Erinnern wir uns zunächst daran, was ein Vektorprodukt ist.

Bemerkung 1

Vektorgrafiken für $\vec(a)$ und $\vec(b)$ ist $\vec(c)$, was ein dritter Vektor $\vec(c)= ||$ ist, und dieser Vektor hat besondere Eigenschaften:

• Der Skalar des resultierenden Vektors ist das Produkt aus $|\vec(a)|$ und $|\vec(b)|$ mal dem Sinus des Winkels $\vec(c)= ||= |\vec(a )| \cdot |\vec(b)|\cdot \sin α \left(1\right)$;
• Alle $\vec(a), \vec(b)$ und $\vec(c)$ bilden ein rechtes Tripel;
• Der resultierende Vektor ist orthogonal zu $\vec(a)$ und $\vec(b)$.

Wenn es einige Koordinaten für Vektoren gibt ($\vec(a)=\(x_1; y_1; z_1\)$ und $\vec(b)= \(x_2; y_2; z_2\)$), dann ist ihr Vektorprodukt in das kartesische Koordinatensystem kann durch die Formel bestimmt werden:

$ = \(y_1 \cdot z_2 - y_2 \cdot z_1; z_1 \cdot x_2 - z_2 \cdot x_1; x_2 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1\)$

Am einfachsten kann man sich diese Formel merken, indem man sie in Form einer Determinante schreibt:

$ = \begin(array) (|ccc|) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end(array)$.

Diese Formel ist sehr bequem zu verwenden, aber um zu verstehen, wie man sie verwendet, sollten Sie sich zuerst mit dem Thema Matrizen und ihren Determinanten vertraut machen.

Bereich Parallelogramm, dessen Seiten durch zwei Vektoren $\vec(a)$ und $vec(b)$ definiert sind, ist gleich zum Skalar des Kreuzprodukts der gegebenen zwei Vektoren.

Dieses Verhältnis lässt sich recht einfach herleiten.

Erinnern Sie sich an die Formel zum Ermitteln der Fläche eines gewöhnlichen Parallelogramms, das durch seine Segmente $a$ und $b$ charakterisiert werden kann:

$S = a\cdot b\cdot\sin α$

In diesem Fall sind die Seitenlängen gleich den Skalarwerten der Vektoren $\vec(a)$ und $\vec(b)$, was für uns durchaus geeignet ist, also dem Skalar der Das Vektorprodukt dieser Vektoren ist die Fläche der betrachteten Figur.

Beispiel 1

Gegeben sind Vektoren $\vec(c)$ mit Koordinaten $\(5;3; 7\)$ und ein Vektor $\vec(g)$ mit Koordinaten $\(3; 7;10 \)$ in kartesischen Koordinaten. Finden Sie die Fläche des Parallelogramms, das von $\vec(c)$ und $\vec(g)$ gebildet wird.

Lösung:

Finden Sie das Vektorprodukt für diese Vektoren:

$ = \begin(array) (|ccc|) i & j & k \\ 5 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \\ \end(array)= i \cdot \begin(array) (|cc |) 3 & 7 \\ 7 & 10 \\ \end(array) - j \cdot \begin(array) (|cc|) 5 & 7 \\ 3 & 10 \\ \end(array) + k \cdot \begin(array) (|cc|) 5 & 3 \\ 3 & 7 \\ \end(array) = i \cdot (3 \cdot 10 - 49) - j \cdot (50 -21) + k \cdot (35-9) = -19i -29j + 26k=\(- 19; 29; 26\)$.

Lassen Sie uns nun den modularen Wert für das resultierende Richtungssegment finden, es ist der Wert der Fläche des konstruierten Parallelogramms:

$S= \sqrt(|19|^2 + |29|^2 + |26|^2) = \sqrt(1878) ≈ 43,34$.

Diese Argumentationslinie gilt nicht nur für das Auffinden der Fläche in einem dreidimensionalen Raum, sondern auch für einen zweidimensionalen. Sehen Sie sich die nächste Frage zu diesem Thema an.

