Exponentialfunktion ist eine Verallgemeinerung des Produkts von n Zahlen gleich a :
j (n) = ein n = ein ein ein ein,
zur Menge der reellen Zahlen x :
j (x) = x.
Hier ist a eine feste reelle Zahl, die aufgerufen wird die Basis der Exponentialfunktion.
Eine Exponentialfunktion mit Basis a wird auch genannt Exponential zur Basis a.

Die Verallgemeinerung wird wie folgt durchgeführt.
Für natürliches x = 1, 2, 3,... , ist die Exponentialfunktion das Produkt von x Faktoren:
.
Außerdem hat es die Eigenschaften (1,5-8) (), die sich aus den Regeln zum Multiplizieren von Zahlen ergeben. Bei Null und negativen Werten von ganzen Zahlen wird die Exponentialfunktion durch Formeln (1.9-10) bestimmt. Für Bruchwerte x = m/n rationaler Zahlen, wird sie durch Formel (1.11) bestimmt. Für real ist die Exponentialfunktion als Grenzwert der Folge definiert:
,
wobei eine beliebige Folge von rationalen Zahlen ist, die gegen x : .
Mit dieser Definition ist die Exponentialfunktion für alle definiert und erfüllt die Eigenschaften (1,5-8) ebenso wie für natürliches x .

Eine streng mathematische Formulierung der Definition einer Exponentialfunktion und ein Beweis ihrer Eigenschaften findet sich auf der Seite "Definition und Beweis der Eigenschaften einer Exponentialfunktion".

Eigenschaften der Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion y = a x hat auf der Menge der reellen Zahlen () folgende Eigenschaften:
(1.1) ist definiert und stetig, für , für alle ;
(1.2) wenn ein ≠ 1 hat viele Bedeutungen;
(1.3) streng erhöht um , streng verringert um ,
ist konstant bei ;
(1.4) beim ;
beim ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Andere nützliche Formeln
.
Die Formel zur Umrechnung in eine Exponentialfunktion mit anderer Potenzbasis:

Für b = e erhalten wir den Ausdruck der Exponentialfunktion in Bezug auf den Exponenten:

Private Werte

, , , , .

Die Abbildung zeigt Graphen der Exponentialfunktion
j (x) = x
für vier Werte Studiengrundlagen:a= 2 , ein = 8 , ein = 1/2 und ein = 1/8 . Es ist ersichtlich, dass für ein > 1 Exponentialfunktion ist monoton steigend. Je größer die Basis des Grades a, desto stärker das Wachstum. Beim 0 < a < 1 Exponentialfunktion ist monoton fallend. Je kleiner der Exponent a, desto stärker die Abnahme.

Aufsteigend absteigend

Die Exponentialfunktion at ist streng monoton, hat also keine Extrema. Seine Haupteigenschaften sind in der Tabelle dargestellt.

	y = ein x , ein > 1	y = x, 0 < a < 1
Domain	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Wertebereich	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monoton	steigt monoton an	nimmt monoton ab
Nullen, y= 0	Nein	Nein
Schnittpunkte mit der y-Achse, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Umkehrfunktion

Der Kehrwert einer Exponentialfunktion mit einer Basis vom Grad a ist der Logarithmus zur Basis a.

Wenn, dann
.
Wenn, dann
.

Differenzierung der Exponentialfunktion

Um eine Exponentialfunktion zu differenzieren, muss ihre Basis auf die Zahl e reduziert werden, die Ableitungstabelle und die Regel zur Differenzierung einer komplexen Funktion angewendet werden.

Dazu müssen Sie die Eigenschaft von Logarithmen verwenden
und die Formel aus der Ableitungstabelle:
.

Gegeben sei eine Exponentialfunktion:
.
Wir bringen es auf die Basis e:

Wir wenden die Ableitungsregel einer komplexen Funktion an. Dazu führen wir eine Variable ein

Dann

Aus der Ableitungstabelle haben wir (ersetzen Sie die Variable x durch z ):
.
Da ist eine Konstante, ist die Ableitung von z in Bezug auf x
.
Nach der Ableitungsregel einer komplexen Funktion:
.

