Zwei zuverlässige zufällige und unmögliche Ereignisse. Gegenstand der Wahrscheinlichkeitstheorie

Die von uns beobachteten Ereignisse (Phänomene) können in die folgenden drei Typen eingeteilt werden: zuverlässig, unmöglich und zufällig.

glaubwürdig Nennen Sie ein Ereignis, das definitiv eintreten wird, wenn eine bestimmte Reihe von Bedingungen S erfüllt ist.Wenn beispielsweise ein Behälter Wasser mit normalem atmosphärischem Druck und einer Temperatur von 20 ° enthält, dann ist das Ereignis „das Wasser im Behälter befindet sich in einem flüssigen Zustand " ist sicher. In diesem Beispiel bilden der angegebene atmosphärische Druck und die Wassertemperatur den Satz von Bedingungen S.

Unmöglich nennen ein Ereignis, das sicher nicht eintritt, wenn der Satz von Bedingungen S implementiert wird.Zum Beispiel wird das Ereignis "Wasser im Gefäß befindet sich in einem festen Zustand" sicher nicht eintreten, wenn der Satz von Bedingungen des vorherigen Beispiels implementiert wird.

Zufällig Ein Ereignis wird als Ereignis bezeichnet, das unter der Implementierung einer Reihe von Bedingungen S entweder eintreten oder nicht eintreten kann. Wenn zum Beispiel eine Münze geworfen wird, dann kann sie fallen, sodass entweder ein Wappen oder eine Inschrift oben liegt. Daher ist das Ereignis „beim Werfen einer Münze fiel ein „Wappen“ heraus“ zufällig. Jedes zufällige Ereignis, insbesondere der Fall des "Wappens", ist das Ergebnis der Einwirkung sehr vieler zufälliger Ursachen (in unserem Beispiel: der Wurfkraft der Münze, der Form der Münze und vieler anderer ). Es ist unmöglich, den Einfluss aller dieser Ursachen auf das Ergebnis zu berücksichtigen, da ihre Zahl sehr groß und die Gesetze ihrer Wirkung unbekannt sind. Daher stellt sich die Wahrscheinlichkeitstheorie nicht die Aufgabe, vorherzusagen, ob ein einzelnes Ereignis eintreten wird oder nicht – sie kann es einfach nicht.

Anders verhält es sich, wenn wir zufällige Ereignisse betrachten, die unter denselben Bedingungen S wiederholt beobachtet werden können, also von massiven homogenen zufälligen Ereignissen sprechen. Es stellt sich heraus, dass eine ausreichend große Anzahl homogener Zufallsereignisse, unabhängig von ihrer spezifischen Natur, bestimmten Gesetzen gehorchen, nämlich Wahrscheinlichkeitsgesetzen. Es ist die Wahrscheinlichkeitstheorie, die sich mit der Feststellung dieser Gesetzmäßigkeiten befasst.

Gegenstand der Wahrscheinlichkeitstheorie ist daher die Untersuchung Regelmäßigkeiten massiver homogener Zufallsereignisse.

Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie sind in verschiedenen Bereichen der Naturwissenschaft und Technik weit verbreitet. Die Wahrscheinlichkeitstheorie dient auch der Untermauerung mathematischer und angewandter Statistik.

Arten von zufälligen Ereignissen. Veranstaltungen werden aufgerufen unvereinbar wenn das Eintreten eines dieser Ereignisse das Eintreten anderer Ereignisse in derselben Prüfung ausschließt.

Beispiel. Eine Münze wird geworfen. Das Erscheinen des "Wappens" schließt das Erscheinen der Inschrift aus. Die Ereignisse „ein Wappen erschien“ und „eine Inschrift erschien“ sind unvereinbar.

Es bilden sich mehrere Veranstaltungen volle Gruppe, wenn mindestens einer von ihnen als Ergebnis des Tests erscheint. Insbesondere dann, wenn die Ereignisse, die eine vollständige Gruppe bilden, paarweise inkompatibel sind, erscheint als Ergebnis des Tests ein und nur eines dieser Ereignisse. Dieser spezielle Fall ist für uns von größtem Interesse, da er im Folgenden verwendet wird.

Beispiel 2. Es wurden zwei Lose für die Geld- und Kleiderlotterie gekauft. Eines und nur eines der folgenden Ereignisse tritt zwangsläufig auf: „Die Gewinne fielen auf das erste Ticket und fielen nicht auf das zweite“, „Die Gewinne fielen nicht auf das erste Ticket und fielen auf das zweite“, „Die Gewinne fielen auf beiden Tickets“, „die Gewinne haben auf beiden Tickets nicht gewonnen“. Diese Ereignisse bilden eine vollständige Gruppe paarweise inkompatibler Ereignisse.

Beispiel 3. Der Schütze hat auf die Scheibe geschossen. Eines der beiden folgenden Ereignisse wird zwangsläufig eintreten: Treffer, Fehlschlag. Diese beiden disjunkten Ereignisse bilden eine vollständige Gruppe.

Veranstaltungen werden aufgerufen gleichermaßen möglich wenn Grund zu der Annahme besteht, dass keines mehr möglich ist als das andere.

Beispiel 4. Das Erscheinen eines "Wappens" und das Erscheinen einer Inschrift beim Münzwurf sind gleichermaßen mögliche Ereignisse. Tatsächlich wird angenommen, dass die Münze aus einem homogenen Material besteht, eine regelmäßige zylindrische Form hat und das Vorhandensein einer Münze den Verlust der einen oder anderen Seite der Münze nicht beeinflusst.

Eigenbezeichnung in Großbuchstaben des lateinischen Alphabets: A, B, C, .. A 1, A 2 ..

Gegensätze werden als 2 eindeutig mögliche So-I bezeichnet, die eine vollständige Gruppe bilden. Steht einer der beiden gegenüber Ereignisse wird mit A bezeichnet, dann sind andere Bezeichnungen A`.

Beispiel 5. Treffer und Fehlschuss beim Schießen auf ein Ziel – das andere Geschlecht. besitzen.

Klasse 5 Einführung in die Wahrscheinlichkeit (4 Stunden)

(Entwicklung von 4 Lektionen zu diesem Thema)

Lernziele : - Einführung der Definition eines zufälligen, zuverlässigen und unmöglichen Ereignisses;

Führen Sie die ersten Ideen zur Lösung kombinatorischer Probleme: Verwenden Sie einen Baum von Optionen und verwenden Sie die Multiplikationsregel.

Bildungsziel: Entwicklung der Denkweise der Schüler.

Entwicklungsziel : Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens, Verbesserung der Fähigkeit, mit einem Lineal zu arbeiten.

Zuverlässige, unmögliche und zufällige Ereignisse (2 Stunden)

Kombinatorische Aufgaben (2 Stunden)

Zuverlässige, unmögliche und zufällige Ereignisse.

Erste Stunde

Unterrichtsausstattung: Würfel, Münze, Backgammon.

Unser Leben besteht zu einem großen Teil aus Unfällen. Es gibt eine solche Wissenschaft "Wahrscheinlichkeitstheorie". Mit seiner Sprache lassen sich viele Phänomene und Situationen beschreiben.

Sogar der primitive Anführer verstand, dass ein Dutzend Jäger eine größere „Wahrscheinlichkeit“ hatten, einen Bison mit einem Speer zu treffen, als einen. Deshalb jagten sie damals gemeinsam.

Solche alten Kommandeure wie Alexander der Große oder Dmitry Donskoy, die sich auf den Kampf vorbereiteten, verließen sich nicht nur auf die Tapferkeit und Geschicklichkeit der Krieger, sondern auch auf den Zufall.

Viele Menschen lieben die Mathematik für die ewigen Wahrheiten, zweimal zwei ist immer vier, die Summe der geraden Zahlen ist gerade, die Fläche eines Rechtecks ist gleich dem Produkt seiner angrenzenden Seiten usw. Bei jedem Problem, das Sie lösen, bekommt jeder etwas die gleiche Antwort - Sie müssen nur keine Fehler in der Lösung machen.

Das wirkliche Leben ist nicht so einfach und eindeutig. Die Ergebnisse vieler Ereignisse können nicht im Voraus vorhergesagt werden. Es ist zum Beispiel unmöglich vorherzusagen, auf welche Seite eine geworfene Münze fallen wird, wann der erste Schnee im nächsten Jahr fallen wird oder wie viele Menschen in der Stadt innerhalb der nächsten Stunde telefonieren wollen. Solche unvorhersehbaren Ereignisse werden genannt zufällig .

Der Fall hat jedoch auch seine eigenen Gesetze, die sich bei wiederholter Wiederholung zufälliger Phänomene zu manifestieren beginnen. Wenn Sie eine Münze 1000 Mal werfen, fällt der "Adler" ungefähr in der Hälfte der Fälle heraus, was bei zwei oder sogar zehn Würfen nicht der Fall ist. „Ungefähr“ bedeutet nicht die Hälfte. Dies kann in der Regel der Fall sein oder auch nicht. Das Gesetz sagt im Allgemeinen nichts Sicheres aus, gibt aber ein gewisses Maß an Gewissheit, dass ein zufälliges Ereignis eintreten wird. Solche Regelmäßigkeiten werden von einem speziellen Zweig der Mathematik untersucht - Wahrscheinlichkeitstheorie . Mit seiner Hilfe können Sie sowohl das Datum des ersten Schneefalls als auch die Anzahl der Anrufe mit größerer Sicherheit (aber immer noch nicht sicher) vorhersagen.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist untrennbar mit unserem täglichen Leben verbunden. Dies gibt uns eine wunderbare Gelegenheit, viele Wahrscheinlichkeitsgesetze empirisch zu etablieren, indem wir Zufallsexperimente wiederholt wiederholen. Die Materialien für diese Experimente sind meistens eine gewöhnliche Münze, ein Würfel, ein Satz Dominosteine, Backgammon, Roulette oder sogar ein Kartenspiel. Jedes dieser Elemente ist auf die eine oder andere Weise mit Spielen verbunden. Tatsache ist, dass der Fall hier in der häufigsten Form vorkommt. Und die ersten probabilistischen Aufgaben waren mit der Einschätzung der Gewinnchancen der Spieler verbunden.

Die moderne Wahrscheinlichkeitstheorie hat sich vom Glücksspiel entfernt, aber ihre Requisiten sind immer noch die einfachste und zuverlässigste Zufallsquelle. Durch das Üben mit einem Rouletterad und einem Würfel lernen Sie, die Wahrscheinlichkeit zufälliger Ereignisse in realen Situationen zu berechnen, wodurch Sie Ihre Erfolgschancen einschätzen, Hypothesen testen und optimale Entscheidungen nicht nur in Spielen und Lotterien treffen können .

Seien Sie beim Lösen von Wahrscheinlichkeitsproblemen sehr vorsichtig und versuchen Sie, jeden Schritt zu rechtfertigen, denn kein anderer Bereich der Mathematik enthält eine solche Anzahl von Paradoxien. Wie die Wahrscheinlichkeitstheorie. Und vielleicht ist die Haupterklärung dafür ihre Verbindung mit der realen Welt, in der wir leben.

Bei vielen Spielen wird ein Würfel verwendet, der auf jeder Seite eine unterschiedliche Punktzahl von 1 bis 6 hat, der Spieler würfelt, schaut, wie viele Punkte gefallen sind (auf der Seite, die oben liegt) und macht die entsprechende Anzahl von Zügen: 1,2,3,4,5 oder 6. Das Werfen eines Würfels kann als Erfahrung, Experiment, Test und das erzielte Ergebnis als Ereignis betrachtet werden. Die Menschen sind normalerweise sehr daran interessiert, den Beginn eines Ereignisses zu erraten und seinen Ausgang vorherzusagen. Welche Vorhersagen können sie treffen, wenn ein Würfel geworfen wird? Erste Vorhersage: eine der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 fällt heraus Glaubst du, dass das vorhergesagte Ereignis eintrifft oder nicht? Kommt natürlich bestimmt. Ein Ereignis, das in einer bestimmten Erfahrung mit Sicherheit eintritt, wird als bezeichnet verlässliches Ereignis.

Zweite Vorhersage : die Nummer 7 wird herausfallen Glauben Sie, dass das vorhergesagte Ereignis eintreten wird oder nicht? Natürlich nicht, es ist einfach unmöglich. Ein Ereignis, das in einem bestimmten Experiment nicht auftreten kann, wird aufgerufen unmögliches Ereignis.