Beispiel 2

Berechnen Sie die Fläche eines Parallelogramms, wenn seine erzeugenden Segmente durch die Vektoren $\vec(m)$ mit den Koordinaten $\(2; 3\)$ und $\vec(d)$ mit den Koordinaten $\(-5; 6\)$.

Lösung:

Dieses Problem ist ein spezielles Beispiel des oben gelösten Problems 1, aber beide Vektoren liegen in derselben Ebene, was bedeutet, dass die dritte Koordinate, $z$, als Null angenommen werden kann.

Zusammenfassend ist die Fläche des Parallelogramms:

$S = \begin(array) (||cc||) 2 & 3\\ -5 & 6 \\ \end(array) = \sqrt(12 + 15) =3 \sqrt3$.

Beispiel 3

Gegebene Vektoren $\vec(a) = 3i – j + k; \vec(b)=5i$. Finden Sie die Fläche des Parallelogramms, das sie bilden.

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = (3i - j + k) \times 5i = 15 - 5 + $

Vereinfachen wir nach der gegebenen Tabelle für Einheitsvektoren:

Abbildung 1. Zerlegung eines Vektors in eine Basis. Author24 - Online-Austausch von Studienarbeiten

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = 5 k + 5 j$.

Berechnungszeit:

$S = \sqrt(|-5|^2 + |5|^2) = 5\sqrt(2)$.

Die bisherigen Aufgaben betrafen Vektoren, deren Koordinaten im kartesischen Koordinatensystem angegeben sind, aber betrachte auch den Fall, wenn der Winkel zwischen den Basisvektoren von $90°$ abweicht:

Beispiel 4

Der Vektor $\vec(d) = 2a + 3b$, $\vec(f)= a – 4b$, die Längen von $\vec(a)$ und $\vec(b)$ sind gleich und gleich eins, und der Winkel zwischen $\vec(a)$ und $\vec(b)$ beträgt 45°.

Lösung:

Berechnen wir das Vektorprodukt $\vec(d) \times \vec(f)$:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= (2a + 3b) \times (a - 4b) = 2 - 8 + 3 - 12 $.

Für Vektorprodukte gilt entsprechend ihrer Eigenschaften: $$ und $$ sind gleich Null, $ = - $.

Verwenden wir dies zur Vereinfachung:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= -8 + 3 = -8 - 3 = -11$.

Nun verwenden wir die Formel $(1)$ :

$[\vec(d) \times \vec(f) ] = |-11 | = 11 \cdot |a| \cdot |b| \cdot \sin α = 11 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac12=5,5$.

Die Fläche eines auf Vektoren aufgebauten Parallelogramms ist gleich dem Produkt der Längen dieser Vektoren und dem Winkel des dazwischen liegenden Winkels.

Es ist gut, wenn die Längen dieser gleichen Vektoren gemäß den Bedingungen angegeben werden. Es kommt jedoch auch vor, dass es möglich ist, die Formel für die Fläche eines auf Vektoren aufgebauten Parallelogramms erst nach Berechnungen auf Koordinaten anzuwenden.
Wenn Sie Glück haben und die Längen der Vektoren gemäß den Bedingungen gegeben sind, müssen Sie nur die Formel anwenden, die wir im Artikel bereits ausführlich analysiert haben. Die Fläche ist gleich dem Produkt der Module und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen:

Betrachten Sie ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines Parallelogramms, das auf Vektoren basiert.

Eine Aufgabe: Das Parallelogramm ist auf den Vektoren und aufgebaut. Finden Sie die Fläche, wenn , und der Winkel zwischen ihnen 30° beträgt.
Lassen Sie uns die Vektoren in Bezug auf ihre Werte ausdrücken:

Vielleicht haben Sie eine Frage - woher kommen die Nullen? Es sei daran erinnert, dass wir mit Vektoren und für sie arbeiten . Beachten Sie auch, dass, wenn wir als Ergebnis einen Ausdruck erhalten, dieser umgewandelt wird. Lassen Sie uns nun die endgültigen Berechnungen durchführen:

Kommen wir auf das Problem zurück, wenn die Längen der Vektoren nicht in den Bedingungen angegeben sind. Wenn Ihr Parallelogramm im kartesischen Koordinatensystem liegt, müssen Sie Folgendes tun.

