Einführung

Als wir anfingen, stereometrische Figuren zu studieren, berührten wir das Thema "Pyramide". Uns gefiel dieses Thema, weil die Pyramide sehr oft in der Architektur verwendet wird. Und da unser zukünftiger Beruf als Architektin von dieser Figur inspiriert ist, glauben wir, dass sie uns zu großartigen Projekten anspornen kann.

Die Stärke architektonischer Strukturen, ihre wichtigste Qualität. Assoziiert man Stärke erstens mit den Materialien, aus denen sie hergestellt werden, und zweitens mit den Merkmalen von Designlösungen, stellt sich heraus, dass die Stärke einer Struktur in direktem Zusammenhang mit der geometrischen Form steht, die ihr zugrunde liegt.

Mit anderen Worten, wir sprechen von der geometrischen Figur, die als Modell der entsprechenden architektonischen Form betrachtet werden kann. Es stellt sich heraus, dass die geometrische Form auch die Stärke der architektonischen Struktur bestimmt.

Die ägyptischen Pyramiden gelten seit langem als das langlebigste architektonische Bauwerk. Wie Sie wissen, haben sie die Form regelmäßiger viereckiger Pyramiden.

Gerade diese geometrische Form bietet durch die große Grundfläche die größte Stabilität. Andererseits sorgt die Form der Pyramide dafür, dass die Masse mit zunehmender Höhe über dem Boden abnimmt. Es sind diese beiden Eigenschaften, die die Pyramide stabil und daher stark unter den Bedingungen der Schwerkraft machen.

Ziel des Projekts: Neues über die Pyramiden erfahren, Wissen vertiefen und praktische Anwendungen finden.

Um dieses Ziel zu erreichen, mussten folgende Aufgaben gelöst werden:

Erfahren Sie historische Informationen über die Pyramide

Betrachten Sie die Pyramide als eine geometrische Figur

Finden Sie Anwendung im Leben und in der Architektur

Finden Sie Ähnlichkeiten und Unterschiede zwischen Pyramiden, die sich in verschiedenen Teilen der Welt befinden

Theoretischer Teil

Historische Informationen

Der Beginn der Geometrie der Pyramide wurde im alten Ägypten und in Babylon gelegt, aber im alten Griechenland aktiv entwickelt. Der erste, der feststellte, wie groß das Volumen der Pyramide ist, war Demokrit, und Eudoxus von Knidus bewies es. Der antike griechische Mathematiker Euklid systematisierte das Wissen über die Pyramide im XII. Band seiner "Anfänge" und brachte auch die erste Definition der Pyramide heraus: eine Körperfigur, die von Ebenen begrenzt wird, die an einem Punkt von einer Ebene zusammenlaufen.

Die Gräber der ägyptischen Pharaonen. Die größten von ihnen - die Pyramiden von Cheops, Khafre und Mikerin in El Gizeh galten in der Antike als eines der sieben Weltwunder. Die Errichtung der Pyramide, in der bereits Griechen und Römer ein Denkmal für den beispiellosen Königsstolz und die Grausamkeit sahen, die das gesamte Volk Ägyptens zu sinnlosem Bauen verurteilte, war der wichtigste Kultakt und sollte offenbar Ausdruck die mystische Identität des Landes und seines Herrschers. Die Bevölkerung des Landes arbeitete in der von landwirtschaftlicher Arbeit freien Zeit des Jahres am Bau des Grabes. Eine Reihe von Texten zeugen von der Aufmerksamkeit und Sorgfalt, die die Könige selbst (wenn auch aus späterer Zeit) dem Bau ihres Grabes und seiner Erbauer widmeten. Bekannt ist auch die besondere Kult-Ehrung, die sich als Pyramide selbst herausstellte.

Grundlegendes Konzept

Pyramide Es wird ein Polyeder genannt, dessen Basis ein Polygon ist und dessen verbleibende Flächen Dreiecke mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt sind.