Dritte Vorhersage : die Nummer 1 wird herausfallen Glauben Sie, dass das vorhergesagte Ereignis eintreten wird oder nicht? Wir können diese Frage nicht mit absoluter Sicherheit beantworten, da das vorhergesagte Ereignis eintreten kann oder nicht. Ein Ereignis, das in einer bestimmten Erfahrung auftreten kann oder nicht, wird als bezeichnet Zufälliges Ereignis.

Die Übung : Beschreiben Sie die Ereignisse, die in den folgenden Aufgaben besprochen werden. Als sicher, unmöglich oder zufällig.

Wir werfen eine Münze. Das Wappen erschien. (zufällig)

Der Jäger schoss auf den Wolf und traf. (zufällig)

Der Student geht jeden Abend spazieren. Bei einem Spaziergang traf er am Montag drei Bekannte. (zufällig)

Führen wir gedanklich folgendes Experiment durch: Stellen Sie ein Glas Wasser auf den Kopf. Wenn dieses Experiment nicht im Weltraum, sondern zu Hause oder in einem Klassenzimmer durchgeführt wird, strömt Wasser aus. (authentisch)

Drei Schüsse wurden auf das Ziel abgefeuert. Es gab fünf Treffer" (unmöglich)

Wir werfen den Stein hoch. Der Stein bleibt in der Luft schweben. (unmöglich)

Die Buchstaben des Wortes "Antagonismus" werden willkürlich neu angeordnet. Holen Sie sich das Wort "Anachronismus". (unmöglich)

№959. Petya dachte an eine natürliche Zahl. Die Veranstaltung ist wie folgt:

a) eine gerade Zahl gedacht ist; (zufällig) b) eine ungerade Zahl wird erdacht; (zufällig)

c) eine Zahl gedacht wird, die weder gerade noch ungerade ist; (unmöglich)

d) es wird eine gerade oder ungerade Zahl erdacht. (authentisch)

№ 961. Petya und Tolya vergleichen ihre Geburtstage. Die Veranstaltung ist wie folgt:

a) ihre Geburtstage nicht übereinstimmen; (zufällig) b) ihre Geburtstage sind gleich; (zufällig)

d) Beide Geburtstage fallen auf Feiertage - Neujahr (1. Januar) und Unabhängigkeitstag Russlands (12. Juni). (zufällig)

№ 962. Beim Backgammon werden zwei Würfel verwendet. Die Anzahl der Züge, die ein Spielteilnehmer macht, wird bestimmt, indem die Zahlen auf den beiden herausgefallenen Seiten des Würfels addiert werden, und wenn ein „Doppel“ herausfällt (1 + 1,2 + 2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6), dann wird die Anzahl der Züge verdoppelt. Sie würfeln und berechnen, wie viele Züge Sie machen müssen. Die Veranstaltung ist wie folgt:

a) Sie müssen einen Zug machen; b) Sie müssen 7 Züge machen;

c) Sie müssen 24 Züge machen; d) Sie müssen 13 Züge machen.

a) - unmöglich (1 Zug kann gemacht werden, wenn die Kombination 1 + 0 herausfällt, aber keine 0 auf den Würfeln ist).

b) - zufällig (wenn 1 + 6 oder 2 + 5 herausfällt).

c) - zufällig (wenn die Kombination 6 +6 herausfällt).

d) - unmöglich (es gibt keine Zahlenkombinationen von 1 bis 6, deren Summe 13 ist; diese Zahl kann nicht erhalten werden, selbst wenn ein „Double“ gewürfelt wird, weil sie ungerade ist).

Überprüfen Sie sich. (Mathe-Diktat)

1) Geben Sie an, welche der folgenden Ereignisse unmöglich, welche sicher, welche zufällig sind:

Das Fußballspiel "Spartak" - "Dynamo" endet unentschieden. (zufällig)

Sie gewinnen durch die Teilnahme an der Win-Win-Lotterie (authentisch)

Um Mitternacht fällt Schnee und 24 Stunden später scheint die Sonne. (unmöglich)

Morgen findet ein Mathetest statt. (zufällig)

Sie werden zum Präsidenten der Vereinigten Staaten gewählt. (unmöglich)

Sie werden zum Präsidenten von Russland gewählt. (zufällig)

2) Sie haben einen Fernseher in einem Geschäft gekauft, auf den der Hersteller zwei Jahre Garantie gibt. Welche der folgenden Ereignisse sind unmöglich, welche zufällig, welche sicher:

Der Fernseher geht innerhalb eines Jahres nicht kaputt. (zufällig)

Der Fernseher geht zwei Jahre lang nicht kaputt. (zufällig)

Innerhalb von zwei Jahren müssen Sie für die Reparatur des Fernsehers nichts bezahlen. (authentisch)

Der Fernseher geht im dritten Jahr kaputt. (zufällig)

3) Ein Bus mit 15 Fahrgästen muss 10 Haltestellen einhalten. Welche der folgenden Ereignisse sind unmöglich, welche zufällig, welche sicher:

Alle Fahrgäste steigen an verschiedenen Haltestellen aus dem Bus aus. (unmöglich)

Alle Fahrgäste steigen an derselben Haltestelle aus. (zufällig)

An jeder Haltestelle steigt jemand aus. (zufällig)

Es wird eine Haltestelle geben, an der niemand aussteigt. (zufällig)

An allen Haltestellen steigt eine gerade Anzahl Fahrgäste aus. (unmöglich)

An allen Haltestellen steigt eine ungerade Anzahl Fahrgäste aus. (unmöglich)

Hausaufgaben : 53 Nr. 960, 963, 965 (erfinden Sie selbst zwei zuverlässige, zufällige und unmögliche Ereignisse).

Zweite Lektion.

Überprüfung der Hausaufgaben. (oral)

a) Erklären Sie, was sichere, zufällige und unmögliche Ereignisse sind.

b) Geben Sie an, welches der folgenden Ereignisse sicher, welches unmöglich, welches zufällig ist:

Es wird keine Sommerferien geben. (unmöglich)

Das Sandwich fällt mit der Butterseite nach unten. (zufällig)

Irgendwann geht das Schuljahr zu Ende. (authentisch)

Ich werde morgen im Unterricht gefragt. (zufällig)

Ich treffe heute eine schwarze Katze. (zufällig)

№ 960. Sie haben dieses Lehrbuch auf einer beliebigen Seite geöffnet und das erste Substantiv ausgewählt, das Ihnen begegnet ist. Die Veranstaltung ist wie folgt:

a) Es gibt einen Vokal in der Schreibweise des gewählten Wortes. ((authentisch)

b) in der Schreibweise des gewählten Wortes gibt es einen Buchstaben "o". (zufällig)

c) es gibt keine Vokale in der Schreibweise des gewählten Wortes. (unmöglich)

d) es gibt ein weiches Zeichen in der Schreibweise des ausgewählten Wortes. (zufällig)

№ 963. Du spielst wieder Backgammon. Beschreiben Sie folgendes Ereignis:

a) Der Spieler darf nicht mehr als zwei Züge machen. (unmöglich - mit der Kombination der kleinsten Zahlen 1 + 1 macht der Spieler 4 Züge; die Kombination 1 + 2 ergibt 3 Züge; alle anderen Kombinationen ergeben mehr als 3 Züge)

b) Der Spieler muss mehr als zwei Züge machen. (zuverlässig - jede Kombination ergibt 3 oder mehr Züge)

c) Der Spieler darf nicht mehr als 24 Züge machen. (zuverlässig - die Kombination der größten Zahlen 6 + 6 ergibt 24 Züge und der Rest - weniger als 24 Züge)

d) Der Spieler muss eine zweistellige Anzahl an Zügen machen. (zufällig - zum Beispiel ergibt eine Kombination aus 2 + 3 eine einstellige Anzahl von Zügen: 5, und das Fallen von zwei Vieren ergibt eine zweistellige Anzahl von Zügen)

2. Problemlösung.

№ 964. In einer Tüte befinden sich 10 Bälle: 3 blaue, 3 weiße und 4 rote. Beschreiben Sie folgendes Ereignis:

a) 4 Bälle werden aus dem Beutel genommen und alle sind blau; (unmöglich)

b) 4 Bälle werden aus dem Beutel genommen, und sie sind alle rot; (zufällig)

c) 4 Bälle wurden aus der Tüte genommen, und es stellte sich heraus, dass sie alle unterschiedliche Farben hatten; (unmöglich)

d) 4 Kugeln werden aus dem Beutel genommen, und es ist keine schwarze Kugel darunter. (authentisch)

Aufgabe 1 . Die Box enthält 10 rote, 1 grüne und 2 blaue Stifte. Zwei Gegenstände werden zufällig aus der Kiste genommen. Welche der folgenden Ereignisse sind unmöglich, welche zufällig, welche sicher:

a) zwei rote Griffe werden herausgenommen (zufällig)

b) zwei grüne Griffe werden herausgenommen; (unmöglich)

c) zwei blaue Griffe werden herausgenommen; (zufällig)

d) Griffe in zwei verschiedenen Farben werden herausgenommen; (zufällig)

e) zwei Griffe werden herausgenommen; (authentisch)

e) Zwei Bleistifte werden herausgenommen. (unmöglich)

Aufgabe 2. Winnie the Pooh, Piglet und alle – alle – alle setzen sich an einen runden Tisch, um einen Geburtstag zu feiern. Mit welcher Anzahl von allen - allen - allen ist das Ereignis "Winnie Puuh und Ferkel werden Seite an Seite sitzen" zuverlässig und mit was - zufällig?

(wenn es nur 1 von all - all - all gibt, dann ist das Ereignis zuverlässig, wenn mehr als 1, dann ist es zufällig).

Aufgabe 3. Von 100 Charity-Lottoscheinen gewinnen 20 Wie viele Scheine müssen Sie kaufen, um das „Du gewinnst nichts“-Event unmöglich zu machen?

Aufgabe 4. In der Klasse sind 10 Jungen und 20 Mädchen. Welche der folgenden Ereignisse sind für eine solche Klasse unmöglich, welche zufällig, welche sicher

Es gibt zwei Personen in der Klasse, die in unterschiedlichen Monaten geboren wurden. (zufällig)

Es gibt zwei Personen in der Klasse, die im selben Monat geboren wurden. (authentisch)

Es gibt zwei Jungen in der Klasse, die im selben Monat geboren wurden. (zufällig)

Es gibt zwei Mädchen in der Klasse, die im selben Monat geboren wurden. (authentisch)

Alle Jungen wurden in unterschiedlichen Monaten geboren. (authentisch)

Alle Mädchen wurden in unterschiedlichen Monaten geboren. (zufällig)

Es gibt einen Jungen und ein Mädchen, die im selben Monat geboren wurden. (zufällig)

Es gibt einen Jungen und ein Mädchen, die in verschiedenen Monaten geboren wurden. (zufällig)

Aufgabe 5. Es gibt 3 rote, 3 gelbe, 3 grüne Kugeln in einer Schachtel. Ziehe zufällig 4 Kugeln. Betrachten Sie das Ereignis "Unter den gezogenen Kugeln werden Kugeln von genau M Farben sein". Bestimmen Sie für jedes M von 1 bis 4, um welches Ereignis es sich handelt – unmöglich, sicher oder zufällig – und füllen Sie die Tabelle aus:

Selbstständige Arbeit.

ichMöglichkeit

a) Ihr Freund hat weniger als 32 Jahre alt;

c) morgen findet ein Mathetest statt;

d) Nächstes Jahr wird der erste Schnee in Moskau am Sonntag fallen.

Werfe einen Würfel. Beschreiben Sie die Veranstaltung:

a) der Würfel steht nach dem Fallen auf seiner Kante;

b) eine der Zahlen fällt heraus: 1, 2, 3, 4, 5, 6;

c) die Zahl 6 fällt heraus;

d) Es erscheint eine Zahl, die ein Vielfaches von 7 ist.

Eine Kiste enthält 3 rote, 3 gelbe und 3 grüne Kugeln. Beschreiben Sie die Veranstaltung:

a) alle gezogenen Kugeln haben die gleiche Farbe;

b) alle gezogenen Kugeln in verschiedenen Farben;

c) unter den gezogenen Kugeln befinden sich Kugeln in verschiedenen Farben;

c) unter den gezogenen Kugeln befindet sich eine rote, gelbe und grüne Kugel.

IIMöglichkeit

Beschreiben Sie das fragliche Ereignis als sicher, unmöglich oder zufällig:

a) ein Sandwich, das vom Tisch gefallen ist, mit der Butterseite nach unten auf den Boden fällt;

b) in Moskau fällt um Mitternacht Schnee, und in 24 Stunden wird die Sonne scheinen;

c) Sie gewinnen, indem Sie an einer Win-Win-Lotterie teilnehmen;

d) Nächstes Jahr im Mai wird der erste Frühlingsdonner zu hören sein.

