Dieser Artikel enthält Material zum Thema " Lösung quadratischer Ungleichungen". Zunächst wird gezeigt, was quadratische Ungleichungen mit einer Variablen sind, ihre allgemeine Form ist angegeben. Und dann wird im Detail analysiert, wie man quadratische Ungleichungen löst. Die wichtigsten Lösungsansätze werden gezeigt: die grafische Methode, die Intervallmethode und das Hervorheben des Quadrats der Binomialzahl auf der linken Seite der Ungleichung. Lösungen von typischen Beispielen werden gegeben.

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Was ist eine quadratische Ungleichung?

Bevor man über das Lösen quadratischer Ungleichungen spricht, muss man natürlich klar verstehen, was eine quadratische Ungleichung ist. Mit anderen Worten, Sie müssen in der Lage sein, quadratische Ungleichungen anhand des Datensatztyps von Ungleichungen anderer Typen zu unterscheiden.

Definition.

Quadratische Ungleichheit ist eine Ungleichung der Form a x 2 +b x+c<0 (вместо знака >es kann jedes andere Ungleichheitszeichen ≤, >, ≥ geben), wobei a, b und c einige Zahlen sind und a≠0 und x eine Variable ist (die Variable kann mit jedem anderen Buchstaben bezeichnet werden).

Geben wir gleich einen anderen Namen für quadratische Ungleichungen - Ungleichheit zweiten Grades. Dieser Name erklärt sich dadurch, dass auf der linken Seite der Ungleichungen a x 2 +b x+c<0 находится второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства».

Sie können auch manchmal hören, dass quadratische Ungleichungen als quadratische Ungleichungen bezeichnet werden. Das ist nicht ganz richtig: Die Definition von „quadratisch“ bezieht sich auf Funktionen, die durch Gleichungen der Form y=a x 2 + b x+c gegeben sind. Es gibt also quadratische Ungleichungen und quadratische Funktionen, aber keine quadratischen Ungleichungen.

Lassen Sie uns einige Beispiele für quadratische Ungleichungen zeigen: 5 x 2 −3 x+1>0 , hier a=5 , b=−3 und c=1 ; –2,2 z 2 –0,5 z – 11 ≤ 0, die Koeffizienten dieser quadratischen Ungleichung sind a=−2.2 , b=−0.5 und c=−11 ; , in diesem Fall .

Beachten Sie, dass in der Definition der quadratischen Ungleichung der Koeffizient a bei x 2 als nicht null betrachtet wird. Das ist verständlich, die Gleichheit des Koeffizienten a mit Null wird tatsächlich das Quadrat „entfernen“, und wir haben es mit einer linearen Ungleichung der Form b x + c>0 ohne das Quadrat der Variablen zu tun. Aber die Koeffizienten b und c können sowohl getrennt als auch gleichzeitig gleich Null sein. Hier sind Beispiele für solche quadratischen Ungleichungen: x 2 −5≥0 , hier ist der Koeffizient b für die Variable x gleich Null; −3 × 2 −0,6 ×<0 , здесь c=0 ; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z 2 >0 und b und c sind Null.

Wie löst man quadratische Ungleichungen?

Jetzt kann Sie die Frage verwirren, wie man quadratische Ungleichungen löst. Grundsätzlich werden drei Hauptmethoden zur Lösung verwendet:

• grafische Methode (oder, wie bei A.G. Mordkovich, funktional-grafisch),
• Intervallmethode,
• und Lösen quadratischer Ungleichungen durch Hervorheben des Quadrats des Binoms auf der linken Seite.

Grafisch

Machen wir gleich einen Vorbehalt, dass die Methode zur Lösung quadratischer Ungleichungen, die wir zu betrachten beginnen, in den Lehrbüchern der Algebraschule nicht als grafisch bezeichnet wird. Aber im Grunde ist er genau das. Außerdem die erste Bekanntschaft mit grafische Methode zur Lösung von Ungleichungen beginnt meist, wenn sich die Frage stellt, wie man quadratische Ungleichungen löst.

Grafischer Weg zur Lösung quadratischer Ungleichungen a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥) besteht darin, den Graphen der quadratischen Funktion y=a x 2 +b x+c zu analysieren, um die Intervalle zu finden, in denen die angegebene Funktion negative, positive, nicht positive oder nicht negative Werte annimmt. Diese Intervalle bilden die Lösungen der quadratischen Ungleichungen a x 2 + b x + c<0 , a·x 2 +b·x+c>0 , a x 2 + b x + c ≤ 0 bzw. a x 2 + b x + c ≥ 0.

