Questquelle: Entscheidung 5346.-13. OGE 2016 Mathematik, I.V. Jaschtschenko. 36 Optionen.

Aufgabe 11. Beim Trapez ABCD wissen wir, dass AB = CD, Winkel BDA = 54° und Winkel BDC = 33°. Finde den Winkel ABD. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Entscheidung.

Gegeben sei ein gleichschenkliges Trapez mit den Seiten AB=CD. Da die Winkel an den Basen eines solchen Trapezes gleich sind, haben wir das und . Lassen Sie uns den Wert der Winkel A und D finden. Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass der Winkel D (und damit der Winkel A) gleich ist:

Betrachten Sie nun das Dreieck ABD, in dem die Winkel A und BDA bekannt sind, und da die Summe aller Winkel im Dreieck 180 Grad beträgt, finden wir den dritten Winkel ABD:

Antworten: 39.

Aufgabe 12. Drei Punkte werden auf kariertem 1x1-Papier markiert: A, B und C. Ermitteln Sie die Entfernung von Punkt A zur Linie BC.

Entscheidung.

Der Abstand von Punkt A zur Linie BC ist der Normalabfall von Punkt A zur Seite BC (rote Linie in der Abbildung). Die Länge dieser Normalen beträgt 3 Zellen, also 3 Einheiten.

Antworten: 3.

Aufgabe 13. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

1) Die Fläche eines Dreiecks ist kleiner als das Produkt seiner beiden Seiten.

2) Der einem Kreis einbeschriebene Winkel ist gleich dem entsprechenden Mittelpunktswinkel auf der Grundlage desselben Bogens.

3) Durch einen Punkt, der nicht auf einer gegebenen Linie liegt, kann man eine Linie senkrecht zu dieser Linie ziehen.

Entscheidung.

1) Stimmt. Die Fläche eines Dreiecks ist gleich dem Produkt aus der Höhe und der Hälfte der Basis des Dreiecks, und alle diese Größen sind kleiner als die Längen von zwei beliebigen seiner Seiten.

Satz 1 (Satz von Thales). Parallele Linien schneiden proportionale Segmente auf den Linien, die sie schneiden (Abb. 1).

Bestimmung 1 . Zwei Dreiecke (Abb. 2) heißen ähnlich, wenn ihre entsprechenden Seiten proportional sind.

Satz 2 (erstes Zeichen der Ähnlichkeit). Wenn der Winkel des ersten Dreiecks gleich dem Winkel des zweiten Dreiecks ist und die Seiten der an diese Winkel angrenzenden Dreiecke proportional sind, sind solche Dreiecke ähnlich (siehe Abb. 2).

Satz 3 (zweites Zeichen der Ähnlichkeit). Wenn zwei Winkel eines Dreiecks jeweils zwei Winkeln eines anderen Dreiecks entsprechen, sind solche Dreiecke ähnlich (Abb. 3).

Satz 4 (Der Satz von Menelaos). Wenn eine Linie die Seiten AB und BC des Dreiecks ABC an den Punkten X bzw. Y schneidet und die Fortsetzung der Seite AC am Punkt Z ist (Abb. 4), dann

Satz 5. Die Höhen AA1 und CC1 seien in einem spitzwinkligen Dreieck ABC eingezeichnet (Abb. 5). Dann sind die Dreiecke A1, BC1 und ABC ähnlich, und der Ähnlichkeitskoeffizient ist gleich cos ∠B.

Lemma 1. Wenn die Seiten AC und DF der Dreiecke ABC und DEF auf derselben Linie oder auf parallelen Linien liegen (Abb. 6), dann

Lemma 2. Wenn zwei Dreiecke eine gemeinsame Seite AC haben (Abb. 7), dann

Lemma 3. Wenn die Dreiecke ABC und AB1 C1 einen gemeinsamen Winkel A haben, dann

Lemma 4. Die Flächen ähnlicher Dreiecke werden als Quadrat des Ähnlichkeitskoeffizienten in Beziehung gesetzt.

