ABSCHNITT ZWEI.

IDENTITÄTSTRANSFORMATIONEN

(ERSTE VIER ALGEBRAISCHE AKTIONEN).

Kapitel eins.

Polynom und Monom.

42. Polynom und Monom. Ein algebraischer Ausdruck, der aus mehreren anderen Ausdrücken besteht, die durch + oder - Zeichen verbunden sind, wird als Polynom bezeichnet. Dies ist beispielsweise der Ausdruck:

Separate Ausdrücke, aus deren Kombination sich die Zeichen + oder - als Polynom herausstellten, werden als Mitglieder bezeichnet. Üblicherweise werden die Terme eines Polynoms zusammen mit den vor ihnen stehenden Zeichen betrachtet; zum Beispiel sagen sie: Mitglied - a , Mitglied + b 2 usw. Vor dem ersten Glied, wenn kein Zeichen davor steht, kann man enak + meinen; In unserem Beispiel ist der erste Term also ab oder + ab .

Ein Ausdruck, der nur aus einem Glied besteht, wird als Einglied bezeichnet, aus zwei Gliedern - Zweiglied, aus Drei - Dreiglied usw. Ein Monom ist entweder eine einzelne Zahl, die durch einen Buchstaben oder Zahlen ausgedrückt wird (z. B. - a , + 10) oder ein Produkt (z. ab ) oder privat (z. a-b / 2 ) oder Abschluss (z. b 2); sondern ein Monom darf weder die Summe noch die Differenz sein , denn sonst wäre es ein Binom, ein Trinom, überhaupt ein Polynom.

Wenn ein Monom ein Quotient ist, dann wird es ein gebrochenes Monom genannt; alle anderen Monome heißen Ziele. In unserem Beispiel also das Monom a-b / 2 ist gebrochen, und alle anderen Mitglieder des Polynoms sind ganze Zahlen. Da wir zu Beginn der Algebra nur von ganzzahligen Monomen sprechen, nennen wir sie der Kürze halber einfach "Monome".

Wenn alle Glieder eines Polynoms ganze Zahlen sind, dann heißt es auch ganze Zahlen.

43. Koeffizient. Angenommen, wir erhalten ein Produkt:

a 3ab (- 2) ,

in der einige Faktoren in Zahlen, andere in Buchstaben ausgedrückt werden. Solche Produkte können (unter Verwendung der assoziativen und kommutativen Eigenschaften der Multiplikation) transformiert werden, indem in einer Gruppe alle in Zahlen ausgedrückten Faktoren und in einer anderen Gruppe alle in Buchstaben ausgedrückten Faktoren kombiniert werden a, usw.:

3 (- 2) (äh) b ,

was kann man kurz schreiben:- 6a 2 b ;. So was:

-l0 axx (- 2) = + 20Oh 2 , usw.

Der in Zahlen ausgedrückte Faktor, der den alphabetischen Faktoren vorangestellt wird, wird als Monomkoeffizient bezeichnet. Also, in einem Monom - 6a 2 b Anzahl - 6 es gibt einen Koeffizienten.

Beachten Sie, dass, wenn der Koeffizient eine positive ganze Zahl ist, dies bedeutet, wie oft wird durch den Begriff wiederholt der wörtliche Ausdruck, auf den es sich bezieht; So, 3 ab = 3(ab) =(ab) 3 =ab + ab + ab . Wenn der Koeffizient ein Bruch ist, dann drückt er aus, welcher Bruch aus dem Zahlenwert des wörtlichen Ausdrucks genommen wird. So:
2 / 3 Oh = Oh 2 / 3 , und multiplizieren Oh auf der 2 / 3 bedeutet nehmen 2 / 3 von Nummer Oh .

44. Eigenschaften eines Polynoms. Jedes Polynom kann als algebraische Summe seiner Mitglieder betrachtet werden. Zum Beispiel ein Polynom

2a - b + mit

Es gibt eine Summe: 2a + (- b) + (+ mit ) weil der Ausdruck + (- b) entspricht dem Ausdruck - b und Ausdruck + (+ mit ) bedeutet dasselbe wie + mit . Folglich gehören auch alle Eigenschaften der Summe relativer Zahlen (Abschn. 1 § 25) zum Polynom. Erinnern wir uns an die wichtigsten dieser Eigenschaften:

a) Eigentum übertragen: der numerische Wert des Polynoms ändert sich nicht, wenn seine Mitglieder verschoben werden (mit ihren Zeichen).

Nehmen wir zum Beispiel an, wir finden den numerischen Wert des Polynoms

2a 2 - ab + b 2 - 1 / 2 a

beim ein = - 4 und b = - 3. Dazu berechnen wir zunächst jeden Term einzeln:

2a 2 = 2(- 4) 2 = 2(- 4)(- 4) = 32 ; - ab = - (- 4) (- 3)= -12 ;

b 2 =(- 3) 2 = (- 3)(- 3)= +9 ; - 1 / 2 a = - 1 / 2 (- 4)= +2 .

Jetzt addieren wir alle erhaltenen Zahlen oder in der Reihenfolge, in der die Mitglieder des Polynoms geschrieben sind:

32 - 12 + 9 + 2 = 31,

oder in einer anderen Reihenfolge erhalten wir immer die gleiche Zahl 31.

b) assoziative Eigenschaft: der numerische Wert des Polynoms ändert sich nicht, wenn wir einen seiner Terme durch ihre algebraische Summe ersetzen.

Also, wenn wir in dem jetzt genommenen Polynom die Terme ersetzen - ab , + b 2 und - 1 / 2 a ihre algebraische Summe, d. h. nehmen Sie dieses Polynom in der folgenden Form an:

2a 2 + (- ab + b 2 - 1 / 2 a )

dann bei a = - 4 und b = - 3 erhalten wir:

32 + (- 12 + 9 + 2) = 32 + (- 1) = 31,

d.h. wir bekommen die gleiche Nummer 31 wie vorher. Wir bemerken auch die folgende wichtige Eigenschaft des Polynoms:

in) Wenn wir vor jedem Mitglied des Polynoms das Vorzeichen in das Gegenteil ändern, ändert auch der numerische Wert des Polynoms das Vorzeichen in das Gegenteil, und sein Absolutwert ändert sich nicht.

Zum Beispiel der numerische Wert des Polynoms 2a 2 - ab + b 2 - 1 / 2 a
beim a = - 4 und b = - 3 ist, wie wir gesehen haben, 31 und der Zahlenwert des Polynoms - 2a 2 + ab- b 2 + 1 / 2 a bei gleichen Werten der Buchstaben ist gleich -31.

45. Reduzierung ähnlicher Begriffe. Manchmal gibt es in einem Polynom solche Terme, die sich nur in Koeffizienten oder Vorzeichen voneinander unterscheiden oder sich überhaupt nicht unterscheiden; solche Mitglieder werden ähnlich genannt. Zum Beispiel in einem Polynom

der erste Term ist dem dritten ähnlich (sie sind durch eine Linie unterstrichen), der zweite Term ist dem vierten und sechsten ähnlich (unterstrichen durch zwei Linien), und der fünfte Term hat keine Entsprechungen.

Enthält ein Polynom ähnliche Terme, so können diese zu einem Term zusammengefasst werden. In dem jetzt gegebenen Beispiel können wir also (basierend auf der assoziativen Eigenschaft eines Polynoms) Mitglieder zu solchen Gruppen zusammenfassen:

(4a + 0,5a) + (- 3x + 8x - 2X) + 3 Axt .

Aber es ist offensichtlich, dass 4 von einigen Zahlen und 0,5 von derselben Zahl 4,5 von derselben Zahl sind. Meint, 4a + 0,5a = 4,5a . Gleichermaßen - 3x + 8x = 5X und 5X - 2X =3X . Das Polynom lässt sich also wie folgt darstellen:

4,5a + 3X+ 3 Axt .

Beachten Sie, dass die Kombination aller ähnlichen Mitglieder eines Polynoms zu einem Mitglied normalerweise als Reduktion ähnlicher Mitglieder eines Polynoms bezeichnet wird.

Kommentar. Zwei ähnliche Terme mit gleichen Koeffizienten, aber unterschiedlichen (sie heben sich durch Vorzeichen auf, so sind zum Beispiel die Terme + 2 a und 2 a, oder - 1 / 2 X 2 und + 1 / 2 X 2 .

Beispiele.

Kapitel Zwei.

Algebraische Addition und Subtraktion.

46. ​​​​Was sind "algebraische Operationen".

In der Arithmetik werden Operationen mit Zahlen durchgeführt, und das Ergebnis ist eine neue Zahl. In der Algebra werden Aktionen nicht mit Zahlen, sondern mit algebraischen Ausdrücken ausgeführt, und das Ergebnis ist ein neuer algebraischer Ausdruck. Multiplizieren Sie zum Beispiel das Monom 3 a in ein Monom 2 a - bedeutet erstens, die Multiplikation mit den akzeptierten Zeichen anzuzeigen:

(3a) (2a)

und zweitens, wenn möglich, den resultierenden algebraischen Ausdruck in einen anderen, einfacheren zu transformieren. In unserem Beispiel kann die Transformation folgendermaßen erfolgen: eine Zahl mit dem Produkt multiplizieren 2 a , können Sie diese Zahl zunächst mit multiplizieren 2 und multipliziere dann das Ergebnis mit a .

(3a) (2a) = (3a) 2a .

Im letzten Ausdruck können wir die Klammern weglassen, da dies die Bedeutung des Ausdrucks nicht ändert; dann bekommen wir 3a 2a .. Unter Verwendung des Assoziativgesetzes der Multiplikation gruppieren wir nun die Faktoren wie folgt: (3 2) (äh) , was offensichtlich ist 6a 2 .

Egal welche Nummer der Buchstabe a beides bedeutete nicht den numerischen Wert des Ausdrucks (3a) (2a) ist immer gleich dem numerischen Wert des Ausdrucks 6a 2 , d.h. diese Ausdrücke sind identisch.

Die algebraische Aktion in unserem Beispiel der Multiplikation besteht also erstens darin, diese Aktion durch die in der Algebra akzeptierten Zeichen anzuzeigen, und zweitens darin, den resultierenden algebraischen Ausdruck, wenn möglich, in einen anderen, mit ihm identischen Ausdruck umzuwandeln.

47. Addition von Monomen. Es sei erforderlich, mehrere Monome hinzuzufügen:

3a, - 5b, + 0,2a, -7b und mit . Ihre Summe wird wie folgt ausgedrückt:

3ein +(- 5b) + (+ 0,2a) + (-7b ) + mit

Aber die Ausdrücke: + (- 5b), + (+ 0,2a) und + (- 7b ) sind äquivalent zu: - 5b, + 0,2a und - 7b Daher kann die Summe dieser Monome einfacher umgeschrieben werden:

was nach dem Gießen ähnlicher Terme ergibt: 3,2a - 12b+ mit. Meint, Um mehrere Monome hinzuzufügen, genügt es, sie mit ihren Vorzeichen hintereinander zu schreiben und ähnliche Begriffe zu kürzen.

48. Addition von Polynomen. Lassen Sie es für eine Zahl oder einen algebraischen Ausdruck erforderlich sein m füge ein Polynom hinzu a - b + c . Die gewünschte Menge kann wie folgt ausgedrückt werden:

m + (a - b + c ).

Um diesen Ausdruck umzuwandeln, berücksichtigen wir, dass das Polynom
a - b + c ist die Summe a + (- b) + c , und um die Summe zu addieren, können Sie jeden Term einzeln hinzufügen; Deshalb:

m + (a - b + c ) = m +a + (- b) + c

Aber hinzufügen -b egal was abgezogen wird b ; Deshalb:

m + (a - b + c ) = m + a - b + c

Regel. Um einem allebraischen Ausdruck ein Polynom hinzuzufügen, ist es notwendig, diesem Ausdruck nacheinander alle Terme des Polynoms mit ihren Vorzeichen zuzuordnen (Außerdem muss vor dem ersten Mitglied des Polynoms, wenn kein Zeichen davor steht, das +-Zeichen impliziert werden) und ähnliche Mitglieder werfen, wenn sie auftauchen.

Beispiel.

3a 2 - 5ab + b 2 + (4ab - b 2 + 7a 2).

Der erste Begriff, den wir jetzt mit einem Buchstaben bezeichnet haben m, in diesem Beispiel als Polynom gegeben 3a 2 - 5ab + b 2 . Wenden wir diese Regel an, finden wir:

3a 2 - 5ab + b 2 + (4ab - b 2 + 7a 2) = 3a 2 - 5ab + b 2 + 4ab - b 2 + 7a 2 = 10a 2 - ab

Wenn die Polynomdaten für die Addition ähnliche Terme enthalten (wie in unserem Beispiel), dann ist es sinnvoll, die Terme untereinander zu schreiben, sodass gleiche Terme unter gleichen stehen:

49. Subtraktion von Monomen. Es sei vom Monom gefordert 10 Axt Subtrahiere das Monom - 3 Axt . Der gewünschte Unterschied wird wie folgt ausgedrückt:

10 Axt - (- 3 Axt ).

Nach der Subtraktionsregel ist die Subtraktion 3 Axt kann durch Hinzufügen einer Zahl gegenüber der Zahl ersetzt werden - 3 Axt . Es gibt eine solche Zahl + 3 Axt , Deshalb:

10 Axt - (- 3 Axt ) = 10 Axt + (+ 3 Axt ) = 10 Axt + 3 Axt = 13 Axt .

Meint, Um ein Monom zu subtrahieren, genügt es, es dem Minuend mit dem entgegengesetzten Vorzeichen zuzuordnen (und ähnliche Terme zu kürzen, falls sie auftreten).

50. Subtraktion von Polynomen. Lassen Sie es von einer Zahl oder einem algebraischen Ausdruck verlangen m Polynom subtrahieren a - b + c , die wie folgt ausgedrückt werden kann:

m- (a - b + c ).

Dazu genügt es nach der Subtraktionsregel (Abschnitt 1 § 22) zu addieren m die Gegennummer a - b + c . Es gibt so eine Nummer - a + b - c (); meint:

m- (a - b + c ) = m+ (- a + b - c )

Wenden wir nun die Regel der Addition von Polynomen an, erhalten wir:

m- (a - b + c ) = m - a+b-c .

Meint, Um ein Polynom von einem algebraischen Ausdruck zu subtrahieren, reicht es aus, diesem Ausdruck alle Terme des Subtrahend-Polynoms mit entgegengesetzten Vorzeichen zuzuordnen (und eine Reduktion vorzunehmen).

Wenn es erforderlich ist, ein weiteres Polynom von einem Polynom zu subtrahieren und diese Polynome ähnliche Terme haben, dann ist es nützlich, das subtrahierte Polynom unter das reduzierte Polynom zu schreiben, wobei die Vorzeichen des subtrahierten Polynoms in die entgegengesetzten geändert werden, sodass gleiche Terme stehen unter ähnlichen. Zum Beispiel Subtraktion
(7a 2 - 2ab + b 2) - (5a 2 + 4ab - 2b 2) ist am besten so platziert:

(Bei dem zu subtrahierenden Polynom werden die oberen Vorzeichen so gesetzt, wie sie gegeben wurden, und unten werden sie umgekehrt).