Berechnung der Seitenlängen einer durch Koordinaten gegebenen Figur

Zunächst ermitteln wir die Koordinaten der Vektoren und subtrahieren die entsprechenden Startkoordinaten von den Endkoordinaten. Nehmen wir die Koordinaten des Vektors a (x1;y1;z1) und des Vektors b (x3;y3;z3) an.
Jetzt finden wir die Länge jedes Vektors. Dazu muss jede Koordinate quadriert werden, dann die Ergebnisse addiert und die Wurzel aus einer endlichen Zahl gezogen werden. Gemäß unseren Vektoren werden die folgenden Berechnungen durchgeführt:


Jetzt müssen wir das Skalarprodukt unserer Vektoren finden. Dazu werden ihre jeweiligen Koordinaten multipliziert und addiert.

Aus den Längen der Vektoren und ihrem Skalarprodukt ergibt sich der Kosinus des dazwischen liegenden Winkels .
Jetzt können wir den Sinus des gleichen Winkels finden:
Jetzt haben wir alle notwendigen Größen und können die Fläche eines Parallelogramms, das auf Vektoren aufgebaut ist, mit der bereits bekannten Formel leicht finden.

In dieser Lektion werden wir uns zwei weitere Operationen mit Vektoren ansehen: Kreuzprodukt von Vektoren und Mischprodukt von Vektoren (direkter Link für diejenigen, die es brauchen). Es ist okay, es passiert manchmal, dass für das vollkommene Glück zusätzlich dazu Skalarprodukt von Vektoren , es wird immer mehr benötigt. Das ist Vektorsucht. Man könnte den Eindruck gewinnen, dass wir uns in den Dschungel der analytischen Geometrie begeben. Das ist nicht so. In diesem Bereich der höheren Mathematik gibt es im Allgemeinen wenig Brennholz, außer vielleicht genug für Pinocchio. Tatsächlich ist das Material sehr verbreitet und einfach – kaum schwieriger als das Gleiche Skalarprodukt , auch wird es weniger typische Aufgaben geben. Die Hauptsache in der analytischen Geometrie ist, wie viele sehen werden oder bereits gesehen haben, BERECHNUNGEN NICHT ZU FEHLEN. Wiederholen Sie wie ein Zauber, und Sie werden glücklich sein =)

Wenn die Vektoren irgendwo in der Ferne funkeln, wie ein Blitz am Horizont, spielt es keine Rolle, beginnen Sie mit der Lektion Vektoren für Dummies Grundkenntnisse über Vektoren wiederherzustellen oder wiederzuerlangen. Bereitere Leser können sich selektiv mit den Informationen vertraut machen, ich habe versucht, eine möglichst vollständige Sammlung von Beispielen zu sammeln, die häufig in der praktischen Arbeit zu finden sind

Was wird dich glücklich machen? Als ich klein war, konnte ich zwei und sogar drei Bälle jonglieren. Es hat gut geklappt. Jetzt brauchen wir überhaupt nicht mehr zu jonglieren, da wir überlegen werden nur Raumvektoren, und flache Vektoren mit zwei Koordinaten werden weggelassen. Wieso den? So wurden diese Aktionen geboren - der Vektor und das gemischte Produkt von Vektoren werden definiert und funktionieren im dreidimensionalen Raum. Schon einfacher!

Bei dieser Operation gilt wie beim Skalarprodukt zwei Vektoren. Lass es unvergängliche Buchstaben sein.

Die Aktion selbst bezeichnet auf die folgende Weise: . Es gibt andere Möglichkeiten, aber ich habe das Kreuzprodukt von Vektoren auf diese Weise in eckigen Klammern mit einem Kreuz bezeichnet.

Und sofort Frage: wenn drin Skalarprodukt von Vektoren es handelt sich um zwei Vektoren, und hier werden dann auch zwei Vektoren multipliziert Was ist der Unterschied? Ein deutlicher Unterschied zunächst im ERGEBNIS:

Das Ergebnis des Skalarprodukts von Vektoren ist eine ZAHL:

Das Ergebnis des Kreuzprodukts von Vektoren ist ein VEKTOR: , das heißt, wir multiplizieren die Vektoren und erhalten wieder einen Vektor. Geschlossener Verein. Eigentlich daher der Name der Operation. In verschiedener pädagogischer Literatur können die Bezeichnungen auch variieren, ich verwende den Buchstaben .

