Die Quadratwurzel einer Zahl X eine Nummer angerufen EIN, die sich im Prozess der Multiplikation mit sich selbst ( A*A) kann eine Zahl angeben X.
Jene. A * A = A 2 = X, und √X = A.

Über Quadratwurzeln ( √x) können Sie wie bei anderen Zahlen arithmetische Operationen wie Subtraktion und Addition durchführen. Um Wurzeln zu subtrahieren und zu addieren, müssen sie mit Zeichen verbunden werden, die diesen Aktionen entsprechen (z √x- √y ).
Und dann bringen Sie die Wurzeln in ihre einfachste Form - wenn es ähnliche gibt, müssen Sie eine Besetzung machen. Es besteht darin, dass die Koeffizienten ähnlicher Terme mit den Vorzeichen der entsprechenden Terme genommen werden, sie dann in Klammern eingeschlossen werden und die gemeinsame Wurzel außerhalb der Multiplikatorklammern angezeigt wird. Der erhaltene Koeffizient wird nach den üblichen Regeln vereinfacht.

Schritt 1. Quadratwurzeln ziehen

Um Quadratwurzeln zu addieren, müssen Sie zunächst diese Wurzeln extrahieren. Dies ist möglich, wenn die Zahlen unter dem Wurzelzeichen Quadrate sind. Nehmen Sie zum Beispiel den angegebenen Ausdruck √4 + √9 . Erste Nummer 4 ist das Quadrat der Zahl 2 . Zweite Nummer 9 ist das Quadrat der Zahl 3 . Somit kann die folgende Gleichheit erhalten werden: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Alles, das Beispiel ist gelöst. Aber es passiert nicht immer so.

Schritt 2. Herausnehmen des Multiplikators einer Zahl unter der Wurzel

Wenn sich unter dem Wurzelzeichen keine vollen Quadrate befinden, können Sie versuchen, den Multiplikator der Zahl unter dem Wurzelzeichen zu entnehmen. Nehmen Sie zum Beispiel den Ausdruck √24 + √54 .

Faktorisieren wir die Zahlen:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Auf Liste 24 Wir haben einen Multiplikator 4 , es kann unter dem Quadratwurzelzeichen herausgenommen werden. Auf Liste 54 Wir haben einen Multiplikator 9 .

Wir erhalten die Gleichheit:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

In Anbetracht dieses Beispiels erhalten wir die Entfernung des Faktors unter dem Wurzelzeichen, wodurch der gegebene Ausdruck vereinfacht wird.

Schritt 3. Reduzierung des Nenners

Betrachten Sie die folgende Situation: Die Summe zweier Quadratwurzeln ist der Nenner eines Bruchs, zum Beispiel A / (√a + √b).
Nun stehen wir vor der Aufgabe, „die Irrationalität im Nenner loszuwerden“.
Wenden wir die folgende Methode an: Multiplizieren Sie Zähler und Nenner des Bruchs mit dem Ausdruck √a - √b.

Wir erhalten nun die abgekürzte Multiplikationsformel im Nenner:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Ebenso, wenn der Nenner die Differenz der Wurzeln enthält: √a - √b, Zähler und Nenner des Bruchs werden mit dem Ausdruck multipliziert √a + √b.

Nehmen wir als Beispiel einen Bruch:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

Ein Beispiel für komplexe Nennerreduktion

Jetzt betrachten wir ein ziemlich kompliziertes Beispiel, wie Irrationalität im Nenner beseitigt wird.

Nehmen wir als Beispiel einen Bruch: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Sie müssen seinen Zähler und Nenner nehmen und mit dem Ausdruck multiplizieren √2 + √3 - √5 .

Wir bekommen:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

Schritt 4. Berechnen Sie den ungefähren Wert auf dem Taschenrechner

Wenn Sie nur einen ungefähren Wert benötigen, können Sie dies auf einem Taschenrechner tun, indem Sie den Wert von Quadratwurzeln berechnen. Für jede Zahl wird der Wert separat berechnet und mit der erforderlichen Genauigkeit aufgezeichnet, die durch die Anzahl der Dezimalstellen bestimmt wird. Außerdem werden alle erforderlichen Operationen wie bei gewöhnlichen Zahlen durchgeführt.

Geschätztes Berechnungsbeispiel

Es ist notwendig, den ungefähren Wert dieses Ausdrucks zu berechnen √7 + √5 .

