Die Transformation einer vollständigen quadratischen Gleichung in eine unvollständige sieht so aus (für den Fall \(b=0\)):

Für Fälle, in denen \(c=0\) oder beide Koeffizienten gleich Null sind, ist alles ähnlich.

Bitte beachten Sie, dass \(a\) nicht gleich Null ist, es kann nicht gleich Null sein, da es in diesem Fall zu:

Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen.

Zunächst müssen Sie verstehen, dass die unvollständige quadratische Gleichung immer noch besteht und daher auf die gleiche Weise wie die übliche quadratische Gleichung (durch) gelöst werden kann. Dazu addieren wir einfach die fehlende Komponente der Gleichung mit einem Koeffizienten von Null.

Beispiel : Finden Sie die Wurzeln der Gleichung \(3x^2-27=0\)
Entscheidung :

		Wir haben eine unvollständige quadratische Gleichung mit dem Koeffizienten \(b=0\). Das heißt, wir können die Gleichung in der folgenden Form schreiben:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		Tatsächlich ist hier die gleiche Gleichung wie am Anfang, aber jetzt kann sie als gewöhnliches Quadrat gelöst werden. Zuerst schreiben wir die Koeffizienten auf.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Berechnen Sie die Diskriminante mit der Formel \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Lassen Sie uns die Wurzeln der Gleichung mithilfe der Formeln finden \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) und \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Schreibe die Antwort auf

Antworten : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Beispiel : Finden Sie die Wurzeln der Gleichung \(-x^2+x=0\)
Entscheidung :

		Wieder eine unvollständige quadratische Gleichung, aber jetzt ist der Koeffizient \(c\) gleich Null. Wir schreiben die Gleichung als vollständig.

Landschule Kopyevskaya

10 Möglichkeiten, quadratische Gleichungen zu lösen

Leitung: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

Mathematiklehrer

s.Kopyevo, 2007

1. Geschichte der Entwicklung quadratischer Gleichungen

1.1 Quadratische Gleichungen im alten Babylon

1.2 Wie Diophantus quadratische Gleichungen aufstellte und löste

1.3 Quadratische Gleichungen in Indien

1.4 Quadratische Gleichungen in al-Khwarizmi

1.5 Quadratische Gleichungen in Europa XIII - XVII Jahrhundert

1.6 Über den Satz von Vieta

2. Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen

Fazit

Literatur

1. Entwicklungsgeschichte quadratischer Gleichungen

1.1 Quadratische Gleichungen im alten Babylon

Die Notwendigkeit, Gleichungen nicht nur des ersten, sondern auch des zweiten Grades in der Antike zu lösen, wurde durch die Notwendigkeit verursacht, Probleme im Zusammenhang mit der Suche nach Land- und Erdarbeiten militärischer Natur sowie der Entwicklung der Astronomie und zu lösen Mathematik selbst. Quadratische Gleichungen konnten etwa 2000 v. Chr. gelöst werden. e. Babylonier.

Unter Verwendung der modernen algebraischen Notation können wir sagen, dass es in ihren Keilschrifttexten neben unvollständigen zum Beispiel auch vollständige quadratische Gleichungen gibt:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Die Regel zur Lösung dieser Gleichungen, die in den babylonischen Texten angegeben ist, stimmt im Wesentlichen mit der modernen überein, aber es ist nicht bekannt, wie die Babylonier zu dieser Regel kamen. Fast alle bisher gefundenen Keilschrifttexte geben nur Probleme mit Lösungen in Form von Rezepten an, ohne Hinweis darauf, wie sie gefunden wurden.

Trotz des hohen Entwicklungsstandes der Algebra in Babylon fehlen den Keilschrifttexten das Konzept einer negativen Zahl und allgemeine Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen.

1.2 Wie Diophantus quadratische Gleichungen aufstellte und löste.

Die Arithmetik von Diophantus enthält keine systematische Darstellung der Algebra, aber sie enthält eine systematische Reihe von Problemen, die von Erklärungen begleitet und durch die Formulierung von Gleichungen verschiedener Grade gelöst werden.

Beim Zusammenstellen von Gleichungen wählt Diophantus geschickt Unbekannte aus, um die Lösung zu vereinfachen.

Hier ist zum Beispiel eine seiner Aufgaben.

Aufgabe 11.„Finde zwei Zahlen in dem Wissen, dass ihre Summe 20 und ihr Produkt 96 ist“

Diophantus argumentiert wie folgt: Aus der Bedingung des Problems folgt, dass die gewünschten Zahlen nicht gleich sind, denn wenn sie gleich wären, wäre ihr Produkt nicht gleich 96, sondern gleich 100. Eine von ihnen wäre also größer als die Hälfte ihrer Summe, d.h. 10+x, der andere ist kleiner, d.h. 10er. Der Unterschied zwischen ihnen 2x .

Daher die Gleichung:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Von hier x = 2. Eine der gewünschten Nummern ist 12 , Sonstiges 8 . Entscheidung x = -2 denn Diophantus existiert nicht, da die griechische Mathematik nur positive Zahlen kannte.

Wenn wir dieses Problem lösen, indem wir eine der gewünschten Zahlen als Unbekannte wählen, dann kommen wir zur Lösung der Gleichung

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Es ist klar, dass Diophantus die Lösung vereinfacht, indem er die halbe Differenz der gesuchten Zahlen als Unbekannte wählt; er schafft es, das Problem auf die Lösung einer unvollständigen quadratischen Gleichung (1) zu reduzieren.

1.3 Quadratische Gleichungen in Indien

Probleme zu quadratischen Gleichungen finden sich bereits im astronomischen Traktat "Aryabhattam", zusammengestellt 499 vom indischen Mathematiker und Astronomen Aryabhatta. Ein anderer indischer Wissenschaftler, Brahmagupta (7. Jahrhundert), skizzierte die allgemeine Regel zum Lösen quadratischer Gleichungen, die auf eine einzige kanonische Form reduziert wurden:

äh 2+ b x = c, a > 0. (1)

In Gleichung (1) sind die Koeffizienten, außer z a, kann auch negativ sein. Brahmaguptas Regel stimmt im Wesentlichen mit unserer überein.

Im alten Indien waren öffentliche Wettbewerbe zur Lösung schwieriger Probleme üblich. In einem der alten indischen Bücher wird über solche Wettbewerbe Folgendes gesagt: „Wie die Sonne die Sterne mit ihrem Glanz überstrahlt, so wird eine gelehrte Person den Ruhm einer anderen in öffentlichen Versammlungen überstrahlen, indem sie algebraische Probleme vorschlägt und löst.“ Aufgaben wurden oft in poetische Form gekleidet.

Hier ist eines der Probleme des berühmten indischen Mathematikers des 12. Jahrhunderts. Bhaskara.

Aufgabe 13.

„Ein munterer Schwarm Affen und zwölf in Reben ...

Macht gegessen, Spaß gehabt. Sie begannen zu springen, hängend ...

