Gewöhnliche Differentialgleichung wird eine Gleichung genannt, die eine unabhängige Variable, eine unbekannte Funktion dieser Variablen und ihre Ableitungen (oder Differentiale) verschiedener Ordnungen in Beziehung setzt.

Die Ordnung der Differentialgleichung ist die Ordnung der höchsten darin enthaltenen Ableitung.

Neben gewöhnlichen werden auch partielle Differentialgleichungen untersucht. Dies sind Gleichungen, die unabhängige Variablen, eine unbekannte Funktion dieser Variablen und ihre partiellen Ableitungen in Bezug auf dieselben Variablen in Beziehung setzen. Aber wir werden nur überlegen gewöhnliche Differentialgleichungen und deshalb werden wir das Wort „gewöhnlich“ der Kürze halber weglassen.

Beispiele für Differentialgleichungen:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Gleichung (1) ist von vierter Ordnung, Gleichung (2) ist von dritter Ordnung, Gleichungen (3) und (4) sind von zweiter Ordnung, Gleichung (5) ist von erster Ordnung.

Differentialgleichung n order muss nicht explizit eine Funktion enthalten, alle ihre Ableitungen von first bis n Ordnung und eine unabhängige Variable. Es darf nicht ausdrücklich Ableitungen einiger Ordnungen, einer Funktion oder einer unabhängigen Variablen enthalten.

Beispielsweise gibt es in Gleichung (1) offensichtlich keine Ableitungen dritter und zweiter Ordnung sowie Funktionen; in Gleichung (2) - Ableitung zweiter Ordnung und Funktion; in Gleichung (4) - unabhängige Variable; in Gleichung (5) - Funktionen. Nur Gleichung (3) enthält explizit alle Ableitungen, die Funktion und die unabhängige Variable.

Durch Lösen der Differentialgleichung jede Funktion wird aufgerufen y = f(x), indem wir which in die Gleichung einsetzen, wird es zu einer Identität.

Der Prozess, eine Lösung für eine Differentialgleichung zu finden, wird als sein bezeichnet Integration.

Beispiel 1 Finden Sie eine Lösung für die Differentialgleichung.

Entscheidung. Wir schreiben diese Gleichung in der Form . Die Lösung besteht darin, die Funktion durch ihre Ableitung zu finden. Die Ursprungsfunktion ist, wie aus der Integralrechnung bekannt, die Stammfunktion für, d.h.

Das ist es Lösung der gegebenen Differentialgleichung . sich darin verändern C, werden wir verschiedene Lösungen erhalten. Wir haben herausgefunden, dass es unendlich viele Lösungen für eine Differentialgleichung erster Ordnung gibt.

Allgemeine Lösung der Differentialgleichung n Ordnung ist ihre Lösung, die explizit in Bezug auf die unbekannte Funktion ausgedrückt wird und enthält n unabhängige willkürliche Konstanten, d.h.

Die Lösung der Differentialgleichung in Beispiel 1 ist allgemein.

Partielle Lösung der Differentialgleichung seine Lösung heißt, bei der willkürlichen Konstanten bestimmte Zahlenwerte zugeordnet werden.

Beispiel 2 Finden Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung und eine spezielle Lösung für .

Entscheidung. Wir integrieren beide Teile der Gleichung so oft, dass die Ordnung der Differentialgleichung gleich ist.

,

.

Als Ergebnis haben wir die allgemeine Lösung -

gegebene Differentialgleichung dritter Ordnung.

Lassen Sie uns nun eine bestimmte Lösung unter den angegebenen Bedingungen finden. Dazu ersetzen wir ihre Werte anstelle von willkürlichen Koeffizienten und erhalten

.

Ist zusätzlich zur Differentialgleichung die Anfangsbedingung in der Form gegeben, so heißt ein solches Problem Cauchy-Problem . Die Werte und werden in die allgemeine Lösung der Gleichung eingesetzt und der Wert einer beliebigen Konstante wird gefunden C, und dann eine bestimmte Lösung der Gleichung für den gefundenen Wert C. Dies ist die Lösung des Cauchy-Problems.

Beispiel 3 Lösen Sie das Cauchy-Problem für die Differentialgleichung aus Beispiel 1 unter der Bedingung .

Entscheidung. Wir setzen die Werte aus der Anfangsbedingung in die allgemeine Lösung ein j = 3, x= 1. Wir bekommen

Wir schreiben die Lösung des Cauchy-Problems für die gegebene Differentialgleichung erster Ordnung an:

Das Lösen von Differentialgleichungen, selbst der einfachsten, erfordert gute Fähigkeiten im Integrieren und Ableiten, einschließlich komplexer Funktionen. Dies ist im folgenden Beispiel zu sehen.

Beispiel 4 Finde die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

Entscheidung. Die Gleichung ist so geschrieben, dass beide Seiten sofort integriert werden können.

.

Wir wenden die Integrationsmethode an, indem wir die Variable ändern (Substitution). Dann lassen Sie .

Erforderlich zu nehmen dx und jetzt - Achtung - machen wir es nach den Regeln der Differentiation einer komplexen Funktion, da x und es gibt eine komplexe Funktion ("Apfel" - Extrahieren der Quadratwurzel oder, was dasselbe ist - Potenzieren von "einer Sekunde" und "Hackfleisch" - der Ausdruck selbst unter der Wurzel):

Wir finden das Integral:

Zurück zur Variablen x, wir bekommen:

.

Dies ist die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ersten Grades.

Zum Lösen von Differentialgleichungen werden nicht nur Kenntnisse aus den vorangegangenen Abschnitten der höheren Mathematik benötigt, sondern auch Kenntnisse aus der Grund- bzw. Schulmathematik. Wie bereits erwähnt, darf es in einer Differentialgleichung beliebiger Ordnung keine unabhängige Variable, also eine Variable, geben x. Das nicht vergessene Wissen über Proportionen (aber jeder hat es gern) von der Schulbank hilft, dieses Problem zu lösen. Dies ist das nächste Beispiel.

Bei manchen Problemen der Physik kann kein direkter Zusammenhang zwischen den den Vorgang beschreibenden Größen hergestellt werden. Es besteht jedoch die Möglichkeit, eine Gleichung zu erhalten, die die Ableitungen der untersuchten Funktionen enthält. So entstehen Differentialgleichungen und die Notwendigkeit, sie zu lösen, um eine unbekannte Funktion zu finden.

Dieser Artikel richtet sich an diejenigen, die mit dem Problem konfrontiert sind, eine Differentialgleichung zu lösen, in der die unbekannte Funktion eine Funktion einer Variablen ist. Die Theorie ist so aufgebaut, dass Sie Ihre Arbeit mit einem Null-Verständnis von Differentialgleichungen erledigen können.

Jeder Art von Differentialgleichungen ist ein Lösungsverfahren mit ausführlichen Erklärungen und Lösungen typischer Beispiele und Probleme zugeordnet. Sie müssen nur die Art der Differentialgleichung Ihres Problems bestimmen, ein ähnlich analysiertes Beispiel finden und ähnliche Aktionen ausführen.

Um Differentialgleichungen erfolgreich lösen zu können, müssen Sie außerdem in der Lage sein, Stammfunktionen (unbestimmte Integrale) verschiedener Funktionen zu finden. Bei Bedarf empfehlen wir Ihnen, den Abschnitt zu lesen.

Zuerst betrachten wir die Arten von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung, die bezüglich der Ableitung gelöst werden können, dann gehen wir zu ODEs zweiter Ordnung über, dann verweilen wir bei Gleichungen höherer Ordnung und schließen mit Systemen von Differentialgleichungen ab.

Erinnern Sie sich daran, dass wenn y eine Funktion des Arguments x ist.

Differentialgleichungen erster Ordnung.

Die einfachsten Differentialgleichungen erster Ordnung der Form .

Lassen Sie uns einige Beispiele für solche DE aufschreiben .