51. Erweiternde Klammern mit vorangestelltem + oder - Zeichen.

Lassen Sie den Ausdruck ein

2 a + (a - 3 b+c ) - (2 a - b + 2 mit )

Klammern müssen geöffnet werden. Dies ist so zu verstehen, dass an den Polynomen innerhalb der Klammern diejenigen Aktionen auszuführen sind, die durch die Vorzeichen vor den Klammern angegeben sind. In unserem Beispiel steht vor der ersten Klammer ein +-Zeichen und vor der zweiten Klammer ein --Zeichen. Nach dem Addieren und Subtrahieren nach den angegebenen Regeln erhalten wir einen Ausdruck ohne Klammern:

2 a + a - 3 b+c - 2 a + b- 2 c = ein - 2 b - c

Daher müssen wir uns daran erinnern, Erweitern Sie die Klammern mit vorangestelltem +-Zeichen, dürfen Sie die Vorzeichen innerhalb der Klammern nicht ändern, und erweitern Sie die Klammern mit vorangestelltem --Zeichen, müssen Sie die Vorzeichen vor allen Elementen innerhalb der Klammern in das Gegenteil ändern.

Lassen Sie es auch erforderlich sein, die Klammern im Ausdruck zu öffnen:

10r - .

Öffnen Sie dazu am bequemsten zuerst die inneren Klammern und dann die äußeren:

10r - = 10p - 3p - 5p + 10 + 4] = 2p+14.

52. Einklammern eines Teils eines Polynoms. Um ein Polynom zu transformieren, ist es manchmal nützlich, die Menge einiger seiner Mitglieder zu klammern, und manchmal ist es wünschenswert, + vor die Klammern zu setzen, d.h. um das Polynom als Summe darzustellen, und manchmal das - Zeichen, d.h. das Polynom als Differenz darstellen. Lassen Sie zum Beispiel in einem Polynom a+b-c Wir möchten die letzten beiden Begriffe klammern, indem wir den Klammern ein +-Zeichen voranstellen. Dann schreiben wir so:

a+b-c = a + (b - c) ,

d.h. innerhalb der Klammern lassen wir die gleichen Zeichen wie in diesem Polynom. Dass eine solche Transformation wahr ist, stellen wir sicher, wenn wir die Klammern nach der Additionsregel öffnen; dann erhalten wir wieder das gegebene Polynom.

Angenommen, in demselben Polynom müssen die letzten beiden Zahlen geklammert werden, indem ein Minuszeichen vor die Klammern gesetzt wird.

Dann schreiben wir so:

a+b-c = a - (- b+c) = a - ( mit - b) ,

Das heißt, innerhalb der Klammern vor allen Mitgliedern ändern wir die Vorzeichen in das Gegenteil. Dass eine solche Transformation wahr ist, stellen wir sicher, wenn wir die Klammern nach der Subtraktionsregel öffnen; dann erhalten wir wieder das gegebene Polynom.

Kommentar. Sie können auch das gesamte Polynom in Klammern setzen, indem Sie ihnen ein + oder - Zeichen voranstellen. Sie können zum Beispiel schreiben:

a - b + c = + (a - b + c ) und a - b + c = - (- a+b-c ).

Kapitel drei.

Algebraische Multiplikation.

53. Multiplikation von Potenzen gleicher Zahl. Lass uns multiplizieren a 3 weiter a 2, die wie folgt ausgedrückt werden kann: a 3 a 2 oder mehr :( ahh ) (äh ). Hier die Arbeit ahh multipliziert mit einem anderen äh . Aber um eine Zahl mit einem Produkt zu multiplizieren, kann man diese Zahl mit dem ersten Faktor multiplizieren, das Ergebnis mit dem zweiten Faktor multiplizieren und so weiter; Deshalb:

a 3 a 2 = (ahh )(äh ) = (ahh ) äh ,

was ohne Klammern geschrieben werden kann, da die Reihenfolge der Aktionen ohne Klammern gleich bleibt, wie durch Klammern angegeben:

a 3 a 2 = aaaaa = a 5 .

Meint, Beim Multiplizieren gleicher Potenzen addieren sich ihre Exponenten.

Auf diese Weise: X 3 X = X 4 , m 2 m 3 = m 5 , j 2 j j 3 = j 6 usw.

54. Multiplikation von Monomen. Wir haben bereits vorher gesagt (), wie man das Produkt von Monomen transformieren kann (3a) (2a) in monom 6 a 2. Wiederholen wir nun das damals Gesagte an einem anderen Beispiel. Lass uns multiplizieren:

Da das Monom 5abx ein Produkt ist, dann genügt es, den Multiplikanden mit dem ersten Faktor zu multiplizieren - 5 , multiplizieren Sie das Ergebnis mit dem zweiten Faktor a usw. Also:

3Oh 2 (- 5abx) = 3Oh 2 (- 5)abx .

In diesem Produkt gruppieren wir die Faktoren unter Verwendung der assoziativen Eigenschaft der Multiplikation in die folgenden Gruppen:

(+3)(- 5) (äh) b (X 2 X).

Nach Multiplikation in jeder Gruppe erhalten wir:

- 15 a 2 b X 3 .

Meint, Um ein Monom mit einem Monom zu multiplizieren, müssen Sie ihre Koeffizienten multiplizieren, die Indikatoren identischer Buchstaben hinzufügen und die Buchstaben, die nur im Multiplikanden oder nur im Faktor enthalten sind, mit ihren Indikatoren auf das Produkt übertragen.

Beispiele.

1) 0,7a 3 X (3a 4 X 2 beim 2) = 2,1a 7 X 3 beim 2

2) (1 / 2 mx 3) 2 = 1 / 2 mx 3 (1 / 2 mx 3) = 1 / 4 m 2x 6

3) -3,5 X 2 beim (3 / 4 X 3) = - 21 / 8 X 5 beim

55. Multiplikation eines Polynoms mit einem Monom.

Es sei gegeben, das Polynom zu multiplizieren a+b-c in ein Monom m , die wie folgt ausgedrückt werden kann:

(a+b-c ) m .

Polynom a+b-c ist die Summe der relativen Zahlen a+b + (- mit) . Aber um die Summe zu multiplizieren, können Sie jeden Term separat multiplizieren und die Ergebnisse addieren (Distributivgesetz); meint:

(a+b-c ) m = [ a+b + (- mit) ] m = a m +b m + (- mit)m .

Aber (- mit)m = - cm und + (- cm ) = - cm ; Deshalb

(a+b-c ) m = a m +b m - mitm .

Regel. Um ein Polynom mit einem Monom zu multiplizieren, ist es notwendig, jeden Term des Polynoms mit diesem Monom zu multiplizieren und die resultierenden Produkte zu addieren.

Da sich das Produkt durch eine Permutation der Stellen der Faktoren nicht ändert, gilt diese Regel auch für die Multiplikation eines Monoms mit einem Polynom; auf diese Weise:

m (a+b-c ) = m a + m b m - Mc .

Beispiele.

1) (3x 2 - 2Oh + 5a 2) (-4Oh) .

Hier muss die Multiplikation der Terme eines Polynoms mit einem gegebenen Monom gemäß der Regel der Multiplikation von Monomen durchgeführt werden, wobei auch die Vorzeichenregel zu berücksichtigen ist: Bei der Multiplikation ergeben dieselben Vorzeichen + und unterschiedliche Vorzeichen ergeben - . Wir multiplizieren jeden Term des Polynoms separat mit dem Monom:

(3x 2)(-4Oh) = - 12Axt 3 ; (- 2Oh) (-4Oh) == + 8a 2 x 2 ; (+ 5a 2) (-4Oh) = - 20a 3 x .

Fassen wir nun die Ergebnisse zusammen:

- 12Axt 3 + 8a 2 x 2 - 20a 3 x .

2) (a 2 - ab + b 2) (3a) = a 2 (3a) - (ab ) (3a) + b 2 (3a) = 3a 3 - 3a 2 b+ 3ab 2

3) (7x 3 + 3 / 4 Oh - 0,3) (2,l a 2 x) = (7x 3 ) (2,l a 2 x) + (3 / 4 Oh) (2,l a 2 x) - 0,3 (2,l a 2 x) =
= 14,7a 2 x 4 + 1,575a 3 x 2 - 0,63 a 2 x .

4) 2a (3a - 4 Oh + 1 / 2 x 2) = 6a 2 - 8a 2 x + ax 2

56. Multiplikation eines Polynoms mit einem Polynom. Machen wir die Multiplikation:

(a+b-c ) (m-n ).

Unter Berücksichtigung des Multiplikators m-n als einzelne Zahl (als Monom) wenden wir die Regel für die Multiplikation eines Polynoms mit einem Monom an:

a (m - n) + b (m - n) - c (m - n).

Betrachten wir nun den Ausdruck m-n als Polynom (Binom) wenden wir die Regel der Multiplikation eines Monoms mit einem Polynom an:

(am - an) + (bm - bn) - (cm - cn).

Schließlich öffnen wir die Klammern gemäß den Additions- und Subtraktionsregeln und finden schließlich:

(a + b - c) (m - n) = am - an + bm - bn - cm + cn

Regel. Um ein Polynom mit einem Polynom zu multiplizieren, müssen Sie jeden Term des ersten Polynoms mit jedem Term des zweiten Polynoms multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren.

Natürlich muss man sich bei der Multiplikation der Terme des ersten Polynoms mit den Termen des zweiten Polynoms an den Vorzeichenregeln orientieren: Gleiche Vorzeichen ergeben + unterschiedliche Vorzeichen -.

Beispiel, (a 2 - 5ab + b 2 - 3) (a 3 - 3ab 2 + b 3)

Wir multiplizieren zunächst alle Terme des Multiplikanden mit dem 1. Term des Multiplikators:

(a 2 - 5ab + b 2 - 3) a 3 = a 5 - 5a 4 b + a 3 b 2 - 3a 3

Dann multiplizieren wir alle Terme des Multiplikanden mit dem 2. Term des Multiplikators:

(a 2 - 5ab + b 2 - 3) (- 3ab 2) = - 3ein 3 b 2 + 15ein 2b 3 - 3ab 4 + 9ab 2

(a 2 - 5ab + b 2 - 3) (b 3) = a 2 b 3 - 5ab 4 + b 5 - 3b 3

Schließlich addieren wir alle resultierenden Produkte und reduzieren ähnliche Terme; das Endergebnis wird sein:

a 5 - 5a 4 b- 2ein 3 b 2 - 3a 3 + 16ein 2b 3 - 8ab 4 + 9ab 2 + b 5 - 3b 3

Bemerkungen. 1) Um bei der Multiplikation eines Polynoms mit einem Polynom keines der Produkte der Terme zu verpassen, ist es sinnvoll, immer eine Ordnung der Multiplikation einzuhalten; Zum Beispiel, wie wir es gerade getan haben, multiplizieren Sie zuerst alle Terme des Multiplikanden mit dem 1. Term des Multiplikators, dann multiplizieren Sie alle Terme mit dem 2. Term des Multiplikators usw.

2) Angewandt auf arithmetische Zahlen lässt sich die Multiplikationsregel für Polynome eindeutig geometrisch interpretieren. Nehmen Sie zum Beispiel 4 Liniensegmente a, b, m und n und zwei Rechtecke bauen: eines mit einer Basis a+b und Höhe m+n , ein anderer mit einer Basis a+b , und Höhe m-n .

Die Fläche des ersten ist ( a+b ) (m+n ), und der Bereich des zweiten wird sein ( a+b ) (m-n ). Aus den Zeichnungen ist direkt ersichtlich, dass der erste Bereich gleich ist am + bm + an + bn , und das zweite ist am + bm - an - mrd .

Beispiele.

1) (a - b) (m - n - p) \u003d am - bm - an + bn - ap + bp.

2) (x 2 - y 2) (x + y) \u003d x 3 - xy 2 + x 2 y - y 3

3) (3an + 2n 2 - 4a 2) (n 2 - 5an) = 3an 3 + 2n 4 - 4a 2 n 2 - 15a 2 n 2 - 10an 3 + 20a 3 n =
\u003d -7an 3 + 2n 4 - 19a 2 n 2 + 20a 3 n

4) (2a 2 - 3) 2 = (2a 2 - 3) (2a 2 - 3) = (2a 2) 2 - 3 (2a 2) - (2a 2) 3 + 9 =
= 4a 4 - 6a 2 - 6a 2 + 9 = 4a 4 - 12a 2 + 9

57. Lokalisiertes Polynom. Ein Polynom in Potenzen eines Buchstabens anzuordnen bedeutet, wenn möglich, seine Terme in einer solchen Reihenfolge zu schreiben, dass die Exponenten dieses Buchstabens vom ersten zum letzten Term steigen oder fallen. Ja, Polynom 1 + 2x + x 2 - x 3 in zunehmender Potenz des Buchstabens angesiedelt X . Dasselbe Polynom wird in absteigenden Potenzen des Buchstabens angeordnet X , wenn wir seine Mitglieder in umgekehrter Reihenfolge schreiben: -x 3 +x2 + 2x + 1 .

Der Buchstabe, auf dem sich das Polynom befindet, wird Hauptbuchstabe genannt. Der Term, der den Großbuchstaben mit dem größten Exponenten enthält, heißt der höchste Term des Polynoms; der Term, der den Hauptbuchstaben mit dem kleinsten Exponenten enthält oder gar nicht enthält, heißt der niedrigste Term des Polynoms.

58. Multiplikation lokalisierter Polynome es ist am bequemsten herzustellen, wie in dem folgenden Beispiel angegeben wird.

Multiplizieren

3x - 5 + 7x 2 - x 3 auf der 2 - 8x 2 + x.

Anordnung beider Polynome in abnehmenden Potenzen des Buchstabens X , schreiben Sie den Multiplikator unter den Multiplikanden und ziehen Sie einen Strich darunter:

Multiplizieren Sie alle Terme des Multiplikanden mit dem 1. Term des Multiplikators (mit - 8x2 ) und das resultierende Produkt wird unter die Linie geschrieben. Dann werden alle Terme des Multiplikanden mit dem 2. Term des Multiplikators multipliziert (mit +x ) und das resultierende zweite Produkt wird unter das erste geschrieben, sodass gleiche Terme unter gleichen stehen. Das tun sie auch weiterhin. Unter dem letzten Werk (am + 2 ) ziehen eine Linie, unter der sie das vollständige Werk schreiben und alle anderen Werke zusammenzählen.

Es ist auch möglich, beide Polynome in aufsteigende Potenzen des Hauptbuchstabens anzuordnen und dann in der gleichen Reihenfolge wie eben angegeben zu multiplizieren.

59. Höhere und niedrigere Glieder eines Werkes. Aus diesen Beispielen folgt:

Der höchste Term des Produkts ist gleich dem Produkt des höchsten Terms multipliziert mit dem höchsten Term des Multiplikators.

Der niedrigste Term des Produkts ist gleich dem Produkt des niedrigsten Terms des Multiplikators mit dem niedrigsten Term des Multiplikators.

Die restlichen Mitglieder der Arbeit können erhalten werden, indem mehrere ähnliche Mitglieder zu einem kombiniert werden. Es kann sogar vorkommen, dass in einem Produkt nach der Kürzung gleicher Terme alle Terme bis auf den ersten und letzten (höher und niedriger) vernichtet werden, wie folgendes Beispiel zeigt:

60. Anzahl der Mitglieder des Werkes. Der Multiplikand habe fünf Terme und der Multiplikator habe drei Terme. Wenn wir jeden Term des Multiplikanden mit dem 1. Term des Multiplikators multiplizieren, erhalten wir 5 Terme des Produkts; Wenn wir dann jeden Term des Multiplikanden mit dem 2. Term des Multiplikators multiplizieren, erhalten wir 6 weitere Terme des Produkts usw.; daher sind alle Terme im Produkt 5 3, also 15. Im Allgemeinen gilt Die Anzahl der Mitglieder des Produkts ist vor der Kombination gleichartiger Mitglieder gleich dem Produkt aus der Anzahl der Mitglieder multipliziert mit der Anzahl der Mitglieder des Multiplikators.

Da die höchsten und niedrigsten Mitglieder eines Werks keine Mitglieder wie sie selbst haben können, können alle anderen Mitglieder vernichtet werden Die kleinste Anzahl von Begriffen in einem Produkt nach Reduzierung ähnlicher Begriffe darin ist 2.