Apothema- die Höhe der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide, gezeichnet von ihrer Spitze;

Seitenflächen- oben zusammenlaufende Dreiecke;

Seitenrippen- gemeinsame Seiten der Seitenflächen;

Spitze der Pyramide- ein Punkt, der die Seitenkanten verbindet und nicht in der Ebene der Basis liegt;

Höhe- ein Segment einer Senkrechten, das durch die Spitze der Pyramide zur Ebene ihrer Basis gezogen wird (die Enden dieses Segments sind die Spitze der Pyramide und die Basis der Senkrechten);

Diagonalschnitt einer Pyramide- Abschnitt der Pyramide, der durch die Spitze und die Diagonale der Basis verläuft;

Base- ein Polygon, das nicht zur Spitze der Pyramide gehört.

Die Haupteigenschaften der richtigen Pyramide

Seitenkanten, Seitenflächen und Apotheme sind jeweils gleich.

Die Diederwinkel an der Basis sind gleich.

Die Diederwinkel an den Seitenkanten sind gleich.

Jeder Höhenpunkt ist von allen Basiseckpunkten gleich weit entfernt.

Jeder Höhenpunkt ist von allen Seitenflächen gleich weit entfernt.

Grundlegende Pyramidenformeln

Der Bereich der seitlichen und vollen Oberfläche der Pyramide.

Die Fläche der Seitenfläche der Pyramide (voll und abgeschnitten) ist die Summe der Flächen aller ihrer Seitenflächen, die Gesamtfläche ist die Summe der Flächen aller ihrer Flächen.

Satz: Die Fläche der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide ist gleich dem halben Produkt aus dem Umfang der Basis und dem Apothem der Pyramide.

p- Umfang der Basis;

h- Apothem.

Die Fläche der Seiten- und Vollflächen eines Pyramidenstumpfes.

p1, p 2 - Basisperimeter;

h- Apothem.

R- Gesamtfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes;

S-Seite- Bereich der Seitenfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes;

S1 + S2- Grundfläche

Pyramidenvolumen

Bilden Die Volumenskala wird für Pyramiden jeglicher Art verwendet.

H ist die Höhe der Pyramide.

Winkel der Pyramide

Die Winkel, die von der Seitenfläche und der Basis der Pyramide gebildet werden, heißen Diederwinkel an der Basis der Pyramide.

Ein Diederwinkel wird durch zwei Senkrechte gebildet.

Um diesen Winkel zu bestimmen, müssen Sie häufig den Satz der drei Senkrechten verwenden.

Die Winkel, die durch eine Seitenkante und ihre Projektion auf die Ebene der Basis gebildet werden, werden als bezeichnet Winkel zwischen der Seitenkante und der Ebene der Basis.

Der Winkel, der von zwei Seitenflächen gebildet wird, wird genannt Diederwinkel am seitlichen Rand der Pyramide.

Der Winkel, der durch zwei Seitenkanten einer Fläche der Pyramide gebildet wird, wird genannt Ecke an der Spitze der Pyramide.

Abschnitte der Pyramide

Die Oberfläche einer Pyramide ist die Oberfläche eines Polyeders. Jede ihrer Flächen ist eine Ebene, daher ist der durch die Sekantenebene gegebene Abschnitt der Pyramide eine unterbrochene Linie, die aus separaten geraden Linien besteht.

Diagonalschnitt

Der Schnitt einer Pyramide durch eine Ebene, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht auf derselben Fläche liegen, wird als Pyramide bezeichnet Diagonalschnitt Pyramiden.

Parallele Abschnitte

Satz:

Wenn die Pyramide von einer zur Basis parallelen Ebene gekreuzt wird, werden die Seitenkanten und Höhen der Pyramide durch diese Ebene in proportionale Teile geteilt;

Der Schnitt dieser Ebene ist ein Polygon ähnlich der Basis;

Die Flächen des Abschnitts und der Basis verhalten sich zueinander wie die Quadrate ihrer Abstände von der Spitze.

Arten von Pyramiden

Korrekte Pyramide- eine Pyramide, deren Basis ein regelmäßiges Polygon ist und deren Spitze in die Mitte der Basis projiziert wird.