Definition von Kreuzprodukt

Zuerst wird es eine Definition mit einem Bild geben, dann Kommentare.

Definition: Kreuzprodukt nicht kollinear Vektoren , in dieser Reihenfolge aufgenommen, heißt VEKTOR, Länge was numerisch ist gleich der Fläche des Parallelogramms, aufgebaut auf diesen Vektoren; Vektor orthogonal zu Vektoren, und ist so ausgerichtet, dass die Basis eine richtige Ausrichtung hat:

Wir analysieren die Definition nach Knochen, es gibt viele interessante Dinge!

Daher können wir die folgenden wichtigen Punkte hervorheben:

1) Quellvektoren, gekennzeichnet durch rote Pfeile, per Definition nicht kollinear. Es wird angebracht sein, den Fall kollinearer Vektoren etwas später zu betrachten.

2) Vektoren genommen in strenger Reihenfolge: – "a" wird mit "be" multipliziert, nicht "sein" zu "ein". Das Ergebnis der Vektormultiplikation VECTOR ist, was blau dargestellt ist. Wenn die Vektoren in umgekehrter Reihenfolge multipliziert werden, erhalten wir einen Vektor mit gleicher Länge und entgegengesetzter Richtung (rote Farbe). Das heißt, die Gleichberechtigung .

3) Machen wir uns nun mit der geometrischen Bedeutung des Vektorprodukts vertraut. Dies ist ein sehr wichtiger Punkt! Die LÄNGE des blauen Vektors (und daher des purpurroten Vektors ) ist numerisch gleich der FLÄCHE des Parallelogramms, das auf den Vektoren aufgebaut ist. In der Figur ist dieses Parallelogramm schwarz schattiert.

Notiz : Die Zeichnung ist schematisch und natürlich ist die Nennlänge des Kreuzprodukts nicht gleich der Fläche des Parallelogramms.

Wir erinnern uns an eine der geometrischen Formeln: Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt benachbarter Seiten und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen. Daher gilt auf der Grundlage des Vorstehenden die Formel zur Berechnung der LÄNGE eines Vektorprodukts:

Ich betone, dass wir in der Formel über die LÄNGE des Vektors sprechen und nicht über den Vektor selbst. Was ist die praktische Bedeutung? Und die Bedeutung ist so, dass bei Problemen der analytischen Geometrie die Fläche eines Parallelogramms häufig durch das Konzept eines Vektorprodukts gefunden wird:

Wir erhalten die zweite wichtige Formel. Die Diagonale des Parallelogramms (rot gepunktete Linie) teilt es in zwei gleiche Dreiecke. Daher kann die Fläche eines auf Vektoren aufgebauten Dreiecks (rote Schattierung) durch die Formel gefunden werden:

4) Eine ebenso wichtige Tatsache ist, dass der Vektor orthogonal zu den Vektoren ist, das heißt . Natürlich ist auch der entgegengesetzt gerichtete Vektor (roter Pfeil) orthogonal zu den ursprünglichen Vektoren .

