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Die Methode der Parabeln (Simpson) - die Essenz der Methode, Formel, Fehlerschätzung, Illustration.

Die Funktion y = f(x) sei stetig auf dem Intervall und wir müssen das bestimmte Integral berechnen.

Lassen Sie uns das Segment in n elementare Segmente der Länge nach Punkten unterteilen. Die Punkte seien jeweils die Mittelpunkte der Segmente. In diesem Fall werden alle „Knoten“ aus der Gleichheit ermittelt.

Die Essenz der Parabelmethode.

In jedem Intervall wird der Integrand durch eine quadratische Parabel angenähert durch die Punkte gehen. Daher der Name der Methode - die Methode der Parabeln.

Dies geschieht, um einen ungefähren Wert eines bestimmten Integrals zu nehmen , die wir mit der Newton-Leibniz-Formel berechnen können. Das ist was Essenz der Parabelmethode.

Geometrisch sieht das so aus:

Grafische Darstellung der Parabelmethode (Simpson).

Die rote Linie zeigt den Graphen der Funktion y=f(x) , die blaue Linie zeigt die Approximation des Graphen der Funktion y=f(x) durch quadratische Parabeln auf jedem Elementarsegment der Partition.

Herleitung der Formel der Simpson-Methode (Parabeln).

Aufgrund der fünften Eigenschaft des bestimmten Integrals haben wir .

Um die Formel für die Parabelmethode (Simpson) zu erhalten, müssen wir rechnen .

Sei (wir können dies immer erreichen, indem wir für jedes i = 1, 2, ..., n die entsprechende geometrische Verschiebungstransformation durchführen).

Machen wir eine Zeichnung.

Zeigen wir, dass nur eine quadratische Parabel durch die Punkte geht . Mit anderen Worten, wir beweisen, dass die Koeffizienten eindeutig definiert sind.

Da die Punkte der Parabel sind, ist jede der Gleichungen des Systems gültig

Das geschriebene Gleichungssystem ist ein System linearer algebraischer Gleichungen in unbekannten Variablen. Die Determinante der Hauptmatrix dieses Gleichungssystems ist die Vandermonde-Determinante , und es ist ungleich Null für nicht übereinstimmende Punkte . Dies zeigt an, dass das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat (dies wird im Artikel besprochen), dh die Koeffizienten sind eindeutig bestimmt und eine einzelne quadratische Parabel verläuft durch die Punkte.

Kommen wir nun zur Integralfindung .

Offensichtlich:

Wir verwenden diese Gleichheiten, um den letzten Übergang in der folgenden Gleichheitskette vorzunehmen:

So erhalten Sie die Formel der Parabelmethode:

Formel der Simpson-Methode (Parabeln) hat die Form
.

Abschätzung des absoluten Fehlers der Simpson-Methode.

Absoluter Fehler der Simpson-Methode bewertet als .

Beispiele zur näherungsweisen Berechnung bestimmter Integrale nach der Simpson-Methode (Parabeln).

Analysieren wir die Anwendung der Simpson-Methode (Parabeln) bei der näherungsweisen Berechnung bestimmter Integrale.

Normalerweise gibt es zwei Arten von Aufgaben:

Es stellt sich eine logische Frage: "Mit welcher Genauigkeit sind Zwischenberechnungen durchzuführen"?

Die Antwort ist einfach - die Genauigkeit der Zwischenberechnungen sollte ausreichend sein. Zwischenrechnungen sollten mit einer Genauigkeit von 3-4 Größenordnungen höher als die Größenordnung von . Auch die Genauigkeit von Zwischenrechnungen hängt von der Zahl n ab – je größer n, desto genauer sollten Zwischenrechnungen durchgeführt werden.

Beispiel.

Berechnen Sie das bestimmte Integral mit der Simpson-Methode, indem Sie das Integrationssegment in 5 Teile teilen.

Entscheidung.

Aus der Bedingung wissen wir, dass a = 0; b = 5; n = 5 .

Die Formel der Simpson-Methode (Parabeln) hat die Form . Um es anzuwenden, müssen wir den Schritt berechnen, die Knoten bestimmen und die entsprechenden Werte des Integranden berechnen .