An der richtigen Pyramide:

1. Seitenrippen sind gleich

2. Seitenflächen sind gleich

3. Apotheme sind gleich

4. Diederwinkel an der Basis sind gleich

5. Diederwinkel an den Seitenkanten sind gleich

6. jeder Höhenpunkt ist von allen Basiseckpunkten gleich weit entfernt

7. jeder Höhenpunkt ist von allen Seitenflächen gleich weit entfernt

Pyramidenstumpf- der Teil der Pyramide, der zwischen ihrer Basis und einer zur Basis parallelen Schnittebene eingeschlossen ist.

Die Basis und der entsprechende Abschnitt eines Pyramidenstumpfes werden genannt Basen eines Pyramidenstumpfes.

Eine Senkrechte, die von einem beliebigen Punkt einer Basis zur Ebene einer anderen gezogen wird, heißt die Höhe des Pyramidenstumpfes.

Aufgaben

Nr. 1. In einer regelmäßigen viereckigen Pyramide ist Punkt O die Mitte der Basis, SO = 8 cm, BD = 30 cm. Finden Sie die Seitenkante SA.

Probleme lösen

Nr. 1. In einer regelmäßigen Pyramide sind alle Flächen und Kanten gleich.

Betrachten wir OSB: OSB-rechteckiges Rechteck, weil.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Pyramide in der Architektur

Pyramide - eine monumentale Struktur in Form einer gewöhnlichen regelmäßigen geometrischen Pyramide, bei der die Seiten an einem Punkt zusammenlaufen. Je nach funktionalem Zweck waren die Pyramiden in der Antike ein Ort der Bestattung oder Anbetung. Die Basis einer Pyramide kann dreieckig, viereckig oder polygonal mit einer beliebigen Anzahl von Ecken sein, aber die häufigste Version ist die viereckige Basis.

Es ist eine beträchtliche Anzahl von Pyramiden bekannt, die von verschiedenen Kulturen der Antike gebaut wurden, hauptsächlich als Tempel oder Denkmäler. Die größten Pyramiden sind die ägyptischen Pyramiden.

Überall auf der Erde sieht man architektonische Strukturen in Form von Pyramiden. Pyramidenbauten erinnern an die Antike und sehen sehr schön aus.

Die ägyptischen Pyramiden sind die größten Baudenkmäler des alten Ägypten, unter denen eines der „Sieben Weltwunder“ die Cheops-Pyramide ist. Vom Fuß bis zur Spitze erreicht er 137,3 m, und bevor er die Spitze verlor, betrug seine Höhe 146,7 m.

Das Gebäude des Radiosenders in der Hauptstadt der Slowakei, das einer umgekehrten Pyramide ähnelt, wurde 1983 erbaut. Neben Büros und Serviceräumen befindet sich im Inneren des Volumens ein ziemlich geräumiger Konzertsaal, der eine der größten Orgeln in der Slowakei hat .

Der Louvre, der „so still und majestätisch wie eine Pyramide ist“, hat im Laufe der Jahrhunderte viele Veränderungen erfahren, bevor er zum größten Museum der Welt wurde. Es wurde als Festung geboren, die 1190 von Philipp Augustus errichtet wurde und sich bald in eine königliche Residenz verwandelte. 1793 wurde der Palast ein Museum. Sammlungen werden durch Nachlässe oder Ankäufe bereichert.

Pyramide. Pyramidenstumpf

Pyramide wird ein Polyeder genannt, dessen eine Fläche ein Polygon ist ( Base ), und alle anderen Flächen sind Dreiecke mit einem gemeinsamen Eckpunkt ( Seitenflächen ) (Abb. 15). Die Pyramide heißt Korrekt , wenn ihre Grundfläche ein regelmäßiges Polygon ist und die Spitze der Pyramide in die Mitte der Grundfläche projiziert wird (Abb. 16). Eine dreieckige Pyramide, bei der alle Kanten gleich sind, heißt Tetraeder .

