Kursarbeit: Spezielle Eigenschaften der Eulerschen Gammafunktion. Gammastrahlung und ihre Eigenschaften

Gammastrahlen sind elektromagnetische Schwingungen sehr hoher Frequenz, die sich mit Lichtgeschwindigkeit im Raum ausbreiten. Diese Strahlungen werden vom Kern in Form von getrennten Portionen, sogenannten Gamma-Quanten oder Photonen, emittiert.

Die Energie von Gammaquanten liegt im Bereich von 0,05 bis 5 MeV. Gammastrahlung mit einer Energie von weniger als 1 MeV wird bedingt als weiche Strahlung und mit einer Energie von mehr als 1 MeV als harte Strahlung bezeichnet.

Gammastrahlung ist keine eigenständige Strahlungsart. Normalerweise begleitet Gammastrahlung den Beta-Zerfall, seltener den Alpha-Zerfall. Durch das Ausstoßen von Alpha- oder Betateilchen wird der Kern von überschüssiger Energie befreit, kann aber dennoch in einem angeregten Zustand verbleiben. Der Übergang vom angeregten Zustand in den Grundzustand wird von der Emission von Gammastrahlen begleitet, während sich die Zusammensetzung des Kerns nicht ändert.

In der Luft breiten sich Gammastrahlen über große Entfernungen aus, die in Zehner- und Hundertermetern gemessen werden.

Die Durchdringungskraft von Gammastrahlen ist 50- bis 100-mal größer als die Durchdringungskraft von Beta-Teilchen und tausendmal größer als die Durchdringungskraft von Alpha-Teilchen.

Ionisieren Sie das Medium während des Durchgangs von Gammastrahlen: nur mit Sekundärelektronen, die durch die Wechselwirkung von Gammastrahlen mit Materieatomen entstehen. Die Ionisierungsfähigkeit von Gammaquanten wird durch ihre Energie bestimmt. Im Allgemeinen ergibt ein Gamma-Quant so viele Ionenpaare, wie es Beta- oder Alpha-Teilchen derselben Energie gibt. Aufgrund der geringeren Absorption von Gammastrahlen werden die von ihnen gebildeten Ionen jedoch über eine größere Entfernung verteilt. Daher ist die spezifische Ionisierungskraft von Gammastrahlen hundertmal geringer als die spezifische Ionisierungskraft von Beta-Teilchen, tausendmal geringer als die spezifische Ionisierungskraft von Alpha-Teilchen und beträgt mehrere Ionenpaare in der Luft pro 1 cm der Weg.

Fazit. Gammastrahlung hat die höchste Durchdringungskraft im Vergleich zur Durchdringungskraft anderer Arten radioaktiver Strahlung. Gleichzeitig hat Gammastrahlung ein sehr geringes spezifisches Ionisationsvermögen, das mehrere Ionenpaare in Luft pro 1 cm Gammastrahlengang beträgt.

Neutronenstrahlung und ihre wichtigsten Eigenschaften

Neutronenstrahlung ist eine Korpuskularstrahlung, die bei der Spaltung oder Verschmelzung von Kernen entsteht.

Neutronen haben eine starke schädigende Wirkung, da sie ohne elektrische Ladung leicht in die Kerne von Atomen eindringen, aus denen lebendes Gewebe besteht, und von ihnen eingefangen werden.

Mehr als 99 % der Gesamtzahl der Neutronen bei einer nuklearen Explosion werden innerhalb von 10 -14 s freigesetzt. Diese Neutronen werden prompt genannt. Der Rest (etwa 1%) der Neutronen wird später von einigen Spaltfragmenten während ihres Beta-Zerfalls emittiert. Diese Neutronen werden verzögert genannt.

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Neutronen erreicht 20.000 km/h. Die Zeit, die alle Neutronen benötigen, um die Strecke vom Ort der Explosion bis zu dem Ort zurückzulegen, an dem sie die Zerstörung bedrohen, beträgt ungefähr eine Sekunde nach dem Moment der Explosion.

Je nach Energie werden Neutronen wie folgt eingeteilt:

langsame Neutronen 0-0,1 keV;

Neutronen mittlerer Energie 0,1-20 keV;

schnelle Neutronen 20 keV-10 MeV;

hochenergetische Neutronen über 10 MeV.

Thermische Neutronen - Neutronen, die sich im thermischen Gleichgewicht mit der Umgebung befinden (mit einer Energie von nicht mehr als 1 eV), gehören zum Bereich der langsamen Neutronen.

Der Durchgang von Neutronen durch Materie geht mit einer Abschwächung ihrer Intensität einher. Diese Schwächung ist auf die Wechselwirkung von Neutronen mit den Kernen von Materieatomen zurückzuführen.

Röntgenstrahlung

Röntgenstrahlen werden erzeugt, wenn schnelle Elektronen feste Ziele beschießen. Die Röntgenröhre ist ein evakuierter Ballon mit mehreren Elektroden (Abb. 1.2). Die strombeheizte Kathode K dient als Quelle freier Elektronen, die aufgrund von thermionischer Emission emittiert werden. Die zylindrische Elektrode Z ist zum Fokussieren des Elektronenstrahls ausgelegt.

Das Target ist die Anode A, die auch als Antikathode bezeichnet wird. Es besteht aus Schwermetallen (W, C, Pt usw.). Elektronen werden durch eine zwischen Kathode und Antikathode erzeugte Hochspannung beschleunigt. Nahezu die gesamte Energie der Elektronen wird an der Antikathode in Form von Wärme freigesetzt (nur 1-3 % der Energie werden in Strahlung umgewandelt).

Einmal in der Substanz der Antikathode erfahren die Elektronen eine starke Verzögerung und werden zu einer Quelle elektromagnetischer Wellen.

Bei ausreichend hoher Elektronengeschwindigkeit wird neben Bremsstrahlung (d. h. Strahlung, die durch Elektronenverzögerung verursacht wird) auch charakteristische Strahlung angeregt (verursacht durch Anregung der inneren Elektronenhüllen von Antikathodenatomen).

Die Intensität von Röntgenstrahlung kann sowohl durch den Grad der fotografischen Wirkung als auch durch die von ihr hervorgerufene Ionisierung in gasförmigen Medien, insbesondere in Luft, gemessen werden. * Je intensiver die Strahlung, desto mehr Ionisation erzeugt sie. Entsprechend dem Mechanismus der Wechselwirkung mit Materie ähneln Röntgenstrahlen der y-Strahlung. Die Wellenlänge von Röntgenstrahlung beträgt 10 -10 -10 -6 cm, Gammastrahlung -10-9 cm und darunter.

