Zeitliche und stationäre Schrödinger-Gleichung
Die statistische Interpretation von de Broglie-Wellen und der Heisenbergschen Unschärferelation führte zu dem Schluss, dass die Bewegungsgleichung in der Quantenmechanik, die die Bewegung von Mikropartikeln in verschiedenen Kraftfeldern beschreibt, eine Gleichung sein sollte, aus der sich die experimentell beobachteten Welleneigenschaften von Partikeln ergeben würden Folgen. Die Hauptgleichung muss eine Gleichung für die Wellenfunktion (x, y, z, t) sein, da diese Funktion, genauer gesagt der Wert 2 , die Wahrscheinlichkeit bestimmt, dass sich das Teilchen zum Zeitpunkt t im Volumen dV befindet , d.h. im Bereich mit den Koordinaten x und x+dx, y und y+dy, z und z+dz. Da die gesuchte Gleichung die Welleneigenschaften von Teilchen berücksichtigen muss, muss es sich um eine Wellengleichung handeln, ähnlich der Gleichung, die elektromagnetische Wellen beschreibt.
Diese Gleichung wird postuliert, und ihre Richtigkeit wird durch Übereinstimmung mit der Erfahrung der mit ihrer Hilfe erhaltenen Ergebnisse bestätigt.
Grundgleichung der nichtrelativistischen Quantenmechanik (1926)
4.1 Schrödinger-Zeitgleichung:
Die Gleichung gilt für nichtrelativistische Teilchen<< ,
wobei (\displaystyle \hbar =(h \over 2\pi )) die Masse des Teilchens ist; - imaginäre Einheit; 
ist die Potentialfunktion des Teilchens in dem Kraftfeld, in dem es sich bewegt; 
die gewünschte Wellenfunktion ist; ∆ ist der Laplace-Operator 
Bedingungen an die Wellenfunktion:
Die Wellenfunktion muss endlich, einwertig und stetig sein.
Die Ableitungen ∂Ψ/∂x, ∂Ψ/∂y, ∂Ψ/∂z , ∂Ψ/∂t müssen stetig sein.
Funktion 2 muss integrierbar sein (diese Bedingung reduziert sich auf die Normierungsbedingung für Wahrscheinlichkeiten).
4.2 Stationäre Schrödinger-Gleichung
Bei einem stationären Kraftfeld (Funktion U=U(x,y,z) hängt nicht explizit von der Zeit ab und hat die Bedeutung von potentieller Energie. In diesem Fall kann die Lösung der Schrödinger-Gleichung als Produkt zweier Funktionen dargestellt werden, von denen die eine nur eine Funktion der Koordinaten, die andere nur eine Funktion der Zeit ist und die Zeitabhängigkeit durch den Faktor ausgedrückt wird 
).
Dann kann die Wellenfunktion für stationäre Zustände (Zustände mit festen Energiewerten) dargestellt werden als:
Stationäre Schrödinger-Gleichung:
erhalten nach Einsetzen der Wellenfunktion in die Schrödinger-Zeitgleichung und Transformationen (∆ ist der Laplace-Operator, m- Teilchenmasse; - reduzierte Planck-Konstante ( = h/2π); E ist die Gesamtenergie des Teilchens, U ist die potentielle Energie des Teilchens. In der klassischen Physik die Menge (EU) wäre gleich der kinetischen Energie des Teilchens. In der Quantenmechanik ist der Begriff der kinetischen Energie aufgrund der Unschärferelation bedeutungslos. Hier die potentielle Energie U ist eine Funktion äußeres Kraftfeld in dem sich das Teilchen bewegt. Dieser Wert ist ziemlich eindeutig. Sie ist in diesem Fall auch eine Funktion der Koordinaten U =U(x,y,z)).
Schrödingers Hauptidee ist es, die mathematische Analogie zwischen geometrischer Optik und klassischer Mechanik auf die Welleneigenschaften von Licht und Teilchen zu übertragen.