Als Ergebnis erhalten wir:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Bitte beachten Sie: Quadratwurzeln sollten unter keinen Umständen als Primzahlen hinzugefügt werden, dies ist völlig inakzeptabel. Das heißt, wenn Sie die Quadratwurzel von fünf und drei addieren, können wir nicht die Quadratwurzel von acht erhalten.

Nützliche Ratschläge: Wenn Sie sich entscheiden, eine Zahl zu faktorisieren, müssen Sie, um ein Quadrat unter dem Wurzelzeichen abzuleiten, eine umgekehrte Überprüfung durchführen, dh alle Faktoren, die sich aus den Berechnungen ergeben, und das Endergebnis davon multiplizieren mathematische Berechnung sollte die Zahl sein, die uns ursprünglich gegeben wurde.

Tatsache 1.
\(\bullet\) Nehmen Sie eine nicht-negative Zahl \(a\) (zB \(a\geqslant 0\) ). Dann (rechnen) Quadratwurzel aus der Zahl \(a\) nennt man eine solche nicht-negative Zahl \(b\), beim Quadrieren erhalten wir die Zahl \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(wie )\quad a=b^2\] Aus der Definition folgt, dass \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Diese Einschränkungen sind eine wichtige Bedingung für die Existenz einer Quadratwurzel und sollten beachtet werden!
Denken Sie daran, dass jede Zahl quadriert ein nicht negatives Ergebnis ergibt. Das heißt, \(100^2=10000\geqslant 0\) und \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Was ist \(\sqrt(25)\) ? Wir wissen, dass \(5^2=25\) und \((-5)^2=25\) . Da wir per Definition eine nicht-negative Zahl finden müssen, ist \(-5\) nicht geeignet, also \(\sqrt(25)=5\) (da \(25=5^2\) ).
Das Finden des Werts \(\sqrt a\) wird als Ziehen der Quadratwurzel der Zahl \(a\) bezeichnet, und die Zahl \(a\) wird als Wurzelausdruck bezeichnet.
\(\bullet\) Basierend auf der Definition können die Ausdrücke \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) , usw. keinen Sinn machen.

Tatsache 2.
Für schnelle Berechnungen ist es hilfreich, die Tabelle der Quadrate natürlicher Zahlen von \(1\) bis \(20\) zu lernen: \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Tatsache 3.
Was kann man mit Quadratwurzeln machen?
\(\Patrone\) Die Summe oder Differenz der Quadratwurzeln ist NICHT GLEICH der Quadratwurzel der Summe oder Differenz, d.h. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Wenn Sie also beispielsweise \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) berechnen müssen, müssen Sie zunächst die Werte \(\sqrt(25)\) und \(\sqrt (49)\ ) und dann addieren. Somit, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Wenn beim Hinzufügen von \(\sqrt a+\sqrt b\) die Werte \(\sqrt a\) oder \(\sqrt b\) nicht gefunden werden, dann wird ein solcher Ausdruck nicht weiter konvertiert und bleibt so wie er ist. Zum Beispiel können wir in der Summe \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) \(\sqrt(49)\) finden - das ist \(7\) , aber \(\sqrt 2\) kann es nicht sein in irgendeiner Weise konvertiert, Deshalb \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Außerdem kann dieser Ausdruck leider in keiner Weise vereinfacht werden.\(\bullet\) Das Produkt/der Quotient der Quadratwurzeln ist gleich der Quadratwurzel des Produkts/Quotienten, d.h. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (sofern beide Teile der Gleichheit sinnvoll sind)
Beispiel: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Unter Verwendung dieser Eigenschaften ist es praktisch, die Quadratwurzeln großer Zahlen zu finden, indem man sie faktorisiert.
Betrachten Sie ein Beispiel. Finden Sie \(\sqrt(44100)\) . Da \(44100:100=441\) , dann \(44100=100\cdot 441\) . Nach dem Teilbarkeitskriterium ist die Zahl \(441\) durch \(9\) teilbar (da ihre Quersumme 9 ist und durch 9 teilbar ist), also \(441:9=49\) , das heißt \(441=9\ cdot 49\) .
Somit haben wir: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Schauen wir uns ein anderes Beispiel an: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Am Beispiel des Ausdrucks \(5\sqrt2\) (kurz für den Ausdruck \(5\cdot \sqrt2\) ) zeigen wir, wie man Zahlen unter dem Quadratwurzelzeichen eingibt. Da \(5=\sqrt(25)\) dann \ Beachten Sie auch, dass bspw.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Warum so? Lassen Sie uns mit Beispiel 1) erklären. Wie Sie bereits verstanden haben, können wir die Zahl \(\sqrt2\) nicht irgendwie konvertieren. Stellen Sie sich vor, dass \(\sqrt2\) eine Zahl \(a\) ist. Dementsprechend ist der Ausdruck \(\sqrt2+3\sqrt2\) nichts anderes als \(a+3a\) (eine Zahl \(a\) plus drei weitere gleiche Zahlen \(a\) ). Und wir wissen, dass dies gleich vier solcher Zahlen \(a\) ist, also \(4\sqrt2\) .