Seitenrippe Pyramide heißt die Seite der Seitenfläche, die nicht zur Basis gehört Höhe Pyramide ist der Abstand von ihrer Spitze zur Ebene der Basis. Alle Seitenkanten einer regelmäßigen Pyramide sind einander gleich, alle Seitenflächen sind gleiche gleichschenklige Dreiecke. Die Höhe der Seitenfläche einer vom Scheitelpunkt gezogenen regelmäßigen Pyramide wird genannt Apothema . Diagonalschnitt Ein Abschnitt einer Pyramide wird als Ebene bezeichnet, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht zur selben Fläche gehören.

Seitenfläche Pyramide heißt die Summe der Flächeninhalte aller Seitenflächen. Vollflächig ist die Summe der Flächen aller Seitenflächen und der Basis.

Sätze

1. Wenn bei einer Pyramide alle Seitenkanten gleich zur Ebene der Basis geneigt sind, dann wird die Spitze der Pyramide in die Mitte des umschriebenen Kreises nahe der Basis projiziert.

2. Wenn in einer Pyramide alle Seitenkanten gleich lang sind, dann wird die Spitze der Pyramide in die Mitte des umschriebenen Kreises nahe der Basis projiziert.

3. Wenn in der Pyramide alle Flächen gleich zur Ebene der Basis geneigt sind, dann wird die Spitze der Pyramide in die Mitte des in die Basis einbeschriebenen Kreises projiziert.

Um das Volumen einer beliebigen Pyramide zu berechnen, ist die Formel richtig:

wo v- Lautstärke;

S Haupt- Grundfläche;

H ist die Höhe der Pyramide.

Für eine reguläre Pyramide gelten die folgenden Formeln:

wo p- Umfang der Basis;

ha- Apothem;

H- Höhe;

S voll

S-Seite

S Haupt- Grundfläche;

v ist das Volumen einer regelmäßigen Pyramide.

Pyramidenstumpf wird der Teil der Pyramide genannt, der zwischen der Basis und der Schnittebene parallel zur Basis der Pyramide eingeschlossen ist (Abb. 17). Richtiger Pyramidenstumpf wird der Teil einer regelmäßigen Pyramide genannt, der zwischen der Basis und einer Schnittebene parallel zur Basis der Pyramide eingeschlossen ist.

Stiftungen Pyramidenstumpf - ähnliche Polygone. Seitenflächen - Trapez. Höhe Pyramidenstumpf nennt man den Abstand zwischen seinen Basen. Diagonale Ein Pyramidenstumpf ist ein Segment, das seine Scheitel verbindet, die nicht auf derselben Fläche liegen. Diagonalschnitt Ein Abschnitt eines Pyramidenstumpfes wird als Ebene bezeichnet, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht zu derselben Fläche gehören.

Für einen Pyramidenstumpf gelten die Formeln:

(4)

wo S 1 , S 2 - Bereiche der oberen und unteren Basis;

S voll ist die Gesamtoberfläche;

S-Seite ist die seitliche Oberfläche;

H- Höhe;

v ist das Volumen des Pyramidenstumpfes.

Für einen regelmäßigen Pyramidenstumpf gilt die folgende Formel:

wo p 1 , p 2 - Basisumfänge;

ha- das Apothem eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes.

Beispiel 1 In einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide beträgt der Diederwinkel an der Basis 60º. Finden Sie die Tangente des Neigungswinkels der Seitenkante zur Ebene der Basis.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 18).