Derzeit werden Röntgenstrahlen als Kontrollinstrument verwendet. Mit Hilfe von Röntgenstrahlen kontrollieren sie die Schweißqualität, die Gleichmäßigkeit der entsprechenden Produkte usw. In der Medizin werden Röntgenstrahlen häufig zur Diagnose und teilweise zur Beeinflussung von Krebszellen eingesetzt.

Vorlesung Nr. 11 (2 Vorlesungen möglich)

Die GAMMA-FUNKTION, die G-Funktion, ist eine transzendente Funktion T(z), die die Werte der Fakultät z fortpflanzt! für alle komplexen z ≠ 0, -1, -2, .... G.-f. eingeführt von L. Euler [(L. Euler), 1729, Brief an Ch. Goldbach] unter Verwendung des unendlichen Produkts

woraus L. Euler eine Integraldarstellung erhielt (ein Euler-Integral zweiter Art)

gilt für Re z > 0. Die Polysemie der Funktion x z-1 wird durch die Formel x z-1 = e (z-1)ln x mit reellem ln x eliminiert. Bezeichnung Г(z) und Namen. G.-f. wurden von A. M. Legendre (A. M. Legendre, 1814) vorgeschlagen.

Auf der gesamten z-Ebene mit ausgeworfenen Punkten z = 0, -1, -2, ... für die G.-f. gilt die Hankelsche Integraldarstellung:

wobei s z-1 = e (z-1)ln s und ln s ein Zweig des Logarithmus ist, für den 0 ist

Grundlegende Zusammenhänge und Eigenschaften von G.-f.

1) Euler-Funktionsgleichung:

zГ(z) = Г(z + 1),

G(1) = 1, G(n + 1) = n!, wenn n > 0 eine ganze Zahl ist, beim Zählen 0! = Г(1) = 1.

2) Eulersche Komplementformel:

Ã(z)Ã(1 - z) = π/sin πz.

Insbesondere,

wenn n > 0 eine ganze Zahl ist, dann

y ist echt.

3) Gauß-Multiplikationsformel:

Für m = 2 ist dies die Legendre-Verdopplungsformel.

4) Wenn Re z ≥ δ > 0 oder |Im z| ≥ δ > 0, die Asymptotik Entwicklung von ln Г(z) in einer Stirling-Reihe:

wobei B 2n Bernoulli-Zahlen sind. Was bedeutet Gleichberechtigung?

Insbesondere,

Genauer ist Sonins Formel:

5) Im reellen Bereich ist G(x) > 0 für x > 0 und nimmt in den Abschnitten -k - 1 das Vorzeichen (-1) k + 1 an

ÃÃ "" > Ã" 2 ≥ 0,

d.h. alle Zweige sowohl |Г(x)| als auch ln |Г(х)| sind konvexe Funktionen. Die Eigenschaft ist logarithmisch. Konvexität bestimmt G.-f. unter allen Lösungen der Funktionsgleichung

G(1 + x) = xG(x)

bis auf einen konstanten Faktor.

Reis. 2. Graph der Funktion y \u003d G (x).

Für positive x G.-f. hat ein einzelnes Minimum bei x = 1,4616321... gleich 0,885603... . Lokale Minima der Funktion |Г(х)| als x → -∞ bilden sie eine gegen Null strebende Folge.

Reis. 3. Graph der Funktion 1/Г(x).

6) Im komplexen Bereich, für Re z > 0, G.-f. nimmt schnell ab als |Im z| → -∞

7) Die Funktion 1/Г(z) (siehe Abb. 3) ist eine ganze Funktion 1. Ordnung vom Maximumtyp und asymptotisch als Г → ∞

log Ì(r) ~ r log r,

Es kann durch ein unendliches Weierstrass-Produkt dargestellt werden:

absolut und gleichmäßig konvergent auf jeder kompakten Menge der komplexen Ebene (hier die C-Euler-Konstante). Es gilt die ganzzahlige Hankel-Darstellung:

wobei die Schaltung C * in Abb. 1 gezeigt ist. 4.

Integraldarstellungen für Grade von G.-f. wurden von G. F. Vorony erhalten.

Bei Anwendungen werden die sog Polygammafunktionen, die k-te Ableitungen von ln Г(z) sind. Funktion (ψ-Gauß-Funktion)

ist meromorph, hat einfache Pole an den Punkten z = 0,-1,_-2, ... und erfüllt die Funktionsgleichung

ψ(z + 1) - ψ(z) = 1/z.

Aus der Darstellung ψ(z) für |z|

Diese Formel ist nützlich, um Г(z) in der Nähe des Punktes z = 1 zu berechnen.

Für andere Polygamma-Funktionen siehe . Die unvollständige Gammafunktion wird durch die Gleichheit definiert

Die Funktionen Г(z), ψ(z) sind transzendente Funktionen, die keiner linearen Differentialgleichung mit rationalen Koeffizienten genügen (Satz von Hölder).

Die exklusive Rolle von G.-f. in Mathe. Analyse wird dadurch bestimmt, dass mit Hilfe von G.-f. eine große Anzahl bestimmter Integrale, unendlicher Produkte und Reihensummen werden ausgedrückt (siehe zum Beispiel die Beta-Funktion). Außerdem hat G.-f. findet breite Anwendung in der Theorie spezieller Funktionen (hypergeometrische Funktionen, für die das G.-f. der Grenzfall ist, zylindrische Funktionen usw.), in der Analytik. Zahlentheorie usw.

Lit.: Whittaker E. T., Watson J. N., A course in modern analysis, übers. aus dem Englischen, Bd. 2, 2. Aufl., M., 1963; Bateman G., Erdeyi A., Höhere transzendente Funktionen Hypergeometrische Funktion. Legendre Funktionen, übers. aus dem Englischen, M., 1965; Bourbaki N., Funktionen einer reellen Variablen. Elementartheorie, übers. aus dem Französischen, Moskau, 1965; Mathematische Analyse. Functions, Limits, Series, Continued Fractions, (Reference Mathematical Library), M., 1961; Nielsen N. Handbuch der Theorie der Gammafunktion, Lpz., 1906; Sonin N. Ya., Studien über zylindrische Funktionen und spezielle Polynome, Moskau, 1954; Voronoi G.F., Sobr. soch., Bd. 2, K., 1952, p. 53-62; Janke E., Emde F., Lesh F., Sonderfunktionen. Formeln, Grafiken, Tabellen, trans. aus dem Deutschen, 2. Aufl., M., 1968; Ango A., Mathematik für Elektro- und Funktechniker, übers. aus dem Französischen, 2. Aufl., M., 1967.

