Lassen Sie uns also eine ganze Zahl a geben. Wir müssen die Hälfte dieser Zahl finden. Sie können dies mit gewöhnlichen Brüchen tun:

• Lassen Sie uns die Ganzzahl als Eins bezeichnen, dann ist die Hälfte der Einheit 1/2. Also müssen wir 1/2 der Zahl a finden.
• Um 1/2 der Zahl a zu finden, müssen wir die Zahl a mit dem Teil multiplizieren, den wir finden müssen, d. h. die Aktion ausführen: a * 1/2 = a/2. Das heißt, die Hälfte der Zahl a ist a / 2.
• Wenn wir außerdem nach einem Teil einer ganzen Zahl suchen, ist das Ergebnis kleiner als die ursprüngliche Zahl.

Es kann verschiedene Aufgaben geben, einen Teil des Ganzen zu finden: Wenn Sie zum Beispiel ein Viertel der Zahl a finden müssen, dann brauchen Sie a * 1/4 = a/4. Wenn du 1/8 der Zahl a finden willst, dann brauchst du a * 1/8 = a/8. Das Finden eines beliebigen Teils eines Ganzen erfolgt durch Multiplizieren der angegebenen Ganzzahl mit dem Teil, den Sie finden möchten.
Betrachten Sie ein Beispiel.

So finden Sie den dritten Teil der Zahl 75

Wir bekommen eine Ganzzahl - die Zahl 75. Wir müssen den dritten Teil davon finden, andernfalls müssen wir 1/3 finden. Lassen Sie uns die Aktion ausführen, das Ganze mit dem Teil zu multiplizieren: 75 * 1/3 = 25. Der dritte Teil der Zahl 75 ist also die Zahl 25. Sie können auch sagen: Die Zahl 25 ist dreimal kleiner als die Zahl 75 . Oder: Die Zahl 75 ist dreimal größer als die Zahl 25.

§ 20. Einen Teil des Ganzen und das Ganze außer seinen Teilen finden - Mathematiklehrbuch Klasse 5 (Zubareva, Mordkovich)

Kurzbeschreibung:

Es kommt vor, dass wir einen Teil einer Zahl finden müssen, zum Beispiel nur ein Drittel einer Kartoffel von einer bestimmten Zahl schälen. Oder umgekehrt, wenn uns gesagt wird, dass nur ein Viertel der Klasse an einer Exkursion teilgenommen hat, müssen wir die Gesamtzahl der Schüler in der Klasse herausfinden. Wenn Sie das Ganze kennen, können Sie einen bestimmten Teil davon finden, genauso wie Sie, wenn Sie den Teil kennen, bestimmen können, was das Ganze war. Das erfährst du heute aus diesem Absatz des Lehrbuchs.
Die Definition eines Teils eines Ganzen und umgekehrt hängt direkt mit einfachen Brüchen zusammen, die Sie bereits studiert haben. Aktionen erfolgen in diesem Fall nicht mit zwei Zahlen, die durch einen Bruch bezeichnet werden, sondern mit einem Bruch und einer ganzen Zahl. Wenn Sie beispielsweise 1/2 von 16 finden, müssen Sie 16 mit 1/2 multiplizieren. In diesem Fall ist der Nenner von 16 = 1 und der Ausdruck kann wie folgt geschrieben werden: 1/2 16/1 = 16/2 = 8.
Um eine ganze Zahl durch ihren Teil zu finden, verwenden wir die umgekehrte Methode und multiplizieren die bekannte Zahl mit dem umgekehrten Bruch (d. h. dividieren durch ihn). Auf andere Weise lässt sich dies folgendermaßen erklären: Um aus seinem Teil ein Ganzes zu finden, muss man die bekannte Zahl, die seinem Teil entspricht, durch den Zähler dividieren und mit dem Nenner des Bruchs multiplizieren, der diesen Teil bezeichnet (der ist die Aktion, den Bruch zu dividieren oder mit einem umgekehrten Bruch zu multiplizieren - Sie können sich merken, wie Sie solche Probleme am bequemsten lösen). Um also eine ganze Zahl zu finden, von der 3/4 gleich 12 sind, brauchen Sie 12: 3/4 = 12 4/3 = 48/3 = 16. Oder Methode Nummer 2, die unnötige mathematische Operationen entfernt - die Zahl x , 2/5 daraus sind 20: x = 20: 2 5 = 50.
Testen Sie sich mit den Aufgaben aus dem Lehrbuch und vergessen Sie nicht, den Stoff zu wiederholen, um ihn besser zu beherrschen und sich zu merken!

Unterrichtsthema:"Einen Teil eines Ganzen und ein Ganzes durch seinen Teil finden."