Intervallmethode

Um quadratische Ungleichungen mit einer Variablen zu lösen, ist neben der grafischen Methode die Intervallmethode sehr praktisch, die an sich sehr vielseitig ist und sich zum Lösen verschiedener Ungleichungen eignet, nicht nur quadratischer. Seine theoretische Seite liegt außerhalb des Algebrakurses der Klassen 8, 9, wenn sie lernen, quadratische Ungleichungen zu lösen. Daher gehen wir hier nicht auf die theoretische Begründung der Intervallmethode ein, sondern konzentrieren uns darauf, wie quadratische Ungleichungen mit ihrer Hilfe gelöst werden.

Das Wesen der Intervallmethode in Bezug auf die Lösung quadratischer Ungleichungen a x 2 + b x + c<0 (≤, >, ≥), besteht darin, die Vorzeichen zu bestimmen, die die Werte des quadratischen Trinoms a x 2 + b x + c in den Intervallen haben, in die die Koordinatenachse durch die Nullstellen dieses Trinoms (falls vorhanden) unterteilt ist. Die Lücken mit Minuszeichen bilden die Lösungen der quadratischen Ungleichung a x 2 +b x+c<0 , со знаками плюс – неравенства a·x 2 +b·x+c>0 , und beim Lösen nicht strenger Ungleichungen werden den angegebenen Intervallen Punkte hinzugefügt, die den Nullstellen des Trinoms entsprechen.

Sie können sich mit allen Details dieser Methode, ihrem Algorithmus, den Regeln zum Platzieren von Zeichen auf den Intervallen vertraut machen und fertige Lösungen für typische Beispiele anhand der Abbildungen betrachten, indem Sie sich auf das Material des Artikels beziehen, der quadratische Ungleichungen durch das Intervall löst Methode.

Durch Isolieren des Quadrats des Binoms

Neben der grafischen Methode und der Intervallmethode gibt es weitere Ansätze, die es ermöglichen, quadratische Ungleichungen zu lösen. Und wir kommen zu einem von ihnen, der auf basiert Quadrieren eines Binoms auf der linken Seite der quadratischen Ungleichung.

Das Prinzip dieser Methode zur Lösung quadratischer Ungleichungen besteht darin, äquivalente Transformationen der Ungleichung durchzuführen, wodurch man zur Lösung einer äquivalenten Ungleichung der Form (x−p) 2 gelangen kann , ≥), wobei p und q Zahlen sind.

Und wie ist der Übergang zur Ungleichung (x−p) 2 , ≥) und wie man sie löst, erklärt das Material des Artikels die Lösung quadratischer Ungleichungen, indem das Quadrat des Binoms hervorgehoben wird. Es gibt auch Beispiele für die Lösung quadratischer Ungleichungen auf diese Weise und die notwendigen grafischen Illustrationen.

Quadratische Ungleichungen

In der Praxis hat man es sehr oft mit Ungleichungen zu tun, die mit Hilfe von äquivalenten Transformationen auf quadratische Ungleichungen der Form a x 2 + b x + c zurückgeführt werden können<0 (знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам.

Beginnen wir mit Beispielen für die einfachsten Ungleichungen, die auf quadratische Ungleichungen reduziert werden können. Um zu einer quadratischen Ungleichung zu gelangen, genügt es manchmal, die Terme dieser Ungleichung neu anzuordnen oder von einem Teil auf einen anderen zu übertragen. Übertragen wir beispielsweise alle Terme von der rechten Seite der Ungleichung 5≤2 x−3 x 2 auf die linke Seite, so erhalten wir eine quadratische Ungleichung in der oben angegebenen Form 3 x 2 −2 x+5≤0 . Ein weiteres Beispiel: Umstellen der Ungleichung 5+0,6 x 2 −x auf der linken Seite<0 слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x 2 −x+5<0 .

In der Schule, im Algebraunterricht, wenn sie lernen, quadratische Ungleichungen zu lösen, beschäftigen sie sich gleichzeitig damit Lösung rationaler Ungleichungen, auf Quadrat reduzierend. Ihre Lösung besteht in der Übertragung aller Terme auf die linke Seite mit anschließender Transformation des dort gebildeten Ausdrucks in die Form a x 2 + b x + c durch Ausführen von . Betrachten Sie ein Beispiel.

