4. Die Formel für den Radius eines Kreises, der über ein Rechteck durch die Diagonale eines Quadrats beschrieben wird:

5. Die Formel für den Radius eines Kreises, der in der Nähe eines Rechtecks ​​durch den Durchmesser eines Kreises (umschrieben) beschrieben wird:

6. Die Formel für den Radius eines Kreises, der in der Nähe eines Rechtecks ​​durch den Sinus des an die Diagonale angrenzenden Winkels und die Länge der diesem Winkel gegenüberliegenden Seite beschrieben wird:

7. Die Formel für den Radius eines Kreises, der um ein Rechteck durch den Kosinus des an die Diagonale angrenzenden Winkels und die Seitenlänge dieses Winkels beschrieben wird:

8. Die Formel für den Radius eines Kreises, der in der Nähe eines Rechtecks ​​durch den Sinus eines spitzen Winkels zwischen den Diagonalen und der Fläche des Rechtecks ​​beschrieben wird:

Winkel zwischen einer Seite und einer Diagonalen eines Rechtecks.

Formeln zur Bestimmung des Winkels zwischen Seite und Diagonale eines Rechtecks:

1. Die Formel zur Bestimmung des Winkels zwischen Seite und Diagonale eines Rechtecks ​​durch die Diagonale und die Seite:

2. Die Formel zur Bestimmung des Winkels zwischen Seite und Diagonale eines Rechtecks ​​durch den Winkel zwischen den Diagonalen:

Der Winkel zwischen den Diagonalen des Rechtecks.

Formeln zur Bestimmung des Winkels zwischen den Diagonalen eines Rechtecks:

1. Die Formel zur Bestimmung des Winkels zwischen den Diagonalen eines Rechtecks ​​durch den Winkel zwischen Seite und Diagonale:

β = 2α

2. Die Formel zur Bestimmung des Winkels zwischen den Diagonalen eines Rechtecks ​​durch die Fläche und der Diagonalen.

Rechteck ist ein Viereck, bei dem jede Ecke ein rechter Winkel ist.

Nachweisen

Die Eigenschaft wird durch die Wirkung von Merkmal 3 des Parallelogramms erklärt (d. h. \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )

2. Gegenüberliegende Seiten sind gleich.

AB = CD,\enspace BC = AD

3. Gegenüberliegende Seiten sind parallel.

AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD

4. Benachbarte Seiten sind senkrecht zueinander.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD ​​​​\perp AB

5. Die Diagonalen des Rechtecks ​​sind gleich.

AC=BD

Nachweisen

Entsprechend Eigentum 1 das Rechteck ist ein Parallelogramm, was AB = CD bedeutet.

Also \triangle ABD = \triangle DCA entlang zweier Schenkel (AB = CD und AD - Joint).

Wenn beide Figuren - ABC und DCA - identisch sind, dann sind auch ihre Hypotenusen BD und AC identisch.

Also AC = BD.

Nur ein Rechteck aller Figuren (nur aus Parallelogrammen!) hat gleiche Diagonalen.

Lassen Sie uns das auch beweisen.

ABCD ist ein Parallelogramm \Rightarrow AB = CD , AC = BD nach Bedingung. \Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCA schon auf drei Seiten.

Es stellt sich heraus, dass \angle A = \angle D (wie die Ecken eines Parallelogramms). Und \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Das leiten wir ab \angle A = \angle B = \angle C = \angle D. Sie sind alle 90^(\circ) . Die Summe ist 360^(\circ) .

Bewährt!

6. Das Quadrat der Diagonale ist gleich der Summe der Quadrate ihrer beiden benachbarten Seiten.

Diese Eigenschaft gilt aufgrund des Satzes des Pythagoras.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Die Diagonale teilt das Rechteck in zwei identische rechtwinklige Dreiecke.