Das Ziel des Unterrichts:

1. Erfahren Sie, wie Sie einen Bruch aus einer Zahl und eine Zahl aus ihrem Bruch finden.
2. Verallgemeinern Sie das Konzept eines gewöhnlichen Bruchs und Aktionen mit gewöhnlichen Brüchen.

Ausrüstung: Multimedia-Beamer, Power-Point-Präsentation ( Anhang ).

WÄHREND DER KLASSEN

I. Organisatorischer Moment

Die Schüler sitzen in Gruppen (5-6 Personen). Sie können vorschlagen, Ihre Stimmung in den Phasen des Unterrichts zu diagnostizieren. Jeder Schüler bekommt eine Karte, auf der er den „Charakter“ seiner Stimmung hervorhebt.

II. Wissensaktualisierung

Das Konzept eines gewöhnlichen Bruchs kennen wir bereits.
Was zeigt der Zähler eines Bruchs an? (In wie viele Teile das Ganze geteilt wird).
Was zeigt der Nenner eines Bruchs? (Wie viele Teile hast du genommen).

- Schau dir das Bild an und beantworte die Fragen:

Die Schüler werden ermutigt, es zu reproduzieren.

III. Verbale Zählung. (Bester Zähler)

Jedem Team auf dem Bildschirm wird eine Aufgabe angeboten. Die Teams lösen die Aufgabe abwechselnd.

1. Mannschaft

2. Mannschaft

3. Mannschaft

4. Mannschaft

Das Ergebnis wird zusammengefasst – welches Team ist der beste Konter.

IV. Diktat

Das Diktat wird mit anschließender Selbstkontrolle durchgeführt. Es ist möglich, eine Kopie anzufertigen, die Schüler übergeben eine Kopie dem Lehrer zur Überprüfung.

1. Fügen Sie anstelle von x die fehlende Zahl ein:

2. Kürze den Bruch:

3. Brüche in absteigender Reihenfolge ordnen:

4. Folgen Sie den Schritten:

5. Riesenschildkröten leben auf den Inseln des Pazifischen Ozeans. Sie sind so groß, dass Kinder auf ihrer Schale sitzend reiten können. Die folgende Aufgabe hilft uns, den Namen der größten Schildkröte der Welt herauszufinden.

Nach Abgabe der Lösung überprüfen die Schüler die Antworten.

V. Neues Material

Der Lehrer bietet an, Probleme zu lösen (5-7 Minuten werden zum Nachdenken gegeben)

1. Auf einem Ast saßen 12 Vögel. Dann flogen sie davon. Wie viele Vögel sind geflogen?

2. In Ihrem Mathematikunterricht des dritten Quartals haben 6 Personen die Note „5“ erhalten. Dies ist die Anzahl aller Schüler in der Klasse. Wie viele Schüler sind in der Klasse?

Dann wird die Lösung, die auf der Folie abgebildet ist, überprüft.

1 Weg: 12: 3 2 = 8 (Vögel)

2 Wege: 12 = 8 (Vögel)

2 Aufgabe. 6: = 6 = 34 (Personen)

Der Lehrer macht darauf aufmerksam, dass zwei Arten von Aufgaben unterschieden werden können:

1. zu finden Teil einer Zahl, ausgedrückt als Bruch, benötigen Sie diese Zahl multiplizieren für diesen Bruchteil.
2. zu finden Zahl nach ihrer Häufigkeit und, ausgedrückt als Bruch, Sie brauchen Teilen zu diesem Bruch die ihm entsprechende Zahl.

Die Schüler werden ermutigt, diese Regel direkt im Unterricht auswendig zu lernen und sich zu zweit gegenseitig nachzuerzählen.

Der Lehrer konzentriert sich auf Folgendes: Für diejenigen, die Schwierigkeiten haben, die Art der Aufgabe zu bestimmen, rate ich Ihnen, auf Präpositionen zu achten was , Das . Diese Präpositionen finden sich in den Findungsproblemen Zahlen durch ihren Bruch.

VI. Fixieren von neuem Material

Es gibt sechs Aufgaben auf der Folie und die Schüler werden gebeten, sie nach Typ in zwei Spalten zu sortieren.

1. Der Laden nahm 156 kg Fisch zum Verkauf an. 1/3 aller Fische waren Karpfen. Wie viel kg Karpfen hat der Laden erhalten?
2. 18 Experimente durchgeführt, das waren 2/9 der gesamten Versuchsreihe. Wie viele Versuche sollen gemacht werden?
3. Der Lehrer überprüfte 20 Hefte. Das waren 4/5 aller Notebooks. Wie viele Notizbücher muss ein Lehrer überprüfen?
4. Von 72 Fünftklässlern gehen 3/8 in die Leichtathletik. Wie viele Schüler betreiben diesen Sport?
5. 30 Gemälde wurden für die Ausstellung ausgewählt. Dies entsprach 2/3 der Gemälde im Museum. Wie viele Gemälde sind in der Ausstellung?
6. Von einem 18 m langen Seil 3/4 seiner Länge abschneiden. Wie viele Meter Seil bleiben übrig?