Beweise einiger Theoreme

Beweis von Satz 4 . Zeichnen Sie eine Linie durch Punkt C parallel zur Linie AB, bis sie die Linie XZ am Punkt K schneidet (Abb. 9). Das müssen wir beweisen

Betrachten Sie zwei Paare ähnlicher Dreiecke:

Durch Multiplizieren dieser Gleichheiten Term für Term erhalten wir:

Q.E.D.

Beweis von Satz 5. Beweisen wir die Ähnlichkeit der Dreiecke A1 BC1 und ABC mit dem ersten Ähnlichkeitstest. Da diese beiden Dreiecke einen gemeinsamen Winkel B haben, genügt es, dies zu beweisen

Das folgt aber daraus, dass aus dem rechtwinkligen Dreieck ABA1, aber aus dem rechtwinkligen Dreieck CBC1. Nebenbei wird auch noch der zweite Teil des Satzes bewiesen.

Probleme lösen

Aufgabe 1. Gegeben ist ein Trapez ABCD, und es ist bekannt, dass BC = a und AD = b. Parallel zu seinen Basen BC und AD wird eine gerade Linie gezogen, die die Seite AB am Punkt P, die Diagonale AC am Punkt L, die Diagonale BD am Punkt R und die Seite CD am Punkt Q schneidet (Abb. 10). Es ist bekannt, dass PL = LR. Finden Sie P.Q.

Entscheidung. Lassen Sie uns zuerst beweisen, dass PL = RQ. Betrachten Sie zwei Paare ähnlicher Dreiecke:

Nach dem Satz von Thales gilt:

Bezeichnen wir nun PL = LR = RQ = x und betrachten wieder zwei Paare ähnlicher Dreiecke:

Als nächstes haben wir:

Meint,
Antworten:

Aufgabe 2. Im Dreieck ABC beträgt der Winkel A 45° und der Winkel C ist spitz. Vom Mittelpunkt N der Seite BC fällt die Senkrechte NM zur Seite AC (Abb. 11). Die Flächen der Dreiecke NMC und ABC stehen jeweils im Verhältnis 1: 8. Finden Sie die Winkel des Dreiecks ABC.

Entscheidung. Sei BH die Höhe, die vom Scheitelpunkt B zur Seite AC fällt.
Da NM die Mittellinie des Dreiecks BHC ist, ist S∆BHC = 4S∆NMC .
Aber je nach Problemstellung ist S∆ABC = 8S∆NMC .
Daher ist S∆ABC = 2S∆BHC , also S∆ABH = S∆BHC . Also AH = HC,
woraus ∠CAB = ∠ACB = 45°, ∠ABC = 90°.
Antwort: ∠CAB = ∠ACB = 45°, ∠ABC = 90°.

Aufgabe 3. Bei einem Dreieck ABC, in dem der Winkel B gleich 30° ist, gilt AB = 4 und BC = 6. Die Winkelhalbierende des Winkels B schneidet die Seite AC im Punkt D (Abb. 12). Finden Sie die Fläche des Dreiecks ABD.

Entscheidung. Wenden wir den Satz der Innenwinkelhalbierenden auf das Dreieck ABC an:

Meint,

Antworten:

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Aufgabe 4. Durch den Mittelpunkt M der Seite BC des Parallelogramms ABCD, dessen Fläche 1 ist, und den Scheitelpunkt A wird eine Linie gezogen, die die Diagonale BD im Punkt O schneidet (Abb. 13). Finden Sie den Bereich des Vierecks OMCD.
Entscheidung. Wir suchen die Fläche des Vierecks OMCD als Differenz zwischen den Flächen der Dreiecke BCD und BOM. Die Fläche des Dreiecks BCD ist gleich der Hälfte der Fläche des Parallelogramms ABCD und gleich der Fläche des Dreiecks BOM. Wir haben:

∆ BOM ∼ ∆ AOD ⇒
Weiter:

Meint,

Antworten:

Aufgabe 5. Ein rechtwinkliges Dreieck MNC ist einem rechtwinkligen gleichschenkligen Dreieck ABC mit einem rechten Winkel an der Spitze B einbeschrieben, so dass der Winkel MNC recht ist, Punkt N auf AC liegt und Punkt M auf Seite AB liegt (Abb. 14). In welchem ​​Verhältnis muss der Punkt N die Hypotenuse AC teilen, damit die Fläche des Dreiecks MNC gleich der Fläche des Dreiecks ABC ist?