Teil acht von ihnen in einem Quadrat Wie viele Affen waren da,

Spaß auf der Wiese. Du sagst mir, in dieser Herde?

Bhaskaras Lösung weist darauf hin, dass er um die Zweiwertigkeit der Wurzeln quadratischer Gleichungen wusste (Abb. 3).

Die Gleichung zu Aufgabe 13 lautet:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara schreibt unter dem Deckmantel von:

x 2 - 64x = -768

und um die linke Seite dieser Gleichung zu einem Quadrat zu vervollständigen, addiert er zu beiden Seiten 32 2 , immer dann:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Quadratische Gleichungen in al-Khorezmi

Die algebraische Abhandlung von Al-Khorezmi gibt eine Klassifizierung von linearen und quadratischen Gleichungen. Der Autor listet 6 Arten von Gleichungen auf und drückt sie wie folgt aus:

1) "Quadrate sind gleich Wurzeln", d.h. Axt 2 + c = b X.

2) „Quadrate sind gleich Zahl“, d.h. Axt 2 = s.

3) "Die Wurzeln sind gleich der Zahl", d.h. ah = s.

4) "Quadrate und Zahlen sind gleich Wurzeln", d.h. Axt 2 + c = b X.

5) "Quadrate und Wurzeln sind gleich der Zahl", d.h. äh 2+ bx = s.

6) "Wurzeln und Zahlen sind gleich Quadraten", d.h. bx + c \u003d Axt 2.

Für al-Khwarizmi, der die Verwendung negativer Zahlen vermied, sind die Terme jeder dieser Gleichungen Additionen, keine Subtraktionen. In diesem Fall werden Gleichungen, die keine positiven Lösungen haben, offensichtlich nicht berücksichtigt. Der Autor legt die Methoden zur Lösung dieser Gleichungen unter Verwendung der Methoden von al-jabr und al-muqabala dar. Seine Entscheidungen stimmen natürlich nicht vollständig mit unseren überein. Ganz zu schweigen davon, dass es rein rhetorisch ist, sei beispielsweise darauf hingewiesen, dass beim Lösen einer unvollständigen quadratischen Gleichung des ersten Typs

al-Khorezmi berücksichtigt, wie alle Mathematiker vor dem 17. Jahrhundert, die Nulllösung nicht, wahrscheinlich weil sie bei bestimmten praktischen Problemen keine Rolle spielt. Beim Lösen vollständiger quadratischer Gleichungen legt al-Khorezmi die Regeln zum Lösen und dann geometrische Beweise anhand bestimmter numerischer Beispiele fest.

Aufgabe 14.„Das Quadrat und die Zahl 21 sind gleich 10 Wurzeln. Finde die Wurzel“ (unter der Annahme der Wurzel der Gleichung x 2 + 21 = 10x).

Die Lösung des Autors geht ungefähr so: Teilen Sie die Anzahl der Wurzeln in zwei Hälften, Sie erhalten 5, multiplizieren Sie 5 mit sich selbst, subtrahieren Sie 21 vom Produkt, es bleibt 4. Ziehen Sie die Wurzel aus 4, Sie erhalten 2. Subtrahieren Sie 2 von 5, Sie Holen Sie sich 3, dies wird die gewünschte Wurzel sein. Oder addiere 2 zu 5, was 7 ergibt, das ist auch eine Wurzel.

Die Abhandlung al-Khorezmi ist das erste uns überlieferte Buch, in dem die Klassifikation quadratischer Gleichungen systematisch dargelegt und Formeln zu ihrer Lösung angegeben werden.

1.5 Quadratische Gleichungen in Europa XIII - XVII Jahrhunderte

Formeln zur Lösung quadratischer Gleichungen nach dem Vorbild von al-Khorezmi in Europa wurden erstmals im „Buch des Abakus“ niedergelegt, das 1202 vom italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci verfasst wurde. Dieses umfangreiche Werk, das den Einfluss der Mathematik sowohl auf die Länder des Islam als auch auf das antike Griechenland widerspiegelt, zeichnet sich sowohl durch Vollständigkeit als auch durch Klarheit der Darstellung aus. Der Autor hat eigenständig einige neue algebraische Beispiele zur Problemlösung entwickelt und sich als erster in Europa der Einführung negativer Zahlen genähert. Sein Buch trug zur Verbreitung des algebraischen Wissens nicht nur in Italien, sondern auch in Deutschland, Frankreich und anderen europäischen Ländern bei. Viele Aufgaben aus dem "Buch des Abakus" sind in fast alle europäischen Lehrbücher des 16. - 17. Jahrhunderts übergegangen. und teilweise XVIII.

Die allgemeine Regel zum Lösen quadratischer Gleichungen, reduziert auf eine einzige kanonische Form:

x 2+ bx = mit,

für alle möglichen Vorzeichenkombinationen der Koeffizienten b , mit wurde in Europa erst 1544 von M. Stiefel formuliert.

Vieta hat eine allgemeine Ableitung der Formel zum Lösen einer quadratischen Gleichung, aber Vieta erkannte nur positive Wurzeln. Die italienischen Mathematiker Tartaglia, Cardano, Bombelli gehörten zu den ersten im 16. Jahrhundert. Berücksichtigen Sie neben positiven auch negative Wurzeln. Erst im 17. Jahrhundert. Dank der Arbeit von Girard, Descartes, Newton und anderen Wissenschaftlern erhält die Lösung quadratischer Gleichungen ein modernes Aussehen.

1.6 Über den Satz von Vieta

Der Satz, der die Beziehung zwischen den Koeffizienten einer quadratischen Gleichung und ihren Wurzeln ausdrückt und den Namen Vieta trägt, wurde von ihm erstmals 1591 wie folgt formuliert: „If B + D multipliziert mit EIN - EIN 2 , gleich BD, dann EIN gleich BEIM und gleich D ».

Um Vieta zu verstehen, muss man sich das merken SONDERN, wie jeder Vokal, bedeutete für ihn das Unbekannte (unser X), die Vokale BEIM, D- Koeffizienten für das Unbekannte. In der Sprache der modernen Algebra bedeutet Vietas obige Formulierung: wenn

(ein + b ) x - x 2 = ab ,

x 2 - (ein + b )x + ein b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Viet drückte die Beziehung zwischen den Wurzeln und den Koeffizienten von Gleichungen durch allgemeine Formeln aus, die unter Verwendung von Symbolen geschrieben wurden, und stellte eine Einheitlichkeit in den Methoden zum Lösen von Gleichungen her. Die Symbolik von Vieta ist jedoch noch weit von ihrer modernen Form entfernt. Er erkannte keine negativen Zahlen und betrachtete daher beim Lösen von Gleichungen nur Fälle, in denen alle Wurzeln positiv sind.

2. Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen

Quadratische Gleichungen sind die Grundlage, auf der das majestätische Gebäude der Algebra ruht. Quadratische Gleichungen werden häufig zur Lösung trigonometrischer, exponentieller, logarithmischer, irrationaler und transzendentaler Gleichungen und Ungleichungen verwendet. Von der Schule (8. Klasse) bis zum Abitur wissen wir alle, wie man quadratische Gleichungen löst.

Wir studieren das Thema weiter Lösung von Gleichungen". Wir haben uns bereits mit linearen Gleichungen getroffen und werden uns jetzt damit vertraut machen quadratische Gleichungen.

Zuerst werden wir diskutieren, was eine quadratische Gleichung ist, wie sie in allgemeiner Form geschrieben wird, und verwandte Definitionen geben. Anschließend analysieren wir anhand von Beispielen im Detail, wie unvollständige quadratische Gleichungen gelöst werden. Als nächstes lösen wir vollständige Gleichungen, erhalten die Formel für die Wurzeln, machen uns mit der Diskriminante einer quadratischen Gleichung vertraut und betrachten Lösungen für typische Beispiele. Schließlich verfolgen wir die Verbindungen zwischen Wurzeln und Koeffizienten.

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Was ist eine quadratische Gleichung? Ihre Typen

Zuerst müssen Sie klar verstehen, was eine quadratische Gleichung ist. Daher ist es logisch, mit der Definition einer quadratischen Gleichung sowie den damit verbundenen Definitionen über quadratische Gleichungen zu sprechen. Danach können Sie die Haupttypen quadratischer Gleichungen betrachten: reduzierte und nicht reduzierte sowie vollständige und unvollständige Gleichungen.

Definition und Beispiele quadratischer Gleichungen

Definition.

Quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form a x 2 + b x + c = 0, wobei x eine Variable ist, a , b und c einige Zahlen sind und a von Null verschieden ist.

Nehmen wir gleich an, dass quadratische Gleichungen oft als Gleichungen zweiten Grades bezeichnet werden. Dies liegt daran, dass die quadratische Gleichung ist algebraische Gleichung zweiter Grad.

Die erklingende Definition erlaubt es uns, Beispiele für quadratische Gleichungen zu geben. Also 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 usw. sind quadratische Gleichungen.

Definition.

Zahlen a , b und c werden aufgerufen Koeffizienten der quadratischen Gleichung a x 2 + b x + c = 0, und der Koeffizient a wird der erste oder Senior oder Koeffizient bei x 2 genannt, b ist der zweite Koeffizient oder Koeffizient bei x, und c ist ein freies Mitglied.

Nehmen wir zum Beispiel eine quadratische Gleichung der Form 5 x 2 −2 x−3=0 , hier ist der führende Koeffizient 5 , der zweite Koeffizient ist −2 und der freie Term ist −3 . Beachten Sie, dass, wenn die Koeffizienten b und/oder c negativ sind, wie im gerade gegebenen Beispiel, die Kurzform der quadratischen Gleichung der Form 5 x 2 −2 x−3=0 verwendet wird, nicht 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Es ist erwähnenswert, dass, wenn die Koeffizienten a und / oder b gleich 1 oder −1 sind, sie normalerweise nicht explizit in der Notation der quadratischen Gleichung vorhanden sind, was auf die Besonderheiten der Notation solcher zurückzuführen ist. Beispielsweise ist in der quadratischen Gleichung y 2 – y+3 = 0 der führende Koeffizient eins und der Koeffizient bei y ist –1.

Reduzierte und nicht reduzierte quadratische Gleichungen

Je nach Wert des führenden Koeffizienten werden reduzierte und nicht reduzierte quadratische Gleichungen unterschieden. Geben wir die entsprechenden Definitionen an.

Definition.

Eine quadratische Gleichung, in der der führende Koeffizient 1 ist, wird aufgerufen reduzierte quadratische Gleichung. Andernfalls ist die quadratische Gleichung unvermindert.

Nach dieser Definition sind die quadratischen Gleichungen x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 usw. - reduziert, in jedem von ihnen ist der erste Koeffizient gleich eins. Und 5 x 2 −x−1=0 usw. - nicht reduzierte quadratische Gleichungen, deren führende Koeffizienten von 1 verschieden sind.

Von jeder nicht reduzierten quadratischen Gleichung können Sie durch Dividieren ihrer beiden Teile durch den führenden Koeffizienten zu der reduzierten gehen. Diese Aktion ist eine äquivalente Transformation, dh die so erhaltene reduzierte quadratische Gleichung hat dieselben Wurzeln wie die ursprüngliche nicht reduzierte quadratische Gleichung oder hat wie diese keine Wurzeln.

Nehmen wir ein Beispiel dafür, wie der Übergang von einer nicht reduzierten quadratischen Gleichung zu einer reduzierten durchgeführt wird.

Beispiel.

Gehen Sie von der Gleichung 3 x 2 +12 x−7=0 zur entsprechenden reduzierten quadratischen Gleichung.

Entscheidung.

Es genügt uns, die Division beider Teile der ursprünglichen Gleichung durch den führenden Koeffizienten 3 durchzuführen, er ist ungleich Null, also können wir diese Aktion ausführen. Wir haben (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , was dasselbe ist wie (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , und so weiter (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , also . So haben wir die reduzierte quadratische Gleichung erhalten, die der ursprünglichen entspricht.

Antworten:

Vollständige und unvollständige quadratische Gleichungen

Es gibt eine Bedingung a≠0 in der Definition einer quadratischen Gleichung. Diese Bedingung ist notwendig, damit die Gleichung a x 2 +b x+c=0 genau quadratisch ist, da sie mit a=0 eigentlich eine lineare Gleichung der Form b x+c=0 wird.

Die Koeffizienten b und c können sowohl getrennt als auch zusammen gleich Null sein. In diesen Fällen wird die quadratische Gleichung als unvollständig bezeichnet.

Definition.

Die quadratische Gleichung a x 2 +b x+c=0 wird aufgerufen unvollständig, wenn mindestens einer der Koeffizienten b , c gleich Null ist.

Wiederum

Definition.

Vervollständige die quadratische Gleichung ist eine Gleichung, in der alle Koeffizienten von Null verschieden sind.

Diese Namen sind nicht zufällig vergeben. Dies wird aus der folgenden Diskussion deutlich.

Wenn der Koeffizient b gleich Null ist, dann nimmt die quadratische Gleichung die Form a x 2 +0 x+c=0 an und ist äquivalent zu der Gleichung a x 2 +c=0 . Wenn c=0 , das heißt, die quadratische Gleichung hat die Form a x 2 +b x+0=0 , dann kann sie umgeschrieben werden als a x 2 +b x=0 . Und mit b=0 und c=0 erhalten wir die quadratische Gleichung a·x 2 =0. Die resultierenden Gleichungen unterscheiden sich von der vollständigen quadratischen Gleichung dadurch, dass ihre linken Seiten weder einen Term mit der Variablen x noch einen freien Term oder beides enthalten. Daher ihr Name - unvollständige quadratische Gleichungen.

