Die äußere Kraft, die auf den abgeworfenen Teil des Balkens wirkt und versucht, ihn relativ zum Abschnitt im Uhrzeigersinn zu drehen, geht mit einem Pluszeichen in die algebraische Summe zur Bestimmung der Querkraft () ein (Abb. 7.5, a). Beachten Sie, dass die positive Querkraft () dazu neigt, alle Teile des Balkens auch im Uhrzeigersinn zu drehen.
Vereinfacht gesagt: im Schnitt entsteht der Balken, der ermittelt und dargestellt werden muss. Damit die Vorzeichenregel für Querkräfte erfüllt ist, müssen Sie sich merken:
Tritt die Querkraft rechts vom Schnitt auf, ist sie nach unten gerichtet, tritt die Querkraft links vom Schnitt auf, ist sie nach oben gerichtet (Abb. 7.5, a).
Um das Vorzeichen des Biegemoments bequem bestimmen zu können, wird empfohlen, den Querschnitt des Balkens in Form eines festen Querschnitts darzustellen.
Mit anderen Worten: Nach der Vorzeichenregel ist das Biegemoment positiv, wenn es „den Träger nach oben biegt“, unabhängig vom betrachteten Teil des Trägers. Wenn im ausgewählten Schnitt das resultierende Moment aller äußeren Kräfte gerichtet ist, die das Biegemoment erzeugen (es handelt sich um eine innere Kraft). Gegenteil Richtung des Biegemoments nach der Vorzeichenregel, dann ist das Biegemoment positiv.
Angenommen, die linke Seite des Balkens wird betrachtet (Abb. 7.5, b). Das Kraftmoment P bezogen auf den Querschnitt ist im Uhrzeigersinn gerichtet. Nach der Vorzeichenregel für Biegemomente für die linke Balkenseite ist das Biegemoment positiv, wenn es gegen den Uhrzeigersinn gerichtet ist („biegt den Balken“ nach oben). Dies bedeutet, dass das Biegemoment positiv ist (die Summe der Momente der äußeren Kräfte und das Biegemoment sind gemäß der Vorzeichenregel entgegengesetzt gerichtet).
Anweisung
Sei Q der Punkt, relativ zu dem das Kraftmoment betrachtet wird. Dieser Punkt wird Pol genannt. Zeichnen Sie den Radiusvektor r von diesem Punkt zum Angriffspunkt der Kraft F. Dann ist das Kraftmoment M als Vektorprodukt von r und F definiert: M=.
Das Ergebnis eines Kreuzprodukts ist ein Vektor. Die Länge eines Vektors wird in Modulus ausgedrückt: |M|=|r|·|F|·sinφ, wobei φ der Winkel zwischen r und F ist. Der Vektor M ist sowohl zum Vektor r als auch zum Vektor F orthogonal: M ⊥r, M⊥F.
Der Vektor M ist so gerichtet, dass das Tripel der Vektoren r, F, M rechts liegt. Wie kann man feststellen, dass das Tripel der Vektoren richtig ist? Stellen Sie sich vor, dass Sie (Ihr Auge) am Ende des dritten Vektors sind und schauen Sie sich die anderen beiden Vektoren an. Wenn der kürzeste Übergang vom ersten zum zweiten Vektor entgegen dem Uhrzeigersinn zu sein scheint, handelt es sich um ein rechtes Tripel von Vektoren. Andernfalls haben Sie es mit einer linken Drei zu tun.
Richten Sie also die Anfänge der Vektoren r und F aus. Dies kann durch parallele Übertragung des Vektors F zum Punkt Q erfolgen. Zeichnen Sie nun eine Achse durch denselben Punkt senkrecht zur Ebene der Vektoren r und F. Diese Achse wird auf einmal senkrecht zu den Vektoren sein. Hier gibt es prinzipiell nur zwei Möglichkeiten, das Kraftmoment zu lenken: nach oben oder nach unten.
Versuchen Sie, das Moment der Kraft F nach oben zu lenken, zeichnen Sie einen Vektorpfeil auf der Achse. Betrachten Sie sozusagen von diesem Pfeil aus die Vektoren r und F (Sie können das symbolische Auge verwenden). Den kürzesten Übergang von r nach F kannst du mit einem abgerundeten Pfeil markieren. Stimmt das Tripel der Vektoren r, F, M? Zeigt der Pfeil gegen den Uhrzeigersinn? Wenn ja, dann sind Sie für das Moment der Kraft F in der richtigen Richtung. Wenn nicht, müssen Sie die Richtung in die entgegengesetzte Richtung ändern.
