Wir haben bereits darüber gesprochen, was eine Potenz einer Zahl ist. Es hat bestimmte Eigenschaften, die bei der Lösung von Problemen nützlich sind: Sie und alle möglichen Exponenten werden wir in diesem Artikel analysieren. Außerdem zeigen wir anhand von Beispielen, wie sie sich in der Praxis erweisen und richtig anwenden lassen.
Erinnern wir uns an den Begriff des Grads mit natürlichem Exponenten, den wir bereits früher formuliert haben: Dieser ist das Produkt der n-ten Anzahl von Faktoren, von denen jeder gleich a ist. Wir müssen uns auch daran erinnern, wie man reelle Zahlen richtig multipliziert. All dies wird uns helfen, die folgenden Eigenschaften für einen Abschluss mit einem natürlichen Indikator zu formulieren:
Bestimmung 1
1. Die Haupteigenschaft des Grades: a m a n = a m + n
Kann verallgemeinert werden zu: ein n 1 · ein n 2 · … · ein n k = ein n 1 + n 2 + … + n k .
2. Die Quotienteneigenschaft für Potenzen mit gleicher Basis: a m: a n = a m − n
3. Produkt Grad Eigenschaft: (a b) n = a n b n
Die Gleichheit kann erweitert werden zu: (a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n
4. Eigenschaft eines natürlichen Grades: (a: b) n = a n: b n
5. Wir potenzieren die Potenz: (a m) n = a m n ,
Kann verallgemeinert werden zu: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 n 2 … n k
6. Vergleiche den Grad mit Null:
- wenn a > 0, dann ist für jedes natürliche n a n größer als Null;
- wenn a gleich 0 ist, wird a n auch gleich null sein;
- Für ein< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
- Für ein< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.
7. Gleichberechtigung< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.
8. Die Ungleichung a m > a n gilt unter der Voraussetzung, dass m und n natürliche Zahlen sind, m größer als n und a größer als null und nicht kleiner als eins ist.
Als Ergebnis haben wir mehrere Gleichberechtigungen erhalten; Wenn Sie alle oben genannten Bedingungen erfüllen, sind sie identisch. Für jede der Gleichheiten, zum Beispiel für die Haupteigenschaft, können Sie den rechten und den linken Teil vertauschen: a m · a n = a m + n - dasselbe wie a m + n = am · a n . In dieser Form wird es häufig zur Vereinfachung von Ausdrücken verwendet.
1. Beginnen wir mit der Haupteigenschaft des Grades: Die Gleichheit am · a n = am + n gilt für alle natürlichen m und n und reellen a . Wie beweist man diese Aussage?
Die grundlegende Definition von Potenzen mit natürlichen Exponenten wird es uns ermöglichen, die Gleichheit in ein Produkt von Faktoren umzuwandeln. Wir erhalten einen Eintrag wie diesen:
Dies kann verkürzt werden 
(Erinnern Sie sich an die grundlegenden Eigenschaften der Multiplikation). Als Ergebnis erhalten wir den Grad der Zahl a mit dem natürlichen Exponenten m + n. Also a m + n , was bedeutet, dass die Haupteigenschaft des Grades bewiesen ist.
Nehmen wir ein konkretes Beispiel, um dies zu beweisen.
Beispiel 1
Wir haben also zwei Potenzen zur Basis 2. Ihre natürlichen Indikatoren sind 2 bzw. 3. Wir haben die Gleichheit: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Lassen Sie uns die Werte berechnen, um die Richtigkeit dieser Gleichheit zu überprüfen.
Lassen Sie uns die notwendigen mathematischen Operationen durchführen: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 und 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32
Als Ergebnis erhalten wir: 2 2 2 3 = 2 5 . Die Eigenschaft wurde nachgewiesen.
Aufgrund der Eigenschaften der Multiplikation können wir die Eigenschaft verallgemeinern, indem wir sie in Form von drei oder mehr Potenzen formulieren, bei denen die Exponenten natürliche Zahlen sind und die Basen gleich sind. Wenn wir die Anzahl der natürlichen Zahlen n 1, n 2 usw. mit dem Buchstaben k bezeichnen, erhalten wir die richtige Gleichheit:
ein n 1 ein n 2 … ein n k = ein n 1 + n 2 + … + n k .
Beispiel 2
2. Als nächstes müssen wir die folgende Eigenschaft beweisen, die Quotienteneigenschaft genannt wird und Potenzen mit gleichen Basen innewohnt: Dies ist die Gleichheit a m: a n = a m − n , die für jedes natürliche m und n (und m ist größer als n)) und alle realen a ungleich Null.
Lassen Sie uns zunächst erklären, was genau die Bedingungen bedeuten, die in der Formulierung genannt werden. Wenn wir a gleich Null nehmen, erhalten wir am Ende eine Division durch Null, was nicht geht (immerhin ist 0 n = 0). Die Bedingung, dass die Zahl m größer als n sein muss, ist notwendig, damit wir innerhalb der natürlichen Exponenten bleiben können: Subtrahiert man n von m, erhält man eine natürliche Zahl. Wenn die Bedingung nicht erfüllt ist, erhalten wir eine negative Zahl oder Null, und wir gehen wieder über das Studium von Abschlüssen mit natürlichen Indikatoren hinaus.
Jetzt können wir zum Beweis übergehen. Aus dem zuvor Untersuchten erinnern wir uns an die grundlegenden Eigenschaften von Brüchen und formulieren die Gleichheit wie folgt:
ein m - n ein n = ein (m - n) + n = ein m
Daraus können wir ableiten: a m − n a n = a m
Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Division und Multiplikation. Daraus folgt, dass a m − n ein Quotient der Potenzen a m und a n ist. Dies ist der Beweis für die Eigenschaft zweiten Grades.
Beispiel 3
Ersetzen Sie bestimmte Zahlen zur Klarheit in Indikatoren und bezeichnen Sie die Basis des Grades π: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3
3. Als nächstes werden wir die Eigenschaft des Grades des Produkts analysieren: (a · b) n = a n · b n für alle reellen a und b und natürlichen n .
Nach der Grunddefinition eines Grades mit natürlichem Exponenten können wir die Gleichheit wie folgt umformulieren:
Wir erinnern uns an die Eigenschaften der Multiplikation und schreiben: 
. Es bedeutet dasselbe wie a n · b n .
Beispiel 4
2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4
Wenn wir drei oder mehr Faktoren haben, gilt diese Eigenschaft auch für diesen Fall. Wir führen die Notation k für die Anzahl der Faktoren ein und schreiben:
(ein 1 ein 2 … ein k) n = ein 1 n ein 2 n … ein k n
Beispiel 5
Mit bestimmten Zahlen erhalten wir die folgende richtige Gleichheit: (2 (- 2 , 3) a) 7 = 2 7 (- 2 , 3) 7 a
4. Danach versuchen wir, die Quotienteneigenschaft zu beweisen: (a: b) n = a n: b n für jedes reelle a und b, wenn b ungleich 0 und n eine natürliche Zahl ist.
Für den Beweis können wir die Vorgängergrad-Eigenschaft verwenden. Wenn (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n und (a: b) n b n = a n , dann folgt daraus, dass (a: b) n ein Quotient der Division von a n durch b n ist.
Beispiel 6
Lassen Sie uns das Beispiel zählen: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3
Beispiel 7
Fangen wir gleich mit einem Beispiel an: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6
Und jetzt formulieren wir eine Gleichheitskette, die uns die Richtigkeit der Gleichheit beweisen wird: 
Wenn wir im Beispiel Grade von Graden haben, dann gilt diese Eigenschaft auch für sie. Wenn wir irgendwelche natürlichen Zahlen p, q, r, s haben, dann wird es wahr sein:
ein p q y s = ein p q y s
Beispiel 8
Fügen wir Einzelheiten hinzu: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30
6. Eine weitere Eigenschaft von Graden mit natürlichem Exponenten, die wir beweisen müssen, ist die Vergleichseigenschaft.
Vergleichen wir zuerst den Exponenten mit Null. Warum a n > 0, wenn a größer als 0 ist?
Wenn wir eine positive Zahl mit einer anderen multiplizieren, erhalten wir ebenfalls eine positive Zahl. Wenn wir diese Tatsache kennen, können wir sagen, dass dies nicht von der Anzahl der Faktoren abhängt - das Ergebnis der Multiplikation einer beliebigen Anzahl positiver Zahlen ist eine positive Zahl. Und was ist ein Grad, wenn nicht das Ergebnis der Multiplikation von Zahlen? Dann gilt dies für jede Potenz a n mit einer positiven Basis und einem natürlichen Exponenten.
Beispiel 9
3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 und 34 9 13 51 > 0
Es ist auch offensichtlich, dass eine Potenz mit einer Basis gleich Null selbst Null ist. Zu welcher Potenz wir Null erheben, es wird Null bleiben.
Beispiel 10
0 3 = 0 und 0 762 = 0
Wenn die Basis des Grads eine negative Zahl ist, ist der Beweis etwas komplizierter, da das Konzept des geraden / ungeraden Exponenten wichtig wird. Beginnen wir mit dem Fall, dass der Exponent gerade ist, und bezeichnen ihn mit 2 · m , wobei m eine natürliche Zahl ist.
Erinnern wir uns, wie man negative Zahlen korrekt multipliziert: Das Produkt a · a ist gleich dem Produkt der Module und daher eine positive Zahl. Dann 
und der Grad a 2 · m sind ebenfalls positiv.
Beispiel 11
Zum Beispiel (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 und - 2 9 6 > 0
Was ist, wenn der Exponent mit negativer Basis eine ungerade Zahl ist? Nennen wir es 2 · m − 1 .
Dann 
Alle Produkte a · a sind gemäß den Eigenschaften der Multiplikation positiv, ebenso ihr Produkt. Aber wenn wir es mit der einzigen verbleibenden Zahl a multiplizieren, wird das Endergebnis negativ sein.
Dann erhalten wir: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0
Wie kann man es beweisen?
ein< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .
Beispiel 12
Zum Beispiel sind die Ungleichungen wahr: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124
8. Es bleibt uns, die letzte Eigenschaft zu beweisen: Wenn wir zwei Grade haben, deren Basen gleich und positiv sind, und die Exponenten natürliche Zahlen sind, dann ist der eine größer, dessen Exponent kleiner; und von zwei Graden mit natürlichen Indikatoren und denselben Basen größer als eins, der Grad ist größer, dessen Indikator größer ist.