Differentialgleichung kann nach der Ableitung aufgelöst werden, indem beide Seiten der Gleichheit durch f(x) dividiert werden. In diesem Fall erhalten wir die Gleichung , die der ursprünglichen für f(x) ≠ 0 entspricht. Beispiele für solche ODEs sind .

Wenn es Werte des Arguments x gibt, für die die Funktionen f(x) und g(x) gleichzeitig verschwinden, dann erscheinen zusätzliche Lösungen. Zusätzliche Lösungen der Gleichung gegeben x sind beliebige Funktionen, die für diese Argumentwerte definiert sind. Beispiele für solche Differentialgleichungen sind .

Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

Lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

LODE mit konstanten Koeffizienten ist eine sehr verbreitete Art von Differentialgleichungen. Ihre Lösung ist nicht besonders schwierig. Zuerst werden die Wurzeln der charakteristischen Gleichung gefunden . Für verschiedene p und q sind drei Fälle möglich: Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung können reell und verschieden, reell und zusammenfallend sein oder komplex konjugiert. Abhängig von den Werten der Wurzeln der charakteristischen Gleichung wird die allgemeine Lösung der Differentialgleichung geschrieben als , oder , bzw.

Betrachten Sie beispielsweise eine lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Die Wurzeln seiner charakteristischen Gleichung sind k 1 = -3 und k 2 = 0. Die Wurzeln sind reell und unterschiedlich, daher ist die allgemeine Lösung für die LDE mit konstanten Koeffizienten


Lineare inhomogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

Die allgemeine Lösung der LIDE zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten y wird als Summe der allgemeinen Lösung der entsprechenden LODE gesucht und eine bestimmte Lösung der ursprünglichen inhomogenen Gleichung, das heißt . Der vorherige Absatz ist der Suche nach einer allgemeinen Lösung für eine homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten gewidmet. Und eine bestimmte Lösung wird entweder durch die Methode der unbestimmten Koeffizienten für eine bestimmte Form der Funktion f (x) bestimmt, die auf der rechten Seite der ursprünglichen Gleichung steht, oder durch die Methode der Variation beliebiger Konstanten.

Als Beispiele für LIDEs zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten stellen wir vor


Zum Verständnis der Theorie und zum Kennenlernen der Detaillösungen von Beispielen bieten wir Ihnen auf der Seite Lineare inhomogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten an.

Lineare homogene Differentialgleichungen (LODEs) und lineare inhomogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung (LNDEs).

Ein Spezialfall derartiger Differentialgleichungen sind LODE und LODE mit konstanten Koeffizienten.

Die allgemeine Lösung des LODE auf einem bestimmten Intervall wird durch eine Linearkombination von zwei linear unabhängigen Einzellösungen y 1 und y 2 dieser Gleichung dargestellt, d. h. .

Die Hauptschwierigkeit liegt gerade darin, linear unabhängige Teillösungen dieser Art von Differentialgleichungen zu finden. Normalerweise werden bestimmte Lösungen aus den folgenden Systemen linear unabhängiger Funktionen ausgewählt:


Allerdings werden bestimmte Lösungen nicht immer in dieser Form dargestellt.

Ein Beispiel für ein LODU ist .

Die allgemeine Lösung der LIDE wird in der Form gesucht, wobei die allgemeine Lösung der entsprechenden LODE und eine spezielle Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung ist. Wir haben gerade über das Finden gesprochen, aber es kann mit der Methode der Variation beliebiger Konstanten bestimmt werden.

Ein Beispiel für ein LNDE ist .

Differentialgleichungen höherer Ordnung.

Differentialgleichungen, die Ordnungsreduktion zulassen.

Ordnung der Differentialgleichung , die die gewünschte Funktion und ihre Ableitungen bis zur k-1-Ordnung nicht enthält, kann durch Ersetzen von n-k auf n-k reduziert werden.

In diesem Fall reduziert sich die ursprüngliche Differentialgleichung auf . Nachdem seine Lösung p(x) gefunden wurde, bleibt es, zur Ersetzung zurückzukehren und die unbekannte Funktion y zu bestimmen.

Zum Beispiel die Differentialgleichung nachdem die Ersetzung zu einer trennbaren Gleichung wird und ihre Ordnung von der dritten auf die erste reduziert wird.

I. Gewöhnliche Differentialgleichungen

1.1. Grundbegriffe und Definitionen

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, die eine unabhängige Variable in Beziehung setzt x, die gewünschte Funktion j und seine Derivate oder Differentiale.

Symbolisch wird die Differentialgleichung wie folgt geschrieben:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y(n))=0

Eine Differentialgleichung heißt gewöhnlich, wenn die gesuchte Funktion von einer unabhängigen Variablen abhängt.

Durch Lösen der Differentialgleichung heißt eine solche Funktion, die diese Gleichung in eine Identität verwandelt.

Die Ordnung der Differentialgleichung ist die Ordnung der höchsten Ableitung in dieser Gleichung

Beispiele.

1. Betrachten Sie die Differentialgleichung erster Ordnung

Die Lösung dieser Gleichung ist die Funktion y = 5 ln x. In der Tat durch Substitution ja" in die Gleichung bekommen wir - eine Identität.

Und das bedeutet, dass die Funktion y = 5 ln x– die Lösung dieser Differentialgleichung ist.

2. Betrachten Sie die Differentialgleichung zweiter Ordnung y" - 5y" + 6y = 0. Die Funktion ist die Lösung dieser Gleichung.

Wirklich, .

Setzen wir diese Ausdrücke in die Gleichung ein, erhalten wir: , - Identität.

Und das bedeutet, dass die Funktion die Lösung dieser Differentialgleichung ist.

Integration von Differentialgleichungen ist der Prozess, Lösungen für Differentialgleichungen zu finden.

Allgemeine Lösung der Differentialgleichung heißt Funktion der Form , die so viele unabhängige willkürliche Konstanten enthält wie die Ordnung der Gleichung.

Partielle Lösung der Differentialgleichung heißt die Lösung, die aus der allgemeinen Lösung für verschiedene Zahlenwerte beliebiger Konstanten erhalten wird. Die Werte beliebiger Konstanten finden sich bei bestimmten Anfangswerten des Arguments und der Funktion.

Der Graph einer bestimmten Lösung einer Differentialgleichung heißt integrale Kurve.

Beispiele

1. Finden Sie eine bestimmte Lösung für eine Differentialgleichung erster Ordnung

xdx + ydy = 0, Wenn j= 4 bei x = 3.

Entscheidung. Wenn wir beide Seiten der Gleichung integrieren, erhalten wir

Kommentar. Eine als Ergebnis der Integration erhaltene beliebige Konstante C kann in jeder Form dargestellt werden, die für weitere Transformationen geeignet ist. In diesem Fall ist es unter Berücksichtigung der kanonischen Kreisgleichung zweckmäßig, eine beliebige Konstante С in der Form darzustellen.

ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

Eine bestimmte Lösung einer Gleichung, die die Anfangsbedingungen erfüllt j = 4 bei x = 3 ergibt sich aus der allgemeinen durch Einsetzen der Anfangsbedingungen in die allgemeine Lösung: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Setzen wir C=5 in die allgemeine Lösung ein, erhalten wir x2+y2 = 5 2 .

Dies ist eine spezielle Lösung der Differentialgleichung, die sich aus der allgemeinen Lösung unter gegebenen Anfangsbedingungen ergibt.

2. Finden Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

Die Lösung dieser Gleichung ist eine beliebige Funktion der Form , wobei C eine beliebige Konstante ist. In der Tat erhalten wir durch Einsetzen in die Gleichungen: , .

Daher hat diese Differentialgleichung unendlich viele Lösungen, da für verschiedene Werte der Konstanten C die Gleichheit verschiedene Lösungen der Gleichung bestimmt.

Beispielsweise kann man durch direkte Substitution überprüfen, ob die Funktionen funktionieren sind Lösungen der Gleichung .