Ableitung der Exponentialfunktion

.
Ableitung n-ter Ordnung:
.
Ableitung von Formeln > > >

Ein Beispiel für die Differenzierung einer Exponentialfunktion

Finden Sie die Ableitung einer Funktion
y= 35x

Entscheidung

Wir drücken die Basis der Exponentialfunktion durch die Zahl e aus.
3 = elog 3
Dann
.
Wir führen eine Variable ein
.
Dann

Aus der Ableitungstabelle finden wir:
.
Soweit 5ln 3 eine Konstante ist, dann ist die Ableitung von z nach x:
.
Nach der Ableitungsregel einer komplexen Funktion gilt:
.

Antworten

Integral

Ausdrücke in Bezug auf komplexe Zahlen

Betrachten Sie die komplexe Zahlenfunktion z:
f (z) = az
wo z = x + iy ; ich 2 = - 1 .
Wir drücken die komplexe Konstante a durch den Modul r und das Argument φ aus:
a = r e ich φ
Dann


.
Das Argument φ ist nicht eindeutig definiert. Im Allgemeinen
φ = φ 0 + 2 pn,
wobei n eine ganze Zahl ist. Daher ist die Funktion f (z) ist auch mehrdeutig. Wird oft als seine Hauptbedeutung angesehen
.

Erweiterung in Serie

.

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten höherer Bildungseinrichtungen, Lan, 2009.

Hypothese: Wenn Sie die Bewegung des Graphen während der Bildung der Funktionsgleichung untersuchen, werden Sie feststellen, dass alle Graphen gemeinsamen Gesetzen gehorchen, daher können Sie unabhängig von den Funktionen allgemeine Gesetze formulieren, die nicht nur die Konstruktion von Graphen erleichtern verschiedener Funktionen, sondern nutzen sie auch zur Lösung von Problemen.

Zweck: Untersuchung der Bewegung von Funktionsgraphen:

1) Die Aufgabe, Literatur zu studieren

2) Lernen Sie, Graphen verschiedener Funktionen zu erstellen

3) Lernen Sie, Graphen linearer Funktionen umzuwandeln

4) Betrachten Sie die Verwendung von Graphen beim Lösen von Problemen

Untersuchungsgegenstand: Funktionsgraphen

Forschungsgegenstand: Bewegungen von Funktionsgraphen

Relevanz: Die Konstruktion von Funktionsgraphen nimmt in der Regel viel Zeit in Anspruch und erfordert die Aufmerksamkeit des Schülers, aber wenn Sie die Regeln für die Transformation von Funktionsgraphen und Graphen von Grundfunktionen kennen, können Sie schnell und einfach Funktionsgraphen erstellen, was dies ermöglicht Sie müssen nicht nur Aufgaben zum Zeichnen von Funktionsgraphen erledigen, sondern auch damit zusammenhängende Probleme lösen (um das Maximum zu finden (minimale Höhe von Zeit und Treffpunkt))

Dieses Projekt ist für alle Schüler der Schule nützlich.

Literaturische Rezension:

In der Literatur werden Möglichkeiten zur Konstruktion eines Graphen verschiedener Funktionen sowie Beispiele für die Transformation von Graphen dieser Funktionen diskutiert. Graphen fast aller Hauptfunktionen werden in verschiedenen technischen Prozessen verwendet, was es ermöglicht, den Ablauf des Prozesses übersichtlicher darzustellen und das Ergebnis zu programmieren

Dauerhafte Funktion. Diese Funktion wird durch die Formel y = b angegeben, wobei b eine Zahl ist. Der Graph einer konstanten Funktion ist eine Gerade, die parallel zur x-Achse verläuft und durch den Punkt (0; b) auf der y-Achse verläuft. Der Graph der Funktion y \u003d 0 ist die Abszissenachse.

