Unter den verschiedenen Ausdrücken, die in der Algebra berücksichtigt werden, nehmen Summen von Monomen einen wichtigen Platz ein. Hier sind Beispiele für solche Ausdrücke:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Die Summe von Monomen heißt Polynom. Die Terme in einem Polynom heißen Glieder des Polynoms. Mononome werden auch als Polynome bezeichnet, wobei ein Monom als ein Polynom betrachtet wird, das aus einem Mitglied besteht.

Zum Beispiel Polynom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
vereinfacht werden kann.

Wir stellen alle Terme als Monome der Standardform dar:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Wir geben ähnliche Terme im resultierenden Polynom an:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Das Ergebnis ist ein Polynom, dessen Mitglieder alle Monome der Standardform sind und unter denen es keine ähnlichen gibt. Solche Polynome werden aufgerufen Polynome der Standardform.

Hinter Polynomgrad Standardform nehmen die größten Befugnisse ihrer Mitglieder. Das Binom \(12a^2b - 7b \) hat also den dritten Grad und das Trinom \(2b^2 -7b + 6 \) hat den zweiten.

Normalerweise werden die Terme von Polynomen in Standardform, die eine Variable enthalten, in absteigender Reihenfolge ihrer Exponenten angeordnet. Zum Beispiel:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Die Summe mehrerer Polynome kann (vereinfacht) in ein Normalformpolynom umgewandelt werden.

Manchmal müssen die Mitglieder eines Polynoms in Gruppen eingeteilt werden, wobei jede Gruppe in Klammern gesetzt wird. Da Klammern das Gegenteil von Klammern sind, ist sie einfach zu formulieren Klammern Öffnungsregeln:

Steht das +-Zeichen vor den Klammern, so werden die in Klammern eingeschlossenen Begriffe mit den gleichen Zeichen geschrieben.

Wird den Klammern ein „-“ vorangestellt, so werden die in Klammern eingeschlossenen Begriffe mit entgegengesetzten Vorzeichen geschrieben.

Transformation (Vereinfachung) des Produkts aus einem Monom und einem Polynom

Unter Verwendung des Distributivgesetzes der Multiplikation kann man das Produkt eines Monoms und eines Polynoms in ein Polynom transformieren (vereinfachen). Zum Beispiel:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Das Produkt eines Monoms und eines Polynoms ist identisch gleich der Summe der Produkte dieses Monoms und jedes der Terme des Polynoms.

Dieses Ergebnis wird üblicherweise als Regel formuliert.

Um ein Monom mit einem Polynom zu multiplizieren, muss man dieses Monom mit jedem der Terme des Polynoms multiplizieren.

Wir haben diese Regel wiederholt zum Multiplizieren mit einer Summe verwendet.

Das Produkt von Polynomen. Transformation (Vereinfachung) des Produkts zweier Polynome

Im Allgemeinen ist das Produkt zweier Polynome identisch gleich der Summe des Produkts jedes Terms eines Polynoms und jedes Terms des anderen.

Verwenden Sie normalerweise die folgende Regel.

Um ein Polynom mit einem Polynom zu multiplizieren, müssen Sie jeden Term eines Polynoms mit jedem Term des anderen multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren.

Abgekürzte Multiplikationsformeln. Summe, Differenz und Differenzquadrat

Einige Ausdrücke in algebraischen Transformationen müssen häufiger behandelt werden als andere. Die vielleicht gebräuchlichsten Ausdrücke sind \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) und \(a^2 - b^2 \), also das Quadrat der Summe, die Quadrat der Differenz und quadratische Differenz. Sie haben bemerkt, dass die Namen dieser Ausdrücke unvollständig zu sein scheinen, also ist beispielsweise \((a + b)^2 \) natürlich nicht nur das Quadrat der Summe, sondern das Quadrat der Summe von A und B. Das Quadrat der Summe von a und b ist jedoch in der Regel nicht so verbreitet, statt der Buchstaben a und b enthält es verschiedene, manchmal recht komplexe Ausdrücke.