Ein Problem, bei dem es erforderlich ist, eine bestimmte Lösung für die Gleichung zu finden y" = f(x, y) Erfüllen der Anfangsbedingung y(x0) = y0, wird das Cauchy-Problem genannt.

Gleichungslösung y" = f(x, y), die Anfangsbedingung erfüllt, y(x0) = y0, wird als Lösung des Cauchy-Problems bezeichnet.

Die Lösung des Cauchy-Problems hat eine einfache geometrische Bedeutung. In der Tat, nach diesen Definitionen, um das Cauchy-Problem zu lösen y" = f(x, y) gegeben das y(x0) = y0, bedeutet, die Integralkurve der Gleichung zu finden y" = f(x, y) die durch einen bestimmten Punkt geht M0 (x0,ja 0).

II. Differentialgleichungen erster Ordnung

2.1. Grundlegendes Konzept

Eine Differentialgleichung erster Ordnung ist eine Gleichung der Form F(x,y,y") = 0.

Die Differentialgleichung erster Ordnung enthält die erste Ableitung und keine Ableitungen höherer Ordnung.

Die gleichung y" = f(x, y) heißt nach der Ableitung gelöste Gleichung erster Ordnung.

Eine allgemeine Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung ist eine Funktion der Form , die eine beliebige Konstante enthält.

Beispiel. Betrachten Sie eine Differentialgleichung erster Ordnung.

Die Lösung dieser Gleichung ist die Funktion .

In der Tat, indem wir diese Gleichung durch ihren Wert ersetzen, erhalten wir

also 3x=3x

Daher ist die Funktion eine allgemeine Lösung der Gleichung für jede Konstante C.

Finden Sie eine bestimmte Lösung dieser Gleichung, die die Anfangsbedingung erfüllt y(1)=1 Ersetzen von Anfangsbedingungen x=1, y=1 in die allgemeine Lösung der Gleichung erhalten wir woher C=0.

So erhalten wir eine bestimmte Lösung aus der allgemeinen, indem wir den resultierenden Wert in diese Gleichung einsetzen C=0 ist eine private Entscheidung.

2.2. Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen

Eine Differentialgleichung mit trennbaren Variablen ist eine Gleichung der Form: y"=f(x)g(y) oder durch Differentiale , wo f(x) und g(j) Funktionen gegeben sind.

Für diejenigen j, für die , die Gleichung y"=f(x)g(y) entspricht der Gleichung in der die Variable j nur auf der linken Seite vorhanden ist und die Variable x nur auf der rechten Seite vorhanden ist. Sie sagen: „In der Gleichung y"=f(x)g(y Trennen der Variablen.

Gleichung eingeben wird als getrennte Variablengleichung bezeichnet.

Nach der Integration beider Teile der Gleichung An x, wir bekommen G(y) = F(x) + C die allgemeine Lösung der Gleichung ist, wobei G(y) und F(x) sind einige Stammfunktionen von Funktionen und f(x), C Willkürliche Konstante.

Algorithmus zum Lösen einer Differentialgleichung erster Ordnung mit trennbaren Variablen

Beispiel 1

löse die Gleichung y" = xy

Entscheidung. Ableitung einer Funktion ja" ersetzen mit

wir trennen die Variablen

Lassen Sie uns beide Teile der Gleichheit integrieren:

Beispiel 2

2yy" = 1- 3x 2, Wenn y 0 = 3 beim x0 = 1

Dies ist eine getrennte Variablengleichung. Lassen Sie es uns in Differentialen darstellen. Dazu schreiben wir diese Gleichung in die Form um Von hier

Wenn wir beide Teile der letzten Gleichheit integrieren, finden wir

Ersetzen von Anfangswerten x 0 = 1, y 0 = 3 finden Mit 9=1-1+C, d.h. C = 9.

Daher wird das gewünschte partielle Integral sein oder

Beispiel 3

Schreiben Sie eine Gleichung für eine Kurve, die durch einen Punkt verläuft M(2;-3) und eine Tangente mit einer Steigung haben

Entscheidung. Je nach Zustand

Dies ist eine trennbare Variablengleichung. Dividiert man die Variablen, erhält man:

Integrieren wir beide Teile der Gleichung, erhalten wir:

Unter Verwendung der Anfangsbedingungen x=2 und y=-3 finden C:

Daher hat die gesuchte Gleichung die Form

2.3. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

Eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung ist eine Gleichung der Form y" = f(x)y + g(x)

wo f(x) und g(x)- einige vorgegebene Funktionen.

Wenn ein g(x)=0 dann heißt die lineare Differentialgleichung homogen und hat die Form: y" = f(x)y

Wenn dann die Gleichung y" = f(x)y + g(x) heterogen genannt.

Allgemeine Lösung einer linearen homogenen Differentialgleichung y" = f(x)y gegeben durch die Formel: wo Mit ist eine beliebige Konstante.

Insbesondere wenn C \u003d 0, dann ist die Lösung y=0 Wenn die lineare homogene Gleichung die Form hat y" = ky wo k eine Konstante ist, dann hat ihre allgemeine Lösung die Form: .

Allgemeine Lösung einer linearen inhomogenen Differentialgleichung y" = f(x)y + g(x) durch die Formel gegeben ,

jene. gleich der Summe der allgemeinen Lösung der entsprechenden linearen homogenen Gleichung und der speziellen Lösung dieser Gleichung ist.

Für eine lineare inhomogene Gleichung der Form y" = kx + b,

wo k und b- Einige Zahlen und eine bestimmte Lösung werden eine konstante Funktion sein. Daher hat die allgemeine Lösung die Form .

Beispiel. löse die Gleichung y" + 2y +3 = 0

Entscheidung. Wir stellen die Gleichung in der Form dar y" = -2y - 3 wo k=-2, b=-3 Die allgemeine Lösung ergibt sich aus der Formel .

Daher ist C eine beliebige Konstante.

2.4. Lösung linearer Differentialgleichungen erster Ordnung nach dem Bernoulli-Verfahren

Finden einer allgemeinen Lösung für eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung y" = f(x)y + g(x) reduziert sich auf das Lösen von zwei Differentialgleichungen mit getrennten Variablen unter Verwendung der Substitution y=uv, wo u und v- unbekannte Funktionen aus x. Dieses Lösungsverfahren wird als Bernoulli-Verfahren bezeichnet.

Algorithmus zum Lösen einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung

y" = f(x)y + g(x)

1. Geben Sie eine Vertretung ein y=uv.

2. Differenzieren Sie diese Gleichheit y"=u"v + uv"

3. Ersatz j und ja" in diese Gleichung: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) oder u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Gruppieren Sie die Terme der Gleichung so, dass u aus Klammern nehmen:

5. Suchen Sie in der Klammer die Funktion, indem Sie sie mit Null gleichsetzen

Dies ist eine trennbare Gleichung:

Dividiere die Variablen und erhalte:

Woher . .

6. Ersetzen Sie den empfangenen Wert v in die Gleichung (aus Punkt 4):

und finden Sie die Funktion Dies ist eine trennbare Gleichung:

7. Schreiben Sie die allgemeine Lösung in der Form: , d.h. .

Beispiel 1

Finden Sie eine bestimmte Lösung für die Gleichung y" = -2y +3 = 0 Wenn y=1 beim x=0

Entscheidung. Lösen wir es mit Substitution y=uv,.y"=u"v + uv"

Ersetzen j und ja" in diese Gleichung bekommen wir

Indem wir den zweiten und dritten Term auf der linken Seite der Gleichung gruppieren, nehmen wir den gemeinsamen Faktor heraus u aus Klammern

Wir setzen den Ausdruck in Klammern mit Null gleich und finden die Funktion, nachdem wir die resultierende Gleichung gelöst haben v = v(x)

Wir haben eine Gleichung mit getrennten Variablen. Wir integrieren beide Teile dieser Gleichung: Finden Sie die Funktion v:

Ersetzen Sie den resultierenden Wert v in die Gleichung erhalten wir:

Dies ist eine getrennte Variablengleichung. Wir integrieren beide Teile der Gleichung: Lassen Sie uns die Funktion finden u = u(x,c) Lassen Sie uns eine allgemeine Lösung finden: Lassen Sie uns eine bestimmte Lösung der Gleichung finden, die die Anfangsbedingungen erfüllt y=1 beim x=0:

III. Differentialgleichungen höherer Ordnung

3.1. Grundbegriffe und Definitionen

Eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist eine Gleichung, die Ableitungen höchstens zweiter Ordnung enthält. Im allgemeinen Fall schreibt man die Differentialgleichung zweiter Ordnung wie folgt: F(x,y,y",y") = 0

Die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung zweiter Ordnung ist eine Funktion der Form , die zwei beliebige Konstanten enthält C1 und C2.