Funktionsarten 1Direkte Proportionalität. Diese Funktion wird durch die Formel y \u003d kx angegeben, wobei der Proportionalitätskoeffizient k ≠ 0 ist. Der direkte Proportionalitätsgraph ist eine gerade Linie, die durch den Ursprung verläuft.

Lineare Funktion. Eine solche Funktion ist durch die Formel y = kx + b gegeben, wobei k und b reelle Zahlen sind. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

Lineare Funktionsgraphen können sich schneiden oder parallel sein.

Die Linien der Graphen der linearen Funktionen y \u003d k 1 x + b 1 und y \u003d k 2 x + b 2 schneiden sich also, wenn k 1 ≠ k 2; wenn k 1 = k 2 , dann sind die Geraden parallel.

2 Inverse Proportionalität ist eine Funktion, die durch die Formel y \u003d k / x gegeben ist, wobei k ≠ 0 ist. K wird als inverser Proportionalitätskoeffizient bezeichnet. Der umgekehrte Proportionalitätsgraph ist eine Hyperbel.

Die Funktion y \u003d x 2 wird durch einen Graphen dargestellt, der als Parabel bezeichnet wird: im Intervall [-~; 0] ist die Funktion abnehmend, auf dem Intervall nimmt die Funktion zu.

Die Funktion y \u003d x 3 nimmt entlang der gesamten Zahlenlinie zu und wird grafisch durch eine kubische Parabel dargestellt.

Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten. Diese Funktion wird durch die Formel y \u003d x n angegeben, wobei n eine natürliche Zahl ist. Graphen einer Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten hängen von n ab. Wenn zum Beispiel n = 1, dann ist der Graph eine gerade Linie (y = x), wenn n = 2, dann ist der Graph eine Parabel usw.

Eine Potenzfunktion mit einem negativen ganzzahligen Exponenten wird durch die Formel y \u003d x -n dargestellt, wobei n eine natürliche Zahl ist. Diese Funktion ist für alle x ≠ 0 definiert. Der Graph der Funktion hängt auch vom Exponenten n ab.

Potenzfunktion mit positivem Bruchexponent. Diese Funktion wird durch die Formel y \u003d x r dargestellt, wobei r ein positiver irreduzibler Bruch ist. Auch diese Funktion ist weder gerade noch ungerade.

Diagrammlinie, die die Beziehung zwischen abhängigen und unabhängigen Variablen auf der Koordinatenebene anzeigt. Der Graph dient der visuellen Darstellung dieser Elemente.

Eine unabhängige Variable ist eine Variable, die im Rahmen der Funktionen beliebige Werte annehmen kann (wobei die gegebene Funktion sinnvoll ist (nicht durch Null teilbar))

Um einen Funktionsgraphen zu zeichnen,

1) Finden Sie ODZ (Bereich akzeptabler Werte)

2) Nehmen Sie einige willkürliche Werte für die unabhängige Variable

3) Finden Sie den Wert der abhängigen Variablen

4) Erstellen Sie eine Koordinatenebene, markieren Sie diese Punkte darauf

5) Verbinden Sie ggf. ihre Linien, untersuchen Sie den resultierenden Graphen Transformation von Graphen elementarer Funktionen.

Diagrammkonvertierung

In ihrer reinen Form sind die elementaren Grundfunktionen leider nicht so verbreitet. Viel häufiger hat man es mit elementaren Funktionen zu tun, die man aus elementaren Grundfunktionen durch Addition von Konstanten und Koeffizienten erhält. Graphen solcher Funktionen können aufgebaut werden, indem man geometrische Transformationen auf die Graphen der entsprechenden elementaren Grundfunktionen anwendet (oder indem man zu einem neuen Koordinatensystem wechselt). Beispielsweise ist eine quadratische Funktionsformel eine quadratische Parabelformel, dreifach gestaucht relativ zur Ordinatenachse, symmetrisch zur Abszissenachse dargestellt, gegen die Richtung dieser Achse um 2/3 Einheiten verschoben und entlang der Richtung der Ordinatenachse verschoben Achse um 2 Einheiten.