Tatsache 4.
\(\bullet\) Es wird oft gesagt „kann die Wurzel nicht ziehen“, wenn es nicht möglich ist, das Zeichen \(\sqrt () \ \) der Wurzel (Wurzel) loszuwerden, wenn man den Wert einer Zahl findet. Beispielsweise können Sie die Zahl \(16\) rooten, weil \(16=4^2\) , also \(\sqrt(16)=4\) . Aber die Wurzel aus der Zahl \(3\) zu ziehen, also \(\sqrt3\) zu finden, ist unmöglich, weil es keine solche Zahl gibt, die quadriert \(3\) ergibt.
Solche Zahlen (oder Ausdrücke mit solchen Zahlen) sind irrational. Zum Beispiel Zahlen \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) usw. sind irrational.
Также иррациональными являются числа \(\pi\) (число “пи”, приблизительно равное \(3,14\) ), \(e\) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно \(2,7\) ) usw.
\(\bullet\) Bitte beachten Sie, dass jede Zahl entweder rational oder irrational ist. Und zusammen bilden alle rationalen und alle irrationalen Zahlen eine Menge namens Menge reeller (reeller) Zahlen. Diese Menge wird mit dem Buchstaben \(\mathbb(R)\) bezeichnet.
Das bedeutet, dass alle Zahlen, die wir derzeit kennen, reelle Zahlen genannt werden.

Tatsache 5.
\(\bullet\) Modul einer reellen Zahl \(a\) ist eine nicht negative Zahl \(|a|\) gleich dem Abstand vom Punkt \(a\) zu \(0\) auf der reellen Zahl Linie. Beispielsweise sind \(|3|\) und \(|-3|\) gleich 3, da die Abstände von den Punkten \(3\) und \(-3\) zu \(0\) gleich sind gleich und gleich \(3 \) .
\(\bullet\) Wenn \(a\) eine nicht negative Zahl ist, dann \(|a|=a\) .
Beispiel: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Wenn \(a\) eine negative Zahl ist, dann \(|a|=-a\) .
Beispiel: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Sie sagen, dass das Modul für negative Zahlen das Minus „frisst“ und positive Zahlen sowie die Zahl \(0\) das Modul unverändert lässt.
SONDERN diese Regel gilt nur für Zahlen. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная \(x\) (или какая-то другая неизвестная), например, \(|x|\) , про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля wir können nicht. In diesem Fall bleibt dieser Ausdruck so: \(|x|\) . \(\bullet\) Es gelten folgende Formeln: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( vorausgesetzt ) a\geqslant 0\] Der folgende Fehler wird oft gemacht: Sie sagen, dass \(\sqrt(a^2)\) und \((\sqrt a)^2\) dasselbe sind. Dies gilt nur, wenn \(a\) eine positive Zahl oder Null ist. Aber wenn \(a\) eine negative Zahl ist, dann ist das nicht wahr. Es genügt, ein solches Beispiel zu betrachten. Nehmen wir statt \(a\) die Zahl \(-1\). Dann ist \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , aber der Ausdruck \((\sqrt (-1))^2\) existiert überhaupt nicht (weil er existiert unmöglich, unter dem Wurzelzeichen negative Zahlen einzugeben!).
Deshalb machen wir Sie darauf aufmerksam, dass \(\sqrt(a^2)\) nicht gleich \((\sqrt a)^2\) ist! Beispiel 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), da \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Da \(\sqrt(a^2)=|a|\) , dann \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (der Ausdruck \(2n\) bezeichnet eine gerade Zahl)
Das heißt, wenn die Wurzel aus einer Zahl gezogen wird, die in einem gewissen Grad ist, wird dieser Grad halbiert.
Beispiel:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (beachten Sie, dass wenn das Modul nicht gesetzt ist, sich herausstellt, dass die Wurzel der Zahl gleich \(-25 ist \) ; aber wir erinnern uns , was dies per Definition der Wurzel nicht sein kann: Beim Wurzelziehen sollten wir immer eine positive Zahl oder Null erhalten)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (da jede Zahl mit gerader Potenz nicht negativ ist)