Ausdrücke \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) lassen sich leicht in Polynome der Standardform umwandeln (vereinfachen), tatsächlich ist Ihnen eine solche Aufgabe bereits beim Multiplizieren von Polynomen begegnet :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Die resultierenden Identitäten sind nützlich, um sie sich zu merken und ohne Zwischenberechnungen anzuwenden. Dabei helfen kurze verbale Formulierungen.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - das Quadrat der Summe ist gleich der Summe der Quadrate und des doppelten Produkts.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - das Quadrat der Differenz ist die Summe der Quadrate ohne das Produkt zu verdoppeln.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - die Differenz der Quadrate ist gleich dem Produkt aus der Differenz und der Summe.

Diese drei Identitäten erlauben in Transformationen, ihre linken Teile durch rechte zu ersetzen und umgekehrt - rechte Teile durch linke. Das Schwierigste in diesem Fall ist, die entsprechenden Ausdrücke zu sehen und zu verstehen, was die Variablen a und b darin ersetzen. Sehen wir uns einige Beispiele für die Verwendung abgekürzter Multiplikationsformeln an.

In dieser Lektion erinnern wir uns an die wichtigsten Definitionen dieses Themas und betrachten einige typische Aufgaben, nämlich das Überführen eines Polynoms in eine Standardform und das Berechnen eines numerischen Werts für gegebene Variablenwerte. Wir werden mehrere Beispiele lösen, in denen die Reduktion auf die Standardform angewendet wird, um verschiedene Arten von Problemen zu lösen.

Gegenstand:Polynome. Arithmetische Operationen auf Monomen

Lektion:Reduktion eines Polynoms auf eine Standardform. Typische Aufgaben

Erinnern Sie sich an die grundlegende Definition: Ein Polynom ist die Summe von Monomen. Jedes Monom, das als Term Teil eines Polynoms ist, heißt dessen Mitglied. Zum Beispiel:

Binomial;

Polynom;

Binomial;

Da das Polynom aus Monomen besteht, folgt von hier aus die erste Aktion mit dem Polynom - Sie müssen alle Monome in die Standardform bringen. Denken Sie daran, dass Sie dazu alle numerischen Faktoren multiplizieren müssen - erhalten Sie einen numerischen Koeffizienten und multiplizieren Sie die entsprechenden Potenzen - erhalten Sie den Buchstabenteil. Beachten wir außerdem den Satz über das Potenzprodukt: Beim Multiplizieren von Potenzen addieren sich ihre Exponenten.

Betrachten Sie eine wichtige Operation - das Bringen eines Polynoms in eine Standardform. Beispiel:

Kommentar: Um das Polynom in die Standardform zu bringen, müssen Sie alle Monome, die Teil davon sind, in die Standardform bringen. Wenn es ähnliche Monome gibt - und dies sind Monome mit demselben Buchstabenteil - führen Sie Aktionen aus mit ihnen.

Wir haben also das erste typische Problem betrachtet – ein Polynom in eine Standardform zu bringen.

Die nächste typische Aufgabe ist die Berechnung eines bestimmten Werts eines Polynoms für gegebene Zahlenwerte der darin enthaltenen Variablen. Betrachten wir weiter das vorherige Beispiel und setzen die Werte der Variablen:

Kommentar: Denken Sie daran, dass eins in jeder natürlichen Potenz gleich eins ist und null in jeder natürlichen Potenz gleich null ist. Außerdem erinnern wir uns daran, dass wir null erhalten, wenn wir eine beliebige Zahl mit null multiplizieren.

Betrachten Sie einige Beispiele für typische Operationen, um ein Polynom in eine Standardform zu bringen und seinen Wert zu berechnen:

Beispiel 1 - in Standardform bringen:

Kommentar: die erste Aktion - wir bringen die Monome in die Standardform, Sie müssen die erste, zweite und sechste bringen; die zweite Aktion - wir geben ähnliche Mitglieder, das heißt, wir führen die angegebenen arithmetischen Operationen an ihnen durch: Wir addieren die erste zur fünften, die zweite zur dritten, wir schreiben den Rest ohne Änderungen neu, da sie keine ähnlichen haben.