5) Der Vektor ist so gerichtet, dass Basis Es hat Rechts Orientierung. In einer Lektion über Übergang auf eine neue Basis Ich habe ausführlich darüber gesprochen Ebenenorientierung, und jetzt werden wir herausfinden, wie die Ausrichtung des Raums ist. Ich werde es an deinen Fingern erklären rechte Hand. Kombiniere gedanklich Zeigefinger mit Vektor und Mittelfinger mit Vektor. Ringfinger und kleiner Finger in deine Handfläche drücken. Ergebend Daumen- Das Vektorprodukt wird nach oben schauen. Dies ist die rechtsorientierte Basis (sie ist in der Abbildung). Vertausche nun die Vektoren ( Zeige- und Mittelfinger) an einigen Stellen dreht sich der Daumen daher um und das Vektorprodukt schaut bereits nach unten. Auch das ist eine rechtsorientierte Grundlage. Vielleicht haben Sie eine Frage: Welche Basis hat eine linke Orientierung? „Ordnen“ Sie dieselben Finger zu linke Hand vectors und erhalten die linke Basis und die linke Raumorientierung (in diesem Fall befindet sich der Daumen in Richtung des unteren Vektors). Bildlich gesprochen „verdrehen“ oder orientieren diese Sockel den Raum in verschiedene Richtungen. Und dieses Konzept sollte nicht als weit hergeholt oder abstrakt angesehen werden - zum Beispiel ändert der gewöhnlichste Spiegel die Ausrichtung des Raums, und wenn Sie „das reflektierte Objekt aus dem Spiegel ziehen“, ist dies im Allgemeinen nicht möglich Kombiniere es mit dem „Original“. Übrigens, drei Finger zum Spiegel bringen und die Spiegelung analysieren ;-)

... wie gut es ist, dass Sie jetzt Bescheid wissen rechts und links orientiert Grundlagen, denn die Aussagen einiger Dozenten zum Orientierungswechsel sind furchtbar =)

Vektorprodukt kollinearer Vektoren

Die Definition wurde im Detail ausgearbeitet, es bleibt herauszufinden, was passiert, wenn die Vektoren kollinear sind. Wenn die Vektoren kollinear sind, dann können sie auf einer Geraden platziert werden und unser Parallelogramm „faltet“ sich auch zu einer Geraden. Der Bereich solcher, wie Mathematiker sagen, degenerieren Parallelogramm ist Null. Das Gleiche folgt aus der Formel - der Sinus von Null oder 180 Grad ist gleich Null, was bedeutet, dass die Fläche Null ist

Also, wenn, dann und . Bitte beachten Sie, dass das Kreuzprodukt selbst gleich dem Nullvektor ist, aber in der Praxis wird dies oft vernachlässigt und geschrieben, dass es auch gleich Null ist.

Ein Sonderfall ist das Vektorprodukt eines Vektors und sich selbst:

Mit dem Kreuzprodukt können Sie die Kollinearität dreidimensionaler Vektoren überprüfen, wir werden unter anderem auch dieses Problem analysieren.

Um praktische Beispiele zu lösen, kann es notwendig sein trigonometrische Tabelle daraus die Werte der Sinus zu finden.

Nun, lass uns ein Feuer machen:

Beispiel 1

a) Finden Sie die Länge des Vektorprodukts von Vektoren, wenn

b) Finden Sie die Fläche eines Parallelogramms, das auf Vektoren aufgebaut ist, wenn

Lösung: Nein, das ist kein Tippfehler, ich habe die Anfangsdaten in den Konditionspositionen absichtlich gleich gemacht. Denn das Design der Lösungen wird anders sein!

a) Gemäß der Bedingung ist es erforderlich, zu finden Länge Vektor (Vektorprodukt). Nach der entsprechenden Formel:

Antworten:

Da nach der Länge gefragt wurde, geben wir in der Antwort die Dimension - Einheiten an.

b) Gemäß der Bedingung ist es erforderlich, zu finden Quadrat Parallelogramm, das auf Vektoren aufgebaut ist. Die Fläche dieses Parallelogramms ist numerisch gleich der Länge des Kreuzprodukts:

Antworten:

Bitte beachten Sie, dass in der Antwort über das Vektorprodukt überhaupt nicht die Rede ist, nach der wir gefragt wurden Figurenbereich, die Dimension ist jeweils Quadrateinheiten.

Wir schauen immer, WAS von der Bedingung gefunden werden soll und formulieren darauf aufbauend klar Antworten. Es mag wie Wörtlichkeit erscheinen, aber unter den Lehrern gibt es genügend Literalisten, und die Aufgabe mit guten Chancen wird zur Überarbeitung zurückgegeben. Das ist zwar kein besonders angestrengter Spitzbube – ist die Antwort falsch, dann hat man den Eindruck, dass die Person einfache Dinge nicht versteht und/oder sich nicht mit dem Kern der Aufgabe beschäftigt hat. Dieser Moment sollte immer unter Kontrolle gehalten werden, um jedes Problem in der höheren Mathematik und auch in anderen Fächern zu lösen.