\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD

8. Der Schnittpunkt der Diagonalen halbiert sie.

AO=BO=CO=TUN

9. Der Schnittpunkt der Diagonalen ist der Mittelpunkt des Rechtecks ​​und des umschriebenen Kreises.

10. Die Summe aller Winkel beträgt 360 Grad.

\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^(\circ)

11. Alle Ecken des Rechtecks ​​sind richtig.

\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^(\circ)

12. Der Durchmesser des Umkreises um das Rechteck ist gleich der Diagonale des Rechtecks.

13. Um ein Rechteck herum lässt sich immer ein Kreis beschreiben.

Diese Eigenschaft ist gültig aufgrund der Tatsache, dass die Summe der gegenüberliegenden Ecken eines Rechtecks ​​180^(\circ) ist.

\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)

14. Ein Rechteck kann einen einbeschriebenen Kreis enthalten und nur einen, wenn es die gleichen Seitenlängen hat (es ist ein Quadrat).

Rechteck. Da das Rechteck zwei Symmetrieachsen hat, liegt sein Schwerpunkt im Schnittpunkt der Symmetrieachsen, d.h. am Schnittpunkt der Diagonalen des Rechtecks.

Dreieck. Der Schwerpunkt liegt im Schnittpunkt seiner Mittellinien. Aus der Geometrie ist bekannt, dass sich die Seitenhalbierenden eines Dreiecks in einem Punkt schneiden und sich von der Basis aus im Verhältnis 1:2 teilen.

Ein Kreis. Da der Kreis zwei Symmetrieachsen hat, liegt sein Schwerpunkt im Schnittpunkt der Symmetrieachsen.

Halbkreis. Der Halbkreis hat eine Symmetrieachse, dann liegt der Schwerpunkt auf dieser Achse. Eine weitere Koordinate des Schwerpunkts wird nach folgender Formel berechnet: .

Viele Strukturelemente werden aus gewalzten Standardprodukten hergestellt - Winkel, I-Träger, Kanäle und andere. Alle Abmessungen sowie die geometrischen Eigenschaften von Walzprofilen sind tabellarische Daten, die in der Referenzliteratur in Standardsortimenttabellen (GOST 8239-89, GOST 8240-89) zu finden sind.

Beispiel 1 Bestimmen Sie die Position des Schwerpunkts der in der Abbildung gezeigten Figur.

Lösung:

Wir wählen die Koordinatenachsen so aus, dass die Ox-Achse entlang der äußersten unteren Gesamtabmessung und die Oy-Achse entlang der äußersten linken Gesamtabmessung verläuft.

Wir zerlegen eine komplexe Figur in die minimale Anzahl einfacher Figuren:

Rechteck 20x10;

Dreieck 15x10;

Kreis R = 3 cm.

Wir berechnen die Fläche jeder einfachen Figur, ihre Koordinaten des Schwerpunkts. Die Ergebnisse der Berechnungen werden in die Tabelle eingetragen

Antworten: C(14,5; 4,5)

Beispiel 2 . Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunkts eines Verbundprofils aus einem Blech und gewalzten Profilen.

Lösung.

Wir wählen die Koordinatenachsen, wie in der Abbildung gezeigt.

Wir bezeichnen die Zahlen mit Zahlen und schreiben die erforderlichen Daten aus der Tabelle:

Wir berechnen die Koordinaten des Schwerpunkts der Figur mit den Formeln:

Antworten: C(0; 10)

Laborarbeit Nr. 1 „Bestimmung des Schwerpunktes zusammengesetzter Flachfiguren“

Ziel: Bestimmen Sie den Schwerpunkt einer gegebenen flachen komplexen Figur durch experimentelle und analytische Methoden und vergleichen Sie die Ergebnisse.

Arbeitsauftrag

Zeichnen Sie in Heften Ihre flache Figur in der Größe und geben Sie die Koordinatenachsen an.

Bestimmen Sie den Schwerpunkt analytisch.