Beispiel 2 - Berechnen Sie den Wert des Polynoms aus Beispiel 1 bei gegebenen Werten der Variablen:

Kommentar: Bei der Berechnung ist zu beachten, dass eine Einheit in jedem natürlichen Grad eine Einheit ist. Wenn es schwierig ist, Zweierpotenzen zu berechnen, können Sie die Potenztabelle verwenden.

Beispiel 3 - Setzen Sie anstelle eines Sternchens ein solches Monom ein, damit das Ergebnis keine Variable enthält:

Kommentar: Unabhängig von der Aufgabe ist die erste Aktion immer dieselbe - das Polynom in die Standardform zu bringen. In unserem Beispiel reduziert sich diese Aktion auf das Casting gleicher Mitglieder. Danach sollten Sie die Bedingung noch einmal genau lesen und überlegen, wie wir das Monom loswerden können. Es ist offensichtlich, dass Sie dafür dasselbe Monom hinzufügen müssen, jedoch mit dem entgegengesetzten Vorzeichen -. dann ersetzen wir das Sternchen durch dieses Monom und vergewissern uns, dass unsere Entscheidung richtig ist.

Ein Polynom ist eine Summe von Monomen. Wenn alle Terme des Polynoms in Standardform geschrieben werden (siehe Punkt 51) und die Reduktion ähnlicher Terme durchgeführt wird, dann erhält man ein Polynom in Standardform.

Jeder ganzzahlige Ausdruck kann in ein Polynom der Standardform transformiert werden - das ist der Zweck von Transformationen (Vereinfachungen) von ganzzahligen Ausdrücken.

Betrachten Sie Beispiele, in denen der gesamte Ausdruck auf die Standardform eines Polynoms reduziert werden muss.

Entscheidung. Zuerst bringen wir die Terme des Polynoms in die Normalform. Wir erhalten Nach Reduktion ähnlicher Terme erhalten wir ein Polynom der Standardform

Entscheidung. Wenn vor den Klammern ein Pluszeichen steht, können die Klammern weggelassen werden, wobei die Vorzeichen aller in Klammern eingeschlossenen Begriffe erhalten bleiben. Mit dieser Regel zum Öffnen von Klammern erhalten wir:

Entscheidung. Steht vor den Klammern ein ziak „Minus“, dann können die Klammern weggelassen werden, indem die Vorzeichen aller in Klammern eingeschlossenen Begriffe geändert werden. Mit dieser Klammer-Escape-Regel erhalten wir:

Entscheidung. Das Produkt eines Monoms und eines Polynoms ist nach dem Verteilungsgesetz gleich der Summe der Produkte dieses Monoms und jedes Mitglieds des Polynoms. Wir bekommen

Entscheidung. Wir haben

Entscheidung. Wir haben

Es bleibt übrig, ähnliche Begriffe anzugeben (sie sind unterstrichen). Wir bekommen:

53. Formeln für abgekürzte Multiplikation.

In einigen Fällen wird die Reduktion des gesamten Ausdrucks auf die Standardform eines Polynoms unter Verwendung der Identitäten durchgeführt:

Diese Identitäten werden abgekürzte Multiplikationsformeln genannt,

Betrachten wir Beispiele, in denen es notwendig ist, einen gegebenen Ausdruck in Myogeln der Standardform umzuwandeln.

Beispiel 1. .

Entscheidung. Mit Formel (1) erhalten wir:

Beispiel 2. .

Entscheidung.

Beispiel 3. .

Entscheidung. Mit Formel (3) erhalten wir:

Beispiel 4

Entscheidung. Mit Formel (4) erhalten wir:

54. Faktorisierung von Polynomen.

Manchmal können Sie ein Polynom in ein Produkt mehrerer Faktoren umwandeln - Polynome oder Teilterme. Eine solche Identitätstransformation wird als Faktorisierung eines Polynoms bezeichnet. In diesem Fall heißt das Polynom durch jeden dieser Faktoren teilbar.

