Zu Frage 1. Geben Sie eine Definition für parallele Linien. Welche zwei Strecken nennt man parallel? vom Autor gegeben Sascha Nizhevyasov Die beste Antwort ist die sich im Flugzeug niemals schneiden werden

Antwort von Anpassungsfähigkeit[Guru]
Parallele Linien sind Linien, die in derselben Ebene liegen und entweder zusammenfallen oder sich nicht schneiden.

Antwort von Naumenko[Guru]
Segmente. Zugehörigkeit zu parallelen Linien. sind parallel.
gerade Linien auf dem Flugzeug genannt. parallel. wenn sie sich nicht schneiden oder zusammenfallen.

Antwort von Neurologe[Neuling]
Zwei Geraden, die in derselben Ebene liegen und keinen gemeinsamen Punkt haben, heißen parallel.

Antwort von Wurf[Meister]

Antwort von Warwara Lamekina[Neuling]
zwei Geraden in einer Ebene heißen parallel, wenn sie sich nicht schneiden)

Antwort von Maxim Iwanow[Neuling]
Die sich in der Ebene nicht schneiden.

Antwort von Sem2805[aktiv]
Zwei Geraden in einer Ebene heißen parallel, wenn sie sich nicht schneiden (Klasse 7)

Antwort von Sascha Kljutschnikow[Neuling]
Parallele Linien in der euklidischen Geometrie, Linien, die in derselben Ebene liegen und sich nicht schneiden. In der absoluten Geometrie geht durch einen Punkt, der nicht auf einer gegebenen Geraden liegt, mindestens eine Gerade, die die gegebene Gerade nicht schneidet. In der euklidischen Geometrie gibt es nur eine solche Linie. Diese Tatsache entspricht Euklids fünftem Postulat (ungefähr parallel). In der Lobachevsky-Geometrie (siehe Lobachevsky-Geometrie) gibt es in der Ebene durch den Punkt C (siehe Abbildung) außerhalb der gegebenen Linie AB eine unendliche Menge von Linien, die AB nicht schneiden. Davon werden nur zwei parallel zu AB genannt. Die Linie CE heißt parallel zur Linie AB in der Richtung von A nach B, wenn: 1) die Punkte B und E auf derselben Seite der Linie AC liegen; 2) die Linie CE die Linie AB nicht schneidet; jeder Strahl, der innerhalb des Winkels ACE verläuft, einen Strahl schneidet AB Die gerade Linie CF parallel zu AB in Richtung von B nach A ist ähnlich definiert.

Antwort von Anatoly Mischin[Neuling]
Zwei Geraden im Raum heißen parallel, wenn sie in einer Ebene liegen und sich nicht schneiden.

Antwort von Ўliya[aktiv]
Parallele Linien sind Linien, die sich nicht schneiden

Antwort von sagte Charakow[Neuling]
Parallel sind zwei Geraden, die in einer Ebene liegen und keine gemeinsamen Punkte haben.
Durch einen Punkt kann nur eine Linie parallel zu einer gegebenen Ebene gezogen werden.

Antwort von Olga Nemtyreva[Neuling]
Parallele Linien sind Linien, die in derselben Ebene liegen und entweder zusammenfallen oder sich nicht schneiden. ..Lobachevsky-Geometrie) in der Ebene durch den Punkt C (siehe Abb.) außerhalb der gegebenen Linie AB verläuft eine unendliche Menge von Linien, die AB nicht schneiden. Davon werden nur zwei parallel zu AB genannt.

Antwort von Oksana Tyschtschenko[Neuling]
Parallele Linien sind zwei Linien in einer Ebene, die sich nicht schneiden. Zwei Strecken heißen parallel, wenn sie auf parallelen Strecken liegen.

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In diesem Artikel geht es um parallele Linien und um parallele Linien. Zuerst wird die Definition von parallelen Linien in der Ebene und im Raum gegeben, die Notation eingeführt, Beispiele und grafische Darstellungen von parallelen Linien gegeben. Außerdem werden die Zeichen und Bedingungen der Parallelität von geraden Linien analysiert. Abschließend werden Lösungen für typische Probleme des Parallelitätsnachweises von Geraden gezeigt, die durch einige Geradengleichungen in einem rechtwinkligen Koordinatensystem in einer Ebene und im dreidimensionalen Raum gegeben sind.