Zwischenrechnungen werden mit einer Genauigkeit von vier Dezimalstellen (gerundet auf die fünfte Dezimalstelle) durchgeführt.

Berechnen wir also den Schritt .

Kommen wir zu den Knoten und den darin enthaltenen Funktionswerten:

Der Übersichtlichkeit halber fassen wir die Ergebnisse in einer Tabelle zusammen:

Wir setzen die erhaltenen Ergebnisse in die Formel der Parabelmethode ein:

Wir haben speziell ein bestimmtes Integral genommen, das mit der Newton-Leibniz-Formel berechnet werden kann, um die Ergebnisse zu vergleichen.

Die Ergebnisse stimmen auf Hundertstel genau überein.

Beispiel.

Bestimmtes Integral berechnen nach der Simpson-Methode mit einer Genauigkeit von 0,001 .

Entscheidung.

In unserem Beispiel ist a = 0 , .

Zunächst müssen wir n definieren. Dazu wenden wir uns der Ungleichung zur Abschätzung des absoluten Fehlers der Simpson-Methode zu. Wir können das sagen, wenn wir n finden, für das die Ungleichung gilt , dann wird bei Verwendung der Parabelmethode zur Berechnung des ursprünglichen bestimmten Integrals der absolute Fehler 0,001 nicht überschreiten. Die letzte Ungleichung kann umgeschrieben werden als .

Lassen Sie uns herausfinden, was der maximale Wert des Moduls der vierten Ableitung des Integranden im Integrationsintervall ist.

ist ein Intervall , und das Integrationssegment enthält Extrempunkte, also .

Wir setzen den gefundenen Wert in die Ungleichung ein und lösen sie:

Als n eine natürliche Zahl ist (dies ist die gleiche Anzahl von Segmenten, in die das Integrationssegment unterteilt ist), dann können wir n = 5, 6, 7, ... nehmen, um keine unnötigen Berechnungen durchzuführen, nehmen wir n = 5 .

Nun verfahren wir wie im vorigen Beispiel. Bei Zwischenrechnungen runden wir auf die sechste Ordnung.

Berechnen Sie den Schritt .

Darin finden wir die Knoten und die Werte des Integranden:

Wir fassen die Ergebnisse der Berechnungen in einer Tabelle zusammen:

Wir setzen die Werte in die Formel der Parabelmethode ein:

Somit wird unter Verwendung des Simpson-Verfahrens ein ungefährer Wert eines bestimmten Integrals erhalten auf 0,001 genau.

Nachdem wir das ursprüngliche Integral mit der Newton-Leibniz-Formel berechnet haben, erhalten wir tatsächlich

Kommentar.

Die Suche ist in vielen Fällen schwierig. Sie können dies umgehen, indem Sie einen alternativen Ansatz zur Verwendung der Parabelmethode wählen. Ihr Prinzip ist im Abschnitt über die Trapezmethode beschrieben, daher werden wir es nicht wiederholen.

Welche Methode sollte für die numerische Integration verwendet werden?

Die Genauigkeit der Simpson-Methode (Parabeln) ist höher als die Genauigkeit der Methode der Rechtecke und Trapeze für ein gegebenes n (dies ist aus der absoluten Fehlerschätzung ersichtlich), daher ist ihre Verwendung vorzuziehen.

Es sollte daran erinnert werden, dass der Rechenfehler das Ergebnis für große n beeinflusst, was den Näherungswert vom exakten abweichen kann.

(1710-1761).

Betrachten wir ein Segment. Die Werte der reellen Funktion f(x) an den Punkten a, (a+b)/2, b seien bekannt. Es gibt ein einziges Polynom 2. Grades p 2 (x), dessen Graph durch die Punkte (a, f(a)), ((a+b)/2,f((a+b)/2), (b, f(b)) geht. Simpson-Formel heißt das Integral dieses Polynoms auf dem Intervall:

Das Simpson-Verfahren hat eine Fehlerordnung von 4 und eine algebraische Genauigkeitsordnung von 3.

Fehler beim Integrieren über das Segment [ a,b] mit Schritt h wird durch die Formel bestimmt:

,

wo ist das Maximum der vierten Ableitung der Funktion.

