A1. Ist es möglich, als materiellen Punkt zu nehmen: 1) die Erde bei der Berechnung von: a) der Entfernung von ihr zur Sonne; b) die Bahn, die die Erde in einem Monat auf der Umlaufbahn um die Sonne zurücklegt; c) die Länge seines Äquators; 2) eine Rakete bei der Berechnung: a) ihres Drucks auf den Boden; b) die maximale Höhe seines Anstiegs; 3) ein 1 km langer Zug bei der Berechnung der zurückgelegten Strecke: a) in 10 s; b) in 1 Stunde.

Entscheidung

Betrachten Sie Fall 1a genauer:

1 b. Da die Größe der Erde viel kleiner ist als die Entfernung, die sie in einem Monat auf ihrer Umlaufbahn zurücklegt, ist die Erde kann als materiellen Punkt betrachten.

1 in. Da bei der Berechnung der Länge des Erdäquators seine Abmessungen nicht vernachlässigt werden können, ist die Erde es ist verboten als materiellen Punkt betrachten.

2 ein. Der Raketendruck ist \(p=\frac(F)(S)\) , wobei F die Raketengravitation ist; S ist die Querschnittsfläche des Raketenträgers, d.h. Die Größe der Rakete ist nicht zu vernachlässigen. Daher die Rakete es ist verboten als materiellen Punkt betrachten.

2b. Da die Abmessungen der Rakete viel kleiner sind als die Entfernung, die sie zurücklegt, um die maximale Auftriebshöhe zu erreichen, ist die Rakete kann als materiellen Punkt betrachten.

Um die Bewegung eines Körpers zu beschreiben, muss man wissen, wie sich seine verschiedenen Punkte bewegen. Bei einer translatorischen Bewegung bewegen sich jedoch alle Punkte des Körpers auf die gleiche Weise. Um also die Translationsbewegung eines Körpers zu beschreiben, genügt es, die Bewegung eines seiner Punkte zu beschreiben.

Auch ist es bei vielen Problemen der Mechanik nicht erforderlich, die Positionen einzelner Körperteile anzugeben. Sind die Abmessungen des Körpers klein im Vergleich zu den Abständen zu anderen Körpern, so kann dieser Körper als Punkt beschrieben werden.

DEFINITION

materieller Punkt heißt ein Körper, dessen Abmessungen unter gegebenen Bedingungen vernachlässigt werden können.

Das Wort "Material" betont hier den Unterschied zwischen diesem Punkt und dem geometrischen. Ein geometrischer Punkt hat keine physikalischen Eigenschaften. Ein materieller Punkt kann Masse, elektrische Ladung und andere physikalische Eigenschaften haben.

Ein und derselbe Körper kann unter bestimmten Bedingungen als materieller Punkt betrachtet werden, unter anderen nicht. Wenn man also beispielsweise die Bewegung eines Schiffes von einem Seehafen zum anderen betrachtet, kann das Schiff als materieller Punkt betrachtet werden. Wenn man jedoch die Bewegung einer Kugel untersucht, die über das Deck eines Schiffes rollt, kann das Schiff nicht als materieller Punkt betrachtet werden. Die Bewegung eines Hasen, der vor einem Wolf durch den Wald davonläuft, kann beschrieben werden, indem man den Hasen als materiellen Punkt nimmt. Aber Sie können den Hasen nicht als materiellen Punkt betrachten und seine Versuche beschreiben, sich in einem Loch zu verstecken. Bei der Untersuchung der Bewegung von Planeten um die Sonne können sie durch materielle Punkte beschrieben werden, und bei einer täglichen Rotation der Planeten um ihre Achse ist ein solches Modell nicht anwendbar.

Es ist wichtig zu verstehen, dass materielle Punkte in der Natur nicht existieren. Ein materieller Punkt ist eine Abstraktion, ein Modell zur Beschreibung von Bewegung.

Beispiele zur Lösung von Problemen zum Thema "Materialpunkt"

BEISPIEL 1

BEISPIEL 2

Die Übung

Geben Sie an, in welchen der folgenden Fälle der untersuchte Körper als materieller Punkt genommen werden kann: a) der Druck des Traktors auf den Boden wird berechnet; b) die Höhe berechnen, auf die die Rakete gestiegen ist; c) Berechnung der Arbeit beim Anheben einer Bodenplatte bekannter Masse auf eine gegebene Höhe in horizontaler Lage; d) Bestimmen Sie das Volumen der Stahlkugel mit einem Messzylinder (Becherglas).

