Theoretisches Minimum

Kurven- und Flächenintegrale kommen in der Physik häufig vor. Es gibt sie in zwei Varianten, von denen die erste hier besprochen wird. Das
Die Art der Integrale wird nach dem allgemeinen Schema konstruiert, nach dem bestimmte, doppelte und dreifache Integrale eingeführt werden. Erinnern wir uns kurz an dieses Schema.
Es gibt ein Objekt, über das integriert wird (eindimensional, zweidimensional oder dreidimensional). Dieses Objekt ist in kleine Teile zerbrochen,
in jedem der Teile wird ein Punkt ausgewählt. An jedem dieser Punkte wird der Wert des Integranden berechnet und mit dem Maß des Anteils multipliziert
der gegebene Punkt gehört (die Länge des Segments, die Fläche oder das Volumen der Teilfläche). Dann werden alle diese Produkte summiert und die Grenze
Übergang zur Aufteilung eines Objekts in unendlich kleine Teile. Der resultierende Grenzwert wird als Integral bezeichnet.

1. Definition eines krummlinigen Integrals erster Art

Stellen Sie sich eine auf einer Kurve definierte Funktion vor. Die Kurve wird als korrigierbar angenommen. Erinnern Sie sich, was das grob gesagt bedeutet,
dass ein Polygonzug mit beliebig kleinen Gliedern in eine Kurve eingeschrieben werden kann und im Grenzfall unendlich vieler Glieder die Länge des Polygonzugs erhalten bleiben muss
Finale. Die Kurve wird in Teilbögen der Länge unterteilt und auf jedem der Bögen wird ein Punkt ausgewählt. Die Arbeit wird zusammengestellt
Summierung über alle Teilbögen . Dann erfolgt der Durchgang zum Limit mit der Tendenz der größten Länge
von Teilbögen auf Null. Der Grenzwert ist ein krummliniges Integral erster Art
.
Ein wichtiges Merkmal dieses Integrals, das sich direkt aus seiner Definition ergibt, ist die Unabhängigkeit von der Integrationsrichtung, d.h.
.

2. Definition eines Flächenintegrals erster Art

Stellen Sie sich eine Funktion vor, die auf einer glatten oder stückweise glatten Oberfläche definiert ist. Die Oberfläche wird in Teilbereiche zerlegt
Bei Bereichen wird in jedem dieser Bereiche ein Punkt ausgewählt. Eine Arbeit wird erstellt , die Summe
über alle Teilbereiche . Dann erfolgt der Durchgang zum Anschlag mit der Tendenz des Durchmessers des größten aller Teiltöne
Bereiche auf Null. Der Grenzwert ist ein Flächenintegral erster Art
.

3. Berechnung eines krummlinigen Integrals erster Art

Die Methode zur Berechnung des krummlinigen Integrals erster Art ist bereits aus ihrer formalen Schreibweise ersichtlich, folgt aber tatsächlich direkt aus
Definitionen. Das Integral wird auf ein bestimmtes reduziert, es muss nur das Differential des Bogens der Kurve notiert werden, entlang der die Integration durchgeführt wird.
Beginnen wir mit einem einfachen Fall der Integration entlang einer ebenen Kurve, die durch eine explizite Gleichung gegeben ist. In diesem Fall das Lichtbogendifferential
.
Dann wird im Integranden die Variable geändert und das Integral nimmt die Form an
,
wobei das Segment der Änderung der Variablen entlang desjenigen Teils der Kurve entspricht, über den die Integration durchgeführt wird.

Sehr oft wird die Kurve parametrisch eingestellt, d.h. Gleichungen eingeben. Dann das Bogendifferential
.
Diese Formel ist sehr einfach zu rechtfertigen. Im Grunde ist es der Satz des Pythagoras. Das Bogendifferential ist eigentlich die Länge eines infinitesimalen Teils der Kurve.
Wenn die Kurve glatt ist, kann ihr infinitesimaler Teil als geradlinig betrachtet werden. Für eine gerade Linie ist die Beziehung
.
Damit es für einen kleinen Bogen der Kurve durchgeführt werden kann, sollte man von endlichen Inkrementen zu Differentialen übergehen:
.
Wenn die Kurve parametrisch gegeben ist, werden die Differenzen einfach berechnet:
usw.
Dementsprechend wird nach Änderung der Variablen im Integranden das krummlinige Integral wie folgt berechnet:
,
wobei der Teil der Kurve, entlang dem die Integration durchgeführt wird, dem Abschnitt der Änderung des Parameters entspricht.

Etwas komplizierter wird es, wenn die Kurve in krummlinigen Koordinaten angegeben wird. Diese Frage wird üblicherweise im Rahmen des Differentials diskutiert
Geometrie. Geben wir eine Formel zur Berechnung des Integrals entlang der Kurve an, die in Polarkoordinaten durch die Gleichung angegeben ist:
.
Lassen Sie uns auch eine Begründung für das Bogendifferential in Polarkoordinaten geben. Ausführliche Diskussion der Rasterung des Polarkoordinatensystems
cm. . Wählen wir einen kleinen Bogen der Kurve, der sich in Bezug auf die Koordinatenlinien befindet, wie in Abb. 1. Aufgrund der Kleinheit aller
Bögen wieder, können Sie den Satz des Pythagoras anwenden und schreiben:
.
Daraus folgt der gesuchte Ausdruck für das Differential des Bogens.