Betrachten Sie einige Möglichkeiten, Polynome zu faktorisieren,

1) Herausnehmen des gemeinsamen Faktors aus der Klammer. Diese Transformation ist eine direkte Folge des Distributivgesetzes (zur Verdeutlichung muss dieses Gesetz nur „von rechts nach links“ umgeschrieben werden):

Beispiel 1. Faktorisieren eines Polynoms

Entscheidung. .

Normalerweise wird beim Entfernen des gemeinsamen Faktors aus Klammern jede Variable, die in allen Mitgliedern des Polynoms enthalten ist, mit dem kleinsten Exponenten herausgenommen, den sie in diesem Polynom hat. Wenn alle Koeffizienten des Polynoms ganze Zahlen sind, dann wird der größte gemeinsame Modulo-Teiler aller Koeffizienten des Polynoms als Koeffizient des gemeinsamen Faktors genommen.

2) Verwendung abgekürzter Multiplikationsformeln. Die Formeln (1) - (7) aus Absatz 53, "von rechts nach links gelesen, erweisen sich in vielen Fällen als nützlich für die Faktorisierung von Polynomen.

Beispiel 2. Faktorisieren .

Entscheidung. Wir haben . Wenden wir Formel (1) (Differenz der Quadrate) an, erhalten wir . Bewirbt sich

jetzt Formeln (4) und (5) (Kubiksumme, Kubikdifferenz), wir erhalten:

Beispiel 3. .

Entscheidung. Nehmen wir zuerst den gemeinsamen Teiler aus der Klammer. Dazu finden wir den größten gemeinsamen Teiler der Koeffizienten 4, 16, 16 und die kleinsten Exponenten, mit denen die Variablen a und b in den Monomen enthalten sind, aus denen dieses Polynom besteht. Wir bekommen:

3) Gruppierungsmethode. Es basiert auf der Tatsache, dass die kommutativen und assoziativen Additionsgesetze es Ihnen ermöglichen, die Terme eines Polynoms auf verschiedene Arten zu gruppieren. Manchmal ist eine solche Gruppierung möglich, dass nach dem Einklammern der gemeinsamen Teiler in jeder Gruppe ein und dasselbe Polynom in Klammern verbleibt, das wiederum als gemeinsamer Teiler eingeklammert werden kann. Betrachten Sie Beispiele für die Faktorisierung eines Polynoms.

Beispiel 4. .

Entscheidung. Lass es uns so gruppieren:

In der ersten Gruppe nehmen wir den gemeinsamen Teiler heraus, in der zweiten Gruppe den gemeinsamen Teiler 5. Wir erhalten nun das Polynom als gemeinsamen Teiler, das wir aus der Klammer herausnehmen: Somit erhalten wir:

Beispiel 5

Entscheidung. .

Beispiel 6

Entscheidung. Hier führt keine Gruppierung zum Auftreten des gleichen Polynoms in allen Gruppen. In solchen Fällen erweist es sich manchmal als nützlich, einen beliebigen Term des Polynoms als Summe darzustellen und dann erneut zu versuchen, die Gruppierungsmethode anzuwenden. In unserem Beispiel ist es ratsam, als Summe darzustellen, die wir erhalten

Beispiel 7

Entscheidung. Wir addieren und subtrahieren das Monom, wir bekommen

55. Polynome in einer Variablen.

Ein Polynom, bei dem a, b variable Zahlen sind, wird als Polynom ersten Grades bezeichnet; ein Polynom, bei dem a, b, c variable Zahlen sind, heißt Polynom zweiten Grades oder quadratisches Trinom; ein Polynom, bei dem a, b, c, d Zahlen sind, eine Variable wird als Polynom dritten Grades bezeichnet.