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Parallele Linien - grundlegende Informationen.

Definition.

Zwei Linien in einer Ebene werden aufgerufen parallel wenn sie keine gemeinsamen Punkte haben.

Definition.

Zwei Linien in drei Dimensionen werden genannt parallel wenn sie in der gleichen Ebene liegen und keine gemeinsamen Punkte haben.

Beachten Sie, dass die Klausel "wenn sie in derselben Ebene liegen" in der Definition paralleler Linien im Raum sehr wichtig ist. Lassen Sie uns diesen Punkt klarstellen: Zwei gerade Linien im dreidimensionalen Raum, die keine gemeinsamen Punkte haben und nicht in derselben Ebene liegen, sind nicht parallel, sondern schief.

Hier sind einige Beispiele für parallele Linien. Die gegenüberliegenden Ränder des Notizbuchblattes liegen auf parallelen Linien. Die geraden Linien, entlang denen die Ebene der Hauswand die Ebenen der Decke und des Bodens schneidet, sind parallel. Bahngleise in der Ebene können auch als parallele Linien betrachtet werden.

Das Symbol "" wird verwendet, um parallele Linien zu bezeichnen. Das heißt, wenn die Linien a und b parallel sind, dann kannst du kurz ein b schreiben.

Beachten Sie, dass wenn die Linien a und b parallel sind, wir sagen können, dass Linie a parallel zu Linie b ist, und dass auch Linie b parallel zu Linie a ist.

Lassen Sie uns eine Aussage äußern, die beim Studium paralleler Linien in der Ebene eine wichtige Rolle spielt: Durch einen Punkt, der nicht auf einer gegebenen Linie liegt, verläuft die einzige Parallele zu der gegebenen. Diese Aussage wird als Tatsache akzeptiert (sie kann nicht auf der Grundlage der bekannten Axiome der Planimetrie bewiesen werden) und wird das Axiom der parallelen Linien genannt.

Für den Fall im Raum gilt der Satz: Durch jeden Punkt im Raum, der nicht auf einer gegebenen Geraden liegt, geht eine einzige Gerade parallel zu der gegebenen. Dieser Satz lässt sich leicht mit dem obigen Axiom der parallelen Linien beweisen (Sie finden seinen Beweis im Geometrielehrbuch Klasse 10-11, das am Ende des Artikels in der Bibliographie aufgeführt ist).

Für den Fall im Raum gilt der Satz: Durch jeden Punkt im Raum, der nicht auf einer gegebenen Geraden liegt, geht eine einzige Gerade parallel zu der gegebenen. Dieser Satz lässt sich leicht mit dem oben angegebenen Parallelenaxiom beweisen.

Parallelität von Linien - Zeichen und Bedingungen der Parallelität.

Ein Zeichen für parallele Linien ist eine hinreichende Bedingung für parallele Linien, also eine solche Bedingung, deren Erfüllung parallele Linien garantiert. Mit anderen Worten, die Erfüllung dieser Bedingung reicht aus, um die Tatsache auszusagen, dass die Linien parallel sind.

Es gibt auch notwendige und hinreichende Bedingungen für parallele Linien in der Ebene und im dreidimensionalen Raum.

Lassen Sie uns die Bedeutung des Ausdrucks "notwendige und hinreichende Bedingung für parallele Linien" erklären.

Die hinreichende Bedingung für parallele Linien haben wir bereits behandelt. Und was ist die "notwendige Bedingung für parallele Leitungen"? Durch den Namen "notwendig" wird deutlich, dass die Erfüllung dieser Bedingung notwendig ist, damit die Linien parallel sind. Mit anderen Worten, wenn die notwendige Bedingung für parallele Linien nicht erfüllt ist, dann sind die Linien nicht parallel. Auf diese Weise, notwendige und hinreichende Bedingung für die Parallelität von Leitungen ist eine Bedingung, deren Erfüllung für Parallelleitungen sowohl notwendig als auch hinreichend ist. Das heißt, dies ist einerseits ein Zeichen für parallele Linien und andererseits eine Eigenschaft, die parallele Linien haben.

Bevor wir die notwendige und hinreichende Bedingung für die Parallelität von Linien angeben, ist es nützlich, einige Hilfsdefinitionen in Erinnerung zu rufen.