Sie können die Richtung des Kraftmoments auch mit der Rechte-Hand-Regel bestimmen. Richten Sie Ihren Zeigefinger am Radiusvektor aus. Richten Sie den Mittelfinger am Kraftvektor aus. Betrachten Sie vom Ende des Daumens aufwärts zwei Vektoren. Wenn der Übergang vom Zeige- zum Mittelfinger gegen den Uhrzeigersinn erfolgt, stimmt die Richtung des Kraftmoments mit der Richtung überein, in die der Daumen zeigt. Wenn der Übergang im Uhrzeigersinn erfolgt, ist die Richtung des Kraftmoments entgegengesetzt.
Die Gimlet-Regel ist der Handregel sehr ähnlich. Drehen Sie sozusagen mit vier Fingern Ihrer rechten Hand die Schraube von r nach F. Das Vektorprodukt hat die Richtung, in die der Bohrer während einer solchen mentalen Drehung gedreht wird.
Der Punkt Q befinde sich nun auf derselben Linie, die den Kraftvektor F enthält. Dann sind der Radiusvektor und der Kraftvektor kollinear. In diesem Fall degeneriert ihr Vektorprodukt zu einem Nullvektor und wird durch einen Punkt dargestellt. Der Nullvektor hat keine bestimmte Richtung, wird aber als gleichgerichtet mit jedem anderen Vektor angesehen.
Um die Wirkung einer Kraft, die einen Körper dreht, richtig zu berechnen, bestimmen Sie den Angriffspunkt und den Abstand von diesem Punkt zur Rotationsachse. Dies ist wichtig, um die technischen Eigenschaften verschiedener Mechanismen zu bestimmen. Das Drehmoment eines Motors kann berechnet werden, wenn seine Leistung und Drehzahl bekannt sind.
Du wirst brauchen
- Lineal, Dynamometer, Tachometer, Tester, Teslameter.
Anweisung
Bestimmen Sie den Punkt oder die Achse, um die sich der Körper dreht. Finden Sie den Angriffspunkt der Kraft. Verbinden Sie den Angriffspunkt der Kraft und den Rotationspunkt oder senken Sie die Senkrechte zur Rotationsachse ab. Messen Sie diese Distanz, sie ist die „Schulter der Macht“. Messen Sie in Metern. Messen Sie die Kraft in Newton mit einem Dynamometer. Messen Sie den Winkel zwischen der Schulter und dem Kraftvektor. Um das Drehmoment zu berechnen, finden Sie das Produkt aus der Kraft und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen M=F r sin(α). Das Ergebnis wird in Newton pro Meter angegeben.
Das Kraftmoment relativ zu Punkt O ist ein Vektor, dessen Modul gleich dem Produkt aus Kraftmodul und Arm ist - der kürzeste Abstand von Punkt O zur Wirkungslinie der Kraft. Die Richtung des Vektors des Kraftmoments steht senkrecht auf der Ebene, die durch den Punkt und die Wirkungslinie der Kraft verläuft, so dass, in Richtung des Momentenvektors gesehen, die Drehung durch die Kraft um den Punkt O ausgeführt wird erfolgt im Uhrzeigersinn.
Wenn der Radiusvektor bekannt ist Kraftangriffspunkt relativ zum Punkt O, dann wird das Moment dieser Kraft relativ zu O wie folgt ausgedrückt:
Tatsächlich ist der Modul dieses Vektorprodukts:
.
(1.9)
Laut Abbildung also:
Der Vektor , sowie das Ergebnis des Kreuzprodukts, steht senkrecht auf den Vektoren, die zur Ebene Π gehören. Die Richtung des Vektors ist so, dass in Richtung dieses Vektors gesehen die kürzeste Drehung von k im Uhrzeigersinn erfolgt. Mit anderen Worten, der Vektor vervollständigt das System der Vektoren () zum rechten Tripel.
Bei Kenntnis der Koordinaten des Kraftangriffspunktes im Koordinatensystem, dessen Ursprung mit dem Punkt O zusammenfällt, und der Projektion der Kraft auf diese Koordinatenachsen kann das Kraftmoment wie folgt bestimmt werden:
.
(1.11)
Kraftmoment um die Achse
Die Projektion des Kraftmoments um einen Punkt auf einer Achse, die durch diesen Punkt verläuft, wird als Kraftmoment um die Achse bezeichnet.