Beweisen wir diese Behauptungen.
Zuerst müssen wir sicherstellen, dass ein m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n
Wir nehmen ein n aus Klammern, danach nimmt unsere Differenz die Form a n · (am − n − 1) an. Sein Ergebnis wird negativ sein (da das Ergebnis der Multiplikation einer positiven Zahl mit einer negativen Zahl negativ ist). In der Tat ist gemäß den Anfangsbedingungen m − n > 0 a m − n − 1 negativ, und der erste Faktor ist positiv, wie jede natürliche Potenz mit positiver Basis.
Es stellte sich heraus, dass a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.
Es bleibt noch der zweite Teil der oben formulierten Aussage zu beweisen: a m > a gilt für m > n und a > 1 . Wir geben die Differenz an und nehmen ein n aus Klammern: (a m - n - 1) Die Potenz von a n mit größer als eins ergibt ein positives Ergebnis; und die Differenz selbst wird aufgrund der Anfangsbedingungen ebenfalls positiv ausfallen, und für a > 1 ist der Grad von a m − n größer als eins. Es stellt sich heraus, dass a m − a n > 0 und a m > a n , was wir beweisen mussten.
Beispiel 13
Beispiel mit bestimmten Zahlen: 3 7 > 3 2
Grundlegende Eigenschaften von Graden mit ganzzahligen Exponenten
Für Grade mit positiven ganzzahligen Exponenten werden die Eigenschaften ähnlich sein, weil positive ganze Zahlen natürlich sind, was bedeutet, dass alle oben bewiesenen Gleichheiten auch für sie gelten. Sie eignen sich auch für Fälle, in denen die Exponenten negativ oder gleich Null sind (vorausgesetzt, dass die Basis des Grads selbst nicht Null ist).
Daher sind die Eigenschaften von Potenzen für alle Basen a und b (vorausgesetzt, diese Zahlen sind reell und ungleich 0) und alle Exponenten m und n (vorausgesetzt, sie sind ganze Zahlen). Wir schreiben sie kurz in Form von Formeln:
Bestimmung 2
1. ein m ein n = ein m + n
2. ein m: ein n = ein m − n
3. (a b) n = ein n b n
4. (a: b) n = ein n: b n
5. (am) n = am n
6. ein n< b n и a − n >b − n mit positiver Ganzzahl n , positivem a und b , a< b
7 Uhr morgens< a n , при условии целых m и n , m >n und 0< a < 1 , при a >1 Uhr > ein n .
Ist die Basis des Grades gleich Null, dann sind die Einträge a m und a n nur bei natürlichem und positivem m und n sinnvoll. Im Ergebnis finden wir, dass obige Formulierungen auch für Fälle mit einem Abschluss mit Nullbasis geeignet sind, wenn alle anderen Bedingungen erfüllt sind.
Die Beweise dieser Eigenschaften sind in diesem Fall einfach. Wir müssen uns daran erinnern, was ein Grad mit einem natürlichen und einem ganzzahligen Exponenten ist, sowie die Eigenschaften von Aktionen mit reellen Zahlen.
Lassen Sie uns die Eigenschaft des Grads im Grad analysieren und beweisen, dass sie sowohl für positive ganze Zahlen als auch für nicht positive ganze Zahlen gilt. Wir beginnen mit dem Beweis der Gleichungen (a p) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (a p) − q = a p (− q) und (a − p) − q = a (− p) (−q)
Bedingungen: p = 0 oder natürliche Zahl; q - ähnlich.
Wenn die Werte von p und q größer als 0 sind, dann erhalten wir (a p) q = a p · q . Eine ähnliche Gleichheit haben wir schon früher bewiesen. Wenn p = 0 dann:
(ein 0) q = 1 q = 1 ein 0 q = ein 0 = 1
Daher ist (a 0) q = a 0 q
Für q = 0 ist alles genau gleich:
(ein p) 0 = 1 ein p 0 = ein 0 = 1
Ergebnis: (a p) 0 = a p 0 .
Wenn beide Indikatoren Null sind, dann (a 0) 0 = 1 0 = 1 und a 0 0 = a 0 = 1, dann (a 0) 0 = a 0 0 .
Erinnere dich an die Eigenschaft des Quotienten in der oben bewiesenen Potenz und schreibe:
1 ein p q = 1 q ein p q
Wenn 1 p = 1 1 … 1 = 1 und a p q = a p q , dann ist 1 q a p q = 1 a p q
Wir können diese Notation aufgrund der grundlegenden Multiplikationsregeln in a (− p) · q umwandeln.
Auch: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .
UND (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)
Die übrigen Eigenschaften des Grades lassen sich in ähnlicher Weise durch Umformung der bestehenden Ungleichungen beweisen. Wir werden darauf nicht im Detail eingehen, wir werden nur auf die schwierigen Punkte hinweisen.
Beweis der vorletzten Eigenschaft: Denken Sie daran, dass a − n > b − n für alle negativen ganzzahligen Werte von n und alle positiven Werte von a und b gilt, vorausgesetzt, dass a kleiner als b ist.
Dann lässt sich die Ungleichung wie folgt umformen:
1 ein n > 1 b n
Wir schreiben den rechten und den linken Teil als Differenz und führen die notwendigen Transformationen durch:
1 ein n - 1 b n = b n - ein n ein n b n
Denken Sie daran, dass in der Bedingung a kleiner als b ist, dann gemäß der Definition eines Grads mit einem natürlichen Exponenten: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .
a n · b n ist am Ende eine positive Zahl, weil ihre Faktoren positiv sind. Als Ergebnis haben wir einen Bruch b n - a n a n · b n , was am Ende auch ein positives Ergebnis ergibt. Also 1 a n > 1 b n womit a − n > b − n , was wir beweisen mussten.
Die letzte Eigenschaft von Graden mit ganzzahligen Exponenten wird ähnlich bewiesen wie die Eigenschaft von Graden mit natürlichen Exponenten.
Grundlegende Eigenschaften von Graden mit rationalen Exponenten
In früheren Artikeln haben wir diskutiert, was ein Grad mit einem rationalen (gebrochenen) Exponenten ist. Ihre Eigenschaften sind die gleichen wie die von Graden mit ganzzahligen Exponenten. Lass uns schreiben:
Bestimmung 3
1. am 1 n 1 am 2 n 2 = am 1 n 1 + m 2 n 2 für a > 0, und wenn m 1 n 1 > 0 und m 2 n 2 > 0, dann für a ≥ 0 (Produkteigenschaft Potenzen mit gleicher Basis).
2. am 1 n 1: b m 2 n 2 = am 1 n 1 - m 2 n 2 wenn a > 0 (Quotientensatz).
3. a b m n = a m n b m n für a > 0 und b > 0, und wenn m 1 n 1 > 0 und m 2 n 2 > 0, dann für a ≥ 0 und (oder) b ≥ 0 (Produkteigenschaft in gebrochenem Grad).
4. a: b m n \u003d a m n: b m n für a > 0 und b > 0, und wenn m n > 0, dann für a ≥ 0 und b > 0 (Eigenschaft eines Quotienten in Bruchgrad).
5. am 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 für a > 0, und wenn m 1 n 1 > 0 und m 2 n 2 > 0, dann für a ≥ 0 (Grad Eigenschaft in Grad).
6.ap< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; wenn P< 0 - a p >b p (die Eigenschaft, Grade mit gleichen rationalen Exponenten zu vergleichen).
7.ap< a q при условии рациональных чисел p и q , p >Q auf 0< a < 1 ; если a >0 – ein p > ein q
Um diese Bestimmungen zu beweisen, müssen wir uns daran erinnern, was ein Grad mit einem gebrochenen Exponenten ist, welche Eigenschaften die arithmetische Wurzel des n-ten Grades hat und welche Eigenschaften ein Grad mit einem ganzzahligen Exponenten hat. Werfen wir einen Blick auf jede Eigenschaft.
Je nachdem, was ein Grad mit gebrochenem Exponenten ist, erhalten wir:
am 1 n 1 \u003d am 1 n 1 und am 2 n 2 \u003d am 2 n 2, also am 1 n 1 am 2 n 2 \u003d am 1 n 1 am 2 n 2
Die Eigenschaften der Wurzel ermöglichen es uns, Gleichheiten abzuleiten:
am 1 m 2 n 1 n 2 am 2 m 1 n 2 n 1 = am 1 n 2 am 2 n 1 n 1 n 2
Daraus erhalten wir: am 1 n 2 am 2 n 1 n 1 n 2 = am 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2
Lassen Sie uns transformieren:
am 1 n 2 am 2 n 1 n 1 n 2 = am 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2
Der Exponent kann geschrieben werden als:
m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2
Dies ist der Beweis. Die zweite Eigenschaft wird auf genau die gleiche Weise bewiesen. Schreiben wir die Gleichheitskette auf:
am 1 n 1: am 2 n 2 = am 1 n 1: am 2 n 2 = am 1 n 2: am 2 n 1 n 1 n 2 = = am 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = am 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = am 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = am 1 n 1 - m 2 n 2
Beweise der verbleibenden Gleichheiten:
ein b m n = (ein b) m n = ein m b m n = ein m n b m n = ein m n b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = ein m: b m n = = ein m n: b m n = ein m n: b m n ; am 1 n 1 m 2 n 2 = am 1 n 1 m 2 n 2 = am 1 n 1 m 2 n 2 = = am 1 m 2 n 1 n 2 = am 1 m 2 n 1 n 2 = = am 1 m 2 n 2 n 1 = am 1 m 2 n 2 n 1 = am 1 n 1 m 2 n 2
Nächste Eigenschaft: Lassen Sie uns beweisen, dass für alle Werte von a und b größer als 0, wenn a kleiner als b ist, a p ausgeführt wird< b p , а для p больше 0 - a p >bp
Stellen wir eine rationale Zahl p als m n dar. Dabei ist m eine ganze Zahl, n eine natürliche Zahl. Dann die Bedingungen p< 0 и p >0 wird zu m erweitert< 0 и m >0 . Für m > 0 und a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .
Wir nutzen die Eigenschaft von Wurzeln und leiten ab: a m n< b m n
Unter Berücksichtigung der Positivität der Werte a und b schreiben wir die Ungleichung als a m n um< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .
Ebenso für m< 0 имеем a a m >b m , erhalten wir a m n > b m n also a m n > b m n und a p > b p .
Es bleibt uns, die letzte Eigenschaft zu beweisen. Beweisen wir, dass für rationale Zahlen p und q p > q für 0 gilt< a < 1 a p < a q , а при a >0 wäre wahr a p > a q .
Rationale Zahlen p und q lassen sich auf einen gemeinsamen Nenner bringen und erhalten Brüche m 1 n und m 2 n
Hier sind m 1 und m 2 ganze Zahlen und n ist eine natürliche Zahl. Wenn p > q, dann m 1 > m 2 (unter Berücksichtigung der Regel zum Vergleichen von Brüchen). Dann bei 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – Ungleichung a 1 m > a 2 m .
Sie können in folgender Form umgeschrieben werden:
ein m 1 n< a m 2 n a m 1 n >ein m 2 n
Dann können Sie Transformationen vornehmen und erhalten als Ergebnis:
ein m 1 n< a m 2 n a m 1 n >ein m 2 n
Zusammenfassend: für p > q und 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – ein p > ein q .
Grundlegende Eigenschaften von Graden mit irrationalen Exponenten
Alle oben beschriebenen Eigenschaften, die ein Grad mit rationalen Exponenten besitzt, können auf einen solchen Grad erweitert werden. Dies ergibt sich aus seiner eigentlichen Definition, die wir in einem der vorherigen Artikel gegeben haben. Formulieren wir diese Eigenschaften kurz (Bedingungen: a > 0 , b > 0 , Indikatoren p und q sind irrationale Zahlen):
Bestimmung 4
1. ein p ein q = ein p + q
2. ein p: ein q = ein p − q
3. (a b) p = a p b p
4. (a: b) p = a p: b p
5. (a p) q = a p q
6.ap< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp
7.ap< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 , dann a p > a q .
Somit haben alle Potenzen, deren Exponenten p und q reelle Zahlen sind, sofern a > 0, die gleichen Eigenschaften.
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UnterrichtsinhaltWas ist ein Abschluss?
Grad heißt das Produkt mehrerer identischer Faktoren. Zum Beispiel:
2×2×2
Der Wert dieses Ausdrucks ist 8
2 x 2 x 2 = 8
Die linke Seite dieser Gleichung kann kürzer gemacht werden - schreiben Sie zuerst den Wiederholungsfaktor auf und geben Sie darüber an, wie oft er sich wiederholt. Der Wiederholungsmultiplikator ist in diesem Fall 2. Er wird dreimal wiederholt. Daher schreiben wir über die Zwei das Tripel:
2 3 = 8
Dieser Ausdruck lautet wie folgt: zwei hoch drei gleich acht oder " die dritte Potenz von 2 ist 8.
Häufiger verwendet wird die Kurzform, die Multiplikation gleicher Faktoren zu schreiben. Daher müssen wir uns daran erinnern, dass, wenn eine andere Zahl über eine Zahl geschrieben wird, dies die Multiplikation mehrerer identischer Faktoren ist.
Wenn beispielsweise der Ausdruck 5 3 angegeben ist, sollte beachtet werden, dass dieser Ausdruck dem Schreiben von 5 × 5 × 5 entspricht.
Die sich wiederholende Nummer wird angerufen Basis des Abschlusses. Im Ausdruck 5 3 ist die Basis des Grades die Zahl 5 .
Und die Nummer, die über der Nummer 5 eingeschrieben ist, wird angerufen Exponent. Im Ausdruck 5 3 ist der Exponent die Zahl 3. Der Exponent gibt an, wie oft die Basis des Grads wiederholt wird. In unserem Fall wird Basis 5 dreimal wiederholt.
Die Operation des Multiplizierens identischer Faktoren wird aufgerufen Potenzierung.
Wenn Sie zum Beispiel das Produkt von vier identischen Faktoren finden müssen, von denen jeder gleich 2 ist, dann sagen sie, dass die Zahl 2 ist in die vierte Potenz erhoben:
Wir sehen, dass die Zahl 2 hoch vier die Zahl 16 ist.
Beachten Sie, dass wir in dieser Lektion betrachten Grad mit einem natürlichen Indikator. Dies ist eine Art Grad, dessen Exponent eine natürliche Zahl ist. Denken Sie daran, dass natürliche Zahlen ganze Zahlen sind, die größer als Null sind. Zum Beispiel 1, 2, 3 und so weiter.
Im Allgemeinen lautet die Definition eines Abschlusses mit einem natürlichen Indikator wie folgt:
Grad von a mit einem natürlichen Indikator n ist ein Ausdruck der Form ein, was gleich dem Produkt ist n Multiplikatoren, von denen jeder gleich ist a
Beispiele:
Seien Sie vorsichtig, wenn Sie eine Zahl potenzieren. Oft multipliziert eine Person aus Unachtsamkeit die Basis des Grades mit dem Exponenten.
Zum Beispiel ist die Zahl 5 hoch 2 das Produkt zweier Faktoren, von denen jeder gleich 5 ist. Dieses Produkt ist gleich 25
Stellen Sie sich nun vor, wir hätten versehentlich die Basis 5 mit dem Exponenten 2 multipliziert
Es ist ein Fehler aufgetreten, weil die Zahl 5 hoch 2 nicht gleich 10 ist.
Ergänzend sei erwähnt, dass die Potenz einer Zahl mit Exponent 1 die Zahl selbst ist:
Zum Beispiel ist die Zahl 5 hoch 1 die Zahl 5 selbst.
Wenn die Zahl keinen Indikator hat, müssen wir also davon ausgehen, dass der Indikator gleich eins ist.
Zum Beispiel werden die Zahlen 1, 2, 3 ohne Exponent angegeben, also sind ihre Exponenten gleich eins. Jede dieser Zahlen kann mit einem Exponenten von 1 geschrieben werden
Und wenn Sie 0 potenzieren, erhalten Sie 0. In der Tat, egal wie oft nichts mit sich selbst multipliziert wird, es wird nichts herauskommen. Beispiele:
Und der Ausdruck 0 0 macht keinen Sinn. Aber in einigen Zweigen der Mathematik, insbesondere Analysis und Mengenlehre, kann der Ausdruck 0 0 sinnvoll sein.
Zum Training werden wir mehrere Beispiele für Potenzierung von Zahlen lösen.
Beispiel 1 Erhöhen Sie die Zahl 3 in die zweite Potenz.
Die Zahl 3 hoch 2 ist das Produkt zweier Faktoren, von denen jeder gleich 3 ist
3 2 = 3 × 3 = 9
Beispiel 2 Erhebe die Zahl 2 in die vierte Potenz.
Die Zahl 2 hoch vier ist das Produkt von vier Faktoren, von denen jeder gleich 2 ist
2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
Beispiel 3 Erhöhen Sie die Zahl 2 in die dritte Potenz.
Die Zahl 2 hoch 3 ist das Produkt aus drei Faktoren, von denen jeder gleich 2 ist
2 3 = 2 × 2 × 2 = 8
Potenzierung der Zahl 10
Um die Zahl 10 zu potenzieren, reicht es aus, die Anzahl der Nullen nach der Einheit hinzuzufügen, die dem Exponenten entsprechen.
Lassen Sie uns zum Beispiel die Zahl 10 in die zweite Potenz erheben. Zuerst schreiben wir die Zahl 10 selbst und geben die Zahl 2 als Indikator an
10 2
Jetzt setzen wir ein Gleichheitszeichen, schreiben eins auf und nach diesem schreiben wir zwei Nullen auf, da die Anzahl der Nullen gleich dem Exponenten sein sollte
10 2 = 100
Die Zahl 10 hoch 2 ist also die Zahl 100. Das liegt daran, dass die Zahl 10 hoch 2 das Produkt zweier Faktoren ist, von denen jeder gleich 10 ist
10 2 = 10 × 10 = 100
Beispiel 2. Lassen Sie uns die Zahl 10 in die dritte Potenz erheben.
In diesem Fall stehen hinter der Eins drei Nullen:
10 3 = 1000
Beispiel 3. Lassen Sie uns die Zahl 10 in die vierte Potenz erheben.
In diesem Fall stehen nach der Eins vier Nullen:
10 4 = 10000
Beispiel 4. Lassen Sie uns die Zahl 10 in die erste Potenz erheben.
In diesem Fall steht nach der Eins eine Null:
10 1 = 10
Darstellung der Zahlen 10, 100, 1000 als Potenz mit Basis 10
Um die Zahlen 10, 100, 1000 und 10000 als Potenz mit der Basis 10 darzustellen, müssen Sie die Basis 10 schreiben und eine Zahl gleich der Anzahl der Nullen in der ursprünglichen Zahl als Exponent angeben.
Stellen wir die Zahl 10 als Potenz zur Basis 10 dar. Wir sehen, dass sie eine Null hat. Die Zahl 10 als Potenz mit der Basis 10 wird also als 10 1 dargestellt
10 = 10 1
Beispiel 2. Stellen wir die Zahl 100 als Potenz zur Basis 10 dar. Wir sehen, dass die Zahl 100 zwei Nullen enthält. Die Zahl 100 als Potenz zur Basis 10 wird also als 10 2 dargestellt
100 = 10 2
Beispiel 3. Stellen wir die Zahl 1000 als Potenz zur Basis 10 dar.
1 000 = 10 3
Beispiel 4. Stellen wir die Zahl 10.000 als Potenz zur Basis 10 dar.
10 000 = 10 4
Exponentiation einer negativen Zahl
Wenn Sie eine negative Zahl potenzieren, müssen Sie sie in Klammern setzen.
Lassen Sie uns zum Beispiel die negative Zahl −2 in die zweite Potenz erheben. Die Zahl −2 hoch 2 ist das Produkt zweier Faktoren, von denen jeder gleich (−2) ist
(−2) 2 = (−2) × (−2) = 4
Wenn wir die Zahl -2 nicht in Klammern setzten, würde sich herausstellen, dass wir den Ausdruck -2 2 berechnen, was nicht gleich vier . Der Ausdruck -2² ist gleich -4 . Um zu verstehen, warum, lassen Sie uns einige Punkte ansprechen.