Antworten

a) Bei der Berechnung des Bodendrucks des Traktors kann der Traktor nicht als materieller Punkt herangezogen werden, da es in diesem Fall wichtig ist, die Oberfläche der Ketten zu kennen. b) Bei der Berechnung der Höhe der Rakete kann die Rakete als materieller Punkt betrachtet werden, da sich die Rakete vorwärts bewegt und die von der Rakete zurückgelegte Strecke zurückgelegt wird. viel größer als seine Größe; c) In diesem Fall kann die Bodenplatte als Materialpunkt angesehen werden. da es eine Translationsbewegung ausführt, reicht es zur Lösung des Problems aus, die Verschiebung seines Massenschwerpunkts zu kennen; d) bei der Bestimmung des Ballvolumens. Der Ball kann nicht als materieller Punkt angesehen werden, da die Größe des Balls bei diesem Problem wesentlich ist.

BEISPIEL 3

Die Übung

Ist es möglich, die Erde als materiellen Punkt zu nehmen, wenn man Folgendes berechnet: a) die Entfernung von der Erde zur Sonne; b) die Bahn, die die Erde auf ihrer Umlaufbahn um die Sonne zurücklegt; c) die Länge des Erdäquators; d) die Bewegungsgeschwindigkeit des Äquatorpunktes während der täglichen Drehung der Erde um ihre Achse; e) die Geschwindigkeit der Erde auf ihrer Umlaufbahn um die Sonne?

Antworten

a) Unter diesen Bedingungen kann die Erde als materieller Punkt angesehen werden, da ihre Abmessungen viel kleiner sind als die Entfernung von ihr zur Sonne; e) In diesem Fall kann die Erde als materieller Punkt angenommen werden, da die Abmessungen der Umlaufbahn viel größer sind als die Abmessungen der Erde.

Wie entsteht die Notwendigkeit, neue Konzepte einzuführen? Welche Konzepte beschreiben die Welt um Sie herum am genauesten und prägnantesten? Was ist der natürlichste und zweckmäßigste Weg, neue Konzepte einzuführen?

Um diese und andere Fragen zu beantworten, betrachten wir den Prozess der Konzeptbildung und ihre Entwicklung unter dem Gesichtspunkt der Organisation des Prozesses der pädagogischen Aktivität von Schülern und Lehrern im Physikunterricht.

Die Bildung eines Begriffs ist der Schlüsselmoment der Erkenntnis, da ein Begriff eine Menge von Urteilen über die allgemeinen und wesentlichen Eigenschaften von Objekten ist. Das erworbene Wissen wird im Konzept gespeichert und weitergegeben.

Der Prozess der Bildung physikalischer Begriffe ist komplex, vielstufig und dialektisch widersprüchlich. Bei dieser Aktivität können die folgenden wichtigsten und allgemeinsten Techniken unterschieden werden: a) Analyse; b) Synthese; Zum Vergleich; d) Verallgemeinerung; e) Abstraktion; e) Idealisierung.

In der ersten Phase, in den Bildern, die auf der Ebene der Repräsentationsbildung im Laufe der analytischen und synthetischen Tätigkeit erstellt werden, werden eine oder mehrere Eigenschaften des Objekts mental unterschieden, die aus Sicht des Forschers für die Lösung des Problems wichtig sind Problem. Danach werden im Zuge des Vergleichs alle Objekte mit diesen Eigenschaften gedanklich ausgewählt und durch diese Eigenschaften bestimmt, also verallgemeinert. Im menschlichen Geist werden im Prozess der Abstraktion Bilder der Objekte der Sinneswelt geschaffen, und diese Bilder ersetzen im Erkenntnisprozess reale Objekte, die das Bewusstsein gleichsam objektiviert. In Objektbildern können einige Eigenschaften gespeichert, verworfen, eingeführt, dh neue Abstraktionen konstruiert werden. Mit Hilfe eines Systems abstrakter Objekte wird eine eigene wissenschaftliche Sprache geschaffen, die es ermöglicht, wissenschaftliche Positionen zu formulieren und wissenschaftliche Argumentationen durchzuführen.