Entscheidung. Wir können annehmen, dass AB = 1. Bezeichne AM = x, 0< x < 1, тогда BM = 1 – x,

Wir haben:

Antworten:

Aufgabe 6. Beim Trapez ABCD ist die Diagonale AC senkrecht zur Seite CD und die Diagonale DB senkrecht zur Seite AB. Die Verlängerungen der Seiten AB und DC schneiden sich im Punkt K und bilden ein Dreieck AKD mit einem Winkel von 45° an der Spitze K (Abb. 15). Die Fläche des Trapezes ABCD ist gleich S. Finden Sie die Fläche des Dreiecks AKD.

Entscheidung. Nach Theorem 5 ist das Dreieck BKC dem Dreieck AKD mit Ähnlichkeitskoeffizient ähnlich Daher stehen die Flächen dieser Dreiecke im Verhältnis 1:2, was bedeutet, dass die Fläche des Trapezes ABCD gleich der Fläche des Dreiecks BKC ist. Daher ist die Fläche des Dreiecks AKD 2S.
Antworten: 2S.

Aufgabe 7. Im Dreieck ABC wird Punkt K auf der Seite AB genommen, so dass AK: KB = 1: 2, und Punkt L wird auf der Seite BC genommen, so dass CL: LB = 2: 1. Sei Q der Schnittpunkt der Linien AL und CK (Abb. sechzehn). Finden Sie die Fläche des Dreiecks ABC in dem Wissen, dass die Fläche des Dreiecks BQC 1 ist.

Entscheidung. Sei AK = x, BL = y. Dann ist KB = 2x,
LC = 2y, also AB = 3x und BC = 3y. Wenden wir den Satz von Menelaos auf das Dreieck ABL und die Sekante KQ an:

Aufgabe 8. Vom Punkt M, der sich innerhalb des spitzwinkligen Dreiecks ABC befindet, fallen Senkrechte zu den Seiten (Abb. 17). Die Längen der Seiten bzw. der darauf fallenden Lote sind gleich a und k, b und m, c und n. Berechnen Sie das Verhältnis der Fläche des Dreiecks ABC zur Fläche eines Dreiecks, dessen Eckpunkte die Basen der Senkrechten sind.

Entscheidung. Wir führen die Standardnotation ein, das heißt, wir bezeichnen die Seitenlängen des Dreiecks ABC: BC = a, CA = b, AB = c; Winkel: ∠BAC = α,
∠ABC = β, ∠ACB = γ. Die Basen der Lote, die vom Punkt M zu den Seiten BC, CA und AB fallen, bezeichnen wir mit D, E bzw. F. Dann ist gemäß der Bedingung des Problems MD = k, ME = m, MF = n. Es ist offensichtlich, dass der Winkel EMF gleich π – α ist, der Winkel DMF gleich π – β ist, der Winkel DME gleich π – γ ist und der Punkt M innerhalb des Dreiecks DEF liegt. Die Fläche des Dreiecks DEF ist:

Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC ist:

Finden Sie das Verhältnis der Flächen der Dreiecke DEF und ABC:

Somit,

Antworten:

Aufgabe 9. Die Punkte P und Q befinden sich auf der Seite BC des Dreiecks ABC, sodass BP: PQ: QC = 1:2:3 ist.
Der Punkt R teilt die Seite AC dieses Dreiecks so, dass AR: RC = 1: 2 (Abb. 18). Wie ist das Verhältnis der Fläche des Vierecks PQST zur Fläche des Dreiecks ABC, wobei S und T die Schnittpunkte der Linie BR mit den Linien AQ bzw. AP sind?