L. P. Kuptsov.

Quellen:

Mathematische Enzyklopädie. T. 1 (A-D). Ed. collegium: I. M. Vinogradov (Chefredakteur) [und andere] - M., "Soviet Encyclopedia", 1977, 1152 stb. von krank.

Die Erläuterung zur Kursarbeit wird in Höhe von 36 Blatt angefertigt. Es enthält eine Tabelle mit Gamma-Funktionswerten für einige Werte von Variablen und Programmtexte zum Berechnen der Gamma-Funktionswerte und zum Plotten, sowie 2 Abbildungen.

Für die Erstellung der Hausarbeit wurden 7 Quellen verwendet.

Einführung

Ordnen Sie eine spezielle Klasse von Funktionen zu, darstellbar in Form von echten oder uneigentlichen Integralen, die nicht nur von der formalen Variablen, sondern auch vom Parameter abhängen.

Solche Funktionen werden parameterabhängige Integrale genannt. Dazu gehören die Euler-Gamma- und Beta-Funktionen.

Die Beta-Funktionen werden durch das Euler-Integral erster Art dargestellt:

Die Gammafunktion wird durch das Euler-Integral zweiter Art dargestellt:

Die Gammafunktion ist eine der einfachsten und bedeutendsten Spezialfunktionen, deren Eigenschaften für die Untersuchung vieler anderer Spezialfunktionen erforderlich sind, z. B. zylindrische, hypergeometrische und andere.

Dank seiner Einführung werden unsere Möglichkeiten bei der Berechnung von Integralen erheblich erweitert. Selbst in Fällen, in denen die endgültige Formel keine anderen als elementare Funktionen enthält, erleichtert ihre Ableitung oft die Verwendung der Funktion Ã, zumindest in Zwischenrechnungen.

Euler-Integrale sind gut untersuchte nicht-elementare Funktionen. Das Problem gilt als gelöst, wenn es auf die Berechnung von Euler-Integralen reduziert wird.

1. Beta-Funktionen ich Euler

Die Beta-Funktionen werden durch das Euler-Integral erster Art bestimmt:

=(1.1)

Es repräsentiert eine Funktion von zwei variablen Parametern

und : Funktion B. Wenn diese Parameter die Bedingungen und erfüllen, dann ist das Integral (1.1) abhängig von den Parametern und ein uneigentliches Integral, und die singulären Punkte dieses Integrals sind die Punkte und

Integrale (1.1) konvergieren für

.Angenommen, wir erhalten: = -

d.h. Streit

und symmetrisch eingeben. Unter Berücksichtigung der Identität

nach der Integrationsformel, die wir haben

Wo kommen wir hin

Für ganze Zahl b = n, sukzessives Anwenden von (1.2)

für Ganzzahl

= m,= n, haben wir

aber B(1,1) = 1, also:

Wir setzen (1.1) ein

.Da der Graph der Funktion

also symmetrisch zu einer Geraden

und als Ergebnis der Substitution

, wir bekommen

Einstellung in (1.1)

, woher wir bekommen

Teilen des Integrals durch zwei im Bereich von 0 bis 1 und von 1 bis

und die Substitution auf das zweite Integral anwenden, erhalten wir

2. Gamma-Funktion

2.1 Definition

Ein Ausrufezeichen in mathematischen Arbeiten bedeutet normalerweise, die Fakultät einer nicht negativen ganzen Zahl zu nehmen:

n! = 1 2 3 ... k.

Die Fakultätsfunktion kann auch als Rekursionsrelation geschrieben werden:

(n+1)! = (n+1)n!.

Diese Beziehung kann nicht nur für ganzzahlige Werte von n betrachtet werden.

Betrachten Sie die Differenzengleichung

Trotz der einfachen Notation kann diese Gleichung nicht in elementare Funktionen gelöst werden. Ihre Lösung heißt Gammafunktion. Die Gammafunktion kann als Reihe oder als Integral geschrieben werden. Um die globalen Eigenschaften der Gammafunktion zu untersuchen, wird normalerweise die Integraldarstellung verwendet.

2.2 integrale Darstellung

Fahren wir mit der Lösung dieser Gleichung fort. Wir suchen nach einer Lösung in Form des Laplace-Integrals:

In diesem Fall kann die rechte Seite von Gleichung (2.1) geschrieben werden als:

Diese Formel gilt, wenn es Grenzen für den nicht ganzzahligen Term gibt. Wir kennen das Verhalten des Bildes [(G)\tilde](p) als p®±¥ nicht vorher. Nehmen wir an, dass das Bild der Gammafunktion so ist, dass der Term außerhalb des Integrals gleich Null ist. Nachdem die Lösung gefunden ist, muss überprüft werden, ob die Annahme über den nicht ganzzahligen Term zutrifft, ansonsten müssen wir auf andere Weise nach G(z) suchen.

abstrakt

Ziel dieser Kursarbeit ist es, die besonderen Eigenschaften der Euler-Gamma-Funktion zu untersuchen. Im Laufe der Arbeit wurden die Gamma-Funktion, ihre Haupteigenschaften untersucht und ein Berechnungsalgorithmus mit unterschiedlicher Genauigkeit erstellt. Der Algorithmus wurde in einer Hochsprache geschrieben - C. Das Ergebnis des Programms wird mit der Tabelle verglichen. Bei den Werten wurden keine Abweichungen festgestellt.

Für die Erstellung der Hausarbeit wurden 7 Quellen verwendet.

Einführung

Ordnen Sie eine spezielle Klasse von Funktionen zu, darstellbar in Form von echten oder uneigentlichen Integralen, die nicht nur von der formalen Variablen, sondern auch vom Parameter abhängen.

Solche Funktionen werden parameterabhängige Integrale genannt. Dazu gehören die Euler-Gamma- und Beta-Funktionen.

Die Beta-Funktionen werden durch das Euler-Integral erster Art dargestellt:

Die Gammafunktion wird durch das Euler-Integral zweiter Art dargestellt:

Euler-Integrale sind gut untersuchte nicht-elementare Funktionen. Das Problem gilt als gelöst, wenn es auf die Berechnung von Euler-Integralen reduziert wird.