Aus rein theoretischer Sicht ist es recht einfach zu verstehen, dass das krummlinige Integral erster Art auf seinen Spezialfall reduziert werden muss -
ein bestimmtes Integral. In der Tat, indem wir eine Änderung vornehmen, die durch die Parametrisierung der Kurve vorgegeben ist, entlang der das Integral berechnet wird, stellen wir fest
Eins-zu-Eins-Zuordnung zwischen einem Teil einer gegebenen Kurve und einem Segment einer Parameteränderung . Und das ist die Reduktion auf das Integral
entlang einer geraden Linie, die mit der Koordinatenachse zusammenfällt - ein bestimmtes Integral.

4. Berechnung des Oberflächenintegrals erster Art

Nach dem vorherigen Punkt sollte klar sein, dass einer der Hauptteile der Berechnung eines Oberflächenintegrals der ersten Art das Schreiben eines Oberflächenelements ist,
über die die Integration durchgeführt wird. Beginnen wir wieder mit dem einfachen Fall einer Fläche, die durch eine explizite Gleichung gegeben ist. Dann
.
Der Integrand wird verändert und das Flächenintegral auf das Doppelintegral reduziert:
,
wo ist der Bereich der Ebene, in den ein Teil der Oberfläche projiziert wird, über die integriert wird.

Allerdings ist es oft unmöglich, eine Fläche durch eine explizite Gleichung zu spezifizieren, und dann wird sie parametrisch spezifiziert, d. h. Gleichungen der Form
.
Das Flächenelement wird in diesem Fall komplizierter geschrieben:
.
Das Oberflächenintegral schreibt man entsprechend:
,
wobei der Parameterbereich ist, der dem Teil der Oberfläche entspricht, über den die Integration durchgeführt wird.

5. Die physikalische Bedeutung der Kurven- und Flächenintegrale erster Art

Die besprochenen Integrale haben eine sehr einfache und klare physikalische Bedeutung. Lassen Sie es eine Kurve geben, deren lineare Dichte nicht ist
konstant und ist eine Funktion des Punktes . Finden wir die Masse dieser Kurve. Brechen wir die Kurve in viele kleine Elemente auf,
innerhalb dessen seine Dichte ungefähr als konstant angesehen werden kann. Wenn die Länge eines kleinen Stücks der Kurve ist, dann seine Masse
, wo ein beliebiger Punkt des ausgewählten Teils der Kurve ist (jeder, da die Dichte innerhalb liegt
dieses Stücks wird als ungefähr konstant angenommen). Dementsprechend ergibt sich die Masse der gesamten Kurve aus der Summe der Massen ihrer einzelnen Teile:
.
Damit die Gleichheit exakt wird, sollte man bis zur Grenze der Zerlegung der Kurve in unendlich kleine Teile gehen, aber dies ist das krummlinige Integral erster Art.

Ebenso ist die Frage nach der Gesamtladung der Kurve gelöst, wenn die lineare Ladungsdichte bekannt ist .

Diese Überlegungen lassen sich leicht auf den Fall einer ungleichmäßig geladenen Oberfläche mit einer Oberflächenladungsdichte übertragen . Dann
die Oberflächenladung ist ein Oberflächenintegral erster Art
.

Anmerkung . Eine umständliche Formel für ein parametrisch gegebenes Flächenelement ist für das Auswendiglernen unpraktisch. Ein anderer Ausdruck wird in der Differentialgeometrie erhalten,
es verwendet die sog. die erste quadratische Form der Fläche.

Beispiele zur Berechnung krummliniger Integrale erster Art

Beispiel 1 Integral entlang einer Linie.
Integral berechnen

entlang der Strecke, die durch die Punkte und verläuft.

Zuerst schreiben wir die Gleichung der Geraden, entlang der die Integration durchgeführt wird: . Suchen wir einen Ausdruck für:
.
Wir berechnen das Integral:

Beispiel 2 Integral entlang einer Kurve in der Ebene.
Integral berechnen

entlang eines Parabelbogens von Punkt zu Punkt.

Die gegebenen Punkte und erlauben es uns, die Variable aus der Parabelgleichung auszudrücken: .

Wir berechnen das Integral:
.

Es war jedoch möglich, Berechnungen auf andere Weise durchzuführen, indem die Tatsache verwendet wurde, dass die Kurve durch eine Gleichung gegeben ist, die bezüglich der Variablen gelöst wird.
Wenn wir eine Variable als Parameter nehmen, dann führt dies zu einer geringfügigen Änderung des Ausdrucks für das Bogendifferential:
.
Dementsprechend ändert sich das Integral etwas:
.
Dieses Integral lässt sich leicht berechnen, indem man die Variable unter das Differential subsumiert. Das Ergebnis ist das gleiche Integral wie bei der ersten Berechnungsmethode.

Beispiel 3 Integral entlang einer Kurve in der Ebene (mit Parametrisierung).
Integral berechnen

entlang der oberen Hälfte des Umfangs .

Sie können natürlich eine der Variablen aus der Kreisgleichung ausdrücken und dann die restlichen Berechnungen auf die übliche Weise durchführen. Kann man aber auch verwenden
Parametrische Kurvendefinition. Wie Sie wissen, kann ein Kreis durch Gleichungen definiert werden. Oberer Halbkreis
entspricht dem Ändern des Parameters innerhalb von . Berechnen Sie die Lichtbogendifferenz:
.
Auf diese Weise,

Beispiel 4 Integral entlang einer Kurve in einer Ebene in Polarkoordinaten.
Integral berechnen

entlang des rechten Lemniskatenlappens .