1. Zerlegen Sie die Figur in die minimale Anzahl von Figuren, deren Schwerpunkte wir zu bestimmen wissen.

   Geben Sie die Anzahl der Bereiche und die Koordinaten des Schwerpunkts jeder Figur an.

   Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunkts jeder Figur.

   Berechnen Sie die Fläche jeder Figur.

   Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunkts der gesamten Figur mit den Formeln (tragen Sie die Position des Schwerpunkts in die Zeichnung der Figur ein):

Die Anlage zur experimentellen Bestimmung der Schwerpunktkoordinaten durch Aufhängung besteht aus einem vertikalen Gestell 1 (siehe Abb.), an dem die Nadel befestigt ist 2 . flache Figur 3 Hergestellt aus Pappe, in die sich leicht ein Loch stechen lässt. Löcher ABER und BEI an willkürlich angeordneten Punkten (vorzugsweise im weitesten Abstand voneinander) durchbohrt. Eine flache Figur wird zuerst an einer Spitze an einer Nadel aufgehängt ABER , und dann auf den Punkt BEI . Mit Hilfe eines Lots 4 , an derselben Nadel befestigt, wird mit einem Bleistift eine vertikale Linie auf die Figur gezeichnet, die dem Lot entspricht. Schwerpunkt AUS Die Figur befindet sich am Schnittpunkt der vertikalen Linien, die beim Aufhängen der Figur an Punkten gezogen werden ABER und BEI .

Oft muss ein Heimwerker den Mittelpunkt eines Kreises oder eines runden Teils finden. Ich habe bereits in dem Artikel über eine der Möglichkeiten zur Lösung dieses Problems geschrieben wie man den mittelpunkt eines kreises findet. Es hat jedoch einen erheblichen Nachteil: Es ist notwendig, die Mitte des Akkords genau zu finden und daraus genau eine Senkrechte zu erstellen.

Glücklicherweise gibt es eine andere Methode, um den Mittelpunkt eines Kreises genau zu finden, die keine präzisen Messungen erfordert. Es basiert auf dem einfachen Prinzip, dass, wenn ein rechtwinkliges Dreieck in einen Kreis eingeschrieben ist, seine Hypotenuse (die längste Seite) der Durchmesser dieses Kreises oder Kreises ist.

Dies wird durch die Tatsache bestätigt, dass die Summe der Winkel eines Dreiecks 180 Grad beträgt. Und der ganze Kreis ist 360 Grad. Und jedes Rechteck, dessen Hypotenuse gleich dem Durchmesser des Kreises ist, wird rechteckig sein. Und umgekehrt - jedes rechtwinklige Dreieck mit seiner Hypotenuse repräsentiert den Durchmesser des Kreises.

Und was gibt uns den Kreismittelpunkt genauer, wenn nicht der Schnittpunkt der beiden Kreisdurchmesser?

Als „Quelle“ eines rechten Winkels nimmt man am einfachsten ein Blatt Schreibpapier. In Papierfabriken werden sie mit sehr hoher Präzision geschnitten. Sie können die Seite einer beliebigen Zeitschrift usw. verwenden.

Wir legen ein Blatt Papier so auf den runden Teil, dass eine seiner Ecken auf dem Kreis oder dem Rand des Kreises liegt. Und markieren Sie die Punkte, an denen das Blatt die anderen Kanten des Kreises berührt. Diese Punkte markieren wir.

Wir ziehen eine gerade Linie zwischen den markierten Punkten. Der Abstand zwischen ihnen ist der Durchmesser dieses Kreises. Wir schneiden das überschüssige Papier ab und zeichnen eine gerade Linie auf das Teil - den Durchmesser.

Es reicht aus, unser Dreieck an eine andere Position zu verschieben und einen anderen Durchmesser des Kreises zu zeichnen, und sofort am Schnittpunkt der Durchmesser erhalten wir den gewünschten Mittelpunkt des Kreises ...

So können wir, ohne absolut keine Messungen vorzunehmen, den Mittelpunkt jedes Kreises finden.