Für den Fall, dass wir einem denkbaren Objekt einige Eigenschaften verleihen, die es eigentlich nicht hat, z. B. wenn wir einem physischen Körper die Fähigkeit verleihen, bei Verformung sein ursprüngliches Volumen oder seine ursprüngliche Form wiederherzustellen, konstruieren wir den Begriff „absolut elastisch“. body“, dann bauen wir das ideale Objekt. Wenn wir einem Körper einige Eigenschaften entziehen, die er tatsächlich besitzt, wenn wir beispielsweise einem physischen Körper die Fähigkeit entziehen, sein ursprüngliches Volumen oder seine ursprüngliche Form während der Verformung wiederherzustellen, dann erhalten wir den Begriff des „absolut unelastischen Körpers“, dann auch wir Baue ein ideales Objekt. Die Technik selbst heißt Idealisierung.

Das Ergebnis dieser Aktivität sind einige Annahmen, Annahmen, Vermutungen über das untersuchte Objekt oder Phänomen - eine Hypothese wird geboren, die neue, umfassendere Konzepte enthält, die Konzepte enthalten, die einen engeren Wissensstand widerspiegeln. Als mutmaßliches, wahrscheinliches Wissen, das noch nicht logisch bewiesen und durch die Erfahrung nicht so bestätigt ist, dass es als verlässliche Theorie angesehen werden könnte, ist eine Hypothese weder wahr noch falsch – sie ist unbestimmt.

Methoden zum Testen von Hypothesen können in empirische und theoretische unterteilt werden. Erstere umfassen die direkte Beobachtung der von der Hypothese vorhergesagten Phänomene (wenn möglich) und die Bestätigung der daraus resultierenden Konsequenzen durch Erfahrung. Theoretische Überprüfung umfasst das Studium der Hypothese: für Konsistenz; zur empirischen Überprüfbarkeit; zur Anwendbarkeit auf die gesamte Klasse der untersuchten Phänomene; auf seine Ableitbarkeit von allgemeineren Bestimmungen; für seine Zustimmung durch Umstrukturierung der Theorie, in der es aufgestellt wurde. Auf dieser Stufe gibt es eine Verfeinerung und Vertiefung von Konzepten in einer Form, die für die Praxis und das physikalische und mathematische Denken geeignet ist.

Im Prozess der Theoriebildung werden Konzepte als integraler Bestandteil dieser Theorie in eine breitere Struktur eingebunden. In jeder Struktur kann man ein System von Konzepten, Sprache (für die Bildung von Konzepten und Aussagen) und Logik (um einige Aussagen von anderen zu erhalten) herausgreifen. Und erst von diesem Moment an wird der im Rahmen einer bestimmten Theorie gebildete physikalische Begriff nicht nur Gegenstand der Forschung, sondern auch ein Mittel zur Erkenntnis der objektiven Realität. Gleichzeitig erfüllt es seine kognitive Funktion in Abhängigkeit davon, welche Eigenschaften der untersuchten physischen Objekte darin fixiert sind. Es modelliert genau diese und nicht irgendeine andere Eigenschaft des untersuchten Objekts.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, ideale Objekte einzuführen:

Durch die Abstraktion der Identifikation;

Durch den Betrieb des Durchgangs bis zur Grenze;

Durch die Definitionsoperation.

Idealisierung wird nicht nur auf direkt untersuchte Objekte angewendet, sondern auch auf kognitive Situationen (z. B. gehen der Konstruktion von Modellen eine Reihe idealisierender Annahmen voraus), Aufgabenbedingungen, Prozesse, methodische Vorschriften usw.

Beispielsweise bezieht sich ein „Punkt“ auf ein ideales Objekt, das keine Abmessungen hat. Um einige kognitive Probleme zu lösen, z. B. den Mittelpunkt eines Kreises anzugeben, ist eine solche Definition eines „Punktes“ durchaus geeignet. Ist es möglich, ein Objekt aus einer Menge von Punkten zu bauen, zum Beispiel eine „Linie“? "physischer Körper"? Scheinbar nicht. Ab 2, 3, 4 usw. Punkte, die keine Dimensionen haben, erhalten wir ein Objekt, das ebenfalls keine Dimensionen hat, also einen Punkt.