Tatsache 6.
Wie vergleicht man zwei Quadratwurzeln?
\(\bullet\) Wahr für Quadratwurzeln: wenn \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aBeispiel:
1) vergleiche \(\sqrt(50)\) und \(6\sqrt2\) . Zuerst transformieren wir den zweiten Ausdruck in \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Seit \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt \(\sqrt(50)\) ?
Da \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) und \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Vergleiche \(\sqrt 2-1\) und \(0,5\) . Angenommen \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((addiere eins auf beiden Seiten))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((Quadrat beider Teile))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Wir sehen, dass wir eine falsche Ungleichung erhalten haben. Daher war unsere Annahme falsch und \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Beachten Sie, dass das Hinzufügen einer bestimmten Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung ihr Vorzeichen nicht beeinflusst. Das Multiplizieren/Dividieren beider Seiten einer Ungleichung mit einer positiven Zahl ändert ebenfalls ihr Vorzeichen nicht, aber das Multiplizieren/Dividieren mit einer negativen Zahl kehrt das Vorzeichen der Ungleichung um!
Beide Seiten einer Gleichung/Ungleichung können NUR quadriert werden, WENN beide Seiten nicht negativ sind. Bei der Ungleichung aus dem vorherigen Beispiel können Sie beispielsweise beide Seiten quadrieren, bei der Ungleichung \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Beachte das \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end(aligned)\] Die ungefähre Bedeutung dieser Zahlen zu kennen, hilft Ihnen beim Zahlenvergleich! \(\bullet\) Um die Wurzel (falls sie gezogen wird) aus einer großen Zahl zu ziehen, die nicht in der Quadrattabelle steht, müssen Sie zuerst bestimmen, zwischen welchen „Hunderten“ sie liegt, dann zwischen welchen „Zehnern“. und bestimmen Sie dann die letzte Ziffer dieser Zahl. Lassen Sie uns anhand eines Beispiels zeigen, wie es funktioniert.
Nimm \(\sqrt(28224)\) . Wir wissen, dass \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) und so weiter. Beachten Sie, dass \(28224\) zwischen \(10\,000\) und \(40\,000\) liegt. Daher liegt \(\sqrt(28224)\) zwischen \(100\) und \(200\) .
Lassen Sie uns nun feststellen, zwischen welchen „Zehnern“ unsere Zahl liegt (also beispielsweise zwischen \(120\) und \(130\) ). Aus der Quadrattabelle wissen wir auch, dass \(11^2=121\) , \(12^2=144\) usw., dann \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Wir sehen also, dass \(28224\) zwischen \(160^2\) und \(170^2\) liegt. Daher liegt die Zahl \(\sqrt(28224)\) zwischen \(160\) und \(170\) .
Versuchen wir, die letzte Ziffer zu bestimmen. Erinnern wir uns, welche einstelligen Zahlen beim Quadrieren am Ende \ (4 \) ergeben? Dies sind \(2^2\) und \(8^2\) . Daher endet \(\sqrt(28224)\) entweder mit 2 oder 8. Lassen Sie uns das überprüfen. Finden Sie \(162^2\) und \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Also \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Um die Prüfung in Mathematik adäquat zu lösen, ist es zunächst notwendig, den theoretischen Stoff zu studieren, der zahlreiche Theoreme, Formeln, Algorithmen usw. vorstellt. Auf den ersten Blick mag dies recht einfach erscheinen. Eine Quelle zu finden, in der die Theorie für das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik für Studierende jeder Ausbildungsstufe einfach und verständlich dargestellt wird, ist allerdings eine eher schwierige Aufgabe. Schulbücher können nicht immer zur Hand sein. Und auch im Internet kann es schwierig sein, die Grundformeln für die Prüfung in Mathematik zu finden.

Warum ist das Theoriestudium in Mathematik nicht nur für Examen so wichtig?