Eine bestimmte Lösung einer Differentialgleichung zweiter Ordnung ist eine Lösung, die aus der allgemeinen für einige Werte beliebiger Konstanten erhalten wird C1 und C2.

3.2. Lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstante Verhältnisse.

Lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten heißt eine Gleichung der Form y" + py" + qy = 0, wo p und q sind konstante Werte.

Algorithmus zur Lösung homogener Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

1. Schreiben Sie die Differentialgleichung in der Form: y" + py" + qy = 0.

2. Stellen Sie seine charakteristische Gleichung zusammen und bezeichnen Sie ja" durch r2, ja" durch r, j in 1: r2 + pr + q = 0

Differentialgleichungen erster Ordnung. Lösungsbeispiele.
Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen

Differentialgleichungen (DE). Diese beiden Wörter erschrecken normalerweise den durchschnittlichen Laien. Differentialgleichungen scheinen für viele Schüler etwas Ungeheuerliches und schwer Beherrschbares zu sein. Uuuuuu… Differentialgleichungen, wie soll ich das alles überleben?!

Eine solche Meinung und eine solche Einstellung ist grundsätzlich falsch, denn in der Tat DIFFERENZIALGLEICHUNGEN SIND EINFACH UND MACHEN SOGAR SPASS. Was muss man wissen und lernen können, um Differentialgleichungen zu lösen? Um diffures erfolgreich studieren zu können, müssen Sie gut integrieren und differenzieren können. Je besser die Themen studiert werden Ableitung einer Funktion einer Variablen und Unbestimmtes Integral, desto einfacher wird es, Differentialgleichungen zu verstehen. Ich sage noch mehr, wenn Sie mehr oder weniger gute Integrationsfähigkeiten haben, dann ist das Thema praktisch gemeistert! Je mehr Integrale verschiedener Typen Sie lösen können, desto besser. Wieso den? Man muss viel integrieren. Und differenzieren. Ebenfalls sehr empfehlenswert lernen zu finden.

In 95% der Fälle gibt es in Testarbeiten 3 Arten von Differentialgleichungen erster Ordnung: trennbare Gleichungen, die wir in dieser Lektion behandeln werden; homogene Gleichungen und lineare inhomogene Gleichungen. Anfängern beim Studium von Diffusoren empfehle ich, die Lektionen in dieser Reihenfolge zu lesen, und nach dem Studium der ersten beiden Artikel schadet es nicht, Ihre Fähigkeiten in einem zusätzlichen Workshop zu festigen - Gleichungen, die sich auf homogen reduzieren.

Es gibt sogar noch seltenere Arten von Differentialgleichungen: Gleichungen in totalen Differentialen, Bernoulli-Gleichungen und einige andere. Von den letzten beiden Typen sind die wichtigsten Gleichungen in totalen Differentialen, da ich zusätzlich zu diesem DE neues Material in Betracht ziehe - partielle Integration.

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Also, die Weichen sind gestellt - los geht's:

Erinnern wir uns zunächst an die üblichen algebraischen Gleichungen. Sie enthalten Variablen und Zahlen. Das einfachste Beispiel: . Was bedeutet es, eine gewöhnliche Gleichung zu lösen? Das bedeutet finden Reihe von Zahlen die diese Gleichung erfüllen. Es ist leicht zu sehen, dass die Kindergleichung eine einzelne Wurzel hat: . Lassen Sie uns zum Spaß eine Überprüfung durchführen und die gefundene Wurzel in unsere Gleichung einsetzen:

- die richtige Gleichheit erhalten wird, was bedeutet, dass die Lösung richtig gefunden wurde.

Diffusoren werden auf die gleiche Weise angeordnet!

Differentialgleichung erste Bestellung im Allgemeinen enthält:
1) unabhängige Variable ;
2) abhängige Variable (Funktion);
3) die erste Ableitung der Funktion: .

In manchen Gleichungen 1. Ordnung darf es kein „x“ oder (und) „y“ geben, aber das ist nicht unbedingt erforderlich - wichtig damit in DU war erste Ableitung und hatte nicht Ableitungen höherer Ordnungen - usw.

Was heißt ? Eine Differentialgleichung lösen heißt finden Satz aller Funktionen die diese Gleichung erfüllen. Eine solche Menge von Funktionen hat oft die Form ( ist eine beliebige Konstante), die aufgerufen wird allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

Beispiel 1

Differentialgleichung lösen

Volle Munition. Wo anfangen Entscheidung?

Zunächst müssen Sie die Ableitung in einer etwas anderen Form umschreiben. Wir erinnern uns an die umständliche Notation, die viele von Ihnen wahrscheinlich für lächerlich und unnötig hielten. Es ist das, was in Diffusoren herrscht!

Im zweiten Schritt sehen wir, ob es möglich ist Variablen teilen? Was bedeutet es, Variablen zu trennen? Grob gesagt, auf der linken Seite wir müssen weg nur "Spiele", a auf der rechten Seite organisieren nur x. Die Trennung der Variablen erfolgt mit Hilfe von "Schul" -Manipulationen: Klammern, Übertragung von Begriffen von Teil zu Teil mit Vorzeichenwechsel, Übertragung von Faktoren von Teil zu Teil gemäß der Proportionsregel usw.

Differentiale und sind volle Multiplikatoren und aktive Teilnehmer an Feindseligkeiten. In diesem Beispiel lassen sich die Variablen nach der Proportionsregel einfach durch Umdrehen von Faktoren trennen:

Variablen werden getrennt. Auf der linken Seite - nur "Spiel", auf der rechten Seite - nur "X".

Nächste Stufe - Differentialgleichungsintegration. Ganz einfach, wir hängen Integrale an beide Teile:

Natürlich müssen Integrale genommen werden. In diesem Fall sind sie tabellarisch:

Wie wir uns erinnern, ist jeder Stammfunktion eine Konstante zugeordnet. Hier gibt es zwei Integrale, aber es reicht, die Konstante einmal zu schreiben (weil eine Konstante + eine Konstante immer noch gleich einer anderen Konstante ist). In den meisten Fällen wird es auf der rechten Seite platziert.

Streng genommen gilt die Differentialgleichung nach Bildung der Integrale als gelöst. Das einzige ist, dass unser „y“ nicht durch „x“ ausgedrückt wird, dh die Lösung wird präsentiert im implizit form. Die implizite Lösung einer Differentialgleichung heißt allgemeines Integral der Differentialgleichung. Das heißt, ist das allgemeine Integral.

Eine Antwort in dieser Form ist durchaus akzeptabel, aber gibt es eine bessere Option? Versuchen wir es zu bekommen gemeinsame Entscheidung.

Gern geschehen, erinnere dich an die erste Technik, es ist sehr verbreitet und wird oft in praktischen Aufgaben verwendet: erscheint nach der Integration auf der rechten Seite ein Logarithmus, dann ist es in vielen Fällen (aber keineswegs immer!) ratsam, auch die Konstante unter den Logarithmus zu schreiben.

Also, ANSTATT Aufzeichnungen werden normalerweise geschrieben .