Die Gleichungen x 2 +x+1=0 und −2 x 2 −5 x+0,2=0 sind also Beispiele für vollständige quadratische Gleichungen, und x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 sind unvollständige quadratische Gleichungen.

Unvollständige quadratische Gleichungen lösen

Aus den Informationen des vorigen Absatzes folgt, dass dies der Fall ist drei Arten von unvollständigen quadratischen Gleichungen:

• a x 2 =0 , die Koeffizienten b=0 und c=0 entsprechen ihm;
• a x 2 + c = 0, wenn b = 0;
• und a x 2 + b x = 0, wenn c = 0.

Lassen Sie uns der Reihe nach analysieren, wie die unvollständigen quadratischen Gleichungen jedes dieser Typen gelöst werden.

a x 2 \u003d 0

Beginnen wir damit, unvollständige quadratische Gleichungen zu lösen, bei denen die Koeffizienten b und c gleich Null sind, also mit Gleichungen der Form a x 2 = 0. Die Gleichung a·x 2 =0 ist äquivalent zu der Gleichung x 2 =0, die aus dem Original erhalten wird, indem ihre beiden Teile durch eine von Null verschiedene Zahl a dividiert werden. Offensichtlich ist die Wurzel der Gleichung x 2 \u003d 0 Null, da 0 2 \u003d 0. Diese Gleichung hat keine anderen Wurzeln, was erklärt wird, denn für jede Zahl p ungleich Null tritt die Ungleichung p 2 > 0 auf, was impliziert, dass für p ≠ 0 die Gleichheit p 2 = 0 niemals erreicht wird.

Die unvollständige quadratische Gleichung a x 2 \u003d 0 hat also eine einzige Wurzel x \u003d 0.

Als Beispiel geben wir die Lösung einer unvollständigen quadratischen Gleichung −4·x 2 =0 an. Es ist äquivalent zur Gleichung x 2 \u003d 0, seine einzige Wurzel ist x \u003d 0, daher hat die ursprüngliche Gleichung eine einzige Wurzel Null.

Eine kurze Lösung in diesem Fall kann wie folgt ausgegeben werden:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 + c = 0

Betrachten Sie nun, wie unvollständige quadratische Gleichungen gelöst werden, bei denen der Koeffizient b gleich Null und c≠0 ist, dh Gleichungen der Form a x 2 + c=0. Wir wissen, dass die Übertragung eines Terms von einer Seite der Gleichung auf die andere mit entgegengesetztem Vorzeichen sowie die Division beider Seiten der Gleichung durch eine Zahl ungleich Null eine äquivalente Gleichung ergibt. Daher können die folgenden äquivalenten Transformationen der unvollständigen quadratischen Gleichung a x 2 + c = 0 durchgeführt werden:

• bewege c auf die rechte Seite, was die Gleichung a x 2 =−c ergibt,
• und dividieren beide Teile durch a , erhalten wir .

Die resultierende Gleichung erlaubt Rückschlüsse auf ihre Wurzeln. Abhängig von den Werten von a und c kann der Wert des Ausdrucks negativ sein (z. B. wenn a=1 und c=2 , dann ) oder positiv (z. B. wenn a=−2 und c=6 , dann ), ist sie ungleich Null , weil nach Bedingung c≠0 . Wir werden die Fälle und getrennt analysieren.

Wenn , dann hat die Gleichung keine Wurzeln. Diese Aussage folgt aus der Tatsache, dass das Quadrat einer beliebigen Zahl eine nicht negative Zahl ist. Daraus folgt, dass wenn , dann für jede Zahl p die Gleichheit nicht wahr sein kann.

Wenn , dann ist die Situation mit den Wurzeln der Gleichung anders. Wenn wir uns in diesem Fall daran erinnern, wird die Wurzel der Gleichung sofort offensichtlich, es ist die Zahl, da. Es ist leicht zu erraten, dass die Zahl auch die Wurzel der Gleichung ist, nämlich . Diese Gleichung hat keine weiteren Wurzeln, was sich zB durch Widerspruch zeigen lässt. Machen wir das.

Lassen Sie uns die stimmhaften Wurzeln der Gleichung als x 1 und −x 1 bezeichnen. Angenommen, die Gleichung hat eine andere Wurzel x 2 , die sich von den angegebenen Wurzeln x 1 und –x 1 unterscheidet. Es ist bekannt, dass das Einsetzen in die Gleichung anstelle von x ihrer Wurzeln die Gleichung in eine echte numerische Gleichheit verwandelt. Für x 1 und −x 1 haben wir , und für x 2 haben wir . Die Eigenschaften numerischer Gleichheiten erlauben es uns, Term-für-Term-Subtraktionen echter numerischer Gleichheiten durchzuführen, sodass die Subtraktion der entsprechenden Teile der Gleichheiten x 1 2 − x 2 2 =0 ergibt. Die Eigenschaften von Operationen mit Zahlen erlauben es uns, die resultierende Gleichheit als (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 umzuschreiben. Wir wissen, dass das Produkt zweier Zahlen genau dann gleich Null ist, wenn mindestens eine von ihnen gleich Null ist. Daher folgt aus der erhaltenen Gleichheit, dass x 1 – x 2 = 0 und/oder x 1 + x 2 = 0 , was dasselbe ist, x 2 = x 1 und/oder x 2 = –x 1 . Wir sind also auf einen Widerspruch gestoßen, da wir eingangs gesagt haben, dass die Wurzel der Gleichung x 2 von x 1 und −x 1 verschieden ist. Dies beweist, dass die Gleichung keine anderen Wurzeln als und hat.

Lassen Sie uns die Informationen in diesem Absatz zusammenfassen. Die unvollständige quadratische Gleichung a x 2 +c=0 ist äquivalent zur Gleichung , die

• hat keine Wurzeln, wenn
• hat zwei Wurzeln und wenn .

Betrachten Sie Beispiele zum Lösen unvollständiger quadratischer Gleichungen der Form a·x 2 +c=0 .

Beginnen wir mit der quadratischen Gleichung 9 x 2 +7=0 . Nachdem der freie Term auf die rechte Seite der Gleichung übertragen wurde, nimmt er die Form 9·x 2 =−7 an. Wenn wir beide Seiten der resultierenden Gleichung durch 9 dividieren, erhalten wir . Da auf der rechten Seite eine negative Zahl erhalten wird, hat diese Gleichung keine Wurzeln, daher hat die ursprüngliche unvollständige quadratische Gleichung 9 x 2 +7=0 keine Wurzeln.