Die Schrödinger-Gleichung erhalten wir aus dem Ausdruck für die Wellenfunktion eines freien Elektrons. Schreiben wir es in komplexer Form um.
Unter Verwendung des Verhältnisses von Frequenz zu Energie und der Wellenzahl zu Impuls erhalten wir: 
.
Im allgemeinen Fall ist die Gesamtenergie des Teilchens, , ist die kinetische Energie und ist die Wechselwirkungsenergie.
Finden wir die erste Ableitung nach und die zweite nach der Koordinate der Funktion Y: (1), (2).
Wir multiplizieren Gleichung (1) mit und Gleichung (2) mit (also haben die Faktoren auf der rechten Seite die Dimension Energie):
, 
.
Wir addieren die resultierenden Gleichungen:
.
Seit kann die letzte Gleichheit in das Formular umgeschrieben werden 
.
Das ist die Schrödinger-Gleichung. Es wurde für eine Koordinate erhalten. Wenn es für 3 Koordinaten umgeschrieben wird, dann haben wir durch die Einführung des Laplace-Operators endlich
.
Die Schrödinger-Gleichung lässt sich nicht direkt aus den Grundgesetzen der klassischen Physik ableiten. Mit der Schrödinger-Gleichung können Sie die Wellenfunktion zu einem beliebigen Zeitpunkt finden. Dazu muss man die Wellenfunktion zu einem festen Zeitpunkt, die Masse des Teilchens und die Wechselwirkungsenergie des Teilchens mit dem Kraftfeld kennen. Die gefundene Wellenfunktion ermöglicht es, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, ein Teilchen an einem beliebigen Punkt im Raum für einen beliebigen Zeitpunkt zu finden.
Die Haupteigenschaften, die Wellenfunktionen erfüllen müssen, sind Lösungen der Schrödinger-Gleichung:
1. Die Wellenfunktion ist linear, d.h. wenn … Lösungen der Gleichung sind, dann ist ihre Linearkombination eine Lösung.
2. Erste partielle Ableitungen nach Koordinaten sind linear
3. Die Wellenfunktion und ihre räumlichen Ableitungen müssen einwertig, endlich und stetig sein.
4. Da wir gegen ∞ tendieren, sollte der Wert der Wellenfunktion gegen Null gehen.
Schrödinger-Gleichung für stationäre Zustände.
Wenn das Kraftfeld, in dem sich das beschriebene Teilchen bewegt, stationär ist, dann hängt sein Potential nicht explizit von der Zeit ab, und die Funktion hat die Bedeutung von potentieller Energie und hängt nur von den Koordinaten ab. In diesem Fall kann die Wellenfunktion als Produkt von zwei dargestellt werden. Eine Funktion hängt nur von ab, die andere nur von der Zeit:
Wir setzen den letzten Ausdruck in die Schrödinger-Gleichung ein
Nach Reduktion um einen Zeitfaktor und einigen elementaren Transformationen erhalten wir: 
(*).
Dies ist die Schrödinger-Gleichung für stationäre Zustände. Es enthält nur den Koordinatenteil der Wellenfunktion - . Ist letzteres gefunden, so ergibt sich die Gesamtwellenfunktion durch Multiplikation des Koordinatenanteils mit dem Zeitfaktor .
Da die Wahrscheinlichkeit durch das Quadrat der Wellenfunktion bestimmt wird und das Quadrat des komplexen Werts durch Multiplikation mit dem konjugiert Komplexen gefunden wird, gilt für stationäre Wellenfunktionen die folgende Beziehung:
Um also die Wellenfunktion für stationäre Zustände zu finden, ist es notwendig, die Gleichung (*) zu lösen und die Gesamtenergie zu kennen.
Freie Bewegung von Partikeln.