Alle zweistelligen Zahlen stehen auf den Karten. Eine Karte wird zufällig ausgewählt. Beschreiben Sie die Veranstaltung:

a) die Karte hat sich als Null herausgestellt;

b) auf der Karte befindet sich eine Zahl, die ein Vielfaches von 5 ist;

c) auf der Karte befindet sich eine Zahl, die ein Vielfaches von 100 ist;

d) die Karte enthält eine Zahl größer als 9 und kleiner als 100.

Die Box enthält 10 rote, 1 grüne und 2 blaue Stifte. Zwei Gegenstände werden zufällig aus der Kiste genommen. Beschreiben Sie die Veranstaltung:

a) zwei blaue Griffe werden herausgenommen;

b) zwei rote Griffe werden herausgenommen;

c) zwei grüne Griffe werden herausgenommen;

d) Grüne und schwarze Griffe werden herausgenommen.

Hausaufgaben: 1). Überlegen Sie sich zwei zuverlässige, zufällige und unmögliche Ereignisse.

2). Aufgabe . Es gibt 3 rote, 3 gelbe, 3 grüne Kugeln in einer Schachtel. Wir ziehen zufällig N Kugeln. Betrachten Sie das Ereignis "unter den gezogenen Kugeln gibt es Kugeln von genau drei Farben". Bestimmen Sie für jedes N von 1 bis 9, um welches Ereignis es sich handelt – unmöglich, sicher oder zufällig – und füllen Sie die Tabelle aus:

kombinatorische Aufgaben.

Erste Stunde

Überprüfung der Hausaufgaben. (oral)

a) Wir prüfen die Aufgaben, die die SchülerInnen gestellt haben.

b) zusätzliche Aufgabe.

Ich lese gerade einen Auszug aus dem Buch „Drei Tage in Karlikanii“ von V. Levshin.

„Zu den Klängen eines sanften Walzers bildeten die Zahlen zunächst eine Gruppe: 1 + 3 + 4 + 2 = 10. Dann begannen die jungen Skater, die Plätze zu wechseln und immer neue Gruppen zu bilden: 2 + 3 + 4 + 1 = 10

3 + 1 + 2 + 4 = 10

4 + 1 + 3 + 2 = 10

1 + 4 + 2 + 3 = 10 usw.

Dies dauerte so lange, bis die Skater in ihre ursprüngliche Position zurückkehrten.

Wie oft haben sie die Plätze gewechselt?

Heute lernen wir in der Lektion, wie man solche Probleme löst. Sie werden gerufen kombinatorisch.

3. Neues Material lernen.

Aufgabe 1. Wie viele zweistellige Zahlen lassen sich aus den Zahlen 1, 2, 3 bilden?

Entscheidung: 11, 12, 13

31, 32, 33. Nur 9 Nummern.

Bei der Lösung dieses Problems haben wir alle möglichen Optionen aufgezählt, oder wie sie in diesen Fällen normalerweise sagen. Alle möglichen Kombinationen. Daher werden solche Aufgaben aufgerufen kombinatorisch. Es ist durchaus üblich, mögliche (oder unmögliche) Optionen im Leben zu berechnen, daher ist es nützlich, sich mit kombinatorischen Problemen vertraut zu machen.

№ 967. Mehrere Länder haben sich entschieden, für ihre Nationalflaggen Symbole in Form von drei horizontalen Streifen gleicher Breite in verschiedenen Farben zu verwenden - weiß, blau, rot. Wie viele Länder können solche Symbole verwenden, vorausgesetzt, jedes Land hat seine eigene Flagge?

Entscheidung. Nehmen wir an, der erste Streifen ist weiß. Dann kann der zweite Streifen blau oder rot sein und der dritte Streifen jeweils rot oder blau. Es stellten sich zwei Optionen heraus: weiß, blau, rot oder weiß, rot, blau.

Lassen Sie nun den ersten Streifen blau sein, dann erhalten wir wieder zwei Optionen: Weiß, Rot, Blau oder Blau, Rot, Weiß.

Lassen Sie den ersten Streifen rot sein, dann zwei weitere Optionen: rot, weiß, blau oder rot, blau, weiß.

Es gibt insgesamt 6 mögliche Optionen. Diese Flagge kann von 6 Ländern verwendet werden.

Bei der Lösung dieses Problems suchten wir also nach einer Möglichkeit, mögliche Optionen aufzuzählen. In vielen Fällen erweist es sich als nützlich, ein Bild zu konstruieren - ein Schema zum Aufzählen von Optionen. Das ist erstens visuell und zweitens ermöglicht es uns, alles zu berücksichtigen, nichts zu verpassen.

Dieses Schema wird auch als Baum möglicher Optionen bezeichnet.

Titelseite

Zweite Spur

dritte Spur

Kombination erhalten

№ 968. Wie viele zweistellige Zahlen lassen sich aus den Zahlen 1, 2, 4, 6, 8 bilden?

Entscheidung. Bei zweistelligen Zahlen, die uns interessieren, kann jede der angegebenen Ziffern an erster Stelle stehen, außer 0. Wenn wir die Zahl 2 an erste Stelle setzen, kann jede der angegebenen Ziffern an zweiter Stelle stehen. Es wird fünf zweistellige Zahlen geben: 2,22, 24, 26, 28. Ebenso wird es fünf zweistellige Zahlen mit der ersten Ziffer 4, fünf zweistellige Zahlen mit der ersten Ziffer 6 und fünf zweistellige Zahlen geben. Ziffern mit der ersten Ziffer 8.

Antwort: Es gibt insgesamt 20 Zahlen.

Lassen Sie uns einen Baum möglicher Optionen zur Lösung dieses Problems erstellen.

Zweistellig

Erste Ziffer

Zweite Ziffer

Nummern erhalten

20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,

40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.

Lösen Sie die folgenden Probleme, indem Sie einen Baum möglicher Optionen erstellen.

№ 971. Die Führung eines Landes hat beschlossen, seine Nationalflagge so zu gestalten: Auf einem einfarbigen rechteckigen Hintergrund befindet sich in einer der Ecken ein Kreis einer anderen Farbe. Es wurde entschieden, Farben aus drei möglichen auszuwählen: rot, gelb, grün. Wie viele Varianten dieser Flagge

existieren? Die Abbildung zeigt einige der möglichen Optionen.

Antwort: 24 Optionen.

№ 973. a) Wie viele dreistellige Zahlen lassen sich aus den Zahlen 1,3,5, machen? (27 Nummern)

b) Wie viele dreistellige Zahlen können aus den Zahlen 1,3,5 gemacht werden, sofern sich die Zahlen nicht wiederholen sollen? (6 Zahlen)

№ 979. Moderne Fünfkämpfer messen sich zwei Tage lang in fünf Sportarten: Springreiten, Fechten, Schwimmen, Schießen und Laufen.

a) Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Reihenfolge des Bestehens der Wettbewerbsarten? (120 Optionen)

b) Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Reihenfolge des Bestehens der Disziplinen des Wettbewerbs, wenn bekannt ist, dass die letzte Disziplin ein Lauf sein soll? (24 Optionen)

c) Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Reihenfolge des Bestehens der Wettkampfarten, wenn bekannt ist, dass die letzte Art Laufen und die erste Art Springen sein soll? (6 Optionen)

№ 981. Zwei Urnen enthalten jeweils fünf Kugeln in fünf verschiedenen Farben: weiß, blau, rot, gelb, grün. Aus jeder Urne wird jeweils eine Kugel gezogen.

a) Wie viele verschiedene Kombinationen von gezogenen Kugeln gibt es (Kombinationen wie „Weiß – Rot“ und „Rot – Weiß“ werden als gleich angesehen)?

(15 Kombinationen)

b) Wie viele Kombinationen gibt es, bei denen die gezogenen Kugeln dieselbe Farbe haben?

(5 Kombinationen)

c) Wie viele Kombinationen gibt es, bei denen die gezogenen Kugeln unterschiedliche Farben haben?

(15 - 5 = 10 Kombinationen)

Hausaufgaben: 54, Nr. 969, 972, stellen uns selbst ein kombinatorisches Problem.

№ 969. Mehrere Länder haben sich entschieden, für ihre Nationalflaggen Symbole in Form von drei vertikalen Streifen gleicher Breite in unterschiedlichen Farben zu verwenden: grün, schwarz, gelb. Wie viele Länder können solche Symbole verwenden, vorausgesetzt, jedes Land hat seine eigene Flagge?

№ 972. a) Wie viele zweistellige Zahlen lassen sich aus den Zahlen 1, 3, 5, 7, 9 bilden?

b) Wie viele zweistellige Zahlen lassen sich aus den Zahlen 1, 3, 5, 7, 9 bilden, sofern sich die Zahlen nicht wiederholen sollen?

Zweite Lektion

Überprüfung der Hausaufgaben. a) Nr. 969 und Nr. 972a) und Nr. 972b) - Bauen Sie einen Baum mit möglichen Optionen auf dem Brett auf.

b) die zusammengestellten Aufgaben mündlich überprüfen.

Probleme lösen.

Vorher haben wir also gelernt, wie man kombinatorische Probleme mit einem Optionsbaum löst. Ist das ein guter Weg? Vermutlich ja, aber sehr umständlich. Lassen Sie uns versuchen, das Hausproblem Nr. 972 auf eine andere Weise zu lösen. Wer kann erraten, wie dies geschehen kann?

Antworten: Für jede der fünf T-Shirt-Farben gibt es 4 Shorts-Farben. Insgesamt: 4 * 5 = 20 Optionen.

№ 980. Die Urnen enthalten jeweils fünf Kugeln in fünf verschiedenen Farben: weiß, blau, rot, gelb, grün. Aus jeder Urne wird jeweils eine Kugel gezogen. Beschreiben Sie das folgende Ereignis als sicher, zufällig oder unmöglich:

a) gezeichnete Kugeln in verschiedenen Farben; (zufällig)

b) gezogene gleichfarbige Kugeln; (zufällig)

c) schwarze und weiße Kugeln werden gezogen; (unmöglich)

d) zwei Kugeln werden herausgenommen und beide sind in einer der folgenden Farben gefärbt: weiß, blau, rot, gelb, grün. (authentisch)

№ 982. Eine Gruppe von Touristen plant eine Reise entlang der Route Antonovo - Borisovo - Vlasovo - Gribovo. Von Antonovo nach Borisovo können Sie den Fluss hinunter raften oder zu Fuß gehen. Von Borisovo nach Vlasovo können Sie zu Fuß oder mit dem Fahrrad fahren. Von Vlasovo nach Gribovo können Sie entlang des Flusses schwimmen, Fahrrad fahren oder zu Fuß gehen. Wie viele Wandermöglichkeiten können Touristen wählen? Wie viele Wandermöglichkeiten können Touristen wählen, vorausgesetzt, dass sie auf mindestens einem der Streckenabschnitte Fahrräder benutzen müssen?

(12 Routenoptionen, davon 8 mit Fahrrädern)

Selbstständige Arbeit.

1 Option

a) Wie viele dreistellige Zahlen lassen sich aus den Zahlen 0, 1, 3, 5, 7 machen?

b) Wie viele dreistellige Zahlen können aus den Zahlen gemacht werden: 0, 1, 3, 5, 7, vorausgesetzt, dass sich die Zahlen nicht wiederholen sollen?

Athos, Porthos und Aramis haben nur ein Schwert, einen Dolch und eine Pistole.

a) Auf wie viele Arten können die Musketiere bewaffnet sein?

b) Wie viele Waffenoptionen gibt es, wenn Aramis ein Schwert führen muss?

c) Wie viele Waffenoptionen gibt es, wenn Aramis ein Schwert und Porthos eine Pistole haben soll?

Irgendwo schickte Gott einer Krähe ein Stück Käse, dazu Käse, Wurst, Weiß- und Schwarzbrot. Eine Krähe, die auf einer Tanne saß, wollte gerade frühstücken, aber sie dachte darüber nach: Auf wie viele Arten können Sandwiches aus diesen Produkten hergestellt werden?

Option 2

a) Wie viele dreistellige Zahlen lassen sich aus den Zahlen 0, 2, 4, 6, 8 machen?

b) Wie viele dreistellige Zahlen können aus den Zahlen gemacht werden: 0, 2, 4, 6, 8, vorausgesetzt, dass sich die Zahlen nicht wiederholen sollen?