61. Einige Formeln zur Multiplikation von Binomen. Es ist nützlich, sich die folgenden Formeln zum Multiplizieren von Binomen zu merken:

a) (ein + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a2 + 2ab + b 2 .

Zum Beispiel: 17 2 = (10 + 7) 2 = 10 2 + 2 10 7 + 7 2 = 100 + 140 + 49 = 289.

Auf diese Weise, das Quadrat der Summe zweier Zahlen ist gleich dem Quadrat der ersten Zahl, plus zweimal dem Produkt aus der ersten und der zweiten Zahl, plus dem Quadrat der zweiten Zahl.

b) (a-b) 2 = (a - b) (a - b) \u003d a 2 - ab - ab + b 2 = a 2 - 2ab + b 2 .

Beispiel: 19 2 = (20 -1) 2 = 20 2 - 2 20 1 + 1 2 = 400 - 40 + 1 = 361

Auf diese Weise, Das Quadrat der Differenz zwischen zwei Zahlen ist gleich dem Quadrat der ersten Zahl, minus dem Doppelten des Produkts aus der ersten und der zweiten Zahl, plus dem Quadrat der zweiten Zahl.

Kommentar. Es ist nützlich zu beachten, dass das Potenzieren in Bezug auf Addition und Subtraktion keine Verteilungseigenschaft hat; So, (2+3) 2 nicht gleich
2 2 + 3 2 , oder (8 - 6) 2 ungleich 8 2 - 6 2 .

in) (a + b) (a - b) = a 2 + ab - ab - b 2 = a 2 - b 2

Zum Beispiel: 25 15 = (20 + 5) (20 - 5) = 20 2 - 5 2 = 400 - 25 = 375.

Auf diese Weise, das Produkt aus der Summe zweier Zahlen und ihrer Differenz ist gleich der Differenz der Quadrate dieser Zahlen.

G) (ein + b) 3 = (ein + b) 2 (a + b) = (a 2 + 2ab + b 2 )(a + b) =
= ein 3 + 2a 2 b + ab 2 + ein 2b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3à 2 b + 3ab 2 + b 3

Beispiel: 12 3 = (10 + 2) 3 = 10 3 + 3 10 2 2 + 3 10 2 2 + 2 3 = 1000 + 600 + 120 + 8=1728.

Auf diese Weise, die Kubikzahl der Summe zweier Zahlen ist gleich der Kubikzahl der ersten Zahl plus dreimal das Produkt aus dem Quadrat der ersten Zahl und der zweiten Zahl plus dreimal das Produkt aus der ersten Zahl und dem Quadrat der zweiten Zahl, plus der Kubikzahl der zweiten Zahl.

e) (a-b) 3 = (a-b) 2 (a - b) = (a2 - 2ab + b 2 )(a - b) =
\u003d ein 3 - 2a 2 b + ab 2 - ein 2b + 2ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Beispiel: 19 3 = (20 - 1) 3 = 20 3 - 3 20 2 1 + 3 20 1 2 - 1 3 = 8000 -1200 + 60 - 1= 6869.

Auf diese Weise, die Kubik der Differenz zweier Zahlen ist gleich der Kubik der ersten Zahl, minus dem Dreifachen des Produkts aus dem Quadrat der ersten Zahl und der zweiten Zahl, plus dem Dreifachen des Produkts aus der ersten Zahl und dem Quadrat der zweiten Zahl, minus der Kubikzahl der zweiten Zahl.

62. Geometrische Interpretation einiger dieser Formeln.

a) Legen Sie die Strecke AB = beiseite a und darauf wenden wir das Segment BC = an b, dann konstruieren wir Quadrate: ACDE und ABJK, deren Flächen gleich sind (ein + b) 2 und a 2 . Wenn wir die Linien BJ und KJ bis zur Kreuzung mit ED und CD fortsetzen, teilen wir das größere Quadrat in 4 Teile, deren Flächen sind: a 2 , b 2 , ab und ab .

(ein + b) 2 = a 2 + ab + ab + b 2 = a2 + 2ab + b 2 .

b) Beiseite AB = a und von AB subtrahieren wir BC = b ; dann konstruieren wir die Quadrate ACDE, ABFK und KLME, deren Flächen sind (a-b) 2 , a 2 und b 2 . Wenn wir CD zu Punkt N fortsetzen, erhalten wir: pl. ACDE = pl. ABFK + sq. EKLM-Quadrat CBFN-pl. DNLM.

(a-b) 2 = ein 2 + b 2 - ab - ab = a 2 - 2ab + b 2 .

in) Verschieben (Abb. 13) AB = a , BG = b , AD = a und DE= b , konstruieren Sie das Rechteck ACJE und die Quadrate ABKD und DEML.

Dann Quadrat. ACJE = sq. ABKD + sq. BCJN - quadratisch DEML-pl. LMNK. Aber die Rechtecke BCJN und LMNK sind gleich, und deshalb heben sich ihre Flächen in der Gleichheit auf, die wir geschrieben haben: sq. ACJE = sq. ABKD - sq. DEML, d.h.

(a + b) (a-b) \u003d a 2 - b 2.

63. Anwendungen. Mit Hilfe dieser Formeln ist es manchmal möglich, Polynome einfacher zu multiplizieren als auf die übliche Weise. Hier sind einige Beispiele:

1) (4a 3 - 1) 2 \u003d (4a 3) 2 - 2 (4a 3) 1 +1 2 \u003d 16a 6 - 8a 3 + 1

2) (x + y)(y - x) = (y + x)(y - x) = y 2 - x 2 .

3) (x + y + 1) (x - y + 1) = [(x + 1) + y] [(x + 1) - y] = (x + 1) 2 - y 2 = x 2 + 2x + 1 - um 2 .

4) (a - b + c) (a + b - c) \u003d [a - (b - c)] [a + (b - c)] \u003d

\u003d a 2 - (b - c) 2 \u003d a 2 - (b 2 - 2bc + c 2) \u003d a 2 - b 2 + 2bc - c 2

Kapitel Vier.

Algebraische Division.

64. Gewaltenteilung der gleichen Zahl. Teilen wir uns auf:

ein 5: ein 2 .

Da der Dividende gleich dem Divisor multipliziert mit dem Quotienten sein muss und bei der Multiplikation die Indikatoren identischer Buchstaben addiert werden, muss im gewünschten Quotienten des Buchstabens a eine Zahl vorhanden sein, die zu 2 addiert 5 ergibt; eine solche Zahl ist gleich der Differenz 5 - 2. Also:

ein 5: ein 2 = ein 5-2 = eine 3

So finden wir: x 3: x 2 \u003d x; y 4: y = y 3 usw.

Meint, Beim Dividieren gleicher Potenzen wird der Exponent des Divisors vom Exponenten des Dividenden subtrahiert .Es sei denn, die Zahl, deren Potenzen teilbar sind, ist nicht gleich Null. Sie können also nicht schreiben: 0 m: 0 n = 0 m-n , da diese Gleichheit bedeuten würde: 0:0 = 0, während der Quotient 0:0 eine beliebige Zahl sein kann

65. Nullanzeige. Wenn sich beim Teilen der Potenzen derselben Zahl herausstellt, dass der Indikator des Divisors gleich dem Indikator des Dividenden ist, muss der Quotient gleich 1 sein; z.B: a 3 : a 3 = 1 weil a 3 = a 3 1. Lassen Sie uns vereinbaren, auch in diesem Fall die Indikatoren zu subtrahieren; dann erhalten wir im Quotienten einen Buchstaben mit einem Exponenten von Null:
a 3 : a 3 = a 3-3 = a 0 . Natürlich hat dieser Indikator nicht die Bedeutung, die wir den Indikatoren zuvor gegeben haben, da es unmöglich ist, die Zahl mit einem Faktor von 0 zu wiederholen. Wir werden unter dem Deckmantel zustimmen a 0 den Quotienten der Teilung derselben Potenzen eines Buchstabens verstehen a , und da dieser Quotient gleich 1 ist, nehmen wir a 0 für 1.

66. Division von Monomen. Es sei gegeben zu dividieren:

(12a 3 b 2x): (4a 2 b 2) .

Der Kürze halber ist es jedoch üblich, die Klammern in einer solchen Notation wegzulassen. Nach der Definition der Division muss der Quotient, wenn er mit dem Divisor multipliziert wird, der Dividende sein. Daher muss der gewünschte Quotient haben 12: 4 , d.h. 3 ; das Inhaltsverzeichnis des Briefes a erhalten durch Subtrahieren des Indikators dieses Buchstabens im Dividenden des Indikators desselben Buchstabens im Divisor, des Buchstabens b wird den Quotienten gar nicht oder, was immer das gleiche ist, mit einem Indikator eingeben 0 , und der Brief X geht zum Quotienten mit seinem Exponenten.

Auf diese Weise: 12a 3 b 2x: 4a 2 b 2 = 3ah . Überprüfung: 3ah 4à 2 b 2 = 12à 3 b 2 x

Regel. Um ein Monom in ein Monom zu teilen, ist es notwendig, den Koeffizienten des Dividenden durch den Koeffizienten des Divisors zu dividieren, die Indikatoren der gleichen Buchstaben des Divisors von den Indikatoren der Buchstaben des Dividenden zu subtrahieren und auf den Quotienten zu übertragen. ohne die Indikatoren zu ändern, die Buchstaben des Dividenden, die nicht im Divisor enthalten sind.

Beispiele.

1) 3 m 3 n 4 x: 4 m 2 n x = 3 / 4 m n 3

2) - Achse 4 und 3: - 5 / 6 Achse 2 \u003d + 6 / 5 x 3 Jahre.

3) 0,8ax n: - 0,02ax = - 40x n-1 .

67. Zeichen der Unmöglichkeit, Monome zu teilen. Wenn der Quotient der Division von ganzzahligen Monomen nicht genau durch ein ganzzahliges Monom ausgedrückt werden kann, dann sagt man, dass eine solche Division unmöglich ist. Die Teilung von Monomen ist in zwei Strahlen unmöglich:

a) Wenn der Divisor Buchstaben enthält, die nicht im Dividenden enthalten sind.

Sie können sich beispielsweise nicht trennen 4ab 2 auf der 2ax , da jedes Monom multipliziert mit 2ax ergibt ein Produkt, das den Buchstaben enthält X , und in unserem Teilbaren gibt es überhaupt keinen solchen Buchstaben.

b) Wenn der Exponent eines Buchstabens im Divisor größer ist als der Exponent desselben Buchstabens im Dividenden.

Zum Beispiel Teilung 10a 3 b 2: 5ab 3 unmöglich, da jedes Monom mit multipliziert wird 5ab 3 , ergibt im Produkt ein solches Monom, das den Buchstaben enthält b mit einem Exponenten von 3 oder mit einem Exponenten größer als 3, während dieser Buchstabe in unserer teilbaren Zahl einen Exponenten von 2 hat.

Wenn ein Monom nicht durch ein anderes Monom teilbar ist, kann der Quotient nur durch Teilungszeichen angegeben werden; also Quotient der Division 4à 2 b: 2ac darf angegeben werden

oder so: 4à 2 b: 2ac , oder so:

68. Division eines Polynoms durch ein Monom.

Es sei erforderlich, das Polynom zu dividieren a+b-c in ein Monom m , die wie folgt ausgedrückt werden kann:

(a+b-c) : m , oder ,

Polynom a+b-c es gibt eine algebraische Summe, und um die algebraische Summe durch eine Zahl zu teilen, kann jeder Term separat durch diese Zahl geteilt werden; Deshalb:

Dies kann durch Verifikation verifiziert werden: durch Multiplikation des Polynoms a /m+ b /m - c /m zum Divisor m , erhalten wir die Dividende a+b-c

Regel. Um ein Polynom in ein Monom zu teilen, ist es notwendig, jeden Term des Polynoms in dieses Monom zu teilen und die resultierenden Quotienten zu addieren.

Die Teilung der Glieder eines Polynoms durch ein Monom erfolgt natürlich nach der Teilungsregel der Monome.

Beispiele.

69. Division eines Monoms durch ein Polynom. Lassen Sie das Monom erforderlich sein a durch Polynom dividieren b+c-d . Der Quotient einer solchen Division kann weder durch ein ganzzahliges Monom noch durch ein ganzzahliges Polynom ausgedrückt werden, denn wenn wir annehmen, dass der Quotient gleich einem ganzzahligen Monom oder ganzzahligen Polynom ist, dann ist das Produkt dieses Quotienten durch das Polynom b+c-d würde auch ein Polynom und kein Monom ergeben, wie es für die Division erforderlich ist. Quotient der Division a auf der b+c-d kann nur durch Teilungszeichen angegeben werden:

a : (b+c-d ), oder

70. Division eines Polynoms durch ein Polynom. Der Quotient der Division eines Polynoms durch ein Polynom kann nur in seltenen Fällen als ganzzahliges Polynom ausgedrückt werden. Zum Beispiel:

(a 2 + 2ab + b 2 ) : (a + b) = a + b

als (ein + b) (ein + b) = (ein + b) 2 = a2 + 2ab + b 2 .

Im Allgemeinen können solche Quotienten nur durch ein Divisionszeichen gekennzeichnet werden. Zum Beispiel der Quotient der Division a - b + c auf der d-e würde sich so ausdrücken:

Oder ( a - b + c ): (d-e).

Es ist manchmal möglich, den Quotienten als ganzzahliges Polynom auszudrücken, wenn beide Polynome in Potenzen desselben Buchstabens liegen. Lassen Sie uns anhand des folgenden Beispiels zeigen, wie das geht:

(5x 2 - 19x 3 + 17x + 6x 4 - 4): (1 - 5x + 3x 2) .

Wir schreiben beide Polynome in abnehmenden Potenzen des Buchstabens X und ordnen Sie die Division wie beim Teilen ganzer Zahlen an:

Angenommen, der erforderliche Quotient ist gleich einem Polynom und die Terme dieses Polynoms befinden sich ebenfalls in abnehmenden Potenzen des Buchstabens X .

Der Dividenden muss gleich dem Produkt aus Divisor und Quotient sein. Aus der Multiplikation angeordneter Polynome ist bekannt, dass der höchste Term des Produkts gleich dem Produkt aus dem höchsten Term des Multiplikanden und dem höchsten Term des Multiplikators ist. Bei der Teilbarkeit ist der höchste Term der erste, bei Divisor und Quotient sind die höchsten Terme auch der erste. Daher ist der 1. Term der Dividende ( 6x 4 ) muss das Produkt des 1. Terms des Divisors ( 3x 2 ) durch das 1. Glied des Quotienten. Daraus folgt: Um den 1. Term des Quotienten zu finden, genügt es, den 1. Term des Dividenden durch den 1. Term des Divisors zu dividieren. Durch Dividieren finden wir das 1. Mitglied des Quotienten 2x 2 . Wir schreiben es privat unter den Strich.

Wir multiplizieren alle Terme des Divisors mit dem 1. Term des Quotienten und subtrahieren das resultierende Produkt vom Dividenden. Dazu schreiben wir es so unter den Dividenden, dass gleiche Terme unter gleichen stehen und alle Terme des Subtrahends vertauscht werden. Wir erhalten nach Abzug des 1. Restes. Wenn sich herausstellt, dass dieser Rest gleich Null ist, würde dies bedeuten, dass der Quotient außer dem gefundenen 1. keine anderen Terme enthält, dh dass der Quotient ein Monom ist. Wenn, wie in unserem Beispiel, der 1. Rest nicht Null ist, argumentieren wir wie folgt.