Sekantenlinie ist eine Gerade, die jede der beiden gegebenen nicht übereinstimmenden Geraden schneidet.

Am Schnittpunkt zweier Sekantenlinien werden acht nicht eingesetzte Linien gebildet. Die sogenannte querliegend, korrespondierend und einseitige Ecken. Lassen Sie uns sie auf der Zeichnung zeigen.

Satz.

Wenn zwei Geraden in einer Ebene von einer Sekante gekreuzt werden, dann ist es für ihre Parallelität notwendig und ausreichend, dass die kreuzweise liegenden Winkel gleich sind oder die entsprechenden Winkel gleich sind oder die Summe der einseitigen Winkel gleich 180 Grad ist .

Lassen Sie uns diese notwendige und hinreichende Bedingung für parallele Linien in der Ebene grafisch veranschaulichen.

Beweise für diese Bedingungen für parallele Linien finden Sie in Geometrie-Lehrbüchern für die Klassen 7-9.

Beachten Sie, dass diese Bedingungen auch im dreidimensionalen Raum verwendet werden können - Hauptsache, die beiden Geraden und die Sekante liegen in derselben Ebene.

Hier sind ein paar weitere Sätze, die oft beim Beweis der Parallelität von Linien verwendet werden.

Satz.

Wenn zwei Geraden in einer Ebene parallel zu einer dritten Geraden sind, dann sind sie parallel. Der Beweis dieser Eigenschaft folgt aus dem Axiom der Parallelen.

Eine ähnliche Bedingung gilt für parallele Linien im dreidimensionalen Raum.

Satz.

Wenn zwei Linien im Raum parallel zu einer dritten Linie sind, dann sind sie parallel. Der Nachweis dieser Eigenschaft wird im Geometrieunterricht der 10. Klasse berücksichtigt.

Lassen Sie uns die stimmhaften Theoreme veranschaulichen.

Geben wir noch einen Satz an, mit dem wir die Parallelität von Linien in der Ebene beweisen können.

Satz.

Wenn zwei Geraden in einer Ebene senkrecht zu einer dritten Geraden stehen, dann sind sie parallel.

Es gibt einen ähnlichen Satz für Linien im Raum.

Satz.

Stehen zwei Linien im dreidimensionalen Raum senkrecht auf derselben Ebene, dann sind sie parallel.

Lassen Sie uns Bilder zeichnen, die diesen Sätzen entsprechen.

Alle oben formulierten Sätze, Vorzeichen und notwendigen und hinreichenden Bedingungen sind hervorragend geeignet, um die Parallelität von Geraden mit Methoden der Geometrie zu beweisen. Das heißt, um die Parallelität zweier gegebener Geraden zu beweisen, muss man zeigen, dass sie parallel zur dritten Geraden sind, oder die Gleichheit von sich kreuzenden Winkeln zeigen usw. Viele dieser Probleme werden im Geometrieunterricht in der High School gelöst. Es sollte jedoch beachtet werden, dass es in vielen Fällen bequem ist, die Koordinatenmethode zu verwenden, um die Parallelität von Linien in einer Ebene oder im dreidimensionalen Raum zu beweisen. Formulieren wir die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Parallelität von Geraden, die in einem rechtwinkligen Koordinatensystem gegeben sind.

Parallelität von Linien in einem rechtwinkligen Koordinatensystem.

In diesem Abschnitt des Artikels werden wir formulieren notwendige und hinreichende Bedingungen für Parallelleitungen in einem rechtwinkligen Koordinatensystem, abhängig von der Art der Gleichungen, die diese Linien bestimmen, und wir werden auch detaillierte Lösungen für typische Probleme geben.

Beginnen wir mit der Bedingung der Parallelität zweier Geraden in der Ebene im rechtwinkligen Koordinatensystem Oxy . Sein Beweis basiert auf der Definition des Richtungsvektors der Linie und der Definition des Normalenvektors der Linie auf der Ebene.

Satz.

Damit zwei nicht zusammenfallende Geraden in einer Ebene parallel sind, ist es notwendig und ausreichend, dass die Richtungsvektoren dieser Geraden kollinear sind oder die Normalenvektoren dieser Geraden kollinear sind oder der Richtungsvektor einer Geraden senkrecht zur Normalen steht Vektor der zweiten Zeile.