VII. Zusammenfassung der Lektion

Der Lehrer bringt die Schüler zum Ziel der Lektion zurück und schlägt vor, zwei Arten von Aufgaben für Brüche und Algorithmen zu ihrer Lösung hervorzuheben. Gesammelte Flugblätter mit Stimmungsdiagnostik.

VIII. Hausaufgaben: S. 9.6, Nr. 1050, 1058, 1060.

§ 20. Einen Teil des Ganzen und das Ganze außer seinen Teilen finden - Mathematiklehrbuch Klasse 5 (Zubareva, Mordkovich)

Kurzbeschreibung:

Es kommt vor, dass wir einen Teil einer Zahl finden müssen, zum Beispiel nur ein Drittel einer Kartoffel von einer bestimmten Zahl schälen. Oder umgekehrt, wenn uns gesagt wird, dass nur ein Viertel der Klasse an einer Exkursion teilgenommen hat, müssen wir die Gesamtzahl der Schüler in der Klasse herausfinden. Wenn Sie das Ganze kennen, können Sie einen bestimmten Teil davon finden, genauso wie Sie, wenn Sie den Teil kennen, bestimmen können, was das Ganze war. Das erfährst du heute aus diesem Absatz des Lehrbuchs.
Die Definition eines Teils eines Ganzen und umgekehrt hängt direkt mit einfachen Brüchen zusammen, die Sie bereits studiert haben. Aktionen erfolgen in diesem Fall nicht mit zwei Zahlen, die durch einen Bruch bezeichnet werden, sondern mit einem Bruch und einer ganzen Zahl. Wenn Sie beispielsweise 1/2 von 16 finden, müssen Sie 16 mit 1/2 multiplizieren. In diesem Fall ist der Nenner von 16 = 1 und der Ausdruck kann wie folgt geschrieben werden: 1/2 16/1 = 16/2 = 8.
Um eine ganze Zahl durch ihren Teil zu finden, verwenden wir die umgekehrte Methode und multiplizieren die bekannte Zahl mit dem umgekehrten Bruch (d. h. dividieren durch ihn). Auf andere Weise lässt sich dies folgendermaßen erklären: Um aus seinem Teil ein Ganzes zu finden, muss man die bekannte Zahl, die seinem Teil entspricht, durch den Zähler dividieren und mit dem Nenner des Bruchs multiplizieren, der diesen Teil bezeichnet (der ist die Aktion, den Bruch zu dividieren oder mit einem umgekehrten Bruch zu multiplizieren - Sie können sich merken, wie Sie solche Probleme am bequemsten lösen). Um also eine ganze Zahl zu finden, von der 3/4 gleich 12 sind, brauchen Sie 12: 3/4 = 12 4/3 = 48/3 = 16. Oder Methode Nummer 2, die unnötige mathematische Operationen entfernt - die Zahl x , 2/5 daraus sind 20: x = 20: 2 5 = 50.
Testen Sie sich mit den Aufgaben aus dem Lehrbuch und vergessen Sie nicht, den Stoff zu wiederholen, um ihn besser zu beherrschen und sich zu merken!

§ 1 Regeln zum Finden eines Teils aus einem Ganzen und eines Ganzen aus seinem Teil

In dieser Lektion formulieren wir die Regeln, um einen Teil aus einem Ganzen und ein Ganzes aus seinem Teil zu finden, und erwägen auch, Probleme mit diesen Regeln zu lösen.

Betrachten Sie zwei Aufgaben:

Wie viele Kilometer sind die Touristen am ersten Tag gelaufen, wenn die gesamte Touristenroute 20 km lang ist?

Finden Sie die Länge der gesamten Reise der Touristen.

Vergleichen wir diese Aufgaben - in beiden wird der gesamte Weg als Ganzes genommen. Im ersten Problem ist die ganze Zahl bekannt - 20 km und im zweiten - unbekannt. Bei der ersten Aufgabe ist es notwendig, einen Teil des Ganzen zu finden, und bei der zweiten - das Ganze durch seinen Teil. Der im ersten Problem bekannte Wert von 20 km ist im zweiten Problem unbekannt, und umgekehrt muss der im zweiten Problem bekannte Wert von 8 km im ersten Problem gefunden werden. Solche Probleme werden gegenseitig invers genannt, da in ihnen die bekannten und gesuchten Werte vertauscht sind.