Lösen wir eine weitere unvollständige quadratische Gleichung −x 2 +9=0. Wir übertragen die Neun auf die rechte Seite: -x 2 \u003d -9. Teilen wir nun beide Teile durch −1, erhalten wir x 2 =9. Die rechte Seite enthält eine positive Zahl, woraus wir schließen, dass oder . Nachdem wir die endgültige Antwort aufgeschrieben haben: Die unvollständige quadratische Gleichung −x 2 +9=0 hat zwei Wurzeln x=3 oder x=−3.

a x 2 + b x = 0

Es bleibt die Lösung des letzten Typs unvollständiger quadratischer Gleichungen für c=0 zu behandeln. Unvollständige quadratische Gleichungen der Form a x 2 +b x=0 können Sie lösen Faktorisierungsmethode. Offensichtlich können wir, auf der linken Seite der Gleichung gelegen, wofür es genügt, den gemeinsamen Faktor x aus Klammern zu nehmen. Dies erlaubt uns, von der ursprünglichen unvollständigen quadratischen Gleichung zu einer äquivalenten Gleichung der Form x·(a·x+b)=0 überzugehen. Und diese Gleichung ist äquivalent zu dem Satz von zwei Gleichungen x=0 und a x+b=0 , von denen die letzte linear ist und eine Wurzel x=−b/a hat.

Die unvollständige quadratische Gleichung a x 2 +b x=0 hat also zwei Wurzeln x=0 und x=−b/a.

Um das Material zu festigen, analysieren wir die Lösung eines konkreten Beispiels.

Beispiel.

Löse die Gleichung.

Entscheidung.

Wir nehmen x aus Klammern heraus, das ergibt die Gleichung. Es ist äquivalent zu zwei Gleichungen x=0 und . Wir lösen die resultierende lineare Gleichung: , und nachdem wir die gemischte Zahl durch einen gewöhnlichen Bruch dividiert haben, finden wir . Daher sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung x=0 und .

Mit der nötigen Übung lassen sich die Lösungen solcher Gleichungen kurz aufschreiben:

Antworten:

x=0 , .

Diskriminante, Formel der Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Um quadratische Gleichungen zu lösen, gibt es eine Wurzelformel. Schreiben wir auf die Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung: , wo D=b 2 −4 a c- sogenannt Diskriminante einer quadratischen Gleichung. Die Notation bedeutet im Wesentlichen, dass .

Es ist nützlich zu wissen, wie die Wurzelformel erhalten wurde und wie sie beim Finden der Wurzeln quadratischer Gleichungen angewendet wird. Lassen Sie uns damit umgehen.

Herleitung der Formel der Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Lassen Sie uns die quadratische Gleichung a·x 2 +b·x+c=0 lösen. Lassen Sie uns einige äquivalente Transformationen durchführen:

• Wir können beide Teile dieser Gleichung durch eine von Null verschiedene Zahl a dividieren, als Ergebnis erhalten wir die reduzierte quadratische Gleichung.
• Jetzt Wählen Sie ein ganzes Quadrat aus auf seiner linken Seite: . Danach nimmt die Gleichung die Form an.
• An dieser Stelle ist es möglich, die letzten beiden Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen auf die rechte Seite zu übertragen, wir haben .
• Und lassen Sie uns auch den Ausdruck auf der rechten Seite umwandeln: .

Als Ergebnis erhalten wir die Gleichung , die der ursprünglichen quadratischen Gleichung a·x 2 +b·x+c=0 entspricht.

Wir haben bereits Gleichungen ähnlicher Form in den vorherigen Abschnitten gelöst, als wir analysierten. Dies erlaubt uns, die folgenden Schlussfolgerungen bezüglich der Wurzeln der Gleichung zu ziehen:

• wenn , dann hat die Gleichung keine reellen Lösungen;
• wenn , dann hat die Gleichung die Form , also , von der ihre einzige Wurzel sichtbar ist;
• if , then or , was dasselbe ist wie or , das heißt, die Gleichung hat zwei Wurzeln.

Somit hängt das Vorhandensein oder Fehlen der Wurzeln der Gleichung und damit der ursprünglichen quadratischen Gleichung vom Vorzeichen des Ausdrucks auf der rechten Seite ab. Das Vorzeichen dieses Ausdrucks wiederum wird durch das Vorzeichen des Zählers bestimmt, da der Nenner 4 a 2 immer positiv ist, also das Vorzeichen des Ausdrucks b 2 – 4 a c . Dieser Ausdruck wird b 2 −4 a c genannt Diskriminante einer quadratischen Gleichung und mit dem Buchstaben gekennzeichnet D. Von hier aus ist das Wesen der Diskriminante klar - aus ihrem Wert und Vorzeichen wird geschlossen, ob die quadratische Gleichung echte Wurzeln hat und wenn ja, wie groß ihre Nummer ist - eins oder zwei.

Wir kehren zur Gleichung zurück und schreiben sie unter Verwendung der Notation der Diskriminante um: . Und wir schließen:

• wenn d<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• wenn D = 0, dann hat diese Gleichung eine einzelne Wurzel;
• schließlich, wenn D>0, dann hat die Gleichung zwei Wurzeln oder , die in die Form oder umgeschrieben werden können, und nachdem wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner erweitert und gekürzt haben, erhalten wir .

Also haben wir die Formeln für die Wurzeln der quadratischen Gleichung hergeleitet, sie sehen aus wie , wobei die Diskriminante D durch die Formel D=b 2 −4 a c berechnet wird.

Mit ihrer Hilfe lassen sich bei positiver Diskriminante die beiden reellen Wurzeln einer quadratischen Gleichung berechnen. Wenn die Diskriminante gleich Null ist, ergeben beide Formeln denselben Wurzelwert, der der einzigen Lösung der quadratischen Gleichung entspricht. Und mit einer negativen Diskriminante stehen wir beim Versuch, die Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu verwenden, vor dem Ziehen der Quadratwurzel aus einer negativen Zahl, was uns über den Rahmen des Schullehrplans hinausführt. Bei einer negativen Diskriminante hat die quadratische Gleichung keine echten Wurzeln, sondern ein Paar Komplex konjugiert Wurzeln, die mit den gleichen Wurzelformeln gefunden werden können, die wir erhalten haben.

Algorithmus zum Lösen quadratischer Gleichungen mit Wurzelformeln

In der Praxis können Sie beim Lösen einer quadratischen Gleichung sofort die Wurzelformel verwenden, mit der ihre Werte berechnet werden. Aber hier geht es mehr darum, komplexe Wurzeln zu finden.

In einem Schulalgebrakurs sprechen wir jedoch normalerweise nicht über komplexe, sondern über echte Wurzeln einer quadratischen Gleichung. In diesem Fall ist es ratsam, zuerst die Diskriminante zu finden, bevor Sie die Formeln für die Wurzeln der quadratischen Gleichung verwenden, sicherstellen, dass sie nicht negativ ist (andernfalls können wir schlussfolgern, dass die Gleichung keine echten Wurzeln hat), und danach Berechnen Sie die Werte der Wurzeln.