Auch wenn es unmöglich ist, den Fehler mit dem Maximum der vierten Ableitung zu schätzen (z. B. wenn es in einem bestimmten Intervall nicht existiert oder gegen unendlich tendiert), kann eine gröbere Schätzung verwendet werden:

,

wo ist das Maximum der dritten Ableitung der Funktion.

Verknüpfungen

• Kostomarov D. P., Favorsky A. P. "Einführungsvorlesungen zu numerischen Methoden"

Wikimedia-Stiftung. 2010 .

• Runge-Kutta-Methode
• Fibonacci-Methode zum Finden eines Extremums

Sehen Sie in anderen Wörterbüchern, was die "Simpson-Methode" ist:

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Teilen wir das Integrationsintervall [ a, b] zu einer geraden Zahl n gleiche Teile in Schritten h. Auf jedem Segment [ X 0, X 2], [X 2, X 4],..., [x i-1, x i+1],...,[ x n-2, x n] Integrand f(X) wird durch ein Interpolationspolynom zweiten Grades ersetzt:

Die Koeffizienten dieser quadratischen Trinome ergeben sich aus den Bedingungen für die Gleichheit des Polynoms an den Stellen der entsprechenden Tabellendaten. Es kann als Lagrange-Interpolationspolynom zweiten Grades genommen werden, das durch die Punkte geht :

Die Summe der Elementarflächen und (Abb. 3.3) kann mit einem bestimmten Integral berechnet werden. Unter Berücksichtigung der Gleichheiten erhalten wir

-

Reis. 3.3. Illustration für die Simpson-Methode

Nachdem wir solche Berechnungen für jedes elementare Segment durchgeführt haben, summieren wir die resultierenden Ausdrücke:

Dieser Ausdruck für S wird als Wert eines bestimmten Integrals angenommen:

(3.35)

Das resultierende Verhältnis wird aufgerufen Simpsons Formel oder Parabelformel.

Diese Formel kann man auch auf andere Weise erhalten, beispielsweise indem man bei der Teilung des Segments zweimal die Trapezmethode anwendet [ a, b] in Teile mit Stufen h und 2 h oder durch Kombinieren der Formeln von Rechtecken und Trapezen (siehe Abschnitt 3.2.6).

Manchmal wird Simpsons Formel mit halbzahligen Indizes geschrieben. In diesem Fall die Anzahl der Partitionssegmente P willkürlich (nicht unbedingt sogar), und Simpsons Formel ist

(3.36)

Es ist leicht zu sehen, dass Formel (3.36) mit (3.35) übereinstimmt, wenn Formel (3.35) auf die Anzahl der Partitionssegmente 2 angewendet wird n und Schritt h/2.

Beispiel. Berechnen Sie das Integral mit der Simpson-Methode

Funktionswerte bei n = 10, h = 0,1 sind in der Tabelle angegeben. 3.3. Wenden wir Formel (3.35) an, finden wir

Das Ergebnis der numerischen Integration nach der Simpson-Methode entsprach dem exakten Wert (sechs signifikante Stellen).

Einer der möglichen Algorithmen zur Berechnung eines bestimmten Integrals nach der Simpson-Methode ist in Abb. 3.4. Die Grenzen des Integrationsintervalls [ a, b],Error ε, sowie die Formel zur Berechnung der Werte des Integranden y=f(x) .

Reis. 3.4. Algorithmus der Simpson-Methode

Zunächst wird das Segment mit einer Stufe in zwei Teile geteilt h =(b- a)/2. Der Wert des Integrals wird berechnet ich 1. Dann wird die Anzahl der Schritte verdoppelt, der Wert berechnet ich 2 in Schritten h/2. Die Bedingung für das Ende der Zählung wird als angenommen. Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, erfolgt eine erneute Teilung des Schrittes in zwei Hälften und so weiter.

Beachten Sie, dass in Abb. 3.4 Der Algorithmus ist nicht optimal: bei der Berechnung jeder Näherung ich 2 Funktionswerte werden nicht verwendet f(x), bereits im vorherigen Schritt gefunden. Wirtschaftlichere Algorithmen werden in Abschn. 3.2.7.