Für die Aufgabe, ein solches ideales Objekt wie eine "Linie" zu konstruieren, wird dieses Konzept nur funktionieren, wenn es verbessert wird. Lassen Sie einen Punkt als dimensionsloses Objekt zu einer Umgebung um diesen Punkt gehören, und dann können wir, indem wir sie in einer bestimmten Reihenfolge anordnen, beliebige ideale Objekte (Kugel, Kreis, Parabel usw.) konstruieren. Dieser Ansatz liegt der Integrationsmethode zugrunde.

Um reale Objekte und Phänomene der realen Welt zu modellieren, muss ein "Punkt" eine andere Eigenschaft haben - Masse. Der neue ideelle Erkenntnisgegenstand ist im Begriff des „materiellen Punktes“ fixiert. Unter bestimmten Bedingungen können wir das ganze Objekt als "materiellen Punkt" betrachten, was für viele Probleme in der Mechanik praktisch ist. Wenn der "materielle Punkt" eine bestimmte Nachbarschaft haben wird, dann ist es möglich, aus der Menge solcher "Punkte" ein neues Objekt zu konstruieren - einen "absolut starren Körper". Dieses Konzept ist zentral in der Festkörperphysik.

Ein schwereloser und nicht dehnbarer Faden mit einem materiellen Punkt am Ende bildet ein Modell eines mathematischen Pendels, das es erlaubt, die Gesetze harmonischer Schwingungen zu studieren.

Ein auf einer glatten Oberfläche liegender schwereloser und nicht dehnbarer Faden, an dessen Enden sich Materialpunkte befinden, bildet ein Modell verbundener Körper.

Ein schwereloser und undehnbarer Faden, der über einen schwerelosen und glatten Block geworfen wird, in dem es keine Reibung gibt, an dessen Enden sich materielle Punkte befinden, bildet ein Modell der Bewegung von Körpern auf dem Block.

Wir können weiter und weiter gehen, aber selbst diese Beispiele zeigen, dass wir zur Lösung verschiedener Erkenntnisziele neue Konzepte, Abstraktionen, Idealisierungen und Modelle schaffen müssen, obwohl sie genetisch miteinander verwandt sind, aber dennoch die Hauptmerkmale von tragen dieses besondere Phänomen durch das Modell, das sie sind und nicht mehr.

Wo liegen die Grenzen der Vereinfachung (Verarmung) eines Naturphänomens durch Idealisierung? Diese Grenzen werden von der Realität selbst umrissen - in dem Moment, in dem das Modell aufhört, ein zuverlässiges Ergebnis zu liefern, wird es zu seinem Gegenteil - einer fruchtlosen Fantasie. Hier ist das Szenario einer der Klassen, die einer der berühmtesten Idealisierungen gewidmet sind - dem "materiellen Punkt".

Kann die Erde als materieller Punkt betrachtet werden?

1. Folgende Definitionen sind üblich: "Ein materieller Punkt ist ein Körper, dessen Abmessungen im Vergleich zu seinem Abstand zu anderen Körpern vernachlässigbar sind." Oder gar: „Ein materieller Punkt ist ein Körper, dessen gesamte Masse auf einen Punkt konzentriert ist.“

Um den letzten Gedanken weiterzuentwickeln, ist es logisch hinzuzufügen: Es gibt keine materiellen Punkte in der Natur und kann es auch nicht geben, da der Körper eine endliche Größe hat. Es stellt sich heraus, dass die Physik sorgfältig und akribisch untersucht, was nicht existiert. Natürlich begegnet man in der Physik auf Schritt und Tritt idealisierten Modellen. Deshalb ist es notwendig, eine genaue Vorstellung davon zu haben, in welche Richtung die Idealisierung konkret geht, wo die Grenzen der Anwendbarkeit der vorgestellten Modelle liegen.

Versuchen Sie, die obigen Definitionen eines materiellen Punktes zu korrigieren, indem Sie die Merkmale der Rotation der Erde um die Sonne verallgemeinern.

Antwort: Die Bewegung der Erde um die Sonne ist nicht translatorisch, da sich die Erde um ihre eigene Achse dreht. Es ist jedoch ziemlich offensichtlich, dass die Sonne diese Rotation in keiner Weise beeinflusst: Das Gravitationsfeld der Sonne ist kugelsymmetrisch und ziemlich gleichmäßig innerhalb des von der Erde eingenommenen Raums, und die Gravitationskraft der Sonne erzeugt kein Drehmoment relativ zu der Erde Center. Die Bewegung des Massenmittelpunkts der Erde hängt nicht von ihrer Drehung ab.