Die obige Argumentation erlaubt uns zu schreiben Algorithmus zum Lösen einer quadratischen Gleichung. Um die quadratische Gleichung a x 2 + b x + c \u003d 0 zu lösen, benötigen Sie:

• unter Verwendung der Diskriminanzformel D=b 2 –4 a c ihren Wert berechnen;
• schließen Sie, dass die quadratische Gleichung keine echten Wurzeln hat, wenn die Diskriminante negativ ist;
• Berechnen Sie die einzige Wurzel der Gleichung mit der Formel, wenn D=0 ;
• Finden Sie zwei reelle Wurzeln einer quadratischen Gleichung mit der Wurzelformel, wenn die Diskriminante positiv ist.

Hier bemerken wir nur, dass, wenn die Diskriminante gleich Null ist, die Formel auch verwendet werden kann, sie ergibt den gleichen Wert wie .

Sie können mit Beispielen für die Anwendung des Algorithmus zum Lösen quadratischer Gleichungen fortfahren.

Beispiele zum Lösen quadratischer Gleichungen

Betrachten Sie Lösungen von drei quadratischen Gleichungen mit positiver, negativer und Null-Diskriminante. Nachdem wir uns mit ihrer Lösung befasst haben, wird es analog möglich sein, jede andere quadratische Gleichung zu lösen. Lasst uns beginnen.

Beispiel.

Finden Sie die Nullstellen der Gleichung x 2 +2 x−6=0 .

Entscheidung.

In diesem Fall haben wir die folgenden Koeffizienten der quadratischen Gleichung: a=1 , b=2 und c=−6 . Gemäß dem Algorithmus müssen Sie zuerst die Diskriminante berechnen, dazu ersetzen wir die angegebenen a, b und c in die Diskriminanzformel, die wir haben D=b 2 −4 ein c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Da 28 > 0, also die Diskriminante größer Null ist, hat die quadratische Gleichung zwei reelle Wurzeln. Lassen Sie uns sie durch die Formel der Wurzeln finden, wir erhalten , hier können wir die erhaltenen Ausdrücke vereinfachen das Vorzeichen der Wurzel ausklammern gefolgt von Fraktionsreduktion:

Antworten:

Kommen wir zum nächsten typischen Beispiel.

Beispiel.

Lösen Sie die quadratische Gleichung −4 x 2 +28 x−49=0 .

Entscheidung.

Wir beginnen mit der Bestimmung der Diskriminante: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Daher hat diese quadratische Gleichung eine einzelne Wurzel, die wir finden als , das heißt,

Antworten:

x=3,5 .

Es bleibt die Lösung quadratischer Gleichungen mit negativer Diskriminante zu betrachten.

Beispiel.

Lösen Sie die Gleichung 5 y 2 +6 y+2=0 .

Entscheidung.

Hier sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung: a=5 , b=6 und c=2 . Wenn wir diese Werte in die Diskriminanzformel einsetzen, haben wir D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Die Diskriminante ist negativ, daher hat diese quadratische Gleichung keine echten Wurzeln.

Wenn Sie komplexe Wurzeln angeben müssen, verwenden wir die bekannte Formel für die Wurzeln der quadratischen Gleichung und führen sie aus Operationen mit komplexen Zahlen:

Antworten:

Es gibt keine wirklichen Wurzeln, die komplexen Wurzeln sind: .

Wir stellen noch einmal fest, dass, wenn die Diskriminante der quadratischen Gleichung negativ ist, die Schule normalerweise sofort die Antwort aufschreibt, in der sie angibt, dass es keine echten Wurzeln gibt und sie keine komplexen Wurzeln findet.

Wurzelformel für gerade zweite Koeffizienten

Die Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung , wobei D=b 2 −4 a c ist, ermöglicht es Ihnen, eine kompaktere Formel zu erhalten, mit der Sie quadratische Gleichungen mit einem geraden Koeffizienten bei x lösen können (oder einfach mit einem Koeffizienten, der wie 2 n aussieht , oder 14 ln5=2 7 ln5 ). Bringen wir sie raus.

Nehmen wir an, wir müssen eine quadratische Gleichung der Form a x 2 +2 n x + c=0 lösen. Finden wir seine Wurzeln mit der uns bekannten Formel. Dazu berechnen wir die Diskriminante D=(2 n) 2 −4 ein c=4 n 2 −4 ein c=4 (n 2 − ein c), und dann verwenden wir die Wurzelformel:

Bezeichnen Sie den Ausdruck n 2 −a c als D 1 (manchmal wird er als D " bezeichnet). Dann nimmt die Formel für die Wurzeln der betrachteten quadratischen Gleichung mit dem zweiten Koeffizienten 2 n die Form an , wobei D 1 = n 2 – a c .

Es ist leicht zu sehen, dass D = 4·D 1 oder D 1 = D/4 ist. Mit anderen Worten, D 1 ist der vierte Teil der Diskriminante. Es ist klar, dass das Vorzeichen von D 1 dasselbe ist wie das Vorzeichen von D . Das heißt, das Zeichen D 1 ist auch ein Indikator für das Vorhandensein oder Fehlen der Wurzeln der quadratischen Gleichung.

Um also eine quadratische Gleichung mit dem zweiten Koeffizienten 2 n zu lösen, benötigen Sie

• Berechnen D 1 =n 2 −a·c ;
• Wenn D1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Wenn D 1 = 0, dann berechne die einzige Wurzel der Gleichung unter Verwendung der Formel;
• Wenn D 1 > 0, dann finden Sie zwei reelle Wurzeln unter Verwendung der Formel.

Betrachten Sie die Lösung des Beispiels unter Verwendung der in diesem Absatz erhaltenen Wurzelformel.

Beispiel.

Lösen Sie die quadratische Gleichung 5 x 2 −6 x−32=0 .

Entscheidung.

Der zweite Koeffizient dieser Gleichung kann als 2·(–3) dargestellt werden. Das heißt, Sie können die ursprüngliche quadratische Gleichung in die Form 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 umschreiben, hier a=5 , n=−3 und c=−32 , und den vierten Teil von berechnen Diskriminant: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Da ihr Wert positiv ist, hat die Gleichung zwei reelle Wurzeln. Wir finden sie mit der entsprechenden Wurzelformel:

Beachten Sie, dass es möglich war, die übliche Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu verwenden, aber in diesem Fall müsste mehr Rechenarbeit geleistet werden.

Antworten:

Vereinfachung der Form quadratischer Gleichungen

Bevor Sie mit der Berechnung der Wurzeln einer quadratischen Gleichung mithilfe von Formeln beginnen, schadet es manchmal nicht, die Frage zu stellen: „Ist es möglich, die Form dieser Gleichung zu vereinfachen“? Stimmen Sie zu, dass es rechnerisch einfacher ist, die quadratische Gleichung 11 x 2 −4 x −6=0 zu lösen als 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Normalerweise wird eine Vereinfachung der Form einer quadratischen Gleichung erreicht, indem beide Seiten davon mit einer Zahl multipliziert oder dividiert werden. Zum Beispiel haben wir im vorherigen Absatz eine Vereinfachung der Gleichung 1100 x 2 −400 x −600=0 erreicht, indem wir beide Seiten durch 100 geteilt haben.