Wenn wir ein Minus vor eine positive Zahl setzen, leisten wir damit Leistung die Operation, den entgegengesetzten Wert zu nehmen.
Nehmen wir an, die Zahl 2 ist gegeben, und Sie müssen ihre Gegenzahl finden. Wir wissen, dass das Gegenteil von 2 −2 ist. Mit anderen Worten, um die entgegengesetzte Zahl für 2 zu finden, reicht es aus, ein Minus vor diese Zahl zu setzen. Das Einfügen eines Minus vor einer Zahl gilt in der Mathematik bereits als vollwertige Operation. Diese Operation wird, wie oben erwähnt, die Operation des Nehmens des entgegengesetzten Werts genannt.
Im Fall des Ausdrucks -2 2 treten zwei Operationen auf: die Operation des Nehmens des entgegengesetzten Werts und die Potenzierung. Das Potenzieren ist eine Operation mit höherer Priorität als das Nehmen des entgegengesetzten Werts.
Daher wird der Ausdruck –2 2 in zwei Schritten berechnet. Zuerst wird die Potenzierungsoperation durchgeführt. In diesem Fall wurde die positive Zahl 2 in die zweite Potenz erhoben.
Dann wurde der entgegengesetzte Wert genommen. Dieser entgegengesetzte Wert wurde für den Wert 4 gefunden. Und der entgegengesetzte Wert für 4 ist –4
−2 2 = −4
Klammern haben die höchste Ausführungspriorität. Daher wird im Fall der Berechnung des Ausdrucks (–2) 2 zuerst der entgegengesetzte Wert genommen und dann die negative Zahl –2 in die zweite Potenz erhoben. Das Ergebnis ist eine positive Antwort von 4, da das Produkt negativer Zahlen eine positive Zahl ist.
Beispiel 2. Erhöhen Sie die Zahl −2 in die dritte Potenz.
Die Zahl −2 hoch 3 ist das Produkt von drei Faktoren, von denen jeder gleich (−2) ist
(−2) 3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8
Beispiel 3. Erhöhen Sie die Zahl −2 in die vierte Potenz.
Die Zahl −2 hoch vier ist das Produkt von vier Faktoren, von denen jeder gleich (−2) ist.
(−2) 4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16
Es ist leicht zu sehen, dass beim Potenzieren einer negativen Zahl entweder eine positive oder eine negative Antwort erhalten werden kann. Das Vorzeichen der Antwort hängt vom Exponenten des Anfangsgrades ab.
Wenn der Exponent gerade ist, dann ist die Antwort ja. Wenn der Exponent ungerade ist, ist die Antwort negativ. Zeigen wir dies am Beispiel der Zahl −3
Im ersten und dritten Fall war der Indikator seltsam Nummer, so wurde die Antwort Negativ.
Im zweiten und vierten Fall war der Indikator eben Nummer, so wurde die Antwort positiv.
Beispiel 7 Erhöhen Sie die Zahl -5 in die dritte Potenz.
Die Zahl -5 hoch 3 ist das Produkt aus drei Faktoren, von denen jeder gleich -5 ist. Der Exponent 3 ist eine ungerade Zahl, daher können wir im Voraus sagen, dass die Antwort negativ sein wird:
(−5) 3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125
Beispiel 8 Erhöhen Sie die Zahl -4 in die vierte Potenz.
Die Zahl -4 hoch vier ist das Produkt von vier Faktoren, von denen jeder gleich -4 ist. In diesem Fall ist der Indikator 4 gerade, sodass wir im Voraus sagen können, dass die Antwort positiv sein wird:
(−4) 4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256
Ausdruckswerte finden
Wenn Sie Werte von Ausdrücken finden, die keine Klammern enthalten, wird zuerst die Potenzierung durchgeführt, dann die Multiplikation und Division in ihrer Reihenfolge und dann die Addition und Subtraktion in ihrer Reihenfolge.
Beispiel 1. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 2 + 5 2
Zuerst wird eine Potenzierung durchgeführt. In diesem Fall wird die Zahl 5 in die zweite Potenz erhoben - es ergibt sich 25. Dann wird dieses Ergebnis zur Zahl 2 addiert
2 + 5 2 = 2 + 25 = 27
Beispiel 10. Finden Sie den Wert des Ausdrucks −6 2 × (−12)
Zuerst wird eine Potenzierung durchgeführt. Beachten Sie, dass die Zahl −6 nicht in Klammern steht, also wird die Zahl 6 in die zweite Potenz erhoben, dann wird ein Minus vor das Ergebnis gesetzt:
−6 2 × (−12) = −36 × (−12)
Wir vervollständigen das Beispiel, indem wir −36 mit (−12) multiplizieren
−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432
Beispiel 11. Finde den Wert des Ausdrucks −3 × 2 2
Zuerst wird eine Potenzierung durchgeführt. Dann wird das Ergebnis mit der Zahl −3 multipliziert
−3 × 2 2 = −3 × 4 = −12
Wenn der Ausdruck Klammern enthält, müssen Sie zuerst Operationen in diesen Klammern ausführen, dann potenzieren, dann multiplizieren und dividieren und dann addieren und subtrahieren.
Beispiel 12. Finden Sie den Wert des Ausdrucks (3 2 + 1 × 3) − 15 + 5
Machen wir zuerst die Klammern. Innerhalb der Klammern wenden wir die zuvor gelernten Regeln an, nämlich zuerst die Zahl 3 in die zweite Potenz zu erheben, dann die Multiplikation 1 × 3 durchzuführen, dann die Ergebnisse der Potenzierung der Zahl 3 zu addieren und 1 × 3 zu multiplizieren. Subtraktion und Addition werden dann in der Reihenfolge ihres Erscheinens durchgeführt. Lassen Sie uns die folgende Reihenfolge der Ausführung der Aktion für den ursprünglichen Ausdruck festlegen:
(3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 = 12 - 15 + 5 = 2
Beispiel 13. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 2 × 5 3 + 5 × 2 3
Zuerst potenzieren wir die Zahlen, dann führen wir die Multiplikation durch und addieren die Ergebnisse:
2 x 5 3 + 5 x 2 3 = 2 x 125 + 5 x 8 = 250 + 40 = 290
Identitätstransformationen von Mächten
An Potenzen können verschiedene identische Transformationen durchgeführt werden, wodurch sie vereinfacht werden.
Angenommen, es wäre erforderlich, den Ausdruck (2 3) 2 zu berechnen. In diesem Beispiel wird zwei hoch 3 zur zweiten Potenz erhoben. Mit anderen Worten, ein Grad wird auf einen anderen Grad angehoben.
(2 3) 2 ist das Produkt zweier Potenzen, von denen jede gleich 2 3 ist
Außerdem ist jede dieser Potenzen das Produkt von drei Faktoren, von denen jeder gleich 2 ist
Wir haben das Produkt 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 erhalten, was gleich 64 ist. Also ist der Wert des Ausdrucks (2 3) 2 oder gleich 64
Dieses Beispiel lässt sich stark vereinfachen. Dazu können die Indikatoren des Ausdrucks (2 3) 2 multipliziert und dieses Produkt über die Basis 2 geschrieben werden
Habe 2 6 . Zwei hoch sechs ist das Produkt von sechs Faktoren, von denen jeder gleich 2 ist. Dieses Produkt ist gleich 64
Diese Eigenschaft funktioniert, weil 2 3 das Produkt von 2 × 2 × 2 ist, das wiederum zweimal wiederholt wird. Dann stellt sich heraus, dass Basis 2 sechsmal wiederholt wird. Von hier aus können wir schreiben, dass 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 2 6 ist
Im Allgemeinen aus irgendeinem Grund a mit Indikatoren m und n, gilt die folgende Gleichheit:
(ein)m = ein n × m
Diese identische Transformation wird aufgerufen Potenzierung. Es kann so gelesen werden: „Beim Potenzieren einer Potenz bleibt die Basis unverändert und die Exponenten werden multipliziert“ .
Nachdem Sie die Indikatoren multipliziert haben, erhalten Sie einen weiteren Grad, dessen Wert gefunden werden kann.
Beispiel 2. Finden Sie den Wert des Ausdrucks (3 2) 2
In diesem Beispiel ist die Basis 3 und die Zahlen 2 und 2 sind die Exponenten. Wenden wir die Potenzierungsregel an. Wir lassen die Basis unverändert und multiplizieren die Indikatoren:
Habe 3 4 . Und die Zahl 3 hoch vier ist 81
Schauen wir uns die restlichen Transformationen an.
Potenzmultiplikation
Um Grad zu multiplizieren, müssen Sie jeden Grad separat berechnen und die Ergebnisse multiplizieren.
Lassen Sie uns zum Beispiel 2 2 mit 3 3 multiplizieren.
2 2 ist die Zahl 4 und 3 3 ist die Zahl 27 . Wir multiplizieren die Zahlen 4 und 27, wir erhalten 108
2 2 x 3 3 = 4 x 27 = 108
In diesem Beispiel waren die Grundlagen der Befugnisse unterschiedlich. Wenn die Basen gleich sind, kann eine Basis geschrieben werden, und als Indikator die Summe der Indikatoren der Anfangsgrade schreiben.
Multiplizieren Sie zum Beispiel 2 2 mit 2 3
In diesem Beispiel haben die Exponenten dieselbe Basis. In diesem Fall kannst du eine Basis 2 schreiben und die Summe der Exponenten 2 2 und 2 3 als Indikator schreiben. Mit anderen Worten, lassen Sie die Basis unverändert und addieren Sie die Exponenten der ursprünglichen Grade. Es wird so aussehen:
Habe 2 5 . Die Zahl 2 hoch fünf ist 32
Diese Eigenschaft funktioniert, weil 2 2 das Produkt von 2 × 2 und 2 3 das Produkt von 2 × 2 × 2 ist. Dann wird das Produkt aus fünf identischen Faktoren gebildet, von denen jeder gleich 2 ist. Dieses Produkt kann als 2 5 dargestellt werden
Im Allgemeinen für alle a und Indikatoren m und n es gilt folgende Gleichheit:
Diese identische Transformation wird aufgerufen die Haupteigenschaft des Grades. Es kann so gelesen werden: PBei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis bleibt die Basis unverändert und die Exponenten werden addiert. .