Der Dividenden ist das Produkt aller Terme des Divisors und aller Terme des Quotienten. Wir subtrahierten vom Dividenden das Produkt aller Mitglieder des Divisors durch das 1. Mitglied des Quotienten; daher enthält der 1. Rest das Produkt aller Terme des Divisors mit dem 2., mit dem 8. und den folgenden Mitgliedern des Quotienten. Das höchste Glied im Rest ist das 1.; das höchste Mitglied des Divisors ist auch das 1.; der höchste Term im Quotienten (ohne den 1. zu zählen) ist der 2. Term. Also der 1. Term des Restes (- 9x 3 ) muss gleich dem Produkt aus dem 1. Glied des Divisors und dem 2. Glied des Quotienten sein. Daraus schließen wir: Um das 2. Glied des Quotienten zu finden, genügt es, das 1. Glied des 1. Restes durch das 1. Glied des Divisors zu dividieren. Durch Dividieren finden wir das 2. Mitglied des Quotienten - Zx . Wir schreiben es privat.

Wir multiplizieren mit dem 2. Mitglied des Quotienten alle Mitglieder des Divisors und subtrahieren das resultierende Produkt vom 1. Rest. Wir erhalten den 2. Rest. Wenn dieser Rest Null ist, ist die Division beendet; ist wie in unserem Beispiel der 2. Rest ungleich Null, so argumentieren wir wie folgt.

Der 2. Rest ist das Produkt aller Terme des Divisors und der 3., 4. und folgenden Terme des Quotienten. Da von diesen Gliedern des Quotienten das 3. das höchste ist, finden wir wie beim vorigen den 3. Term des Quotienten, wenn wir den 1. Term des 2. Restes durch den 1. Term des Divisors dividieren. Teilen, finden wir - 4 . Multiplizieren mit -4 alle Terme des Divisors und das Produkt vom Rest subtrahieren, erhalten wir den 3. Rest. In unserem Beispiel hat sich dieser Rest als Null herausgestellt; dies zeigt, dass der private keine anderen Mitglieder als die gefundenen enthalten kann. Wenn der 3. Rest nicht 0 wäre, dann müsste, wie beim vorherigen, der 1. Term dieses Restes durch den 1. Term des Divisors dividiert werden; dies würde den 4. Term des Quotienten ergeben, und so weiter.

Es wäre möglich, den Dividenden und den Divisor in aufsteigende Potenzen desselben Buchstabens zu ordnen und dann wie eben gesagt vorzugehen; in diesem Fall müsste man sich darauf verlassen, dass der niedrigste Term des Produkts gleich dem Produkt des niedrigsten Terms des Multiplikanden mit dem niedrigsten Term des Multiplikators ist.

71. Beispiele.

Wir haben hier nicht die Produkte des 1. Terms des Divisors durch die 1., durch die 2. usw. Mitglieder des Quotienten geschrieben, weil diese Produkte immer gleich den Bedingungen sind, unter denen sie unterzeichnet sind, und immer reduziert werden, wenn abgezogen. Das tun sie normalerweise. Außerdem haben wir beim Signieren von Subtrahenten diese direkt mit umgekehrten Vorzeichen geschrieben.

Auf ähnliche Weise können wir die Unterschiede überprüfen x 5 - ein 5 , x 6 - ein 6 ... und überhaupt
x m - ein m ohne Rest durch die Differenz dividiert x-a , d.h. dass die Differenz gleicher Potenzen zweier Zahlen ohne Rest durch die Differenz dieser Zahlen teilbar ist .

72. Zeichen der Unmöglichkeit, Polynome zu dividieren. Aus dem beschriebenen Vorgang ist ersichtlich, dass die Division eines Polynoms durch ein Polynom in folgenden Fällen nicht durchgeführt werden kann:

a) Wenn der Exponent des Großbuchstabens im höchsten Glied des Dividenden kleiner ist als der Exponent desselben Buchstabens im höchsten Glied des Divisors, weil dann das höchste Glied des Quotienten nicht erhalten werden kann.

b) Wenn der Exponent des Großbuchstabens im niedrigsten Glied des Dividenden kleiner als der Exponent ist. des gleichen Buchstabens im niedrigsten Term des Divisors, weil es dann unmöglich ist, den niedrigsten Term des Quotienten zu lernen.

c) Wenn die Kennziffern des Hauptbuchstabens im höchsten und niedrigsten Teil der Dividende nicht kleiner sind als die Kennziffern dieses Buchstabens im höchsten und niedrigsten Teil des Divisors, dann kann nicht gesagt werden, dass eine Teilung möglich ist. In diesem Fall müssen wir, um die Möglichkeit oder Unmöglichkeit der Division zu beurteilen, mit der Durchführung der Aktion selbst beginnen und sie fortsetzen, bis wir endgültig von der Möglichkeit oder Unmöglichkeit überzeugt sind, einen Quotienten in Form eines Polynoms zu erhalten.

Dabei sind zwei Fälle zu unterscheiden:

I. Wenn die Polynome in absteigenden Potenzen des Hauptbuchstabens angeordnet sind, setzen sie die Aktion fort, bis der Rest 0 ist (dann ist die Division möglich und vollständig) oder bis sie einen solchen Rest erreichen, dessen 1. Glied den Hauptbuchstaben enthält Buchstabe mit dem Indikator kleiner als der Index des 1. Terms des Divisors (dann ist die Division unmöglich). Zum Beispiel:

Eine Division ist unmöglich, weil wir einen solchen Rest erreicht haben, bei dem der 1. Term nicht durch den 1. Term des Divisors teilbar ist.

II. Wenn die Polynome in aufsteigende Potenzen geordnet werden, dann werden wir, egal wie weit wir die Division fortsetzen, niemals einen solchen Rest erhalten, bei dem der Exponent des 1. Gliedes kleiner wäre als der Exponent des 1. Gliedes des Divisors, denn bei einer solchen Anordnung steigen die Indizes der Großbuchstaben in den ersten Gliederresten. Zum Beispiel:

Wenn wir die Aktion weiter fortsetzen, würden wir ein privates Mitglied bekommen - 4a 3 , aber wenn es möglich wäre, einen ganzzahligen Quotienten (ohne Rest) zu erhalten, dann müsste sein letztes Mitglied sein 5a 2 (aus der Division des höchsten Elements der Dividende durch das höchste Element des Divisors); eine Teilung ist also unmöglich.

Kommentar. Die Division von Polynomen wird im 2. Teil, § 390 ff. näher beschrieben.

Kapitel fünf.

Faktorisierung.

73. Vorbemerkung. Apropos algebraische Division, wir haben darauf hingewiesen, dass der Quotient in manchen Fällen nur durch das Divisionszeichen bezeichnet werden kann. Die resultierenden Ausdrücke lauten wie folgt:

usw.,

namens algebraische Brüche durch die Ähnlichkeit dieser Ausdrücke mit arithmetischen Brüchen.

Wir werden bald sehen, dass algebraische Brüche, ebenso wie arithmetische, manchmal vereinfacht werden können, indem man den Dividenden reduziert (d. h. dividiert) und durch ihre gemeinsamen Faktoren dividiert, falls vorhanden. Um eine solche Reduktion ohne Schwierigkeiten zu ermöglichen, muss man lernen, algebraische Ausdrücke zu faktorisieren (genau wie in der Arithmetik muss man, um Brüche zu kürzen, ganze Zahlen in ihre Bestandteile zerlegen können).

74. Zerlegung ganzzahliger Monome. Nehmen Sie zum Beispiel ein ganzzahliges Monom. 6a2b 3 . Da es ein Produkt ist, kann es sofort durch einen seiner Typen in konstituierende Faktoren zerlegt werden. So:

6a2b 3 =2 3 (aa) (bbb) = 2 3aabbb.

Wenn wir diese Faktoren zu einigen Gruppen zusammenfassen (unter Verwendung der assoziativen Eigenschaft der Multiplikation), können wir verschiedene Erweiterungen für dieses Monom angeben, zum Beispiel:

6a2b 3 =(6a) (ab 3) \u003d (2a 2 b) (3b 2) \u003d (Zab 2) (2ab) usw.

75. Zerlegung von Polynomen. Lassen Sie uns die einfachsten Fälle angeben, in denen ein Polynom faktorisiert werden kann.

a) Als (a + b - c) m = am + bm - cm , und umgekehrt:

am + bm - cm = (a + b - c) m .

Auf diese Weise, enthalten alle Terme des Polynoms einen gemeinsamen Teiler, so kann dieser aus der Klammer genommen werden.

Zum Beispiel: 1) x 6 -2x 2 + 3x \u003d x (x 5 -2x + 3).

2) 16a 2 - 4a 3 \u003d 4a 2 (4 - a).

3) 5m(x - 1) + 3n (x - 1) = (x - 1) (5m - 3n).

b) Als

(a + b) (a-b) \u003d a 2 - b 2

und umgekehrt:

a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a-b)

Auf diese Weise, ein Binomial, das das Quadrat einer Zahl ohne das Quadrat einer anderen Zahl ist, kann durch das Produkt der Summe dieser Zahlen und ihrer Differenz ersetzt werden.

in) Als (ein + b) 2 = a2 + 2ab + b 2 und (a-b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 , und umgekehrt:

a2 + 2ab + b 2 = (ein + b) 2 = (ein + b) (ein + b) und

a 2 - 2ab + b 2 = (a-b) 2 ==(a - b) (a - b) ,

Also das Trinom, das ist Die Summe der Quadrate zweier beliebiger Zahlen, erhöht oder verringert um das Doppelte des Produkts dieser Zahlen, kann als Quadrat der Summe oder Differenz dieser Zahlen angesehen werden.

Beispiele.

1) ein 2 + 2a +1 . Als 1=1 2 und 2a = 2a 1 , dann

ein 2 + 2a +1 = (ein + 1) 2 .

2) x 4 + 4 - 4x 2 . Hier x 4 \u003d (x 2) 2, 4 \u003d 2 2 und 4x 2 \u003d 2x 2 2 ;

Deshalb: x 4 + 4 - 4x 2 = (x 2 - 2) 2 . Das kann man auch schreiben

x 4 + 4 - 4x 2 = (2x2) 2 , da es sich um Binome handelt. x 2 - 2 und 2x2 , zum Quadrat erhoben, ergeben Trinome, die sich nur in der Reihenfolge der Terme unterscheiden:

(x 2 - 2) 2 = x 4 + 4 - 4x 2 ; (2x2) 2 = 4 - 4x 2 + x4 .

3) -x + 25x 2 + 0,01 . Hier gibt es zwei Quadrate: 25 x 2 = (5x) 2 und 0,01 = 0,1 2 . Das Doppelprodukt der Zahlen 5x und 0,1 ist: 2 5x 0,1 = x . Da in diesem Trinom beide Quadrate mit einem +-Zeichen versehen sind und das doppelte Produkt (d.h. X ) mit Vorzeichen -, dann

-x + 25x 2 + 0,01 = 25 x 2 - X + 0,01 = (5x - 0,1) 2 = (0,1 - 5x) 2 .

4) - x2 - y2 + 2xy. Setzen wir das Zeichen - aus Klammern: - ( x2 + y2 - 2xy ). Das Trinom in Klammern ist offensichtlich (x-y) 2 .

- x2 - y2 + 2xy = - (x2 + y2 - 2xy ) = - (x - y) 2 = - (y-x) 2 .

d) Manchmal kann ein Polynom faktorisiert werden, indem seine Mitglieder in Gruppen zusammengefasst werden.

Kapitel sechs.

Algebraische Brüche.

76. Der Unterschied zwischen einem algebraischen und einem arithmetischen Bruch. Wie wir bereits gesagt haben, wird der Quotient der Division zweier algebraischer Ausdrücke in dem Fall genannt, in dem die Division nur angezeigt wird algebraischer Bruch. Dies sind zum Beispiel die Ausdrücke:

In solchen Ausdrücken wird der Dividende Zähler genannt, der Divisor Nenner und beide sind die Terme des Bruchs.

Erinnere dich daran, dass ein arithmetischer Bruch auch der Quotient der Division des Zählers durch den Nenner ist. Der Bruch 3/5 bedeutet also nicht nur drei solcher Anteile, die in der Einheit fünf enthalten sind; dieser Bruch bedeutet auch den fünften Teil von drei Einheiten, d. h. er ist ein Quotient aus der Division von 3 durch 5. Aber der Unterschied zwischen einem algebraischen Bruch und einem arithmetischen Bruch besteht darin, dass ein arithmetischer Bruch ein Quotient aus der Division einer positiven ganzen Zahl durch eine andere positive ganze Zahl ist , dann ist ein algebraischer Bruch ein Quotient der Division beliebiger Zahlen, sowohl ganzzahliger als auch gebrochener, sowohl positiver als auch negativer. Zum Beispiel Ausdrücke:

können nicht als arithmetische Brüche bezeichnet werden; dies sind Spezialfälle von algebraischen Brüchen. Daher ist ein algebraischer Bruch ein breiteres Konzept als ein arithmetischer Bruch; es enthält einen arithmetischen Bruch als Sonderfall.

Trotz dieses Unterschieds gehören jedoch alle Eigenschaften eines arithmetischen Bruchs, wie wir in diesem Kapitel sehen werden, zu einem algebraischen Bruch.

77. Die Haupteigenschaft einer Fraktion. Da der Bruch der Quotient der Division des Zählers durch den Nenner ist und sich der Quotient durch Multiplikation (oder Division) des Dividenden und des Divisors mit derselben Zahl (außer Null) nicht ändert (Abschnitt 1 § 34, e), dann gilt: gleiches Eigentum gehört dem Bruchteil, d.h. Der Wert eines Bruchs ändert sich nicht, wenn sein Zähler und Nenner mit derselben Zahl (außer Null) multipliziert (oder dividiert) werden. . Zum Beispiel, wenn wir Zähler und Nenner eines Bruchs multiplizieren

lass uns anziehen - 4 / 9 , dann haben wir: den ehemaligen Bruch

neuer Bruchteil:

wir sehen, dass der Wert des Bruchs gleich bleibt.

Mit dieser Eigenschaft eines Bruchs können wir an algebraischen Brüchen die gleichen Transformationen durchführen, die in der Arithmetik für arithmetische Brüche angegeben sind, das heißt, wir können Brüche nach Möglichkeit kürzen und gegebenenfalls auf einen Nenner bringen. Betrachten wir diese Transformationen und weisen auf einige weitere hin, die in der Arithmetik nicht verwendet werden.

78. Reduzieren von Gliedern eines Bruchs auf eine ganzzahlige Form. Wenn es passiert, dass die Mitglieder eines Bruchs selbst Brüche enthalten, dann können wir diese Brüche durch Multiplikation mit einer richtig gewählten Zahl oder mit einem algebraischen Ausdruck loswerden.

Beispiele.

79. Änderung der Vorzeichen von Mitgliedern einer Fraktion. Das Vorzeichen vor Zähler und Nenner eines Bruchs umzukehren ist wie eine Multiplikation mit -1, die den Wert des Bruchs nicht ändert. So:

Beachten Sie, dass sich der Wert des Bruchs auch nicht ändert, wenn wir das Vorzeichen vor einem beliebigen Mitglied des Bruchs ändern und gleichzeitig das Vorzeichen vor dem Bruch selbst ändern. z.B:

Diese Eigenschaften eines Bruchs können manchmal für eine Umwandlung davon verwendet werden; z.B:

80. Kürzung von Brüchen. Um einen algebraischen Bruch zu kürzen, muss man möglichst zuerst einen solchen algebraischen Ausdruck finden, durch den beide Glieder des Bruchs teilbar sind, und sie dann durch diesen Ausdruck dividieren. Überlegen Sie, wie Sie dies in den folgenden beiden Fällen am bequemsten tun können.

a) Nehmen Sie einen Bruch, in dem beide Terme ganzzahlige Monome sind; z.B:

Chancen 12 und 20 sind durch 4 teilbar, wörtliche Ausdrücke sind durch teilbar a und weiter x 2 , Dieser Bruch kann also um gekürzt werden 4ax 2 :

(Über dem Bruch haben wir die gemeinsamen Faktoren geschrieben, mit denen wir den Bruch kürzen; anstatt zu dividieren 3ax auf der 5 wir teilten uns auf 5 nur Koeffizient 3 ).

b) Wenn der Bruch einen Zähler oder Nenner (oder beide) Polynome hat, müssen diese Polynome zuerst faktorisiert werden (wie in angegeben); wenn unter ihnen die gleichen sind, so kann der Bruch auf sie verringert werden.