Eine ähnliche Transformation wird mit quadratischen Gleichungen durchgeführt, deren Koeffizienten nicht sind. In diesem Fall werden beide Teile der Gleichung normalerweise durch die absoluten Werte ihrer Koeffizienten dividiert. Nehmen wir zum Beispiel die quadratische Gleichung 12 x 2 −42 x+48=0. Absolutwerte seiner Koeffizienten: ggT(12, 42, 48)= ggT(ggT(12, 42), 48)= ggT(6, 48)=6 . Teilen wir beide Teile der ursprünglichen quadratischen Gleichung durch 6 , erhalten wir die äquivalente quadratische Gleichung 2 x 2 −7 x+8=0 .

Und die Multiplikation beider Teile der quadratischen Gleichung wird normalerweise durchgeführt, um Bruchkoeffizienten loszuwerden. In diesem Fall wird die Multiplikation mit den Nennern ihrer Koeffizienten durchgeführt. Wenn beispielsweise beide Teile einer quadratischen Gleichung mit LCM(6, 3, 1)=6 multipliziert werden, dann nimmt sie eine einfachere Form x 2 +4 x−18=0 an.

Zum Abschluss dieses Absatzes stellen wir fest, dass das Minus beim höchsten Koeffizienten der quadratischen Gleichung fast immer beseitigt wird, indem die Vorzeichen aller Terme geändert werden, was einer Multiplikation (oder Division) beider Teile mit −1 entspricht. Zum Beispiel gehen Sie normalerweise von der quadratischen Gleichung −2·x 2 −3·x+7=0 zur Lösung 2·x 2 +3·x−7=0 .

Beziehung zwischen Wurzeln und Koeffizienten einer quadratischen Gleichung

Die Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung drückt die Wurzeln einer Gleichung durch ihre Koeffizienten aus. Basierend auf der Formel der Wurzeln können Sie andere Beziehungen zwischen Wurzeln und Koeffizienten erhalten.

Die bekanntesten und anwendbarsten Formeln aus dem Vieta-Theorem der Form und . Insbesondere ist für die gegebene quadratische Gleichung die Summe der Wurzeln gleich dem zweiten Koeffizienten mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist der freie Term. Zum Beispiel können wir durch die Form der quadratischen Gleichung 3 x 2 −7 x+22=0 sofort sagen, dass die Summe ihrer Wurzeln 7/3 und das Produkt der Wurzeln 22/3 ist.

Mit den bereits geschriebenen Formeln können Sie eine Reihe weiterer Beziehungen zwischen den Wurzeln und den Koeffizienten der quadratischen Gleichung erhalten. Beispielsweise können Sie die Summe der Quadrate der Wurzeln einer quadratischen Gleichung durch ihre Koeffizienten ausdrücken: .

Referenzliste.

• Algebra: Lehrbuch für 8 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 16. Aufl. - M. : Bildung, 2008. - 271 p. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkowitsch A. G. Algebra. 8. Klasse. Um 14 Uhr Teil 1. Ein Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich. - 11. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 S.: mit Abb. ISBN 978-5-346-01155-2.

Betrachten Sie die quadratische Gleichung:
(1) .
Die Wurzeln einer quadratischen Gleichung(1) werden durch die Formeln bestimmt:
; .
Diese Formeln können wie folgt kombiniert werden:
.
Sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung bekannt, so lässt sich das Polynom 2. Grades als Produkt von Faktoren darstellen (faktorisiert):
.

Weiterhin nehmen wir an, dass es sich um reelle Zahlen handelt.
Prüfen Diskriminante einer quadratischen Gleichung:
.
Wenn die Diskriminante positiv ist, dann hat die quadratische Gleichung (1) zwei verschiedene reelle Wurzeln:
; .
Dann hat die Faktorisierung des quadratischen Trinoms die Form:
.
Wenn die Diskriminante Null ist, dann hat die quadratische Gleichung (1) zwei mehrfache (gleiche) reelle Wurzeln:
.
Faktorisierung:
.
Wenn die Diskriminante negativ ist, dann hat die quadratische Gleichung (1) zwei komplex konjugierte Wurzeln:
;
.
Hier ist die imaginäre Einheit, ;
und sind die Real- und Imaginärteile der Wurzeln:
; .
Dann

.

Grafische Interpretation

Wenn wir die Funktion grafisch darstellen
,
was eine Parabel ist, dann sind die Schnittpunkte des Graphen mit der Achse die Wurzeln der Gleichung
.
Wenn , schneidet der Graph die Abszissenachse (Achse) an zwei Punkten.
Wenn , berührt der Graph die x-Achse an einem Punkt.
Wenn , schneidet der Graph die x-Achse nicht.

Nachfolgend finden Sie Beispiele für solche Diagramme.

Nützliche Formeln im Zusammenhang mit quadratischen Gleichungen

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Herleitung der Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Wir führen Transformationen durch und wenden die Formeln (f.1) und (f.3) an:




,
wo
; .

Wir haben also die Formel für das Polynom zweiten Grades in der Form:
.
Daraus ist ersichtlich, dass die Gleichung

durchgeführt bei
und .
Das heißt, und sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung
.

Beispiele zur Bestimmung der Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Beispiel 1

(1.1) .

Entscheidung

.
Im Vergleich zu unserer Gleichung (1.1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Diskriminante finden:
.
Da die Diskriminante positiv ist, hat die Gleichung zwei reelle Wurzeln:
;
;
.

Daraus erhalten wir die Zerlegung des quadratischen Trinoms in Faktoren:

.

Graph der Funktion y = 2 x 2 + 7 x + 3 schneidet die x-Achse an zwei Punkten.

Zeichnen wir die Funktion
.
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Sie schneidet die x-Achse (Achse) an zwei Punkten:
und .
Diese Punkte sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung (1.1).

Antworten

;
;
.

Beispiel 2

Finden Sie die Wurzeln einer quadratischen Gleichung:
(2.1) .

Entscheidung

Wir schreiben die quadratische Gleichung in allgemeiner Form:
.
Im Vergleich zur ursprünglichen Gleichung (2.1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Diskriminante finden:
.
Da die Diskriminante Null ist, hat die Gleichung zwei mehrfache (gleiche) Wurzeln:
;
.

Dann hat die Faktorisierung des Trinoms die Form:
.

Graph der Funktion y = x 2 - 4 x + 4 berührt die x-Achse an einem Punkt.

Zeichnen wir die Funktion
.
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Es berührt die x-Achse (Achse) an einem Punkt:
.
Dieser Punkt ist die Wurzel der ursprünglichen Gleichung (2.1). Da diese Wurzel zweimal faktorisiert wird:
,
dann heißt eine solche Wurzel ein Vielfaches. Das heißt, sie gehen davon aus, dass es zwei gleiche Wurzeln gibt:
.