Offensichtlich reduziert sich die Bedingung der Parallelität zweier Linien in der Ebene auf (Richtungsvektoren von Linien oder Normalenvektoren von Linien) oder auf (Richtungsvektor einer Linie und Normalenvektor der zweiten Linie). Also, wenn und sind die Richtungsvektoren der Linien a und b, und und die Normalenvektoren der Geraden a bzw. b sind, dann kann die notwendige und hinreichende Bedingung für parallele Geraden a und b geschrieben werden als , oder , oder , wobei t eine reelle Zahl ist. Aus den bekannten Geradengleichungen werden wiederum die Koordinaten der Richtungs- und (oder) Normalenvektoren der Geraden a und b ermittelt.

Insbesondere wenn die Linie a im rechtwinkligen Koordinatensystem Oxy auf der Ebene definiert, definiert die allgemeine Liniengleichung die Form , und die Gerade b - , dann haben die Normalenvektoren dieser Linien die Koordinaten bzw. und die Bedingung der Parallelität der Linien a und b wird geschrieben als .

Entspricht die Gerade a der Geradengleichung mit dem Steigungsbeiwert der Form . Wenn daher gerade Linien in einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem parallel sind und durch Gleichungen von geraden Linien mit Steigungskoeffizienten gegeben werden können, dann sind die Steigungskoeffizienten der Linien gleich. Und umgekehrt: Wenn durch die Geradengleichungen mit gleichem Steigungskoeffizienten nicht deckungsgleiche Geraden auf einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem gegeben werden können, dann sind solche Geraden parallel.

Wenn die Linie a und die Linie b in einem rechtwinkligen Koordinatensystem die kanonischen Gleichungen der Linie auf der Ebene der Form definieren und , oder parametrische Gleichungen einer geraden Linie auf einer Ebene der Form und dann haben die Richtungsvektoren dieser Linien die Koordinaten und , und die Parallelitätsbedingung für die Linien a und b wird als geschrieben.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel.

Sind die Linien parallel? und ?

Lösung.

Wir schreiben die Gleichung einer geraden Linie in Segmenten in Form einer allgemeinen Gleichung einer geraden Linie um: . Jetzt können wir sehen, dass das der Normalenvektor der Geraden ist , und ist der Normalenvektor der Geraden. Diese Vektoren sind nicht kollinear, da es keine reelle Zahl t gibt, für die die Gleichheit ( ). Folglich ist die notwendige und hinreichende Bedingung für die Parallelität von Linien in der Ebene nicht erfüllt, daher sind die gegebenen Linien nicht parallel.

Antworten:

Nein, die Linien sind nicht parallel.

Beispiel.

Sind Geraden und Parallelen?

Lösung.

Wir bringen die kanonische Geradengleichung auf die Geradengleichung mit Steigung: . Offensichtlich sind die Gleichungen der Linien und nicht gleich (in diesem Fall wären die gegebenen Linien gleich) und die Steigungen der Linien sind gleich, daher sind die ursprünglichen Linien parallel.

In diesem Artikel werden wir über parallele Linien sprechen, Definitionen geben und die Zeichen und Bedingungen der Parallelität bezeichnen. Zur Verdeutlichung des theoretischen Materials verwenden wir Illustrationen und die Lösung typischer Beispiele.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definition 1

Parallele Linien in der Ebene sind zwei gerade Linien in der Ebene, die keine gemeinsamen Punkte haben.

Bestimmung 2

Parallele Linien im 3D-Raum- zwei gerade Linien im dreidimensionalen Raum, die in derselben Ebene liegen und keine gemeinsamen Punkte haben.

Es sei darauf hingewiesen, dass zur Bestimmung paralleler Linien im Raum die Präzisierung „in derselben Ebene liegend“ äußerst wichtig ist: Zwei Linien im dreidimensionalen Raum, die keine gemeinsamen Punkte haben und nicht in derselben Ebene liegen, sind es nicht parallel, aber überschneidend.

Um parallele Linien zu bezeichnen, ist es üblich, das Symbol ∥ zu verwenden. Das heißt, wenn die gegebenen Linien a und b parallel sind, sollte diese Bedingung kurz wie folgt geschrieben werden: a ‖ b . Verblich wird die Parallelität von Linien wie folgt angegeben: Linien a und b sind parallel, oder Linie a ist parallel zu Linie b, oder Linie b ist parallel zu Linie a.