Beispiele.

(Statt einer Division durch 2 wird eine Multiplikation mit 1/2 eingestellt, was einer Division durch 2 entspricht).

81. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen,

a) Lassen Sie es erforderlich sein, Brüche mit in Zahlen ausgedrückten Nennern auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, zum Beispiel:

Dazu zerlegen wir die Nenner in Primfaktoren:

3; 15 = 3 5; 18 = 2 3 3

und finde ihr kleinstes Vielfaches; es wird 2 3 3 5 = 90. Jetzt finden wir für jeden Nenner einen zusätzlichen Faktor, mit dem wir diesen Nenner multiplizieren müssen, um stattdessen 90 zu erhalten. Diese zusätzlichen Faktoren werden sein:

90:3 = 30; 90:15 = 6, 90:18 = 5.

Damit die Brüche ihren Wert nicht ändern, müssen die Zähler mit denselben Zahlen multipliziert werden, mit denen wir die Nenner multiplizieren:

(Zusätzliche Multiplikatoren sind über den Brüchen geschrieben).

b) Nehmen wir nun Brüche, deren Nenner wörtliche Monome sind; z.B:

Für den gemeinsamen Nenner kann man offensichtlich nehmen 30ab 2 . Weitere Multiplikatoren sind dann: 15ab, 10b und 6 :

Lassen Sie uns jeden Nenner faktorisieren. Die ersten beiden zersetzen sich nicht und die dritte = (a + b) (a - b) . So wird der gemeinsame Nenner sein a 2 - b 2 , und wir erhalten:

d) Es kann vorkommen, dass kein Nennerpaar gemeinsame Teiler hat. Dann müssen wir vorgehen wie in einem ähnlichen Fall in der Arithmetik, nämlich: Zähler und Nenner jedes Bruchs mit dem Produkt der signifikanten aller anderen Brüche multiplizieren. Zum Beispiel:

82. Addition und Subtraktion von Brüchen. Nach der Regel, ein Polynom durch ein Monom zu teilen, können wir schreiben:

Wenn wir diese Gleichungen von rechts nach links lesen, finden wir:

1) Um Brüche mit gleichem Nenner zu addieren, kannst du ihre Zähler addieren und denselben Nenner unter die Summe schreiben ;

2) Um Brüche mit demselben Nenner zu subtrahieren, können Sie ihre Zähler subtrahieren und denselben Nenner unter der Differenz unterschreiben.

Wenn die Daten zum Addieren oder Subtrahieren eines Bruchs unterschiedliche Nenner haben, müssen sie zuerst auf denselben Nenner gebracht werden. Zum Beispiel:

Als Ergebnis der Subtraktion erhalten wir:

83. Multiplikation von Brüchen. Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren, kannst du den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren und das erste Produkt als Zähler und das zweite als Nenner nehmen, d.h.

Erinnern Sie sich an die Erklärung dieser Regel in Bezug auf arithmetische Brüche. Lass es multiplizieren 2 / 3 4 / 5 Es bedeutet zu finden 4 / 5 aus 2 / 3 (z. B. zu finden 4 / 5 Länge gleich 2 / 3 Meter). Dazu müssen Sie zuerst finden 1 / 5 aus 2 / 3 und dann 4 / 5 aus 2 / 3 . Finden 1 / 5 aus 2 / 3 notwendig 2 / 3 um das 5-fache reduzieren; wir bekommen 2 / 15 . Jetzt zu finden 4 / 5 aus 2 / 3 , notwendig 2 / 15 um das 4-fache erhöhen; wir bekommen 8 / 15 . Auf diese Weise:

Jetzt werden wir diese Regel für algebraische Brüche überprüfen, wenn die Zahlen a, b, c und d wird was auch immer sein. Nehmen wir zunächst an, dass alle diese Zahlen positiv, aber nicht ganz, sondern gebrochen sind. Lassen Sie zum Beispiel:

Lassen Sie uns diese Zahlen durch Gleichheit (1) ersetzen, ihren linken und rechten Teil separat berechnen und die erhaltenen Ergebnisse vergleichen (bei der Berechnung werden wir uns an den Regeln der Division und Multiplikation von arithmetischen Brüchen orientieren):

(wir werden die endgültige Berechnung nicht durchführen).

Lassen Sie uns nun die rechte Seite der Gleichheit (1) finden:

Сравнивай полученные результаты, мы видим, что они одинаковы, так как (согласно переместительному свойству умножения целых чисел) 2 8 5 4 = 2 5 8 4 и 3 7 6 9 = 3 6 7 9. Следовательно, равенство (1) остается верным и in diesem Fall.

Nehmen wir nun an, dass einige der Zahlen a, b, c und d negativ werden. sei zum Beispiel a = - 2 / 3 ( b, c und d gleiche Werte haben). Dann der Bruchteil a / b negativ wird, und die gesamte linke Seite von Gleichheit (1) wird ebenfalls eine negative Zahl sein. Auf der rechten Seite der Arbeit As negativ wird, und daher ist auch die gesamte rechte Seite eine negative Zahl. Der Absolutwert der linken Seite und der rechten Seite bleibt gleich. Daher wird Gleichheit (1) nicht verletzt. Wir stellen auch sicher, dass Gleichheit (1) wahr bleibt, selbst wenn andere Zahlen negativ werden.

Alles, was wir gerade über ein bestimmtes Beispiel gesagt haben, kann für jedes andere Beispiel wiederholt werden; daher gilt Gleichheit (1) für alle Werte der Buchstaben a, b, c und d .

84. Division von Brüchen. Um einen Bruch durch einen Bruch zu dividieren, kannst du den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten, den Nenner des ersten mit dem Zähler des zweiten multiplizieren und das erste Produkt als Zähler und das zweite als Nenner nehmen , d.h.

Dass diese Gleichheit für alle Zahlen gilt A B C D , können Sie sich durch eine einfache Überprüfung der Division vergewissern: Multiplizieren Sie den Quotienten mit dem Divisor (gemäß der oben bewiesenen Regel zum Multiplizieren von Brüchen), erhalten wir den Dividenden:

85. Bemerkungen. 1) Seit Anzeige /bc=a/bd/ c , dann lässt sich die Divisionsregel auch anders ausdrücken: Um einen Bruch durch einen Bruch zu dividieren, kannst du den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten multiplizieren.

2) Jeder ganzzahlige algebraische Ausdruck kann als Bruch betrachtet werden, in dem der Zähler dieser ganzzahlige Ausdruck ist und der Nenner 1 ist; z.B.

a = a/1 ; 3x 2 = 3x 2 /1 usw.

Daher können die von uns angegebenen Regeln für Aktionen auf Brüche auch auf solche Fälle angewendet werden, in denen einer der angegebenen Ausdrücke eine ganze Zahl ist, es ist nur notwendig, diese ganze Zahl (zumindest gedanklich) als Bruch darzustellen. Zum Beispiel:

86. Die Befreiung der Gleichung von den Nennern. Gegeben sei die Gleichung:

Reversibel 6 3 / 5 in einen unechten Bruch umwandeln und alle Terme auf den gleichen Nenner bringen:

Multiplizieren Sie nun alle Terme mit 10; dann wird der Nenner 10 zerstört und wir erhalten die Gleichung ohne Brüche:

Um einen Fehler zu vermeiden, haben wir ein Binom eingefügt 7x-2 in Klammern, um zu zeigen, dass sich das - Zeichen in dieser Gleichung vor dem zweiten Bruch nicht bezieht 7x , und auf das ganze Binomial 7x-2 (zum Zähler des zweiten Bruchs). Wenn wir diese Klammern gemäß der Subtraktionsregel erweitern, erhalten wir:

Auf diese Weise, Um eine Gleichung von Nennern zu befreien, ist es notwendig, alle ihre Terme auf denselben Nenner zu bringen und sie dann mit diesem Nenner zu multiplizieren (mit anderen Worten, Lass es fallen ).

Kapitel sieben.

Verhältnis und Proportion.

87. Haltung. Oft ist es notwendig, einen Wert mit einem anderen, dazu homogenen Wert zu vergleichen, um herauszufinden, wie oft der erste Wert den zweiten enthält.

Zu diesem Zweck können wir beispielsweise das Gewicht eines Gegenstands mit dem Gewicht eines anderen Gegenstands, den Preis eines Produkts mit dem Preis eines anderen Produkts usw. vergleichen. In all diesen Fällen wird das Ergebnis des Vergleichs als Zahl ausgedrückt , die sowohl eine ganze Zahl als auch eine ganze Zahl mit einem Bruch und einem Bruch sein kann. Vergleichen wir zum Beispiel die Länge a mit unterschiedlicher Länge b , und das Ergebnis des Vergleichs war die ganze Zahl 3 .

Damit ist die Länge gemeint a enthält die Länge b genau 3 mal (also a mehr b dreimal).

Ist das Ergebnis des Vergleichs eine ganze Zahl mit Bruch, z. 2 1 / 2 , dann bedeutet das das a enthält b 2 1/2 mal ( a mehr b 2 1/2 mal).

Wenn schließlich das Ergebnis des Vergleichs ein Bruch ist, setzen Sie 3 / 4 , dann a beinhaltet nicht b nicht einmal, sondern nur 3/4 b .

In all diesen Fällen ist das Ergebnis des Vergleichs eine abstrakte Zahl, mit der der zweite Wert multipliziert werden muss, um den ersten zu erhalten. Also in unseren Beispielen:

a = b3; a = b 2 1 / 2 ; a = b3/4;

Das Ergebnis des Vergleichs einer Größe mit einer anderen homogenen Größe wird üblicherweise als Verhältnis der ersten Größe zur zweiten bezeichnet. Meint, das Verhältnis einer Größe zu einer anderen homogenen Größe ist eine abstrakte Zahl, mit der die zweite Größe multipliziert werden muss, um die erste zu erhalten. Da diese Zahl der Quotient der Division des ersten Werts durch den zweiten ist, wird das Verhältnis durch das Divisionszeichen angegeben. Sie können also schreiben:

a / b (oder a:b) =3; a / b = 2 1 / 2 a / b = 3 / 4 . usw.

Die Werte, zwischen denen das Verhältnis gebildet wird, werden Elemente der Beziehung genannt, wobei der erste Wert das vorherige Element und der zweite das nächste Element genannt wird.

Wenn Größen mit derselben Einheit gemessen und in Zahlen ausgedrückt werden, kann ihr Verhältnis durch das Verhältnis dieser Zahlen ersetzt werden. Beispielsweise ist das Verhältnis zweier Gewichte, eines mit 80 g und das andere mit 15 g, gleich dem Verhältnis der Zahlen 80 und 15, also gleich dem Quotienten 80:15, also 5 1 / 3 ; ebenso ist das Verhältnis eines Winkels von 30° zu einem rechten Winkel gleich dem Quotienten 30:90, also Brüche 1 / 3

Es müssen zum größten Teil positive Größen untereinander verglichen werden; daher wird angenommen, dass beide Terme der Beziehung und die Beziehung selbst als positive Zahlen ausgedrückt werden.

88. Abhängigkeit zwischen Beziehung und ihren Mitgliedern das gleiche wie zwischen dem Dividenden, dem Divisor und dem Quotienten.

a) Der vorherige Term ist gleich dem nächsten multipliziert mit dem Verhältnis (der Dividende ist gleich dem Divisor multipliziert mit dem Quotienten). Wenn zum Beispiel das Verhältnis einer unbekannten Zahl X zur Nummer 100 gleich 2 1 / 2 , dann X = 100 2 1 / 2 = 250 .

b) Der nächste Term ist gleich dem vorherigen geteilt durch das Verhältnis (der Divisor ist gleich dem Dividenden geteilt durch den Quotienten). Also, wenn bekannt ist, dass 15: X = 5, dann X = 15: 5 = 3.

in) Das Verhältnis ändert sich nicht, wenn beide seiner Mitglieder mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden (der Quotient ändert sich nicht, wenn ...).

89. Die Mitglieder der Beziehung zur ganzen Form bringen. Indem wir beide Terme der Relation mit derselben Zahl multiplizieren, können wir die Relation mit gebrochenen Gliedern durch die Relation ganzer Zahlen ersetzen. Ja, Haltung 7 / 3 : 5 durch Multiplikation seiner Mitglieder mit 3 wird es zu einem Verhältnis von ganzen Zahlen 7:15; Das Verhältnis 9 / 14: 10 / 21 wird nach Multiplikation seiner Terme mit einem gemeinsamen Nenner 42 ebenfalls zu einem Verhältnis von ganzen Zahlen 27: 20.

90. Die Beziehung reduzieren. Wenn beide Mitglieder der Relation ganze Zahlen sind, die durch einen gemeinsamen Teiler teilbar sind, kann eine solche Relation reduziert werden. Das Verhältnis von 42:12 durch Teilen der Mitglieder durch 6 wäre also 7:2.

91. Umgekehrte Beziehung. Wenn wir die Terme der Relation neu anordnen, d. h. den vorherigen Term folgen lassen und umgekehrt, dann erhalten wir eine neue Relation, die als Umkehrung der vorherigen bezeichnet wird. Somit ist das Verhältnis von Meter zu Zentimeter umgekehrt zum Verhältnis von Zentimeter zu Meter; die erste ist gleich der Zahl 100, die zweite ist gleich dem Kehrwert von 0,01.

92. Verhältnis. Unter Berücksichtigung, dass das Verhältnis von Kilogramm zu Gramm 1000 ist und dass das Verhältnis von Kilometer zu Meter ebenfalls 1000 ist, können wir die Gleichung schreiben:

oder Kilogramm: Gramm = Kilometer: Meter, was wie folgt lautet: Das Verhältnis von einem Kilogramm zu einem Gramm ist gleich dem Verhältnis von einem Kilometer zu einem Meter; oder so: ein Kilogramm verhält sich zu einem Gramm wie ein Kilometer zu einem Meter (oder so: ein Kilogramm ist so oft größer als ein Gramm, wie oft ein Kilometer größer als ein Meter ist).

Die Gleichheit zweier Verhältnisse nennt man Proportion. Natürlich müssen die an jedem Verhältnis beteiligten Mengen homogen sein; In unserem Beispiel sind die Werte des ersten Verhältnisses also Gewichte und die Werte des zweiten Verhältnisses Längen.

Von den vier Werten, aus denen der Anteil besteht, werden der erste und der vierte als Extremwerte bezeichnet, der zweite und der dritte als Mittelwerte, der erste und der dritte als die vorherigen, der zweite und der vierte als die nachfolgenden Einsen. Die letzte Menge wird auch die vierte proportional zu den ersten drei Mengen genannt.

Wir nehmen an, dass alle vier Terme des Anteils in Zahlen ausgedrückt werden; wir werden ein solches Verhältnis numerisch nennen.