Die Zeichnung oben zeigt eine Lemniskate. Die Integration sollte entlang seines rechten Lappens durchgeführt werden. Lassen Sie uns das Bogendifferential für die Kurve finden :
.
Der nächste Schritt besteht darin, die Integrationsgrenzen über den Polarwinkel zu bestimmen. Es ist klar, dass die Ungleichheit gelten muss, und daher
.
Wir berechnen das Integral:

Beispiel 5 Integral entlang einer Kurve im Raum.
Integral berechnen

entlang der Windung der Helix, die den Grenzen der Parameteränderung entspricht

Das Problem der Masse der Kurve. An jedem Punkt einer stückweise glatten Materialkurve L: (AB) sei ihre Dichte angegeben. Bestimmen Sie die Masse der Kurve.

Dabei gehen wir genauso vor wie bei der Bestimmung der Masse eines ebenen Bereichs (Doppelintegral) und eines Raumkörpers (Dreifachintegral).

1. Organisieren Sie die Aufteilung des Bereichsbogens L in Elemente - Elementarbögen so dass diese Elemente keine gemeinsamen Innenpunkte haben und
(Zustand A )

2. Wir markieren auf den Elementen der Partition „markierte Punkte“ M i und berechnen die Werte der Funktion in ihnen

3. Bilden Sie die Integralsumme
, wo - Bogenlänge (normalerweise werden die gleichen Bezeichnungen für den Bogen und seine Länge eingeführt). Dies ist ein ungefährer Wert für die Masse der Kurve. Die Vereinfachung besteht darin, dass wir angenommen haben, dass die Lichtbogendichte auf jedem Element konstant ist, und eine endliche Anzahl von Elementen angenommen haben.

Überschreiten der Grenze unter der Bedingung
(Zustand B ) erhalten wir ein krummliniges Integral erster Art als Grenzwert von Integralsummen:

.

Existenzsatz 10 .

Lassen Sie die Funktion
ist kontinuierlich auf einem stückweise glatten Bogen L 11 . Dann existiert das krummlinige Integral erster Art als Grenzwert von Integralsummen.

Kommentar. Diese Grenze ist nicht abhängig

Methode zur Auswahl einer Partition, solange Bedingung A

Auswahl von "markierten Punkten" auf den Trennwandelementen,

Methode zum Verfeinern der Partition, solange Bedingung B erfüllt ist

Eigenschaften eines krummlinigen Integrals erster Art.

1. Linearität a) Superpositionseigenschaft

b) Homogenitätseigenschaft
.

Nachweisen. Schreiben wir die Integralsummen für die Integrale auf der linken Seite der Gleichungen auf. Da die Anzahl der Terme in der Integralsumme endlich ist, gehen wir zu den Integralsummen für die rechten Seiten der Gleichheiten über. Dann gehen wir zum Grenzwert über, nach dem Satz über den Übergang zum Grenzwert in Gleichheit erhalten wir das gewünschte Ergebnis.

2. Additivität. Wenn ein
, dann
=
+

Nachweisen. Wir wählen eine Partition des Definitionsbereichs L so, dass keines der Elemente der Partition (zu Beginn und bei der Verfeinerung der Partition) gleichzeitig sowohl die Elemente L 1 als auch die Elemente L 2 enthält. Dies kann durch den Existenzsatz (Bemerkung zum Satz) erfolgen. Weiterhin wird der Beweis in Form von ganzen Summen geführt, wie in Abschnitt 1.

3.
.Hier - Bogenlänge .

4. Wenn auf einem Bogen die Ungleichung ist dann erfüllt

Nachweisen. Schreiben wir die Ungleichung für die ganzzahligen Summen auf und gehen wir zum Grenzwert über.

Beachten Sie, dass dies insbesondere möglich ist

5. Schätzsatz.

Wenn es Konstanten gibt
, etwas

Nachweisen. Ungleichheit integrieren
(Eigenschaft 4), bekommen wir
. Nach Eigenschaft 1 Konstanten
kann unter den Integralen entnommen werden. Mit Eigenschaft 3 erhalten wir das gewünschte Ergebnis.

6. Mittlerer Satz(der Wert des Integrals).

Es gibt einen Punkt
, was

Nachweisen. Da die Funktion
auf einer abgeschlossenen beschränkten Menge stetig ist , dann existiert sein Infimum
und Oberkante
. Die Ungleichung ist erfüllt. Teilen wir beide Teile durch L, erhalten wir
. Aber die Nummer
eingeschlossen zwischen der unteren und oberen Grenze der Funktion. Da die Funktion
auf einer abgeschlossenen beschränkten Menge L stetig ist, dann irgendwann
die Funktion muss diesen Wert annehmen. Somit,
.