1. Weil es den Horizont erweitert. Das Studium von theoretischem Material in der Mathematik ist für alle nützlich, die Antworten auf eine Vielzahl von Fragen zur Welterkenntnis erhalten möchten. Alles in der Natur ist geordnet und hat eine klare Logik. Genau das spiegelt sich in der Wissenschaft wider, durch die es möglich ist, die Welt zu verstehen.
2. Weil es den Intellekt entwickelt. Durch das Studium von Referenzmaterialien für die Prüfung in Mathematik sowie durch das Lösen verschiedener Probleme lernt eine Person, logisch zu denken und zu argumentieren, Gedanken richtig und klar zu formulieren. Er entwickelt die Fähigkeit zu analysieren, zu verallgemeinern und Schlussfolgerungen zu ziehen.

Wir laden Sie ein, alle Vorteile unseres Ansatzes zur Systematisierung und Präsentation von Unterrichtsmaterialien persönlich zu bewerten.

Das Thema Quadratwurzeln ist im Schullehrplan des Mathematikkurses verpflichtend. Sie können beim Lösen quadratischer Gleichungen nicht darauf verzichten. Und später wird es notwendig, nicht nur die Wurzeln zu extrahieren, sondern auch andere Aktionen mit ihnen durchzuführen. Unter ihnen sind ziemlich komplex: Potenzierung, Multiplikation und Division. Aber es gibt auch ganz einfache: Subtraktion und Addition von Wurzeln. Sie wirken übrigens nur auf den ersten Blick so. Sie fehlerfrei auszuführen, ist für jemanden, der gerade erst damit beginnt, sich damit vertraut zu machen, nicht immer einfach.

Was ist eine mathematische Wurzel?

Diese Aktion entstand im Gegensatz zur Potenzierung. Die Mathematik geht von zwei entgegengesetzten Operationen aus. Es gibt Subtraktion für Addition. Die Multiplikation steht im Gegensatz zur Division. Die umgekehrte Wirkung des Grades ist das Ziehen der entsprechenden Wurzel.

Wenn der Exponent 2 ist, dann ist die Wurzel quadratisch. Es ist die häufigste in der Schulmathematik. Es hat nicht einmal einen Hinweis darauf, dass es quadratisch ist, dh ihm ist nicht die Zahl 2 zugeordnet.Die mathematische Notation dieses Operators (Radikal) ist in der Abbildung gezeigt.

Aus der beschriebenen Aktion folgt ihre Definition nahtlos. Um die Quadratwurzel einer bestimmten Zahl zu ziehen, müssen Sie herausfinden, was der Wurzelausdruck ergibt, wenn er mit sich selbst multipliziert wird. Diese Zahl ist die Quadratwurzel. Wenn wir dies mathematisch schreiben, erhalten wir Folgendes: x * x \u003d x 2 \u003d y, was √y \u003d x bedeutet.

Welche Maßnahmen können mit ihnen ergriffen werden?

Im Kern ist eine Wurzel eine gebrochene Potenz, die eine Einheit im Zähler hat. Und der Nenner kann alles sein. Beispielsweise hat die Quadratwurzel einen Wert von zwei. Daher gelten alle Aktionen, die mit Graden durchgeführt werden können, auch für Wurzeln.

Und sie haben die gleichen Anforderungen für diese Aktionen. Wenn Multiplikation, Division und Potenzierung den Schülern keine Schwierigkeiten bereiten, führt die Addition von Wurzeln sowie deren Subtraktion manchmal zu Verwirrung. Und das alles, weil Sie diese Operationen ausführen möchten, ohne auf das Zeichen der Wurzel zu achten. Und hier beginnen die Fehler.

Welche Regeln gelten für Addition und Subtraktion?

Zuerst müssen Sie sich zwei kategorische "Nein" merken:

• es ist unmöglich, Wurzeln zu addieren und zu subtrahieren, wie bei Primzahlen, dh es ist unmöglich, die Wurzelausdrücke der Summe unter einem Vorzeichen zu schreiben und mathematische Operationen mit ihnen durchzuführen;
• Sie können keine Wurzeln mit unterschiedlichen Exponenten wie quadratisch und kubisch addieren und subtrahieren.

Ein anschauliches Beispiel für das erste Verbot: √6 + √10 ≠ √16, aber √(6 + 10) = √16.

Im zweiten Fall ist es besser, sich darauf zu beschränken, die Wurzeln selbst zu vereinfachen. Und in der Antwort hinterlassen Sie ihre Summe.