93. Die Haupteigenschaft des Zahlenverhältnisses. Angenommen, wir haben die folgenden Zahlenverhältnisse:

21 / 7 = 15 / 5 (jedes Verhältnis = 3)

Nehmen wir in jeder Proportion das Produkt der Extremglieder und das Produkt der Mittelglieder und vergleichen sie miteinander. Im ersten Anteil ist das Produkt der Extreme

21 5=105 und das Produkt der Mittel ist 7 15=105; im zweiten Anteil das Produkt der Extreme \u003d 2 1 / 2 3 = 7 1/2 und Produkt der Mittelwerte = 3/4 10 = 7 1/2

Somit ist bei jeder der angenommenen Proportionen das Produkt der äußersten Terme gleich dem Produkt der mittleren.

Um zu zeigen, dass diese Eigenschaft zu jedem Zahlenverhältnis gehört, nehmen wir das Verhältnis wörtlich:

a / b = mit / d

Da jedes der beiden Verhältnisse, aus denen der Anteil besteht, der Quotient der Division des vorherigen Terms durch den nächsten ist, können wir sagen, dass der Anteil die Gleichheit zweier Brüche ist. Bringen wir diese Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bd .

Wir multiplizieren nun beide Seiten der Gleichung mit bd (von denen die Gleichheit nicht verletzt wird); dann wird der gemeinsame Nenner kleiner und wir erhalten die Gleichheit:

ad = cb ,

was ausdrückt, dass in jedem numerischen Verhältnis das Produkt der äußersten Terme gleich dem Produkt der mittleren ist.

Daraus folgt, dass jedes extreme Glied des Anteils gleich dem Produkt der Durchschnitte geteilt durch das andere Extrem ist, und jedes durchschnittliche Glied des Anteils gleich dem Produkt der Extreme geteilt durch den anderen Durchschnitt ist. Dies gibt uns die Möglichkeit, als Proportionen gegebene Gleichungen schnell zu lösen; z.B. aus der Gleichung

10 / x = 45 / 20

direkt ausgeben: X = 10 20 / 45 = 4 4 / 9 .

94. Umgekehrter Vorschlag. Angenommen, wir haben 4 Zahlen, bei denen das Produkt von zweien gleich dem Produkt der anderen beiden ist, zum Beispiel:

Wir können eine solche Gleichheit in eine Reihe von Proportionen umwandeln. Dazu unterteilen wir beide Teile jeweils in diese Werke:

5 30; 5 2; 12 30; 12 2,

bei dem ein Faktor von einem gegebenen Produkt genommen wird und der andere von einem anderen. Dann erhalten wir 4 weitere Gleichheiten (wenn wir gleiche Zahlen in gleiche teilen, dann bekommen wir gleiche), nämlich:

Wenn wir alle diese Brüche reduzieren, finden wir:

Wir erhalten also 4 Proportionen, bei denen die äußersten Terme die Faktoren eines der gegebenen Produkte und die mittleren Terme die Faktoren eines anderen gegebenen Produkts sind.

In ähnlicher Weise können wir die Gleichung 0,3 4 = 6 0,2 in die folgenden Proportionen umwandeln:

oder Gleichheit: 5x=3j Wir können in Proportionen umwandeln:

5:3=y:x ; x:y=3:5 , usw.

Wenn also das Produkt zweier Zahlen gleich dem Produkt zweier anderer Zahlen ist, dann können Proportionen aus diesen 4 Zahlen gebildet werden, wobei die Faktoren des einen Produkts als äußerste Glieder und die Faktoren des anderen Produkts als mittlere Glieder genommen werden der Proportionen.

95. Folge. In jedem Zahlenverhältnis kann man die mittleren Terme untereinander, die extremen Terme untereinander neu anordnen oder die Durchschnitte an die Stelle der Extreme setzen und umgekehrt, da solche Permutationen die Gleichheit zwischen dem Produkt der Extreme und dem nicht verletzen das Produkt der Mittelwerte und damit die Proportionalität der Zahlen nicht verletzt.

96. Geometrisches Mittel. Nehmen wir eine Proportion, bei der die Mittelglieder gleich sind; Zum Beispiel:

Der sich wiederholende Begriff eines solchen Anteils wird aufgerufen geometrisches Mittel die Anzahl der anderen beiden Mitglieder des Anteils: 12 ist das geometrische Mittel von 36 und 4. Also, wenn Sie das geometrische Mittel von zwei Zahlen finden möchten a und b , dann mit dem Buchstaben bezeichnen X , können wir den Anteil schreiben:

a:x=x:b

x 2 = ab

Das geometrische Mittel zweier gegebener Zahlen ist also eine solche dritte Zahl, deren Quadrat gleich dem Produkt der gegebenen Zahlen ist. Zum Beispiel ist das geometrische Mittel von 25 und 4 10, weil 10 2 = 25 4 .

97. Arithmetisches Mittel. Das arithmetische Mittel mehrerer gegebener Zahlen ist der Quotient aus der Summe dieser Zahlen durch ihre Zahl. Zum Beispiel ist das arithmetische Mittel von 4 Zahlen: 10, -2, -8 und 12:

Das arithmetische Mittel hat die Eigenschaft, dass, wenn wir beim Addieren dieser Zahlen jede von ihnen durch das arithmetische Mittel ersetzen, sich die Summe durch diese Ersetzung nicht ändert. Somit ist die Summe der Zahlen 10, -2, -8 und 12 gleich 12, und die Summe von 3+3+3+3 ist ebenfalls gleich 12. Nehmen wir zum Beispiel an, dass die Produktivität der Fabrik während In den ersten vier Monaten des laufenden Jahres ist die Produktivität im Vergleich zum Dezember des Vorjahres gestiegen: im Januar um 10 ° / o, im Februar um -2 %, im März um - 8 % (was bedeutet, dass die Produktivität gesunken ist in den letzten 2 Monaten) und im April um + 12 %. Dann können wir sagen, dass die durchschnittliche Produktivitätssteigerung in diesen 4 Monaten 3 % pro Monat beträgt. Das ist so zu verstehen, dass die Produktivität der Fabrik für alle 4 Monate so ausgefallen ist, als würde sie jeden Monat gleich steigen, nämlich um 3% (im Vergleich zur Produktivität im Dezember). In einem ähnlichen Sinne spricht man oft von Durchschnittseinkommen, Durchschnittsgeschwindigkeit, Durchschnittsbevölkerungsdichte usw. Bei all diesen Ausdrücken wird impliziert, dass es sich um den arithmetischen Durchschnitt handelt.

98. Abgeleitete Proportionen. Aus jeder Proportion können Sie zusätzlich zur Permutation ihrer Terme einige andere Proportionen erhalten, die als Ableitungen bezeichnet werden. Lassen Sie uns auf zwei von ihnen hinweisen.

Wenn jedes der gleichen Verhältnisse, aus denen der Anteil besteht, um 1 erhöht oder verringert wird, wird die Gleichheit zwischen den Verhältnissen offensichtlich nicht verletzt. Daher, wenn

Wenn wir 1 mit dem Bruch, auf den sie angewendet oder von dem sie subtrahiert wird, auf einen gemeinsamen Nenner bringen, erhalten wir:

Wir können die beiden abgeleiteten Anteile, die wir abgeleitet haben, wie folgt ausdrücken: In jedem Verhältnis steht die Summe oder Differenz der Terme der ersten Relation in der gleichen Beziehung zum nachfolgenden Term dieser Relation wie die Summe oder Differenz der Terme der zweiten Relation zum nachfolgenden Term dieser Relation.

Wir dividieren Gleichheit (1) und (2) durch diese Gleichheit a /b=c/ d dann die Nenner b und d abnehmen, und wir erhalten zwei weitere abgeleitete Proportionen:

was sich so ausdrücken lässt: die Summe oder Differenz der Mitglieder der ersten Relation verhält sich zum vorherigen Mitglied dieser Relation in der gleichen Weise wie die Summe oder Differenz der Mitglieder der zweiten Relation zum vorherigen Mitglied dieser Relation.

Dividiert man Begriff für Begriff Gleichheit (1) durch Gleichheit (2), finden wir auch den folgenden abgeleiteten Anteil:

was sich so ausdrücken lässt: die Summe der Terme der ersten Relation verhält sich zu ihrer Differenz in der gleichen Weise wie die Summe der Terme der zweiten Relation zu ihrer Differenz.

Indem wir die mittleren Terme in zwei abgeleitete Proportionen umordnen, erhalten wir andere abgeleitete Proportionen, die nützlich zu beachten sind:

99. Eigentum gleichberechtigter Beziehungen. Nehmen wir zum Beispiel mehrere gleiche Beziehungen, wie:

30/10 = 6/2 = 15/5 (jedes Verhältnis = 3).

Addieren wir alle vorherigen Terme zueinander und alle nachfolgenden Terme zueinander und sehen wir, wie das Verhältnis dieser beiden Summen ist. Die Summe der vorherigen ist: 30 + 6 + 15 = 51; die Summe der folgenden: 10 + 2 + 5 = 17. Wir sehen, dass das Verhältnis der ersten Summe zur zweiten gleich der gleichen Zahl 3 ist, die diesen Verhältnissen entspricht, also können wir schreiben:

Um zu zeigen, dass diese Eigenschaft üblich ist, nehmen wir mehrere gleiche Relationen wörtlich:

Da der vorherige Term gleich dem nachfolgenden Term multipliziert mit dem Verhältnis ist, dann

a = bq, c = dq, e = fq , . . .

und daher a + c + e + . . . = bq + dq + fq + . . .

d.h. a + c + e. . . =q(b + d + f + . . .)

Teilen Sie beide Seiten dieser Gleichheit durch die Summe b + d + f + . . .

somit:

Auf diese Weise, wenn mehrere Verhältnisse einander gleich sind, dann verhält sich die Summe aller ihrer vorangegangenen Glieder zur Summe aller nachfolgenden, wie jedes der vorangegangenen zu seinem nachfolgenden Verhältnis.

Da jede Proportion aus zwei gleichen Verhältnissen besteht, gehört diese Eigenschaft auch zur Proportion.

100. Arithmetische Anwendung.(Proportionale Teilung.) Die Zahl 60 sei im Verhältnis zu den Zahlen b, 7 und 8 in drei Teile geteilt. Dies ist so zu verstehen, dass es erforderlich ist, 60 in solche drei Teile zu teilen x, y und z , zu X so behandelt 5 wie beim bezieht sich auf 7 und wie z bezieht sich auf 8, d.h. auf

x / 5 = j / 7 = z / 8

Unter Anwendung der Eigenschaften gleicher Verhältnisse finden wir:

Aber x + y + z = 60

Von hier aus finden wir:

101. Geometrische Anwendung. Seien zwei Polygone ähnlich und die Seiten eines Polygons gleich A B C D, ... und ähnliche Seiten des anderen A B C D", ... Dann

a / a" = b / b" = c / c" = d / d" = ...

d.h. die Umfänge ähnlicher Polygone werden als ähnliche Seiten in Beziehung gesetzt .

Kommentar. Abgeleitete Proportionen und die Eigenschaft gleicher Verhältnisse können manchmal verwendet werden, um eine als Proportion gegebene Gleichung schnell zu lösen. Lassen Sie uns Beispiele geben.

Machen wir einen abgeleiteten Anteil: Die Summe der Mitglieder der ersten Relation bezieht sich auf das nachfolgende Mitglied derselben Relation in der gleichen Weise wie. . .

Dann bekommen wir:

3 /x=47/ 7

wo

x = 21 / 47

Machen wir eine abgeleitete Proportion: Die Summe der Mitglieder der ersten Relation bezieht sich auf ihre Differenz in der gleichen Weise wie. . . Dann bekommen wir:

Machen wir eine neue Proportion: Die Summe der vorherigen bezieht sich auf die Summe der nachfolgenden auf die gleiche Weise wie. . . :

Machen wir nun eine Ableitungsproportion: Die Summe der Terme der ersten Relation bezieht sich auf den nachfolgenden Term dieser Relation in der gleichen Weise wie. . . :

Kapitel acht.

Proportionale Abhängigkeit (direkt und invers).

102. Proportionale Abhängigkeit. Jeder weiß aus Erfahrung, dass, wenn das Wasservolumen in irgendeinem Verhältnis zunimmt (oder abnimmt), sein Gewicht im gleichen Verhältnis zunimmt (oder abnimmt). Zum Beispiel wiegt 1 Liter Wasser 1 kg, 2 Liter Wasser wiegen 2 kg, 2 1/2 Liter Wasser wiegen 2 1/2 kg usw. (vorausgesetzt natürlich, dass alle anderen Bedingungen das Wassergewicht beeinflussen unverändert bleiben; zum Beispiel wird Wasser gleich sauber, mit gleicher Temperatur usw. entnommen). Diese Beziehung zwischen dem Volumen des Wassers und seinem Gewicht wird genannt proportional Sucht. Wenn wir im Allgemeinen sagen, dass zwei Größen proportional zueinander (oder proportional zueinander) sind, dann bedeutet dies das mit der Zunahme (oder Abnahme) eines von ihnen in gewisser Hinsicht steigt (oder sinkt) auch das andere auf die gleiche Weise . Der Wert einer nach Gewicht verkauften Ware ist also proportional zu ihrem Gewicht; die Löhne der Arbeiter sind proportional zu ihrer Zahl (unter den gleichen anderen Bedingungen); der Wert eines Bruchs ist proportional zu seinem Zähler (mit konstantem Nenner); die Fläche eines Rechtecks ​​ist bei konstanter Höhe proportional zu seiner Grundfläche und bei konstanter Grundfläche proportional zu seiner Höhe usw.

103. Ausdruck der proportionalen Abhängigkeit durch eine Formel. Angenommen, wir lösen das folgende Problem:

Ein Eisenbahnzug, der sich mit einer einheitlichen Geschwindigkeit bewegt, legt jede Stunde 30 km zurück. Durch welchen Raum wird dieser Zug fahren? a Std ( a kann ganzzahlig oder gebrochen sein)?

Hereinlassen a Stunden fährt der Zug vorbei X km.

Ordnen Sie die Daten und die Frage des Problems wie folgt an:

30 km werden in 1 Stunde zurückgelegt;

in a Stunde " X km.

Bei gleichförmiger Bewegung ist der während einiger Zeit durchlaufene Raum proportional zu dieser Zeit. So x sollte mehr oder weniger als 30 und so oft wie sein a mehr oder weniger als 1. Also können wir den Anteil schreiben:

X : 30 = a : 1 ,

x = 30a .

Damit haben wir eine Formel erhalten, mit der wir den durchlaufenen Raum in beliebiger Zahl berechnen können a Std. Beispielsweise werden um 2 Uhr 30 km 2 zurückgelegt, um 3 1/2 Stunden 30 km 3 1/2. in 3/4 Stunden 30 km 3/4. Also, in der abgeleiteten Formel, die Zahlen X und a Es wird Variablen geben (die einander entsprechen), während die Zahl 30 konstant ist (was den Raum bedeutet, den der Zug in 1 Stunde durchquert, dh die Bewegungsgeschwindigkeit).

Aus Problemen wie dem jetzt gegebenen sehen wir, dass, wenn zwei Größen proportional sind, der numerische Wert einer von ihnen gleich einer konstanten Zahl multipliziert mit dem entsprechenden numerischen Wert der anderen Größe ist.

Umgekehrt, wenn die Beziehung zwischen zwei beliebigen Variablen, die wir bezeichnen beim und X , wird durch eine Formel der Form ausgedrückt y = kx , wo k Es gibt eine konstante Zahl für diese Mengen, dann sind solche Mengen proportional, da aus dieser Formel ersichtlich ist, dass mit einer Zunahme (oder Abnahme) des Wertes X irgendein anderer Wert beim auch zunimmt (oder abnimmt) und zwar im gleichen Verhältnis. Zum Beispiel, wie aus der Geometrie bekannt, die Länge Mit Kreisradius R ausgedrückt durch die Formel:

C = 6,28R (C = 2πR),

worin R und C- Variablen und 6,28 - konstante Nummer; dann können wir schließen, dass der Umfang eines Kreises proportional zu seinem Radius ist.