Lassen Sie uns eine Aussage formulieren, die im untersuchten Thema eine wichtige Rolle spielt.

Axiom

Durch einen Punkt, der nicht zu einer gegebenen Geraden gehört, gibt es nur eine Gerade parallel zu der gegebenen Geraden. Diese Aussage lässt sich anhand der bekannten Axiome der Planimetrie nicht beweisen.

Für den Raum gilt der Satz:

Satz 1

Durch jeden Punkt im Raum, der nicht zu einer gegebenen Geraden gehört, gibt es nur eine Parallele zur gegebenen Geraden.

Dieser Satz ist anhand des obigen Axioms (Geometrieprogramm für die Klassen 10-11) leicht zu beweisen.

Das Zeichen der Parallelität ist eine hinreichende Bedingung, unter der Parallelität garantiert ist. Mit anderen Worten, die Erfüllung dieser Bedingung reicht aus, um die Tatsache der Parallelität zu bestätigen.

Insbesondere gibt es notwendige und hinreichende Bedingungen für die Parallelität von Linien in der Ebene und im Raum. Zur Erläuterung: Notwendig bedeutet die Bedingung, deren Erfüllung für parallele Linien notwendig ist; wenn es nicht erfüllt ist, sind die Linien nicht parallel.

Zusammenfassend ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Parallelität von Linien eine solche Bedingung, deren Einhaltung notwendig und ausreichend ist, damit die Linien parallel zueinander sind. Dies ist einerseits ein Zeichen für Parallelität, andererseits eine Eigenschaft paralleler Linien.

Bevor wir eine genaue Formulierung der notwendigen und hinreichenden Bedingungen geben, erinnern wir an einige weitere zusätzliche Konzepte.

Bestimmung 3

Sekantenlinie ist eine Gerade, die jede der beiden gegebenen nicht übereinstimmenden Geraden schneidet.

Die Sekante schneidet zwei gerade Linien und bildet acht nicht erweiterte Winkel. Um die notwendige und hinreichende Bedingung zu formulieren, verwenden wir Winkeltypen wie kreuzend, korrespondierend und einseitig. Lassen Sie uns sie in der Abbildung demonstrieren:

Satz 2

Wenn zwei Geraden in einer Ebene eine Sekante schneiden, dann ist es für die Parallelität der gegebenen Geraden notwendig und ausreichend, dass die kreuzweise liegenden Winkel gleich oder die entsprechenden Winkel gleich oder die Summe der einseitigen Winkel gleich 180 ist Grad.

Lassen Sie uns die notwendige und hinreichende Bedingung für parallele Linien in der Ebene grafisch veranschaulichen:

Der Nachweis dieser Voraussetzungen liegt im Geometrieprogramm für die Klassen 7-9 vor.

Im Allgemeinen gelten diese Bedingungen auch für den dreidimensionalen Raum, sofern die beiden Geraden und die Sekante zur selben Ebene gehören.

Lassen Sie uns auf einige weitere Sätze hinweisen, die häufig verwendet werden, um die Tatsache zu beweisen, dass Linien parallel sind.

Satz 3

In einer Ebene sind zwei Geraden parallel zu einer dritten parallel zueinander. Dieses Merkmal wird auf der Grundlage des oben erwähnten Parallelitätsaxioms bewiesen.

Satz 4

Im dreidimensionalen Raum sind zwei Linien parallel zu einer dritten parallel zueinander.

Der Beweis des Attributs wird im Geometrieprogramm der 10. Klasse studiert.

Wir veranschaulichen diese Sätze:

Lassen Sie uns ein weiteres Satzpaar angeben, das die Parallelität von Linien beweist.

Satz 5

In einer Ebene sind zwei zu einer dritten senkrecht stehende Geraden parallel zueinander.

Lassen Sie uns eine ähnliche für einen dreidimensionalen Raum formulieren.

Satz 6

Im dreidimensionalen Raum sind zwei Linien senkrecht zu einer dritten parallel zueinander.

