Mit diesem mathematischen Programm können Sie ein System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen mit der Substitutionsmethode und der Additionsmethode lösen.

Das Programm gibt nicht nur die Antwort auf das Problem, sondern liefert auch eine detaillierte Lösung mit Erläuterungen zu den Lösungsschritten auf zwei Arten: die Substitutionsmethode und die Additionsmethode.

Dieses Programm kann für Gymnasiasten bei der Vorbereitung auf Tests und Prüfungen, beim Testen von Kenntnissen vor dem Einheitlichen Staatsexamen, für Eltern nützlich sein, um die Lösung vieler Probleme in Mathematik und Algebra zu kontrollieren. Oder ist es Ihnen vielleicht zu teuer, einen Nachhilfelehrer einzustellen oder neue Lehrbücher zu kaufen? Oder willst du einfach nur deine Mathe- oder Algebra-Hausaufgaben so schnell wie möglich erledigen? Auch in diesem Fall können Sie unsere Programme mit einer Detaillösung nutzen.

Auf diese Weise können Sie Ihr eigenes Training und/oder das Training Ihrer jüngeren Geschwister durchführen, während das Bildungsniveau im Bereich der zu lösenden Aufgaben erhöht wird.

Regeln für die Eingabe von Gleichungen

Jeder lateinische Buchstabe kann als Variable fungieren.
Zum Beispiel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) usw.

Bei der Eingabe von Gleichungen Sie können Klammern verwenden. In diesem Fall werden die Gleichungen zunächst vereinfacht. Die Gleichungen nach Vereinfachungen müssen linear sein, d.h. der Form ax+by+c=0 mit der Genauigkeit der Reihenfolge der Elemente.
Zum Beispiel: 6x+1 = 5(x+y)+2

In Gleichungen können Sie nicht nur ganze Zahlen verwenden, sondern auch Bruchzahlen in Form von Dezimal- und gewöhnlichen Brüchen.

Regeln für die Eingabe von Dezimalbrüchen.
Die ganzen und gebrochenen Teile in Dezimalbrüchen können entweder durch einen Punkt oder ein Komma getrennt werden.
Zum Beispiel: 2,1n + 3,5m = 55

Regeln für die Eingabe gewöhnlicher Brüche.
Nur eine ganze Zahl kann als Zähler, Nenner und ganzzahliger Teil eines Bruchs fungieren.
Der Nenner darf nicht negativ sein.
Bei der Eingabe eines Zahlenbruchs wird der Zähler durch ein Divisionszeichen vom Nenner getrennt: /
Der ganzzahlige Teil wird durch ein kaufmännisches Und vom Bruch getrennt: &

Beispiele.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)

Lösen Sie ein Gleichungssystem

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Ein bisschen Theorie.

Lineare Gleichungssysteme lösen. Substitutionsmethode

Die Abfolge der Aktionen beim Lösen eines linearen Gleichungssystems nach der Substitutionsmethode:
1) eine Variable aus irgendeiner Gleichung des Systems durch eine andere ausdrücken;
2) ersetzen Sie den resultierenden Ausdruck in einer anderen Gleichung des Systems anstelle dieser Variablen;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Lassen Sie uns von der ersten Gleichung y bis x ausdrücken: y = 7-3x. Setzen wir den Ausdruck 7-3x anstelle von y in die zweite Gleichung ein, erhalten wir das System:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Es ist leicht zu zeigen, dass das erste und das zweite System die gleichen Lösungen haben. Im zweiten System enthält die zweite Gleichung nur eine Variable. Lösen wir diese Gleichung:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Setzen wir die Zahl 1 anstelle von x in die Gleichung y=7-3x ein, finden wir den entsprechenden Wert von y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Paar (1;4) - Lösung des Systems

Gleichungssysteme in zwei Variablen, die die gleichen Lösungen haben, werden aufgerufen gleichwertig. Systeme, die keine Lösungen haben, werden ebenfalls als äquivalent betrachtet.

Lineare Gleichungssysteme durch Addition lösen

Betrachten Sie einen anderen Weg, um Systeme linearer Gleichungen zu lösen - die Additionsmethode. Bei der Lösung von Systemen auf diese Weise sowie bei der Lösung nach der Substitutionsmethode gehen wir von einem gegebenen System zu einem anderen äquivalenten System über, in dem eine der Gleichungen nur eine Variable enthält.