1. Beta-Funktionen ich Euler

Die Beta-Funktionen werden durch das Euler-Integral erster Art bestimmt:

Es repräsentiert eine Funktion von zwei variablen Parametern und : eine Funktion B. Wenn diese Parameter die Bedingungen und erfüllen, dann ist das Integral (1.1) abhängig von den Parametern und ein uneigentliches Integral, und die singulären Punkte dieses Integrals sind die Punkte und

Integrale (1.1) konvergieren bei .Angenommen, wir erhalten:

= - =

d.h. argumentieren und symmetrisch eingeben. Unter Berücksichtigung der Identität

nach der Integrationsformel, die wir haben

Wo kommen wir hin

Für ganze Zahl b = n, sukzessives Anwenden von (1.2)

für ganze Zahlen = m,= n haben wir

aber B(1,1) = 1, also:

Wir setzen (1.1) ein. Da der Graph der Funktion also symmetrisch zu einer Geraden

und als Ergebnis der Substitution erhalten wir

unter der Annahme in (1.1) , woher wir bekommen

Teilen des Integrals durch zwei im Bereich von 0 bis 1 und von 1 bis und Anwenden des Substitutionsintegrals auf das zweite Integral erhalten wir

2. Gamma-Funktion

2.1 Definition

Ein Ausrufezeichen in mathematischen Arbeiten bedeutet normalerweise, die Fakultät einer nicht negativen ganzen Zahl zu nehmen:

n! = 1 2 3 ... k.

Die Fakultätsfunktion kann auch als Rekursionsrelation geschrieben werden:

(n+1)! = (n+1)n!.

Diese Beziehung kann nicht nur für ganzzahlige Werte von n betrachtet werden.

Betrachten Sie die Differenzengleichung

2.2 integrale Darstellung

Fahren wir mit der Lösung dieser Gleichung fort. Wir suchen nach einer Lösung in Form des Laplace-Integrals:

In diesem Fall kann die rechte Seite von Gleichung (2.1) geschrieben werden als:

Die linke Seite der Gleichheit (2.1) schreibt man wie folgt:

Dann hat Gleichung (2.1) für das Bild der Gammafunktion die Form:

Diese Gleichung ist einfach zu lösen:

Es ist leicht zu sehen, dass die gefundene Funktion [(Γ)\tilde](p) tatsächlich so ist, dass der nicht ganzzahlige Term in Formel (2.2) gleich Null ist.

Wenn man das Bild der Gammafunktion kennt, erhält man leicht einen Ausdruck für das Urbild:

Dies ist eine nicht-kanonische Formel, um sie in die von Euler erhaltene Form zu bringen, muss die Integrationsvariable geändert werden: t = exp(-p), dann nimmt das Integral die Form an:

Die Konstante C wird so gewählt, dass für ganzzahlige Werte von z die Gammafunktion mit der Fakultätsfunktion zusammenfällt: Г(n+1) = n!, dann gilt:

also C = 1. Schließlich erhalten wir die Euler-Formel für die Gamma-Funktion:

Diese Funktion ist in mathematischen Texten sehr verbreitet. Bei der Arbeit mit Sonderfunktionen vielleicht sogar öfter als ein Ausrufezeichen.

Ob die durch Formel (2.3) definierte Funktion tatsächlich Gleichung (2.1) erfüllt, können Sie überprüfen, indem Sie das Integral auf der rechten Seite dieser Formel partiell integrieren:

2.3 Bereich und Pole

Im Integranden des Integrals (2.3) bei , dem Exponenten exp( -tz) für R( z) > 0 nimmt viel schneller ab als die algebraische Funktion wächst t(z-1) . Die Singularität bei Null ist integrierbar, also konvergiert das uneigentliche Integral in (2.3) absolut und gleichmäßig für R (z) > 0. Außerdem durch sukzessive Differentiation nach dem Parameter z es ist leicht zu verifizieren, dass G( z) ist eine holomorphe Funktion für R ( z) > 0. Die Untauglichkeit der Integraldarstellung (2.3) für R ( z) 0 bedeutet nicht, dass die Gammafunktion selbst dort nicht definiert ist - die Lösung von Gleichung (2.1).

Betrachten wir das Verhalten von Г(z) in einer Umgebung von Null. Stellen wir uns dazu Folgendes vor:

wo ist eine holomorphe Funktion in der Nachbarschaft z = 0. Aus Formel (2.1) folgt:

das heißt, Г(z) hat einen Pol erster Ordnung bei z = 0.

Es ist auch einfach zu bekommen:

das heißt, in einer Umgebung des Punktes ist die Funktion Ã( z) hat ebenfalls einen Pol erster Ordnung.

Auf die gleiche Weise erhalten Sie die Formel:

Aus dieser Formel folgt, dass die Punkte z = 0,-1,-2,... einfache Pole der Gammafunktion sind und diese Funktion keine weiteren Pole auf der reellen Achse hat. Das Residuum an der Stelle z = -n, n = 0,1,2,... lässt sich leicht berechnen:

2.4 Hankel-Darstellung über Schleifenintegral

Finden Sie heraus, ob die Gammafunktion Nullen hat. Betrachten Sie dazu die Funktion

Die Pole dieser Funktion sind die Nullstellen der Funktion Г(z).

Differenzengleichung für I( z) lässt sich leicht mit dem Ausdruck für Г( z):

Der Ausdruck zum Lösen dieser Gleichung in Form eines Integrals kann auf die gleiche Weise erhalten werden, wie der Integralausdruck für die Gammafunktion erhalten wurde - durch die Laplace-Transformation. Unten sind die Berechnungen (keine sind die gleichen wie in Absatz 1) und  das Integral wird Punkte sein ___________________________________________________________________________

Nach Trennung der Variablen erhalten wir:

Nach Integration erhalten wir:

Der Übergang zum Laplace-Vorbild ergibt:

Im resultierenden Integral nehmen wir eine Änderung der Integrationsvariablen vor:

Dann

Hierbei ist zu beachten, dass der Integrand für nicht ganzzahlige Werte z hat einen Verzweigungspunkt t= 0. Auf der komplexen Ebene der Variablen t Zeichnen wir einen Schnitt entlang der negativen reellen Halbachse. Wir stellen das Integral entlang dieser Halbachse als Summe des Integrals entlang der oberen Seite dieses Abschnitts von bis 0 und des Integrals von 0 bis entlang der unteren Seite des Abschnitts dar. Damit das Integral nicht durch den Verzweigungspunkt geht, legen wir eine Schleife darum.