Lassen Sie uns diese geometrischen Transformationen eines Funktionsgraphen Schritt für Schritt anhand konkreter Beispiele verstehen.

Mit Hilfe geometrischer Transformationen des Graphen der Funktion f (x) kann ein Graph einer beliebigen Funktion der Formformel konstruiert werden, wobei die Formel die Kompressions- oder Expansionskoeffizienten entlang der oy- bzw. ox-Achsen sind, das Minus Zeichen vor den Koeffizienten formula und formula zeigen eine symmetrische Darstellung des Graphen relativ zu den Koordinatenachsen an, a und b definieren die Verschiebung relativ zu den Abszissen- bzw. Ordinatenachsen.

Somit gibt es drei Arten von geometrischen Transformationen des Funktionsgraphen:

Der erste Typ ist die Skalierung (Komprimierung oder Expansion) entlang der Abszissen- und Ordinatenachse.

Die Notwendigkeit der Skalierung wird durch andere Formelkoeffizienten als eins angezeigt. Wenn die Zahl kleiner als 1 ist, wird der Graph relativ zu oy gestaucht und relativ zu ox gestreckt. Wenn die Zahl größer als 1 ist, wird entlang der Ordinatenachse gestreckt und entlang der Abszissenachse schrumpfen.

Der zweite Typ ist eine symmetrische (Spiegel-)Anzeige in Bezug auf die Koordinatenachsen.

Die Notwendigkeit dieser Transformation wird durch die Minuszeichen vor den Koeffizienten der Formel (in diesem Fall stellen wir den Graphen symmetrisch zur Ochsenachse dar) und der Formel (in diesem Fall stellen wir den Graphen symmetrisch mit dar) angezeigt bezogen auf die y-Achse). Wenn kein Minuszeichen vorhanden ist, wird dieser Schritt übersprungen.

Transformation von Funktionsgraphen

In diesem Artikel stelle ich Ihnen lineare Transformationen von Funktionsgraphen vor und zeige Ihnen, wie Sie diese Transformationen verwenden, um aus einem Funktionsgraphen einen Funktionsgraphen zu erhalten.

Eine lineare Transformation einer Funktion ist eine Transformation der Funktion selbst und/oder ihres Arguments in die Form , sowie eine Transformation, die das Modul des Arguments und/oder Funktionen enthält.

Die folgenden Aktionen verursachen die größten Schwierigkeiten beim Zeichnen von Diagrammen mit linearen Transformationen:

1. Die Isolation der Basisfunktion, in der Tat, deren Graphen wir transformieren.
2. Definitionen der Reihenfolge der Transformationen.

Und Auf diese Punkte werden wir näher eingehen.

Schauen wir uns die Funktion genauer an

Es basiert auf einer Funktion. Rufen wir sie an Grundfunktion.

Beim Plotten einer Funktion Wir machen Transformationen des Graphen der Basisfunktion .

Wenn wir die Funktion transformieren würden in der gleichen Reihenfolge, in der sein Wert für einen bestimmten Wert des Arguments gefunden wurde, dann

Betrachten wir, welche Arten von linearen Argument- und Funktionstransformationen existieren und wie sie ausgeführt werden.

Argumenttransformationen.

1. f(x) f(x+b)

1. Wir bauen einen Graphen einer Funktion

2. Wir verschieben den Graphen der Funktion entlang der OX-Achse um |b| Einheiten

• links, wenn b>0
• richtig, wenn b<0

Zeichnen wir die Funktion

1. Wir zeichnen die Funktion

2. Verschieben Sie es um 2 Einheiten nach rechts:

2. f(x) f(kx)

1. Wir bauen einen Graphen einer Funktion

2. Teilen Sie die Abszissen der Diagrammpunkte durch k, lassen Sie die Ordinaten der Punkte unverändert.

Zeichnen wir die Funktion.