Die Pyramide ist regelmäßig, was bedeutet, dass die Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck ist und alle Seitenflächen gleichschenklige Dreiecke sind. Der Flächenwinkel an der Basis ist der Neigungswinkel der Seitenfläche der Pyramide zur Ebene der Basis. Der lineare Winkel ist der Winkel a zwischen zwei Loten: d.h. Die Spitze der Pyramide wird auf die Mitte des Dreiecks projiziert (die Mitte des umschriebenen Kreises und des einbeschriebenen Kreises im Dreieck). ABC). Der Neigungswinkel der Seitenrippe (z SB) ist der Winkel zwischen der Kante selbst und ihrer Projektion auf die Grundebene. Für Rippe SB dieser Winkel wird der Winkel sein SBD. Um die Tangente zu finden, müssen Sie die Schenkel kennen ALSO und OB. Lassen Sie die Länge des Segments BD ist 3 a. Punkt Ö Liniensegment BD ist in Teile geteilt: und Von finden wir ALSO: Von finden wir:

Antworten:

Beispiel 2 Berechne das Volumen eines regelmäßigen viereckigen Pyramidenstumpfes, wenn die Diagonalen seiner Grundflächen cm und cm und die Höhe 4 cm beträgt.

Lösung. Um das Volumen eines Pyramidenstumpfes zu finden, verwenden wir Formel (4). Um die Flächen der Basen zu finden, müssen Sie die Seiten der Basisquadrate finden und ihre Diagonalen kennen. Die Seiten der Basen sind 2 cm bzw. 8 cm, das heißt die Flächen der Basen und Wenn wir alle Daten in die Formel einsetzen, berechnen wir das Volumen des Pyramidenstumpfes:

Antworten: 112 cm3.

Beispiel 3 Finden Sie die Fläche der Seitenfläche eines regelmäßigen dreieckigen Pyramidenstumpfes, dessen Seiten der Basis 10 cm und 4 cm betragen und die Höhe der Pyramide 2 cm beträgt.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 19).

Die Seitenfläche dieser Pyramide ist ein gleichschenkliges Trapez. Um die Fläche eines Trapezes zu berechnen, müssen Sie die Basen und die Höhe kennen. Die Basen sind per Zustand gegeben, nur die Höhe bleibt unbekannt. Finden Sie es von wo ABER 1 E senkrecht von einem Punkt ABER 1 auf der Ebene der unteren Basis, EIN 1 D- senkrecht von ABER 1 an AC. ABER 1 E\u003d 2 cm, da dies die Höhe der Pyramide ist. Zur Findung DE Wir werden eine zusätzliche Zeichnung erstellen, in der wir eine Draufsicht darstellen (Abb. 20). Punkt Ö- Projektion der Zentren der oberen und unteren Basen. da (siehe Abb. 20) und andererseits OK ist der Radius des Inkreises und Om ist der Radius des Inkreises:

MK=DE.

Nach dem Satz des Pythagoras aus

Seitenfläche:

Antworten:

Beispiel 4 An der Basis der Pyramide liegt ein gleichschenkliges Trapez, dessen Basen a und b (a> b). Jede Seitenfläche bildet einen Winkel gleich der Ebene der Basis der Pyramide j. Finden Sie die Gesamtfläche der Pyramide.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 21). Gesamtfläche der Pyramide SABCD ist gleich der Summe der Flächen und der Fläche des Trapezes A B C D.

Lassen Sie uns die Aussage verwenden, dass, wenn alle Flächen der Pyramide gleich zur Ebene der Basis geneigt sind, die Spitze in die Mitte des in die Basis einbeschriebenen Kreises projiziert wird. Punkt Ö- Scheitelpunktprojektion S am Fuß der Pyramide. Dreieck SOD ist die orthogonale Projektion des Dreiecks CSD zur Basisebene. Nach dem Satz über die Fläche der orthogonalen Projektion einer flachen Figur erhalten wir:

Ähnlich heißt es Somit wurde das Problem darauf reduziert, die Fläche des Trapezes zu finden A B C D. Zeichne ein Trapez A B C D getrennt (Abb. 22). Punkt Ö ist der Mittelpunkt eines Kreises, der in ein Trapez eingeschrieben ist.

Da einem Trapez ein Kreis einbeschrieben werden kann, gilt dann oder Nach dem Satz des Pythagoras haben wir

Hier sind grundlegende Informationen über die Pyramiden und verwandte Formeln und Konzepte gesammelt. Alle von ihnen werden mit einem Tutor in Mathematik zur Vorbereitung auf die Prüfung studiert.