Das Kraftmoment um die Achse berechnet sich als Moment der Projektion der Kraft auf die Ebene Π, senkrecht zur Achse, bezogen auf den Schnittpunkt der Achse mit der Ebene Π:
Das Vorzeichen des Moments wird durch die Drehrichtung bestimmt, die die Kraft F⃗ Π auf den Körper ausübt. Wenn die Kraft den Körper in Richtung der Oz-Achse im Uhrzeigersinn dreht, wird das Moment mit dem Vorzeichen "plus"" genommen, andernfalls - "minus"".
1.2 Problemstellung.
Ermittlung der Auflager- und Scharnierreaktionen C.
1.3 Algorithmus zur Lösung des Problems.
Wir teilen die Struktur in Teile und betrachten das Gleichgewicht jeder der Strukturen.
Betrachten Sie das Gleichgewicht der gesamten Struktur als Ganzes. (Abb.1.1)
Wir werden 3 Gleichgewichtsgleichungen für die gesamte Struktur als Ganzes zusammenstellen:
Betrachten Sie das Gleichgewicht der rechten Seite der Struktur (Abbildung 1.2).
Lassen Sie uns 3 Gleichgewichtsgleichungen für die rechte Seite der Struktur aufstellen.
Das Kraftmoment relativ zu einem Punkt wird durch das Produkt aus dem Kraftmodul und der Länge der Senkrechten bestimmt, die vom Punkt zur Wirkungslinie der Kraft fällt (Abbildung 4).
Abbildung 4 - Kraftmoment F relativ zum Punkt O
Wenn ein Körper am Punkt O fixiert ist, neigt die Kraft F dazu, ihn um diesen Punkt zu drehen. Der Punkt O, relativ zu dem das Moment gemessen wird, heißt Momentenmittelpunkt, und die Länge der Senkrechten a heißt Kraftschulter relativ zum Momentenmittelpunkt.
Das Kraftmoment F relativ zu O wird durch das Produkt aus Kraft und Schulter bestimmt.
MO (F) = F ein.
Das Moment wird als positiv angesehen, wenn die Kraft dazu neigt, den Körper im Uhrzeigersinn zu drehen, und als negativ - gegen den Uhrzeigersinn. Wenn die Wirkungslinie der Kraft durch einen bestimmten Punkt verläuft, ist das Kraftmoment relativ zu diesem Punkt gleich Null, da im betrachteten Fall der Arm a \u003d 0 ist (Abbildung 5).
Abbildung 5 - Bestimmung des Vorzeichens des Kraftmoments relativ zu einem Punkt
Es gibt einen wesentlichen Unterschied zwischen dem Moment eines Paares und dem Moment der Kraft. Zahlenwert und Richtung des Moments eines Kräftepaares hängen nicht von der Lage dieses Paares in der Ebene ab. Der Wert und die Richtung (Vorzeichen) des Kraftmoments hängen von der Position des Punktes ab, relativ zu dem das Moment bestimmt wird.
Gleichgewichtsgleichungen für ein ebenes Kräftesystem
Bedingungen für das Kräftegleichgewicht in einer Ebene: Für das Gleichgewicht eines beliebig in einer Ebene liegenden Kräftesystems ist es notwendig und hinreichend, dass der Hauptvektor und das Hauptmoment dieser Kräfte bezogen auf einen beliebigen Mittelpunkt jeweils einzeln gleich Null sind.
FGL = 0; MGL = Σ MO (F i) = 0.
Wir erhalten die Grundform der Gleichgewichtsgleichung:
Theoretisch kann ein unendlicher Satz von Momentengleichungen geschrieben werden, aber in der Praxis reichen drei Gleichgewichtsgleichungen aus, um Probleme in einer Ebene zu lösen. Es werden jeweils Gleichungen mit einer Unbekannten verwendet.
Für verschiedene Fälle werden drei Gruppen von Gleichgewichtsgleichungen verwendet:
1. Die erste Form von Gleichgewichtsgleichungen
2. Die zweite Form von Gleichgewichtsgleichungen
3. Die dritte Form von Gleichgewichtsgleichungen
Für ein System paralleler Kräfte (Bild 43) lassen sich nur zwei Gleichgewichtsgleichungen aufstellen:
Beispiel.
Gegeben: F = 24 kN; q = 6 kN/m; M = 12 kN m α = 60°; a = 1,8 m; b = 5,2 m; c = 3,0 m. Bestimmen Sie die Reaktionen V A , H A und V B (Abbildung 6).