Beispiel.

Finden Sie eine Reihe von Lösungen für die Ungleichung 3 (x−1) (x+1)<(x−2) 2 +x 2 +5 .irrationale Ungleichheit entspricht der quadratischen Ungleichung x 2 −6 x−9<0 , а logarithmische Ungleichung – Ungleichung x 2 +x−2≥0 .

Referenzliste.

• Algebra: Lehrbuch für 8 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 16. Aufl. - M. : Bildung, 2008. - 271 p. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: Klasse 9: Lehrbuch. für Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 16. Aufl. - M. : Bildung, 2009. - 271 p. : krank. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkowitsch A. G. Algebra. 8. Klasse. Um 14 Uhr Teil 1. Ein Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich. - 11. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 S.: mit Abb. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkowitsch A. G. Algebra. Klasse 9 Um 14 Uhr Teil 1. Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. Aufl., Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 S.: mit Abb. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkowitsch A. G. Algebra und Beginn der mathematischen Analysis. Klasse 11. Um 14 Uhr Teil 1. Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen (Profilebene) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 S.: mit Abb. ISBN 978-5-346-01027-2.

Bevor Sie es herausfinden wie man quadratische ungleichung löst, betrachten wir, was eine Ungleichung Quadrat genannt wird.

Denken Sie daran!

Die Ungleichung heißt Quadrat, wenn die höchste (größte) Potenz der Unbekannten „x“ gleich zwei ist.

Lassen Sie uns anhand von Beispielen üben, die Art der Ungleichheit zu bestimmen.

Wie man eine quadratische Ungleichung löst

In früheren Lektionen haben wir besprochen, wie man lineare Ungleichungen löst. Aber im Gegensatz zu linearen Ungleichungen werden quadratische Ungleichungen auf ganz andere Weise gelöst.

Wichtig!

Es ist unmöglich, eine quadratische Ungleichung auf die gleiche Weise zu lösen wie eine lineare!

Um eine quadratische Ungleichung zu lösen, wird eine spezielle Methode verwendet, die aufgerufen wird Intervallmethode.

Was ist die intervallmethode

Intervallmethode wird eine spezielle Methode zur Lösung quadratischer Ungleichungen genannt. Im Folgenden erklären wir, wie Sie diese Methode verwenden und warum sie so heißt.

Denken Sie daran!

Um eine quadratische Ungleichung mit der Intervallmethode zu lösen, benötigen Sie:

Wir verstehen, dass die oben beschriebenen Regeln nur theoretisch schwer zu verstehen sind, also betrachten wir sofort ein Beispiel für die Lösung einer quadratischen Ungleichung mit dem obigen Algorithmus.

Es wird benötigt, um eine quadratische Ungleichung zu lösen.

Zeichnen Sie nun, wie in beschrieben, "Bögen" über die Abstände zwischen den markierten Punkten.

Setzen wir Zeichen in die Intervalle. Von rechts nach links, abwechselnd, beginnend mit "+", notieren wir die Zeichen.

Wir müssen nur ausführen, das heißt, die gewünschten Intervalle auswählen und als Antwort aufschreiben. Kehren wir zu unserer Ungleichheit zurück.

Da in unserer Ungleichheit x 2 + x − 12 ", also brauchen wir negative Intervalle. Lassen Sie uns alle negativen Bereiche auf einer numerischen Achse schattieren und wir werden sie in der Antwort ausschreiben.

Nur ein Intervall stellte sich als negativ heraus, das zwischen den Zahlen „−3“ und „4“ liegt, also schreiben wir es als Antwort als doppelte Ungleichung
"-3".

Schreiben wir die Antwort der quadratischen Ungleichung auf.

Antwort: -3

Übrigens, gerade weil wir bei der Lösung einer quadratischen Ungleichung die Intervalle zwischen Zahlen berücksichtigen, hat die Methode der Intervalle ihren Namen bekommen.

Nachdem Sie die Antwort erhalten haben, ist es sinnvoll, diese zu überprüfen, um sicherzustellen, dass die Lösung korrekt ist.

Wählen wir eine beliebige Zahl aus, die sich im schattierten Bereich der erhaltenen Antwort befindet. " −3" und ersetzen Sie es anstelle von "x" in der ursprünglichen Ungleichung. Wenn wir die richtige Ungleichung bekommen, dann haben wir festgestellt, dass die Antwort auf die quadratische Ungleichung richtig ist.