Um die Simpson-Formel zu konstruieren, betrachten wir zunächst das folgende Problem: Berechnen Sie die Fläche S eines krummlinigen Trapezes, das von oben durch den Graphen der Parabel y \u003d Ax 2 + Bx + C begrenzt wird, von links durch die gerade Linie x \u003d - h, von rechts durch die gerade Linie x \u003d h und von unten durch das Segment [-h; h]. Lassen Sie die Parabel durch drei Punkte gehen (Abb. 8): D (-h; y 0) E (0; y 1) und F (h; y 2) und x 2 - x 1 = x 1 - x 0 = h . Somit,

x 1 \u003d x 0 + h \u003d 0; x 2 = x 0 + 2h.

Dann ist die Fläche S gleich dem Integral:

Wir drücken diese Fläche durch h, y 0 , y 1 und y 2 aus. Dazu berechnen wir die Koeffizienten der Parabel A, B, C. Aus der Bedingung, dass die Parabel durch die Punkte D, E und F geht, haben wir:

Wenn wir dieses System lösen, erhalten wir: C = y 1 ; A=

Wenn wir diese Werte A und C in (3) einsetzen, erhalten wir die gewünschte Fläche

Wenden wir uns nun der Herleitung der Simpson-Formel zur Berechnung des Integrals zu

Dazu teilen wir das Integrationssegment in 2n gleich lange Teile

An den Teilungspunkten (Abb. 4) a \u003d x 0, x 1, x 2, ..., x 2n-2, x 2n-1, x 2n \u003d b,

Wir berechnen die Werte des Integranden f: y 0 , y 1 , y 2 , ...,y 2n-2 , y 2n-1 , y 2n , de y i = f(x i), x i = a + ih (i = 0, 1, 2, ..., 2n).

Auf dem Segment ersetzen wir den Integranden durch eine Parabel, die durch die Punkte (x 0; y 0), (x 1; y 1) und (x 2; y 2) verläuft, und berechnen den Näherungswert des Integrals aus x 0 bis x 2 verwenden wir die Formel (4 ). Dann (der schraffierte Bereich in Abb. 4):

Ebenso finden wir:

................................................

Wenn wir die resultierenden Gleichheiten addieren, haben wir:

Formel (5) wird aufgerufen verallgemeinerte Simpson-Formel oder Parabelformel, da bei seiner Ableitung der Graph des Integranden auf einem Teilstück der Länge 2h durch einen Parabelbogen ersetzt wird.

Arbeitsauftrag:

1. Nach Anweisung des Lehrers oder in Übereinstimmung mit einer Option von Tische 4 Aufgaben (siehe Anhang), um die Bedingungen zu übernehmen - der Integrand, die Integrationsgrenzen.

2. Erstellen Sie ein Flussdiagramm des Programms und ein Programm, das:

Fordern Sie die Genauigkeit der Berechnung eines bestimmten Integrals, der unteren und oberen Integrationsgrenzen an;

Berechnen Sie das gegebene Integral nach Methoden: für Optionen 1,4,7, 10… - richtig, für Optionen 2,5,8,… - Durchschnitt; für Optionen 2,5,8,… - linke Rechtecke. Ausgabe der Anzahl der Teilungen des Integrationsbereichs, bei der die angegebene Berechnungsgenauigkeit erreicht wird;

Berechnen Sie das gegebene Integral mit der Trapezmethode (für gerade Optionen) und der Simpson-Methode (für ungerade Optionen).

Ausgabe der Anzahl der Teilungen des Integrationsbereichs, bei der die angegebene Berechnungsgenauigkeit erreicht wird;

Geben Sie die Werte der Steuerfunktion für den gegebenen Wert des Arguments aus und vergleichen Sie sie mit den berechneten Werten des Integrals. Schlussfolgerungen.

Testfragen

1. Was ist ein bestimmtes Integral?

2. Warum werden neben analytischen Methoden numerische Methoden zur Berechnung bestimmter Integrale verwendet?

3. Was ist die Essenz der wichtigsten numerischen Methoden zur Berechnung bestimmter Integrale?

4. Einfluss der Anzahl der Partitionen auf die Genauigkeit der Berechnung eines bestimmten Integrals mit numerischen Methoden.