1. Wir zeichnen die Funktion

2. Teilen Sie alle Abszissen der Diagrammpunkte durch 2, lassen Sie die Ordinaten unverändert:

3. f(x) f(-x)

1. Wir bauen einen Graphen einer Funktion

2. Wir zeigen es symmetrisch um die OY-Achse an.

Zeichnen wir die Funktion.

1. Wir zeichnen die Funktion

2. Wir stellen es symmetrisch um die OY-Achse dar:

4. f(x) f(|x|)

1. Wir zeichnen die Funktion

2. Wir löschen den Teil des Diagramms, der sich links von der OY-Achse befindet, den Teil des Diagramms, der sich rechts von der OY-Achse befindet. Wir vervollständigen es symmetrisch um die OY-Achse:

Der Graph der Funktion sieht so aus:

Zeichnen wir die Funktion

1. Wir bauen einen Funktionsgraphen (dies ist ein Funktionsgraph, der entlang der OX-Achse um 2 Einheiten nach links verschoben ist):

2. Teil des Diagramms links vom OY (x<0) стираем:

3. Der rechts von der OY-Achse liegende Teil des Graphen (x>0) wird symmetrisch zur OY-Achse ausgefüllt:

Wichtig! Die beiden Hauptregeln für die Argumentumwandlung.

1. Alle Argumenttransformationen werden entlang der OX-Achse durchgeführt

2. Alle Transformationen des Arguments werden "umgekehrt" und "in umgekehrter Reihenfolge" durchgeführt.

In einer Funktion ist die Reihenfolge der Argumenttransformationen beispielsweise wie folgt:

1. Wir nehmen den Modul von x.

2. Addiere die Zahl 2 zum Modulo x.

Aber wir haben das Plotten in umgekehrter Reihenfolge gemacht:

Zuerst haben wir die Transformation 2 durchgeführt. - den Graphen um 2 Einheiten nach links verschoben (dh die Abszissen der Punkte wurden um 2 reduziert, als ob "umgekehrt")

Dann haben wir die Transformation f(x) f(|x|) durchgeführt.

Kurz gesagt, die Abfolge der Transformationen wird wie folgt geschrieben:

Jetzt reden wir darüber Funktionstransformation . Transformationen werden vorgenommen

1. Entlang der OY-Achse.

2. In der gleichen Reihenfolge, in der die Aktionen ausgeführt werden.

Dies sind die Transformationen:

1. f(x)f(x)+D

2. Verschieben Sie es entlang der OY-Achse um |D| Einheiten

• aufwärts, wenn D>0
• unten, wenn D<0

Zeichnen wir die Funktion

1. Wir zeichnen die Funktion

2. Bewegen Sie es entlang der OY-Achse um 2 Einheiten nach oben:

2. f(x)Af(x)

1. Wir zeichnen die Funktion y=f(x)

2. Wir multiplizieren die Ordinaten aller Punkte des Diagramms mit A, wir lassen die Abszissen unverändert.

Zeichnen wir die Funktion

1. Stellen Sie die Funktion graphisch dar

2. Wir multiplizieren die Ordinaten aller Punkte des Graphen mit 2:

3.f(x)-f(x)

1. Wir zeichnen die Funktion y=f(x)

Zeichnen wir die Funktion.

1. Wir bauen einen Funktionsgraphen.

2. Wir stellen es symmetrisch um die OX-Achse dar.

4. f(x)|f(x)|

1. Wir zeichnen die Funktion y=f(x)

2. Der oberhalb der OX-Achse liegende Teil des Graphen bleibt unverändert, der unterhalb der OX-Achse liegende Teil des Graphen wird symmetrisch um diese Achse dargestellt.

Zeichnen wir die Funktion

1. Wir bauen einen Funktionsgraphen. Sie wird erhalten, indem der Graph der Funktion entlang der OY-Achse um 2 Einheiten nach unten verschoben wird:

2. Nun wird der Teil des Diagramms unterhalb der OX-Achse symmetrisch zu dieser Achse dargestellt:

Und die letzte Transformation, die streng genommen nicht als Funktionstransformation bezeichnet werden kann, da das Ergebnis dieser Transformation keine Funktion mehr ist:

|y|=f(x)

1. Wir zeichnen die Funktion y=f(x)

2. Wir löschen den Teil des Diagramms, der sich unterhalb der OX-Achse befindet, und vervollständigen dann den Teil des Diagramms, der sich oberhalb der OX-Achse befindet, symmetrisch um diese Achse.