Nun zu den Regeln

1. Suchen und gruppieren Sie ähnliche Wurzeln. Das heißt, diejenigen, die nicht nur die gleichen Zahlen unter dem Radikal haben, sondern selbst einen Indikator haben.
2. Führen Sie die Addition der durch die erste Aktion zu einer Gruppe zusammengefassten Wurzeln durch. Es ist einfach zu implementieren, da Sie nur die Werte hinzufügen müssen, die vor den Radikalen stehen.
3. Extrahieren Sie die Wurzeln in den Begriffen, in denen der Wurzelausdruck ein ganzes Quadrat bildet. Mit anderen Worten, lassen Sie nichts unter dem Zeichen des Radikals.
4. Stammausdrücke vereinfachen. Dazu musst du sie in Primfaktoren zerlegen und sehen, ob sie das Quadrat einer beliebigen Zahl ergeben. Es ist klar, dass dies gilt, wenn es um die Quadratwurzel geht. Wenn der Exponent drei oder vier ist, müssen die Primfaktoren die Kubik oder die vierte Potenz der Zahl ergeben.
5. Nehmen Sie unter dem Zeichen des Radikals einen Faktor heraus, der eine ganzzahlige Potenz ergibt.
6. Prüfen Sie, ob ähnliche Begriffe erneut auftauchen. Wenn ja, führen Sie den zweiten Schritt erneut durch.

In einer Situation, in der das Problem nicht den genauen Wert der Wurzel erfordert, kann er auf einem Taschenrechner berechnet werden. Runden Sie den unendlichen Dezimalbruch, der in seinem Fenster angezeigt wird. Meistens geschieht dies bis auf Hundertstel. Führen Sie dann alle Operationen für Dezimalbrüche durch.

Dies sind alle Informationen darüber, wie die Zugabe der Wurzeln durchgeführt wird. Die folgenden Beispiele veranschaulichen das Obige.

Erste Aufgabe

Berechnen Sie den Wert von Ausdrücken:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) Wenn Sie dem obigen Algorithmus folgen, können Sie sehen, dass es in diesem Beispiel nichts für die ersten beiden Aktionen gibt. Aber Sie können einige radikale Ausdrücke vereinfachen.

Faktor 32 beispielsweise in zwei Faktoren 2 und 16; 18 ist gleich dem Produkt aus 9 und 2; 128 ist 2 mal 64. In Anbetracht dessen wird der Ausdruck wie folgt geschrieben:

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).

Jetzt müssen Sie unter dem Wurzelzeichen die Faktoren herausnehmen, die das Quadrat der Zahl ergeben. Das ist 16=4 2 , 9=3 2 , 64=8 2 . Der Ausdruck hat die Form:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Wir müssen das Schreiben etwas vereinfachen. Dazu werden die Koeffizienten vor den Vorzeichen der Wurzel multipliziert:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

In diesem Ausdruck erwiesen sich alle Begriffe als ähnlich. Daher müssen sie nur gefaltet werden. Die Antwort lautet: 5√2.

b) Wie im vorherigen Beispiel beginnt die Addition von Wurzeln mit ihrer Vereinfachung. Die Wurzelausdrücke 75, 147, 48 und 300 werden durch die folgenden Paare dargestellt: 5 und 25, 3 und 49, 3 und 16, 3 und 100. Jeder von ihnen hat eine Zahl, die unter dem Wurzelzeichen herausgenommen werden kann :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

Nach Vereinfachung lautet die Antwort: 5√5 - 5√3. Es kann in dieser Form belassen werden, aber es ist besser, den gemeinsamen Faktor 5 aus der Klammer zu nehmen: 5 (√5 - √3).

c) Und wieder Faktorisierung: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Nach Herausfaktorisieren des Wurzelzeichens haben wir:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Nach Reduktion ähnlicher Terme erhalten wir das Ergebnis: 7√11.

Bruchbeispiel

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Die folgenden Zahlen müssen faktorisiert werden: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Ähnlich wie bei den bereits betrachteten müssen Sie die Faktoren unter der Wurzel entfernen unterschreibe und vereinfache den Ausdruck:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Dieser Ausdruck erfordert, dass die Irrationalität im Nenner beseitigt wird. Multiplizieren Sie dazu den zweiten Term mit √2/√2:

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

Um die Aktion abzuschließen, müssen Sie den ganzzahligen Teil der Faktoren vor den Wurzeln auswählen. Der erste ist 1, der zweite ist 2.

