichungen erfüllen: . (2. Weg zur Lösung von Problem 45)

Lassen .

Komplexe Zahlen mit gleichen Moduln entsprechen Punkten der Ebene, die auf einem Kreis liegen, dessen Mittelpunkt der Ursprung ist, also die Ungleichung erfüllen alle Punkte eines offenen Rings, der durch Kreise mit einem gemeinsamen Mittelpunkt im Ursprung und den Radien und begrenzt ist (Abb. 31). Ein Punkt der komplexen Ebene korrespondiere mit der Zahl w0. Nummer , hat einen Modulus, der mal kleiner ist als der Modulus w0, ein Argument, das größer ist als das Argument w0. Aus geometrischer Sicht kann der Punkt, der w1 entspricht, unter Verwendung einer am Ursprung zentrierten Homothetie und des Koeffizienten sowie einer Drehung gegen den Uhrzeigersinn relativ zum Ursprung erhalten werden. Durch die Anwendung dieser beiden Transformationen auf die Punkte des Rings (Abb. 31) wird dieser zu einem Ring, der von Kreisen mit demselben Mittelpunkt und denselben Radien 1 und 2 begrenzt wird (Abb. 32).

Transformation wird unter Verwendung einer parallelen Übersetzung auf dem Vektor implementiert. Überträgt man den punktzentrierten Ring auf den angegebenen Vektor, so erhält man einen punktzentrierten Ring gleicher Größe (Abb. 22).

Die vorgeschlagene Methode, die die Idee geometrischer Transformationen der Ebene verwendet, ist wahrscheinlich weniger bequem in der Beschreibung, aber sehr elegant und effizient.

Aufgabe 66. Finde wenn .

Lassen Sie , dann und . Die ursprüngliche Gleichheit nimmt die Form an . Aus der Gleichheitsbedingung zweier komplexer Zahlen erhalten wir , , woraus , . Auf diese Weise, .

Schreiben wir die Zahl z in trigonometrischer Form:

, wo , . Nach der Formel von De Moivre finden wir .

Antwort: - 64.

Aufgabe 67. Finden Sie für eine komplexe Zahl alle komplexen Zahlen, so dass , und .

Stellen wir die Zahl in trigonometrischer Form dar:

. Somit , . Für eine Zahl, die wir erhalten, kann beides gleich sein.

Im ersten Fall , in dieser Sekunde

Antworten: , .

Aufgabe 68. Finden Sie die Summe von Zahlen, so dass . Geben Sie eine dieser Nummern an.

Beachten Sie, dass bereits aus der Formulierung des Problems ersichtlich ist, dass die Summe der Wurzeln der Gleichung gefunden werden kann, ohne die Wurzeln selbst zu berechnen. In der Tat die Summe der Wurzeln der Gleichung ist der Koeffizient von , genommen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen (das verallgemeinerte Vieta-Theorem), d.h.

Schüler, Schuldokumentation, ziehen Rückschlüsse auf den Grad der Assimilation dieses Konzepts. Fassen Sie das Studium der Merkmale des mathematischen Denkens und den Prozess der Bildung des Konzepts einer komplexen Zahl zusammen. Beschreibung der Methoden. Diagnostik: Ich stufe ein. Das Interview wurde mit einem Mathematiklehrer geführt, der in der 10. Klasse Algebra und Geometrie unterrichtet. Das Gespräch fand nach einiger Zeit statt...

Resonanz“(!)), die auch eine Einschätzung des eigenen Verhaltens beinhaltet. 4. Kritische Einschätzung des eigenen Situationsverständnisses (Zweifel). 5. Schließlich die Anwendung der Empfehlungen der Rechtspsychologie (Berücksichtigung der psychologischen Aspekte der die beruflichen Handlungen des Anwalts - professionelle psychologische Bereitschaft).

Mathematik der trigonometrischen Substitution und Überprüfung der Wirksamkeit der entwickelten Lehrmethodik. Arbeitsschritte: 1. Entwicklung eines Wahlpflichtkurses zum Thema: „Anwendung der trigonometrischen Substitution zur Lösung algebraischer Probleme“ mit Studierenden in mathematisch vertiefenden Klassen. 2. Durchführung eines entwickelten optionalen Kurses. 3. Durchführung einer Diagnosekontrolle...