Wo ist der große Buchstabe "en" geblieben? Im Prinzip könnte man die Lösung zusätzlich ankleben, aber um die Aufzeichnung zu verkürzen, habe ich das nicht gemacht. Ich hoffe jeder versteht das und ist die Bezeichnung gleich.

Ein beliebtes Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung:

Beispiel 2

Finden Sie die Fläche eines Dreiecks, das auf Vektoren aufgebaut ist, wenn

Die Formel zum Ermitteln der Fläche eines Dreiecks durch das Vektorprodukt ist in den Kommentaren zur Definition angegeben. Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

In der Praxis ist die Aufgabe wirklich sehr verbreitet, Dreiecke können generell gequält werden.

Um andere Probleme zu lösen, benötigen wir:

Eigenschaften des Kreuzprodukts von Vektoren

Wir haben bereits einige Eigenschaften des Vektorprodukts betrachtet, aber ich werde sie in diese Liste aufnehmen.

Für beliebige Vektoren und eine beliebige Zahl gelten die folgenden Eigenschaften:

1) In anderen Informationsquellen wird dieser Punkt in den Eigenschaften meist nicht ausgezeichnet, ist aber praktisch sehr wichtig. So lass es sein.

2) - Die Eigenschaft wird auch oben besprochen, manchmal wird sie genannt Antikommutativität. Mit anderen Worten, die Reihenfolge der Vektoren ist wichtig.

3) - Kombination oder assoziativ Vektorproduktgesetze. Die Konstanten lassen sich leicht aus den Grenzen des Vektorprodukts herausnehmen. Wirklich, was machen die da?

4) - Verteilung oder Verteilung Vektorproduktgesetze. Auch beim Öffnen von Klammern gibt es keine Probleme.

Betrachten Sie zur Demonstration ein kurzes Beispiel:

Beispiel 3

Finde wenn

Lösung: Als Bedingung ist es wieder erforderlich, die Länge des Vektorprodukts zu finden. Malen wir unsere Miniatur:

(1) Gemäß den Assoziativgesetzen entfernen wir die Konstanten jenseits der Grenzen des Vektorprodukts.

(2) Wir nehmen die Konstante aus dem Modul heraus, während das Modul das Minuszeichen „frisst“. Die Länge darf nicht negativ sein.

(3) Das Folgende ist klar.

Antworten:

Es ist Zeit, Holz ins Feuer zu werfen:

Beispiel 4

Berechnen Sie die Fläche eines Dreiecks, das auf Vektoren aufgebaut ist, wenn

Lösung: Finden Sie die Fläche eines Dreiecks mit der Formel . Der Haken ist, dass die Vektoren "ce" und "te" selbst als Summen von Vektoren dargestellt werden. Der Algorithmus hier ist Standard und erinnert etwas an die Beispiele Nr. 3 und 4 der Lektion. Skalarprodukt von Vektoren . Lassen Sie es uns zur Verdeutlichung in drei Schritte unterteilen:

1) Im ersten Schritt drücken wir das Vektorprodukt durch das Vektorprodukt aus, tatsächlich Drücken Sie den Vektor durch den Vektor aus. Noch kein Wort zur Länge!

(1) Wir ersetzen Ausdrücke von Vektoren .

(2) Unter Verwendung der Verteilungsgesetze öffnen Sie die Klammern gemäß der Regel der Multiplikation von Polynomen.

(3) Unter Verwendung der Assoziativgesetze entfernen wir alle Konstanten jenseits der Vektorprodukte. Mit wenig Erfahrung können die Aktionen 2 und 3 gleichzeitig durchgeführt werden.

(4) Der erste und der letzte Term sind aufgrund der angenehmen Eigenschaft gleich Null (Nullvektor). Im zweiten Term nutzen wir die Antikommutativitätseigenschaft des Vektorprodukts:

(5) Wir präsentieren ähnliche Bedingungen.