Abbildung 6 - Gegeben zwei Stützbalken
Wir verwerfen die Verbindungen (Stützen A und B), ersetzen ihre Wirkung durch Reaktionen: Die feste Stütze hat Reaktionen V A (vertikal) und H A (horizontal). Bewegliche Stütze - Reaktion V B (vertikal). Wir wählen das XY-Koordinatensystem mit dem Ursprung im linken Auflager, ermitteln die Resultierende der Streckenlast:
Q \u003d q ein 2 \u003d 6 5,2 \u003d 31,2 kN.
Wir zeichnen das Berechnungsschema des Balkens (Abbildung 7).
Abbildung 7 - Berechnungsdiagramm des Balkens
Für das erhaltene beliebige flache Kräftesystem stellen wir die Gleichgewichtsgleichungen auf:
∑ Fix = 0; H A – F cos60° = 0;
∑ F ich y = 0; V A – F cos30° – Q + V B = 0;
∑MA (F ich) = 0; Q (1,8 + 2,6) + F cos30 ° (1,8 + 5,2) - M - V B (1,8 + 5,2 + 3) = 0.
Wir lösen ein Gleichungssystem.
H A \u003d F cos60 ° \u003d 24 0,5 \u003d 12 kN;
VA \u003d F cos30 ° + Q - VB \u003d 24 0,866 + 31,2 - 27,08 \u003d 24,9 kN.
Zur Überprüfung der Richtigkeit der Lösung bilden wir die Summe der Momente bezogen auf den Angriffspunkt der Schrägkraft F:
∑MA (F i) \u003d VA (1,8 + 5,2) - Q 2,6 - M - VB 3 \u003d 24,9 7 - 31,2 2,6 - 12 - 27, 08 3 = - 0,06.
Antwort: Die Auflagerkräfte des Balkens betragen V A = 24,9 kN; VB \u003d 27,08 kN; N A = 12 kN.
Testfragen:
1. Was bestimmt die Wirkung eines Kräftepaares?
2. Hängt die Wirkung eines Kräftepaares von seiner Lage in der Ebene ab?
3. Hängen die Werte und die Richtung des Kraftmoments relativ zu einem Punkt von der relativen Position dieses Punktes und der Wirkungslinie der Kraft ab?
4. Wann ist das Kraftmoment bezogen auf einen Punkt gleich Null?
5. Wie viele unabhängige Gleichgewichtsgleichungen können für ein flaches System paralleler Kräfte aufgestellt werden?
In der Mechanik gibt es ein Konzept des Kraftmoments um einen Punkt.
Das Kraftmoment um einen Punkt ist das Produkt aus dem Kraftmodul mit Vorzeichen (plus oder minus) und dem kürzesten Abstand vom Punkt zur Wirkungslinie der Kraft(Abb. 12), d.h.
M 0()= ± Ph.h.
Punkt Ö, relativ zu dem das Kraftmoment genommen wird Center Moment; RH = h Der kürzeste Abstand vom Momentenmittelpunkt zur Wirkungslinie der Kraft wird als bezeichnet Schulter der Stärke relativ zu diesem Punkt; ein Pluszeichen wird platziert, wenn die Kraft dazu neigt, die Schulter zu drehen h gegen den Uhrzeigersinn und das Minuszeichen in die entgegengesetzte Richtung. Kraftmoment um einen Punkt Ö in Abb. 12 positiv.
Aus der letzten Gleichheit folgt, dass h=0, d.h. Wenn Ö- der Momentenmittelpunkt liegt auf der Wirkungslinie der Kraft, M 0() =0. Wie Sie wissen, ist die Kraft also ein Gleitvektor, wenn Sie die Kraft entlang der Wirkungslinien vom Punkt übertragen SONDERN zu jedem anderen Punkt A1, A2 usw. (Abb. 12) ändert sich die Länge des Arms nicht, was bedeutet, dass sich auch der Wert des Kraftmoments relativ zum Punkt nicht ändert. Das Moment der Kraft wird wie das Moment eines Paares in Newtonometern gemessen.
Abb.12. Kraftmoment um einen Punkt Ö.