Graf Monte Cristo beschloss, Prinzessin Hyde Ohrringe, eine Halskette und ein Armband zu schenken. Jedes Schmuckstück muss eine der folgenden Arten von Edelsteinen enthalten: Diamanten, Rubine oder Granate.

a) Wie viele Kombinationen von Edelsteinschmuck gibt es?

b) Wie viele Schmuckoptionen gibt es, wenn es sich bei den Ohrringen um Diamanten handeln muss?

c) Wie viele Schmuckoptionen gibt es, wenn die Ohrringe Diamant und das Armband Granat sein sollen?

Zum Frühstück können Sie ein Brötchen, Sandwich oder Lebkuchen mit Kaffee oder Kefir wählen. Wie viele Frühstücksoptionen können Sie zubereiten?

Hausaufgaben : Nr. 974, 975. (durch Erstellung eines Optionsbaums und Anwendung der Multiplikationsregel)

№ 974 . a) Wie viele dreistellige Zahlen lassen sich aus den Zahlen 0, 2, 4 bilden?

b) Wie viele dreistellige Zahlen können aus den Zahlen 0, 2, 4 gemacht werden, vorausgesetzt, dass sich die Zahlen nicht wiederholen sollen?

№ 975 . a) Wie viele dreistellige Zahlen lassen sich aus den Zahlen 1,3, 5,7 machen?

b) Wie viele dreistellige Zahlen können aus den gegebenen Zahlen 1,3, 5,7 gemacht werden? Welche Zahlen dürfen nicht wiederholt werden?

Die Aufgabennummern sind dem Lehrbuch entnommen

"Mathematik-5", I.I. Zubareva, A.G. Mordkowitsch, 2004.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie arbeitet wie jeder Zweig der Mathematik mit einer bestimmten Reihe von Konzepten. Die meisten Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie sind definiert, aber einige gelten als primär, nicht definiert, wie in der Geometrie ein Punkt, eine Linie, eine Ebene. Das primäre Konzept der Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Ereignis. Ein Ereignis ist etwas, worüber nach einem bestimmten Zeitpunkt nur noch eines von beidem gesagt werden kann:

· Ja, es ist passiert.
· Nein, es ist nicht passiert.

Ich habe zum Beispiel einen Lottoschein. Nach der Veröffentlichung der Ergebnisse der Lotterieziehung tritt das Ereignis, das mich interessiert - der Gewinn von tausend Rubel, entweder ein oder nicht. Jedes Ereignis tritt als Ergebnis eines Tests (oder einer Erfahrung) auf. Unter Test (oder Erfahrung) versteht man jene Bedingungen, aufgrund derer ein Ereignis eintritt. Zum Beispiel ist das Werfen einer Münze ein Test, und das Erscheinen eines „Wappens“ darauf ist ein Ereignis. Das Ereignis wird normalerweise mit lateinischen Großbuchstaben bezeichnet: A, B, C, .... Ereignisse in der materiellen Welt können in drei Kategorien eingeteilt werden – sicher, unmöglich und zufällig.

Ein bestimmtes Ereignis ist eines, dessen Eintreten im Voraus bekannt ist. Es wird mit dem Buchstaben W bezeichnet. Daher sind beim Werfen eines gewöhnlichen Würfels nicht mehr als sechs Punkte zuverlässig, das Erscheinen einer weißen Kugel, wenn sie aus einer Urne gezogen wird, die nur weiße Kugeln enthält usw.

Ein unmögliches Ereignis ist ein Ereignis, von dem im Voraus bekannt ist, dass es nicht eintreten wird. Es wird mit dem Buchstaben E bezeichnet. Beispiele für unmögliche Ereignisse sind das Ziehen von mehr als vier Assen aus einem gewöhnlichen Kartenspiel, das Erscheinen einer roten Kugel aus einer Urne, die nur weiße und schwarze Kugeln enthält usw.

Ein zufälliges Ereignis ist ein Ereignis, das als Ergebnis eines Tests auftreten kann oder nicht. Die Ereignisse A und B heißen inkompatibel, wenn das Eintreten des einen die Möglichkeit des Eintretens des anderen ausschließt. Das Erscheinen einer beliebigen Anzahl von Punkten beim Würfeln (Ereignis A) ist also unvereinbar mit dem Erscheinen einer anderen Zahl (Ereignis B). Das Würfeln einer geraden Anzahl von Punkten ist mit dem Würfeln einer ungeraden Zahl nicht vereinbar. Umgekehrt sind eine gerade Punktzahl (Ereignis A) und eine durch drei teilbare Punktzahl (Ereignis B) nicht unvereinbar, denn der Verlust von sechs Punkten bedeutet das Eintreten von Ereignis A und Ereignis B, also das Eintreten von einem der einen schließt das Eintreten der anderen nicht aus. Operationen können auf Ereignissen ausgeführt werden. Eine Vereinigung zweier Ereignisse C=AUB ist ein Ereignis C, das genau dann eintritt, wenn mindestens eines dieser Ereignisse A und B eintritt.Die Schnittmenge zweier Ereignisse D=A?? B ist ein Ereignis, das genau dann eintritt, wenn beide Ereignisse A und B eintreten.

1.1. Einige Informationen aus der Kombinatorik

1.1.1. Unterkünfte

Betrachten Sie die einfachsten Konzepte in Bezug auf die Auswahl und Position einer bestimmten Menge von Objekten.
Das Zählen der Möglichkeiten, auf die diese Aktionen ausgeführt werden können, wird häufig beim Lösen von Wahrscheinlichkeitsproblemen durchgeführt.
Definition. Unterkunft ab n Elemente von k (k ≤n) ist eine beliebige geordnete Teilmenge von k Elemente einer Menge bestehend aus n verschiedene Elemente.
Beispiel. Die folgenden Zahlenfolgen sind Anordnungen von 2 Elementen aus 3 Elementen der Menge (1;2;3): 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Beachten Sie, dass sich Platzierungen in der Reihenfolge ihrer Bestandteile und ihrer Zusammensetzung unterscheiden. Die Platzierungen 12 und 21 enthalten die gleichen Nummern, aber ihre Reihenfolge ist unterschiedlich. Daher werden diese Platzierungen als unterschiedlich betrachtet.
Anzahl verschiedener Platzierungen aus n Elemente von k bezeichnet und berechnet durch die Formel:
,
wo n! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙n(lesen " n Fakultät).
Die Anzahl der zweistelligen Zahlen, die sich aus den Ziffern 1, 2, 3 zusammensetzen können, sofern sich keine Ziffer wiederholt, ist: .

1.1.2. Permutationen

Definition. Permutationen aus n Elemente nennt man solche Platzierungen aus n Elemente, die sich nur in der Anordnung der Elemente unterscheiden.
Anzahl der Permutationen von n Elemente Pn berechnet nach der Formel: Pn=n!
Beispiel. Auf wie viele Arten können sich 5 Personen anstellen? Die Anzahl der Wege ist gleich der Anzahl der Permutationen von 5 Elementen, d.h.
P 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Definition. Wenn unter n Elemente k identisch, dann die Permutation dieser n Elemente nennt man eine Permutation mit Wiederholungen.
Beispiel. Angenommen, von 6 Büchern sind 2 gleich. Jede Anordnung aller Bücher im Regal ist eine Permutation mit Wiederholungen.
Die Anzahl der verschiedenen Permutationen mit Wiederholungen (von n Elemente, darunter k identisch) errechnet sich nach der Formel: .
In unserem Beispiel beträgt die Anzahl der Möglichkeiten, wie Bücher in einem Regal angeordnet werden können: .

1.1.3. Kombinationen

Definition. Kombinationen aus n Elemente von k solche Platzierungen werden aufgerufen n Elemente von k, die sich durch mindestens ein Element voneinander unterscheiden.
Anzahl verschiedener Kombinationen von n Elemente von k bezeichnet und berechnet durch die Formel: .
Per Definition ist 0!=1.
Kombinationen haben folgende Eigenschaften:
1.
2.
3.
4.
Beispiel. Es gibt 5 Blumen in verschiedenen Farben. Für einen Strauß werden 3 Blumen ausgewählt. Die Anzahl der verschiedenen Sträuße mit 3 von 5 Blumen beträgt: .

1.2. Zufällige Ereignisse

1.2.1. Veranstaltungen

Realitätserkenntnis in den Naturwissenschaften erfolgt durch Versuche (Experiment, Beobachtung, Erfahrung).
Prüfung oder Erfahrung ist die Implementierung einer bestimmten Reihe von Bedingungen, die beliebig oft reproduziert werden können.
Zufällig ein Ereignis genannt, das als Ergebnis eines Tests (Erfahrung) eintreten kann oder auch nicht.
Somit wird das Ereignis als Ergebnis eines Tests betrachtet.
Beispiel. Das Werfen einer Münze ist ein Test. Das Erscheinen eines Adlers beim Werfen ist ein Ereignis.
Die Ereignisse, die wir beobachten, unterscheiden sich im Grad der Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens und in der Art ihrer Beziehung.
Die Veranstaltung wird aufgerufen authentisch wenn es sicher als Ergebnis des Tests auftritt.
Beispiel. Ein Student, der in einer Prüfung eine positive oder negative Note erhält, ist ein sicheres Ereignis, wenn die Prüfung nach den üblichen Regeln abläuft.
Die Veranstaltung wird aufgerufen unmöglich wenn es aufgrund dieser Prüfung nicht eintreten kann.
Beispiel. Das Herausziehen einer weißen Kugel aus einer Urne, die nur farbige (nicht weiße) Kugeln enthält, ist ein unmögliches Ereignis. Beachten Sie, dass unter anderen Bedingungen des Experiments das Auftreten einer weißen Kugel nicht ausgeschlossen ist; daher ist dieses Ereignis nur unter den Bedingungen unserer Erfahrung unmöglich.
Weitere zufällige Ereignisse werden mit den lateinischen Großbuchstaben A,B,C... bezeichnet. Ein bestimmtes Ereignis wird mit dem Buchstaben Ω bezeichnet, ein unmögliches Ereignis mit Ø.
Zwei oder mehr Ereignisse werden aufgerufen gleichermaßen möglich in einem bestimmten Test, wenn Grund zu der Annahme besteht, dass keines dieser Ereignisse wahrscheinlicher oder weniger wahrscheinlich ist als andere.
Beispiel. Mit einem Würfelwurf sind das Erscheinen von 1, 2, 3, 4, 5 und 6 Punkten gleichermaßen mögliche Ereignisse. Es wird natürlich vorausgesetzt, dass der Stempel aus einem homogenen Material besteht und eine regelmäßige Form hat.
Die beiden Ereignisse werden aufgerufen unvereinbar in einem bestimmten Prozess, wenn das Eintreten des einen das Eintreten des anderen ausschließt, und gemeinsam sonst.
Beispiel. Die Box enthält Standard- und Nicht-Standardteile. Nehmen wir ein Detail. Das Erscheinen eines Standardteils schließt das Erscheinen eines Nicht-Standardteils aus. Diese Ereignisse sind nicht kompatibel.
Es bilden sich mehrere Veranstaltungen komplette Veranstaltungsreihe in diesem Test, wenn als Ergebnis dieses Tests mindestens einer von ihnen notwendigerweise eintritt.
Beispiel. Die Ereignisse aus dem Beispiel bilden eine vollständige Gruppe von gleichermaßen möglichen und paarweise inkompatiblen Ereignissen.
Zwei disjunkte Ereignisse, die eine vollständige Gruppe von Ereignissen in einem bestimmten Versuch bilden, werden aufgerufen gegensätzliche Ereignisse.
Wenn einer von ihnen mit bezeichnet ist EIN, dann wird das andere normalerweise durch bezeichnet (es lautet „nicht EIN»).
Beispiel. Treffen und Verfehlen mit einem Schuss auf ein Ziel sind entgegengesetzte Ereignisse.