Abb1: Schleife in integraler Hankel-Darstellung.

Als Ergebnis erhalten wir:

Um den Wert der Konstante herauszufinden, denken Sie daran, dass I(1) = 1, andererseits:

integrale Darstellung

heißt die Hankel-Darstellung bezüglich der Schleife.

Man sieht leicht, dass die Funktion 1/Γ( z) hat keine Pole in der komplexen Ebene, daher hat die Gammafunktion keine Nullstellen.

Unter Verwendung dieser integralen Darstellung kann man eine Formel für das Produkt von Gammafunktionen erhalten. Dazu ändern wir im Integral die Variable , dann:

2.5 Eulersche Grenzform

Die Gammafunktion kann als unendliches Produkt dargestellt werden. Dies ist ersichtlich, wenn wir im Integral (2.3) darstellen

Dann ist die integrale Darstellung der Gammafunktion:

In dieser Formel können wir die Grenzen ändern - die Integrationsgrenze im uneigentlichen Integral und die Grenze innerhalb des Integrals. Hier ist das Ergebnis:

Nehmen wir dieses Integral nach Teilen:

Wenn wir diesen Vorgang n-mal durchführen, erhalten wir:

Wenn wir zum Grenzwert übergehen, erhalten wir die Euler-Grenzform für die Gammafunktion:

2.6 Formel für Produkt

Im Folgenden benötigen wir eine Formel, in der das Produkt zweier Gammafunktionen durch eine Gammafunktion dargestellt wird. Wir leiten diese Formel unter Verwendung der integralen Darstellung der Gammafunktionen ab.

Wir stellen das iterierte Integral als doppeltes uneigentliches Integral dar. Dies kann mit dem Satz von Fubini erfolgen. Als Ergebnis erhalten wir:

Das uneigentliche Integral konvergiert gleichmäßig. Es kann zum Beispiel als Integral über ein Dreieck betrachtet werden, das durch die Koordinatenachsen und eine Gerade x + y = R bei R begrenzt wird. Beim Doppelintegral nehmen wir eine Variablenänderung vor:

Jacobian dieser Ersatz

Integrationsgrenzen: u wechselt von 0 auf ∞, v beim Wechsel von 0 auf 1. Als Ergebnis erhalten wir:

Wir schreiben dieses Integral noch einmal als Wiederholung um, als Ergebnis erhalten wir:

wo r p> 0, R v > 0.

2. Ableitung der Gammafunktion

Integral

konvergiert für jeden , weil , und das Integral bei konvergiert.

In dem Bereich, in dem eine beliebige positive Zahl ist, konvergiert dieses Integral gleichmäßig, da und wir können den Weirstrass-Test anwenden. Das gesamte Integral ist auch für alle Werte konvergent da der zweite Term auf der rechten Seite ein Integral ist, das mit Sicherheit für jeden konvergiert.Es ist leicht zu sehen, dass das Integral über jedem Bereich konvergiert wo willkürlich. Gültig für alle angegebenen Werte und für alle und seit konvergiert, dann sind die Bedingungen des Weierstrass-Kriteriums erfüllt. Also in der Gegend Integral- konvergiert gleichmäßig.

Dies impliziert die Stetigkeit der Gamma-Funktion bei. Lassen Sie uns die Differenzierbarkeit dieser Funktion bei beweisen. Beachten Sie, dass die Funktion für und stetig ist, und wir zeigen, dass das Integral:

konvergiert gleichmäßig auf jedem Segment, . Lassen Sie uns eine Zahl wählen, damit ; dann for. Also gibt es eine Zahl so dass und for. Aber dann gilt die Ungleichung für

und da das Integral konvergiert, das Integral konvergiert gleichmäßig gegen . Ebenso, denn es gibt eine solche Zahl für alle Ungleichheiten . Mit so und allem, was wir bekommen , woraus aufgrund des Vergleichskriteriums folgt, dass das Integral konvergiert gleichmäßig gegen . Zum Schluss das Integral

wobei der Integrand im Definitionsbereich stetig ist

Offensichtlich konvergiert gleichmäßig gegen . Also für das Integral

konvergiert gleichmäßig, und folglich ist die Gammafunktion für alle und die Gleichheit unendlich differenzierbar

In Bezug auf das Integral können wir die gleiche Argumentation wiederholen und daraus schließen

Durch Induktion wird bewiesen, dass die Γ-Funktion unendlich differenzierbar ist und ihre i-te Ableitung die Gleichheit erfüllt

Lassen Sie uns nun die Verhaltensfunktionen untersuchen und eine Skizze ihres Graphen konstruieren. (Siehe Anhang 1)

Aus dem Ausdruck für die zweite Ableitung der -Funktion ist ersichtlich, dass für alle . Daher erhöht es sich. Da dann nach dem Rollensatz auf dem Segment die Ableitung für und für , d. h. monoton abnimmt auf und monoton zunimmt auf . Weiter, weil , dann bei . Für folgt aus der Formel, dass für .

Gleichberechtigung , gültig für , kann verwendet werden, wenn die -Funktion auf einen negativen Wert erweitert wird.

Nehmen wir das an . Die rechte Seite dieser Gleichheit ist für from definiert (-1,0) . Wir erhalten, dass die so fortgesetzte Funktion (-1,0) negative Werte annimmt und bei , sowie bei der Funktion .

Nachdem wir on auf diese Weise definiert haben, können wir es mit derselben Formel bis zum Intervall (-2,-1) fortsetzen. In diesem Intervall ist die Fortsetzung eine Funktion, die positive Werte annimmt, und zwar für und . In Fortsetzung dieses Prozesses definieren wir eine Funktion, die Diskontinuitäten an ganzzahligen Punkten aufweist (Siehe Anhang 1.)

Beachte noch einmal, dass das Integral

definiert die Γ-Funktion nur für positive Werte von , die Fortsetzung zu negativen Werten erfolgt von uns formal über die Reduktionsformel .