Entscheidung. Bezeichne BP = x, AR = y; dann
PQ=2x, QC=3x, RC=2y. Lassen Sie uns berechnen, welcher Teil der Fläche des Vierecks PQST die Fläche des Dreiecks APQ und damit die Fläche des Dreiecks ABC ist. Dazu benötigen wir Beziehungen, in denen die Punkte S und T die Geraden AQ bzw. AP teilen. Wenden wir den Satz von Menelaos auf das Dreieck ACQ und die Sekante SR an:

In ähnlicher Weise erhalten wir durch Anwendung des Satzes von Menelaos auf das Dreieck ACP und die Sekante TR:

Weiter:

Wenden wir andererseits das Flächenlemma auf die Dreiecke APQ und ABC an, erhalten wir

Antworten:

Aufgabe 10. Im Dreieck ABC ist die Länge der Höhe BD gleich 6, die Länge des Medians CE gleich 5, der Abstand vom Schnittpunkt von BD mit CE zur Seite AC gleich 1 (Abb. 19). Berechne die Länge der Seite AB.

Entscheidung. Punkt O sei der Schnittpunkt der Linien BD und CE. Der Abstand vom Punkt O zur Seite AC (die gleich eins ist) ist die Länge des Segments OD. Also OD = 1 und OB = 5. Wende den Satz von Menelaos auf das Dreieck ABD und die Sekante OE an:

Wenn wir nun den Satz von Menelaos auf das Dreieck ACE und die Sekante OD anwenden, erhalten wir das

woher OE = 2CO und unter Berücksichtigung von OE + CO = CE = 5
wir bekommen das Wir wenden den Satz des Pythagoras auf das rechtwinklige Dreieck CDO an:

Meint, Betrachten wir schließlich ein rechtwinkliges Dreieck ABD, in dem wir auch den Satz des Pythagoras verwenden:

Antworten:

Aufgabe 11. Die Punkte C und D liegen auf dem Segment AB, und Punkt C liegt zwischen den Punkten A und D. Punkt M wird so genommen, dass die Linien AM und MD senkrecht sind und die Linien CM und MB ebenfalls senkrecht sind (Abb. 20). Finden Sie die Fläche des Dreiecks AMB, wenn bekannt ist, dass der Winkel CMD α ist und die Flächen der Dreiecke AMD und CMB S1 bzw. S2 sind.

Entscheidung. Bezeichnen Sie die Flächen der Dreiecke AMB bzw. CMD mit
x und y (x > y). Beachten Sie, dass x + y = S1 + S2 . Zeigen wir nun, dass xy ​​= S 1 S 2 sin 2 α. Wirklich,

Ebenfalls,

Da ∠AMB = ∠AMC + ∠CMD + ∠DMB =
= 90° – α + α + 90° – α = 180° – α, und sin ∠AMB =
= sinα. Meint:

Somit sind die Zahlen x und y die Wurzeln der quadratischen Gleichung
t2 – (S1 + S2 )t + S1 S2 sin2 α = 0.
Die größere Wurzel dieser Gleichung ist:

Antworten:

Aufgaben zur selbstständigen Lösung

C-1. In einem Dreieck ABC, dessen Fläche S ist, werden die Winkelhalbierende CE und der Median BD gezeichnet, die sich am Punkt O schneiden. Finden Sie die Fläche des Vierecks ADOE, wobei Sie wissen, dass BC = a, AC = b.
C-2. Ein Quadrat ist einem gleichschenkligen Dreieck ABC so einbeschrieben, dass zwei seiner Eckpunkte auf der Basis von BC und die anderen beiden auf den Seiten des Dreiecks liegen. Die Seite eines Quadrats hängt mit dem Radius eines Kreises zusammen, der einem Dreieck einbeschrieben ist, z
8:5 Finde die Ecken des Dreiecks.
C-3. Im Parallelogramm ABCD mit den Seiten AD = 5 und AB = 4 wird ein Liniensegment EF gezeichnet, das den Punkt E der Seite BC mit dem Punkt F der Seite CD verbindet. Die Punkte E und F sind so gewählt, dass
BE: EC = 1: 2, CF: FE = 1: 5. Es ist bekannt, dass der Schnittpunkt M der Diagonalen AC mit der Strecke FE die Bedingung MF: ME = 1: 4 erfüllt. Finden Sie die Diagonalen des Parallelogramms.
C-4. Die Fläche des Trapezes ABCD ist gleich 6. Sei E der Schnittpunkt der Verlängerungen der Seiten dieses Trapezes. Durch den Punkt E und den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes wird eine Gerade gezogen, die die kleinere Basis BC im Punkt P, die größere Basis AD im Punkt Q schneidet. Der Punkt F liegt auf der Strecke EC , und EF:FC = EP:EQ = 1:3.
Finden Sie die Fläche des Dreiecks EPF.
C-5. In einem spitzwinkligen Dreieck ABC (mit AB > BC) sind die Höhen AM und CN eingezeichnet, der Punkt O ist der Mittelpunkt des um das Dreieck ABC umschriebenen Kreises. Es ist bekannt, dass die Größe des Winkels ABC β ist und die Fläche des Vierecks NOMB S ist. Finden Sie die Länge der Seite AC.
C-6. Im Dreieck ABC liegen Punkt K auf Seite AB und Punkt M auf Seite AC so, dass die Beziehungen AK: KB = 3: 2 und AM: MC = 4: 5 gelten.In welchem ​​Verhältnis steht der Schnittpunkt von Geraden KC und BM teilen Segment BM?
C-7. Punkt D wird innerhalb des rechtwinkligen Dreiecks ABC genommen (Winkel B ist rechts), so dass die Flächen der Dreiecke ABD und BDC jeweils drei- und viermal kleiner sind als die Fläche des Dreiecks ABC. Die Längen der Segmente AD und DC sind jeweils gleich a und c. Finde die Länge von Segment BD.
S-8. In einem konvexen Viereck ABCD auf der Seite CD wird ein Punkt E genommen, so dass die Strecke AE das Viereck ABCD in eine Raute und ein gleichschenkliges Dreieck teilt, deren Flächenverhältnis gleich ist Finden Sie den Wert des Winkels BAD.
C-9. Die Höhe des Trapezes ABCD beträgt 7, die Längen der Basen AD und BC betragen 8 bzw. 6. Durch den auf der Seite CD liegenden Punkt E wird eine Linie BE gezogen, die die Diagonale AC an diesem Punkt teilt O in Bezug auf AO: OC = 3: 2. Finden Sie das Flächendreieck OEC.
S-10. Die Punkte K, L, M teilen die Seiten des konvexen Vierecks ABCD in Bezug auf AK: BK = CL: BL = CM: DM = 1: 2. Es ist bekannt, dass der Radius des um das Dreieck umschriebenen Kreises KLM gleich ist KL = 4, LM = 3 und KM< KL. Найдите площадь четырехугольника ABCD.
S-11. Die Verlängerungen der Seiten AD und BC eines konvexen Vierecks ABCD schneiden sich im Punkt M, und die Verlängerungen der Seiten AB und CD schneiden sich im Punkt O. Das Segment MO ist senkrecht zur Winkelhalbierenden des Winkels AOD. Finden Sie das Flächenverhältnis der Dreiecke AOD und BOC, wenn OA = 6, OD = 4, CD = 1.