Natürlich hat die Erde keine einheitliche Dichte, und außerdem ist sie keine Kugel. Das Gravitationsfeld der Sonne variiert geringfügig innerhalb des von der Erde eingenommenen Teils des Weltraums. Aus diesen Gründen ist erstens das Rotationsmoment der Sonnenanziehung von Null verschieden und zweitens entstehen Sonnenfluten - Verformungen seiner oberen Schichten, die sich mit der Erdrotation bewegen. Beide Faktoren beeinflussen die tägliche Rotation der Erde, aber dieser Einfluss ist so unbedeutend, dass astronomische Beobachtungen des Zeitraums der täglichen Rotation der Erde bis vor kurzem die Grundlage für den genauen (Referenz-)Zeitdienst waren.

Wenn wir also die Flugbahn eines Punktes der Erde im Weltraum berechnen müssen, können wir vorübergehend die Rotation der Erde vergessen, annehmen, dass die gesamte Masse in ihrem Zentrum konzentriert ist, die Bewegung eines Punktes mit einer solchen Masse berechnen, und dann der berechneten Bewegung die tägliche Rotation der Erde auferlegen.

In diesem Fall ist also die Beschleunigung aller Punkte der Erde unter dem Einfluss nur der Anziehungskraft der Sonne und anderer Planeten (außer der Erde selbst) gleich und stimmt mit dem Beschleunigungswert überein, der unter der Annahme berechnet wird, dass die gesamte Masse der Erde ist in ihrem Zentrum konzentriert. Die Rotationsgeschwindigkeit der Erde, ihre Form, die Verteilung von Masse über Volumen haben keinen Einfluss auf die Größe dieser Beschleunigung. Dieses Ergebnis ist eine Folge der geringen Größe der Erde im Vergleich zu ihrer Entfernung von der Sonne.

Noch deutlicher werden die obigen Überlegungen, wenn man sie auf die Venus anwendet. Die Venus ist mit einer dichten Wolkenschicht bedeckt, sodass die Details ihrer Oberfläche nicht zu unterscheiden sind. Und keine Beobachtungen der Bewegung der Venus um die Sonne könnten die Frage beantworten: Was ist die richtige Rotation dieses Planeten?

2. Ist es möglich, die Erde als materiellen Punkt zu nehmen, wenn man Folgendes berechnet: a) die Entfernung von der Erde zur Sonne oder zum Mond; b) die Bahn, die die Erde in einem Monat auf ihrer Umlaufbahn um die Sonne zurücklegt; c) die Länge des Erdäquators; d) die Bewegungsgeschwindigkeit des Äquatorpunktes während der täglichen Drehung der Erde um ihre Achse; e) die Geschwindigkeit der Erde bei ihrer Umlaufbahn um die Sonne; f) die Bewegung eines künstlichen Satelliten um die Erde; g) während der Landung eines Raumfahrzeugs auf seiner Oberfläche?

Antwort: a) Ja, da die Entfernung der Erde zum Mond und zur Sonne um ein Vielfaches größer ist als die Größe der Erde; b) Ja, da die Strecke, die die Erde auf ihrer Umlaufbahn in einem Monat zurücklegt, um ein Vielfaches größer ist als die Größe der Erde; c) Nein, da der Durchmesser eine der charakteristischen Dimensionen der Erde ist, was der eigentlichen Definition eines materiellen Punktes widerspricht; d) Nein, da der Umfang des Äquators auch eine der charakteristischen Dimensionen der Erde ist, was der eigentlichen Definition eines materiellen Punktes widerspricht; e) Ja, in diesem Fall ist der von der Erde zurückgelegte Weg um ein Vielfaches größer als die Größe der Erde; f) Nein, da der Radius der Umlaufbahn des Satelliten größer sein muss als der Radius der Erde, d. h. bei der Berechnung der Umlaufbahn des Satelliten haben wir nicht das Recht, die wahren Abmessungen der Erde nicht zu berücksichtigen; g) Nein, denn in diesem Fall müssen wir nicht nur die Größe der Erde berücksichtigen, sondern auch, was sich am geplanten Landepunkt befindet - Wasser oder Land, sowie die Art des Reliefs.