Bei der freien Bewegung eines Quantenteilchens wirken keine Kräfte auf es ein und seine potentielle Energie kann gleich Null sein. Lassen Sie das Teilchen sich in Richtung bewegen, dann nimmt (*) die Form an: 
.
Eine bestimmte Lösung dieser Gleichung ist eine Funktion der Form 
, wobei und Konstanten sind. Setzen wir die gesuchte Lösung in die Gleichung selbst ein, so erhalten wir den Zusammenhang zwischen der Energie des Teilchens und der Größe:
Die Vollwellenfunktion hat unter Berücksichtigung der Zeitabhängigkeit für ein freies Teilchen die Form . Es ist eine ebene monochromatische Welle mit Frequenz und Wellenzahl. Seit , und , damals .
SCHROEDINGER-GLEICHUNG
UND IHRE SONDERFÄLLE (Fortsetzung): der Durchgang eines Teilchens durch eine POTENZIALBARRIERE, harmonischer Oszillator
Durchgang eines Teilchens durch eine Potentialbarriere den klassischen Fall haben wir bereits in VORTRAG 7 TEIL 1 betrachtet (siehe Abb. 7.2). Betrachten wir nun ein Mikropartikel, dessen Gesamtenergie kleiner als das Niveau ist U Potentialbarriere (Abb. 19.1). In der klassischen Version ist in diesem Fall der Durchgang eines Teilchens durch die Barriere unmöglich. In der Quantenphysik besteht jedoch die Möglichkeit, dass das Teilchen durchgeht. Außerdem "springt" es nicht darüber, sondern "leckt" sozusagen durch und nutzt dabei seine Wellenqualitäten. Daher wird der Effekt auch als „Tunneln“ bezeichnet. Für jeden Bereich I, II, III wir schreiben die stationäre Schrödinger-Gleichung (18.3).
Für ich und III: 
, (19.1, a)
zum II: https://pandia.ru/text/78/010/images/image005_107.gif" width="71" height="32">, wobei ein = konst. Dann 
und y" = . Einsetzen von y" in (19.1a) ergibt: Die erforderliche allgemeine Lösung für den Definitionsbereich ich als Überlagerung geschrieben
https://pandia.ru/text/78/010/images/image010_62.gif" width="132" height="32 src="> . (19.3)
Dabei verschiebt sich der Anfangspunkt der Wellenausbreitung um L, a BEIM 3 = 0 , weil in der Region III es gibt nur eine vorbeiziehende Welle.
Im Gebiet II(Barriere) Substitution y" in (19.1b) ergibt
https://pandia.ru/text/78/010/images/image012_51.gif" width="177" height="32">.
Die Wahrscheinlichkeit des Bestehens wird charakterisiert Übertragungskoeffizient- das Verhältnis der Intensität der gesendeten Welle zur Intensität des einfallenden:
(0) = y2"(0) , y2"( L) = y3"( L); (19.5)
von denen die ersten beiden das "Nähen" von Funktionen an der linken und rechten Grenze der Barriere bedeuten, und die dritte und vierte - die Glätte eines solchen Übergangs. Durch Einsetzen der Funktionen y1, y2 und y3 in (19.5) erhalten wir die Gleichungen
Unterteilen wir sie in SONDERN 1 und bezeichnen a 2=A 2/EIN 1; b 1=B 1/EIN 1; a 3=A 3/EIN 1; b 2=B 2/EIN 1.
. (19.6)
Wir multiplizieren die erste Gleichung (19.6) mit ichk und füge es dem zweiten hinzu. Nehmen wir 2 ichk = a 2(q+ichk)-b 2(q-ichk) . (19.7)
Das zweite Gleichungspaar (19.6) betrachten wir als System aus zwei Gleichungen mit Unbekannten a 2 und b 2.
Die Determinanten dieses Systems sind:
https://pandia.ru/text/78/010/images/image017_33.gif" width="319" height="32">,
wo e- qL(q+ichk) 2 » 0, weil qL >> 1.