Nehmen Sie zum Beispiel die Zahl „0“ aus dem Intervall. Setzen Sie es in die ursprüngliche Ungleichung "x 2 + x − 12" ein.

X 2 + x − 12
0 2 + 0 − 12 −12 (richtig)

Beim Einsetzen einer Zahl aus dem Lösungsbereich haben wir die richtige Ungleichung erhalten, was bedeutet, dass die Antwort richtig gefunden wurde.

Kurze Notation der Lösung nach der Methode der Intervalle

Abgekürzte Aufzeichnung der Lösung der quadratischen Ungleichung " x 2 + x − 12 ” Methode der Intervalle sieht so aus:

X 2 + x − 12
x2 + x − 12 = 0

x 1 = 1+ 7 2

x 2 = 1 − 7 2

x 1 = 8 2

x 2 = x 1 = 1+ 1 4 x 2 = 1 − 1 4 x 1 = 2 4 x 2 = 0 4 x 1 = 1 2 x2 = 0 Antwort: x ≤ 0 ; x ≥ 1 2 Betrachten Sie ein Beispiel, bei dem in einer quadratischen Ungleichung ein negativer Koeffizient vor „x 2“ steht. In diesem Abschnitt haben wir Informationen über quadratische Ungleichungen und die wichtigsten Ansätze zu ihrer Lösung gesammelt. Wir werden das Material mit einer Analyse von Beispielen konsolidieren. Was ist eine quadratische ungleichung Sehen wir uns an, wie man zwischen verschiedenen Arten von Ungleichheiten anhand der Art des Datensatzes unterscheidet und unter ihnen quadratische auswählt. Bestimmung 1 Quadratische Ungleichheit ist eine Ungleichung, die aussieht wie a x 2 + b x + c< 0 , wobei a , b und c sind einige Zahlen, und a nicht gleich Null. x ist eine Variable und steht anstelle des Vorzeichens < kann jedes andere Ungleichheitszeichen sein. Der zweite Name quadratischer Gleichungen ist der Name der "Ungleichung zweiten Grades". Die Existenz des zweiten Namens kann wie folgt erklärt werden. Auf der linken Seite der Ungleichung befindet sich ein Polynom zweiten Grades - ein quadratisches Trinom. Die Anwendung des Begriffs "quadratische Ungleichungen" auf quadratische Ungleichungen ist falsch, da quadratische Funktionen durch Gleichungen der Form gegeben sind y = a x 2 + b x + c. Hier ist ein Beispiel für eine quadratische Ungleichung: Beispiel 1 Lass uns nehmen 5 x 2 − 3 x + 1 > 0. In diesem Fall a = 5 , b = − 3 und c = 1. Oder diese Ungleichung: Beispiel 2 − 2 , 2 z 2 − 0 , 5 z − 11 ≤ 0, wobei a = − 2 , 2 , b = − 0 , 5 und c = − 11. Lassen Sie uns einige Beispiele für quadratische Ungleichungen zeigen: Beispiel 3 Besonders zu beachten ist, dass der Koeffizient x2 als Null angesehen. Dies erklärt sich dadurch, dass wir sonst eine lineare Ungleichung der Form erhalten b x + c > 0, da die quadratische Variable, wenn sie mit Null multipliziert wird, selbst gleich Null wird. Gleichzeitig die Koeffizienten b und c können sowohl zusammen als auch einzeln gleich Null sein. Beispiel 4 Ein Beispiel für eine solche Ungleichheit x 2 − 5 ≥ 0. Wege zur Lösung quadratischer Ungleichungen Es gibt drei Hauptmethoden: Bestimmung 2 Grafik; Intervallmethode; durch die Auswahl des Quadrats des Binoms auf der linken Seite. Grafische Methode Das Verfahren beinhaltet die Konstruktion und Analyse eines Graphen einer quadratischen Funktion y = a x 2 + b x + c für quadratische Ungleichungen a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) . Die Lösung einer quadratischen Ungleichung sind die Intervalle oder Intervalle, in denen die angegebene Funktion positive und negative Werte annimmt. Abstandsmethode Mit der Intervallmethode kannst du eine quadratische Ungleichung mit einer Variablen lösen. Die Methode ist anwendbar, um jede Art von Ungleichungen zu lösen, nicht nur quadratische. Das Wesen des Verfahrens besteht darin, die Vorzeichen der Intervalle zu bestimmen, in die die