Betrachten Sie eine Ebene, ein Polygon darin liegen und einen nicht darin liegenden Punkt S. Verbinden Sie S mit allen Eckpunkten des Polygons. Das resultierende Polyeder wird Pyramide genannt. Die Segmente werden Seitenkanten genannt. Das Polygon wird als Basis bezeichnet, und der Punkt S wird als Spitze der Pyramide bezeichnet. Abhängig von der Zahl n heißt die Pyramide dreieckig (n=3), viereckig (n=4), fünfeckig (n=5) und so weiter. Alternativer Name für die dreieckige Pyramide - Tetraeder. Die Höhe einer Pyramide ist die Senkrechte, die von ihrer Spitze zur Grundebene gezogen wird.

Eine Pyramide heißt richtig wenn ein regelmäßiges Polygon, und die Basis der Höhe der Pyramide (die Basis der Senkrechten) ist ihr Mittelpunkt.

Kommentar des Lehrers:
Verwechseln Sie nicht die Begriffe „regelmäßige Pyramide“ und „regelmäßiges Tetraeder“. In einer regelmäßigen Pyramide sind die Seitenkanten nicht unbedingt gleich den Kanten der Basis, aber in einem regelmäßigen Tetraeder sind alle 6 Kanten der Kanten gleich. Das ist seine Definition. Es ist leicht zu beweisen, dass die Gleichheit impliziert, dass der Mittelpunkt P des Polygons ist mit einer Höhenbasis, also ist ein regelmäßiger Tetraeder eine regelmäßige Pyramide.

Was ist ein Apothem?
Der Apothem einer Pyramide ist die Höhe ihrer Seitenfläche. Wenn die Pyramide regelmäßig ist, dann sind alle ihre Apotheme gleich. Das Gegenteil ist nicht wahr.

Mathematiklehrer über seine Terminologie: Die Arbeit mit Pyramiden besteht zu 80 % aus zwei Arten von Dreiecken:
1) Enthält Apothema SK und Höhe SP
2) Enthält den seitlichen Rand SA und seinen Vorsprung PA

Um die Verweise auf diese Dreiecke zu vereinfachen, ist es für einen Mathematiklehrer bequemer, das erste von ihnen zu nennen apothemisch, und zweitens Küsten. Leider findet man diese Terminologie in keinem der Lehrbücher, und der Lehrer muss sie einseitig einführen.

Pyramidenvolumenformel:
1) , wo ist die Fläche der Basis der Pyramide und die Höhe der Pyramide
2) , wobei der Radius der eingeschriebenen Kugel und die Gesamtfläche der Pyramide ist.
3) , wobei MN der Abstand zweier sich kreuzender Kanten ist und die Fläche des Parallelogramms ist, das durch die Mittelpunkte der vier verbleibenden Kanten gebildet wird.

Pyramidenhöhe Basiseigenschaft:

Der Punkt P (siehe Abbildung) fällt mit dem Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises am Fuß der Pyramide zusammen, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
1) Alle Apotheme sind gleich
2) Alle Seitenflächen sind gleich zur Basis geneigt
3) Alle Apotheme sind gleich zur Höhe der Pyramide geneigt
4) Die Höhe der Pyramide ist zu allen Seitenflächen gleich geneigt

Kommentar des Mathelehrers: Beachten Sie, dass alle Punkte durch eine gemeinsame Eigenschaft vereint sind: Auf die eine oder andere Weise sind Seitenflächen überall beteiligt (Apotheme sind ihre Elemente). Daher kann der Tutor eine weniger genaue, aber bequemere Formulierung zum Auswendiglernen anbieten: Der Punkt P fällt mit dem Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises zusammen, der Basis der Pyramide, wenn es gleichwertige Informationen über ihre Seitenflächen gibt. Um dies zu beweisen, genügt es zu zeigen, dass alle apothemischen Dreiecke gleich sind.