Daher https://pandia.ru/text/78/010/images/image019_32.gif" width="189" height="63">, und um das Modul des komplexen Werts zu finden a 3, Multipliziere Zähler und Nenner des resultierenden Bruchs mit ( q+ichk)2. Nach einfachen Transformationen erhalten wir
https://pandia.ru/text/78/010/images/image021_30.gif" width="627" height="135 src=">Normalerweise EU~ 90 % und der gesamte Koeffizient vor "e" liegt in der Größenordnung von eins. Daher wird die Wahrscheinlichkeit, dass ein Partikel die Barriere passiert, durch die folgende Beziehung bestimmt:
https://pandia.ru/text/78/010/images/image023_24.gif" width="91" height="44">.
Dies bedeutet, dass bei E< U das Teilchen wird die Barriere nicht überwinden, d.h. es gibt keinen Tunneleffekt in der klassischen Physik.
Dieser Effekt wird in der Ingenieurpraxis genutzt, um Tunneldioden herzustellen, die in Funktechnikgeräten weit verbreitet sind (siehe TEIL 3, VORTRAG 3).
Außerdem hat sich herausgestellt, dass es möglich ist, unter terrestrischen Bedingungen eine thermonukleare Fusionsreaktion zu initiieren, die auf der Sonne unter den für die Sonne üblichen Bedingungen – bei einer Temperatur – abläuft T ~ 109 K. Auf der Erde gibt es keine solche Temperatur, aber aufgrund des Tunneleffekts ist es möglich, die Reaktion bei einer Temperatur zu starten T ~ 107 K, die während der Explosion einer Atombombe stattfindet, die die Zündvorrichtung für die Wasserstoffbombe war. Mehr dazu im nächsten Teil des Kurses.
Harmonischer Oszillator.Klassisch auch der harmonische Oszillator wurde von uns bereits betrachtet (VORTRAG 1,2 TEIL 3). Es ist zum Beispiel ein Federpendel, dessen Gesamtenergie E = mV 2/2 + kx 2/2. Theoretisch kann diese Energie eine kontinuierliche Reihe von Werten annehmen, beginnend bei Null.
Ein harmonischer Quantenoszillator ist ein nach dem harmonischen Gesetz schwingendes Mikroteilchen, das sich in einem gebundenen Zustand innerhalb eines Atoms oder Kerns befindet. Klassisch bleibt in diesem Fall die potentielle Energie, die eine ähnlich elastische Rückstellkraft charakterisiert kx. In Anbetracht dessen, dass die zyklische Frequenz 
Wir erhalten für potentielle Energie https://pandia.ru/text/78/010/images/image026_19.gif" width="235" height="59">. (19.9)
Mathematisch ist dieses Problem noch schwieriger als die vorherigen. Daher beschränken wir uns darauf, zu sagen, was das Ergebnis sein wird. Wie im Fall des eindimensionalen Brunnens erhalten wir diskret Spektrum von Eigenfunktionen und Eigenenergien, und ein Energieeigenwert entspricht einer Wellenfunktion: EnÛ y n(es gibt keine Degeneration von Zuständen, wie im Fall eines dreidimensionalen Brunnens). Die Wahrscheinlichkeitsdichte |yn|2 ist ebenfalls eine oszillierende Funktion, aber die Höhe der „Buckel“ ist unterschiedlich. Es ist nicht mehr banal Sünde2
, während die exotischeren Hermite-Polynome hn(x). Die Wellenfunktion hat die Form
, wo Mitn- es hängt davon ab n Konstante. Energieeigenwertspektrum:
, (19.10)
wo ist die quantenzahl n = 0, 1, 2, 3 ... . Somit gibt es auch "Nullenergie" , über dem das Energiespektrum einen "Stapel" bildet, bei dem die Regale im gleichen Abstand voneinander angeordnet sind (Abb. 19.2). Die gleiche Abbildung zeigt die entsprechende Wahrscheinlichkeitsdichte |yn|2 für jedes Energieniveau sowie die potentielle Energie des äußeren Feldes (gepunktete Parabel).