Koordinatenachse durch die Nullstellen des Trinoms unterteilt ist a x 2 + b x + c wenn verfügbar. Für Ungleichheit a x 2 + b x + c< 0 die Lösungen sind Intervalle mit Minuszeichen für die Ungleichung a x 2 + b x + c > 0, Intervalle mit einem Pluszeichen. Wenn wir es mit nicht strengen Ungleichungen zu tun haben, wird die Lösung zu einem Intervall, das Punkte enthält, die den Nullstellen des Trinoms entsprechen. Auswahl des Quadrats des Binoms Das Prinzip der Auswahl des Quadrats des Binoms auf der linken Seite der quadratischen Ungleichung besteht darin, äquivalente Transformationen durchzuführen, die es uns ermöglichen, zur Lösung einer äquivalenten Ungleichung der Form (x − p) 2 zu gelangen< q (≤ , >, ≥) , wo p und q- einige Zahlen. Es ist möglich, mit Hilfe von Äquivalenztransformationen aus Ungleichungen anderer Art zu quadratischen Ungleichungen zu kommen. Dies kann auf unterschiedliche Weise erfolgen. Zum Beispiel durch das Umordnen von Termen in einer gegebenen Ungleichung oder das Übertragen von Termen von einem Teil in einen anderen. Nehmen wir ein Beispiel. Betrachten Sie eine äquivalente Transformation der Ungleichung 5 ≤ 2x − 3x2. Wenn wir alle Terme von der rechten Seite auf die linke Seite übertragen, dann erhalten wir eine quadratische Ungleichung der Form 3 x 2 − 2 x + 5 ≤ 0. Beispiel 5 Es ist notwendig, eine Reihe von Lösungen für die Ungleichung 3 (x − 1) (x + 1) zu finden.< (x − 2) 2 + x 2 + 5 . Lösung Um das Problem zu lösen, verwenden wir die Formeln der abgekürzten Multiplikation. Dazu sammeln wir alle Terme auf der linken Seite der Ungleichung, öffnen die Klammern und geben ähnliche Terme an: 3 (x − 1) (x + 1) − (x − 2) 2 − x 2 − 5< 0 , 3 · (x 2 − 1) − (x 2 − 4 · x + 4) − x 2 − 5 < 0 , 3 · x 2 − 3 − x 2 + 4 · x − 4 − x 2 − 5 < 0 , x 2 + 4 · x − 12 < 0 . Wir haben eine äquivalente quadratische Ungleichung erhalten, die durch Bestimmung der Diskriminanten und Schnittpunkte grafisch gelöst werden kann. D ’ = 2 2 − 1 (− 12) = 16 , x 1 = − 6 , x 2 = 2 Nachdem wir einen Graphen erstellt haben, können wir sehen, dass die Lösungsmenge das Intervall (− 6 , 2) ist. Antworten: (− 6 , 2) . Irrationale und logarithmische Ungleichungen sind ein Beispiel für Ungleichungen, die sich oft auf Quadrate reduzieren lassen. Also zum Beispiel die Ungleichung 2 x 2 + 5< x 2 + 6 · x + 14 entspricht der quadratischen Ungleichung x 2 − 6 x − 9< 0 , und die logarithmische Ungleichung log 3 (x 2 + x + 7) ≥ 2 zur Ungleichung x 2 + x − 2 ≥ 0. Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Enter In dieser Lektion werden wir unsere Betrachtung rationaler Ungleichungen und ihrer Systeme fortsetzen, nämlich: ein System linearer und quadratischer Ungleichungen. Erinnern wir uns zunächst daran, was ein System zweier linearer Ungleichungen mit einer Variablen ist. Als nächstes betrachten wir ein System quadratischer Ungleichungen und eine Methode zu deren Lösung am Beispiel konkreter Probleme. Schauen wir uns die sogenannte Dachmethode genauer an. Wir werden typische Lösungen von Systemen analysieren und am Ende der Lektion die Lösung eines Systems mit linearen und quadratischen Ungleichungen betrachten. 2. Elektronischer Bildungs- und Methodenkomplex zur Vorbereitung der Klassen 10-11 auf Aufnahmeprüfungen in Informatik, Mathematik, Russisch (). 3. Bildungszentrum "Technologie der Bildung" (). 4. College.ru Abschnitt über Mathematik (). 