Der Punkt P fällt mit dem Mittelpunkt des umschriebenen Kreises in der Nähe der Basis der Pyramide zusammen, wenn eine der drei Bedingungen zutrifft:
1) Alle Seitenkanten sind gleich
2) Alle Seitenrippen sind gleich zur Basis geneigt
3) Alle Seitenrippen sind gleich zur Höhe geneigt

Videolektion 2: Pyramiden-Herausforderung. Pyramidenvolumen

Videolektion 3: Pyramiden-Herausforderung. Korrekte Pyramide

Vorlesung: Pyramide, ihre Basis, Seitenkanten, Höhe, Seitenfläche; Dreieckige Pyramide; rechte Pyramide

Pyramide, ihre Eigenschaften

Pyramide- Dies ist ein dreidimensionaler Körper, der an der Basis ein Polygon hat und alle seine Flächen aus Dreiecken bestehen.

Ein Sonderfall einer Pyramide ist ein Kegel, an dessen Fuß ein Kreis liegt.

Betrachten Sie die Hauptelemente der Pyramide:

Apothema ist ein Segment, das die Spitze der Pyramide mit der Mitte der Unterkante der Seitenfläche verbindet. Mit anderen Worten, dies ist die Höhe der Pyramidenfläche.

In der Abbildung sehen Sie die Dreiecke ADS, ABS, BCS, CDS. Wenn Sie sich die Namen genau ansehen, können Sie sehen, dass jedes Dreieck einen gemeinsamen Buchstaben in seinem Namen hat - S. Das heißt, dass alle Seitenflächen (Dreiecke) an einem Punkt zusammenlaufen, der als Spitze der Pyramide bezeichnet wird.

Das Segment OS, das den Scheitelpunkt mit dem Schnittpunkt der Diagonalen der Basis (bei Dreiecken mit dem Schnittpunkt der Höhen) verbindet, wird aufgerufen Pyramidenhöhe.

Ein Diagonalschnitt ist eine Ebene, die durch die Spitze der Pyramide verläuft, sowie eine der Diagonalen der Basis.

Da die Seitenfläche der Pyramide aus Dreiecken besteht, ist es notwendig, die Flächen jeder Fläche zu finden und zu addieren, um die Gesamtfläche der Seitenfläche zu ermitteln. Die Anzahl und Form der Flächen hängt von der Form und Größe der Seiten des Polygons ab, das an der Basis liegt.

Die einzige Ebene in einer Pyramide, die keine Spitze hat, wird genannt Basis Pyramiden.

In der Abbildung sehen wir, dass die Basis ein Parallelogramm ist, es kann jedoch ein beliebiges Polygon geben.

Eigenschaften:

Betrachten Sie den ersten Fall einer Pyramide, in der sie Kanten gleicher Länge hat:

• Um die Basis einer solchen Pyramide kann ein Kreis beschrieben werden. Wenn Sie die Spitze einer solchen Pyramide projizieren, befindet sich ihre Projektion in der Mitte des Kreises.
• Die Winkel an der Basis der Pyramide sind für jede Fläche gleich.
• Gleichzeitig können als hinreichende Bedingung dafür, dass um die Basis der Pyramide ein Kreis beschrieben werden kann und auch dass alle Kanten unterschiedlich lang sind, gleiche Winkel zwischen der Basis und jeder Kante der Flächen angesehen werden .

Wenn Sie auf eine Pyramide stoßen, bei der die Winkel zwischen den Seitenflächen und der Basis gleich sind, dann gelten die folgenden Eigenschaften:

• Sie werden in der Lage sein, einen Kreis um die Basis der Pyramide zu beschreiben, deren Spitze genau auf die Mitte projiziert wird.
• Zieht man bei jeder Seitenfläche die Höhe bis zur Basis, dann werden sie gleich lang.
• Um die Seitenfläche einer solchen Pyramide zu finden, reicht es aus, den Umfang der Basis zu finden und ihn mit der halben Länge der Höhe zu multiplizieren.
• Sbp \u003d 0,5P oc H.
• Arten von Pyramiden.
• Je nachdem, welches Polygon an der Basis der Pyramide liegt, können sie dreieckig, viereckig usw. sein. Wenn an der Basis der Pyramide ein regelmäßiges Polygon (mit gleichen Seiten) liegt, wird eine solche Pyramide regelmäßig genannt.