Die Existenz einer minimal möglichen Energie eines Oszillators ungleich Null hat eine tiefe Bedeutung. Das bedeutet, dass die Schwingungen der Mikropartikel nicht aufhören noch nie, was wiederum bedeutet, dass eine absolute Nulltemperatur unerreichbar ist.
1., Bursische Physik: Eine Vorlesung mit Computerunterstützung: Proc. Zuschuss für Studenten. höher Lehrbuch Institutionen: In 2 Bänden - M.: VLADOS-PRESS Verlag, 2001.
Im Prinzip nichts Besonderes, sie sind in Tabellen und sogar Grafiken zu finden.
Für Teilchen der Quantenwelt gelten andere Gesetze als für Objekte der klassischen Mechanik. Nach der Annahme von de Broglie haben Mikroobjekte sowohl Teilchen- als auch Welleneigenschaften – und tatsächlich, wenn ein Elektronenstrahl an einem Loch gestreut wird, wird eine für Wellen charakteristische Beugung beobachtet.
Daher können wir nicht von der Bewegung von Quantenteilchen sprechen, sondern von der Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt an einem bestimmten Punkt befindet.
Was beschreibt die Schrödinger-Gleichung
Die Schrödinger-Gleichung soll die Eigenschaften der Bewegung von Quantenobjekten in den Feldern äußerer Kräfte beschreiben. Oft bewegt sich ein Teilchen durch ein zeitunabhängiges Kraftfeld. Für diesen Fall schreibt man die stationäre Schrödinger-Gleichung:
In der vorgestellten Gleichung sind m bzw. E die Energie des Teilchens im Kraftfeld und U die Energie dieses Felds. 
ist der Laplace-Operator. - Plancksche Konstante, gleich 6,626 10 -34 J s.
(auch als Wahrscheinlichkeitsamplitude oder Psi-Funktion bezeichnet) - mit dieser Funktion können Sie herausfinden, wo sich unser Mikroobjekt am wahrscheinlichsten im Raum befindet. Die physikalische Bedeutung ist nicht die Funktion selbst, sondern ihr Quadrat. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen in einem Elementarvolumen befindet, ist:
Daher ist es möglich, eine Funktion in einem endlichen Volumen mit der Wahrscheinlichkeit zu finden:
Da die Psi-Funktion eine Wahrscheinlichkeit ist, kann sie weder kleiner als Null sein noch Eins überschreiten. Die Gesamtwahrscheinlichkeit, ein Teilchen in einem unendlichen Volumen zu finden, ist die Normierungsbedingung:
Für die Psi-Funktion funktioniert das Superpositionsprinzip: Wenn ein Teilchen oder System in mehreren Quantenzuständen sein kann, dann ist ihm auch ein durch ihre Summe bestimmter Zustand möglich:
Die stationäre Schrödinger-Gleichung hat viele Lösungen, aber beim Lösen sollte man die Randbedingungen berücksichtigen und nur richtige Lösungen auswählen - solche, die eine physikalische Bedeutung haben. Solche Lösungen existieren nur für Einzelwerte der Energie des Teilchens E, die das diskrete Energiespektrum des Teilchens bilden.