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Die Quadratwurzel der Zahl x ist die Zahl a, die mit sich selbst multipliziert die Zahl x ergibt: a * a = a^2 = x, ?x = a. Wie bei allen Zahlen ist es erlaubt, die Rechenoperationen Addition und Subtraktion über Quadratwurzeln durchzuführen.

Anweisung

1. Versuchen Sie zuerst, beim Hinzufügen von Quadratwurzeln, diese Wurzeln zu extrahieren. Dies gilt, wenn die Zahlen unter dem Wurzelzeichen Quadrate sind. Nehmen wir an, der Ausdruck?4 +?9 ist gegeben. Die erste Zahl 4 ist das Quadrat der Zahl 2. Die zweite Zahl 9 ist das Quadrat der Zahl 3. Es ergibt sich also: ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5.

2. Wenn sich unter dem Wurzelzeichen keine vollen Quadrate befinden, versuchen Sie, den Multiplikator der Zahl unter dem Wurzelzeichen zu übertragen. Nehmen wir an, es sei der Ausdruck ?24 + ?54 gegeben. Zerlege die Zahlen: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. In der Zahl 24 steckt ein Faktor 4, der aus dem Wurzelzeichen übertragen werden kann. Die Zahl 54 hat einen Faktor von 9. Daraus ergibt sich: ?24 + ?54 = ?(4 * 6) + ?(9 * 6) = 2 * ?6 + 3 * ?6 = 5 * ?6 . In diesem Beispiel hat sich durch das Entfernen des Faktors aus dem Wurzelzeichen herausgestellt, dass der gegebene Ausdruck vereinfacht wird.

3. Die Summe von 2 Quadratwurzeln sei der Nenner eines Bruchs, sagen wir A / (?a + ?b). Und selbst wenn Sie vor der Aufgabe stehen, „die Irrationalität im Nenner loszuwerden“. Dann können Sie die nächste Methode verwenden. Multiplizieren Sie Zähler und Nenner des Bruchs mit dem Ausdruck ?a - ?b. So erhalten Sie im Nenner die Formel für die abgekürzte Multiplikation: (?a + ?b) * (?a - ?b) \u003d a - b. Analog dazu, wenn die Differenz der Wurzeln im Nenner angegeben ist: ?a - ?b, dann müssen Zähler und Nenner des Bruchs mit dem Ausdruck ?a + ?b multipliziert werden. Sagen wir zum Beispiel 4 / (?3 + ?5) = 4 * (?3 - ?5) / ((?3 + ?5) * (?3 - ?5)) = 4 * (?3 - ?5)) 5) / (-2) = 2 * (?5 - ?3).

4. Betrachten Sie ein schwierigeres Beispiel, um die Irrationalität im Nenner loszuwerden. Gegeben sei der Bruch 12 / (?2 +?3 +?5). Sie müssen den Zähler und den Nenner des Bruchs mit dem Ausdruck multiplizieren? 2 + ?3 - ?5:12 / (? 2 + ? + ?5) * (?2 + ?3 - ?5)) = 12 * ( ?2 + ?3 - ?5) / (2 * ?6) = ?6 * (?2 + ?3 - ?5) = 2 * ?3 + 3 * ?2 - ?30.

5. Und schließlich, wenn Sie nur einen ungefähren Wert benötigen, dann können Sie die Quadratwurzeln auf dem Taschenrechner berechnen. Berechnen Sie die Werte separat für die ganze Zahl und schreiben Sie sie mit der erforderlichen Genauigkeit (z. B. zwei Dezimalstellen) auf. Und führen Sie dann die erforderlichen Rechenoperationen durch, wie bei gewöhnlichen Zahlen. Angenommen, Sie müssen den ungefähren Wert des Ausdrucks 7 + 5 ? 2,65 + 2,24 = 4,89.

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Beachten Sie!
In keinem Fall können Quadratwurzeln als primitive Zahlen addiert werden, d.h. ?3 + ?2? ?5!!!

Hilfreicher Rat
Wenn Sie die Zahl ausklammern, um das Quadrat unter dem Wurzelzeichen wegzubewegen, dann machen Sie die umgekehrte Prüfung - multiplizieren Sie alle resultierenden Faktoren und erhalten Sie die ursprüngliche Zahl.