Regelmäßige dreieckige Pyramide

• Apothema- die Höhe der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide, die von ihrer Spitze gezeichnet wird (außerdem ist das Apothem die Länge der Senkrechten, die von der Mitte eines regelmäßigen Polygons zu einer seiner Seiten abgesenkt wird);
• Seitenflächen (ASB, BSC, CSD, DSA) - Dreiecke, die oben zusammenlaufen;
• Seitenrippen ( WIE , BS , CS , DS ) - gemeinsame Seiten der Seitenflächen;
• Spitze der Pyramide (gegen S) - ein Punkt, der die Seitenränder verbindet und der nicht in der Ebene der Basis liegt;
• Höhe ( ALSO ) - ein Segment der Senkrechten, das durch die Spitze der Pyramide bis zur Ebene ihrer Basis gezogen wird (die Enden eines solchen Segments sind die Spitze der Pyramide und die Basis der Senkrechten);
• Diagonalschnitt einer Pyramide- Abschnitt der Pyramide, der durch die Spitze und die Diagonale der Basis verläuft;
• Base (A B C D) ist ein Polygon, zu dem die Spitze der Pyramide nicht gehört.

Pyramideneigenschaften.

1. Wenn alle Seitenkanten gleich groß sind, dann:

• in der Nähe der Basis der Pyramide ist es leicht, einen Kreis zu beschreiben, während die Spitze der Pyramide in die Mitte dieses Kreises projiziert wird;
• Seitenrippen bilden gleiche Winkel mit der Basisebene;
• außerdem gilt auch die Umkehrung, d.h. Wenn die Seitenkanten mit der Basisebene gleiche Winkel bilden oder wenn nahe der Basis der Pyramide ein Kreis beschrieben werden kann und die Spitze der Pyramide in die Mitte dieses Kreises projiziert wird, dann haben alle Seitenkanten der Pyramide die gleiche Größe.

2. Wenn die Seitenflächen einen Neigungswinkel zur Ebene der Basis haben, der den gleichen Wert hat, dann:

• in der Nähe der Basis der Pyramide ist es leicht, einen Kreis zu beschreiben, während die Spitze der Pyramide in die Mitte dieses Kreises projiziert wird;
• die Höhen der Seitenflächen sind gleich lang;
• Die Fläche der Seitenfläche ist ½ das Produkt aus dem Umfang der Basis und der Höhe der Seitenfläche.

3. Eine Kugel kann in der Nähe der Pyramide beschrieben werden, wenn die Basis der Pyramide ein Polygon ist, um das ein Kreis beschrieben werden kann (eine notwendige und hinreichende Bedingung). Der Mittelpunkt der Kugel ist der Schnittpunkt der Ebenen, die durch die Mittelpunkte der Kanten der Pyramide verlaufen, die senkrecht zu ihnen stehen. Aus diesem Satz schließen wir, dass eine Kugel sowohl um jede dreieckige als auch um jede regelmäßige Pyramide herum beschrieben werden kann.

4. Eine Kugel kann in eine Pyramide eingeschrieben werden, wenn sich die Winkelhalbierenden der inneren Diederwinkel der Pyramide im 1. Punkt schneiden (eine notwendige und hinreichende Bedingung). Dieser Punkt wird zum Mittelpunkt der Kugel.

Die einfachste Pyramide.

Entsprechend der Anzahl der Ecken der Basis der Pyramide werden sie in dreieckig, viereckig usw. unterteilt.

Die Pyramide wird dreieckig, viereckig, und so weiter, wenn die Basis der Pyramide ein Dreieck, ein Viereck und so weiter ist. Eine dreieckige Pyramide ist ein Tetraeder - ein Tetraeder. Viereckig - Pentaeder und so weiter.