Warum wird das benötigt? Und um es einfacher zu machen, "y" auszudrücken. Wir nutzen die Eigenschaft des Logarithmus . In diesem Fall:

Jetzt können Logarithmen und Module entfernt werden:

Die Funktion wird explizit dargestellt. Dies ist die allgemeine Lösung.

Antworten: gemeinsame Entscheidung: .

Die Antworten auf viele Differentialgleichungen sind ziemlich einfach zu überprüfen. In unserem Fall geht das ganz einfach, wir nehmen die gefundene Lösung und differenzieren sie:

Dann setzen wir die Ableitung in die ursprüngliche Gleichung ein:

- die richtige Gleichheit erhalten wird, was bedeutet, dass die allgemeine Lösung die zu überprüfende Gleichung erfüllt.

Indem Sie einer Konstante verschiedene Werte geben, können Sie unendlich viele erhalten private Entscheidungen Differentialgleichung. Es ist klar, dass jede der Funktionen , , usw. erfüllt die Differentialgleichung .

Manchmal wird die allgemeine Lösung aufgerufen Familie von Funktionen. In diesem Beispiel die allgemeine Lösung ist eine Familie linearer Funktionen oder besser gesagt eine Familie direkter Proportionalitäten.

Nach einer ausführlichen Diskussion des ersten Beispiels ist es angebracht, ein paar naive Fragen zu Differentialgleichungen zu beantworten:

1)In diesem Beispiel ist es uns gelungen, die Variablen zu trennen. Ist das immer möglich? Nein nicht immer. Und noch häufiger lassen sich die Variablen nicht trennen. Zum Beispiel im homogene Gleichungen erster Ordnung muss erst getauscht werden. Bei anderen Arten von Gleichungen, zum Beispiel bei einer linearen inhomogenen Gleichung erster Ordnung, müssen Sie verschiedene Tricks und Methoden anwenden, um eine allgemeine Lösung zu finden. Die Gleichungen mit trennbaren Variablen, die wir in der ersten Lektion betrachten, sind die einfachste Art von Differentialgleichungen.

2) Kann man eine Differentialgleichung immer integrieren? Nein nicht immer. Es ist sehr einfach, eine "schicke" Gleichung zu finden, die nicht integriert werden kann, außerdem gibt es Integrale, die nicht genommen werden können. Aber solche DEs können mit speziellen Methoden näherungsweise gelöst werden. D'Alembert und Cauchy garantieren... ...äh, lurkmore.to Ich habe gerade viel gelesen, fast hätte ich "aus der anderen Welt" hinzugefügt.

3) In diesem Beispiel haben wir eine Lösung in Form eines allgemeinen Integrals erhalten . Ist es immer möglich, aus dem allgemeinen Integral eine allgemeine Lösung zu finden, also „y“ explizit auszudrücken? Nein nicht immer. Zum Beispiel: . Nun, wie kann ich hier "y" ausdrücken?! In solchen Fällen sollte die Antwort als allgemeines Integral geschrieben werden. Außerdem ist es manchmal möglich, eine allgemeine Lösung zu finden, die jedoch so umständlich und ungeschickt geschrieben ist, dass es besser ist, die Antwort in Form eines allgemeinen Integrals zu belassen

4) ...vielleicht erstmal genug. Im ersten Beispiel haben wir uns getroffen ein weiterer wichtiger Punkt, aber um die "Dummies" nicht mit einer Lawine neuer Informationen zu überziehen, werde ich es bis zur nächsten Lektion belassen.

Beeilen wir uns nicht. Eine weitere einfache Fernbedienung und eine weitere typische Lösung:

Beispiel 2

Finden Sie eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung, die die Anfangsbedingung erfüllt

Entscheidung: nach der Bedingung, die es zu finden gilt private Lösung DE, das eine gegebene Anfangsbedingung erfüllt. Diese Art der Befragung wird auch genannt Cauchy-Problem.

Zuerst finden wir eine allgemeine Lösung. Es gibt keine „x“-Variable in der Gleichung, aber das sollte nicht peinlich sein, Hauptsache, es hat die erste Ableitung.

Wir schreiben die Ableitung in der erforderlichen Form um:

Offensichtlich können die Variablen aufgeteilt werden, Jungen nach links, Mädchen nach rechts:

Wir integrieren die Gleichung:

Das allgemeine Integral wird erhalten. Hier habe ich eine Konstante mit einem Akzentstern gezeichnet, Tatsache ist, dass sie sich sehr bald in eine andere Konstante verwandeln wird.

Nun versuchen wir das allgemeine Integral in eine allgemeine Lösung umzuwandeln (explizit "y" ausdrücken). Wir erinnern uns an die alte, gute Schule: . In diesem Fall:

Die Konstante im Indikator sieht irgendwie nicht koscher aus, daher wird sie normalerweise vom Himmel auf die Erde gesenkt. Im Detail passiert das so. Unter Verwendung der Eigenschaft von Graden schreiben wir die Funktion wie folgt um:

Wenn eine Konstante ist, dann ist auch eine Konstante, benennen Sie sie mit dem Buchstaben um:

Denken Sie daran, dass der "Abbruch" einer Konstante ist zweite Technik, die häufig beim Lösen von Differentialgleichungen verwendet wird.

Die allgemeine Lösung lautet also: So eine schöne Familie von Exponentialfunktionen.

In der letzten Phase müssen Sie eine bestimmte Lösung finden, die die gegebene Anfangsbedingung erfüllt. Es ist auch einfach.

Was ist die Aufgabe? Muss abgeholt werden solch der Wert der Konstante, um die Bedingung zu erfüllen.

Sie können es auf verschiedene Arten arrangieren, aber am verständlichsten ist es vielleicht so. In der allgemeinen Lösung ersetzen wir anstelle von „x“ Null und anstelle von „y“ zwei:



Also,

Standard-Design-Version:

Nun setzen wir den gefundenen Wert der Konstanten in die allgemeine Lösung ein:
– das ist die spezielle Lösung, die wir brauchen.

Antworten: private Lösung:

Lassen Sie uns einen Check machen. Die Verifizierung einer bestimmten Lösung umfasst zwei Phasen:

Zunächst ist zu prüfen, ob die gefundene spezielle Lösung wirklich die Anfangsbedingung ? Anstelle von "x" ersetzen wir null und sehen, was passiert:
- Ja, tatsächlich wurde ein Zweier erzielt, was bedeutet, dass die Anfangsbedingung erfüllt ist.

Die zweite Stufe ist bereits bekannt. Wir nehmen die resultierende spezielle Lösung und finden die Ableitung:

Ersetzen Sie in der ursprünglichen Gleichung:

- die richtige Gleichheit erreicht wird.

Fazit: Die jeweilige Lösung wird richtig gefunden.

Kommen wir zu aussagekräftigeren Beispielen.

Beispiel 3

Differentialgleichung lösen

Entscheidung: Wir schreiben die Ableitung in der Form um, die wir brauchen:

Prüfen, ob Variablen getrennt werden können? Dürfen. Den zweiten Term übertragen wir mit Vorzeichenwechsel auf die rechte Seite:

Und wir drehen die Faktoren nach der Proportionsregel um:

Die Variablen sind getrennt, integrieren wir beide Teile:

Ich muss Sie warnen, der Tag des Gerichts kommt. Wenn Sie nicht gut gelernt haben unbestimmte Integrale, einige Beispiele gelöst, dann geht es nirgendwo hin - Sie müssen sie jetzt beherrschen.

Das Integral der linken Seite ist leicht zu finden, mit dem Integral des Kotangens beschäftigen wir uns mit der Standardtechnik, die wir in der Lektion betrachtet haben Integration trigonometrischer Funktionen letztes Jahr:

Auf der rechten Seite haben wir einen Logarithmus, und nach meiner ersten technischen Empfehlung sollte die Konstante auch unter den Logarithmus geschrieben werden.