4. Berechnung einiger Integrale.

Stirling-Formel

Wenden wir die Gamma-Funktion auf die Berechnung des Integrals an:

wo m > -1, n > -1. Angenommen, dass , haben wir

und aufgrund von (2.8) haben wir

Im Integral

Wo k > -1,n > 0, genügt es zu setzen

Integral

Wo s > 0, entwickle in Reihe

wo ist die Riemann-Zetta-Funktion

Betrachten Sie unvollständige Gammafunktionen (Prim-Funktionen)

durch Ungleichheit gebunden

Erweitern, in einer Reihe haben wir

Wenden wir uns der Herleitung der Stirling-Formel zu, die insbesondere einen ungefähren Wert von n! Betrachten Sie für große Werte von n zunächst die Hilfsfunktion

(4.2)

Kontinuierlich auf dem Intervall (-1,) steigt monoton von bis an, wenn von bis gewechselt wird, und wird bei u = 0 zu 0. Seit

Und damit die Ableitung im gesamten Intervall stetig und positiv ist, erfüllt die Bedingung

Aus dem Obigen folgt, dass es eine Umkehrfunktion gibt, die auf einem Intervall definiert ist, das kontinuierlich ist und in diesem Intervall monoton ansteigt,

Wenden auf 0 bei v = 0 und Erfüllen der Bedingung

Wir leiten die Stirling-Formel aus der Gleichheit ab

vorausgesetzt wir haben

Unter der Annahme, dass wir am Ende erhalten

in der Grenze bei d.h. bei (siehe 4.3)

Woher kommt die Formel von Stirling?

die dem Formular entnommen werden können

für ausreichend groß annehmen

die Berechnung erfolgt mit Logarithmen

Wenn es sich um eine positive ganze Zahl handelt, wird (4.5) auch zu einer Näherungsformel zur Berechnung von Fakultäten für große Werte von n

wir geben ohne Ableitung eine genauere Formel an

wobei in Klammern eine nicht konvergierende Reihe steht.

5. Beispiele zur Berechnung von Integralen

Zur Berechnung werden Formeln benötigt:

G()

Integrale berechnen

PRAKTISCHER TEIL

Zur Berechnung der Gammafunktion wird eine Annäherung ihres Logarithmus verwendet. Um die Gammafunktion auf dem Intervall x>0 anzunähern, wird die folgende Formel verwendet (für komplexes z):

Ã(z+1)=(z+g+0.5) z+0.5 exp(-(z+g+0.5))

Diese Formel ähnelt der Näherung von Stirling, hat aber eine Korrekturreihe. Für die Werte g=5 und n=6 wird geprüft, ob der Fehler ε 2*10 -10 nicht überschreitet. Außerdem überschreitet der Fehler diesen Wert auf der gesamten rechten Hälfte der komplexen Ebene nicht: z > 0.

Um die (echte) Gammafunktion auf dem Intervall x>0 zu erhalten, werden die rekursive Formel Ã(z+1)=zÃ(z) und die obige Näherung Ã(z+1) verwendet. Außerdem ist ersichtlich, dass es bequemer ist, den Logarithmus der Gammafunktion zu approximieren als die Gammafunktion selbst. Erstens erfordert dies den Aufruf nur einer mathematischen Funktion - des Logarithmus und nicht zwei - des Exponenten und des Grads (letzterer verwendet immer noch den Aufruf des Logarithmus), und zweitens wächst die Gammafunktion schnell für große x und seine Annäherung durch den Logarithmus beseitigt Überlaufprobleme.

Um Ln(Г(х) - den Logarithmus der Gammafunktion - anzunähern, wird die Formel erhalten:

log(G(x))=(x+0,5)log(x+5,5)-(x+5,5)+

log(C 0 (C 1 + C 2 /(x+1)+C 3 /(x+2)+...+C 7 /(x+8))/x)

Koeffizientenwerte C k- tabellarische Daten (siehe im Programm).

Die Gammafunktion selbst erhält man aus ihrem Logarithmus, indem man den Exponenten nimmt.

Fazit

Gamma-Funktionen sind ein bequemes Werkzeug zur Berechnung einiger Integrale, insbesondere vieler jener Integrale, die nicht in elementaren Funktionen darstellbar sind.

Aus diesem Grund werden sie häufig in der Mathematik und ihren Anwendungen, in der Mechanik, Thermodynamik und anderen Zweigen der modernen Wissenschaft verwendet.

Referenzliste

1. Sonderfunktionen und ihre Anwendungen:

Lebedev I. I., M., Gostekhterioizdat, 1953

2. Mathematische Analyse Teil 2:

Ilyin O.A., Sadovnichiy V.A., Sendov Bl.Kh., M., „Universität Moskau“, 1987

3. Sammlung von Problemen in der mathematischen Analyse:

Demidovich B. P., M., Nauka, 1966

4. Integrale und Reihen von Sonderfunktionen:

Prudnikov A.P., Brychkov Yu.A., M., Nauka, 1983

5. Besonderheiten:

Kuznetsov, M., „Gymnasium“, 1965

6. Asymptotik und spezielle Funktionen

F. Olver, M., Nauka, 1990.

7.Monsterzoo oder Einführung in Besonderheiten

O. M. Kiselev,

ANWENDUNGEN

Anhang 1 - Graph der Gammafunktion einer reellen Variablen

Anhang 2 - Diagramm der Gamma-Funktion

Tabelle - eine Tabelle mit Gammafunktionswerten für einige Werte des Arguments.

Anhang 3 ist eine Programmliste, die eine Tabelle mit Gammafunktionswerten für einige Argumentwerte zeichnet.

Anhang 4 - Auflistung eines Programms, das einen Graphen der Gammafunktion zeichnet

Abstrakt................................................. ............ ...................................3

Einleitung .................................................... . ......... ...................................4

Theoretischer Teil…………………………………………………….5

Euler-Beta-Funktion………………………………………………….5

Gamma-Funktion................................................ ... ................................. acht

2.1. Begriffsbestimmung …………………………………………………………8

2.2. Integrale Darstellung………………………………8

2.3. Definitionsbereich und Pole…………………………..10

2.4. Hankel-Darstellung als Schleifenintegral………..10

2.5. Eulersche Grenzform ………………………………...12

2.6. Die Formel für das Produkt ………………………………..13

Ableitung der Gamma-Funktion .......................................... ...........fünfzehn

Berechnung von Integralen. Stirling-Formel................................18

Beispiele zur Berechnung von Integralen .................................... ................. ......23

Praktischer Teil……………………………………………………….24

Fazit................................................. ......................................25

Referenzen………………………………………………................26

Anwendungen………………………………………………………………..27

ANHANG 1

Graph der Gammafunktion einer reellen Variablen

ANLAGE 2

Graph der Gamma-Funktion

TISCH

X	g(x)