Eine durch parametrische Gleichungen gegebene Kurve AB heißt glatt, wenn die Funktionen und stetige Ableitungen auf der Strecke haben und außerdem, wenn diese Ableitungen an endlich vielen Punkten auf der Strecke nicht existieren oder gleichzeitig verschwinden, dann heißt die Kurve stückweise glatt . Sei AB eine ebene Kurve, glatt oder stückweise glatt. Sei f(M) eine Funktion, die auf einer Kurve AB oder in einem Bereich D definiert ist, der diese Kurve enthält. Betrachten wir die Aufspaltung der Kurve A B in Teile durch Punkte (Abb. 1). Wir wählen einen beliebigen Punkt Mk auf jedem der Bögen A^At+i und bilden die Summe, wobei Alt die Länge des Bogens ist, und nennen sie die Integralsumme für die Funktion f(M) über die Länge des Bogens der Kurve . Sei D / die größte der Längen von Teilbögen, d.h. Eigenschaften krummliniger Integrale 1. Art für Raumkurven krummlinige Integrale 2. Art Berechnung eines krummlinigen Integrals Wenn für , die Integralsumme (I) eine endliche Grenze hat, die weder von der Methode der Teilung der Kurve AB in Teile noch von der Wahl der Punkte auf jedem der Bögen der Teilung abhängt, dann wird diese Grenze genannt ein krummliniges Integral der \-ten Art der Funktion f (M) entlang der Kurve AB (Integral über die Länge des Bogens der Kurve) und wird mit dem Symbol bezeichnet. In diesem Fall wird die Funktion / (M) aufgerufen integrierbar entlang der Kurve ABU, die Kurve AB heißt Integrationskontur, A - der Anfang, B - die Endpunkte der Integration. Also per Definition Beispiel 1. Eine Masse mit variabler linearer Dichte J(M) sei entlang einer glatten Kurve L verteilt. Finden Sie die Masse m der Kurve L. (2) Lassen Sie uns die Kurve L in n beliebige Teile teilen) und ungefähr die Masse jedes Teils berechnen, wobei wir annehmen, dass die Dichte auf jedem der Teile konstant und gleich der Dichte an einigen Stellen ist seiner Punkte, zum Beispiel am äußersten linken Punkt /(Af*). Dann ist die Summe ksho, wobei D/d die Länge des Dz-ten Teils ist, ein ungefährer Wert der Masse m. Es ist klar, dass der Fehler umso kleiner ist, je feiner die Teilung der Kurve L ist Grenze, da wir den genauen Wert der Masse der gesamten Kurve L erhalten, d.h. Aber der Grenzwert rechts ist ein krummliniges Integral erster Art. Also 1.1. Existenz eines krummlinigen Integrals 1. Art Nehmen wir die Bogenlänge I als Parameter auf der Kurve AB, gezählt vom Startpunkt A (Abb. 2). Dann kann die Kurve AB durch die Gleichungen (3) beschrieben werden, wobei L die Länge der Kurve AB ist. Gleichungen (3) heißen natürliche Gleichungen der Kurve AB. Beim Übergang zu natürlichen Gleichungen wird die auf der Kurve AB gegebene Funktion f(x) y) auf eine Funktion der Variablen I reduziert: / (x(1)) y(1)). Wenn wir den Wert des Parameters I bezeichnen, der dem Punkt Mku entspricht, schreiben wir die Integralsumme (I) in die Form um Also (5) Satz 1. Wenn die Funktion f(M) entlang einer glatten Kurve AB stetig ist, dann existiert ein krummliniges Integral (weil unter diesen Bedingungen ein bestimmtes Integral rechts in Gleichheit (5) existiert). 1.2. Eigenschaften krummliniger Integrale 1. Art 1. Aus der Form der Integralsumme (1) folgt, dass d.h. der Wert eines krummlinigen Integrals erster Art hängt nicht von der Integrationsrichtung ab. 2. Linearität. Wenn für jede der Funktionen /() ein krummliniges Integral entlang der Kurve ABt existiert, dann existiert für die Funktion a/, wobei a und /3 beliebige Konstanten sind, auch ein krummliniges Integral entlang der Kurve AB> und 3. Additivität . Wenn die Kurve AB aus zwei Teilen besteht und es für die Funktion /(M) ein krummliniges Integral über ABU gibt, dann gibt es Integrale und 4. Wenn 0 auf der Kurve AB, dann 5. Wenn die Funktion auf der Kurve AB integrierbar ist , dann die Funktion || ist auch auf A B integrierbar, und außerdem b. Mittelwertformel. Wenn die Funktion / entlang der Kurve AB stetig ist, dann gibt es auf dieser Kurve einen Punkt Mc, so dass wobei L die Länge der Kurve AB ist. 1.3. Berechnung eines krummlinigen Integrals 1. Art Die Kurve AB sei durch parametrische Gleichungen gegeben, wobei Punkt A dem Wert t = to und Punkt B dem Wert entspricht. Wir nehmen an, dass die Funktionen) zusammen mit ihren Ableitungen stetig sind und die Ungleichung gilt. Dann wird das Differential des Bogens der Kurve nach der Formel B berechnet - der Wert von x = 6, dann nehmen wir x als Parameter bekomme 1,4. Krummlinige Integrale 1. Art für räumliche Kurven Die oben formulierte Definition eines krummlinigen Integrals 1. Art für eine ebene Kurve lässt sich wörtlich auf den Fall übertragen, dass die Funktion f(M) entlang einer räumlichen Kurve AB gegeben ist. Die Kurve AB sei gegeben durch parametrische Gleichungen Eigenschaften krummliniger Integrale 1. Art für Raumkurven krummlinige Integrale 2. Art Integral wobei L die Kontur eines Dreiecks mit Eckpunkten an einem Punkt * ist (Abb. 3). Durch die Eigenschaft der Additivität haben wir Lassen Sie uns jedes der Integrale separat berechnen. Da wir auf dem Segment OA haben: , dann haben wir auf dem Segment AH, woher und dann Abb. Abschließend daher Bemerkung. Bei der Berechnung der Integrale haben wir die Eigenschaft 1 verwendet, nach der. Krummlineare Integrale der zweiten Art Sei AB eine glatte oder stückweise glatt orientierte Kurve auf der xOy-Ebene und sei eine Vektorfunktion, die in einem Bereich D definiert ist, der die Kurve AB enthält. Wir teilen die Kurve AB in Teile durch Punkte, deren Koordinaten wir jeweils mit bezeichnen (Abb. 4). Auf jedem der Elementarbögen AkAk+\ nehmen wir einen beliebigen Punkt und bilden die Summe D/ sei die Länge des größten Bogens Definition. Wenn für die Summe (1) eine endliche Grenze hat, die nicht von der Methode der Teilung der Kurve AB oder von der Wahl der Punkte rjk) auf Elementarbögen abhängt, dann heißt diese Grenze das krummlinige Integral der 2-Stadt der Vektorfunktion über der Kurve AB und wird nach Definition Satz 2 mit dem Symbol So bezeichnet. Wenn die Funktionen in einem Bereich D stetig sind, der die Kurve AB enthält, dann existiert das krummlinige Integral der 2-Stadt. Sei der Radiusvektor des Punktes M(x, y). Dann kann der Integrand in Formel (2) auch als Skalarprodukt der Vektoren F(M) und dr dargestellt werden. Das Integral der 2. Art einer Vektorfunktion entlang der Kurve AB lässt sich also kurz wie folgt schreiben: 2.1. Berechnung eines krummlinigen Integrals 2. Art Die Kurve AB sei durch parametrische Gleichungen gegeben, wobei die Funktionen zusammen mit den Ableitungen auf der Strecke stetig sind und eine Änderung des Parameters t von t0 nach t \ der Bewegung von a entspricht Punkt entlang der Kurve AB von Punkt A nach Punkt B. Wenn in einem Bereich D, der die Kurve AB enthält, die Funktionen stetig sind, dann reduziert sich das krummlinige Integral 2. Art auf das folgende bestimmte Integral: Somit ist die Berechnung der Auch krummlinige Integrale 2. Art lassen sich auf die Berechnung eines bestimmten Integrals zurückführen. O) Beispiel 1. Berechnen Sie das Integral entlang eines geraden Liniensegments, das die Punkte verbindet 2) entlang einer Parabel, die dieselben dünnen Linien verbindet) Gleichung des Linienparameters, woher So 2) Gleichung der Linie AB: Daher daher Das betrachtete Beispiel salbt das der Wert des krummlinigen Integrals 2. Art hängt im Allgemeinen von der Form des Integrationspfades ab. 2.2. Eigenschaften eines krummlinigen Integrals a zweiter Art 1. Linearität. Wenn es Eigenschaften von krummlinigen Integralen 1. Art für räumliche Kurven gibt krummlinige Integrale 2. Art Berechnung eines krummlinigen Integrals Eigenschaften Zusammenhang zwischen dann für jedes reelle a und /5 gibt es ein Integral mit 2. Additenost. Wenn die Kurve AB in die Teile AC und SB geteilt wird und das krummlinige Integral existiert, dann existieren auch die Integrale. ändert das Vorzeichen ins Gegenteil. 2.3. Zusammenhang zwischen krummlinigen Integralen 1. und 2. Art Betrachten Sie ein krummliniges Integral 2. Art, das der Kurve AB orientiert ist (Abb. 6). Dann ist dr oder wobei r = m(1) der Einheitsvektor der Tangente an die Kurve AB im Punkt M(1) ist. Beachten Sie, dass das letzte Integral in dieser Formel ein krummliniges Integral der ersten Art ist. Wenn sich die Orientierung der Kurve AB ändert, wird der Einheitsvektor der Tangente r durch den entgegengesetzten Vektor (-r) ersetzt, was eine Änderung des Vorzeichens seines Integranden und damit des Integrals selbst zur Folge hat.