Die Abfolge der Aktionen beim Lösen eines linearen Gleichungssystems nach der Additionsmethode:
1) Multiplizieren Sie die Gleichungen des Systems Term für Term, indem Sie die Faktoren so wählen, dass die Koeffizienten für eine der Variablen entgegengesetzte Zahlen werden;
2) Addiere Term für Term den linken und rechten Teil der Gleichungen des Systems;
3) löse die resultierende Gleichung mit einer Variablen;
4) Finden Sie den entsprechenden Wert der zweiten Variablen.

Beispiel. Lösen wir das Gleichungssystem:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

In den Gleichungen dieses Systems sind die Koeffizienten von y entgegengesetzte Zahlen. Wenn wir den linken und den rechten Teil der Gleichungen Term für Term addieren, erhalten wir eine Gleichung mit einer Variablen 3x=33. Ersetzen wir eine der Gleichungen des Systems, zum Beispiel die erste, durch die Gleichung 3x=33. Holen wir uns das System
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Aus der Gleichung 3x=33 finden wir x=11. Setzen wir diesen x-Wert in die Gleichung \(x-3y=38 \) ein, erhalten wir eine Gleichung mit der Variablen y: \(11-3y=38 \). Lösen wir diese Gleichung:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Somit haben wir die Lösung des Gleichungssystems gefunden, indem wir hinzugefügt haben: \(x=11; y=-9 \) oder \((11; -9) \)

Unter Ausnutzung der Tatsache, dass in den Gleichungen des Systems die Koeffizienten von y entgegengesetzte Zahlen sind, reduzierten wir seine Lösung auf die Lösung eines äquivalenten Systems (durch Summieren beider Teile jeder der Gleichungen des ursprünglichen Symmems), in dem eins der Gleichungen enthält nur eine Variable.

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Wir werden zwei Arten der Lösung von Gleichungssystemen analysieren:

1. Lösung des Systems nach der Substitutionsmethode.
2. Lösung des Systems durch gliedweise Addition (Subtraktion) der Gleichungen des Systems.

Um das Gleichungssystem zu lösen Substitutionsmethode Sie müssen einem einfachen Algorithmus folgen:
1. Wir drücken aus. Aus jeder Gleichung drücken wir eine Variable aus.
2. Ersatz. Wir ersetzen in einer anderen Gleichung anstelle der ausgedrückten Variablen den resultierenden Wert.
3. Wir lösen die resultierende Gleichung mit einer Variablen. Wir finden eine Lösung für das System.

Lösen System durch Term-für-Term-Addition (Subtraktion) brauchen:
1. Wählen Sie eine Variable aus, für die wir dieselben Koeffizienten erstellen.
2. Wir addieren oder subtrahieren die Gleichungen, als Ergebnis erhalten wir eine Gleichung mit einer Variablen.
3. Wir lösen die resultierende lineare Gleichung. Wir finden eine Lösung für das System.

Die Lösung des Systems sind die Schnittpunkte der Graphen der Funktion.

Betrachten wir die Lösung von Systemen anhand von Beispielen im Detail.

Beispiel 1:

Lösen wir nach der Substitutionsmethode

Lösen des Gleichungssystems nach der Substitutionsmethode

2x+5y=1 (1 Gleichung)
x-10y=3 (2. Gleichung)

1. ausdrücken
Es ist ersichtlich, dass es in der zweiten Gleichung eine Variable x mit einem Koeffizienten von 1 gibt, daher stellt sich heraus, dass es am einfachsten ist, die Variable x aus der zweiten Gleichung auszudrücken.
x=3+10y

2. Nach dem Ausdrücken ersetzen wir in der ersten Gleichung 3 + 10y anstelle der Variablen x.
2(3+10y)+5y=1

3. Wir lösen die resultierende Gleichung mit einer Variablen.
2(3+10y)+5y=1 (offene Klammern)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Die Lösung des Gleichungssystems sind die Schnittpunkte der Graphen, deshalb müssen wir x und y finden, denn der Schnittpunkt besteht aus x und y. Lassen Sie uns x finden, im ersten Absatz, wo wir ausgedrückt haben, ersetzen wir dort y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Es ist üblich, an erster Stelle Punkte zu schreiben, wir schreiben die Variable x und an zweiter Stelle die Variable y.
Antwort: (1; -0,2)

Beispiel #2:

Lassen Sie uns durch Term-für-Term-Addition (Subtraktion) lösen.