Eine konstante Zahl, die in solchen Formeln als Faktor enthalten ist, wird aufgerufen Koeffizient der Proportionalität die Variablen, auf die sich die Formel bezieht.

104. Umgekehrtes Verhältnis. Es kommt manchmal vor, dass zwei Variablen voneinander abhängen, so dass mit der Zunahme der einen die andere abnimmt und außerdem im gleichen Verhältnis abnimmt, in dem die erste zunimmt. Solche Mengen werden aufgerufen invers proportional(und Größen, die einfach proportional sind, werden manchmal als direkt proportional bezeichnet). Zum Beispiel ist die Anzahl der Stunden, in denen ein Eisenbahnzug den ganzen Weg von Moskau nach Leningrad fährt, umgekehrt proportional zur Durchschnittsgeschwindigkeit dieses Zuges, da bei einer Geschwindigkeitssteigerung um das 1 1/2-fache, um das 2-fache ... Im Allgemeinen verringert sich die Anzahl der Stunden, in denen der Zug die Strecke von Moskau nach Leningrad zurücklegt, in einem gewissen Verhältnis um das 1 1 / 2-fache, um das 2-fache ... im Allgemeinen im gleichen Verhältnis wie die Geschwindigkeit hat zugenommen. Ebenso ist das Gewicht einer Ware, die mit einem bestimmten Geldbetrag gekauft werden kann, beispielsweise für 100 Rubel, umgekehrt proportional zum Preis eines Kilogramms dieser Ware; die Zeit, während der die Arbeiter die ihnen übertragene Arbeit verrichten, ist umgekehrt proportional zur Anzahl dieser Arbeiter (natürlich unter der Voraussetzung, dass alle Arbeiter gleich erfolgreich arbeiten); der Wert eines Bruchs ist umgekehrt proportional zu seinem Nenner (bei konstantem Zähler) usw.

Kommentar. Damit zwei voneinander abhängige Größen proportional (direkt oder umgekehrt) sind, reicht es nicht aus, nur das Vorzeichen zu haben, dass bei einer Zunahme der einen Größe auch die andere zunimmt (bei direkter Proportionalität) oder das bei einer Zunahme in einer Größe nimmt die andere ab (für umgekehrte Proportionalität). ). Wenn sich zum Beispiel ein Begriff erhöht, erhöht sich auch die Summe; aber es wäre ein Fehler zu sagen, dass die Summe proportional zum Begriff ist, denn wenn wir den Begriff erhöhen, sagen wir es 3 mal, dann die Summe, obwohl sie zunehmen wird, aber nicht 3 mal. Ebenso ist es zum Beispiel unmöglich zu sagen, dass die Differenz umgekehrt proportional zum Subtrahend ist, denn wenn sich der Subtrahend erhöht, sagen wir 2 mal, dann nimmt die Differenz zwar ab, aber nicht 2 mal. Es ist erforderlich, dass die Erhöhung oder Verringerung beider Werte gleich oft (im gleichen Verhältnis) erfolgt.

105. Ausdruck der umgekehrten Proportionalität durch Formel. Angenommen, wir lösen ein Problem: Ein Arbeiter kann eine Arbeit in 12 Tagen erledigen; in wie vielen Tagen werden sie die gleiche Arbeit verrichten a Arbeitskräfte?

Lassen Sie uns die gewünschte Nummer mit dem Buchstaben bezeichnen X und ordnen Sie der Übersichtlichkeit halber die Daten und die Problemstellung wie folgt:

1 Arbeiter erledigt die Arbeit in 12 Tagen

a Arbeiter leisten „ „ X Tage.

Offensichtlich ist die Anzahl der Tage, die für die gleiche Arbeit benötigt werden, umgekehrt proportional zur Anzahl der Arbeitnehmer. So ( x muss weniger als 12 und so oft wie sein a größer als 1 (mit anderen Worten, welche Zeit ist 1 kleiner als a ). Also das Verhältnis x :12 sollte kein Verhältnis sein a:1 , wie es bei einer direkten proportionalen Beziehung wäre, und das umgekehrte Verhältnis ist 1: a . So können wir den Anteil schreiben:

x :12 = 1: a

X = 12 / a .

Mit dieser Formel können wir die Anzahl der Tage ermitteln X die für die Durchführung dieser Arbeit erforderlich sind, in beliebiger Anzahl a Arbeitskräfte; Zum Beispiel werden 2 Arbeiter ihre Arbeit in 12/2 Tagen beenden, 3 Arbeiter in 12/3 Tagen usw. Daher die Zahlen X und a in dieser Formel sind Variablen, und die Zahl 12 ist konstant, was bedeutet, wie viele Tage die Arbeit von einem Arbeiter ausgeführt wird.

An Problemen wie dem gerade gelösten können wir das erkennen Wenn zwei beliebige Größen (die wir mit den Buchstaben x und y bezeichnen werden) umgekehrt proportional sind, dann ist der numerische Wert einer von ihnen gleich einer konstanten Zahl (nennen wir sie mit k), dividiert durch den entsprechenden Wert der anderen Größe , d.h. y= k / x , Wenn beim und X stellen die entsprechenden Werte dieser Größen dar.

Da die Formel y= k / x kann so dargestellt werden: xy = k , dann kann die Beziehung zwischen umgekehrt proportionalen Größen auf andere Weise ausgedrückt werden: Wenn zwei Größen umgekehrt proportional sind, ist das Produkt zweier entsprechender Zahlenwerte dieser Größen gleich einer konstanten Zahl.

Umgekehrt, wenn die Beziehung zwischen zwei Variablen durch die Formel ausgedrückt wird:

y= k / x oder xy = k .

wo k eine konstante Zahl ist, dann sind diese Mengen umgekehrt proportional, da aus der Formel ersichtlich ist, dass wenn die Menge X erhöht sich dann um ein Vielfaches beim sinkt um den gleichen Betrag.

Aus der Physik ist beispielsweise bekannt, dass bei konstanter Temperatur das Produkt aus dem Volumen V einer gegebenen Gasmasse und ihrer Elastizität h ein konstanter Wert ist; dies bedeutet mit anderen Worten, dass die Elastizität einer gegebenen Gasmasse umgekehrt proportional zu ihrem Volumen (bei gleicher Temperatur) ist.

Kommentar. Gleichberechtigung y= k / x kann anders geschrieben werden, so:

y = k 1 / x

In dieser Form drückt es aus, dass die Menge beim direkt proportional zum Bruch 1 / x . Also wenn die Nummer beim umgekehrt proportional zur Zahl X , dann kann man auch sagen, dass die Zahl beim direkt proportional zum Kehrwert der Zahl x , d.h. 1 / x .

Unter den verschiedenen Ausdrücken, die in der Algebra berücksichtigt werden, nehmen Summen von Monomen einen wichtigen Platz ein. Hier sind Beispiele für solche Ausdrücke:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Die Summe von Monomen heißt Polynom. Die Terme in einem Polynom heißen Glieder des Polynoms. Mononome werden auch als Polynome bezeichnet, wobei ein Monom als ein Polynom betrachtet wird, das aus einem Mitglied besteht.

Zum Beispiel Polynom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
vereinfacht werden kann.

Wir stellen alle Terme als Monome der Standardform dar:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Wir geben ähnliche Terme im resultierenden Polynom an:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Das Ergebnis ist ein Polynom, dessen Mitglieder alle Monome der Standardform sind und unter denen es keine ähnlichen gibt. Solche Polynome werden aufgerufen Polynome der Standardform.

Hinter Polynomgrad Standardform nehmen die größten Befugnisse ihrer Mitglieder. Das Binom \(12a^2b - 7b \) hat also den dritten Grad und das Trinom \(2b^2 -7b + 6 \) hat den zweiten.

Normalerweise werden die Terme von Polynomen in Standardform, die eine Variable enthalten, in absteigender Reihenfolge ihrer Exponenten angeordnet. Zum Beispiel:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Die Summe mehrerer Polynome kann (vereinfacht) in ein Normalformpolynom umgewandelt werden.

Manchmal müssen die Mitglieder eines Polynoms in Gruppen eingeteilt werden, wobei jede Gruppe in Klammern gesetzt wird. Da Klammern das Gegenteil von Klammern sind, ist sie einfach zu formulieren Klammern Öffnungsregeln:

Steht das +-Zeichen vor den Klammern, so werden die in Klammern eingeschlossenen Begriffe mit den gleichen Zeichen geschrieben.

Wird den Klammern ein „-“ vorangestellt, so werden die in Klammern eingeschlossenen Begriffe mit entgegengesetzten Vorzeichen geschrieben.

Transformation (Vereinfachung) des Produkts aus einem Monom und einem Polynom

Unter Verwendung des Distributivgesetzes der Multiplikation kann man das Produkt eines Monoms und eines Polynoms in ein Polynom transformieren (vereinfachen). Zum Beispiel:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Das Produkt eines Monoms und eines Polynoms ist identisch gleich der Summe der Produkte dieses Monoms und jedes der Terme des Polynoms.

Dieses Ergebnis wird üblicherweise als Regel formuliert.

Um ein Monom mit einem Polynom zu multiplizieren, muss man dieses Monom mit jedem der Terme des Polynoms multiplizieren.

Wir haben diese Regel wiederholt zum Multiplizieren mit einer Summe verwendet.

Das Produkt von Polynomen. Transformation (Vereinfachung) des Produkts zweier Polynome

Im Allgemeinen ist das Produkt zweier Polynome identisch gleich der Summe des Produkts jedes Terms eines Polynoms und jedes Terms des anderen.

Verwenden Sie normalerweise die folgende Regel.

Um ein Polynom mit einem Polynom zu multiplizieren, müssen Sie jeden Term eines Polynoms mit jedem Term des anderen multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren.

Abgekürzte Multiplikationsformeln. Summe, Differenz und Differenzquadrat

Einige Ausdrücke in algebraischen Transformationen müssen häufiger behandelt werden als andere. Die vielleicht gebräuchlichsten Ausdrücke sind \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) und \(a^2 - b^2 \), also das Quadrat der Summe, die Quadrat der Differenz und quadratische Differenz. Sie haben bemerkt, dass die Namen der angegebenen Ausdrücke unvollständig zu sein scheinen, also ist beispielsweise \((a + b)^2 \) natürlich nicht nur das Quadrat der Summe, sondern das Quadrat der Summe von A und B. Das Quadrat der Summe von a und b ist jedoch in der Regel nicht so verbreitet, statt der Buchstaben a und b enthält es verschiedene, manchmal recht komplexe Ausdrücke.

Ausdrücke \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) lassen sich leicht in Polynome der Standardform umwandeln (vereinfachen), tatsächlich ist Ihnen eine solche Aufgabe bereits beim Multiplizieren von Polynomen begegnet :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Die resultierenden Identitäten sind nützlich, um sie sich zu merken und ohne Zwischenberechnungen anzuwenden. Dabei helfen kurze verbale Formulierungen.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - das Quadrat der Summe ist gleich der Summe der Quadrate und des doppelten Produkts.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - das Quadrat der Differenz ist die Summe der Quadrate ohne das Produkt zu verdoppeln.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - die Differenz der Quadrate ist gleich dem Produkt aus der Differenz und der Summe.

Diese drei Identitäten erlauben in Transformationen, ihre linken Teile durch rechte zu ersetzen und umgekehrt - rechte Teile durch linke. Das Schwierigste in diesem Fall ist, die entsprechenden Ausdrücke zu sehen und zu verstehen, was die Variablen a und b darin ersetzen. Sehen wir uns einige Beispiele für die Verwendung abgekürzter Multiplikationsformeln an.

Erste Ebene

Ausdruckskonvertierung. Detaillierte Theorie (2019)

Ausdruckskonvertierung

Oft hören wir diesen unangenehmen Satz: "Vereinfachen Sie den Ausdruck." Normalerweise haben wir in diesem Fall eine Art Monster wie dieses:

„Ja, viel einfacher“, sagen wir, aber eine solche Antwort funktioniert meistens nicht.

Jetzt werde ich dich lehren, keine Angst vor solchen Aufgaben zu haben. Außerdem werden Sie am Ende der Lektion dieses Beispiel selbst zu einer (nur!) gewöhnlichen Zahl vereinfachen (ja, zum Teufel mit diesen Buchstaben).

Aber bevor Sie mit dieser Lektion beginnen, müssen Sie in der Lage sein, mit Brüchen und Faktorpolynomen umzugehen. Wenn Sie dies noch nicht getan haben, sollten Sie daher zunächst die Themen "" und "" beherrschen.

Lesen? Wenn ja, dann sind Sie bereit.

Grundlegende Vereinfachungsoperationen

Jetzt werden wir die wichtigsten Techniken analysieren, die zur Vereinfachung von Ausdrücken verwendet werden.

Die einfachste von ihnen ist

1. Ähnliches mitbringen

Was ist ähnlich? Sie haben das in der 7. Klasse durchgemacht, als in der Mathematik erstmals Buchstaben statt Zahlen auftauchten. Ähnlich sind Begriffe (Monome) mit gleichem Buchstabenteil. Zum Beispiel sind in der Summe gleiche Terme und.

Fiel ein?

Gleiche Begriffe bringen bedeutet, mehrere ähnliche Begriffe miteinander zu addieren und einen Begriff zu erhalten.

Aber wie können wir Buchstaben zusammensetzen? - du fragst.

Dies ist sehr leicht zu verstehen, wenn Sie sich vorstellen, dass die Buchstaben eine Art Objekte sind. Der Buchstabe ist zum Beispiel ein Stuhl. Was ist dann der Ausdruck? Zwei Stühle plus drei Stühle, wie viel wird es sein? Richtig, Stühle: .

Versuchen Sie nun diesen Ausdruck:

Um nicht verwirrt zu werden, lassen Sie unterschiedliche Buchstaben unterschiedliche Objekte bezeichnen. Zum Beispiel - das ist (wie üblich) ein Stuhl und - das ist ein Tisch. Dann:

Stühle Tische Stuhl Tische Stühle Stühle Tische

Die Zahlen, mit denen die Buchstaben in solchen Begriffen multipliziert werden, werden aufgerufen Koeffizienten. Zum Beispiel ist im Monom der Koeffizient gleich. Und er ist gleich.

Also, die Regel für das Bringen von ähnlichem:

Beispiele:

Ähnliches mitbringen:

Antworten:

2. (und sind ähnlich, da diese Begriffe daher den gleichen Buchstabenteil haben).

2. Faktorisierung

Dies ist normalerweise der wichtigste Teil beim Vereinfachen von Ausdrücken. Nachdem Sie ähnliche angegeben haben, muss der resultierende Ausdruck meistens faktorisiert, dh als Produkt dargestellt werden. Das ist besonders wichtig bei Brüchen, denn um einen Bruch zu kürzen, müssen Zähler und Nenner als Produkt dargestellt werden.

Sie haben die detaillierten Methoden zum Faktorisieren von Ausdrücken im Thema "" durchgearbeitet, also müssen Sie sich hier nur daran erinnern, was Sie gelernt haben. Lösen Sie dazu ein paar Beispiele(auszurechnen):

Lösungen:

3. Fraktionsreduktion.

Nun, was gibt es Schöneres, als einen Teil des Zählers und Nenners durchzustreichen und aus seinem Leben zu werfen?

Das ist die Schönheit der Abkürzung.

Es ist einfach:

Wenn Zähler und Nenner die gleichen Faktoren enthalten, können sie gekürzt, also aus dem Bruch entfernt werden.

Diese Regel folgt aus der Grundeigenschaft eines Bruchs:

Das heißt, die Essenz der Reduktionsoperation ist dies Wir dividieren Zähler und Nenner eines Bruchs durch dieselbe Zahl (oder durch denselben Ausdruck).