Allgemein gilt, wenn o eine Variable ist, dann ein Polynom

heißt lshomogenealer Grad (in Bezug auf x); , m-Terme des Polynoms, Koeffizienten, der führende Term des Polynoms, und - der Koeffizient des führenden Terms, der freie Term des Polynoms. Normalerweise wird das Polynom in abnehmenden Potenzen der Variablen geschrieben, d. H. Die Grade der Variablen nehmen allmählich ab, insbesondere steht der ältere Begriff an erster Stelle und der freie Begriff an letzter Stelle. Der Grad eines Polynoms ist der Grad des führenden Terms.

Beispielsweise ein Polynom fünften Grades, bei dem der führende Term 1 der freie Term des Polynoms ist.

Die Wurzel eines Polynoms ist der Wert, bei dem das Polynom verschwindet. Zum Beispiel ist die Zahl 2 die Wurzel des Polynoms, weil

Wir haben gesagt, dass sowohl Standard- als auch Nicht-Standard-Polynome vorkommen. An der gleichen Stelle haben wir festgestellt, dass keine Polynom in Standardform. In diesem Artikel werden wir zunächst herausfinden, welche Bedeutung dieser Satz hat. Als nächstes listen wir die Schritte auf, mit denen Sie jedes Polynom in eine Standardform umwandeln können. Betrachten Sie abschließend Lösungen für typische Beispiele. Wir werden die Lösungen sehr detailliert beschreiben, um alle Nuancen zu behandeln, die auftreten, wenn Polynome in die Standardform gebracht werden.

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Was bedeutet es, ein Polynom in Normalform zu bringen?

Zuerst müssen Sie klar verstehen, was es bedeutet, ein Polynom in eine Standardform zu bringen. Lassen Sie uns damit umgehen.

Polynome können wie alle anderen Ausdrücke identischen Transformationen unterzogen werden. Als Ergebnis solcher Transformationen werden Ausdrücke erhalten, die identisch gleich dem ursprünglichen Ausdruck sind. Die Durchführung bestimmter Transformationen mit Polynomen einer nicht standardmäßigen Form ermöglicht es uns also, zu Polynomen überzugehen, die ihnen identisch sind, aber bereits in einer Standardform geschrieben sind. Ein solcher Übergang wird als Reduktion des Polynoms auf die Standardform bezeichnet.

So, Polynom in Normalform bringen- das bedeutet, das ursprüngliche Polynom durch ein ihm identisches Polynom der Standardform zu ersetzen, das durch identische Transformationen aus dem ursprünglichen erhalten wurde.

Wie bringt man ein Polynom in Normalform?

Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Transformationen uns helfen werden, das Polynom in eine Standardform zu bringen. Wir beginnen mit der Definition eines Polynoms der Standardform.

Per Definition ist jeder Term eines Polynoms in Standardform ein Monom in Standardform, und ein Polynom in Standardform enthält keine solchen Terme. Polynome, die in einer nicht standardmäßigen Form geschrieben sind, können wiederum aus Monomen in einer nicht standardmäßigen Form bestehen und ähnliche Terme enthalten. Dies führt logischerweise zu folgender Regel. Wie man ein Polynom in die Standardform umwandelt:

• Zuerst müssen Sie die Monome, aus denen das ursprüngliche Polynom besteht, in die Standardform bringen.
• und führen Sie dann die Reduzierung ähnlicher Elemente durch.

Als Ergebnis wird ein Polynom in Standardform erhalten, da alle seine Mitglieder in Standardform geschrieben werden und es solche Mitglieder nicht enthalten wird.

Beispiele, Lösungen

Betrachten Sie Beispiele, wie Sie Polynome in die Standardform bringen. Beim Lösen folgen wir den Schritten, die von der Regel aus dem vorherigen Absatz vorgegeben werden.

Hier stellen wir fest, dass manchmal alle Terme eines Polynoms auf einmal in Standardform geschrieben werden, in diesem Fall reicht es aus, ähnliche Terme zu verwenden. Manchmal gibt es nach dem Reduzieren der Terme eines Polynoms auf die Standardform keine ähnlichen Elemente, daher wird in diesem Fall die Phase des Reduzierens solcher Elemente weggelassen. Generell muss man beides machen.

Beispiel.

Drücken Sie Polynome in Standardform aus: 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 , 0,8+2 a 3 0,6 − b a b 4 b 5 und .