ANHANG 3

#enthalten

statisches doppeltes cof=(

2.5066282746310005,

1.0000000000190015,

76.18009172947146,

86.50532032941677,

24.01409824083091,

1.231739572450155,

0.1208650973866179e-2,

0.5395239384953e-5,

doppeltes GammLn(doppeltes x) (

lg1=log(cof*(cof+cof/(x+1)+cof/(x+2)+cof/(x+3)+cof/(x+4)+cof/(x+5)+cof /(x+6))/x);

lg=(x+0,5)*log(x+5,5)-(x+5,5)+lg1;

doppeltes Gamma (doppeltes x) (

return(exp(GammLn(x)));

cout<<"vvedite x";

printf("\n\t\t\t| x |Gamma(x) |");

printf("\n\t\t\t_________________________________________");

für(i=1;i<=8;i++)

x=x[i]+0,5;

g[i]=Gamma(x[i]);

printf("\n\t\t\t| %f | %f |",x[i],g[i]);

printf("\n\t\t\t_________________________________________");

printf("\n Dlia vuhoda iz programmu najmite lybyiy klavishy");

ANHANG 4

#enthalten

Doppel-Gam (Doppel-X, Doppel-Eps)

Int I, j, n, nb;

Doppeltes dze=(1.6449340668422643647,

1.20205690315959428540,

1.08232323371113819152,

1.03692775514336992633,

1.01734306198444913971};

Double a=x, y, fc=1.0, s, s1, b;

Printf("Sie haben falsche Daten eingegeben, bitte versuchen Sie es erneut\n"); Rückgabe -1,0;

Wenn (a==0) fc zurückgeben;

Für(i=0;i<5;i++)

S=s+b*dze[i]/(i+2.0);

Nb=exp((i.0/6.0)*(7.0*log(a)-log(42/0)-log(eps)))+I;

Für(n=1;n<=nb;n++)

Für(j=0; j<5; j++)

Si=si+b/(j+1,0);

S=s+si-log(1.0+a/n);

Double dx,dy, xfrom=0,xto=4, yto=5, h, maxy, miny;

Int n=100, I, gdriver=DETECT, gmode, X0, YN0, X, Y, Y0,pr=0;

Initgraph(&gdriver,&gmode, „ “);

YN0=getmaxy()-20;

Zeile(30, getmaxy()-10,30,30);

Line(20, getmaxy()-30, getmaxx()-20, getmaxy()-30);

)während (Y>30);

) während (X<700);

) während (X<=620);

)während (y>=30);

X=30+150,0*0,1845;

Für9i=1;i

Dy=gam(dx,1e-3);

X=30+(600/0*i)/n;

Wenn (J<30) continue;

X=30+150,0*308523;

Zeile (30,30,30,10);

Zeile (620.450.640.450);

Zeile (30,10,25,15);

Zeile (640.450.635.445);

Zeile (640.450.635.455);

Zeile (170.445.170.455);

Zeile (320.445.320.455);

Zeile (470.445.470.455);

Zeile (620.445.620.455);

Zeile (25.366.35.366);

Zeile (25.282.35.282);

Zeile (25,114,35,114);

Zeile (25,30,35,30);

Outtexty(20.465,"0");

Outtexty(165.465, "1";

Outtexty(315.465, "2";

Outtexty(465,465, "3";

Outtexty(615.465, "4";

Outtexty(630.465, "x";

Outtexty(15.364, "1";

Outtexty(15.280, "2";

Outtexty(15.196, "3";

Outtexty(15,112, "4";

Outtexty(15,30, "5";

Es ist experimentell festgestellt worden, dass die g-Strahlung (s. § 255) keine eigenständige Form der Radioaktivität ist, sondern nur den a- und b-Zerfall begleitet und auch bei Kernreaktionen, beim Abbremsen geladener Teilchen, deren Zerfall usw. entsteht. g-Spektrum ist ausgekleidet. Das g-Spektrum ist die Energieverteilung der Anzahl von g-Quanten (die gleiche Interpretation des b-Spektrums findet sich in §258). Die Diskretheit des g-Spektrums ist von grundlegender Bedeutung, da es ein Beweis für die Diskretheit der Energiezustände von Atomkernen ist.

Es ist jetzt fest etabliert, dass g-Strahlung vom Tochterkern (und nicht vom Mutterkern) emittiert wird. Der Tochterkern geht im Moment seiner Bildung angeregt in den Grundzustand unter Emission von g-Strahlung in einer Zeit von etwa 10 -13 - 10 -14 s über, was viel kürzer ist als die Lebensdauer eines angeregten Atoms (ungefähr 10 -8 s). Bei der Rückkehr in den Grundzustand kann der angeregte Kern eine Reihe von Zwischenzuständen durchlaufen, so dass die g-Strahlung desselben radioaktiven Isotops mehrere Gruppen von g-Quanten enthalten kann, die sich in ihrer Energie voneinander unterscheiden.

Mit g-Strahlung SONDERN und Z des Kerns ändern sich nicht, also wird er nicht durch Verschiebungsregeln beschrieben. Die g-Strahlung der meisten Kerne ist so kurzwellig, dass ihre Welleneigenschaften sehr schwach ausgeprägt sind. Hier treten korpuskuläre Eigenschaften in den Vordergrund, sodass g-Strahlung als ein Strom von Teilchen - g-Quanten - betrachtet wird. Beim radioaktiven Zerfall verschiedener Kerne haben g-Quanten Energien von 10 keV bis 5 MeV.

Der in einem angeregten Zustand befindliche Kern kann nicht nur durch Emission eines g-Quants in den Grundzustand übergehen, sondern auch durch direkte Übertragung der Anregungsenergie (ohne vorherige Emission eines g-Quants) auf eines der Elektronen des Kerns gleiches Atom. Dabei wird das sogenannte Konversionselektron emittiert. Das Phänomen selbst wird als interne Konversion bezeichnet. Die interne Umwandlung ist ein Prozess, der mit g-Strahlung konkurriert.