Um einen Bruch zu kürzen, benötigen Sie:

1) Zähler und Nenner faktorisieren

2) wenn Zähler und Nenner enthalten übliche Faktoren, sie können gelöscht werden.

Das Prinzip, denke ich, ist klar?

Auf einen typischen Abkürzungsfehler möchte ich aufmerksam machen. Dieses Thema ist zwar einfach, aber viele Menschen machen alles falsch, ohne sich dessen bewusst zu sein Schnitt- das heisst Teilen Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl.

Keine Abkürzungen, wenn Zähler oder Nenner die Summe ist.

Zum Beispiel: Sie müssen vereinfachen.

Einige tun dies: was absolut falsch ist.

Anderes Beispiel: Reduzieren.

"Die Klügsten" werden dies tun:.

Sag mir, was ist hier falsch? Es scheint: - Dies ist ein Multiplikator, also können Sie reduzieren.

Aber nein: - Dies ist ein Faktor von nur einem Term im Zähler, aber der Zähler selbst als Ganzes wird nicht in Faktoren zerlegt.

Hier ist ein weiteres Beispiel: .

Dieser Ausdruck wird in Faktoren zerlegt, was bedeutet, dass Sie Zähler und Nenner reduzieren können, dh durch und dann durch dividieren:

Sie können sofort dividieren durch:

Um solche Fehler zu vermeiden, merken Sie sich einen einfachen Weg, um festzustellen, ob ein Ausdruck faktorisiert ist:

Die arithmetische Operation, die zuletzt ausgeführt wird, wenn der Wert des Ausdrucks berechnet wird, ist die "Hauptoperation". Das heißt, wenn Sie einige (beliebige) Zahlen anstelle von Buchstaben einsetzen und versuchen, den Wert des Ausdrucks zu berechnen, dann haben wir ein Produkt, wenn die letzte Aktion eine Multiplikation ist (der Ausdruck wird in Faktoren zerlegt). Wenn die letzte Aktion eine Addition oder Subtraktion ist, bedeutet dies, dass der Ausdruck nicht faktorisiert wird (und daher nicht reduziert werden kann).

Um es zu beheben, lösen Sie es selbst ein paar Beispiele:

Antworten:

1. Ich hoffe, Sie haben sich nicht sofort zum Schneiden beeilt und? Es war immer noch nicht genug Einheiten wie diese zu „reduzieren“:

Der erste Schritt sollte sein, zu faktorisieren:

4. Addition und Subtraktion von Brüchen. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Die Addition und Subtraktion gewöhnlicher Brüche ist eine bekannte Operation: Wir suchen nach einem gemeinsamen Nenner, multiplizieren jeden Bruch mit dem fehlenden Faktor und addieren / subtrahieren die Zähler. Lass uns erinnern:

Antworten:

1. Die Nenner und sind teilerfremd, das heißt, sie haben keine gemeinsamen Teiler. Daher ist das LCM dieser Zahlen gleich ihrem Produkt. Dies wird der gemeinsame Nenner sein:

2. Hier ist der gemeinsame Nenner:

3. Hier verwandeln wir zunächst gemischte Brüche in unechte und dann - nach dem üblichen Schema:

Anders sieht es aus, wenn die Brüche Buchstaben enthalten, zum Beispiel:

Fangen wir einfach an:

a) Nenner enthalten keine Buchstaben

Hier ist alles wie bei gewöhnlichen Zahlenbrüchen: Wir finden einen gemeinsamen Nenner, multiplizieren jeden Bruch mit dem fehlenden Faktor und addieren / subtrahieren die Zähler:

Jetzt können Sie in den Zähler ähnliche bringen, falls vorhanden, und sie faktorisieren:

Versuch es selber:

b) Nenner enthalten Buchstaben

Erinnern wir uns an das Prinzip, einen gemeinsamen Nenner ohne Buchstaben zu finden:

Zunächst ermitteln wir die gemeinsamen Faktoren;

Dann schreiben wir alle Gemeinsamkeiten einmal auf;

und multipliziere sie mit allen anderen Faktoren, nicht den üblichen.

Um die gemeinsamen Faktoren der Nenner zu bestimmen, zerlegen wir diese zunächst in einfache Faktoren:

Wir betonen die gemeinsamen Faktoren:

Jetzt schreiben wir die gemeinsamen Faktoren einmal aus und fügen ihnen alle nicht gemeinsamen (nicht unterstrichenen) Faktoren hinzu:

Das ist der gemeinsame Nenner.

Kommen wir zurück zu den Buchstaben. Die Nenner werden genauso angegeben:

Wir zerlegen die Nenner in Faktoren;

gemeinsame (gleiche) Multiplikatoren ermitteln;

alle Gemeinsamkeiten einmal aufschreiben;

Wir multiplizieren sie mit allen anderen Faktoren, nicht mit gewöhnlichen.

Also der Reihe nach:

1) die Nenner in Faktoren zerlegen:

2) Bestimmen Sie die gemeinsamen (identischen) Faktoren:

3) Schreibe alle gemeinsamen Faktoren einmal auf und multipliziere sie mit allen anderen (nicht unterstrichenen) Faktoren:

Der gemeinsame Nenner ist also da. Der erste Bruch muss multipliziert werden mit, der zweite - mit:

Übrigens gibt es einen Trick:

Zum Beispiel: .

Wir sehen die gleichen Faktoren in den Nennern, nur alle mit unterschiedlichen Indikatoren. Der gemeinsame Nenner wird sein:

soweit

soweit

soweit

im Grad.

Lassen Sie uns die Aufgabe erschweren:

Wie bringt man Brüche dazu, denselben Nenner zu haben?

Erinnern wir uns an die grundlegende Eigenschaft eines Bruchs:

Nirgendwo steht, dass dieselbe Zahl vom Zähler und Nenner eines Bruchs subtrahiert (oder addiert) werden kann. Weil es nicht wahr ist!

Überzeugen Sie sich selbst: Nehmen Sie zum Beispiel einen beliebigen Bruch und addieren Sie zu Zähler und Nenner eine Zahl, zum Beispiel . Was wurde gelernt?

Also, eine weitere unerschütterliche Regel:

Wenn Sie Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, verwenden Sie nur die Multiplikationsoperation!

Aber was müssen Sie multiplizieren, um zu erhalten?

Hier auf und multiplizieren. Und multipliziere mit:

Ausdrücke, die nicht faktorisiert werden können, werden "Elementarfaktoren" genannt. Zum Beispiel ist ein elementarer Faktor. - zu. Aber - nein: es wird in Faktoren zerlegt.

Was ist mit dem Ausdruck? Ist es elementar?

Nein, denn es kann faktorisiert werden:

(Über Faktorisierung haben Sie bereits im Thema "" gelesen).

Die elementaren Faktoren, in die Sie einen Ausdruck mit Buchstaben zerlegen, sind also ein Analogon zu den einfachen Faktoren, in die Sie Zahlen zerlegen. Und wir werden dasselbe mit ihnen tun.

Wir sehen, dass beide Nenner einen Faktor haben. Es wird zum gemeinsamen Nenner in der Macht gehen (erinnern Sie sich, warum?).

Der Multiplikator ist elementar und sie haben ihn nicht gemeinsam, was bedeutet, dass der erste Bruch einfach damit multipliziert werden muss:

Ein anderes Beispiel:

Entscheidung:

Bevor Sie diese Nenner in Panik multiplizieren, müssen Sie darüber nachdenken, wie Sie sie faktorisieren können. Beide repräsentieren:

Bußgeld! Dann:

Ein anderes Beispiel:

Entscheidung:

Wie üblich faktorisieren wir die Nenner. Den ersten Nenner setzen wir einfach aus Klammern; im zweiten - die Differenz der Quadrate:

Es scheint, dass es keine gemeinsamen Faktoren gibt. Aber wenn man genau hinschaut, sind sie sich schon so ähnlich ... Und die Wahrheit ist:

Schreiben wir also:

Das heißt, es stellte sich so heraus: Innerhalb der Klammer haben wir die Terme vertauscht, und gleichzeitig änderte sich das Vorzeichen vor dem Bruch ins Gegenteil. Beachten Sie, dass Sie dies oft tun müssen.

Nun bringen wir auf einen gemeinsamen Nenner:

Ich habs? Lassen Sie uns jetzt überprüfen.

Aufgaben zur selbstständigen Lösung:

Antworten:

Hier müssen wir uns noch an eine Sache erinnern - den Unterschied der Würfel:

Bitte beachten Sie, dass der Nenner des zweiten Bruchs nicht die Formel "Quadrat der Summe" enthält! Das Quadrat der Summe würde so aussehen:

A ist das sogenannte unvollständige Quadrat der Summe: Der zweite Term darin ist das Produkt des ersten und des letzten und nicht ihr verdoppeltes Produkt. Das unvollständige Quadrat der Summe ist einer der Faktoren bei der Erweiterung der Differenz von Kubikzahlen:

Was ist, wenn es bereits drei Brüche gibt?

Ja das Gleiche! Zunächst stellen wir sicher, dass die maximale Anzahl der Faktoren in den Nennern gleich ist:

Achtung: Wenn Sie die Vorzeichen innerhalb einer Klammer ändern, ändert sich das Vorzeichen vor dem Bruch ins Gegenteil. Wenn wir die Vorzeichen in der zweiten Klammer ändern, wird das Vorzeichen vor dem Bruch wieder umgekehrt. Infolgedessen hat er (das Zeichen vor dem Bruch) sich nicht geändert.

Wir schreiben den ersten Nenner vollständig in den gemeinsamen Nenner und fügen dann alle noch nicht geschriebenen Faktoren hinzu, vom zweiten und dann vom dritten (und so weiter, wenn es mehr Brüche gibt). Das heißt, es geht so:

Hmm ... Mit Brüchen ist klar, was zu tun ist. Aber was ist mit den beiden?

Es ist ganz einfach: Sie wissen, wie man Brüche addiert, oder? Sie müssen also sicherstellen, dass die Zwei ein Bruch wird! Denken Sie daran: Ein Bruch ist eine Divisionsoperation (der Zähler wird durch den Nenner dividiert, falls Sie es plötzlich vergessen haben). Und es gibt nichts Einfacheres, als eine Zahl durch zu dividieren. In diesem Fall ändert sich die Zahl selbst nicht, sondern wird zu einem Bruch:

Genau das, was gebraucht wird!

5. Multiplikation und Division von Brüchen.

Nun, der schwierigste Teil ist jetzt vorbei. Und vor uns liegt das Einfachste, aber gleichzeitig das Wichtigste:

Verfahren

Wie wird ein numerischer Ausdruck berechnet? Denken Sie in Anbetracht des Wertes eines solchen Ausdrucks daran:

Hast du gezählt?

Es sollte funktionieren.

Also, ich erinnere dich.

Der erste Schritt ist die Berechnung des Abschlusses.

Die zweite ist Multiplikation und Division. Wenn es mehrere Multiplikationen und Divisionen gleichzeitig gibt, kannst du sie in beliebiger Reihenfolge durchführen.

Und schließlich führen wir Addition und Subtraktion durch. Wieder in beliebiger Reihenfolge.

Aber: der eingeklammerte Ausdruck wird falsch ausgewertet!

Wenn mehrere Klammern miteinander multipliziert oder dividiert werden, werten wir zuerst den Ausdruck in jeder der Klammern aus und multiplizieren oder dividieren sie dann.

Was ist, wenn es andere Klammern in den Klammern gibt? Nun, stellen wir uns vor: In die Klammern steht irgendein Ausdruck. Was ist das erste, was zu tun ist, wenn ein Ausdruck ausgewertet wird? Richtig, Klammern berechnen. Nun, wir haben es herausgefunden: Zuerst berechnen wir die inneren Klammern, dann alles andere.

Die Reihenfolge der Aktionen für den obigen Ausdruck ist also wie folgt (die aktuelle Aktion ist rot hervorgehoben, d. h. die Aktion, die ich gerade ausführe):

Okay, es ist alles einfach.

Aber das ist nicht dasselbe wie ein Ausdruck mit Buchstaben, oder?

Nein, es ist dasselbe! Nur anstelle von arithmetischen Operationen müssen algebraische Operationen durchgeführt werden, dh die im vorherigen Abschnitt beschriebenen Operationen: Ähnliches bringen, Brüche addieren, Brüche kürzen usw. Der einzige Unterschied besteht in der Faktorisierung von Polynomen (wir verwenden dies häufig bei der Arbeit mit Brüchen). Meistens müssen Sie für die Faktorisierung i verwenden oder einfach den gemeinsamen Faktor aus Klammern nehmen.

Normalerweise ist es unser Ziel, einen Ausdruck als Produkt oder Quotient darzustellen.

Zum Beispiel:

Vereinfachen wir den Ausdruck.

1) Zuerst vereinfachen wir den Ausdruck in Klammern. Da haben wir die Differenz von Brüchen, und unser Ziel ist es, sie als Produkt oder Quotient darzustellen. Also bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner und addieren:

Es ist unmöglich, diesen Ausdruck weiter zu vereinfachen, alle Faktoren hier sind elementar (erinnern Sie sich noch, was das bedeutet?).

2) Wir erhalten:

Multiplikation von Brüchen: was einfacher sein könnte.

3) Jetzt können Sie kürzen:

Das ist es. Nichts kompliziertes, oder?

Ein anderes Beispiel:

Den Ausdruck vereinfachen.

Versuchen Sie zuerst, es selbst zu lösen, und schauen Sie sich erst dann die Lösung an.

Lassen Sie uns zunächst das Verfahren definieren. Fügen wir zuerst die Brüche in Klammern hinzu, statt zwei Brüche wird einer herauskommen. Dann machen wir die Division von Brüchen. Nun, wir addieren das Ergebnis mit dem letzten Bruch. Ich werde die Schritte schematisch nummerieren:

Jetzt zeige ich den gesamten Prozess und färbe die aktuelle Aktion rot:

Abschließend möchte ich Ihnen zwei nützliche Tipps geben:

1. Wenn es ähnliche gibt, müssen sie sofort gebracht werden. In jedem Moment, in dem wir ähnliche haben, ist es ratsam, sie sofort mitzubringen.

2. Gleiches gilt für die Kürzung von Brüchen: Sobald sich eine Möglichkeit zur Kürzung ergibt, muss diese genutzt werden. Die Ausnahme sind Brüche, die du addierst oder subtrahierst: Wenn sie jetzt den gleichen Nenner haben, sollte die Kürzung für später aufgehoben werden.

Hier sind einige Aufgaben, die Sie selbst lösen können:

Und gleich zu Beginn versprochen:

Lösungen (kurz):

Wenn Sie zumindest die ersten drei Beispiele bewältigt haben, dann haben Sie, bedenken Sie, das Thema gemeistert.

Jetzt geht es ans Lernen!

AUSDRUCKKONVERTIERUNG. ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMEL

Grundlegende Vereinfachungsoperationen:

• Ähnliches mitbringen: Um ähnliche Terme hinzuzufügen (zu reduzieren), müssen Sie ihre Koeffizienten addieren und den Buchstabenteil zuweisen.
• Faktorisierung: Herausnehmen des gemeinsamen Faktors aus Klammern, Anwenden usw.
• Fraktionsreduktion: Zähler und Nenner eines Bruchs können mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert oder dividiert werden, ab der sich der Wert des Bruchs nicht ändert.
  1) Zähler und Nenner faktorisieren
  2) Wenn Zähler und Nenner gemeinsame Teiler haben, können sie durchgestrichen werden.

  WICHTIG: Es können nur Multiplikatoren reduziert werden!

• Addition und Subtraktion von Brüchen:
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• Multiplikation und Division von Brüchen:
  ;