Antworten

;
.

Beispiel 3

Finden Sie die Wurzeln einer quadratischen Gleichung:
(3.1) .

Entscheidung

Wir schreiben die quadratische Gleichung in allgemeiner Form:
(1) .
Schreiben wir die ursprüngliche Gleichung (3.1) um:
.
Im Vergleich zu (1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Diskriminante finden:
.
Die Diskriminante ist negativ, . Daher gibt es keine wirklichen Wurzeln.

Sie können komplexe Wurzeln finden:
;
;

Zeichnen wir die Funktion
.
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Sie schneidet die Abszisse (Achse) nicht. Daher gibt es keine wirklichen Wurzeln.

Antworten

Es gibt keine wirklichen Wurzeln. Komplexe Wurzeln:
;
;
.

Es ist bekannt, dass es sich um eine bestimmte Version der Gleichheit ax 2 + in + c \u003d o handelt, wobei a, b und c reelle Koeffizienten für unbekanntes x sind und wobei a ≠ o und b und c gleichzeitig Nullen sind oder separat. Zum Beispiel c = o, v ≠ o oder umgekehrt. Wir erinnerten uns fast an die Definition einer quadratischen Gleichung.

Ein Trinom zweiten Grades ist gleich Null. Dessen erster Koeffizient a ≠ o, b und c kann beliebige Werte annehmen. Der Wert der Variablen x wird dann sein, wenn sie beim Ersetzen in die richtige numerische Gleichheit umgewandelt wird. Bleiben wir bei reellen Wurzeln, obwohl die Lösungen der Gleichung auch vollständig sein können: Es ist üblich, eine Gleichung, in der keiner der Koeffizienten gleich o ist, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o zu nennen.
Lassen Sie uns ein Beispiel lösen. 2x2 -9x-5 = oh, finden wir
D \u003d 81 + 40 \u003d 121,
D ist positiv, also gibt es Wurzeln, x 1 = (9+√121): 4 = 5, und die zweite x 2 = (9-√121): 4 = -o.5. Die Überprüfung hilft sicherzustellen, dass sie korrekt sind.

Hier ist eine schrittweise Lösung der quadratischen Gleichung

Durch die Diskriminante kann man jede Gleichung lösen, auf deren linker Seite ein bekanntes quadratisches Trinom mit a ≠ o steht. In unserem Beispiel. 2x 2 -9x-5 \u003d 0 (ax 2 + in + c \u003d o)

Betrachten Sie, was unvollständige Gleichungen zweiten Grades sind

1. Axt 2 + in = o. Der freie Term, der Koeffizient c bei x 0, ist hier Null, in ≠ o.
   Wie löst man eine solche unvollständige quadratische Gleichung? Nehmen wir x aus Klammern. Denken Sie daran, wann das Produkt zweier Faktoren Null ist.
   x(ax+b) = o, das kann sein, wenn x = o oder wenn ax+b = o.
   Lösen wir die 2., haben wir x = -v/a.
   Als Ergebnis haben wir laut Berechnungen x 2 \u003d -b / a Wurzeln x 1 \u003d 0.
2. Nun ist der Koeffizient von x o, aber c ist nicht gleich (≠) o.
   x 2 + c \u003d o. Wir übertragen c auf die rechte Seite der Gleichheit, wir erhalten x 2 \u003d -c. Diese Gleichung hat nur dann reelle Wurzeln, wenn -c eine positive Zahl ist (c ‹ o),
   x 1 ist dann gleich √(-c) bzw. x 2 ist -√(-c). Andernfalls hat die Gleichung überhaupt keine Wurzeln.
3. Die letzte Option: b \u003d c \u003d o, dh Axt 2 \u003d o. Natürlich hat eine so einfache Gleichung eine Wurzel, x = o.

Spezialfälle

Wir haben uns überlegt, wie man eine unvollständige quadratische Gleichung löst, und jetzt nehmen wir jede Art von Gleichung.

• In der vollständigen quadratischen Gleichung ist der zweite Koeffizient von x eine gerade Zahl.
  Sei k = o,5b. Wir haben Formeln zur Berechnung der Diskriminante und Wurzeln.
  D / 4 \u003d k 2 - ac, die Wurzeln werden wie folgt berechnet x 1,2 \u003d (-k ± √ (D / 4)) / a für D › o.
  x = -k/a bei D = o.
  Es gibt keine Wurzeln für D ‹ o.
• Es gibt reduzierte quadratische Gleichungen, wenn der Koeffizient von x im Quadrat 1 ist, werden sie normalerweise x 2 + px + q \u003d o geschrieben. Alle oben genannten Formeln gelten für sie, aber die Berechnungen sind etwas einfacher.
  Beispiel x 2 -4x-9 \u003d 0. Wir berechnen D: 2 2 +9, D \u003d 13.
  x1 = 2+√13, x2 = 2-√13.
• Außerdem ist es leicht auf die gegebenen anzuwenden: Es besagt, dass die Summe der Wurzeln der Gleichung gleich -p ist, dem zweiten Koeffizienten mit einem Minus (was das entgegengesetzte Vorzeichen bedeutet) und dem Produkt dieser gleichen Wurzeln wird gleich q sein, dem freien Term. Sehen Sie sich an, wie einfach es wäre, die Wurzeln dieser Gleichung verbal zu bestimmen. Für nicht reduzierte (für alle Koeffizienten, die nicht gleich Null sind) gilt dieser Satz wie folgt: Die Summe x 1 + x 2 ist gleich -v / a, das Produkt x 1 x 2 ist gleich c / a .

Die Summe aus dem freien Term c und dem ersten Koeffizienten a ist gleich dem Koeffizienten b. In dieser Situation hat die Gleichung mindestens eine Wurzel (es ist leicht zu beweisen), die erste ist notwendigerweise gleich -1 und die zweite - c / a, falls vorhanden. Wie Sie eine unvollständige quadratische Gleichung lösen, können Sie selbst überprüfen. So einfach wie Kuchen. Die Koeffizienten können untereinander in einigen Verhältnissen stehen

• x 2 + x \u003d o, 7x 2 -7 \u003d o.
• Die Summe aller Koeffizienten ist o.
  Die Wurzeln einer solchen Gleichung sind 1 und c / a. Beispiel: 2x 2 -15x + 13 = o.
  x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 13/2.

Es gibt eine Reihe anderer Möglichkeiten, verschiedene Gleichungen zweiten Grades zu lösen. Hier ist zum Beispiel ein Verfahren zum Extrahieren eines vollständigen Quadrats aus einem gegebenen Polynom. Es gibt mehrere grafische Möglichkeiten. Wenn Sie sich oft mit solchen Beispielen beschäftigen, werden Sie lernen, sie wie Samen zu „klicken“, weil Ihnen alle Methoden automatisch einfallen.