1.2.2. Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit

Ereigniswahrscheinlichkeit ist ein numerisches Maß für die Möglichkeit seines Auftretens.
Vorfall SONDERN namens günstig Veranstaltung BEIM wenn immer ein Ereignis eintritt SONDERN, tritt das Ereignis ein BEIM.
Veranstaltungen SONDERN 1 , SONDERN 2 , ..., SONDERNn form Falldiagramm , wenn sie:
1) sind gleichermaßen möglich;
2) sind paarweise inkompatibel;
3) bilden eine komplette Gruppe.
Im Schema der Fälle (und nur in diesem Schema) findet die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit statt P(EIN) Veranstaltungen SONDERN. Dabei wird jedes der Ereignisse, die zu der ausgewählten vollständigen Gruppe von gleichermaßen möglichen und paarweise inkompatiblen Ereignissen gehören, ein Fall genannt.
Wenn ein n ist die Anzahl aller Fälle im Schema, und m- die Zahl der für das Ereignis günstigen Fälle SONDERN, dann Ereigniswahrscheinlichkeit SONDERN ist definiert durch die Gleichheit:

Aus der Definition der Wahrscheinlichkeit folgen folgende Eigenschaften:
1. Die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis ist gleich eins.
In der Tat, wenn ein Ereignis sicher ist, dann begünstigt jedes Ereignis im Schema der Ereignisse das Ereignis. In diesem Fall m = n und daher

2. Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null.
Wenn das Ereignis unmöglich ist, spricht keiner der Fälle aus dem Fallschema für das Ereignis. So m=0 und daher

Die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses ist eine positive Zahl zwischen null und eins.
Tatsächlich wird ein zufälliges Ereignis nur von einem Bruchteil der Gesamtzahl der Fälle im Fallschema begünstigt. Daher 0<m<n, was 0 bedeutet<m/n<1 и, следовательно, 0 < P(A) < 1.
Die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses erfüllt also die Ungleichungen
0 ≤ P(EIN) ≤ 1.
Gegenwärtig werden die Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit in Form von Axiomen definiert, die von A.N. Kolmogorow.
Einer der Hauptvorteile der klassischen Definition von Wahrscheinlichkeit ist die Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses direkt zu berechnen, d.h. ohne auf Experimente zurückzugreifen, die durch logisches Denken ersetzt werden.

Probleme der direkten Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

Aufgabe 1.1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfelwurf eine gerade Punktzahl (Ereignis A) zu erzielen?
Entscheidung. Betrachten Sie Ereignisse SONDERNich- herausgefallen ich Punkte, ich= 1, 2, …, 6. Offensichtlich bilden diese Ereignisse ein Fallmuster. Dann die Anzahl aller Fälle n= 6. Eine gerade Punktzahl wird von den Fällen favorisiert SONDERN 2 , SONDERN 4 , SONDERN 6, d.h. m= 3. Dann .
Aufgabe 1.2. Eine Urne enthält 5 weiße und 10 schwarze Kugeln. Die Kugeln werden gründlich gemischt und dann wird 1 Kugel nach dem Zufallsprinzip entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Kugel weiß ist?
Entscheidung. Es gibt insgesamt 15 Fälle, die das Fallmuster bilden. Und das erwartete Ereignis SONDERN- das Aussehen einer weißen Kugel wird also von 5 von ihnen bevorzugt .
Aufgabe 1.3. Das Kind spielt mit sechs Buchstaben des Alphabets: A, A, E, K, P, T. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es zufällig das Wort CARRIAGE hinzufügen kann (Ereignis A).
Entscheidung. Die Entscheidung wird durch die Tatsache erschwert, dass es unter den Buchstaben dieselben gibt - zwei Buchstaben "A". Daher ist die Anzahl aller möglichen Fälle in diesem Versuch gleich der Anzahl der Permutationen mit Wiederholungen von 6 Buchstaben:
.
Diese Fälle sind gleichermaßen möglich, paarweise inkompatibel und bilden eine vollständige Gruppe von Ereignissen, d.h. ein Falldiagramm erstellen. Nur eine Chance begünstigt das Ereignis SONDERN. So
.
Aufgabe 1.4. Tanya und Vanya einigten sich darauf, das neue Jahr in einer Gruppe von 10 Personen zu feiern. Sie wollten beide unbedingt nebeneinander sitzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ihr Wunsch in Erfüllung geht, wenn es üblich ist, Plätze unter ihren Freunden per Los zu verteilen?
Entscheidung. Bezeichne mit SONDERN Ereignis "Erfüllung des Wunsches von Tanya und Vanya." An einem 10er Tisch können 10 Personen Platz nehmen! verschiedene Wege. Wie viele davon n= 10! sind für Tanja und Wanja gleichermaßen günstige Wege möglich? Tanya und Vanya, die nebeneinander sitzen, können 20 verschiedene Positionen einnehmen. Gleichzeitig können acht ihrer Freunde an Tisch 8 sitzen! verschiedene Wege, also m= 20∙8!. Somit,
.
Aufgabe 1.5. Eine Gruppe von 5 Frauen und 20 Männern wählt drei Delegierte aus. Unter der Annahme, dass alle Anwesenden mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausgewählt werden, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Frauen und ein Mann ausgewählt werden.
Entscheidung. Die Gesamtzahl der gleich wahrscheinlichen Ergebnisse des Tests entspricht der Anzahl der Möglichkeiten, wie drei Delegierte aus 25 Personen ausgewählt werden können, d.h. . Berechnen wir nun die Anzahl der günstigen Fälle, d.h. die Häufigkeit, mit der das interessierende Ereignis eintritt. Der männliche Delegierte kann auf zwanzig Arten gewählt werden. Gleichzeitig müssen die verbleibenden zwei Delegierten Frauen sein, und Sie können zwei von fünf Frauen auswählen. Somit, . So
.
Aufgabe 1.6. Vier Bälle werden zufällig über vier Löcher verteilt, jeder Ball fällt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit und unabhängig von den anderen in das eine oder andere Loch (es gibt keine Hindernisse, mehrere Bälle in dasselbe Loch zu bekommen). Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich in einem der Löcher drei Bälle befinden, in dem anderen eine - und in den anderen beiden Löchern keine Bälle.
Entscheidung. Gesamtzahl der Fälle n=4 4 . Die Anzahl der Möglichkeiten, auf die ein Loch gewählt werden kann, in dem drei Bälle liegen, . Die Anzahl der Möglichkeiten, wie Sie das Loch auswählen können, in dem sich ein Ball befindet, . Die Anzahl der Möglichkeiten, wie Sie drei Bälle aus vier Bällen auswählen können, um sie in das erste Loch zu stecken, . Die Gesamtzahl der günstigen Fälle . Ereigniswahrscheinlichkeit:
Aufgabe 1.7. In der Schachtel befinden sich 10 identische Kugeln, die mit den Nummern 1, 2, ..., 10 gekennzeichnet sind. Sechs Kugeln werden als Glücksspiel gezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den extrahierten Kugeln befinden: a) Kugel Nr. 1; b) Bälle Nr. 1 und Nr. 2.
Entscheidung. a) Die Gesamtzahl der möglichen elementaren Ergebnisse des Tests ist gleich der Anzahl der Möglichkeiten, sechs aus zehn Kugeln zu ziehen, d. h.
Lassen Sie uns die Anzahl der Ergebnisse ermitteln, die das Ereignis begünstigen, an dem wir interessiert sind: Unter den ausgewählten sechs Bällen befindet sich Ball Nr. 1, und folglich haben die verbleibenden fünf Bälle unterschiedliche Nummern. Die Anzahl solcher Ergebnisse ist offensichtlich gleich der Anzahl der Möglichkeiten, wie fünf Kugeln aus den verbleibenden neun ausgewählt werden können, d.h.
Die gewünschte Wahrscheinlichkeit ist gleich dem Verhältnis der Anzahl der Ergebnisse, die das betrachtete Ereignis begünstigen, zur Gesamtzahl der möglichen elementaren Ergebnisse:
b) Die Anzahl der Ergebnisse, die das für uns interessante Ereignis begünstigen (unter den ausgewählten Bällen gibt es Bälle Nr. 1 und Nr. 2, daher haben vier Bälle unterschiedliche Nummern), ist gleich der Anzahl der Möglichkeiten, auf die vier Bälle sein können aus den restlichen acht extrahiert, d.h. Gewünschte Wahrscheinlichkeit

1.2.3. Statistische Wahrscheinlichkeit

Die statistische Definition der Wahrscheinlichkeit wird verwendet, wenn die Ergebnisse eines Experiments nicht gleich wahrscheinlich sind.
Relative Ereignishäufigkeit SONDERN ist definiert durch die Gleichheit:
,
wo m ist die Anzahl der Versuche, in denen das Ereignis SONDERN Es ist gekommen n ist die Gesamtzahl der durchgeführten Tests.
J. Bernoulli bewies, dass bei einer unbegrenzten Erhöhung der Anzahl der Experimente die relative Häufigkeit des Auftretens eines Ereignisses praktisch willkürlich von einer konstanten Zahl abweicht. Es stellte sich heraus, dass diese konstante Zahl die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses ist. Daher wird natürlich die relative Häufigkeit des Eintretens eines Ereignisses bei genügend vielen Versuchen als statistische Wahrscheinlichkeit bezeichnet, im Gegensatz zu der zuvor eingeführten Wahrscheinlichkeit.
Beispiel 1.8. Wie kann man die Anzahl der Fische in einem See schätzen?
See einlassen X Fisch. Wir werfen das Netzwerk und, sagen wir, wir finden darin n Fisch. Wir markieren jeden von ihnen und geben ihn zurück. Ein paar Tage später, bei gleichem Wetter und am gleichen Ort, werfen wir das gleiche Netz aus. Angenommen, wir finden m Fische darin, darunter k beschriftet. Lassen Sie die Veranstaltung SONDERN- "Gefangener Fisch ist gekennzeichnet." Dann per Definition der relativen Häufigkeit .
Aber wenn im See X Fisch und wir haben es freigelassen n beschriftet, dann.
Als R * (SONDERN) » R(SONDERN), dann .

1.2.4. Operationen auf Veranstaltungen. Additionssatz

Summe, oder eine Vereinigung, mehrerer Ereignisse ist ein Ereignis, das im Auftreten mindestens eines dieser Ereignisse (im selben Test) besteht.
Summe SONDERN 1 + SONDERN 2 + … + SONDERNn so bezeichnet:
oder .
Beispiel. Es werden zwei Würfel geworfen. Lassen Sie die Veranstaltung SONDERN besteht aus dem Würfeln von 4 Punkten auf 1 Würfel und dem Ereignis BEIM- bei einem Wurf von 5 Punkten auf einen anderen Würfel. Veranstaltungen SONDERN und BEIM gemeinsam. Daher die Veranstaltung SONDERN +BEIM besteht darin, 4 Punkte mit dem ersten Würfel oder 5 Punkte mit dem zweiten Würfel oder 4 Punkte mit dem ersten Würfel und 5 Punkte mit dem zweiten Würfel gleichzeitig zu würfeln.
Beispiel. Vorfall SONDERN– Gewinnen Sie mit 1 Leihe, Veranstaltung BEIM- Gewinnen Sie mit 2 Leihgaben. Dann die Veranstaltung A+B- Gewinnung mindestens eines Darlehens (möglicherweise zwei auf einmal).
Arbeit oder die Schnittmenge mehrerer Ereignisse ist ein Ereignis, das im gemeinsamen Auftreten all dieser Ereignisse (im selben Test) besteht.
Arbeit BEIM Veranstaltungen SONDERN 1 , SONDERN 2 , …, SONDERNn so bezeichnet:
.
Beispiel. Veranstaltungen SONDERN und BEIM bestehen im erfolgreichen Bestehen der I. bzw. II. Runde bei der Zulassung zum Institut. Dann die Veranstaltung SONDERN×B besteht im erfolgreichen Abschluss beider Runden.
Die Begriffe Summe und Produkt von Ereignissen haben eine klare geometrische Interpretation. Lassen Sie die Veranstaltung SONDERN es gibt einen Punkttreffer in der Gegend SONDERN, und die Veranstaltung BEIM- einen Punkt in der Gegend treffen BEIM. Dann die Veranstaltung A+B Es gibt einen Treffer eines Punktes in der Vereinigung dieser Bereiche (Abb. 2.1) und des Ereignisses SONDERNBEIM Im Schnittpunkt dieser Bereiche befindet sich ein Punkttreffer (Abb. 2.2).