Lösen eines Gleichungssystems nach der Additionsmethode

3x-2y=1 (1 Gleichung)
2x-3y=-10 (2. Gleichung)

1. Wählen Sie eine Variable aus, sagen wir, wir wählen x aus. In der ersten Gleichung hat die Variable x einen Koeffizienten von 3, in der zweiten - 2. Wir müssen die Koeffizienten gleich machen, dafür haben wir das Recht, die Gleichungen zu multiplizieren oder durch eine beliebige Zahl zu dividieren. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit 2 und die zweite mit 3 und erhalten einen Gesamtkoeffizienten von 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Subtrahiere von der ersten Gleichung die zweite, um die Variable x loszuwerden. Löse die lineare Gleichung.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Finden Sie x. Wir ersetzen das gefundene y in jeder der Gleichungen, sagen wir in der ersten Gleichung.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Der Schnittpunkt ist x=4,6; y=6,4
Antwort: (4.6; 6.4)

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In dieser Lektion werden wir uns weiterhin mit der Methode zum Lösen von Gleichungssystemen befassen, nämlich mit der Methode der algebraischen Addition. Betrachten Sie zunächst die Anwendung dieser Methode am Beispiel linearer Gleichungen und ihrer Essenz. Erinnern wir uns auch daran, wie man Koeffizienten in Gleichungen ausgleicht. Und wir werden eine Reihe von Problemen bei der Anwendung dieser Methode lösen.

Thema: Gleichungssysteme

Lektion: Algebraische Additionsmethode

1. Methode der algebraischen Addition am Beispiel linearer Systeme

In Betracht ziehen Algebraische Additionsmethode am Beispiel linearer Systeme.

Beispiel 1. Lösen Sie das System

Wenn wir diese beiden Gleichungen addieren, heben sich die y-Werte gegenseitig auf, sodass die Gleichung für x übrig bleibt.

Wenn wir die zweite Gleichung von der ersten Gleichung subtrahieren, heben sich x gegenseitig auf und wir erhalten eine Gleichung für y. Dies ist die Bedeutung der Methode der algebraischen Addition.

Wir haben das System gelöst und uns an die Methode der algebraischen Addition erinnert. Um das Wesentliche zu wiederholen: Wir können Gleichungen addieren und subtrahieren, aber wir müssen sicherstellen, dass wir eine Gleichung mit nur einer Unbekannten erhalten.

2. Algebraisches Additionsverfahren mit vorläufiger Anpassung der Koeffizienten

Beispiel 2. Lösen Sie das System

Der Term ist in beiden Gleichungen vorhanden, daher ist die algebraische Additionsmethode bequem. Subtrahiere die zweite von der ersten Gleichung.

Antwort: (2; -1).

So kann man nach der Analyse des Gleichungssystems sehen, dass es für die Methode der algebraischen Addition geeignet ist, und es anwenden.

Betrachten Sie ein anderes lineares System.

3. Lösung nichtlinearer Systeme

Beispiel 3. Lösen Sie das System

Wir wollen y loswerden, aber die beiden Gleichungen haben unterschiedliche Koeffizienten für y. Wir gleichen sie aus, dazu multiplizieren wir die erste Gleichung mit 3, die zweite mit 4.

Beispiel 4. Lösen Sie das System

Gleiche die Koeffizienten bei x aus

Sie können es auch anders machen - gleichen Sie die Koeffizienten bei y aus.

Wir haben das System gelöst, indem wir die algebraische Additionsmethode zweimal angewendet haben.

Die Methode der algebraischen Addition ist auch beim Lösen nichtlinearer Systeme anwendbar.

Beispiel 5. Lösen Sie das System

Fügen wir diese Gleichungen hinzu und wir werden y los.

Das gleiche System kann durch zweimalige Anwendung der algebraischen Additionsmethode gelöst werden. Addiere und subtrahiere von einer Gleichung eine andere.

Beispiel 6. Lösen Sie das System

Antworten:

Beispiel 7. Lösen Sie das System

Mit der Methode der algebraischen Addition werden wir den Term xy los. Multipliziere die erste Gleichung mit .

Die erste Gleichung bleibt unverändert, statt der zweiten schreiben wir die algebraische Summe auf.

Antworten:

Beispiel 8. Lösen Sie das System

Multipliziere die zweite Gleichung mit 2, um ein perfektes Quadrat zu finden.

Unsere Aufgabe reduzierte sich auf die Lösung von vier einfachen Systemen.

4. Fazit

Wir haben die Methode der algebraischen Addition am Beispiel der Lösung linearer und nichtlinearer Systeme betrachtet. In der nächsten Lektion werden wir die Methode zur Einführung neuer Variablen betrachten.

1. Mordkovich A. G. et al. Algebra 9. Klasse: Proc. Für die Allgemeinbildung Institutionen - 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 S.: mit Abb.