Beispiele für Problemlösungen
BEISPIEL 1
| Die Übung | Die Wellenfunktion beschreibt den Abstand zwischen Elektron und Wasserstoffkern: r ist der Abstand zwischen Elektron und Kern, a ist der erste Bohr-Radius. Wie weit ist das Elektron wahrscheinlich vom Kern entfernt? |
| Entscheidung | 1) Wenn wir das Volumen in Bezug auf den Radius des Kerns ausdrücken, finden wir die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Elektron in einer bestimmten Entfernung vom Kern befindet: 2) Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Elektron innerhalb des elementaren "Rings" dr befindet:
3) Um die wahrscheinlichste Entfernung zu finden, finden wir aus dem letzten Ausdruck: Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir r = a - den wahrscheinlichsten Abstand zwischen dem Elektron und dem Kern. |
| Antworten | r = a – mit der höchsten Wahrscheinlichkeit befindet sich der Kern im Abstand des ersten Bohr-Radius vom Kern. |
BEISPIEL 2
| Die Übung | Finden Sie die Energieniveaus eines Teilchens in einem unendlich tiefen Potentialtopf. |
| Entscheidung | Lassen Sie das Teilchen sich entlang der x-Achse bewegen. Grubenbreite - l. Wir zählen die Energie vom Boden des Brunnens und beschreiben sie mit der Funktion: Wir schreiben die eindimensionale stationäre Schrödinger-Gleichung:
Beachten Sie die Randbedingungen. Da wir glauben, dass das Teilchen die Wände nicht durchdringen kann, ist außerhalb des Brunnens = 0. Am Rand des Brunnens ist die Psi-Funktion ebenfalls gleich Null: Im Brunnen ist die potentielle Energie U=0. Dann wird die für den Brunnen geschriebene Schrödinger-Gleichung vereinfacht:
In der Form ist dies das DE eines harmonischen Oszillators: |
Die Bewegung von Mikropartikeln in verschiedenen Kraftfeldern wird im Rahmen der nichtrelativistischen Quantenmechanik mit der Schrödinger-Gleichung beschrieben, woraus die experimentell beobachteten Welleneigenschaften von Partikeln folgen. Diese Gleichung wird, wie alle Grundgleichungen der Physik, nicht hergeleitet, sondern postuliert. Seine Richtigkeit wird durch Übereinstimmung zwischen den Berechnungsergebnissen und dem Experiment bestätigt. Die Schrödinger-Wellengleichung hat die folgende allgemeine Form:
- (ħ 2 / 2m) ∙ ∆ψ + U (x, y, z, t) ∙ ψ = i ∙ ħ ∙ (∂ψ / ∂t)
wobei ħ = h / 2π, h = 6,623∙10 -34 J ∙ s - Plancksche Konstante;
m ist die Masse des Teilchens;
∆ - Laplace-Operator (∆ = ∂ 2 / ∂x 2 + ∂ 2 / ∂y 2 + ∂ 2 / ∂z 2);
ψ = ψ (x, y, z, t) - gewünschte Wellenfunktion;
U (x, y, z, t) ist die Potentialfunktion des Teilchens im Kraftfeld, in dem es sich bewegt;
i ist die imaginäre Einheit.
Diese Gleichung hat nur unter den an die Wellenfunktion gestellten Bedingungen eine Lösung:
- ψ (x, y, z, t) muss endlich, einwertig und stetig sein;
- die ersten Ableitungen davon müssen stetig sein;
- Funktion | ψ | 2 muss integrierbar sein, was sich im einfachsten Fall auf die Normierungsbedingung für Wahrscheinlichkeiten reduziert.
∆ψ + (2m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0
wobei ψ = ψ (x, y, z) nur die Wellenfunktion der Koordinaten ist;
E ist der Parameter der Gleichung - die Gesamtenergie des Teilchens.
Für diese Gleichung haben nur Lösungen, die durch reguläre Funktionen ψ (sogenannte Eigenfunktionen) ausgedrückt werden, die nur für bestimmte Werte des Parameters E, genannt Energieeigenwert, erfolgen, eine wirkliche physikalische Bedeutung. Diese Werte von E können entweder eine kontinuierliche oder eine diskrete Reihe bilden, d.h. sowohl kontinuierliches als auch diskretes Energiespektrum.