Reis. 2.1 Abb. 2.2
Satz. Wenn Veranstaltungen Ai(ich = 1, 2, …, n) paarweise inkompatibel sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit der Summe der Ereignisse gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse:
.
Lassen SONDERN und Ā – gegensätzliche Ereignisse, d.h. A+a= Ω, wobei Ω ein bestimmtes Ereignis ist. Aus dem Additionssatz folgt das
P(Ω) = R(SONDERN) + R(Ā ) = 1, also
R(Ā ) = 1 – R(SONDERN).
Wenn Veranstaltungen SONDERN 1 und SONDERN 2 gemeinsam sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit der Summe zweier gemeinsamer Ereignisse gleich:
R(SONDERN 1 + SONDERN 2) = R(SONDERN 1) + R(SONDERN 2) – P( SONDERN 1× SONDERN 2).
Wahrscheinlichkeitsadditionssätze ermöglichen den Übergang von der direkten Berechnung von Wahrscheinlichkeiten zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten komplexer Ereignisse.
Aufgabe 1.8. Der Schütze gibt einen Schuss auf das Ziel ab. Wahrscheinlichkeit, 10 Punkte zu eliminieren (event SONDERN), 9 Punkte (event BEIM) und 8 Punkte (event Mit) sind jeweils gleich 0,11; 0,23; 0,17. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze mit einem Schuss weniger als 8 Punkte erzielt (Ereignis D).
Entscheidung. Kommen wir zum entgegengesetzten Ereignis – mit einem Schuss wird der Schütze mindestens 8 Punkte schlagen. Das Ereignis tritt ein, wenn SONDERN oder BEIM, oder Mit, d.h. . Seit den Ereignissen A, B, Mit paarweise inkonsistent sind, dann gilt nach dem Additionssatz
, wo .
Aufgabe 1.9. Aus dem Team der Brigade, das aus 6 Männern und 4 Frauen besteht, werden zwei Personen für die Gewerkschaftskonferenz ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Frau unter den Auserwählten (das Ereignis SONDERN).
Entscheidung. Wenn ein Ereignis eintritt SONDERN, tritt zwangsläufig eines der folgenden inkompatiblen Ereignisse auf: BEIM- "ein Mann und eine Frau werden ausgewählt"; Mit„Zwei Frauen wurden ausgewählt.“ Daher können wir schreiben: A=B+C. Finde die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen BEIM und Mit. Zwei von 10 Personen können auf verschiedene Arten ausgewählt werden. Zwei von 4 Frauen können auf verschiedene Arten ausgewählt werden. Männlich und weiblich können auf 6×4-Wege gewählt werden. Dann . Seit den Ereignissen BEIM und Mit sind dann nach dem Additionssatz inkonsistent
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C).) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Aufgabe 1.10. Auf einem Regal in der Bibliothek stehen 15 Lehrbücher, von denen fünf gebunden sind. Der Bibliothekar nimmt zufällig drei Lehrbücher. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der genommenen Lehrbücher gebunden wird (event SONDERN).
Entscheidung. Erster Weg. Die Anforderung - mindestens eines der drei gebundenen Lehrbücher belegt - ist erfüllt, wenn eines der folgenden drei unvereinbaren Ereignisse eintritt: BEIM- 1 gebundenes Lehrbuch Mit- zwei gebundene Lehrbücher D- Drei gebundene Lehrbücher.
Veranstaltung, die uns interessiert SONDERN kann als Summe von Ereignissen dargestellt werden: A=B+C+D. Nach dem Additionssatz gilt
P(A) = P(B) + P(C) + P(D). (2.1)
Finde die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen B, C und D(siehe kombinatorische Schemata):

Wenn wir diese Wahrscheinlichkeiten in Gleichheit (2.1) darstellen, erhalten wir schließlich
P(A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Der zweite Weg. Vorfall SONDERN(mindestens eines der drei genommenen Lehrbücher hat einen Einband) und Ā (keines der entnommenen Lehrbücher hat einen Einband) sind also entgegengesetzt P(A) + P(À) = 1 (die Summe der Wahrscheinlichkeiten zweier entgegengesetzter Ereignisse ist gleich 1). Von hier P(A) = 1 – P(a). Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses Ā (Keines der entnommenen Lehrbücher ist gebunden)
Gewünschte Wahrscheinlichkeit
P(A) = 1 – P(Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.

1.2.5. Bedingte Wahrscheinlichkeit. Wahrscheinlichkeitsmultiplikationssatz

Bedingte Wahrscheinlichkeit P(B/SONDERN) ist die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B, berechnet unter der Annahme, dass Ereignis A bereits eingetreten ist.
Satz. Die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Eintretens zweier Ereignisse ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten des einen mit der bedingten Wahrscheinlichkeit des anderen, berechnet unter der Annahme, dass das erste Ereignis bereits eingetreten ist:
P(A∙B) = P(A)∙P( BEIM/SONDERN). (2.2)
Zwei Ereignisse heißen unabhängig, wenn das Eintreten eines von ihnen die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen nicht ändert, d.h.
P(A) = P(A/B) oder P(B) = P(B/SONDERN). (2.3)
Wenn Veranstaltungen SONDERN und BEIM unabhängig sind, dann implizieren die Formeln (2.2) und (2.3).
P(A∙B) = P(A)∙P(B). (2.4)
Auch die umgekehrte Aussage gilt, d.h. wenn Gleichheit (2.4) für zwei Ereignisse gilt, dann sind diese Ereignisse unabhängig. Tatsächlich implizieren die Formeln (2.4) und (2.2).
P(A∙B) = P(A)∙P(B) = P(A) × P(B/SONDERN), wo P(A) = P(B/SONDERN).
Formel (2.2) lässt sich auf den Fall endlich vieler Ereignisse verallgemeinern SONDERN 1 , SONDERN 2 ,…,Ein:
P(A 1 ∙SONDERN 2 ∙…∙Ein)=P(A 1)∙P(A 2 /SONDERN 1)∙P(A 3 /SONDERN 1 SONDERN 2)∙…∙Pfanne/SONDERN 1 SONDERN 2 …Ein -1).
Aufgabe 1.11. Aus einer Urne mit 5 weißen und 10 schwarzen Kugeln werden zwei Kugeln hintereinander gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiß sind (event SONDERN).
Entscheidung. Betrachten Sie die Ereignisse: BEIM- die erste gezogene Kugel ist weiß; Mit– die zweite gezogene Kugel ist weiß. Dann A = BC.
Erfahrung kann auf zwei Arten gemacht werden:
1) mit Rückgabe: Nach Fixierung der Farbe kommt die gezogene Kugel zurück in die Urne. In diesem Fall die Ereignisse BEIM und Mit unabhängig:
P(A) = P(B)∙P(C) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) ohne Zurücklegen: Der gezogene Ball wird beiseite gelegt. In diesem Fall die Ereignisse BEIM und Mit abhängig:
P(A) = P(B)∙P(C/BEIM).
Für eine Veranstaltung BEIM Bedingungen sind die gleichen, und für Mit die Situation hat sich geändert. Passiert BEIM, also sind noch 14 Kugeln in der Urne, davon 4 weiße.
So, .
Aufgabe 1.12. Von den 50 Glühbirnen sind 3 nicht genormt. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zwei gleichzeitig genommene Lampen nicht dem Standard entsprechen.
Entscheidung. Betrachten Sie die Ereignisse: SONDERN- die erste Glühbirne ist nicht standardmäßig, BEIM- die zweite Glühbirne ist nicht standardmäßig, Mit- beide Birnen sind nicht genormt. Es ist klar, dass C = A∙BEIM. Veranstaltung SONDERN bevorzuge 3 von 50 möglichen Fällen, d.h. P(A) = 3/50. Wenn die Veranstaltung SONDERN ist bereits geschehen, das Ereignis BEIM bevorzuge zwei von 49 möglichen Fällen, d.h. P(B/SONDERN) = 2/49. Somit,
.
Aufgabe 1.13. Zwei Athleten schießen unabhängig voneinander auf dieselbe Scheibe. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel des ersten Athleten zu treffen, beträgt 0,7 und die des zweiten 0,8. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ziel getroffen wird?
Entscheidung. Das Ziel wird getroffen, wenn entweder der erste Schütze oder der zweite oder beide es treffen, d.h. ein Ereignis wird passieren A+B, wo die Veranstaltung SONDERN besteht darin, das Ziel durch den ersten Athleten zu treffen, und das Ereignis BEIM- zweite. Dann
P(A+BEIM)=P(A)+P(B)–P(A∙BEIM)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Aufgabe 1.14. Im Lesesaal befinden sich sechs Lehrbücher zur Wahrscheinlichkeitstheorie, drei davon sind gebunden. Der Bibliothekar nahm wahllos zwei Lehrbücher. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Lehrbücher gebunden werden.
Entscheidung. Wir führen die Notation von Ereignissen ein : EIN– das erste genommene Lehrbuch ist gebunden, BEIM- Das zweite Lehrbuch ist gebunden. Die Wahrscheinlichkeit, dass das erste Lehrbuch einen Einband hat,
P(A) = 3/6 = 1/2.
Die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Lehrbuch gebunden ist, vorausgesetzt, dass das erste genommene Buch gebunden war, d.h. bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses BEIM, ist das: P(B/SONDERN) = 2/5.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit, dass beide Lehrbücher eine Bindung haben, ist nach dem Multiplikationssatz für die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen gleich
P(AB) = P(A) ∙ P(B/SONDERN)= 1/2 ∙ 2/5 = 0,2.
Aufgabe 1.15. Der Laden beschäftigt 7 Männer und 3 Frauen. Drei Personen wurden zufällig nach Personalnummern ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass alle ausgewählten Personen Männer sind.
Entscheidung. Lassen Sie uns die Notation von Ereignissen einführen: EIN- Männchen zuerst ausgewählt BEIM- der zweite ausgewählte Mann, MIT - der dritte ausgewählte Mann. Die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst ein Männchen ausgewählt wird P(A) = 7/10.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mann als Zweiter ausgewählt wird, vorausgesetzt, dass bereits ein Mann als Erster ausgewählt wurde, d.h. bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses BEIM nächste : P(B/A) = 6/9 = 2/3.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mann an dritter Stelle ausgewählt wird, sofern bereits zwei Männer ausgewählt wurden, d.h. bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses Mit ist: P(C/AB) = 5/8.
Die gewünschte Wahrscheinlichkeit, dass alle drei ausgewählten Personen Männer sind, P(ABC) = P(A) P(B/SONDERN) P(C/AB) = 7/10 2/3 5/8 = 7/24.

1.2.6. Gesamtwahrscheinlichkeitsformel und Bayes-Formel

Lassen B 1 , B 2 ,…, B n sind paarweise inkompatible Ereignisse (Hypothesen) und SONDERN- ein Ereignis, das nur in Verbindung mit einem von ihnen auftreten kann.
Lassen Sie es uns auch wissen Р(B ich) und P(A/B ich) (ich = 1, 2, …, n).
Unter diesen Bedingungen gelten die Formeln:
(2.5)
(2.6)
Formel (2.5) wird aufgerufen Gesamtwahrscheinlichkeitsformel . Es berechnet die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses SONDERN(volle Wahrscheinlichkeit).
Formel (2.6) wird aufgerufen Bayes-Formel . Es ermöglicht Ihnen, die Wahrscheinlichkeiten von Hypothesen neu zu berechnen, wenn das Ereignis eintritt SONDERN passiert.
Beim Zusammenstellen von Beispielen ist es zweckmäßig zu berücksichtigen, dass die Hypothesen eine vollständige Gruppe bilden.
Aufgabe 1.16. Der Korb enthält Äpfel von vier Bäumen der gleichen Sorte. Von der ersten - 15% aller Äpfel, von der zweiten - 35%, von der dritten - 20%, von der vierten - 30%. Reife Äpfel sind jeweils 99%, 97%, 98%, 95%.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Apfel reif ist? SONDERN).
b) Vorausgesetzt, ein zufällig entnommener Apfel hat sich als reif herausgestellt, berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er vom ersten Baum stammt.
Entscheidung. a) Wir haben 4 Hypothesen:
B 1 - ein zufällig entnommener Apfel wird vom 1. Baum genommen;
B 2 - ein zufällig entnommener Apfel wird vom 2. Baum genommen;
B 3 - ein zufällig entnommener Apfel wird vom 3. Baum genommen;
B 4 - Ein zufällig entnommener Apfel wird vom 4. Baum genommen.
Ihre Wahrscheinlichkeiten gemäß der Bedingung: P(B 1) = 0,15; P(B 2) = 0,35; P(B 3) = 0,2; P(B 4) = 0,3.
Bedingte Ereigniswahrscheinlichkeiten SONDERN:
P(A/B 1) = 0,99; P(A/B 2) = 0,97; P(A/B 3) = 0,98; P(A/B 4) = 0,95.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Apfel reif ist, ergibt sich aus der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel:
P(A)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)+P(B 4)∙P(A/B 4)=0,969.
b) Die Bayes-Formel für unseren Fall hat die Form:
.
Aufgabe 1.17. Eine weiße Kugel wird in eine Urne mit zwei Kugeln geworfen, danach wird zufällig eine Kugel gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Kugel weiß ist, wenn alle möglichen Annahmen über die anfängliche Zusammensetzung der Kugeln (nach Farbe) gleichermaßen möglich sind.
Entscheidung. Bezeichne mit SONDERN Ereignis - eine weiße Kugel wird gezogen. Folgende Annahmen (Hypothesen) über die Ausgangszusammensetzung der Kugeln sind möglich: B1 keine weißen Kugeln IN 2- eine weiße Kugel IN 3- zwei weiße Kugeln.
Da es insgesamt drei Hypothesen gibt und die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Hypothesen gleich 1 ist (da sie eine vollständige Gruppe von Ereignissen bilden), ist die Wahrscheinlichkeit jeder Hypothese gleich 1/3, d.h.
P(B 1) = P(B 2)= P(B 3) = 1/3.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine weiße Kugel gezogen wird, da ursprünglich keine weißen Kugeln in der Urne waren, P(A/B 1)=1/3. Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine weiße Kugel gezogen wird, da die Urne ursprünglich eine weiße Kugel enthielt, P(A/B 2)=2/3. Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine weiße Kugel gezogen wird, da die Urne ursprünglich zwei weiße Kugeln enthielt. P(A/B 3)=3/ 3=1.
Die gewünschte Wahrscheinlichkeit, dass eine weiße Kugel gezogen wird, ergibt sich aus der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel:
R(SONDERN)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
Aufgabe 1.18. Zwei Maschinen produzieren die gleichen Teile, die einem gemeinsamen Förderer zugeführt werden. Die Leistung der ersten Maschine ist doppelt so hoch wie die der zweiten. Die erste Maschine produziert durchschnittlich 60 % der Teile von ausgezeichneter Qualität und die zweite - 84 %. Das zufällig vom Fließband entnommene Teil erwies sich als von ausgezeichneter Qualität. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Gegenstand von der ersten Maschine hergestellt wurde.
Entscheidung. Bezeichne mit SONDERN Die Veranstaltung ist ein Artikel von ausgezeichneter Qualität. Zwei Annahmen können gemacht werden: B1- das Teil von der ersten Maschine produziert wird, und (da die erste Maschine doppelt so viele Teile produziert wie die zweite) P(A/B 1) = 2/3; B 2 - Das Teil wurde von der zweiten Maschine hergestellt und P(B 2) = 1/3.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das Teil von ausgezeichneter Qualität ist, wenn es von der ersten Maschine produziert wird, P(A/B 1)=0,6.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das Teil von ausgezeichneter Qualität ist, wenn es von der zweiten Maschine produziert wird, P(A/B 1)=0,84.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Teil von ausgezeichneter Qualität ist, ist gemäß der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel gleich
P(A)=P(B 1) ∙P(A/B 1)+P(B 2) ∙P(A/B 2)=2/3 0,6+1/3 0,84 = 0,68.
Die gewünschte Wahrscheinlichkeit, dass der ausgezeichnete genommene Teil vom ersten Automaten nach der Bayes-Formel produziert wird, ist gleich