Vorlesung 5 Krummlineare Integrale 1. und 2. Art, ihre Eigenschaften ..

Das Problem der Masse der Kurve. Krummlineares Integral 1. Art.

Das Problem der Masse der Kurve. An jedem Punkt der stückweise glatten Materialkurve L: (AB) sei seine Dichte angegeben. Bestimmen Sie die Masse der Kurve.

Dabei gehen wir genauso vor wie bei der Bestimmung der Masse eines ebenen Bereichs (Doppelintegral) und eines Raumkörpers (Dreifachintegral).

1. Organisieren Sie die Aufteilung des Bogenbereichs L in Elemente - elementare Bögen, so dass diese Elemente keine gemeinsamen inneren Punkte haben und ( Zustand A )

3. Konstruieren wir die Integralsumme , wobei die Länge des Bogens ist (normalerweise werden für den Bogen und seine Länge die gleichen Bezeichnungen eingeführt). Dies ist ein ungefährer Wert für die Masse der Kurve. Die Vereinfachung besteht darin, dass wir angenommen haben, dass die Lichtbogendichte auf jedem Element konstant ist, und eine endliche Anzahl von Elementen angenommen haben.

Überschreiten der Grenze unter der Bedingung (Zustand B ) erhalten wir ein krummliniges Integral erster Art als Grenzwert von Integralsummen:

.

Der Existenzsatz.

Die Funktion sei stetig auf einem stückweise glatten Bogen L. Dann existiert ein krummliniges Integral erster Art als Grenzwert von Integralsummen.

Kommentar. Diese Grenze ist nicht abhängig

Eigenschaften eines krummlinigen Integrals erster Art.

1. Linearität
a) Superpositionseigenschaft

b) Homogenitätseigenschaft .