Beachten Sie, dass diese Transformation auf eine beliebige Anzahl von Graden angewendet werden kann. Die Hauptsache ist, dass die Basis dieselbe ist.
Lassen Sie uns zum Beispiel den Wert des Ausdrucks 2 1 × 2 2 × 2 3 finden. Stiftung 2
Bei einigen Problemen kann es ausreichen, die entsprechende Transformation durchzuführen, ohne den endgültigen Grad zu berechnen. Das ist natürlich sehr praktisch, da es nicht so einfach ist, große Potenzen zu berechnen.
Beispiel 1. Drücken Sie den Ausdruck 5 8 × 25 als Potenz aus
In dieser Aufgabe müssen Sie es so machen, dass anstelle des Ausdrucks 5 8 × 25 ein Grad erhalten wird.
Die Zahl 25 kann als 5 2 dargestellt werden. Dann erhalten wir folgenden Ausdruck:
In diesem Ausdruck können Sie die Haupteigenschaft des Grades anwenden - lassen Sie die Basis 5 unverändert und fügen Sie die Indikatoren 8 und 2 hinzu:
Schreiben wir kurz die Lösung:
Beispiel 2. Drücken Sie den Ausdruck 2 9 × 32 als Potenz aus
Die Zahl 32 kann als 2 5 dargestellt werden. Dann erhalten wir den Ausdruck 2 9 × 2 5 . Als nächstes können Sie die Basiseigenschaft des Grades anwenden - lassen Sie die Basis 2 unverändert und fügen Sie die Indikatoren 9 und 5 hinzu. Daraus ergibt sich folgende Lösung:
Beispiel 3. Berechnen Sie das 3 × 3-Produkt unter Verwendung der grundlegenden Potenzeigenschaft.
Jeder weiß, dass drei mal drei gleich neun ist, aber die Aufgabe erfordert die Verwendung der Haupteigenschaft des Grads im Verlauf der Lösung. Wie kann man das machen?
Wir erinnern daran, dass, wenn eine Zahl ohne Indikator angegeben wird, der Indikator als gleich eins betrachtet werden muss. Die Faktoren 3 und 3 können also als 3 1 und 3 1 geschrieben werden
3 1 × 3 1
Jetzt verwenden wir die Haupteigenschaft des Grades. Wir lassen die Basis 3 unverändert und fügen die Indikatoren 1 und 1 hinzu:
3 1 × 3 1 = 3 2 = 9
Beispiel 4. Berechnen Sie das Produkt 2 × 2 × 3 2 × 3 3 unter Verwendung der grundlegenden Potenzeigenschaft.
Wir ersetzen das Produkt 2 × 2 durch 2 1 × 2 1 , dann durch 2 1 + 1 und dann durch 2 2 . Das Produkt von 3 2 × 3 3 wird durch 3 2 + 3 und dann durch 3 5 ersetzt
Beispiel 5. Multiplikation durchführen x × x
Dies sind zwei identische alphabetische Faktoren mit Indikatoren 1. Der Übersichtlichkeit halber schreiben wir diese Indikatoren auf. Weitere Basis x lassen Sie es unverändert und fügen Sie die Indikatoren hinzu:
An der Tafel sollte man die Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen nicht so ausführlich aufschreiben wie hier. Solche Berechnungen müssen im Kopf durchgeführt werden. Eine ausführliche Eingabe wird den Lehrer höchstwahrscheinlich ärgern und er wird die Note dafür senken. Hier wird eine detaillierte Aufzeichnung gegeben, damit das Material für das Verständnis so zugänglich wie möglich ist.
Die Lösung für dieses Beispiel sollte folgendermaßen geschrieben werden:
Beispiel 6. Multiplikation durchführen x 2 ×x
Der Index des zweiten Faktors ist gleich eins. Schreiben wir es der Übersichtlichkeit halber auf. Als nächstes lassen wir die Basis unverändert und fügen die Indikatoren hinzu:
Beispiel 7. Multiplikation durchführen j 3 j 2 j
Der Index des dritten Faktors ist gleich eins. Schreiben wir es der Übersichtlichkeit halber auf. Als nächstes lassen wir die Basis unverändert und fügen die Indikatoren hinzu:
Beispiel 8. Multiplikation durchführen aa 3 ein 2 ein 5
Der Index des ersten Faktors ist gleich eins. Schreiben wir es der Übersichtlichkeit halber auf. Als nächstes lassen wir die Basis unverändert und fügen die Indikatoren hinzu:
Beispiel 9. Drücken Sie die Potenz von 3 8 als Produkt von Potenzen mit derselben Basis aus.
Bei diesem Problem müssen Sie ein Potenzprodukt bilden, dessen Basis gleich 3 ist und dessen Exponentensumme gleich 8 ist. Sie können beliebige Indikatoren verwenden. Wir stellen den Grad 3 8 als Produkt der Potenzen 3 5 und 3 3 dar
In diesem Beispiel haben wir uns wieder auf die Haupteigenschaft des Grades verlassen. Schließlich kann der Ausdruck 3 5 × 3 3 als 3 5 + 3 geschrieben werden, also 3 8 .
Natürlich ließe sich die Potenz 3 8 als Produkt anderer Potenzen darstellen. Zum Beispiel in der Form 3 7 × 3 1 , da dieses Produkt auch 3 8 ist
Einen Abschluss als Produkt gleichberechtigter Kräfte darzustellen, ist meist kreative Arbeit. Scheuen Sie sich also nicht zu experimentieren.
Beispiel 10. Abschluss einreichen x 12 als verschiedene Potenzprodukte mit Basen x .
Lassen Sie uns die Haupteigenschaft des Grades verwenden. Vorstellen x 12 als Produkte mit Basen x, und die Summe der Exponenten davon gleich 12 ist
Die Konstruktionen mit Summen von Indikatoren wurden der Übersichtlichkeit halber aufgezeichnet. Meistens können sie übersprungen werden. Dann erhalten wir eine kompakte Lösung:
Potenzierung eines Produkts
Um ein Produkt zu potenzieren, müssen Sie jeden Faktor dieses Produkts mit der angegebenen Potenz potenzieren und die Ergebnisse multiplizieren.
Lassen Sie uns zum Beispiel das Produkt 2 × 3 in die zweite Potenz erheben. Wir nehmen dieses Produkt in Klammern und geben 2 als Indikator an
Lassen Sie uns nun jeden Faktor des 2 × 3-Produkts in die zweite Potenz erheben und die Ergebnisse multiplizieren:
Das Funktionsprinzip dieser Regel basiert auf der Definition des Grades, die ganz am Anfang gegeben wurde.
Das Produkt von 2 × 3 in die zweite Potenz zu erheben bedeutet, dieses Produkt zweimal zu wiederholen. Und wenn Sie es zweimal wiederholen, können Sie Folgendes erhalten:
2×3×2×3
Durch die Permutation der Stellen der Faktoren ändert sich das Produkt nicht. Auf diese Weise können Sie dieselben Multiplikatoren gruppieren:
2×2×3×3
Sich wiederholende Multiplikatoren können durch kurze Einträge ersetzt werden - Basen durch Exponenten. Das 2 × 2-Produkt kann durch 2 2 ersetzt werden, und das 3 × 3-Produkt kann durch 3 2 ersetzt werden. Dann wird aus dem Ausdruck 2 × 2 × 3 × 3 der Ausdruck 2 2 × 3 2 .
Lassen ab Originalarbeit. Um dieses Produkt an die Macht zu bringen n, müssen Sie die Faktoren separat erhöhen a und b bis zum angegebenen Grad n
Diese Eigenschaft gilt für eine beliebige Anzahl von Faktoren. Die folgenden Ausdrücke sind ebenfalls gültig:
Beispiel 2. Finden Sie den Wert des Ausdrucks (2 × 3 × 4) 2
In diesem Beispiel musst du das Produkt 2 × 3 × 4 in die zweite Potenz erheben. Dazu müssen Sie jeden Faktor dieses Produkts in die zweite Potenz erheben und die Ergebnisse multiplizieren:
Beispiel 3. Heben Sie das Produkt in die dritte Potenz a×b×c
Wir schließen dieses Produkt in Klammern ein und geben die Zahl 3 als Indikator an
Beispiel 4. Erhebe das Produkt in die dritte Potenz 3 xyz
Wir schließen dieses Produkt in Klammern ein und geben 3 als Indikator an
(3xyz) 3
Lassen Sie uns jeden Faktor dieses Produkts in die dritte Potenz erheben:
(3xyz) 3 = 3 3 x 3 j 3 z 3
Die Zahl 3 hoch 3 ist gleich der Zahl 27. Den Rest lassen wir unverändert:
(3xyz) 3 = 3 3 x 3 j 3 z 3 = 27x 3 j 3 z 3
In einigen Beispielen kann die Multiplikation von Potenzen mit denselben Exponenten durch das Produkt von Basen mit demselben Exponenten ersetzt werden.
Lassen Sie uns zum Beispiel den Wert des Ausdrucks 5 2 × 3 2 berechnen. Potenzieren Sie jede Zahl mit der zweiten Potenz und multiplizieren Sie die Ergebnisse:
5 2 x 3 2 = 25 x 9 = 225
Aber Sie können nicht jeden Grad einzeln berechnen. Stattdessen kann dieses Potenzprodukt durch ein Produkt mit einem Exponenten (5 × 3) 2 ersetzt werden. Berechnen Sie als Nächstes den Wert in Klammern und potenzieren Sie das Ergebnis mit der zweiten Potenz:
5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225
In diesem Fall wurde wieder die Potenzierungsregel des Produkts verwendet. Immerhin, wenn (ein x b)n = ein n × b n , dann ein n × b n = (a × b) n. Das heißt, die linke und die rechte Seite der Gleichung sind vertauscht.
Potenzierung
Wir betrachteten diese Transformation als ein Beispiel, als wir versuchten, das Wesen identischer Transformationen von Graden zu verstehen.