1. Mordkovich A.G. et al. Algebra Klasse 9: Aufgabenbuch für Schüler von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 S.: Abb. Nr. 58 (a, c); 62; 63. Definition der quadratischen Ungleichung Bemerkung 1 Quadratische Ungleichung heißt weil. Variable ist quadriert. Auch quadratische Ungleichungen genannt Ungleichheiten zweiten Grades. Beispiel 1 Beispiel. $7x^2-18x+3 0$, $11z^2+8 \le 0$ sind quadratische Ungleichungen. Wie dem Beispiel zu entnehmen ist, sind nicht alle Elemente der Ungleichung der Form $ax^2+bx+c > 0$ vorhanden. Beispielsweise gibt es in der Ungleichung $\frac(5)(11) y^2+\sqrt(11) y>0$ keinen freien Term (Term $c$), aber in der Ungleichung $11z^2+8 \le 0$ es gibt keinen Term mit Koeffizient $b$. Solche Ungleichungen sind auch quadratische Ungleichungen, aber sie werden auch genannt Unvollständige quadratische Ungleichungen. Es bedeutet nur, dass die Koeffizienten $b$ oder $c$ gleich Null sind. Methoden zur Lösung quadratischer Ungleichungen Beim Lösen quadratischer Ungleichungen werden die folgenden grundlegenden Methoden verwendet: Grafik; Intervallmethode; Auswahl des Quadrats des Binoms. Grafischer Weg Bemerkung 2 Ein grafischer Weg zum Lösen quadratischer Ungleichungen $ax^2+bx+c > 0$ (oder mit $-Zeichen Diese Intervalle sind Lösung der quadratischen Ungleichung. Abstandsmethode Bemerkung 3 Die Intervallmethode zum Lösen quadratischer Ungleichungen der Form $ax^2+bx+c > 0$ (das Ungleichheitszeichen kann auch $ sein Lösungen der quadratischen Ungleichung mit Vorzeichen $""$ - positive Intervalle, mit Vorzeichen $"≤"$ und $"≥"$ - negative bzw. positive Intervalle, einschließlich Punkten, die Nullen des Trinoms entsprechen. Auswahl des Quadrats des Binoms Die Methode zum Lösen einer quadratischen Ungleichung durch Auswählen des Quadrats eines Binoms besteht darin, zu einer äquivalenten Ungleichung der Form $(x-n)^2 > m$ (oder mit dem Vorzeichen $ Ungleichungen, die quadratisch reduziert werden Bemerkung 4 Beim Lösen von Ungleichungen müssen diese oft auf quadratische Ungleichungen der Form $ax^2+bx+c > 0$ reduziert werden (das Ungleichheitszeichen können auch $ Ungleichungen sein, die auf quadratische Ungleichungen reduziert werden. Bemerkung 5 Der einfachste Weg, Ungleichungen quadratisch zu machen, besteht darin, die Terme in der ursprünglichen Ungleichung neu anzuordnen oder beispielsweise von der rechten Seite auf die linke Seite zu übertragen. Wenn man beispielsweise alle Terme der Ungleichung $7x > 6-3x^2$ von der rechten Seite auf die linke Seite überträgt, erhält man eine quadratische Ungleichung der Form $3x^2+7x-6 > 0$. Ordnen wir die Terme auf der linken Seite der Ungleichung $1,5y-2+5,3x^2 \ge 0$ in absteigender Reihenfolge des Grades der Variablen $y$ um, so führt dies zu einer äquivalenten quadratischen Ungleichung der Form $5,3x^2+1,5y-2 \ge $0. Bei der Lösung rationaler Ungleichungen verwendet man oft deren Reduktion auf quadratische Ungleichungen. In diesem Fall müssen alle Terme auf die linke Seite übertragen und der resultierende Ausdruck in die Form eines quadratischen Trinoms umgewandelt werden. Beispiel 2 Beispiel. Quadriere die Ungleichung $7 \cdot (x+0,5) \cdot x > (3+4x)^2-10x^2+10$. Lösung. Wir übertragen alle Terme auf die linke Seite der Ungleichung: $7 \cdot (x+0.5) \cdot x-(3+4x)^2+10x^2-10 > 0$. Unter Verwendung der abgekürzten Multiplikationsformeln und Erweitern der Klammern vereinfachen wir den Ausdruck auf der linken Seite der Ungleichung: $7x^2+3,5x-9-24x-16x^2+10x^2-10 > 0$; $x^2-21,5x-19 > 0$. Antworten: $x^2-21,5x-19 > 0$. 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