Kognitive Aufgaben sind nur als Ergänzung zu bestehenden Lehrmitteln gedacht und sollten in angemessener Kombination mit allen traditionellen Mitteln und Elementen des Bildungsprozesses stehen. Bildungsprobleme im geisteswissenschaftlichen Unterricht unterscheiden sich von exakten, mathematischen Problemen nur darin, dass es bei historischen Problemen keine Formeln, starren Algorithmen etc. gibt, was deren Lösung erschwert. ...

Aktionen auf komplexen Zahlen in algebraischer Form

Die algebraische Form der komplexen Zahl z =(a,b) heißt ein algebraischer Ausdruck der Form

z = a + Bi.

Arithmetische Operationen mit komplexen Zahlen z 1 = ein 1 +b 1 ich und z 2 = ein 2 +b 2 ich, geschrieben in algebraischer Form, werden wie folgt ausgeführt.

1. Summe (Differenz) komplexer Zahlen

z 1 ±z 2 = (a 1 ± ein 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

diese. Die Addition (Subtraktion) erfolgt nach der Regel der Addition von Polynomen mit Reduktion ähnlicher Elemente.

2. Produkt komplexer Zahlen

z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 -b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 + a 2 ∙b 1)∙i,

diese. Die Multiplikation wird gemäß der üblichen Regel für die Multiplikation von Polynomen durchgeführt, wobei die Tatsache berücksichtigt wird, dass ich 2 = 1.

3. Die Division zweier komplexer Zahlen erfolgt nach folgender Regel:

, (z 2 ≠ 0),

diese. Die Division erfolgt durch Multiplikation des Dividenden und des Divisors mit dem Konjugierten des Divisors.

Die Potenzierung komplexer Zahlen ist wie folgt definiert:

Es ist leicht, das zu zeigen

Beispiele.

1. Finde die Summe komplexer Zahlen z 1 = 2 – ich und z 2 = – 4 + 3ich.

z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3ich) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) ich = –2+2ich.

2. Finden Sie das Produkt komplexer Zahlen z 1 = 2 – 3ich und z 2 = –4 + 5ich.

= (2 – 3ich) ∙ (–4 + 5ich) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3ich)+ 2∙5ich– 3ich∙ 5ich = 7+22ich.

3. Privat finden z von der Teilung z 1 \u003d 3 - 2 z 2 = 3 – ich.

z= .

4. Lösen Sie die Gleichung:, x und j Î R.

(2x+y) + (x+y)ich = 2 + 3ich.

Aufgrund der Gleichheit komplexer Zahlen gilt:

wo x=–1 , j= 4.

5. Berechnen: ich 2 ,ich 3 ,ich 4 ,ich 5 ,ich 6 ,ich -1 , ich -2 .

6. Berechnen Sie, ob .

7. Berechnen Sie den Kehrwert einer Zahl z=3-ich.

Komplexe Zahlen in trigonometrischer Form

komplexe Ebene heißt eine Ebene mit kartesischen Koordinaten ( x, y), wenn jeder Punkt mit Koordinaten ( ein, b) wird eine komplexe Zahl zugewiesen z = a + bi. In diesem Fall wird die Abszissenachse genannt echte Achse, und die y-Achse ist imaginär. Dann jede komplexe Zahl a+bi geometrisch auf einer Ebene als Punkt dargestellt A (a, b) oder Vektor .

Daher die Position des Punktes ABER(und damit die komplexe Zahl z) kann durch die Länge des Vektors | eingestellt werden | = r und Winkel j gebildet durch den Vektor | | mit der positiven Richtung der reellen Achse. Die Länge eines Vektors heißt komplexer Zahlenmodul und ist mit | bezeichnet z|=r, und der Winkel j genannt Argument für komplexe Zahlen und bezeichnet j = argz.

Es ist klar, dass | z| ³ 0 und | z | = 0 Û z= 0.

Von Abb. 2 zeigt das.

Das Argument einer komplexen Zahl ist mehrdeutig definiert und bis zu 2 pk,kÎ Z.

Von Abb. 2 zeigt auch, dass wenn z=a+bi und j=argz, dann

cos j =, Sünde j =, z j = .

Wenn ein zОR und z > 0 dann argz = 0 +2pk;

wenn z ОR und z< 0 dann argz = p + 2pk;

wenn z= 0,Argz unentschlossen.

Der Hauptwert des Arguments wird im Intervall 0 bestimmt £argz£2 p,

oder -p£ arg z £ p.

Beispiele:

1. Finden Sie den Modul komplexer Zahlen z 1 = 4 – 3ich und z 2 = –2–2ich.