Als Ergebnis stellte sich heraus, dass der Vektor durch einen Vektor ausgedrückt wurde, was erreicht werden musste:

2) Im zweiten Schritt finden wir die Länge des benötigten Vektorprodukts. Diese Aktion ähnelt Beispiel 3:

3) Finden Sie die Fläche des erforderlichen Dreiecks:

Die Schritte 2-3 der Lösung könnten in einer Zeile angeordnet werden.

Antworten:

Das betrachtete Problem kommt in Tests recht häufig vor, hier ein Beispiel für eine eigenständige Lösung:

Beispiel 5

Finde wenn

Kurze Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Mal sehen, wie aufmerksam Sie beim Studium der vorherigen Beispiele waren ;-)

Kreuzprodukt von Vektoren in Koordinaten

, gegeben in der orthonormalen Basis , wird durch die Formel ausgedrückt:

Die Formel ist ganz einfach: Wir schreiben die Koordinatenvektoren in die oberste Zeile der Determinante, wir „packen“ die Koordinaten der Vektoren in die zweite und dritte Zeile und wir setzen in strenger Reihenfolge- zuerst die Koordinaten des Vektors "ve", dann die Koordinaten des Vektors "double-ve". Wenn die Vektoren in einer anderen Reihenfolge multipliziert werden müssen, sollten auch die Linien vertauscht werden:

Beispiel 10

Prüfen Sie, ob die folgenden Raumvektoren kollinear sind:
a)
b)

Lösung: Der Test basiert auf einer der Aussagen in dieser Lektion: Wenn die Vektoren kollinear sind, dann ist ihr Kreuzprodukt Null (Nullvektor): .

a) Finden Sie das Vektorprodukt:

Die Vektoren sind also nicht kollinear.

b) Finden Sie das Vektorprodukt:

Antworten: a) nicht kollinear, b)

Hier sind vielleicht alle grundlegenden Informationen über das Vektorprodukt von Vektoren.

Dieser Abschnitt wird nicht sehr groß sein, da es wenige Probleme gibt, wo das gemischte Produkt von Vektoren verwendet wird. Tatsächlich wird alles auf der Definition, der geometrischen Bedeutung und einigen Arbeitsformeln beruhen.

Das Mischprodukt von Vektoren ist das Produkt von drei Vektoren:

So stellen sie sich wie ein Zug an und warten, sie können es kaum erwarten, bis sie berechnet werden.

Erstmal nochmal Definition und Bild:

Definition: Mischprodukt nicht koplanar Vektoren , in dieser Reihenfolge aufgenommen, wird genannt Volumen des Parallelepipeds, die auf diesen Vektoren aufgebaut sind, versehen mit einem "+"-Zeichen, wenn die Basis rechts ist, und einem "-"-Zeichen, wenn die Basis links ist.

Machen wir die Zeichnung. Für uns unsichtbare Linien sind durch eine gepunktete Linie gezeichnet:

Tauchen wir ein in die Definition:

2) Vektoren genommen in einer bestimmten Reihenfolge, das heißt, die Permutation von Vektoren im Produkt bleibt, wie Sie sich vielleicht denken können, nicht ohne Folgen.

3) Bevor ich die geometrische Bedeutung kommentiere, werde ich die offensichtliche Tatsache anmerken: das gemischte Produkt von Vektoren ist eine ZAHL: . In der pädagogischen Literatur mag die Gestaltung etwas anders sein, ich habe früher ein Mischprodukt durch und das Rechenergebnis mit dem Buchstaben „pe“ bezeichnet.

Per Definition das Mischprodukt ist das Volumen des Parallelepipeds, aufgebaut auf Vektoren (die Figur ist mit roten Vektoren und schwarzen Linien gezeichnet). Das heißt, die Zahl ist gleich dem Volumen des gegebenen Parallelepipeds.

Notiz : Die Zeichnung ist schematisch.

4) Lassen Sie uns nicht noch einmal mit dem Konzept der Ausrichtung der Basis und des Raums weitermachen. Der letzte Teil hat die Bedeutung, dass der Lautstärke ein Minuszeichen hinzugefügt werden kann. Vereinfacht ausgedrückt kann das Mischprodukt negativ sein: .

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines auf Vektoren aufgebauten Parallelepipeds folgt direkt aus der Definition.