2. Mordkovich A. G. et al.Algebra 9. Klasse: Aufgabenbuch für Schüler von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4. Aufl. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 S.: mit Abb.

3. Yu N. Makarychev, Algebra. Klasse 9: Lehrbuch. für allgemeinbildende Schülerinnen und Schüler. Institutionen / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7. Aufl., Rev. und zusätzlich - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin und Yu. V. Sidorov, Algebra. Klasse 9 16. Aufl. - M., 2011. - 287 S.

5. Mordkovich A. G. Algebra. Klasse 9 Um 14 Uhr Teil 1. Ein Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12. Aufl., gelöscht. — M.: 2010. — 224 S.: mit Abb.

6. Algebra. Klasse 9 Bei 2 Stunden Teil 2. Aufgabenbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina und andere; Ed. A. G. Mordkovich. - 12. Aufl., Rev. — M.: 2010.-223 S.: mit Abb.

1. College-Sektion. ru in Mathematik.

2. Internetprojekt „Aufgaben“.

3. Bildungsportal „SOLVE USE“.

1. Mordkovich A. G. et al. Algebra 9. Klasse: Aufgabenbuch für Schüler von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 S.: Abb. Nr. 125 - 127.

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OGBOU "Zentrum für Bildung für Kinder mit sonderpädagogischem Förderbedarf in Smolensk"

Zentrum für Fernunterricht

Algebra-Unterricht in der 7. Klasse

Unterrichtsthema: Die Methode der algebraischen Addition.

1. 1. Unterrichtstyp: Unterricht der primären Präsentation neuen Wissens.

Der Zweck der Lektion: Kontrollieren Sie den Grad der Assimilation von Wissen und Fähigkeiten beim Lösen von Gleichungssystemen durch Substitution; Bildung von Fähigkeiten und Fertigkeiten zum Lösen von Gleichungssystemen nach der Additionsmethode.

Unterrichtsziele:

Thema: Gleichungssysteme mit zwei Variablen mit der Additionsmethode lösen lernen.

Metasubjekt: Kognitives UUD: analysieren (das Wesentliche hervorheben), Konzepte definieren, verallgemeinern, Schlussfolgerungen ziehen. Regulatorisches UUD: Bestimmung des Ziels, Problems bei pädagogischen Aktivitäten. Kommunikatives UUD: Ihre Meinung äußern, argumentieren. Persönliche UUD: f eine positive Motivation zum Lernen zu bilden, eine positive emotionale Einstellung des Schülers zum Unterricht und zum Thema zu schaffen.

Arbeitsform: individuell

Unterrichtsschritte:

1) Organisationsphase.

die Arbeit des Schülers zu diesem Thema zu organisieren, indem eine Haltung gegenüber der Integrität des Denkens und Verstehens dieses Themas geschaffen wird.

2. Befragung des Schülers zu dem zu Hause gegebenen Material, Aktualisierung des Wissens.

Zweck: das bei den Hausaufgaben erworbene Wissen des Schülers zu überprüfen, Fehler zu identifizieren, an den Fehlern zu arbeiten. Wiederholen Sie das Material aus der vorherigen Lektion.

3. Neues Material lernen.

eines). die Fähigkeit zu bilden, lineare Gleichungssysteme durch Addition zu lösen;

2). vorhandenes Wissen in neuen Situationen entwickeln und verbessern;

3). erziehen Sie die Fähigkeiten der Kontrolle und Selbstbeherrschung, entwickeln Sie Unabhängigkeit.

http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

Zweck: Erhaltung des Sehvermögens, Beseitigung der Ermüdung der Augen während der Arbeit im Unterricht.

5. Konsolidierung des studierten Materials

Zweck: Prüfung der im Unterricht erworbenen Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten

6. Das Ergebnis des Unterrichts, Informationen zu den Hausaufgaben, Reflexion.

Unterrichtsfortschritt (Arbeiten in einem elektronischen Google-Dokument):

1. Heute wollte ich den Unterricht mit dem philosophischen Rätsel von Walter beginnen.

Was ist das Schnellste, aber auch das Langsamste, das Größte, aber auch das Kleinste, das Längste und Kürzeste, das Teuerste, aber auch von uns am billigsten bewertet?

Zeit

Erinnern wir uns an die grundlegenden Konzepte zum Thema:

Wir haben ein System aus zwei Gleichungen.

Erinnern wir uns, wie wir die Gleichungssysteme in der letzten Lektion gelöst haben.