Nun versuchen wir, das allgemeine Integral zu vereinfachen. Da wir nur Logarithmen haben, ist es durchaus möglich (und notwendig), sie loszuwerden. Mit Hilfe bekannte Eigenschaften maximal "packen" Sie die Logarithmen. Ich werde ausführlich schreiben:

Die Verpackung ist komplett, um barbarisch zerfetzt zu werden:

Kann man "y" ausdrücken? Dürfen. Beide Teile müssen quadratisch sein.

Aber das müssen Sie nicht.

Dritter Tech-Tipp: Wenn Sie eine allgemeine Lösung erhalten möchten, müssen Sie sich an die Macht erheben oder Wurzeln schlagen in den meisten Fällen Sie sollten diese Aktionen unterlassen und die Antwort in Form eines allgemeinen Integrals belassen. Tatsache ist, dass die allgemeine Lösung einfach schrecklich aussehen wird - mit großen Wurzeln, Schildern und anderem Müll.

Daher schreiben wir die Antwort als allgemeines Integral. Es gilt als guter Stil, es in der Form darzustellen, das heißt, auf der rechten Seite möglichst nur eine Konstante zu belassen. Es ist nicht notwendig, aber es ist immer von Vorteil, den Professor zu erfreuen ;-)

Antworten: Allgemeines Integral:

! Notiz: Das allgemeine Integral jeder Gleichung kann auf mehr als eine Weise geschrieben werden. Wenn Ihr Ergebnis also nicht mit einer zuvor bekannten Antwort übereinstimmt, bedeutet dies nicht, dass Sie die Gleichung falsch gelöst haben.

Das allgemeine Integral lässt sich auch recht einfach überprüfen, Hauptsache finden können Ableitung einer implizit definierten Funktion. Differenzieren wir die Antwort:

Wir multiplizieren beide Terme mit:

Und wir dividieren durch:

Die ursprüngliche Differentialgleichung wurde exakt erhalten, was bedeutet, dass das allgemeine Integral korrekt gefunden wurde.

Beispiel 4

Finden Sie eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung, die die Anfangsbedingung erfüllt. Führen Sie eine Überprüfung durch.

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel.

Ich erinnere Sie daran, dass der Algorithmus aus zwei Phasen besteht:
1) Finden einer allgemeinen Lösung;
2) Finden der erforderlichen speziellen Lösung.

Die Überprüfung erfolgt ebenfalls in zwei Schritten (siehe Beispiel in Beispiel Nr. 2), Sie benötigen:
1) Stellen Sie sicher, dass die bestimmte gefundene Lösung die Anfangsbedingung erfüllt;
2) Überprüfen Sie, ob eine bestimmte Lösung die Differentialgleichung im Allgemeinen erfüllt.

Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Beispiel 5

Finden Sie eine bestimmte Lösung einer Differentialgleichung , die Anfangsbedingung erfüllt. Führen Sie eine Überprüfung durch.

Entscheidung: Suchen wir zunächst eine allgemeine Lösung: Diese Gleichung enthält bereits vorgefertigte Differentiale und , was bedeutet, dass die Lösung vereinfacht ist. Variablen trennen:

Wir integrieren die Gleichung:

Das Integral auf der linken Seite ist tabellarisch, das Integral auf der rechten Seite wird genommen die Methode, die Funktion unter dem Vorzeichen des Differentials zu summieren:

Das allgemeine Integral wurde erhalten, ist es möglich, die allgemeine Lösung erfolgreich auszudrücken? Dürfen. Wir hängen Logarithmen auf beiden Seiten auf. Da sie positiv sind, sind die Modulozeichen redundant:

(Ich hoffe, jeder versteht die Transformation, solche Dinge sollten bereits bekannt sein)

Die allgemeine Lösung lautet also:

Lassen Sie uns eine bestimmte Lösung finden, die der gegebenen Anfangsbedingung entspricht.
In der allgemeinen Lösung ersetzen wir statt „x“ die Null und statt „y“ den Logarithmus von zwei:

Bekannteres Design:

Wir setzen den gefundenen Wert der Konstanten in die allgemeine Lösung ein.

Antworten: Private Lösung:

Prüfen: Prüfen Sie zunächst, ob die Anfangsbedingung erfüllt ist:
- Alles ist gut.

Prüfen wir nun, ob die gefundene partikuläre Lösung die Differentialgleichung überhaupt erfüllt. Wir finden die Ableitung:

Schauen wir uns die ursprüngliche Gleichung an: – es wird in Differentialen dargestellt. Es gibt zwei Möglichkeiten, dies zu überprüfen. Es ist möglich, das Differential aus der gefundenen Ableitung auszudrücken:

Wir setzen die gefundene spezielle Lösung und das resultierende Differential in die ursprüngliche Gleichung ein :

Wir verwenden die grundlegende logarithmische Identität:

Es wird die richtige Gleichheit erhalten, was bedeutet, dass die jeweilige Lösung richtig gefunden wird.

Die zweite Art der Überprüfung ist gespiegelt und bekannter: aus der Gleichung Drücken Sie die Ableitung aus, dazu teilen wir alle Stücke durch:

Und im transformierten DE ersetzen wir die erhaltene partikuläre Lösung und die gefundene Ableitung . Durch Vereinfachungen sollte auch die richtige Gleichheit erreicht werden.

Beispiel 6

Lösen Sie die Differentialgleichung. Drücken Sie die Antwort als allgemeines Integral aus.

Dies ist ein Beispiel für Selbstlösung, vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Welche Schwierigkeiten warten beim Lösen von Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen?

1) Es ist nicht immer offensichtlich (insbesondere für eine Teekanne), dass Variablen getrennt werden können. Betrachten Sie ein bedingtes Beispiel: . Hier müssen Sie die Faktoren aus den Klammern nehmen: und die Wurzeln trennen:. Das weitere Vorgehen ist klar.

2) Schwierigkeiten bei der Integration selbst. Integrale entstehen oft nicht ganz einfach, und wenn es Mängel in den Fähigkeiten des Findens gibt unbestimmtes Integral, dann wird es bei vielen Diffusoren schwierig. Darüber hinaus ist die Logik „da die Differentialgleichung einfach ist, dann seien die Integrale komplizierter“ unter den Verfassern von Sammlungen und Handbüchern beliebt.

3) Transformationen mit einer Konstante. Wie jeder bemerkt hat, kann man mit einer Konstanten in Differentialgleichungen ziemlich frei umgehen, und einige Transformationen sind einem Anfänger nicht immer klar. Schauen wir uns ein weiteres hypothetisches Beispiel an: . Darin empfiehlt es sich, alle Terme mit 2 zu multiplizieren: . Die resultierende Konstante ist auch eine Art Konstante, die wie folgt bezeichnet werden kann: . Ja, und da auf der rechten Seite ein Logarithmus steht, ist es ratsam, die Konstante in eine andere Konstante umzuschreiben: .

Das Problem ist, dass sie sich oft nicht um Indizes kümmern und denselben Buchstaben verwenden. Als Ergebnis hat der Entscheidungssatz die folgende Form:

Welche Häresie? Hier sind die Fehler! Genau genommen ja. Inhaltlich liegt jedoch kein Fehler vor, da durch die Transformation einer variablen Konstante immer noch eine variable Konstante erhalten wird.

Oder ein anderes Beispiel, nehmen wir an, dass im Verlauf der Lösung der Gleichung ein allgemeines Integral erhalten wird. Diese Antwort sieht hässlich aus, daher ist es ratsam, das Vorzeichen jedes Begriffs zu ändern: . Formal liegt wieder ein Fehler vor - rechts sollte es stehen. Aber es wird informell impliziert, dass „minus ce“ immer noch eine Konstante ist ( die ebensogut beliebige Werte annimmt!), also macht das Einfügen eines "Minus" keinen Sinn und Sie können denselben Buchstaben verwenden.

Ich werde versuchen, einen unvorsichtigen Ansatz zu vermeiden und bei der Konvertierung trotzdem unterschiedliche Indizes für Konstanten anzulegen.