3. Das Gesetz der universellen Gravitation wird wie folgt geschrieben: .

Wenn man dieses Verhältnis analysiert, kann man leicht zu merkwürdigen Schlussfolgerungen kommen: Mit einer unbegrenzten Verringerung des Abstands zwischen den Körpern muss auch die Kraft ihrer gegenseitigen Anziehung unbegrenzt zunehmen und bei einem Abstand von Null unendlich groß werden.

Warum heben wir in diesem Fall leicht einen Körper von der Oberfläche eines anderen (z. B. einen Stein vom Boden), stehen von einem Stuhl auf usw.?

Antwort: Sie können auf mehrere Ungenauigkeiten im obigen Text der Sophismus-Argumentation hinweisen. Erstens gilt das Gesetz der universellen Gravitation, geschrieben in der Form , nur für Punktkörper oder für Ellipsoide und Kugeln. Zweitens, wenn sich die Körper berühren, bedeutet dies keineswegs, dass die Menge gleich Null ist R, die in der Formel des Gesetzes der universellen Gravitation erscheint. So ist es zum Beispiel für zwei sich berührende Kugeln mit Radien ganz offensichtlich R1 und R2 du musst aufschreiben: R = R1 +R2.

Die Hauptsache ist jedoch vielleicht, dass die Gesetze der Physik gewisse Grenzen der Anwendbarkeit haben. Es ist nun bewiesen, dass das Gesetz der universellen Gravitation sowohl bei sehr kleinen als auch bei sehr großen Entfernungen seine Gültigkeit verliert. Es ist nur bei 1 cm richtig<R< 5 10 24 cm Es wurde festgestellt, dass Himmelskörper, die durch einen Abstand von mehr als 5 10 24 cm getrennt sind, sich gegenseitig „nicht zu bemerken“ scheinen (B. A. Vorontsov-Velyaminov „Ist das Gesetz der universellen Gravitation universell?“ Nr. 9 von die Zeitschrift „Technik der Jugend“ für 1960).

4. Die Beschleunigung im freien Fall hat die merkwürdige Eigenschaft, dass sie für alle Körper jeder Masse gleich ist. Aber die Beschleunigung des freien Falls nach dem zweiten Hauptsatz ist umgekehrt proportional zur Masse: a = F/m. Wie kann man erklären, dass die Beschleunigung, die einem Körper durch die Schwerkraft der Erde verliehen wird, für alle Körper gleich ist?

Antwort: Der Grund liegt in der Proportionalität der schweren und trägen Masse. Um der Argumentation besser folgen zu können, bezeichnen wir die Trägheitsmasse mit m inert, und die schwere Masse durch m grav. Auf der Erdoberfläche . Da der Wert für alle Körper auf der Erde gleich ist, bezeichnen wir ihn mit g. Somit beträgt das Gewicht eines Körpers auf der Erde .

Vergleichen wir nun, was passiert, wenn zwei Körper gleichzeitig vom Turm geschleudert werden. Die auf den ersten Körper wirkende Schwerkraft ist . Das Gewicht des zweiten Körpers ist

Wenn ~ dann und . Auf diese Weise .

5. Angenommen, Sie leben in einer Welt, in der die schwere Masse proportional zum Quadrat der trägen Masse ist. Wenn Sie einen schweren und einen leichten Körper fallen lassen, welcher wird zuerst die Erde erreichen?

Antwort: Die Beschleunigungen von Körpern werden proportional zu ihrer Masse sein. Folglich wird ein Körper mit größerer Trägheitsmasse früher fallen.

Literatur

1. Lange V.N. Physikalische Paradoxien und Sophismen: Ein Leitfaden für Studenten. -3. Aufl., überarbeitet. - M.: Aufklärung, 1978. - 176. S., mit Abb.

2. Swartz Kl.E. Außergewöhnliche Physik gewöhnlicher Phänomene: Per. aus dem Englischen. In 2 Bänden T. 1. - M.: Nauka. CH. ed. Phys.-Math. lit., 1986. - 400 S., mit Abb.

3. Uschakow E.V. Einführung in die Philosophie und Methodik der Wissenschaften: Lehrbuch / E.V. Uschakow. - M .: Verlag "Exam", 2005. - 528 p. (Reihe "Lehrbuch für Hochschulen").