Entscheidung.

Alle Mitglieder des Polynoms 5 x 2 y+2 y 3 − x y+1 sind in der Standardform geschrieben, es hat keine solchen Mitglieder, daher ist dieses Polynom bereits in der Standardform dargestellt.

Kommen wir zum nächsten Polynom 0,8+2 a 3 0,6 − b a b 4 b 5. Seine Form ist nicht standardisiert, wie durch die Terme 2·a 3 ·0.6 und −b·a·b 4 ·b 5 der Nicht-Standardform belegt wird. Stellen wir es in der Standardform dar.

In der ersten Stufe, um das ursprüngliche Polynom in die Standardform zu bringen, müssen wir alle seine Mitglieder in der Standardform darstellen. Daher reduzieren wir das Monom 2 a 3 0.6 auf die Standardform, wir haben 2 a 3 0.6=1.2 a 3 , danach haben wir das Monom −b a b 4 b 5 -b ein b 4 b 5 = -a b 1+4+5 = -a b 10. Auf diese Weise, . Im resultierenden Polynom sind alle Terme in Standardform geschrieben; außerdem ist es offensichtlich, dass es solche Terme nicht hat. Damit ist die Reduktion des ursprünglichen Polynoms auf die Standardform abgeschlossen.

Es bleibt, das letzte der gegebenen Polynome in der Standardform darzustellen. Nachdem alle seine Mitglieder in die Standardform gebracht wurden, wird es geschrieben als . Es hat ähnliche Mitglieder, also müssen Sie ähnliche Mitglieder besetzen:

Das ursprüngliche Polynom nahm also die Standardform −x y+1 an.

Antworten:

5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 – bereits in der Standardform, 0,8+2 a 3 0,6 − b a b 4 b 5 = 0,8 + 1,2 a 3 − a b 10, .

Oft ist die Überführung eines Polynoms in eine Standardform nur ein Zwischenschritt zur Beantwortung der Problemstellung. Zum Beispiel beinhaltet das Finden des Grades eines Polynoms seine vorläufige Darstellung in einer Standardform.

Beispiel.

Polynom bringen zur Standardform, geben Sie ihren Grad an und ordnen Sie die Terme in absteigenden Potenzen der Variablen an.

Entscheidung.

Zuerst bringen wir alle Terme des Polynoms in die Standardform: .

Jetzt geben wir ähnliche Mitglieder:

Also haben wir das ursprüngliche Polynom in die Standardform gebracht, dies ermöglicht uns, den Grad des Polynoms zu bestimmen, der gleich dem größten Grad der darin enthaltenen Monome ist. Offensichtlich ist es 5.

Es bleibt, die Terme des Polynoms in abnehmenden Potenzen der Variablen anzuordnen. Dazu müssen lediglich die Terme im resultierenden Polynom der Standardform unter Berücksichtigung der Vorgabe umgestellt werden. Der Term z 5 hat den höchsten Grad, die Grade der Terme , −0,5·z 2 und 11 sind gleich 3 , 2 bzw. 0 . Daher hat ein Polynom mit Termen, die in abnehmenden Potenzen der Variablen angeordnet sind, die Form .

Antworten:

Der Grad des Polynoms ist 5, und nach der Anordnung seiner Terme in abnehmenden Potenzen der Variablen nimmt es die Form an .

Referenzliste.

• Algebra: Lehrbuch für 7 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 17. Aufl. - M. : Bildung, 2008. - 240 S. : krank. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkowitsch A. G. Algebra. 7. Klasse. Um 14 Uhr Teil 1. Ein Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich. - 17. Aufl., erg. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 S.: mit Abb. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Algebra und der Beginn der mathematischen Analyse. Klasse 10: Lehrbuch. für Allgemeinbildung Institutionen: Basis und Profil. Ebenen / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Zhizhchenko. - 3. Aufl. - M.: Aufklärung, 2010.- 368 S. : krank. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematik (ein Handbuch für Bewerber an technischen Schulen): Proc. Zulage.- M.; Höher Schule, 1984.-351 S., mit Abb.