Aufgabe 1.19. Es gibt drei Chargen von Teilen mit jeweils 20 Teilen. Die Anzahl der Standardteile in der ersten, zweiten und dritten Charge beträgt 20, 15 bzw. 10. Ein Teil, das sich als Standard herausstellte, wurde zufällig aus der ausgewählten Charge entnommen. Die Teile werden in die Charge zurückgeführt und ein Teil wird stichprobenartig zum zweiten Mal aus der gleichen Charge entnommen, was sich ebenfalls als Standard herausstellt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Teile aus der dritten Charge stammen.
Entscheidung. Bezeichne mit SONDERN Ereignis - bei jedem der beiden Tests (mit Rückgabe) wurde ein Normteil abgerufen. Drei Hypothesen können aufgestellt werden: B 1 - Teile werden aus der ersten Charge entfernt, BEIM 2 – Teile werden aus der zweiten Charge entnommen, BEIM 3 - Teile werden aus der dritten Charge entfernt.
Die Details wurden zufällig aus der entnommenen Charge entnommen, sodass die Wahrscheinlichkeiten der Hypothesen gleich sind: P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
Finden Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A/B 1), d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Normteile nacheinander aus der ersten Charge gezogen werden. Dieses Ereignis ist zuverlässig, weil. In der ersten Charge sind alle Teile Standard, also P(A/B 1) = 1.
Finden Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A/B 2), d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Normteile nacheinander (mit Rücklauf) aus der zweiten Charge entnommen werden: P(A/B 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Finden Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A/B 3), d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Normteile nacheinander (mit Rücknahme) aus der dritten Charge entnommen werden: P(A/B 3) = 10/20 10/20 = 1/4.
Die gewünschte Wahrscheinlichkeit, dass beide extrahierten Normteile aus der dritten Charge entnommen werden, ist nach der Bayes-Formel gleich

1.2.7. Wiederholungen

Wenn mehrere Tests durchgeführt werden, und die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses SONDERN in jeder Studie nicht von den Ergebnissen anderer Studien abhängt, dann werden solche Studien aufgerufen unabhängig gegenüber Ereignis A. In verschiedenen unabhängigen Studien, die Veranstaltung SONDERN können entweder unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten oder die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Wir werden weiterhin nur solche unabhängigen Studien berücksichtigen, bei denen das Ereignis SONDERN hat die gleiche Wahrscheinlichkeit.
Lass es produzieren P unabhängigen Studien, in denen jeweils ein Ereignis SONDERN kann erscheinen oder nicht. Nehmen wir an, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses SONDERN in jedem Test ist das gleiche, nämlich gleich R. Also die Wahrscheinlichkeit des Nichteintritts des Ereignisses SONDERN in jedem Test ist ebenfalls konstant und gleich 1– R. Ein solches Wahrscheinlichkeitsschema wird aufgerufen Bernoulli-Schema. Stellen wir uns die Aufgabe, die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen P Bernoulli-Ereignisversuche SONDERN wird sich genau bewahrheiten k einmal ( k- die Anzahl der Erfolge) und werden daher nicht realisiert P- einmal. Es ist wichtig zu betonen, dass es nicht erforderlich ist, dass die Veranstaltung SONDERN exakt wiederholt k Mal in einer bestimmten Reihenfolge. Geben Sie die gewünschte Wahrscheinlichkeit an Rp (k). Zum Beispiel das Symbol R 5 (3) bedeutet die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis in fünf Versuchen genau 3 Mal auftritt und daher 2 Mal nicht auftritt.
Das Problem kann mit dem sogenannten gelöst werden Bernoulli-Formeln, das sieht aus wie:
.
Aufgabe 1.20. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Stromverbrauch im Laufe eines Tages die festgelegte Norm nicht überschreitet, ist gleich R=0,75. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in den nächsten 6 Tagen der Stromverbrauch für 4 Tage die Norm nicht überschreitet.
Entscheidung. Die Wahrscheinlichkeit des normalen Stromverbrauchs an jedem der 6 Tage ist konstant und gleich R=0,75. Daher ist die Wahrscheinlichkeit eines Mehrverbrauchs an Strom jeden Tag ebenfalls konstant und gleich q= 1–R=1–0,75=0,25.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit nach der Bernoulli-Formel ist gleich
.
Aufgabe 1.21. Zwei gleichberechtigte Schachspieler spielen Schach. Was ist wahrscheinlicher: zwei von vier oder drei von sechs Spielen zu gewinnen (Unentschieden werden nicht berücksichtigt)?
Entscheidung. Gleiche Schachspieler spielen, also die Gewinnwahrscheinlichkeit R= 1/2, daher die Wahrscheinlichkeit zu verlieren q ist auch gleich 1/2. weil bei allen Spielen ist die Gewinnwahrscheinlichkeit konstant und egal in welcher Reihenfolge die Spiele gewonnen werden, dann gilt die Bernoulli-Formel.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass zwei von vier Spielen gewonnen werden:

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass drei von sechs Spielen gewonnen werden:

weil P 4 (2) > P 6 (3) ist es wahrscheinlicher, zwei von vier Spielen zu gewinnen als drei von sechs.
Das sieht man aber an der Bernoulli-Formel für große Werte n es ist ziemlich schwierig, da die Formel die Durchführung von Operationen mit großen Zahlen erfordert und sich daher Fehler im Berechnungsprozess anhäufen; Daher kann das Endergebnis erheblich von der Realität abweichen.
Um dieses Problem zu lösen, gibt es mehrere Grenzwertsätze, die für den Fall einer großen Anzahl von Versuchen verwendet werden.
1. Satz von Poisson
Bei der Durchführung einer großen Anzahl von Tests nach dem Bernoulli-Schema (mit n=> ∞) und mit einer kleinen Anzahl günstiger Ergebnisse k(unter der Annahme, dass die Erfolgswahrscheinlichkeit p klein), nähert sich die Bernoulli-Formel der Poisson-Formel an
.
Beispiel 1.22. Die Heiratswahrscheinlichkeit bei der Produktion einer Produktionseinheit durch das Unternehmen ist gleich p=0,001. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Produktion von 5000 Produkteinheiten weniger als 4 fehlerhafte Produkte auftreten (event SONDERN Entscheidung. weil n groß ist, verwenden wir das lokale Laplace-Theorem:

Berechnen x:
Funktion gerade ist, also φ(–1,67) = φ(1,67).
Gemäß der Tabelle im Anhang A.1 finden wir φ(1,67) = 0,0989.
Gewünschte Wahrscheinlichkeit P 2400 (1400) = 0,0989.
3. Integralsatz von Laplace
Wenn die Wahrscheinlichkeit R Auftreten eines Ereignisses EIN in jedem Versuch nach dem Bernoulli-Schema konstant und von Null und Eins verschieden ist, dann bei einer großen Anzahl von Versuchen n, Wahrscheinlichkeit Rp (k 1 , k 2) Ereigniseintritt EIN in diesen Versuchen k 1 zu k 2 mal ungefähr gleich
R p(k 1 , k 2) = Φ ( x"") – Φ ( x"), wo
ist die Laplace-Funktion,

Das bestimmte Integral in der Laplace-Funktion wird nicht für die Klasse der analytischen Funktionen berechnet, daher wird Tabelle 1 verwendet, um es zu berechnen. Klausel 2 im Anhang.
Beispiel 1.24. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in jedem von hundert unabhängigen Versuchen eintritt, ist konstant und gleich p= 0,8. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt: a) mindestens 75 Mal und höchstens 90 Mal; b) mindestens 75 Mal; c) nicht mehr als 74 Mal.
Entscheidung. Wenden wir den Integralsatz von Laplace an:
R p(k 1 , k 2) = Φ ( x"") – Φ( x"), wobei Ф( x) ist die Laplace-Funktion,

a) Nach Bedingung n = 100, p = 0,8, q = 0,2, k 1 = 75, k 2 = 90. Berechnen x"" und x" :

Wenn man bedenkt, dass die Laplace-Funktion ungerade ist, d.h. F(- x) = – F( x), wir bekommen
P 100 (75; 90) \u003d F (2,5) - F (-1,25) \u003d F (2,5) + F (1,25).
Laut Tabelle P.2. Anwendungen finden:
F(2,5) = 0,4938; Ф(1,25) = 0,3944.
Gewünschte Wahrscheinlichkeit
P 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
b) Die Anforderung, dass das Ereignis mindestens 75 Mal auftritt, bedeutet, dass die Anzahl der Vorkommen des Ereignisses gleich 75 oder 76, ... oder 100 sein kann. Daher sollte man im betrachteten Fall akzeptieren k 1 = 75, k 2 = 100. Dann

.
Laut Tabelle P.2. Anwendungen finden wir Ф (1,25) = 0,3944; Ä(5) = 0,5.
Gewünschte Wahrscheinlichkeit
P 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
c) Ereignis - " SONDERN erschien mindestens 75 Mal" und " SONDERN nicht mehr als 74 Mal aufgetreten“ sind entgegengesetzt, also ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse 1. Daher ist die gewünschte Wahrscheinlichkeit
P 100 (0;74) = 1 – P 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.

Thema der Lektion: "Zufällige, zuverlässige und unmögliche Ereignisse"

Ort der Unterrichtsstunde im Lehrplan: „Kombinatorik. Zufällige Ereignisse“ Lektion 5/8

Unterrichtsart: Lektion in der Bildung von neuem Wissen

Unterrichtsziele:

Lehrreich:

o Einführung einer Definition eines zufälligen, sicheren und unmöglichen Ereignisses;

o im Prozess einer realen Situation lehren, die Begriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie zu definieren: zuverlässige, unmögliche, gleichwahrscheinliche Ereignisse;

Entwicklung:

o die Entwicklung des logischen Denkens fördern,

o kognitives Interesse der Studierenden,

o Vergleichs- und Analysefähigkeit,

Lehrreich:

o Förderung des Interesses am Studium der Mathematik,

o Entwicklung des Weltbildes der Schüler.

o Besitz von intellektuellen Fähigkeiten und mentalen Operationen;

Lehrmethoden: erklärend-illustratives, reproduktives, mathematisches Diktat.