Nachweisen. Schreiben wir die Integralsummen für die Integrale auf der linken Seite der Gleichungen auf. Da die Anzahl der Terme in der Integralsumme endlich ist, gehen wir zu den Integralsummen für die rechten Seiten der Gleichheiten über. Dann gehen wir zum Grenzwert über, nach dem Satz über den Übergang zum Grenzwert in Gleichheit erhalten wir das gewünschte Ergebnis.

2. Additivität.
Wenn ein , dann = +

3. .Hier ist die Länge des Bogens .

4. Wenn die Ungleichung auf dem Bogen erfüllt ist, dann

Nachweisen. Schreiben wir die Ungleichung für die ganzzahligen Summen auf und gehen wir zum Grenzwert über.

Beachten Sie, dass dies insbesondere möglich ist

5. Schätzsatz.

Wenn es solche Konstanten gibt, dann

Nachweisen. Ungleichheit integrieren (Eigenschaft 4), bekommen wir . Durch Eigenschaft 1 können die Konstanten unter den Integralen herausgenommen werden. Mit Eigenschaft 3 erhalten wir das gewünschte Ergebnis.

6. Mittlerer Satz(der Wert des Integrals).

Es gibt einen Punkt , was

Nachweisen. Da die Funktion auf einer abgeschlossenen beschränkten Menge stetig ist, existiert ihr Infimum und Oberkante . Die Ungleichung ist erfüllt. Dividieren wir beide Seiten durch L, erhalten wir . Aber die Nummer eingeschlossen zwischen der unteren und oberen Grenze der Funktion. Da die Funktion auf einer abgeschlossenen beschränkten Menge L stetig ist, muss die Funktion diesen Wert irgendwann annehmen. Somit, .

Berechnung eines krummlinigen Integrals erster Art.

Wir parametrisieren den Bogen L: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). t 0 entspreche Punkt A und t 1 entspreche Punkt B. Dann reduziert sich das krummlinige Integral erster Art auf ein bestimmtes Integral ( - die aus dem 1. Semester bekannte Formel zur Berechnung des Differentials der Bogenlänge):

Beispiel. Berechnen Sie die Masse einer Windung einer homogenen (Dichte gleich k) Helix: .

Krummlineares Integral 2. Art.

Das Problem der Kraftarbeit.

Wie viel Arbeit leistet die Kraft?F(M) beim Verschieben des PunktesMin einem BogenAB? Wenn der Bogen AB ein gerades Liniensegment wäre und die Kraft in Größe und Richtung konstant wäre, wenn sich der Punkt M entlang des Bogens AB bewegt, dann könnte die Arbeit nach der Formel berechnet werden, wobei der Winkel zwischen den Vektoren ist. Im allgemeinen Fall kann mit dieser Formel eine Integralsumme gebildet werden, vorausgesetzt, dass die Kraft auf einem Bogenelement ausreichend kleiner Länge konstant ist. Anstelle der Länge eines kleinen Elements des Bogens können Sie die Länge des darunter liegenden Akkords nehmen, da diese Größen unter der Bedingung (erstes Semester) äquivalente infinitesimale Größen sind.

1. Organisieren Sie die Aufteilung des Bereichsbogens AB in Elemente - elementare Bögen, so dass diese Elemente keine gemeinsamen inneren Punkte haben und ( Zustand A )

2. Wir markieren auf den Elementen der Partition „markierte Punkte“ M i und berechnen die Werte der Funktion in ihnen

3. Bilden Sie die Integralsumme , wo der Vektor ist, der entlang der Sehne gerichtet ist, die den -arc überspannt.

4. Überschreiten der Grenze unter der Bedingung (Zustand B ) erhalten wir als Grenzwert der Integralsummen (und der Kraftarbeit) ein krummliniges Integral zweiter Art:

. Oft erwähnt

Der Existenzsatz.

Die Vektorfunktion sei stetig auf einem stückweise glatten Bogen L. Dann existiert ein krummliniges Integral zweiter Art als Grenzwert von Integralsummen.

.

Kommentar. Diese Grenze ist nicht abhängig

Ein Verfahren zur Auswahl einer Partition, solange Bedingung A erfüllt ist

Auswahl von "markierten Punkten" auf den Trennwandelementen,

Ein Verfahren zum Verfeinern der Partition, solange Bedingung B erfüllt ist

Eigenschaften eines krummlinigen Integrals 2. Art.

1. Linearität
a) Superpositionseigenschaft

b) Homogenitätseigenschaft .

Nachweisen. Schreiben wir die Integralsummen für die Integrale auf der linken Seite der Gleichungen auf. Da die Anzahl der Terme in der Integralsumme endlich ist, gehen wir unter Verwendung der Eigenschaft des Skalarprodukts zu den Integralsummen für die rechten Seiten der Gleichheiten über. Dann gehen wir zum Grenzwert über, nach dem Satz über den Übergang zum Grenzwert in Gleichheit erhalten wir das gewünschte Ergebnis.

2. Additivität.
Wenn ein , dann = + .

Nachweisen. Wählen wir eine Aufteilung des Definitionsbereichs L so, dass keines der Elemente der Aufteilung (anfänglich und wenn die Aufteilung verfeinert wird) gleichzeitig sowohl die Elemente L 1 als auch die Elemente L 2 enthält. Dies kann durch den Existenzsatz (Bemerkung zum Satz) erfolgen. Weiterhin wird der Beweis in Form von ganzen Summen geführt, wie in Abschnitt 1.