S-12. Im Dreieck ABC beträgt der Winkel am Scheitelpunkt A 30°, und die Höhen BD und CE schneiden sich im Punkt O. Finden Sie das Verhältnis der Radien der Kreise, die um die Dreiecke DEO und ABC umschrieben sind.
S-13. Die Segmente, die die Basen der Höhen eines spitzwinkligen Dreiecks verbinden, sind 5, 12 und 13. Finden Sie den Radius des Kreises, der um das Dreieck herum beschrieben wird.
S-14. In einem spitzwinkligen Dreieck ABC liegt der Punkt M auf der Höhe AD und der Punkt N auf der Höhe BP, sodass die Winkel BMC und ANC rechtwinklig sind. Der Abstand zwischen den Punkten M und N ist a ∠MCN = 30°.
Finden Sie die Winkelhalbierende CL des Dreiecks CMN.
S-15. Die Punkte D, E und F werden jeweils auf den Seiten AB, BC und AC des Dreiecks ABC genommen. Die Segmente AE und DF verlaufen durch den Mittelpunkt eines Kreises, der dem Dreieck ABC eingeschrieben ist, und die Linien DF und BC sind parallel. Finden Sie die Länge der Strecke BE und den Umfang des Dreiecks ABC, wenn BC = 15, BD = 6, CF = 4.
S-16. Im Dreieck ABC schneidet die Winkelhalbierende BB" die Mittellinie AA" im Punkt O.
Finden Sie das Verhältnis der Fläche des Dreiecks BOA" zur Fläche des Dreiecks AOB", wenn AB:AC = 1:4 ist.
S-17. Im Dreieck ABC liegt Punkt D auf AC und AD = 2DC. Punkt E liegt auf BC. Die Fläche des Dreiecks ABD ist 3, die Fläche des Dreiecks AED ist 1. Die Segmente AE und BD schneiden sich am Punkt O. Finden Sie das Verhältnis der Flächen der Dreiecke ABO und OED.
S-18. Im Parallelogramm ABCD liegen die Punkte E und F jeweils auf den Seiten AB und BC, M ist der Schnittpunkt der Geraden AF und DE, mit AE = 2BE und BF = 3CF. Finde das Verhältnis AM:MF.
S-19. Im Rechteck ABCD an den Seiten
AB und AD, die Punkte E und F werden jeweils so gewählt, dass AE: EB = 3: 1, AF: FD = 1: 2. Finden Sie EO: OD, wobei O der Schnittpunkt der Segmente DE und CF ist.
S-20. Punkt N wird auf der Seite PQ des Dreiecks PQR genommen, und Punkt L wird auf der Seite PR genommen, und
NQ=LR. Der Schnittpunkt der Segmente QL und NR teilt das Segment QL im Verhältnis m: n, gezählt ab Punkt Q. Finden Sie das Verhältnis PN: PR.
S-21. Die Punkte A und B werden an den Seiten eines spitzen Winkels mit dem Scheitelpunkt O genommen. Punkt M wird auf dem Strahl OB in einem Abstand 30A von der Linie OA genommen, und Punkt N wird auf dem Strahl OA in einem Abstand 3OB von der Linie OB genommen. Der Radius des Umkreises des Dreiecks AOB ist 3. Finden Sie MN.
S-22. In einem konvexen Fünfeck ABCDE sind die Diagonalen BE und CE die Winkelhalbierenden der Scheitelwinkel B bzw. C, ∠A = 35°, ∠D = 145°, S∆BCE = 11. Finden Sie die Fläche des Fünfecks ABCDE.
S-23. Auf den Basen AD und BC des Trapezes ABCD werden Quadrate ADEF und BCGH konstruiert, die sich außerhalb des Trapezes befinden. Die Diagonalen des Trapezes schneiden sich am Punkt O. Finden Sie die Länge des Segments AD, wenn BC = 2, GO = 7 und GF = 18.
S-24. Im Dreieck ABC wissen wir, dass AB = BC und der Winkel BAC 45° beträgt. Die Linie MN schneidet die Seite AC am Punkt M und die Seite BC am Punkt N, mit AM = 2MC und ∠NMC = 60°. Finden Sie das Verhältnis der Fläche des Dreiecks MNC zur Fläche des Vierecks ABNM.
S-25. Im Dreieck ABC wird Punkt N auf der Seite AB und Punkt M auf der Seite AC genommen. Segmente CN und BM schneiden sich im Punkt O, AN: NB = 2: 3,
BO: OM = 5: 2. Finde CO: EIN.