1.12. Gleichgewichtsgleichungen für ein ebenes System paralleler Kräfte
Auf einen gegebenen Körper soll ein System paralleler Kräfte wirken , , , , (Abb. 13). Durch einen beliebigen Punkt O in der Wirkungsebene der Kräfte ziehen wir die Achse Oh, senkrecht zu den Kräften und der Achse OU, parallel zu diesen Kräften. Schreiben wir die Gleichgewichtsgleichungen für dieses Kräftesystem
Abb.13. Paralleles Kraftsystem.
Jede Kraft steht senkrecht zur Ox-Achse, und ihre Projektion auf diese Achse ist Null. Daher geht die erste Gleichung in die Identität 0 = 0 über und ist unabhängig davon erfüllt, ob die Kräfte ausgeglichen sind oder nicht. Somit bleiben für ein flaches System paralleler Kräfte nur noch zwei Gleichgewichtsgleichungen übrig, und zwar für die Achse OU Kräfte werden in voller Größe projiziert, da diese Achse parallel zu den gegebenen Kräften ist.
Das System der Gleichgewichtsgleichungen für ein ebenes System paralleler Kräfte nimmt die Form an
Die Gleichgewichtsgleichungen für ein ebenes System paralleler Kräfte können geschrieben werden als
Die Punkte A und B sind willkürliche Punkte, es ist vorzuziehen, sie auf der Achse zu nehmen X, die Gleichung =0 dient zur Überprüfung der Richtigkeit der Berechnungen.
Für ein beliebiges flaches Kräftesystem haben wir also drei Gleichgewichtsgleichungen, und für ein flaches System paralleler Kräfte haben wir nur zwei Gleichgewichtsgleichungen. Dementsprechend kann man bei der Lösung von Problemen für das Gleichgewicht eines beliebigen ebenen Kräftesystems drei Unbekannte finden, und bei der Betrachtung des Gleichgewichts eines ebenen Systems paralleler Kräfte nicht mehr als zwei.
Wenn die Anzahl der Unbekannten die Anzahl der statischen Gleichungen übersteigt, wird das Problem statisch unbestimmt.
1.13. Arten von Balkenstützen
In Maschinen und Konstruktionen gibt es sehr oft langgestreckte Körper, sogenannte Balken. Sie sind hauptsächlich zur Aufnahme von Querlasten ausgelegt. Balken haben spezielle Stützvorrichtungen, um mit anderen Elementen zusammenzupassen und Kräfte auf sie zu übertragen. Die Stützen von Trägern, die als flache Systeme betrachtet werden, sind von drei Haupttypen.
· Bewegliche Klappstütze (Abb. 14, a). Eine solche Stütze verhindert nicht die Drehung des Balkenendes und seine Bewegung entlang der Rollebene. Darin kann nur eine Reaktion stattfinden, die senkrecht zur Walzebene steht und durch die Mitte der Walze geht.
Eine schematische Darstellung einer beweglichen Gelenkstütze ist in Fig. 1 gegeben. vierzehn, b.
Reis. 14. Arten von Trägern.
Bewegliche Stützen ermöglichen es dem Balken, seine Länge bei Temperaturänderungen frei zu ändern und dadurch die Möglichkeit von thermischen Spannungen zu eliminieren.
· Feste Gelenkstütze (Abb. 14, c). Eine solche Halterung ermöglicht eine Drehung des Balkenendes, eliminiert jedoch seine Translationsbewegung in jede Richtung.Die darin auftretende Reaktion kann in zwei Komponenten zerlegt werden - horizontal und vertikal
· Starrer Abschluss oder Einklemmen (Abb. 14, G). Eine solche Befestigung erlaubt weder lineare noch winklige Verschiebungen des Bezugsabschnitts. Bei dieser Abstützung kann generell eine Reaktion auftreten, die üblicherweise in zwei Komponenten (vertikal und horizontal) und ein Einklemmmoment (Reaktionsmoment) zerlegt wird.
Ein Balken mit einem geschlossenen Ende wird aufgerufen Ausleger oder einfach Konsole.
Wenn die Auflagerreaktionen allein aus den Gleichungen der Statik ermittelt werden können, dann werden die Balken genannt statisch bestimmt. Wenn die Anzahl der unbekannten Lagerreaktionen größer ist als die Anzahl der für ein bestimmtes Problem möglichen statischen Gleichungen, werden die Balken aufgerufen statisch unbestimmt.
Beispiel.
Bestimmen Sie die unbekannten Parameter der Reaktionen der Stützen A und B für eine gegebene (Abb. 15) Balkenkonstruktion, die mit parallelen Kräften belastet ist, und.