Lassen Sie uns veranschaulichen:

Alle oben genannten Sätze, Zeichen und Bedingungen ermöglichen es, die Parallelität von Linien bequem mit den Methoden der Geometrie zu beweisen. Das heißt, um die Parallelität von Linien zu beweisen, kann man zeigen, dass die entsprechenden Winkel gleich sind, oder die Tatsache zeigen, dass zwei gegebene Linien senkrecht zur dritten sind, und so weiter. Wir stellen jedoch fest, dass es oft bequemer ist, die Koordinatenmethode zu verwenden, um die Parallelität von Linien in einer Ebene oder im dreidimensionalen Raum zu beweisen.

Parallelität von Linien in einem rechtwinkligen Koordinatensystem

In einem gegebenen rechteckigen Koordinatensystem wird eine gerade Linie durch die Gleichung einer geraden Linie auf einer Ebene eines der möglichen Typen bestimmt. In ähnlicher Weise entspricht eine gerade Linie, die in einem rechteckigen Koordinatensystem im dreidimensionalen Raum gegeben ist, einigen Gleichungen einer geraden Linie im Raum.

Schreiben wir die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Parallelität von Geraden in einem rechtwinkligen Koordinatensystem auf, abhängig von der Art der Gleichung, die die gegebenen Geraden beschreibt.

Beginnen wir mit der Bedingung paralleler Linien in der Ebene. Sie basiert auf den Definitionen des Richtungsvektors der Linie und des Normalenvektors der Linie in der Ebene.

Satz 7

Damit zwei nicht zusammenfallende Linien in einer Ebene parallel sind, ist es notwendig und ausreichend, dass die Richtungsvektoren der gegebenen Linien kollinear sind oder die Normalenvektoren der gegebenen Linien kollinear sind oder der Richtungsvektor einer Linie kollinear ist senkrecht zum Normalenvektor der anderen Geraden.

Es wird deutlich, dass die Bedingung paralleler Linien in der Ebene auf der Bedingung kollinearer Vektoren oder der Bedingung der Rechtwinkligkeit zweier Vektoren beruht. Das heißt, wenn a → = (a x , a y) und b → = (b x , b y) die Richtungsvektoren der Linien a und b sind;

und n b → = (n b x , n b y) Normalvektoren der Geraden a und b sind, dann schreiben wir die obige notwendige und hinreichende Bedingung wie folgt: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y oder n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y oder a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0 , wobei t eine reelle Zahl ist. Die Koordinaten der Richt- oder Direktvektoren werden durch die gegebenen Geradengleichungen bestimmt. Betrachten wir die wichtigsten Beispiele.

1. Die Gerade a in einem rechtwinkligen Koordinatensystem wird durch die allgemeine Geradengleichung bestimmt: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; Linie b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Dann haben die Normalenvektoren der gegebenen Linien jeweils die Koordinaten (A 1 , B 1 ) und (A 2 , B 2 ). Wir schreiben die Parallelitätsbedingung wie folgt:

EIN 1 = t EIN 2 B 1 = t B 2

1. Die Gerade a wird durch die Geradengleichung mit einer Steigung der Form y = k 1 x + b 1 beschrieben. Gerade b - y \u003d k 2 x + b 2. Dann haben die Normalenvektoren der gegebenen Linien die Koordinaten (k 1 , - 1) bzw. (k 2 , - 1), und wir schreiben die Parallelitätsbedingung wie folgt:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Wenn also parallele Linien auf einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem durch Gleichungen mit Steigungskoeffizienten gegeben sind, dann sind die Steigungskoeffizienten der gegebenen Linien gleich. Und die umgekehrte Aussage ist wahr: Wenn nicht zusammenfallende Linien auf einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem durch die Gleichungen einer Linie mit denselben Steigungskoeffizienten bestimmt werden, dann sind diese gegebenen Linien parallel.

1. Die Linien a und b in einem rechtwinkligen Koordinatensystem sind durch die kanonischen Gleichungen der Linie in der Ebene gegeben: x - x 1 a x = y - y 1 a y und x - x 2 b x = y - y 2 b y oder die parametrischen Gleichungen der Linie in der Ebene: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y und x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .

Dann sind die Richtungsvektoren der gegebenen Linien: a x , a y bzw. b x , b y, und wir schreiben die Parallelitätsbedingung wie folgt:

a x = t b x a y = t b y

Schauen wir uns Beispiele an.