Lassen Sie uns einen Graphen der Gleichung erstellen

1. Wir bauen einen Funktionsgraphen:

2. Wir löschen den Teil des Diagramms, der sich unterhalb der OX-Achse befindet:

3. Der über der OX-Achse liegende Teil des Graphen wird symmetrisch um diese Achse vervollständigt.

Und schließlich schlage ich vor, dass Sie sich die VIDEOLEKTION ansehen, in der ich Schritt für Schritt einen Algorithmus zum Zeichnen eines Funktionsgraphen zeige

Der Graph dieser Funktion sieht so aus:

Welche dieser Funktionen haben eine Umkehrung? Finden Sie für solche Funktionen Umkehrfunktionen:

4.12. a)	y=x;					b) y = 6 −3x;
d) y =						e) y \u003d 2 x 3 +5;
4.13. a)	y = 4x − 5 ;						y \u003d 9 - 2 x - x 2;
	y = Zeichen x ;						y=1 + lg(x + 2) ;

	y = 2 x 2 +1 ;
			x − 2
						bei x< 0
c) j =		−x
						für x ≥ 0

Finden Sie heraus, welche dieser Funktionen monoton, welche streng monoton und welche beschränkt sind:

4.14. a)

f (x) = c, c R ;

b) f (x) \u003d cos 2 x;

c) f (x) \u003d Lichtbogen x;

d) f (x) \u003d e 2 x;

e) f (x) \u003d -x 2 + 2 x;

e) f(x) =

2x+5

y = ctg7 x .

4.15. a)

f(x) = 3−x

b) f(x) =

f(x)=

x + 3

x+6

x< 0,

3x+5

d) f (x) \u003d 3 x 3 - x;

− 10 um

f(x)=

e) f(x) =

x 2 bei

x ≥ 0;

x+1

f(x) = tg(sinx).

4.2. elementare Funktionen. Transformation von Funktionsgraphen

Erinnern Sie sich, dass der Graph der Funktion f (x) im rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem Oxy die Menge aller Punkte in der Ebene mit den Koordinaten (x, f (x)) ist.

Oft kann der Graph der Funktion y \u003d f (x) mithilfe von Transformationen (Verschieben, Dehnen) des Graphen einer bereits bekannten Funktion erstellt werden.

Insbesondere wird aus dem Graphen der Funktion y \u003d f (x) der Graph der Funktion erhalten:

1) y \u003d f (x) + a - Verschiebung entlang der Oy-Achse um a-Einheiten (nach oben, wenn a > 0, und nach unten, wenn a< 0 ;

2) y \u003d f (x − b) - Verschiebung entlang der Ox-Achse um b Einheiten (nach rechts, wenn b > 0,

und nach links, wenn b< 0 ;

3) y \u003d kf (x) - durch k-faches Strecken entlang der Oy-Achse;

4) y \u003d f (mx) - Komprimierung entlang der Ox-Achse um m-mal;

5) y \u003d - f (x) - symmetrische Reflexion um die Achse Ox;

6) y \u003d f (–x) - symmetrische Reflexion um die Achse Oy;

7) y \u003d f (x), wie folgt: der Teil des Diagramms befindet sich nicht

unterhalb der Ox-Achse, bleibt unverändert, und der „untere“ Teil des Diagramms wird symmetrisch um die Ox-Achse gespiegelt;

8) y = f (x ) , wie folgt: die rechte Seite des Graphen (für x ≥ 0 )

bleibt unverändert, und statt "links" wird eine symmetrische Spiegelung von "rechts" um die Achse Oy herum aufgebaut.