Trapez auf der Prüfung. Ein Grundniveau von.

Aufgaben aus der offenen Bank der FIPI-Aufgaben.

Aufgabe 1.Im Trapez ABCD wissen wir, dass AB=CD,∠ BDA=54° und ∠ UT = 23°. Finde den Winkel ABD. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Entscheidung.In diesem Trapez ist Winkel A Gleichstrom an der unteren Basis ist gleich der Summe der Winkel A D V und V DC , ist gleich 54 + 23 = 77 Grad. Da das Trapez gleichschenklig ist, sind die Winkel an der unteren Basis gleich und der Winkel BA D beträgt ebenfalls 77 Grad. Winkelsumme VA D und AB D gleich 180 Grad (einseitig mit parallelen Linien A D und BC und Sekante AB). Der Winkel ABC ist also gleich 180 - 77 \u003d 103 Grad.

Als nächstes verwenden wir die Winkelgleichheit A DB und D BC (über Kreuz liegend mit parallelen Linien A D und BC und Sekante B D). Also der Winkel AB D gleich 103 - 54 \u003d 49 Grad.

Antworten 49.

Aufgabe 2.Die Grundseiten eines gleichschenkligen Trapezes sind 10 und 24, die Seite ist 25. Finde die Höhe des Trapezes.

Entscheidung.In diesem Trapez ist die obere Basis BC 10, die untere A D =24. Von den Eckpunkten B und C senken wir die Höhen auf die untere Basis. Im resultierenden Rechteck NVSK NK=BC=10. Dreiecke ABH und K DC DC ), also AH \u003d K D =(24-10):2=7. Nach dem Satz des Pythagoras ist in einem Dreieck ABN das Quadrat des Schenkels BH gleich der Differenz zwischen dem Quadrat der Hypotenuse AB und dem Quadrat des Schenkels AN. Das heißt, VN 2 \u003d 625 - 49 \u003d 576. VN \u003d 24.

Antworten 24.

Aufgabe 3.Bei einem gleichschenkligen Trapez eine der Basen
ist 3 und der andere ist 7. Die Höhe des Trapezes ist 4. Finden Sie die Tangente des spitzen Winkels des Trapezes.

Entscheidung.In diesem Trapez ist die obere Basis BC 3, die untere A D =7. Von den Eckpunkten B und C senken wir die Höhen auf die untere Basis. Im resultierenden Rechteck NVSK NK=BC=3. Dreiecke ABH und K Gleichstrom gleich sind (sie sind rechteckig, BH = SK, AB = DC ), also AH \u003d K D =(7-3):2=2. Die Tangente eines spitzen Winkels BAN in einem rechtwinkligen Dreieck ABN ist gleich dem Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels BH zum benachbarten Schenkel AH, also 4:2=2.

Antworten 2.

Aufgabe 4.Die Basen des Trapezes sind 8 und 16, die laterale Seite, gleich 6, bildet mit einer der Basen des Trapezes einen Winkel von 150°. Finden Sie die Fläche des Trapezes.

Entscheidung.Lassen Sie das Trapez in der Figur der Basis BC \u003d 8 ein, ANZEIGE =16, Seite AB=6 und Winkel ABC ist 150 Grad. Wir wissen, dass die Fläche eines Trapezes gleich dem Produkt aus der Hälfte der Summe der Basen und der Höhe ist. Die Grundlagen sind bekannt. Finden wir die Höhe von BH. In einem rechtwinkligen Dreieck ABH beträgt der Winkel ABH 150 - 90 = 60 Grad. Der Winkel VAN beträgt also 90 - 60 \u003d 30 Grad. Und in einem rechtwinkligen Dreieck entspricht das Bein gegenüber dem Winkel von 30 Grad der Hälfte der Hypotenuse. Also VN=3.