Für jedes Mikroteilchen in Gegenwart der Schrödinger-Gleichung vom Typ (8.2) reduziert sich das Problem der Quantenmechanik auf die Lösung dieser Gleichung, d.h. Finden der Werte der Wellenfunktionen ψ = ψ (x, y, z) entsprechend dem Spektrum der Eigenenergien E. Als nächstes die Wahrscheinlichkeitsdichte | ψ | 2 , die in der Quantenmechanik die Wahrscheinlichkeit bestimmt, ein Teilchen in einem Einheitsvolumen in der Nähe eines Punktes mit Koordinaten (x, y, z) zu finden.
Einer der einfachsten Fälle zur Lösung der Schrödinger-Gleichung ist das Problem des Verhaltens eines Teilchens in einem eindimensionalen rechteckigen „Potentialtopf“ mit unendlich hohen „Wänden“. Eine solche "Grube" für ein Teilchen, das sich nur entlang der X-Achse bewegt, wird durch eine potentielle Energie der Form beschrieben
wobei l die Breite der "Grube" ist und die Energie von ihrem Boden aus gemessen wird (Abb. 8.1).
Die Schrödinger-Gleichung für stationäre Zustände bei einem eindimensionalen Problem lässt sich schreiben als:
∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0
Da die „Grubenwände“ unendlich hoch sind, dringt das Teilchen nicht über die „Grube“ hinaus. Dies führt zu den Randbedingungen:
ψ (0) = ψ (l) = 0
Innerhalb der „Grube“ (0 ≤ x ≤ l) reduziert sich Gleichung (8.4) zu:
∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ E ∙ ψ = 0
∂ 2 ψ / ∂x 2 + (k 2 ∙ ψ) = 0
wobei k 2 = (2m ∙ E) / ħ 2
Die Lösung von Gleichung (8.7) hat unter Berücksichtigung der Randbedingungen (8.5) im einfachsten Fall die Form:
ψ (x) = A ∙ Sünde (kx)
wobei k = (n ∙ π)/l
für ganzzahlige Werte von n.
Aus den Ausdrücken (8.8) und (8.10) folgt das
E n = (n 2 ∙ π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) (n = 1, 2, 3 ...)
jene. Die Energie stationärer Zustände hängt von einer ganzen Zahl n (der sogenannten Quantenzahl) ab und hat bestimmte diskrete Werte, die als Energieniveaus bezeichnet werden.
Folglich kann ein Mikropartikel in einem "Potentialtopf" mit unendlich hohen "Wänden" nur auf einem bestimmten Energieniveau E n sein, d.h. in diskreten Quantenzuständen n.
Durch Einsetzen des Ausdrucks (8.10) in (8.9) finden wir die Eigenfunktionen
ψ n (x) = A ∙ Sünde (nπ / l) ∙ x
Die Integrationskonstante A kann aus der quantenmechanischen (probabilistischen) Normierungsbedingung ermittelt werden
was für diesen Fall geschrieben werden kann als:
Als Ergebnis der Integration erhalten wir À = √ (2 / l) und dann haben wir
ψ n (x) = (√ (2 / l)) ∙ sin (nπ / l) ∙ x (n = 1, 2, 3 ...)
Die Graphen der Funktion ψ n (x) haben keine physikalische Bedeutung, während die Graphen der Funktion | ψ n | Abb. 2 zeigt die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsdichte für den Nachweis eines Teilchens in unterschiedlichen Abständen von den „Grubenwänden“ (Abb. 8.1). Gerade diese Graphen (sowie ψ n (x) - zum Vergleich) werden in dieser Arbeit untersucht und zeigen deutlich, dass die Vorstellungen über Teilchenbahnen in der Quantenmechanik unhaltbar sind.