3. Orientierbarkeit.

= -

Nachweisen. Das Bogenintegral –L, d.h. In der negativen Richtung der Umgehung des Bogens gibt es eine Grenze von Integralsummen, in deren Begriffen stattdessen () steht. Zieht man das „Minus“ aus dem Skalarprodukt und aus der Summe einer endlichen Anzahl von Termen heraus, erhält man das gewünschte Ergebnis.

Für den Fall, dass der Integrationsbereich ein Segment einer Kurve ist, die in einer Ebene liegt. Die allgemeine Notation des krummlinigen Integrals lautet wie folgt:

wo f(x, j) ist eine Funktion von zwei Variablen, und L- Kurve, nach Segment AB wo die Integration stattfindet. Wenn der Integrand gleich eins ist, dann ist das krummlinige Integral gleich der Länge des Bogens AB .

Wie immer in der Integralrechnung versteht man unter dem krummlinigen Integral den Grenzwert der Integralsummen einiger sehr kleiner Teile von etwas sehr Großem. Was wird bei krummlinigen Integralen zusammengefasst?

Es gebe ein Segment in der Ebene AB irgendeine Kurve L, und die Funktion zweier Variablen f(x, j) an den Punkten der Kurve definiert L. Lassen Sie uns den folgenden Algorithmus mit diesem Segment der Kurve ausführen.

1. Split-Kurve AB auf dem Teil mit Punkten (Abbildungen unten).
2. Wählen Sie in jedem Teil einen Punkt frei aus M.
3. Finden Sie den Wert der Funktion an den ausgewählten Punkten.
4. Funktionswerte multiplizieren mit
   • die Länge der Teile im Fall krummliniges Integral erster Art ;
   • Projektionen von Teilen auf die Koordinatenachse im Gehäuse krummliniges Integral zweiter Art .
5. Finden Sie die Summe aller Produkte.
6. Finden Sie den Grenzwert der gefundenen Integralsumme unter der Bedingung, dass die Länge des längsten Teils der Kurve gegen Null geht.

Wenn diese Grenze existiert, dann diese Grenze der Integralsumme und heißt krummliniges Integral der Funktion f(x, j) entlang der Kurve AB .

erste Art

Krummliniger integraler Fall
zweite Art

Führen wir die folgende Notation ein.

Mich ( ζ ich ; η ich)- ein Punkt mit ausgewählten Koordinaten für jeden Abschnitt.

fich ( ζ ich ; η ich)- Funktionswert f(x, j) am gewählten Punkt.

Δ sich- die Länge eines Teils des Kurvensegments (bei einem krummlinigen Integral erster Art).

Δ xich- Projektion eines Teils des Kurvensegments auf die Achse Ochse(bei einem krummlinigen Integral zweiter Art).

d= maxΔ s ich ist die Länge des längsten Teils des Kurvensegments.

Krummlineare Integrale erster Art

Basierend auf dem Obigen über die Grenze von Integralsummen wird das krummlinige Integral der ersten Art wie folgt geschrieben:

.

Das krummlinige Integral erster Art hat alle Eigenschaften, die bestimmtes Integral. Es gibt jedoch einen wichtigen Unterschied. Bei einem bestimmten Integral ändert sich beim Vertauschen der Integrationsgrenzen das Vorzeichen ins Gegenteil:

Bei einem krummlinigen Integral erster Art ist es egal, welcher der Punkte der Kurve ist AB (EIN oder B) Betrachten Sie den Anfang des Segments und welches Ende

.

Krummlinige Integrale zweiter Art

Das krummlinige Integral 2. Art schreibt man in Anlehnung an das über den Grenzwert von Integralsummen Gesagte wie folgt:

.

Bei einem krummlinigen Integral zweiter Art ändert sich durch Vertauschen von Anfang und Ende eines Kurvensegments das Vorzeichen des Integrals:

.

Bei der Bildung der Integralsumme eines krummlinigen Integrals zweiter Art werden die Werte der Funktion fich ( ζ ich ; η ich) kann auch durch die Projektion der Teile des Kurvensegments auf die Achse multipliziert werden Ey. Dann erhalten wir das Integral

.

In der Praxis wird meist die Vereinigung krummliniger Integrale zweiter Art verwendet, also zweier Funktionen f = P(x, j) und f = Q(x, j) und Integrale

,

und die Summe dieser Integrale

namens allgemeines krummliniges Integral zweiter Art .

Berechnung krummliniger Integrale erster Art

Die Berechnung krummliniger Integrale erster Art wird auf die Berechnung bestimmter Integrale reduziert. Betrachten wir zwei Fälle.

Gegeben sei eine Kurve in der Ebene j = j(x) und ein Kurvensegment AB entspricht dem Ändern der Variablen x aus a Vor b. Dann an den Punkten der Kurve der Integrand f(x, j) = f(x, j(x)) ("y" muss durch "x" ausgedrückt werden) und das Bogendifferential und das krummlinige Integral kann durch die Formel berechnet werden

.

Wenn das Integral leichter zu integrieren ist j, dann muss aus der Gleichung der Kurve ausgedrückt werden x = x(j) ("x" bis "y"), wobei und das Integral durch die Formel berechnet wird

.

Beispiel 1

wo AB- Liniensegment zwischen Punkten EIN(1; −1) und B(2; 1) .