Es bleibt die Fläche des Trapezes zu berechnen. Die Halbsumme der Basen ist gleich (8+16):2=12. Die Fläche ist 12*3=36.

Antworten 36.

Aufgabe 5.In einem rechteckigen TrapezABCD mit Begründung Sonne und SONDERND Injektion BEIMANZEIGE gerade, AB=3, Sonne=CD=5. Finden Sie die Mittellinie des Trapezes.

Entscheidung.Die Mittellinie des Trapezes stellt die Hälfte der Basensumme dar. Bei diesem Trapez ist die obere Basis BC 5, die untere A D Unbekannt. Vom Scheitelpunkt C senken wir die Höhe auf die untere Basis. Im resultierenden Rechteck NVSK AH=BC=5, CH=AB=3. Dreieck h Gleichstrom rechteckig. Nach dem Satz des Pythagoras ist das Beinquadrat H D gleich der Differenz des Quadrats der Hypotenuse Gleichstrom und das Quadrat des Beins CH. Das heißt, N D 2 \u003d 65 -9 \u003d 16. HD \u003d 4. Also die untere Basis A D = AH + H D =5+4=9. Die Mittellinie des Trapezes ist (5+9):2=7.

Antworten 7.

Aufgabe 6.Bei einem rechteckigen Trapez sind die Basen 4 und 7, und einer der Winkel beträgt 135°. Finden Sie die kleinere Seite.

Entscheidung.Verwenden wir die Zeichnung für das vorherige Problem: In diesem Trapez ist die obere Basis BC 4, die untere A D=7. Winkel BC D ist gleich 135 Grad. Vom Scheitelpunkt C senken wir die Höhe auf die untere Basis. Dann H D =7-4=3. Im resultierenden rechtwinkligen Dreieck H DC-Winkel HC D entspricht 135-90=45 Grad. Also der Winkel H Gleichstrom auch 45 Grad. Beine CH= H D=3.

Antworten 3.

Aufgaben zur selbstständigen Lösung.

1. ∠ BDA=40° und ∠ UT=30°. Finde den Winkel ABD. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
2. im Trapez A B C D es ist bekannt, dass AB=CD, ∠ BDA=45° und ∠ vdc=23°. Finde einen Winkel ABD. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
3. Im Trapez ABCD wissen wir, dass AB=CD,∠ BDA=49° und ∠ UT = 31°. Finde den Winkel ABD. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
4. Die Grundseiten eines gleichschenkligen Trapezes sind 7 und 13, die Seite ist 5. Finde die Höhe des Trapezes.
5. Die Grundseiten eines gleichschenkligen Trapezes sind 11 und 21, die Seite ist 13. Finde die Höhe des Trapezes.
6. Die Basen des Trapezes sind 10 und 20, die laterale Seite, gleich 8, bildet mit einer der Basen des Trapezes einen Winkel von 150 °. Finden Sie die Fläche des Trapezes.
7. Bei einem gleichschenkligen Trapez ist eine der Basen 5 und die andere 9. Die Höhe des Trapezes ist 6. Finden Sie die Tangente des spitzen Winkels des Trapezes.
8. In einem rechteckigen TrapezABCD mit Begründung Sonne und SONDERND Injektion BEIMANZEIGE gerade, AB=8, Sonne=CD=10. Finden Sie die Mittellinie des Trapezes.
9. In einem rechteckigen TrapezABC D mit Begründung Sonne und SONDERN D Injektion BEIM ANZEIGE gerade, AB = 15 , Sonne = CD = 17 . Finden Sie die Mittellinie des Trapezes.
10. In einem rechteckigen Trapez sind die Basen 3 und 5, und einer der Winkel beträgt 135°. Finden Sie die kleinere Seite.