Aus Ausdruck (8.11) folgt, dass das Energieintervall zwischen zwei benachbarten Niveaus gleich ist
∆E n = E n-1 - E n = (π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) ∙ (2n + 1)
Daraus ist ersichtlich, dass bei Mikropartikeln (z. B. einem Elektron) mit großen "Well"-Größen (l ≈ 10 -1 m) die Energieniveaus so eng beabstandet sind, dass sie ein nahezu kontinuierliches Spektrum bilden. Ein solcher Zustand tritt beispielsweise bei freien Elektronen in einem Metall auf. Wenn die Dimensionen der "Grube" den atomaren entsprechen (l ≈ 10 -10 m), dann erhält man ein diskretes Energiespektrum (Linienspektrum). Auch derartige Spektren können in dieser Arbeit für verschiedene Mikropartikel untersucht werden.
Ein weiterer in der Praxis häufig anzutreffender (und in dieser Arbeit betrachteter) Fall des Verhaltens von Mikropartikeln (wie auch Mikrosystemen - Pendeln) ist das Problem eines linearen harmonischen Oszillators in der Quantenmechanik.
Bekanntlich ist die potentielle Energie eines eindimensionalen harmonischen Oszillators mit der Masse m gleich
U (x) = (m ∙ ω 0 2 ∙ x 2)/ 2
wobei ω 0 die Eigenschwingungsfrequenz des Oszillators ω 0 = √ (k / m) ist;
k - Elastizitätskoeffizient des Oszillators.
Abhängigkeit (8.17) hat die Form einer Parabel, d.h. "Potentialtopf" ist in diesem Fall parabolisch (Abb. 8.2).
Der harmonische Quantenoszillator wird durch die Schrödinger-Gleichung (8.2) beschrieben, die den Ausdruck (8.17) für die potentielle Energie berücksichtigt. Die Lösung dieser Gleichung schreibt sich wie folgt:
ψ n (x) = (N n ∙ e -αx2 / 2) ∙ H n (x)
wobei N n ein konstanter Normalisierungsfaktor ist, der von der ganzen Zahl n abhängt;
α = (m ∙ ω 0) / ħ;
H n (x) ist ein Polynom vom Grad n, dessen Koeffizienten unter Verwendung einer rekursiven Formel für verschiedene ganze Zahlen n berechnet werden.
In der Theorie der Differentialgleichungen kann man beweisen, dass die Schrödinger-Gleichung nur für die Energieeigenwerte eine Lösung (8.18) hat:
E n = (n + (1 / 2)) ∙ ħ ∙ ω 0
wobei n = 0, 1, 2, 3 ... die Quantenzahl ist.
Das bedeutet, dass die Energie eines Quantenoszillators nur diskrete Werte annehmen kann, d.h. ist quantisiert. Für n = 0 findet E 0 = (ħ ∙ ω 0) / 2 statt, d.h. Energie von Nullschwingungen, die typisch für Quantensysteme ist und eine direkte Folge der Unschärferelation ist.
Wie die detaillierte Lösung der Schrödinger-Gleichung für einen Quantenoszillator zeigt, hat jeder Energieeigenwert bei verschiedenen n seine eigene Wellenfunktion, da der konstante Normierungsfaktor hängt von n ab
und auch H n (x) ist ein Tschebyscheff-Hermite-Polynom vom Grad n.
Außerdem sind die ersten beiden Polynome gleich:
H 0 (x) = 1;
H 1 (x) = 2x ∙ √ α
Jedes nachfolgende Polynom ist durch die folgende rekursive Formel mit ihnen verbunden:
H n+1 (x) = 2x ∙ √ α ∙ H n (x) - 2n ∙ H n-1 (x)
Eigenfunktionen vom Typ (8.18) ermöglichen es, für einen Quantenoszillator die Wahrscheinlichkeitsdichte für das Auffinden eines Mikroteilchens als | zu finden ψ n (x) | 2 und untersuchen Sie sein Verhalten auf verschiedenen Energieniveaus. Die Lösung dieses Problems ist aufgrund der Notwendigkeit, eine rekursive Formel zu verwenden, schwierig. Dieses Problem kann nur mit der Verwendung eines Computers erfolgreich gelöst werden, was in der vorliegenden Arbeit getan wird.