5. Wie berechnet man das Integral mit einer beliebigen Methode mit einer bestimmten Genauigkeit?

Bei diesem Verfahren wird vorgeschlagen, den Integranden auf einem Teilintervall durch eine durch die Punkte verlaufende Parabel zu approximieren
(x j , f(xj)), wo j = ich-1; ich-0.5; ich, das heißt, wir approximieren den Integranden durch das Lagrange-Interpolationspolynom zweiten Grades:

(10.14)

Nach Integration erhalten wir:

(10.15)

Das ist es Simpsons Formel oder die Formel der Parabeln. Auf dem Segment
[ein, b] Simpsons Formel nimmt die Form an

(10.16)

Eine grafische Darstellung des Simpson-Verfahrens ist in Abb. 1 gezeigt. 2.4.

Reis. 10.4. Simpson-Methode

Lassen Sie uns gebrochene Indizes in Ausdruck (2.16) loswerden, indem wir die Variablen umbenennen:

(10.17)

Dann nimmt die Simpson-Formel die Form an

(10.18)

Der Fehler der Formel (2.18) wird durch den folgenden Ausdruck geschätzt:

, (10.19)

wo h n = b-a, . Somit ist der Fehler der Simpson-Formel proportional zu Ö(h 4).

Kommentar. Es sollte beachtet werden, dass in der Simpson-Formel das Integrationssegment notwendigerweise unterteilt ist sogar Anzahl Intervalle.

10.5. Berechnung bestimmter Integrale nach Methoden
Monte Carlo

Die zuvor besprochenen Methoden werden aufgerufen deterministisch , das heißt, ohne das Element des Zufalls.

Monte-Carlo-Methoden(MMK) sind numerische Verfahren zur Lösung mathematischer Probleme durch Modellierung von Zufallsvariablen. MCM ermöglichen es, mathematische Probleme, die durch probabilistische Prozesse verursacht werden, erfolgreich zu lösen. Darüber hinaus kann man beim Lösen von Problemen, die mit keinen Wahrscheinlichkeiten verbunden sind, künstlich ein Wahrscheinlichkeitsmodell (und sogar mehr als eines) entwickeln, das die Lösung dieser Probleme ermöglicht. Betrachten Sie die Berechnung des bestimmten Integrals

(10.20)

Bei der Berechnung dieses Integrals mit der Rechteckformel ist das Intervall [ ein, b] aufgeteilt in N identische Intervalle, in deren Mitte die Werte des Integranden berechnet wurden. Durch die Berechnung der Funktionswerte an zufälligen Knoten erhalten Sie ein genaueres Ergebnis:

(10.21)

(10.22)

Dabei ist γ i eine gleichmäßig über das Intervall verteilte Zufallszahl
. Der Fehler bei der Berechnung des MMK-Integrals ~ , der viel größer ist als der der zuvor untersuchten deterministischen Methoden.

Auf Abb. 2.5 zeigt eine grafische Implementierung des Monte-Carlo-Verfahrens zur Berechnung eines einzelnen Integrals mit zufälligen Knoten (2.21) und (2.22).

(2.23)

Reis. 10.6. Monte-Carlo-Integration (2. Fall)

Wie in Abb. 2.6 liegt die Integralkurve im Einheitsquadrat, und wenn wir Paare von Zufallszahlen erhalten können, die gleichmäßig über das Intervall verteilt sind, können die erhaltenen Werte (γ 1, γ 2) als Koordinaten eines Punktes im interpretiert werden Einheit Quadrat. Wenn es dann genug von diesen Zahlenpaaren gibt, können wir davon ungefähr ausgehen
. Hier S ist die Anzahl der Punktepaare, die unter die Kurve fallen, und N ist die Gesamtzahl der Zahlenpaare.

Beispiel 2.1. Berechnen Sie das folgende Integral:

Das Problem wurde durch verschiedene Methoden gelöst. Die erhaltenen Ergebnisse sind in der Tabelle zusammengefaßt. 2.1.

Tabelle 2.1

Kommentar. Die Wahl des Tabellenintegrals ermöglichte es uns, den Fehler jeder Methode zu vergleichen und den Einfluss der Anzahl der Partitionen auf die Genauigkeit der Berechnungen herauszufinden.

11 UNGEFÄHRLICHE LÖSUNG VON NICHTLINEAR
UND TRANSZENDENTE GLEICHUNGEN