Die wichtigsten elementaren Funktionen heißen:

1) konstante Funktion y = c;

2) Potenzfunktion y = x α , α R ;

3) Exponentialfunktion y \u003d a x, a ≠ 0, a ≠ 1;

4) logarithmisch Funktion y = log a x , a > 0, a ≠ 1 ;

5) trigonometrisch Funktionen y = sin x , y = cos x , y = tg x ,

y = ctg x , y = sec x (wobei sec x = cos 1 x ), y = cosec x (wobei cosec x = sin 1 x );

6) inverse trigonometrische Funktionen y \u003d arcsin x, y \u003d arccos x, y \u003d arctg x, y \u003d arcctg x.

elementare Funktionen aufgerufene Funktionen, die aus den elementaren Grundfunktionen mit Hilfe einer endlichen Anzahl von arithmetischen Operationen (+, − , ÷) und Zusammensetzungen (d. h. die Bildung komplexer Funktionen f g ) erhalten werden.

Beispiel 4.6. Zeichnen Sie eine Funktion

1) y \u003d x 2 + 6 x + 7; 2) y = −2sin 4 x .

Lösung: 1) Durch Hervorheben des vollen Quadrats wird die Funktion in die Form y = (x +3) 2 − 2 umgewandelt, sodass der Graph dieser Funktion aus dem Graphen der Funktion y = x 2 erhalten werden kann. Es reicht aus, zuerst die Parabel y \u003d x 2 drei Einheiten nach links zu verschieben (wir erhalten den Graphen der Funktion y \u003d (x +3) 2) und dann zwei Einheiten nach unten (Abb. 4.1);

	Standard	sinusförmig						y = Sünde x	viermal entlang der Achse		Ochse,
wir erhalten den Graphen der Funktion y \u003d sin 4 x (Abb. 4.2).
										y=sin4x
										y=sünde x

Wenn wir den resultierenden Graphen zweimal entlang der Oy-Achse strecken, erhalten wir den Graphen der Funktion y \u003d 2sin 4 x (Abb. 4.3). Es bleibt, den letzten Graphen relativ zur Ox-Achse zu reflektieren. Das Ergebnis ist der gewünschte Graph (siehe Abb. 4.3).

						y=2sin4x

y=–2sin4x

Aufgaben zur selbstständigen Lösung

Konstruieren Sie Graphen der folgenden Funktionen, basierend auf den Graphen der wichtigsten elementaren Funktionen:

4.16. a) y \u003d x 2 -6 x +11;

4.17. a) y = −2sin(x −π ) ;

4.18. a) y = − 4 x −1 ;

4.19. a) y = log 2 (−x ) ;

4.20. a) y = x +5 ;

4.21. a) y \u003d tgx;

4.22. a) y = Vorzeichen x ;

4.23. a) y = x x + + 4 2 ;

y = 3 - 2 x - x 2 .

y = 2 cos 2 x .

Abhängig von den Bedingungen des Ablaufs physikalischer Prozesse nehmen einige Größen konstante Werte an und werden als Konstanten bezeichnet, andere ändern sich unter bestimmten Bedingungen und werden als Variablen bezeichnet.

Eine sorgfältige Untersuchung der Umgebung zeigt, dass physikalische Größen voneinander abhängig sind, dh eine Änderung einiger Größen zieht eine Änderung anderer nach sich.

Die mathematische Analyse untersucht die quantitativen Beziehungen sich gegenseitig verändernder Größen und abstrahiert von der spezifischen physikalischen Bedeutung. Eines der grundlegenden Konzepte der mathematischen Analyse ist das Konzept einer Funktion.

Betrachten Sie die Elemente der Menge und die Elemente der Menge
(Abb. 3.1).

Wenn eine gewisse Korrespondenz zwischen den Elementen der Mengen hergestellt wird
und als Regel , dann stellen wir fest, dass die Funktion definiert ist
.

Definition 3.1. Konformität , die jedem Element zugeordnet ist keine leere Menge
ein wohldefiniertes Element keine leere Menge , wird als Funktion oder Abbildung bezeichnet
in .