Umwandlungselektronen entsprechen diskreten Energiewerten, abhängig von der Austrittsarbeit des Elektrons aus der Hülle, aus der das Elektron austritt, und von der Energie E , vom Kern beim Übergang vom angeregten Zustand in den Grundzustand gegeben. Wird die gesamte Energie E in Form eines y-Quants abgegeben, so bestimmt sich die Strahlungsfrequenz v aus der bekannten Beziehung E = hv . Wenn sie L Elektronen der internen Umwandlung emittieren, dann sind ihre Energien gleich E-A K, E-A L, ..., wobei A k, A L, ... die Austrittsarbeit eines Elektrons von K ist - und L-Schalen. Die monoenergetische Natur der Konversionselektronen macht es möglich, sie von b-Elektronen zu unterscheiden, deren Spektrum kontinuierlich ist (siehe § 258). Die durch das Entweichen eines Elektrons entstandene Leerstelle auf der inneren Atomschale wird mit Elektronen aus den darüber liegenden Schalen aufgefüllt. Daher wird die interne Umwandlung immer von einer charakteristischen Röntgenemission begleitet.

G-Quanten, die eine Ruhemasse von Null haben, können in einem Medium nicht langsamer werden, daher werden sie, wenn g-Strahlung durch Materie geht, entweder von ihr absorbiert oder gestreut. g-Quanten tragen keine elektrische Ladung und erfahren somit keinen Einfluss von Coulomb-Kräften. Wenn ein Strahl von y-Quanten eine Substanz durchdringt, ändert sich ihre Energie nicht, aber durch Kollisionen wird die Intensität geschwächt, deren Änderung durch das Exponentialgesetz beschrieben wird x, m - Absorptionskoeffizient). Da g-Strahlung die am stärksten durchdringende Strahlung ist, ist m für viele Substanzen ein sehr kleiner Wert; m hängt von den Eigenschaften der Materie und von der Energie der g-Quanten ab.

g-Quanten, die die Substanz passieren, können sowohl mit der Elektronenhülle der Atome der Substanz als auch mit ihren Kernen interagieren. In der Quantenelektrodynamik ist bewiesen, dass die Hauptprozesse, die den Durchgang von g-Strahlung durch Materie begleiten, der photoelektrische Effekt, der Compton-Effekt (Compton-Streuung) und die Bildung von Elektron-Positron-Paaren sind.

Der photoelektrische Effekt oder die photoelektrische Absorption von g-Strahlen ist ein Prozess, bei dem ein Atom ein g-Quant absorbiert und ein Elektron emittiert. Da das Elektron aus einer der inneren Schalen des Atoms herausgeschlagen wird, füllt sich der frei gewordene Raum mit Elektronen aus den darüber liegenden Schalen, und der photoelektrische Effekt wird von charakteristischer Röntgenstrahlung begleitet. Der photoelektrische Effekt ist der vorherrschende Absorptionsmechanismus im Bereich niedriger Energien von g-Quanten (z< 100 кэВ). Фотоэффект может идти только на связанных электронах, так как свободный электрон не может поглотить g-квант, при этом одновременно не удовлетворяются законы сохранения энергии и импульса.

Wenn die Energie von g-Quanten zunimmt (E g » 0,5 MeV), ist die Wahrscheinlichkeit des photoelektrischen Effekts sehr klein, und der Hauptmechanismus für die Wechselwirkung von g-Quanten mit Materie ist Compton-Streuung (siehe § 206).

Wenn E g >1,02 MeV = 2m e c 2 (m e ist die Ruhemasse eines Elektrons), wird der Prozess der Bildung von Elektron-Positron-Paaren in den elektrischen Feldern von Kernen möglich. Die Wahrscheinlichkeit dieses Prozesses ist proportional zu Z 2 und steigt mit E g. Daher ist bei E g » 10 MeV der Hauptprozess der g-Strahlungswechselwirkung in jeder Substanz die Bildung von Elektro-Positron-Paaren.

Wenn die Energie eines g-Quants die Bindungsenergie von Nukleonen im Kern (7-8 MeV) übersteigt, kann infolge der Absorption eines g-Quants ein nuklearer photoelektrischer Effekt beobachtet werden - die Emission eines von die Nukleonen aus dem Kern, meistens ein Neutron.

Die große Durchdringungskraft der g-Strahlung wird bei der Gamma-Fehlersuche genutzt – einer Methode zur Fehlersuche, die auf der unterschiedlichen Absorption der g-Strahlung basiert, wenn sie sich über die gleiche Distanz in verschiedenen Medien ausbreitet. Die Lage und Größe von Fehlern (Hohlräume, Risse usw.) werden durch den Unterschied in den Intensitäten der Strahlung bestimmt, die durch verschiedene Teile des durchscheinenden Produkts hindurchgegangen ist.

Die Einwirkung von g-Strahlung (sowie anderer Arten ionisierender Strahlung) auf eine Substanz wird durch eine Dosis ionisierender Strahlung gekennzeichnet. Sich unterscheiden:

Die absorbierte Strahlungsdosis ist eine physikalische Größe, die dem Verhältnis der Strahlungsenergie zur Masse des bestrahlten Stoffes entspricht.

Die Einheit der absorbierten Strahlendosis ist grau (Gy) *: 1 Gy \u003d 1 J / kg - Strahlendosis, bei der die Energie einer ionisierenden Strahlung von 1 J auf eine bestrahlte Substanz mit einem Gewicht von 1 kg übertragen wird.

Die Bestrahlungsdosis ist eine physikalische Größe, die dem Verhältnis der Summe der elektrischen Ladungen aller Ionen gleichen Vorzeichens entspricht, die durch Elektronen erzeugt werden, die in bestrahlter Luft freigesetzt werden (unter der Bedingung, dass die Ionisierungsfähigkeit von Elektronen voll ausgenutzt wird), zu die Masse dieser Luft.

Die Einheit der Strahlenexpositionsdosis ist ein Anhänger pro Kilogramm (C/kg); die dunkle Einheit ist das Röntgen (R): 1 R = 2,58 × 10 –4 C/kg.

Biologische Dosis - ein Wert, der die Wirkung von Strahlung auf den Körper bestimmt.

Die biologische Dosiseinheit ist das biologische Äquivalent eines Röntgens (rem): 1 rem ist eine Dosis einer beliebigen Art von ionisierender Strahlung, die die gleiche biologische Wirkung wie eine Dosis von Röntgen- oder g-Strahlung in 1 R hervorruft (1 rem = 10 -2 J/kg).

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2. Ableitung der Gammafunktion

Wenden wir die Gamma-Funktion auf die Berechnung des Integrals an:

Fazit

Referenzliste

1. Sonderfunktionen und ihre Anwendungen:

Lebedev I. I., M., Gostekhterioizdat, 1953

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