Substitutionsmethode

Achten Sie noch einmal auf das gelöste System und sagen Sie mir, warum wir nicht jede Gleichung des Systems lösen können, ohne auf die Substitutionsmethode zurückzugreifen?

Denn das sind die Gleichungen eines Systems mit zwei Variablen. Wir können eine Gleichung mit nur einer Variablen lösen.

Nur durch das Erhalten einer Gleichung mit einer Variablen gelang es uns, das Gleichungssystem zu lösen.

3. Wir fahren fort, das folgende System zu lösen:

Wir wählen eine Gleichung, in der es zweckmäßig ist, eine Variable durch eine andere auszudrücken.

Es gibt keine solche Gleichung.

Diese. In dieser Situation passt die zuvor untersuchte Methode nicht zu uns. Was ist der Ausweg aus dieser Situation?

Finden Sie eine neue Methode.

Versuchen wir, den Zweck der Lektion zu formulieren.

Lernen Sie Systeme auf eine neue Art und Weise zu lösen.

Was müssen wir tun, um zu lernen, wie man Systeme mit einer neuen Methode löst?

die Regeln (Algorithmus) zum Lösen eines Gleichungssystems kennen, praktische Aufgaben lösen

Beginnen wir mit der Ableitung einer neuen Methode.

Beachten Sie die Schlussfolgerung, die wir nach dem Lösen des ersten Systems gezogen haben. Wir konnten das System erst lösen, nachdem wir eine lineare Gleichung mit einer Variablen erhalten hatten.

Schau dir das Gleichungssystem an und überlege, wie du aus den zwei gegebenen Gleichungen eine Gleichung mit einer Variablen erhältst.

Gleichungen hinzufügen.

Was bedeutet es, Gleichungen hinzuzufügen?

Bilden Sie separat die Summe der linken Teile, die Summe der rechten Teile der Gleichungen und setzen Sie die resultierenden Summen gleich.

Lass es uns versuchen. Wir arbeiten mit mir zusammen.

13x+14x+17y-17y=43+11

Wir haben eine lineare Gleichung mit einer Variablen.

Hast du das Gleichungssystem gelöst?

Die Lösung des Systems ist ein Zahlenpaar.

Wie findet man dich?

Setzen Sie den gefundenen Wert von x in die Gleichung des Systems ein.

Spielt es eine Rolle, in welche Gleichung wir den Wert von x einsetzen?

Der gefundene Wert von x kann also eingesetzt werden in ...

jede Gleichung des Systems.

Wir haben eine neue Methode kennengelernt - die Methode der algebraischen Addition.

Beim Lösen des Systems haben wir den Algorithmus zum Lösen des Systems mit dieser Methode besprochen.

Wir haben den Algorithmus überprüft. Wenden wir es nun auf die Problemlösung an.

Die Fähigkeit, Gleichungssysteme zu lösen, kann in der Praxis nützlich sein.

Betrachten Sie das Problem:

Auf dem Hof ​​gibt es Hühner und Schafe. Wie viele davon und andere, wenn sie zusammen 19 Köpfe und 46 Beine haben?

Da wir wissen, dass es insgesamt 19 Hühner und Schafe gibt, stellen wir die erste Gleichung auf: x + y \u003d 19

4x ist die Anzahl der Schafsbeine

2y - die Anzahl der Beine bei Hühnern

Da wir wissen, dass es nur 46 Beine gibt, erstellen wir die zweite Gleichung: 4x + 2y \u003d 46

Lassen Sie uns ein Gleichungssystem erstellen:

Lösen wir das Gleichungssystem mit dem Algorithmus zum Lösen nach der Additionsmethode.

Problem! Die Koeffizienten vor x und y sind weder gleich noch entgegengesetzt! Was zu tun ist?

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an!

Fügen wir unserem Algorithmus einen weiteren Schritt hinzu und setzen ihn an die erste Stelle: Wenn die Koeffizienten vor den Variablen nicht gleich und nicht entgegengesetzt sind, dann müssen wir die Module für eine Variable egalisieren! Und dann handeln wir nach dem Algorithmus.

4. Elektronischer Sportunterricht für die Augen: http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

5. Wir lösen das Problem mit der Methode der algebraischen Addition, fixieren das neue Material und finden heraus, wie viele Hühner und Schafe auf der Farm waren.

Zusätzliche Aufgaben:

6.

Betrachtung.

Ich gebe Noten für meine Arbeit im Unterricht...

6. Verwendete Ressourcen-Internet:

Google-Dienste für Bildung

Mathematiklehrerin Sokolova N. N.