Beispiel 1

Gegeben seien zwei Zeilen: 2 x - 3 y + 1 = 0 und x 1 2 + y 5 = 1 . Sie müssen feststellen, ob sie parallel sind.

Lösung

Wir schreiben die Gleichung einer geraden Linie in Segmenten in Form einer allgemeinen Gleichung:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Wir sehen, dass n a → = (2 , - 3) der Normalenvektor der Geraden 2 x - 3 y + 1 = 0 ist und n b → = 2 , 1 5 der Normalenvektor der Geraden x 1 2 + y 5 ist = 1 .

Die resultierenden Vektoren sind nicht kollinear, weil es gibt keinen solchen Wert von t, für den die Gleichheit gilt:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Somit ist die notwendige und hinreichende Bedingung der Parallelität von Linien in der Ebene nicht erfüllt, was bedeutet, dass die gegebenen Linien nicht parallel sind.

Antworten: gegebene Linien sind nicht parallel.

Beispiel 2

Gegebene Linien y = 2 x + 1 und x 1 = y - 4 2 . Sind sie parallel?

Lösung

Lassen Sie uns die kanonische Gleichung der geraden Linie x 1 \u003d y - 4 2 in die Gleichung einer geraden Linie mit einer Steigung umwandeln:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Wir sehen, dass die Gleichungen der Geraden y = 2 x + 1 und y = 2 x + 4 nicht gleich sind (andernfalls wären die Geraden gleich) und die Steigungen der Geraden gleich sind, was bedeutet, dass die angegebenen Geraden sind parallel.

Versuchen wir, das Problem anders zu lösen. Zuerst prüfen wir, ob die gegebenen Linien übereinstimmen. Wir verwenden einen beliebigen Punkt der Linie y \u003d 2 x + 1, zum Beispiel (0, 1), die Koordinaten dieses Punktes entsprechen nicht der Gleichung der Linie x 1 \u003d y - 4 2, was bedeutet, dass die Linien stimmen nicht überein.

Der nächste Schritt besteht darin, die Erfüllung der Parallelitätsbedingung für die gegebenen Linien zu bestimmen.

Der Normalenvektor der Geraden y = 2 x + 1 ist der Vektor n a → = (2 , - 1) , und der Richtungsvektor der zweiten gegebenen Geraden ist b → = (1 , 2) . Das Skalarprodukt dieser Vektoren ist Null:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Die Vektoren sind also senkrecht: Dies zeigt uns die Erfüllung der notwendigen und hinreichenden Bedingung für die Parallelität der ursprünglichen Linien. Diese. gegebene Geraden sind parallel.

Antworten: diese Linien sind parallel.

Um die Parallelität von Linien in einem rechtwinkligen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums zu beweisen, wird die folgende notwendige und hinreichende Bedingung verwendet.

Satz 8

Damit zwei nicht zusammenfallende Linien im dreidimensionalen Raum parallel sind, ist es notwendig und ausreichend, dass die Richtungsvektoren dieser Linien kollinear sind.

Diese. für gegebene Liniengleichungen im dreidimensionalen Raum wird die Antwort auf die Frage: Sind sie parallel oder nicht, gefunden, indem die Koordinaten der Richtungsvektoren der gegebenen Linien bestimmt werden, sowie die Bedingung ihrer Kollinearität überprüft wird. Mit anderen Worten, wenn a → = (a x, a y, a z) und b → = (b x, b y, b z) die Richtungsvektoren der Linien a bzw. b sind, dann müssen sie parallel sein, die Existenz einer solchen reellen Zahl t ist notwendig, damit Gleichheit gilt:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Beispiel 3

Gegebene Linien x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 und x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . Es ist notwendig, die Parallelität dieser Linien zu beweisen.

Lösung

Die Bedingungen des Problems sind die kanonischen Gleichungen einer geraden Linie im Raum und die parametrischen Gleichungen einer anderen geraden Linie im Raum. Richtungsvektoren ein → und b → gegebene Linien haben Koordinaten: (1 , 0 , - 3) und (2 , 0 , - 6) .

1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2 , dann a → = 1 2 b → .

Damit ist die notwendige und hinreichende Bedingung für parallele Linien im Raum erfüllt.

Antworten: die Parallelität der gegebenen Geraden ist bewiesen.

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