Beim Potenzieren einer Potenz wird die Basis unverändert gelassen und die Exponenten multipliziert:
(ein)m = ein n × m
Der Ausdruck (2 3) 2 beispielsweise potenziert eine Potenz mit einer Potenz – Zwei hoch 3 wird mit 2 potenziert. Um den Wert dieses Ausdrucks zu finden, kann die Basis unverändert gelassen und die Exponenten multipliziert werden:
(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6
(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64
Diese Regel basiert auf den vorherigen Regeln: Potenzierung des Produkts und der Grundeigenschaft des Grades.
Kehren wir zum Ausdruck (2 3) 2 zurück. Der Ausdruck in Klammern 2 3 ist das Produkt von drei identischen Faktoren, von denen jeder gleich 2 ist. Dann kann in dem Ausdruck (2 3) 2 die Potenz innerhalb der Klammern durch das Produkt 2 × 2 × 2 ersetzt werden.
(2×2×2) 2
Und das ist die Potenzierung des Produkts, das wir zuvor untersucht haben. Denken Sie daran, dass Sie, um ein Produkt zu potenzieren, jeden Faktor dieses Produkts mit der angegebenen Potenz potenzieren und die Ergebnisse multiplizieren müssen:
(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2
Jetzt beschäftigen wir uns mit der Haupteigenschaft des Grades. Wir lassen die Basis unverändert und fügen die Indikatoren hinzu:
(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6
Wie zuvor erhalten wir 2 6 . Der Wert dieses Grades beträgt 64
(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64
Auch ein Produkt, dessen Faktoren Potenzen sind, kann potenziert werden.
Lassen Sie uns zum Beispiel den Wert des Ausdrucks (2 2 × 3 2) 3 finden. Hier müssen die Indikatoren jedes Multiplikators mit dem Gesamtindikator 3 multipliziert werden. Finden Sie als Nächstes den Wert jedes Grads und berechnen Sie das Produkt:
(2 2 x 3 2) 3 = 2 2 x 3 x 3 2 x 3 = 2 6 x 3 6 = 64 x 729 = 46656
Ungefähr dasselbe passiert, wenn man die Potenz eines Produkts erhöht. Wir haben gesagt, dass beim Potenzieren eines Produkts jeder Faktor dieses Produkts mit der angegebenen Potenz potenziert wird.
Um beispielsweise das Produkt von 2 × 4 in die dritte Potenz zu erheben, müssen Sie den folgenden Ausdruck schreiben:
Aber früher wurde gesagt, dass, wenn eine Zahl ohne einen Indikator angegeben wird, der Indikator als gleich eins betrachtet werden sollte. Es stellt sich heraus, dass die Faktoren des Produkts 2 × 4 zunächst Exponenten gleich 1 haben. Dies bedeutet, dass der Ausdruck 2 1 × 4 1 in die dritte Potenz erhoben wurde. Und dies ist die Erhebung einer Stufe zu einer Potenz.
Lassen Sie uns die Lösung mit der Potenzierungsregel umschreiben. Wir sollten das gleiche Ergebnis erhalten:
Beispiel 2. Finden Sie den Wert des Ausdrucks (3 3) 2
Wir lassen die Basis unverändert und multiplizieren die Indikatoren:
Habe 3 6 . Die Zahl 3 hoch sechs ist die Zahl 729
Beispiel 3xy)³
Beispiel 4. Potenzieren Sie den Ausdruck ( ABC)⁵
Lassen Sie uns jeden Faktor des Produkts in die fünfte Potenz erheben:
Beispiel 5Axt) 3
Lassen Sie uns jeden Faktor des Produkts in die dritte Potenz erheben:
Da die negative Zahl −2 in die dritte Potenz erhoben wurde, wurde sie in Klammern gesetzt.
Beispiel 6. Führen Sie eine Potenzierung im Ausdruck (10 xy) 2
Beispiel 7. Potenzieren Sie den Ausdruck (−5 x) 3
Beispiel 8. Potenzieren Sie den Ausdruck (−3 j) 4
Beispiel 9. Potenzieren Sie den Ausdruck (−2 abx)⁴
Beispiel 10. Den Ausdruck vereinfachen x 5×( x 2) 3
Grad x 5 bleibt vorerst unverändert, und im Ausdruck ( x 2) 3 Führen Sie die Potenzierung zur Potenz durch:
x 5 × (x 2) 3 = x 5 ×x 2×3 = x 5 ×x 6
Jetzt machen wir die Multiplikation x 5 ×x 6. Dazu verwenden wir die Haupteigenschaft des Abschlusses - die Basis x lassen Sie es unverändert und fügen Sie die Indikatoren hinzu:
x 5 × (x 2) 3 = x 5 ×x 2×3 = x 5 ×x 6 = x 5 + 6 = x 11
Beispiel 9. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 4 3 × 2 2 unter Verwendung der Grundeigenschaft des Grades.
Die Haupteigenschaft des Abschlusses kann verwendet werden, wenn die Grundlagen der Anfangsabschlüsse gleich sind. In diesem Beispiel sind die Basen unterschiedlich, daher muss der ursprüngliche Ausdruck zunächst leicht modifiziert werden, nämlich um die Basen der Grade gleich zu machen.
Schauen wir uns die Potenz von 4 3 genauer an. Die Basis dieses Grads ist die Zahl 4, die als 2 2 dargestellt werden kann. Dann nimmt der ursprüngliche Ausdruck die Form (2 2) 3 × 2 2 an. Indem wir den Ausdruck (2 2) 3 potenzieren, erhalten wir 2 6 . Dann hat der ursprüngliche Ausdruck die Form 2 6 × 2 2 , was mit der Haupteigenschaft des Grads berechnet werden kann.
Schreiben wir die Lösung dieses Beispiels:
Gradteilung
Um eine Potenzteilung durchzuführen, müssen Sie den Wert jeder Potenz finden und dann die Teilung gewöhnlicher Zahlen durchführen.
Teilen wir zum Beispiel 4 3 durch 2 2 .
Berechnen Sie 4 3 , wir erhalten 64 . Wir berechnen 2 2 , wir bekommen 4. Jetzt teilen wir 64 durch 4, wir bekommen 16
Wenn sich bei der Division die Grade der Basis als gleich herausstellen, kann die Basis unverändert gelassen und der Exponent des Divisors vom Exponenten des Dividenden subtrahiert werden.
Lassen Sie uns zum Beispiel den Wert des Ausdrucks 2 3 finden: 2 2
Wir lassen die Basis 2 unverändert und subtrahieren den Exponenten des Divisors vom Exponenten des Dividenden:
Der Wert des Ausdrucks 2 3: 2 2 ist also 2 .
Diese Eigenschaft beruht auf der Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen oder, wie wir zu sagen pflegten, auf der Haupteigenschaft des Grades.
Kehren wir zum vorherigen Beispiel 2 3 zurück: 2 2 . Hier ist der Dividende 2 3 und der Divisor 2 2 .
Eine Zahl durch eine andere zu dividieren bedeutet, eine Zahl zu finden, die, wenn sie mit einem Divisor multipliziert wird, den Dividenden als Ergebnis ergibt.
In unserem Fall bedeutet das Teilen von 2 3 durch 2 2, eine Potenz zu finden, die, wenn sie mit dem Divisor 2 2 multipliziert wird, 2 3 ergibt. Welche Potenz kann mit 2 2 multipliziert werden, um 2 3 zu erhalten? Offensichtlich nur der Grad 2 1 . Von der Haupteigenschaft des Abschlusses haben wir:
Sie können überprüfen, ob der Wert des Ausdrucks 2 3: 2 2 gleich 2 1 ist, indem Sie den Ausdruck 2 3: 2 2 direkt auswerten. Dazu finden wir zuerst den Wert des Grades 2 3 , wir bekommen 8 . Dann finden wir den Wert des Grades 2 2 , wir bekommen 4 . Teilen Sie 8 durch 4, wir erhalten 2 oder 2 1 , da 2 = 2 1 .
2 3: 2 2 = 8: 4 = 2
Wenn also Potenzen mit derselben Basis geteilt werden, gilt die folgende Gleichheit:
Es kann auch vorkommen, dass nicht nur die Basen, sondern auch die Indikatoren gleich sind. In diesem Fall lautet die Antwort eins.
Lassen Sie uns zum Beispiel den Wert des Ausdrucks 2 2 finden: 2 2 . Lassen Sie uns den Wert jedes Grads berechnen und die Division der resultierenden Zahlen durchführen:
Beim Lösen von Beispiel 2 2: 2 2 kannst du auch die Regel zur Teilung von Graden mit gleichen Basen anwenden. Das Ergebnis ist eine Zahl hoch null, da die Differenz zwischen den Exponenten von 2 2 und 2 2 null ist:
Warum die Zahl 2 zum Nullgrad gleich Eins ist, haben wir oben herausgefunden. Wenn Sie 2 2: 2 2 auf die übliche Weise berechnen, ohne die Regel zum Teilen von Graden anzuwenden, erhalten Sie eins.
Beispiel 2. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 4 12: 4 10
Wir lassen 4 unverändert und subtrahieren den Exponenten des Divisors vom Exponenten des Dividenden:
4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16
Beispiel 3. Privat einreichen x 3: x als Abschluss mit Basis x
Wenden wir die Regel der Gewaltenteilung an. Base x lass ihn unverändert und subtrahiere den Exponenten des Divisors vom Exponenten des Dividenden. Der Teilerexponent ist gleich eins. Zur Verdeutlichung schreiben wir es auf:
Beispiel 4. Privat einreichen x 3: x 2 als Macht mit einer Basis x
Wenden wir die Regel der Gewaltenteilung an. Base x
Die Teilung von Graden kann als Bruch geschrieben werden. Das vorherige Beispiel kann also wie folgt geschrieben werden:
Zähler und Nenner eines Bruchs können expandiert geschrieben werden, nämlich in Form von Produkten gleicher Faktoren. Grad x 3 kann geschrieben werden als x × x × x, und der Grad x 2 wie x × x. Dann der Aufbau x 3 − 2 kann übersprungen werden und Bruchreduktion verwenden. Im Zähler und im Nenner können jeweils zwei Faktoren reduziert werden x. Das Ergebnis ist ein Multiplikator x
Oder noch kürzer:
Außerdem ist es nützlich, Brüche, die aus Potenzen bestehen, schnell kürzen zu können. Beispielsweise kann ein Bruch auf reduziert werden x 2. Einen Bruchteil kürzen um x 2 müssen Sie Zähler und Nenner des Bruchs teilen durch x 2
Die Aufteilung der Abschlüsse kann nicht im Detail beschrieben werden. Die obige Abkürzung kann verkürzt werden:
Oder noch kürzer:
Beispiel 5. Teilung ausführen x 12 : x 3
Wenden wir die Regel der Gewaltenteilung an. Base x lass ihn unverändert und subtrahiere den Exponenten des Divisors vom Exponenten des Dividenden:
Wir schreiben die Lösung unter Verwendung von Bruchreduktion. Gradteilung x 12 : x 3 wird geschrieben als . Als nächstes reduzieren wir diesen Bruch um x 3 .