Beispiel 7

Lösen Sie die Differentialgleichung. Führen Sie eine Überprüfung durch.

Entscheidung: Diese Gleichung erlaubt die Trennung von Variablen. Variablen trennen:

Wir integrieren:

Die Konstante muss hier nicht unter dem Logarithmus definiert werden, da daraus nichts Gutes wird.

Antworten: Allgemeines Integral:

Prüfung: Differenziere die Antwort (implizite Funktion):

Auf Brüche verzichten wir, dazu multiplizieren wir beide Terme mit:

Die ursprüngliche Differentialgleichung ist erhalten, was bedeutet, dass das allgemeine Integral korrekt gefunden wurde.

Beispiel 8

Finden Sie eine bestimmte Lösung von DE.
,

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Der einzige Hinweis ist, dass Sie hier ein allgemeines Integral erhalten, und, genauer gesagt, Sie müssen sich bemühen, keine bestimmte Lösung zu finden, sondern Privates Integral. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

6.1. GRUNDLEGENDE KONZEPTE UND DEFINITIONEN

Bei der Lösung verschiedener Probleme in Mathematik und Physik, Biologie und Medizin ist es oft nicht möglich, sofort eine funktionale Abhängigkeit in Form einer Formel herzustellen, die die Variablen verbindet, die den untersuchten Prozess beschreiben. Üblicherweise muss man Gleichungen verwenden, die neben der unabhängigen Variablen und der unbekannten Funktion auch deren Ableitungen enthalten.

Definition. Eine Gleichung, die eine unabhängige Variable, eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen verschiedener Ordnungen in Beziehung setzt, wird aufgerufen Differential.

Die unbekannte Funktion wird normalerweise bezeichnet y(x) oder einfach y, und seine Derivate sind ja", ja" usw.

Auch andere Schreibweisen sind möglich, zum Beispiel: if j= x(t), dann x"(t), x""(t) sind seine Derivate, und t ist eine unabhängige Variable.

Definition. Wenn die Funktion von einer Variablen abhängt, heißt die Differentialgleichung gewöhnlich. Generelle Form gewöhnliche Differentialgleichung:

oder

Funktionen F und f mag einige Argumente nicht enthalten, aber damit die Gleichungen differentiell sind, ist das Vorhandensein einer Ableitung wesentlich.

Definition.Die Ordnung der Differentialgleichung ist die Ordnung der höchsten darin enthaltenen Ableitung.

Zum Beispiel, x 2 j"- j= 0, y" + Sünde x= 0 sind Gleichungen erster Ordnung, und ja"+ 2 ja"+ 5 j= x ist eine Gleichung zweiter Ordnung.

Beim Lösen von Differentialgleichungen wird die Integrationsoperation verwendet, die mit dem Auftreten einer beliebigen Konstante verbunden ist. Wenn die Integrationsaktion angewendet wird n mal, dann wird offensichtlich die Lösung enthalten sein n beliebige Konstanten.

6.2. DIFFERENZIALGLEICHUNGEN ERSTER ORDNUNG

Generelle Form Differentialgleichung erster Ordnung wird durch den Ausdruck definiert

Die Gleichung darf nicht explizit enthalten x und y, enthält aber notwendigerweise y".

Wenn die Gleichung geschrieben werden kann als

dann erhalten wir eine bezüglich der Ableitung gelöste Differentialgleichung erster Ordnung.

Definition. Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung erster Ordnung (6.3) (oder (6.4)) ist die Lösungsmenge , wo Mit ist eine beliebige Konstante.

Der Graph zum Lösen einer Differentialgleichung wird aufgerufen integrale Kurve.

Angabe einer beliebigen Konstante Mit unterschiedlichen Werten ist es möglich, besondere Lösungen zu erhalten. Auf der Oberfläche xOy die allgemeine Lösung ist eine Familie von Integralkurven, die jeder speziellen Lösung entsprechen.

Wenn Sie einen Punkt setzen A(x0, y0), die die Integralkurve durchlaufen muss, dann in der Regel aus der Menge der Funktionen man kann herausgreifen - eine bestimmte Lösung.

Definition.Private Entscheidung einer Differentialgleichung ist ihre Lösung, die keine beliebigen Konstanten enthält.

Wenn ein eine allgemeine Lösung ist, dann aus der Bedingung

Sie können eine dauerhafte finden MIT. Die Bedingung wird aufgerufen ausgangsbedingung.

Das Problem, eine bestimmte Lösung einer Differentialgleichung (6.3) oder (6.4) zu finden, die die Anfangsbedingung erfüllt beim namens das Cauchy-Problem. Hat dieses Problem immer eine Lösung? Die Antwort ist im folgenden Satz enthalten.

Satz von Cauchy(Existenzsatz und Eindeutigkeit der Lösung). Setzen Sie die Differentialgleichung ein ja"= f(x,y) Funktion f(x,y) und sie

partielle Ableitung definiert und kontinuierlich in einigen

Bereiche D, einen Punkt enthalten Dann in der Gegend D existieren

die einzige Lösung der Gleichung, die die Anfangsbedingung erfüllt beim

Der Satz von Cauchy besagt, dass es unter bestimmten Bedingungen eine eindeutige Integralkurve gibt j= f(x), durch einen Punkt gehen Punkte, an denen die Bedingungen des Theorems nicht erfüllt sind

Katzen werden gerufen Besondere. Brüche an diesen Stellen f(x, y) bzw.

Entweder gehen mehrere Integralkurven durch einen singulären Punkt oder keine.

Definition. Wenn die Lösung (6.3), (6.4) in der Form gefunden wird f(x, y, c)= 0 bezüglich y nicht erlaubt, dann wird aufgerufen gemeinsames Integral Differentialgleichung.

Der Satz von Cauchy garantiert nur, dass eine Lösung existiert. Da es kein einheitliches Lösungsverfahren gibt, betrachten wir nur einige Arten von Differentialgleichungen erster Ordnung, die integrierbar sind Quadrate.

Definition. Die Differentialgleichung wird aufgerufen integrierbar in Quadraturen, wenn die Suche nach ihrer Lösung auf die Integration von Funktionen reduziert wird.

6.2.1. Differentialgleichungen erster Ordnung mit trennbaren Variablen

Definition. Eine Differentialgleichung erster Ordnung heißt Gleichung mit trennbare Variablen,

Die rechte Seite von Gleichung (6.5) ist das Produkt zweier Funktionen, die jeweils nur von einer Variablen abhängen.

Zum Beispiel die Gleichung ist eine Gleichung mit Trennung

Variablen übergeben
und die Gleichung

kann nicht in der Form (6.5) dargestellt werden.

Angesichts dessen , schreiben wir (6.5) um als

Aus dieser Gleichung erhalten wir eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen, bei der die Differentiale Funktionen enthalten, die nur von der entsprechenden Variablen abhängen:

Term für Term integrieren, haben wir

wo C= C 2 - C 1 ist eine willkürliche Konstante. Ausdruck (6.6) ist das allgemeine Integral von Gleichung (6.5).

Dividiert man beide Teile von Gleichung (6.5) durch , können wir die Lösungen verlieren, für die In der Tat, wenn beim

dann ist offensichtlich eine Lösung von Gleichung (6.5).

Beispiel 1 Finden Sie eine Lösung für die zufriedenstellende Gleichung

Zustand: j= 6 bei x= 2 (y(2) = 6).

Entscheidung. Lassen Sie uns ersetzen beim" denn dann . Multiplizieren Sie beide Seiten mit

dx, denn in der weiteren Integration ist ein Verlassen unmöglich dx im Nenner:

und dividiert dann beide Teile durch Wir bekommen die Gleichung,

die integriert werden können. Wir integrieren:

Dann ; Potenzierend erhalten wir y = C . (x + 1) - ob-

Lösung.