UMC: Mathematik: Lehrbuch für 6 Zellen. unter der Redaktion ua, Verlag "Aufklärung", 2008, Mathematik, 5-6: Buch. für Lehrer / [, [ , ]. -M.: Bildung, 2006.

Didaktisches Material: Plakate an Bord.

Literatur:

1. Mathematik: Lehrbuch. für 6 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen/usw.]; ed. , ; Ros. akad. Wissenschaften, Ros. akad. Bildung, Verlag "Aufklärung". - 10. Aufl. - M.: Aufklärung, 2008.-302 S.: mit Abb. - (Akademisches Schullehrbuch).

2. Mathematik, 5-b: Buch. für den Lehrer / [, ]. - M. : Bildung, 2006. - 191 p. : krank.

4. Lösen von Problemen in Statistik, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie. 7-9 Klassen. / auth.- comp. . Ed. 2., rev. - Wolgograd: Lehrer, 2006. -428 p.

5. Mathematikunterricht mit Informationstechnologie. 5-10 Klassen. Methodisch - ein Handbuch mit elektronischer Anwendung / und andere 2. Aufl., Stereotyp. - M.: Globus Verlag, 2010. - 266 S. (Moderne Schule).

6. Mathematikunterricht in einer modernen Schule. Richtlinien. Wladiwostok: PIPPCRO Verlag, 2003.

UNTERRICHTSPLAN

I. Organisatorischer Moment.

II. Mündliche Arbeit.

III. Neues Material lernen.

IV. Bildung von Fähigkeiten und Fertigkeiten.

V. Die Ergebnisse des Unterrichts.

V. Hausaufgaben.

WÄHREND DER KLASSEN

1. Organisierender Moment

2. Aktualisierung des Wissens

15*(-100)

Mündliche Arbeit:

3. Erläuterung des neuen Materials

Lehrer: Unser Leben besteht größtenteils aus Unfällen. Es gibt eine solche Wissenschaft "Wahrscheinlichkeitstheorie". Mit seiner Sprache lassen sich viele Phänomene und Situationen beschreiben.

Viele Menschen lieben die Mathematik für die ewigen Wahrheiten, zweimal zwei ist immer vier, die Summe der geraden Zahlen ist gerade, die Fläche eines Rechtecks ist gleich dem Produkt seiner angrenzenden Seiten usw. Bei allen Problemen, die Sie lösen, bekommt jeder etwas die gleiche Antwort - Sie müssen nur keine Fehler bei der Entscheidung machen.

Solche Regelmäßigkeiten werden von einem speziellen Zweig der Mathematik untersucht - Wahrscheinlichkeitstheorie . Mit seiner Hilfe können Sie sowohl das Datum des ersten Schneefalls als auch die Anzahl der Anrufe mit größerer Sicherheit (aber immer noch nicht sicher) vorhersagen.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist untrennbar mit unserem täglichen Leben verbunden. Dies gibt uns eine wunderbare Gelegenheit, viele Wahrscheinlichkeitsgesetze empirisch zu etablieren, indem wir Zufallsexperimente wiederholt wiederholen. Die Materialien für diese Experimente sind meistens eine gewöhnliche Münze, ein Würfel, ein Satz Dominosteine, Backgammon, Roulette oder sogar ein Kartenspiel. Jeder dieser Gegenstände ist auf die eine oder andere Weise mit Spielen verbunden. Tatsache ist, dass der Fall hier in der häufigsten Form vorkommt. Und die ersten probabilistischen Aufgaben waren mit der Einschätzung der Gewinnchancen der Spieler verbunden.

Erste Vorhersage: eine der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 fällt heraus Glaubst du, dass das vorhergesagte Ereignis eintrifft oder nicht? Kommt natürlich bestimmt.

Ein Ereignis, das in einer bestimmten Erfahrung mit Sicherheit eintritt, wird als bezeichnet authentisch Veranstaltung.

Zweite Vorhersage : die Nummer 7 wird herausfallen Glauben Sie, dass das vorhergesagte Ereignis eintreten wird oder nicht? Natürlich nicht, es ist einfach unmöglich.

Ein Ereignis, das in einem bestimmten Experiment nicht auftreten kann, wird aufgerufen unmöglich Veranstaltung.

Ereignisse, die unter den gleichen Bedingungen auftreten können oder nicht, werden aufgerufen zufällig.

Beispiel. Die Schachtel enthält 5 Pralinen in einer blauen Verpackung und eine in Weiß. Ohne in die Schachtel zu schauen, nehmen sie zufällig eine Süßigkeit heraus. Kann man im Voraus sagen, welche Farbe es sein wird?

Die Übung : Beschreiben Sie die Ereignisse, die in den folgenden Aufgaben besprochen werden. Als sicher, unmöglich oder zufällig.

1. Wirf eine Münze. Das Wappen erschien. (zufällig)

2. Der Jäger schoss auf den Wolf und traf. (zufällig)

3. Ein Schuljunge geht jeden Abend spazieren. Bei einem Spaziergang traf er am Montag drei Bekannte. (zufällig)

4. Führen wir gedanklich folgendes Experiment durch: Stellen Sie ein Glas Wasser auf den Kopf. Wenn dieses Experiment nicht im Weltraum, sondern zu Hause oder in einem Klassenzimmer durchgeführt wird, strömt Wasser aus. (authentisch)

5. Drei auf das Ziel abgefeuerte Schüsse.“ Es gab fünf Treffer." (unmöglich)

6. Wirf den Stein hoch. Der Stein bleibt in der Luft schweben. (unmöglich)

Beispiel Petya dachte an eine natürliche Zahl. Die Veranstaltung ist wie folgt:

a) eine gerade Zahl gedacht ist; (zufällig)

b) eine ungerade Zahl erdacht wird; (zufällig)

c) eine Zahl gedacht wird, die weder gerade noch ungerade ist; (unmöglich)

d) es wird eine gerade oder ungerade Zahl erdacht. (authentisch)

Ereignisse, die unter gegebenen Bedingungen gleiche Chancen haben, werden aufgerufen gleichwahrscheinlich.

Zufällige Ereignisse, die gleiche Chancen haben, werden aufgerufen gleichermaßen möglich oder gleichwahrscheinlich .

Hängen Sie das Plakat an die Tafel.

Bei der mündlichen Prüfung nimmt der Studierende eine der vor ihm ausgelegten Karten. Die Chancen, eines der Prüfungstickets zu nehmen, sind gleich. Ebenso wahrscheinlich ist der Verlust beliebig vieler Punkte von 1 bis 6 beim Würfeln sowie Kopf oder Zahl beim Werfen einer Münze.

Aber nicht alle Veranstaltungen sind gleichermaßen möglich. Der Wecker klingelt vielleicht nicht, die Glühbirne brennt durch, der Bus hat eine Panne, aber unter normalen Bedingungen gehören solche Ereignisse dazu unwahrscheinlich. Eher klingelt der Wecker, das Licht geht an, der Bus fährt.

Einige Veranstaltungen Chancen treten häufiger auf, was bedeutet, dass sie wahrscheinlicher sind - eher zuverlässig. Und andere haben weniger Chancen, sie sind weniger wahrscheinlich – eher unmöglich.

Unmögliche Ereignisse haben keine Chance, und bestimmte Ereignisse haben jede Chance, unter bestimmten Bedingungen werden sie definitiv eintreten.

Beispiel Petja und Kolja vergleichen ihre Geburtstage. Die Veranstaltung ist wie folgt:

a) ihre Geburtstage nicht übereinstimmen; (zufällig)

b) ihre Geburtstage gleich sind; (zufällig)

d) Beide Geburtstage fallen auf Feiertage - Neujahr (1. Januar) und Unabhängigkeitstag Russlands (12. Juni). (zufällig)

3. Bildung von Fähigkeiten und Fertigkeiten

Aufgabe aus dem Lehrbuch Nr. 000. Welche der folgenden zufälligen Ereignisse sind zuverlässig, möglich:

a) die Schildkröte lernt sprechen;

b) das Wasser im Kessel auf dem Herd kocht;

d) Sie gewinnen, indem Sie an der Lotterie teilnehmen;

e) Sie gewinnen nicht, wenn Sie an einer Win-Win-Lotterie teilnehmen;

f) Sie verlieren eine Schachpartie;

g) Sie werden morgen einen Außerirdischen treffen;

h) das Wetter wird sich nächste Woche verschlechtern; i) Sie haben auf die Klingel gedrückt, aber es hat nicht geklingelt; j) heute - Donnerstag;

k) nach Donnerstag kommt Freitag; m) Wird es nach Freitag einen Donnerstag geben?

Die Boxen enthalten 2 rote, 1 gelbe und 4 grüne Kugeln. Drei Kugeln werden zufällig aus der Schachtel gezogen. Welche der folgenden Ereignisse sind unmöglich, zufällig, sicher:

A: Es werden drei grüne Kugeln gezogen;

B: Es werden drei rote Kugeln gezogen;

C: Kugeln in zwei Farben werden gezogen;

D: gleichfarbige Kugeln werden gezogen;

E: Unter den gezogenen Kugeln befindet sich eine blaue;

F: unter den gezogenen befinden sich Kugeln in drei Farben;

G: Sind unter den gezogenen Kugeln zwei gelbe Kugeln?

Überprüfen Sie sich. (Mathe-Diktat)

1) Geben Sie an, welche der folgenden Ereignisse unmöglich, welche sicher, welche zufällig sind:

Das Fußballspiel "Spartak" - "Dynamo" endet unentschieden (zufällig)

Sie gewinnen, indem Sie an der Win-Win-Lotterie teilnehmen ( authentisch)

Um Mitternacht schneit es und nach 24 Stunden scheint die Sonne (unmöglich)

· Morgen findet ein Mathetest statt. (zufällig)

· Sie werden zum Präsidenten der Vereinigten Staaten gewählt. (unmöglich)

· Sie werden zum Präsidenten von Russland gewählt. (zufällig)

2) Sie haben in einem Geschäft einen Fernseher gekauft, auf den der Hersteller zwei Jahre Garantie gibt. Welche der folgenden Ereignisse sind unmöglich, welche zufällig, welche sicher:

· Der Fernseher geht innerhalb eines Jahres nicht kaputt. (zufällig)

Der Fernseher geht innerhalb von zwei Jahren nicht kaputt . (zufällig)

· Innerhalb von zwei Jahren müssen Sie für die TV-Reparatur nichts bezahlen. (authentisch)

Der Fernseher geht im dritten Jahr kaputt. (zufällig)

3) Ein Bus mit 15 Fahrgästen muss 10 Haltestellen einhalten. Welche der folgenden Ereignisse sind unmöglich, welche zufällig, welche sicher:

· Alle Fahrgäste steigen an verschiedenen Haltestellen aus. (unmöglich)

Alle Fahrgäste steigen an derselben Haltestelle aus. (zufällig)

An jeder Haltestelle steigt mindestens einer aus. (zufällig)

Es wird eine Haltestelle geben, an der niemand aussteigt. (zufällig)

An allen Haltestellen steigt eine gerade Anzahl Fahrgäste aus. (unmöglich)

An allen Haltestellen steigt eine ungerade Anzahl Fahrgäste aus. (unmöglich)

Zusammenfassung der Lektion

Fragen für Studierende:

Welche Ereignisse werden als zufällig bezeichnet?

Welche Ereignisse nennt man gleichwahrscheinlich?

Welche Ereignisse gelten als zuverlässig? unmöglich?

Welche Ereignisse gelten als wahrscheinlicher? weniger wahrscheinlich?

Hausaufgaben : Klausel 9.3

Nr. 000. Denken Sie an jeweils drei Beispiele für bestimmte, unmögliche Ereignisse sowie Ereignisse, von denen nicht gesagt werden kann, dass sie unbedingt eintreten.

902. Es gibt 10 rote, 1 grüne und 2 blaue Stifte in einer Box. Zwei Stifte werden zufällig aus der Schachtel genommen. Welche der folgenden Ereignisse sind unmöglich, sicher:

A: Zwei rote Griffe werden herausgenommen; B: Zwei grüne Griffe werden herausgezogen; C: zwei blaue Griffe werden herausgezogen; D: Zwei Griffe in verschiedenen Farben werden herausgenommen;

E: Werden zwei Bleistifte herausgenommen? 03. Egor und Danila waren sich einig: Wenn der Drehscheibenpfeil (Abb. 205) auf einem weißen Feld stoppt, malt Egor den Zaun und wenn auf einem blauen Feld, Danila. Welcher Junge streicht eher den Zaun?

Portal für den Studenten. Selbsttraining

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