Beispiel 6. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks
Im Zähler führen wir die Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen durch:
Nun wenden wir die Teilungsregel für Potenzen mit gleichen Basen an. Wir lassen die Basis 7 unverändert und subtrahieren den Exponenten des Divisors vom Exponenten des Dividenden:
Wir vervollständigen das Beispiel, indem wir die Potenz von 7 2 berechnen
Beispiel 7. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks
Lassen Sie uns die Potenzierung im Zähler durchführen. Sie müssen dies mit dem Ausdruck (2 3) 4 tun
Führen wir nun die Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen im Zähler durch.
Bereits in der 7. Klasse wird in einer Algebra-Stunde das Konzept des Mathematikstudiums eingeführt. Und in Zukunft wird dieses Konzept im Laufe des Mathematikstudiums in seinen verschiedenen Formen aktiv genutzt. Abschlüsse sind ein ziemlich schwieriges Thema, das das Auswendiglernen von Werten und die Fähigkeit zum korrekten und schnellen Zählen erfordert. Um schneller und besser mit mathematischen Abschlüssen arbeiten zu können, haben sie sich die Eigenschaften eines Abschlusses ausgedacht. Sie helfen dabei, große Berechnungen zu reduzieren und ein riesiges Beispiel bis zu einem gewissen Grad in eine einzelne Zahl umzuwandeln. Es gibt nicht so viele Eigenschaften, und alle sind leicht zu merken und in der Praxis anzuwenden. Daher werden in dem Artikel die Haupteigenschaften des Abschlusses sowie deren Anwendung erörtert.
Grad Eigenschaften
Wir betrachten 12 Eigenschaften eines Grades, einschließlich Eigenschaften von Potenzen mit derselben Basis, und geben für jede Eigenschaft ein Beispiel. Jede dieser Eigenschaften wird Ihnen helfen, Probleme mit Graden schneller zu lösen, und Sie vor zahlreichen Rechenfehlern bewahren.
1. Eigentum.
Viele Menschen vergessen diese Eigenschaft sehr oft, machen Fehler und stellen eine Zahl auf Null Grad als Null dar.
2. Eigentum.
3. Eigenschaft.
Es muss beachtet werden, dass diese Eigenschaft nur beim Multiplizieren von Zahlen verwendet werden kann, sie funktioniert nicht mit der Summe! Und wir dürfen nicht vergessen, dass diese und die folgenden Eigenschaften nur für Potenzen mit derselben Basis gelten.
4. Eigenschaft.
Wird die Zahl im Nenner negativ potenziert, dann wird beim Subtrahieren der Grad des Nenners in Klammern gesetzt, um das Vorzeichen in weiteren Berechnungen korrekt zu ersetzen.
Die Eigenschaft funktioniert nur beim Dividieren, nicht beim Subtrahieren!
5. Eigenschaft.
6. Eigenschaft.
Diese Eigenschaft kann auch umgekehrt angewendet werden. Eine Einheit, die bis zu einem gewissen Grad durch eine Zahl geteilt wird, ist diese Zahl mit einer negativen Potenz.
7. Eigenschaft.
Diese Eigenschaft lässt sich nicht auf Summe und Differenz anwenden! Beim Potenzieren einer Summe oder Differenz werden abgekürzte Multiplikationsformeln verwendet, nicht die Eigenschaften der Potenz.
8. Eigenschaft.
9. Eigenschaft.
Diese Eigenschaft funktioniert für jeden Bruchgrad mit einem Zähler gleich eins, die Formel ist dieselbe, nur der Grad der Wurzel ändert sich abhängig vom Nenner des Grads.
Außerdem wird diese Eigenschaft oft in umgekehrter Reihenfolge verwendet. Die Wurzel jeder Potenz einer Zahl kann als die Zahl hoch Eins dividiert durch die Potenz der Wurzel dargestellt werden. Diese Eigenschaft ist sehr nützlich, wenn die Wurzel der Zahl nicht extrahiert wird.
10. Eigenschaft.
Diese Eigenschaft funktioniert nicht nur mit der Quadratwurzel und dem zweiten Grad. Wenn der Grad der Wurzel und der Grad, bis zu dem diese Wurzel angehoben wird, gleich sind, dann wird die Antwort ein radikaler Ausdruck sein.
11. Eigentum.
Sie müssen diese Eigenschaft beim Lösen rechtzeitig sehen können, um sich riesige Berechnungen zu ersparen.
12. Eigentum.
Jede dieser Eigenschaften wird Ihnen mehr als einmal in Aufgaben begegnen, sie kann in ihrer reinen Form angegeben werden, oder sie kann einige Transformationen und die Verwendung anderer Formeln erfordern. Daher reicht es für die richtige Lösung nicht aus, nur die Eigenschaften zu kennen, Sie müssen den Rest des mathematischen Wissens üben und verbinden.
Anwendung von Abschlüssen und deren Eigenschaften
Sie werden aktiv in Algebra und Geometrie verwendet. Abschlüsse in Mathematik haben einen eigenen, wichtigen Platz. Mit ihrer Hilfe werden Exponentialgleichungen und Ungleichungen gelöst, sowie Potenzen erschweren oft Gleichungen und Beispiele aus anderen Bereichen der Mathematik. Exponenten helfen, große und lange Berechnungen zu vermeiden, es ist einfacher, die Exponenten zu reduzieren und zu berechnen. Aber um mit großen Potenzen oder mit Potenzen großer Zahlen zu arbeiten, müssen Sie nicht nur die Eigenschaften des Grades kennen, sondern auch kompetent mit den Basen arbeiten und sie zerlegen können, um Ihre Aufgabe zu erleichtern. Der Einfachheit halber sollten Sie auch die Bedeutung von potenzierten Zahlen kennen. Dies reduziert Ihre Zeit beim Lösen, da lange Berechnungen entfallen.
Bei Logarithmen spielt der Gradbegriff eine besondere Rolle. Da der Logarithmus im Wesentlichen die Potenz einer Zahl ist.
Abgekürzte Multiplikationsformeln sind ein weiteres Beispiel für die Verwendung von Potenzen. Sie können die Eigenschaften von Graden nicht verwenden, sie werden nach speziellen Regeln zerlegt, aber in jeder abgekürzten Multiplikationsformel gibt es immer Grade.
Abschlüsse werden auch in Physik und Informatik aktiv genutzt. Alle Übersetzungen in das SI-System werden mit Graden durchgeführt, und in Zukunft werden beim Lösen von Problemen die Eigenschaften des Grads angewendet. In der Informatik werden Zweierpotenzen aktiv genutzt, um das Zählen zu erleichtern und die Wahrnehmung von Zahlen zu vereinfachen. Weiterführende Berechnungen zur Umrechnung von Maßeinheiten oder Problemstellungen, wie in der Physik, erfolgen über die Eigenschaften des Grades.
Grade sind auch in der Astronomie sehr nützlich, wo man selten die Eigenschaften eines Grades verwendet, aber die Grade selbst aktiv verwendet werden, um die Aufzeichnung verschiedener Größen und Entfernungen zu verkürzen.
Grade werden auch im Alltag verwendet, wenn Flächen, Volumen, Entfernungen berechnet werden.
Mit Hilfe von Graden werden in jedem Wissenschaftsgebiet sehr große und sehr kleine Werte geschrieben.
Exponentialgleichungen und Ungleichungen
Gradeigenschaften nehmen gerade in Exponentialgleichungen und Ungleichungen eine besondere Stellung ein. Diese Aufgaben sind sehr häufig, sowohl im Schulunterricht als auch in Prüfungen. Alle werden durch Anwendung der Eigenschaften des Grades gelöst. Das Unbekannte liegt immer im Grad selbst, daher wird es bei Kenntnis aller Eigenschaften nicht schwierig sein, eine solche Gleichung oder Ungleichung zu lösen.
Im vorherigen Artikel haben wir darüber gesprochen, was Monome sind. In diesem Material werden wir analysieren, wie man Beispiele und Probleme löst, in denen sie verwendet werden. Hier betrachten wir Aktionen wie Subtraktion, Addition, Multiplikation, Division von Monomen und deren Potenzierung mit einem natürlichen Exponenten. Wir zeigen, wie solche Operationen definiert sind, geben die Grundregeln für ihre Implementierung an und was das Ergebnis sein sollte. Alle theoretischen Grundlagen werden wie gewohnt durch Problembeispiele mit Lösungsbeschreibungen illustriert.
Es ist am bequemsten, mit der Standardnotation von Monomen zu arbeiten, daher präsentieren wir alle Ausdrücke, die im Artikel verwendet werden, in einer Standardform. Wenn sie zunächst anders eingestellt sind, empfiehlt es sich, sie zunächst auf eine allgemein akzeptierte Form zu bringen.
Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Monomen
Die einfachsten Operationen, die mit Monomen durchgeführt werden können, sind Subtraktion und Addition. Im allgemeinen Fall ist das Ergebnis dieser Aktionen ein Polynom (in einigen Sonderfällen ist ein Monom möglich).
Wenn wir Monome addieren oder subtrahieren, schreiben wir zuerst die entsprechende Summe und Differenz in der allgemein akzeptierten Form auf, danach vereinfachen wir den resultierenden Ausdruck. Wenn es ähnliche Begriffe gibt, müssen diese angegeben werden, die Klammern müssen geöffnet werden. Lassen Sie es uns anhand eines Beispiels erklären.
Beispiel 1
Bedingung: addiere die Monome − 3 · x und 2 , 72 · x 3 · y 5 · z .