Entscheidung. Stelle die Geradengleichung auf AB, mit der Formel (die Gleichung einer geraden Linie, die durch zwei gegebene Punkte geht EIN(x1 ; j 1 ) und B(x2 ; j 2 ) ):

Aus der Geradengleichung drücken wir aus j durch x :

Damals wie heute können wir das Integral berechnen, da uns nur noch „x“ bleibt:

Gegeben sei eine Kurve im Raum

Dann muss die Funktion an den Punkten der Kurve durch den Parameter ausgedrückt werden t() und das Lichtbogendifferential , so dass das krummlinige Integral durch die Formel berechnet werden kann

Ebenso, wenn eine Kurve in der Ebene gegeben ist

,

dann wird das krummlinige Integral nach der Formel berechnet

.

Beispiel 2 Berechnen Sie das krummlinige Integral

wo L- Teil der Kreislinie

befindet sich im ersten Oktanten.

Entscheidung. Diese Kurve ist ein Viertel der Kreislinie, die in der Ebene liegt z= 3 . Er entspricht den Parameterwerten. Als

dann das Lichtbogendifferential

Lassen Sie uns den Integranden durch den Parameter ausdrücken t :

Jetzt haben wir alles durch einen Parameter ausgedrückt t, können wir die Berechnung dieses krummlinigen Integrals auf ein bestimmtes Integral zurückführen:

Berechnung krummliniger Integrale zweiter Art

Ebenso wie bei krummlinigen Integralen erster Art reduziert sich die Berechnung von Integralen zweiter Art auf die Berechnung bestimmter Integrale.

Die Kurve ist in kartesischen rechtwinkligen Koordinaten angegeben

Eine Kurve in einer Ebene sei gegeben durch die Gleichung der Funktion "y", ausgedrückt durch "x": j = j(x) und der Bogen der Kurve AB entspricht Veränderung x aus a Vor b. Dann setzen wir den Ausdruck „y“ bis „x“ in den Integranden ein und bestimmen das Differential dieses Ausdrucks „y“ nach „x“: . Wenn nun alles durch „x“ ausgedrückt wird, wird das krummlinige Integral zweiter Art als bestimmtes Integral berechnet:

In ähnlicher Weise wird ein krummliniges Integral zweiter Art berechnet, wenn die Kurve durch die Gleichung der Funktion „x“, ausgedrückt durch „y“, gegeben ist: x = x(j) , . In diesem Fall lautet die Formel zur Berechnung des Integrals wie folgt:

Beispiel 3 Berechnen Sie das krummlinige Integral

, Wenn

a) L- gerades Liniensegment OA, wo Ö(0; 0) , EIN(1; −1) ;

b) L- Bogen einer Parabel j = x² ab Ö(0; 0) zu EIN(1; −1) .

a) Berechnen Sie das krummlinige Integral über ein gerades Liniensegment (in der Abbildung blau). Lassen Sie uns die Gleichung einer geraden Linie schreiben und "Y" bis "X" ausdrücken:

.

Wir bekommen dy = dx. Wir lösen dieses krummlinige Integral:

b) wenn L- Bogen einer Parabel j = x² erhalten wir dy = 2xdx. Wir berechnen das Integral:

In dem gerade gelösten Beispiel haben wir in zwei Fällen das gleiche Ergebnis erhalten. Und das ist kein Zufall, sondern das Ergebnis eines Musters, denn dieses Integral erfüllt die Bedingungen des folgenden Satzes.

Satz. Wenn funktioniert P(x,j) , Q(x,j) und ihre partiellen Ableitungen , - kontinuierlich in der Region D Funktionen und an den Punkten dieses Bereichs die partiellen Ableitungen gleich sind, dann hängt das krummlinige Integral nicht vom Integrationsweg entlang der Geraden ab L in der Region angesiedelt D .

Die Kurve wird in parametrischer Form angegeben

Gegeben sei eine Kurve im Raum

.

und in den Integranden setzen wir ein

Ausdrücke dieser Funktionen durch einen Parameter t. Wir erhalten die Formel zur Berechnung des krummlinigen Integrals:

Beispiel 4 Berechnen Sie das krummlinige Integral

,

Wenn L- Teil einer Ellipse

die Bedingung erfüllen j ≥ 0 .

Entscheidung. Diese Kurve ist der Teil der Ellipse, der in der Ebene liegt z= 2 . Er entspricht dem Wert des Parameters.

wir können das krummlinige Integral als bestimmtes Integral darstellen und berechnen:

Gegeben ein krummliniges Integral und L- eine geschlossene Linie, dann wird ein solches Integral als Integral über eine geschlossene Kontur bezeichnet und ist damit einfacher zu berechnen Formel von Green .

Weitere Beispiele zur Berechnung krummliniger Integrale

Beispiel 5 Berechnen Sie das krummlinige Integral

wo L- ein Liniensegment zwischen den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen.

Entscheidung. Bestimmen wir die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenachsen. Einsetzen der Geraden in die Gleichung j= 0 erhalten wir , . Ersetzen x= 0 erhalten wir , . Also der Schnittpunkt mit der Achse Ochse - EIN(2; 0) , mit Achse Ey - B(0; −3) .

Aus der Geradengleichung drücken wir aus j :

.

, .

Jetzt können wir das krummlinige Integral als bestimmtes Integral darstellen und mit der Berechnung beginnen:

Im Integranden wählen wir den Faktor , wir nehmen ihn aus dem Integralzeichen heraus. Im resultierenden Integranden verwenden wir unter das Vorzeichen des Differentials bringen und endlich bekommen wir.