SZLP- ein lineares Programmierproblem der Form ax ≥ b oder ax ≤ b . wobei a die Koeffizientenmatrix ist, b der Beschränkungsvektor ist.
Das mathematische Modell des ZLP wird als Standard bezeichnet, wenn die Beschränkungen darin in Form von linearen Ungleichungen dargestellt werden und die Zielfunktion minimiert oder maximiert wird.

Dienstzuweisung. Der Online-Rechner wurde entwickelt, um QZLP in SZLP umzuwandeln, indem die Matrix a in die Identitätsmatrix umgewandelt wird. Es stehen zwei Standardformen zur Verfügung:

1. Erste Standardform ax ≥ b , F(X) → min.
2. Zweite Standardform ax ≤ b , F(X) → max.

Anweisung. Wählen Sie die Anzahl der Variablen und die Anzahl der Zeilen (Anzahl der Einschränkungen). Die resultierende Lösung wird in einer Word-Datei gespeichert.

Wie man ein kanonisches lineares Programmierproblem in die Standardform bringt
In kanonische Form umwandeln

Beispiel. Das Hauptproblem der linearen Programmierung ist gegeben. Bringen Sie das Problem mit elementaren Transformationen der Koeffizientenmatrix des Constraint-Systems in eine Standardform und lösen Sie es mit einer geometrischen Methode oder beweisen Sie, dass es keinen optimalen Plan hat.

Erweiterte Matrix des Systems der Nebenbedingungen-Gleichungen dieses Problems:

1 6 -1 -1 -1 2 5 -12 -1 2 0 -4 3 -1 -2 0 -1 -7

Wir wollen das System mit der Methode der jordanischen Transformationen auf die Identitätsmatrix zurückführen.
1. Wir wählen x 1 als Basisvariable.
Zulässiges Element RE=1.
Die der Variablen x 1 entsprechende Linie wird erhalten, indem alle Elemente der Linie x 1 durch das auflösende Element RE = 1 dividiert werden

In die restlichen Zellen der Spalte x 1 schreiben wir Nullen.

Wählen Sie dazu aus dem alten Plan vier Zahlen aus, die sich an den Eckpunkten des Rechtecks ​​befinden und immer das aktivierende Element des RE beinhalten.
NO \u003d SE - (A * B) / RE
STE - Element des alten Plans, RE - Auflösungselement (1), A und B - Elemente des alten Plans, die ein Rechteck mit Elementen von STE und RE bilden.

1: 1	6: 1	-1: 1	-1: 1	-1: 1	2: 1
5-(1 5):1	-12-(6 5):1	-1-(-1 5):1	2-(-1 5):1	0-(-1 5):1	-4-(2 5):1
3-(1 3):1	-1-(6 3):1	-2-(-1 3):1	0-(-1 3):1	-1-(-1 3):1	-7-(2 3):1

2. Wir wählen x 2 als Basisvariable.
Zulässiges Element RE=-42.
Die der Variablen x 2 entsprechende Gerade erhält man durch Division aller Elemente der Geraden x 2 durch das Auflösungselement RE=-42
Anstelle des aktivierenden Elements erhalten wir 1.
In die restlichen Zellen der Spalte x 2 schreiben wir Nullen.
Alle anderen Elemente werden durch die Rechteckregel bestimmt.
Lassen Sie uns die Berechnung jedes Elements in Form einer Tabelle darstellen:

1-(0 6):-42	6-(-42 6):-42	-1-(4 6):-42	-1-(7 6):-42	-1-(5 6):-42	2-(-14 6):-42
0: -42	-42: -42	4: -42	7: -42	5: -42	-14: -42
0-(0 -19):-42	-19-(-42 -19):-42	1-(4 -19):-42	3-(7 -19):-42	2-(5 -19):-42	-13-(-14 -19):-42

Wir erhalten eine neue Matrix:

1	0	-3 / 7	0	-2 / 7	0
0	1	-2 / 21	-1 / 6	-5 / 42	1 / 3
0	0	-17 / 21	-1 / 6	-11 / 42	-20 / 3

3. Wir wählen x 3 als Basisvariable.
Zulässiges Element RE= -17/21.
Die der Variablen x 3 entsprechende Gerade erhält man, indem man alle Elemente der Geraden x 3 durch das auflösende Element RE= -17 / 21 dividiert
Anstelle des aktivierenden Elements erhalten wir 1.
In die restlichen Zellen der Spalte x 3 schreiben wir Nullen.
Alle anderen Elemente werden durch die Rechteckregel bestimmt.
Lassen Sie uns die Berechnung jedes Elements in Form einer Tabelle darstellen:

1-(0 -3 / 7): -17 / 21	0-(0 -3 / 7): -17 / 21	-3 / 7 -(-17 / 21 -3 / 7): -17 / 21	0-(-1 / 6 -3 / 7): -17 / 21	-2 / 7 -(-11 / 42 -3 / 7): -17 / 21	0-(-6 2 / 3 -3 / 7): -17 / 21
0-(0 -2 / 21): -17 / 21	1-(0 -2 / 21): -17 / 21	-2 / 21 -(-17 / 21 -2 / 21): -17 / 21	-1 / 6 -(-1 / 6 -2 / 21): -17 / 21	-5 / 42 -(-11 / 42 -2 / 21): -17 / 21	1 / 3 -(-6 2 / 3 -2 / 21): -17 / 21
0: -17 / 21	0: -17 / 21	-17 / 21: -17 / 21	-1 / 6: -17 / 21	-11 / 42: -17 / 21	-6 2 / 3: -17 / 21

Wir erhalten eine neue Matrix:

1	0	0	3 / 34	-5 / 34	60 / 17
0	1	0	-5 / 34	-3 / 34	19 / 17
0	0	1	7 / 34	11 / 34	140 / 17

Da das System eine Identitätsmatrix hat, nehmen wir X = (1,2,3) als Basisvariablen.
Die entsprechenden Gleichungen lauten:
x 1 + 3 / 34 x 4 - 5 / 34 x 5 = 3 9 / 17
x 2 - 5 / 34 x 4 - 3 / 34 x 5 = 1 2 / 17
x 3 + 7 / 34 x 4 + 11 / 34 x 5 = 8 4 / 17
Wir drücken die Grundvariablen durch den Rest aus:
x 1 = - 3 / 34 x 4 + 5 / 34 x 5 +3 9 / 17
x 2 = 5 / 34 x 4 + 3 / 34 x 5 + 1 2 / 17
x 3 \u003d - 7 / 34 x 4 - 11 / 34 x 5 +8 4 / 17
Setzen Sie sie in die Zielfunktion ein:
F(X) = - 3(- 3 / 34 x 4 + 5 / 34 x 5 +3 9 / 17) + 13(5 / 34 x 4 + 3 / 34 x 5 +1 2 / 17) + (- 7 / 34 x 4 - 11 / 34 x 5 +8 4 / 17) - 2x 4
oder

System der Ungleichungen:
- 3 / 34 x 4 + 5 / 34 x 5 +3 9 / 17 ≥ 0
5 / 34 x 4 + 3 / 34 x 5 +1 2 / 17 ≥ 0
- 7 / 34 x 4 - 11 / 34 x 5 +8 4 / 17 ≥ 0
Wir bringen das Ungleichungssystem auf folgende Form:
3 / 34 x 4 - 5 / 34 x 5 ≤ 3 9 / 17
- 5 / 34 x 4 - 3 / 34 x 5 ≤ 1 2 / 17
7 / 34 x 4 + 11 / 34 x 5 ≤ 8 4 / 17
F(X) = - 1 / 34 x 4 + 13 / 34 x 5 +12 3 / 17 → max
Vereinfachen wir das System.
3x 1 - 5x 2 ≤ 120
- 5x 1 - 3x 2 ≤ 38
7x1 + 11x2 ≤ 280
F(X) = - x 1 + 13x 2 +414 → max