Betrachten Sie die erste Aufgabe:

Der Nenner 5 zeigt an, in wie viele Teile das Ganze geteilt wurde, also Wenn die ganzen 20 durch 5 geteilt werden, finden wir heraus, wie viele Kilometer ein Teil sind, 20: 5 \u003d 4 km. Der Zähler 2 zeigt, dass die Touristen 2 Teile des Weges gegangen sind, also muss 4 mit 2 multipliziert werden, es werden 8 km sein. Am ersten Tag gingen die Wanderer 8 km.

Es stellte sich der Ausdruck 20 heraus: 5 ∙ 2 = 8.

Kommen wir zur zweiten Aufgabe.

Daher ist ein Teil gleich dem Quotienten 8 und 2, es ergibt sich 4, der Nenner ist 5, was bedeutet, dass es insgesamt 5 Teile gibt.

Multiplizieren Sie 4 mit 5, Sie erhalten 20. Die Antwort ist 20 km, die Länge der gesamten Reise.

Schreiben wir den Ausdruck: 8: 2 ∙ 5 = 20

Unter Verwendung der Bedeutung des Multiplizierens und Dividierens einer Zahl mit einem Bruch können die Regeln zum Finden eines Teils eines Ganzen und eines Ganzen durch seinen Teil wie folgt formuliert werden:

Um einen Teil eines Ganzen zu finden, müssen Sie die dem Ganzen entsprechende Zahl mit dem diesem Teil entsprechenden Bruch multiplizieren;

Um ein Ganzes durch seinen Teil zu finden, müssen Sie die diesem Teil entsprechende Zahl in den entsprechenden Teil des Bruchs teilen.

Dementsprechend kann die Lösung von Problemen nun auch anders geschrieben werden:

für die erste Aufgabe 20 ∙ 2/5 = 8 (km),

für die zweite Aufgabe 8: 2/5 = 20 (km).

Um Schwierigkeiten zu vermeiden, schreiben wir die Lösung solcher Probleme wie folgt:

Ganze: ganz, bekannt - 20 km.

Antwort: 8 km.

Ganz: ganz - unbekannt.

Antwort: 20 km.

§ 2 Algorithmus zur Lösung von Problemen zum Finden des Ganzen durch seinen Teil und Teil des Ganzen

Lassen Sie uns einen Algorithmus zum Lösen solcher Probleme zusammenstellen.

Analysieren wir zunächst den Zustand und die Problemstellung: Finden Sie heraus, was das Ganze ist, ob es bekannt ist oder nicht, dann finden Sie heraus, wie ein Teil des Ganzen dargestellt wird und was gefunden werden muss.

Wenn es notwendig ist, einen Teil des Ganzen zu finden, multiplizieren wir das Ganze mit dem Bruchteil, der diesem Teil entspricht. Wenn es notwendig ist, das Ganze mit seinem Teil zu finden, wird die dem Teil entsprechende Zahl durch den entsprechenden Bruchteil dividiert zu diesem Teil. Als Ergebnis erhalten wir einen Ausdruck. Als nächstes finden wir den Wert des Ausdrucks und schreiben die Antwort auf, nachdem wir die Frage des Problems vorher noch einmal gelesen haben.

Bevor Sie solche Probleme lösen, müssen Sie also die folgenden Fragen beantworten:

Welcher Wert wird als ganze Zahl genommen?

Ist dieser Wert bekannt?

Was ist zu finden: ein Teil eines Ganzen oder ein Ganzes in seinem Teil?

Fassen wir zusammen: In dieser Lektion haben Sie die Regeln zum Finden eines Teils aus einem Ganzen und eines Ganzen aus seinem Teil kennengelernt und auch gelernt, wie Sie Probleme gemäß diesen Regeln lösen.

Liste der verwendeten Literatur:

1. Mathematik. Klasse 6: Stundenpläne für das Lehrbuch von I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // Autor-Compiler L.A. Topilin. Mnemosyne, 2009.
2. Mathematik. Klasse 6: ein Lehrbuch für Schüler von Bildungseinrichtungen. ich.ich Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013.
3. Mathematik. Klasse 6: Lehrbuch für Bildungseinrichtungen / G.V. Dorofejew, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov und andere/ herausgegeben von G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygin; Russische Akademie der Wissenschaften, Russische Akademie für Bildung, Moskau: Bildung, 2010.
4. Mathematik. Klasse 6: Lehrbuch. für Allgemeinbildung Institutionen /N.Ya. Wilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburg. - M.: Mnemosyne, 2013.
5. Mathematik. Klasse 6: Lehrbuch / G.K. Muravin, O. V. Ameise. – M.: Trappe, 2014.