Basierend auf den Anfangsdaten bestimmen wir eine beliebige Konstante, indem wir sie in die allgemeine Lösung einsetzen

Endlich bekommen wir j= 2(x + 1) ist eine spezielle Lösung. Betrachten Sie einige weitere Beispiele für das Lösen von Gleichungen mit trennbaren Variablen.

Beispiel 2 Finden Sie eine Lösung der Gleichung

Entscheidung. Angesichts dessen , wir bekommen .

Wenn wir beide Seiten der Gleichung integrieren, haben wir

wo

Beispiel 3 Finden Sie eine Lösung der Gleichung Entscheidung. Wir dividieren beide Teile der Gleichung durch diejenigen Faktoren, die von einer Variablen abhängen, die nicht mit der Variablen unter dem Differentialzeichen zusammenfällt, also durch und integrieren. Dann bekommen wir

und endlich,

Beispiel 4 Finden Sie eine Lösung der Gleichung

Entscheidung. Wissen, was wir bekommen. Abschnitt-

lim Variablen. Dann

Integrieren, bekommen wir

Kommentar. In den Beispielen 1 und 2 die gewünschte Funktion j explizit ausgedrückt (allgemeine Lösung). In den Beispielen 3 und 4 - implizit (allgemeines Integral). Die Form der Entscheidung wird künftig nicht mehr festgelegt.

Beispiel 5 Finden Sie eine Lösung der Gleichung Entscheidung.

Beispiel 6 Finden Sie eine Lösung der Gleichung befriedigend

Zustand Ihr)= 1.

Entscheidung. Wir schreiben die Gleichung in die Form

Beide Seiten der Gleichung multiplizieren mit dx und weiter, wir bekommen

Durch Integrieren beider Seiten der Gleichung (das Integral auf der rechten Seite wird in Teilen gebildet) erhalten wir

Aber nach Bedingung j= 1 bei x= e. Dann

Ersetzen Sie die gefundenen Werte Mit in eine allgemeine Lösung:

Der resultierende Ausdruck wird als spezielle Lösung der Differentialgleichung bezeichnet.

6.2.2. Homogene Differentialgleichungen erster Ordnung

Definition. Die Differentialgleichung erster Ordnung wird aufgerufen homogen wenn es dargestellt werden kann

Wir stellen einen Algorithmus zum Lösen einer homogenen Gleichung vor.

1. Stattdessen j Einführung einer neuen Funktion Then und daher

2. In Bezug auf die Funktion u Gleichung (6.7) nimmt die Form an

d.h. die Ersetzung reduziert die homogene Gleichung auf eine Gleichung mit trennbaren Variablen.

3. Beim Lösen von Gleichung (6.8) finden wir zuerst u und dann j= ux.

Beispiel 1 löse die Gleichung Entscheidung. Wir schreiben die Gleichung in die Form

Wir machen einen Ersatz:
Dann

Lassen Sie uns ersetzen

Mit dx multiplizieren: Teilen durch x und weiter dann

Wenn wir beide Teile der Gleichung in Bezug auf die entsprechenden Variablen integrieren, haben wir

oder wenn wir zu den alten Variablen zurückkehren, erhalten wir endlich

Beispiel 2löse die Gleichung Entscheidung.Lassen dann

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch x2: Lassen Sie uns die Klammern öffnen und die Begriffe neu anordnen:

Wenn wir zu den alten Variablen übergehen, kommen wir zum Endergebnis:

Beispiel 3Finden Sie eine Lösung der Gleichung gegeben das

Entscheidung.Durchführen eines Standardaustauschs wir bekommen

oder

oder

Die spezielle Lösung hat also die Form Beispiel 4 Finden Sie eine Lösung der Gleichung

Entscheidung.

Beispiel 5Finden Sie eine Lösung der Gleichung Entscheidung.

Selbstständige Arbeit

Finden Sie eine Lösung für Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen (1-9).

Finden Sie eine Lösung für homogene Differentialgleichungen (9-18).

6.2.3. Einige Anwendungen von Differentialgleichungen erster Ordnung

Das Problem des radioaktiven Zerfalls

Die Zerfallsrate von Ra (Radium) zu jedem Zeitpunkt ist proportional zu seiner verfügbaren Masse. Finden Sie das Gesetz des radioaktiven Zerfalls von Ra, wenn bekannt ist, dass es im Anfangsmoment Ra gab und die Halbwertszeit von Ra 1590 Jahre beträgt.

Entscheidung. Sei im Moment die Masse Ra x= x(t) g, und Dann ist die Zerfallsrate von Ra

Je nach Aufgabe

wo k

Wenn wir die Variablen in der letzten Gleichung trennen und integrieren, erhalten wir

wo

Zum Bestimmen C Wir verwenden die Anfangsbedingung: .

Dann und deshalb,

Verhältnismäßigkeitsfaktor k ermittelt aus der Zusatzbedingung:

Wir haben

Von hier und die gewünschte Formel

Das Problem der Vermehrungsrate von Bakterien

Die Vermehrungsrate von Bakterien ist proportional zu ihrer Anzahl. Im ersten Moment waren es 100 Bakterien. Innerhalb von 3 Stunden verdoppelte sich ihre Zahl. Finden Sie die Abhängigkeit der Bakterienzahl von der Zeit. Wie oft wird die Anzahl der Bakterien innerhalb von 9 Stunden zunehmen?

Entscheidung. Lassen x- die Anzahl der Bakterien im Moment t. Dann, je nach Bedingung,

wo k- Verhältnismäßigkeitskoeffizient.

Von hier Aus der Bedingung ist bekannt, dass . Meint,

Aus der Zusatzbedingung . Dann

Benötigte Funktion:

Also bei t= 9 x= 800, d. h. innerhalb von 9 Stunden hat sich die Bakterienzahl um das 8-fache erhöht.

Die Aufgabe, die Menge des Enzyms zu erhöhen

In der Kultur der Bierhefe ist die Wachstumsrate des aktiven Enzyms proportional zu seiner anfänglichen Menge. x. Anfangsmenge an Enzym a innerhalb einer Stunde verdoppelt. Abhängigkeit finden

x(t).

Entscheidung. Durch die Bedingung hat die Differentialgleichung des Prozesses die Form

von hier

Aber . Meint, C= a und dann

Das ist auch bekannt

Somit,

6.3. DIFFERENZIALGLEICHUNGEN ZWEITER ORDNUNG

6.3.1. Grundlegendes Konzept

Definition.Differentialgleichung zweiter Ordnung heißt die Beziehung, die die unabhängige Variable, die gewünschte Funktion und ihre erste und zweite Ableitung verbindet.

In Sonderfällen kann x in der Gleichung fehlen, beim oder y". Die Gleichung zweiter Ordnung muss jedoch zwangsläufig y" enthalten. Im allgemeinen Fall schreibt man die Differentialgleichung zweiter Ordnung wie folgt:

oder, wenn möglich, in der für die zweite Ableitung zulässigen Form:

Wie bei einer Gleichung erster Ordnung kann eine Gleichung zweiter Ordnung eine allgemeine und eine bestimmte Lösung haben. Die allgemeine Lösung sieht so aus:

Eine private Lösung finden

unter Anfangsbedingungen - gegeben

Nummer) wird angerufen das Cauchy-Problem. Geometrisch bedeutet dies, dass es erforderlich ist, die Integralkurve zu finden beim= y(x), einen bestimmten Punkt passieren und mit einer Tangente an diesem Punkt, was ungefähr ist

Gabeln mit positiver Achsrichtung Ochse angegebenen Winkel. e. (Abb. 6.1). Das Cauchy-Problem hat eine eindeutige Lösung, wenn die rechte Seite von Gleichung (6.10) unvor-

ist diskontinuierlich und hat kontinuierliche partielle Ableitungen in Bezug auf du, du" in irgendeiner Nachbarschaft des Startpunkts

Konstante zu finden in einer bestimmten Lösung enthalten ist, ist es notwendig, das System zuzulassen

Reis. 6.1. integrale Kurve