Symbolisch darstellen
in wird wie folgt geschrieben:

.

Gleichzeitig viele
heißt Definitionsbereich der Funktion und wird bezeichnet
.

Im Gegenzug viele heißt Bereich der Funktion und wird bezeichnet
.

Außerdem ist zu beachten, dass die Elemente des Satzes
heißen unabhängige Variablen, die Elemente der Menge werden als abhängige Variablen bezeichnet.

Möglichkeiten, eine Funktion einzustellen

Die Funktion kann auf die folgenden Hauptarten definiert werden: tabellarisch, grafisch, analytisch.

Wenn auf der Grundlage experimenteller Daten Tabellen erstellt werden, die die Werte der Funktion und die entsprechenden Werte des Arguments enthalten, wird diese Methode zur Angabe der Funktion tabellarisch genannt.

Wenn gleichzeitig einige Studien des Ergebnisses des Experiments an den Registrar (Oszilloskop, Recorder usw.) ausgegeben werden, wird darauf hingewiesen, dass die Funktion grafisch eingestellt wird.

Am gebräuchlichsten ist die analytische Art, eine Funktion zu definieren, d.h. eine Methode, bei der die unabhängigen und abhängigen Variablen mit einer Formel verknüpft werden. Dabei spielt der Definitionsbereich der Funktion eine wichtige Rolle:

unterschiedlich, obwohl sie durch dieselben analytischen Beziehungen gegeben sind.

Wenn nur die Funktionsformel angegeben ist
, dann gehen wir davon aus, dass der Definitionsbereich dieser Funktion mit der Menge dieser Werte der Variablen übereinstimmt , wofür der Ausdruck
hat die bedeutung. Dabei spielt das Problem der Bestimmung des Definitionsbereichs einer Funktion eine besondere Rolle.

Aufgabe 3.1. Ermitteln Sie den Gültigkeitsbereich einer Funktion

Entscheidung

Der erste Term nimmt reale Werte an
, und die zweite bei. Um also den Definitionsbereich einer gegebenen Funktion zu finden, ist es notwendig, das Ungleichungssystem zu lösen:

Als Ergebnis der Lösung eines solchen Systems erhalten wir . Daher ist die Domäne der Funktion das Segment
.

Die einfachsten Transformationen von Funktionsgraphen

Die Konstruktion von Funktionsgraphen kann stark vereinfacht werden, wenn wir die bekannten Graphen der wichtigsten Elementarfunktionen verwenden. Die folgenden Funktionen werden als elementare Grundfunktionen bezeichnet:

1) Machtfunktion
wo
;

2) Exponentialfunktion
wo
und
;

3) logarithmische Funktion
, wo - jede positive Zahl außer eins:
und
;

4) trigonometrische Funktionen




;
.

5) inverse trigonometrische Funktionen
;
;
;
.

Elementarfunktionen werden Funktionen genannt, die aus elementaren Grundfunktionen durch vier arithmetische Operationen und endlich oft angewendete Überlagerungen erhalten werden.

Einfache geometrische Transformationen vereinfachen auch das Zeichnen von Funktionen. Diese Transformationen basieren auf den folgenden Aussagen:

Der Graph der Funktion y=f(x+a) ist der Graph y=f(x), verschoben (für a >0 nach links, für a< 0 вправо) на |a| единиц параллельно осиOx.

Graph der Funktion y=f(x) +b hat Graphen y=f(x), verschoben (falls b>0 nach oben, falls b< 0 вниз) на |b| единиц параллельно осиOy.

Der Graph der Funktion y = mf(x) (m0) ist der Graph y = f(x), m mal gestreckt (für m>1) oder gestaucht (für 0

Der Graph der Funktion y = f(kx) ist der Graph y = f(x), k mal gestaucht (für k > 1) oder gestreckt (für 0< k < 1) вдоль оси Ox. При –< k < 0 график функции y = f(kx) есть зеркальное отображение графика y = f(–kx) от оси Oy.