Lösung
Schreiben wir die Summe der ursprünglichen Ausdrücke auf. Fügen Sie Klammern hinzu und setzen Sie ein Pluszeichen dazwischen. Wir erhalten Folgendes:
(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)
Wenn wir die Klammern erweitern, erhalten wir - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z . Dies ist ein in Standardform geschriebenes Polynom, das das Ergebnis der Addition dieser Monome ist.
Antworten:(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z .
Wenn wir drei, vier oder mehr Begriffe haben, führen wir diese Aktion auf die gleiche Weise durch.
Beispiel 2
Bedingung: Führen Sie die angegebenen Operationen mit Polynomen in der richtigen Reihenfolge durch
3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c
Lösung
Beginnen wir mit dem Öffnen von Klammern.
3 ein 2 + 4 ein c + ein 2 - 7 ein 2 + 4 9 - 2 2 3 ein c
Wir sehen, dass der resultierende Ausdruck vereinfacht werden kann, indem ähnliche Terme reduziert werden:
3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 ein 2 + 1 1 3 ein c + 4 9
Wir haben ein Polynom, das das Ergebnis dieser Aktion sein wird.
Antworten: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9
Im Prinzip können wir mit einigen Einschränkungen die Addition und Subtraktion zweier Monome durchführen, sodass wir am Ende ein Monom erhalten. Dazu müssen einige Bedingungen bezüglich der Terme und subtrahierten Monome beachtet werden. Wie das geht, beschreiben wir in einem separaten Artikel.
Regeln zum Multiplizieren von Monomen
Die Multiplikationsaktion erlegt Multiplikatoren keinerlei Beschränkungen auf. Die zu multiplizierenden Monome dürfen keine weiteren Bedingungen erfüllen, damit das Ergebnis ein Monom ist.
Um eine Multiplikation von Monomen durchzuführen, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:
- Nehmen Sie das Stück richtig auf.
- Erweitern Sie die Klammern im resultierenden Ausdruck.
- Gruppieren Sie, wenn möglich, Faktoren mit denselben Variablen und numerischen Faktoren getrennt.
- Führen Sie die erforderlichen Aktionen mit Zahlen durch und wenden Sie die Eigenschaft der Multiplikation von Potenzen mit denselben Basen auf die verbleibenden Faktoren an.
Mal sehen, wie das in der Praxis gemacht wird.
Beispiel 3
Bedingung: Multipliziere die Monome 2 · x 4 · y · z und - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 .
Lösung
Beginnen wir mit der Komposition der Arbeit.
Öffnen Sie die Klammern darin und wir erhalten Folgendes:
2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11
2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11
Alles, was wir tun müssen, ist, die Zahlen in der ersten Klammer zu multiplizieren und die Potenz-Eigenschaft auf die zweite anzuwenden. Als Ergebnis erhalten wir Folgendes:
2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14
Antworten: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .
Wenn wir drei oder mehr Polynome in der Bedingung haben, multiplizieren wir sie mit genau demselben Algorithmus. Wir werden das Problem der Multiplikation von Monomen in einem separaten Material genauer betrachten.
Regeln für die Potenzierung eines Monoms
Wir wissen, dass das Produkt einer bestimmten Anzahl identischer Faktoren Grad mit natürlichem Exponenten genannt wird. Ihre Nummer wird durch die Nummer im Index angezeigt. Nach dieser Definition ist das Potenzieren eines Monoms gleichbedeutend mit der Multiplikation der angegebenen Anzahl identischer Monome. Mal sehen, wie es gemacht wird.
Beispiel 4
Bedingung: Erhöhen Sie das Monom − 2 · a · b 4 mit 3 .
Lösung
Wir können die Potenzierung durch die Multiplikation von 3 Monomen − 2 · a · b 4 ersetzen. Lassen Sie uns aufschreiben und die gewünschte Antwort erhalten:
(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (a a a) (b 4 b 4 b 4) = − 8 ein 3 b 12
Antworten:(− 2 ein b 4) 3 = − 8 ein 3 b 12 .
Aber was ist, wenn der Grad einen großen Exponenten hat? Das Aufzeichnen einer großen Anzahl von Multiplikatoren ist unbequem. Um ein solches Problem zu lösen, müssen wir dann die Eigenschaften des Grades anwenden, nämlich die Eigenschaft des Grades des Produkts und die Eigenschaft des Grades im Grad.
Lösen wir das oben genannte Problem auf die angegebene Weise.
Beispiel 5
Bedingung: erhebe − 2 · a · b 4 in die dritte Potenz.
Lösung
Wenn wir die Eigenschaft des Grades im Grad kennen, können wir zu einem Ausdruck der folgenden Form übergehen:
(− 2 ein b 4) 3 = (− 2) 3 ein 3 (b 4) 3 .
Danach potenzieren wir -2 und wenden die Exponenteneigenschaft an:
(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 ein 3 b 4 3 = − 8 ein 3 b 12 .
Antworten:- 2 · ein · b 4 = - 8 · ein 3 · b 12 .
Wir haben auch einen separaten Artikel der Potenzierung eines Monoms gewidmet.
Regeln zum Dividieren von Monomen
Die letzte Aktion mit Monomen, die wir in diesem Material analysieren werden, ist die Division eines Monoms durch ein Monom. Als Ergebnis sollten wir einen rationalen (algebraischen) Bruch erhalten (in einigen Fällen ist es möglich, ein Monom zu erhalten). Lassen Sie uns gleich klarstellen, dass die Division durch Nullmonom nicht definiert ist, da die Division durch 0 nicht definiert ist.
Um eine Division durchzuführen, müssen wir die angegebenen Monome in Form eines Bruchs schreiben und nach Möglichkeit kürzen.
Beispiel 6
Bedingung: dividiere das Monom − 9 x 4 y 3 z 7 durch − 6 p 3 t 5 x 2 y 2 .
Lösung
Beginnen wir damit, die Monome in Form eines Bruchs zu schreiben.
9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2
Dieser Anteil kann reduziert werden. Nachdem wir dies getan haben, erhalten wir:
3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5
Antworten:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .
Die Bedingungen, unter denen wir durch Dividieren von Monomen ein Monom erhalten, werden in einem separaten Artikel angegeben.
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Im letzten Video-Tutorial haben wir gelernt, dass der Grad einer Basis ein Ausdruck ist, der das Produkt der Basis und sich selbst ist, genommen in einem Betrag, der dem Exponenten entspricht. Lassen Sie uns nun einige der wichtigsten Eigenschaften und Operationen von Potenzen untersuchen.
Lassen Sie uns zum Beispiel zwei verschiedene Potenzen mit derselben Basis multiplizieren:
Schauen wir uns dieses Stück in seiner Gesamtheit an:
(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32
Wenn wir den Wert dieses Ausdrucks berechnen, erhalten wir die Zahl 32. Andererseits kann, wie aus demselben Beispiel ersichtlich ist, 32 als Produkt derselben Basis (zwei) dargestellt werden, 5 mal genommen. Und tatsächlich, wenn Sie zählen, dann:
Somit kann mit Sicherheit festgestellt werden, dass:
(2) 3 * (2) 2 = (2) 5
Diese Regel funktioniert erfolgreich für alle Indikatoren und Gründe. Diese Eigenschaft der Multiplikation des Grades folgt aus der Regel der Erhaltung der Bedeutung von Ausdrücken bei Transformationen im Produkt. Für jede Basis a ist das Produkt zweier Ausdrücke (a) x und (a) y gleich a (x + y). Mit anderen Worten, wenn Ausdrücke mit derselben Basis erzeugt werden, hat das letzte Monom einen Gesamtgrad, der durch Addieren des Grades des ersten und des zweiten Ausdrucks gebildet wird.
Die vorgestellte Regel funktioniert auch hervorragend beim Multiplizieren mehrerer Ausdrücke. Die Hauptbedingung ist, dass die Grundlagen für alle gleich sind. Zum Beispiel:
(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8
Es ist unmöglich, Grade hinzuzufügen und im Allgemeinen keine Kraftverbindungsaktionen mit zwei Elementen des Ausdrucks auszuführen, wenn ihre Grundlagen unterschiedlich sind.
Wie unser Video zeigt, werden aufgrund der Ähnlichkeit der Vorgänge Multiplikation und Division die Regeln für die Addition von Potenzen während eines Produkts perfekt auf das Divisionsverfahren übertragen. Betrachten Sie dieses Beispiel:
Lassen Sie uns den Ausdruck Term für Term in eine vollständige Form umwandeln und dieselben Elemente im Dividenden und Divisor reduzieren:
(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4
Das Endergebnis dieses Beispiels ist nicht so interessant, weil bereits im Verlauf seiner Lösung klar ist, dass der Wert des Ausdrucks gleich dem Quadrat von zwei ist. Und es ist die Zwei, die man erhält, indem man den Grad des zweiten Ausdrucks vom Grad des ersten subtrahiert.
Um den Grad des Quotienten zu bestimmen, muss der Grad des Divisors vom Grad des Dividenden subtrahiert werden. Die Regel arbeitet mit der gleichen Grundlage für alle ihre Werte und für alle natürlichen Kräfte. In abstrakter Form haben wir:
(a) x / (a) y = (a) x - y
Die Definition für den Nullgrad folgt aus der Regel zur Teilung identischer Basen durch Potenzen. Offensichtlich lautet der folgende Ausdruck:
(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0
Wenn wir andererseits visueller dividieren, erhalten wir:
(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1
Beim Reduzieren aller sichtbaren Elemente eines Bruchs erhält man immer den Ausdruck 1/1, also Eins. Daher wird allgemein akzeptiert, dass jede mit der Nullpotenz erhobene Basis gleich Eins ist:
Unabhängig vom Wert von a.
Es wäre jedoch absurd, wenn 0 (was immer noch 0 für jede Multiplikation ergibt) irgendwie gleich eins ist, sodass ein Ausdruck wie (0) 0 (Null zum Nullgrad) einfach keinen Sinn ergibt und Formel (a) 0 = 1 füge eine Bedingung hinzu: "wenn a ungleich 0 ist".
Machen wir die Übung. Lassen Sie uns den Wert des Ausdrucks finden:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11
Da die Basis überall gleich ist und gleich 34 ist, wird der Endwert mit einem Grad dieselbe Basis haben (gemäß den obigen Regeln):
Mit anderen Worten:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1
Antwort: Der Ausdruck ist gleich eins.
