Das Wort "Korrespondenz" wird auf Russisch häufig verwendet, es bedeutet eine Beziehung zwischen etwas, die Konsistenz und Gleichheit in jeder Hinsicht ausdrückt (Erklärungswörterbuch von Ozhegov).

Im Leben hört man oft: „Dieses Lehrbuch entspricht diesem Programm, aber dieses Lehrbuch entspricht nicht (kann aber einem anderen Programm entsprechen); dieser Apfel entspricht der höchsten Note, und dies ist nur die erste. Wir sagen, dass diese Antwort in der Prüfung der Note "ausgezeichnet" entspricht, diese - "gut". Wir sagen, dass diese Person (im Sinne von Passform) der Kleidergröße 46 entspricht. Gemäß den Anweisungen sollten Sie dies tun und nicht anders. Es besteht ein Zusammenhang zwischen der Anzahl der Sonnentage pro Jahr und dem Ernteertrag.

Wenn Sie versuchen, diese Beispiele zu analysieren, werden Sie feststellen, dass wir in allen Fällen über zwei Klassen von Objekten sprechen, und dass zwischen Objekten einer Klasse nach bestimmten Regeln eine Verbindung mit Objekten einer anderen Klasse hergestellt wird. Zum Beispiel sind im Fall von übereinstimmenden Kleidungsstücken einer bestimmten Größe eine Klasse von Objekten Menschen und die andere Klasse von Objekten einige natürliche Zahlen, die die Rolle von Kleidungsgrößen spielen. Die Regel, nach der eine Übereinstimmung hergestellt wird, kann beispielsweise mithilfe eines natürlichen Algorithmus festgelegt werden - indem ein bestimmter Anzug anprobiert oder seine Eignung „mit dem Auge“ bestimmt wird.

Wir werden Korrespondenzen betrachten, für die die Klassen von Objekten, zwischen denen eine Korrespondenz hergestellt wird, und die Regel zum Herstellen einer Korrespondenz gut definiert sind. Zahlreiche Beispiele solcher Korrespondenzen wurden in der Schule untersucht. Zunächst einmal geht es natürlich um Funktionen. Jede Funktion ist ein Beispiel für eine Übereinstimmung. Betrachten Sie zum Beispiel die Funktion beim = X+ 3. Wenn nicht ausdrücklich über den Umfang einer Funktion gesprochen wird, dann gilt jeder Zahlenwert als Argument X entspricht einem Zahlenwert beim, die nach der Regel gefunden wird: to X Sie müssen 3 hinzufügen. In diesem Fall wird die Korrespondenz zwischen den Sätzen hergestellt R und R reale Nummern.

Beachten Sie, dass Verknüpfungen zwischen zwei Sätzen hergestellt werden X und Y verbunden mit der Betrachtung von Paaren von Objekten, die aus Elementen der Menge gebildet werden X und die entsprechenden Elemente der Menge Y.

Definition. Konformität zwischen Sätzen X und Y heißt jede nicht leere Teilmenge des kartesischen Produkts X ´ Y.

Ein Haufen X namens Abreisebereich passend, viele Y – Ankunftsbereich Beachtung.

Korrespondenzen zwischen Mengen werden normalerweise mit Großbuchstaben des lateinischen Alphabets bezeichnet, z. B. R, S, T. Wenn ein R– einige Korrespondenz zwischen Sätzen X und Y, dann, nach der Definition der Korrespondenz, RÍ X´ Y und R≠ Æ. Einmal die Korrespondenz zwischen den Sätzen X und Y eine beliebige Teilmenge des kartesischen Produkts ist X ´ Y, d.h. eine Menge geordneter Paare ist, dann sind die Möglichkeiten zur Angabe von Korrespondenzen im Wesentlichen die gleichen wie die Möglichkeiten zur Angabe von Mengen. Also die Korrespondenz R zwischen Sätzen X und Y Sie können Folgendes einstellen:

a) Auflistung aller Elementpaare ( x, y) Î R;

b) eine Angabe der charakteristischen Eigenschaft, dass alle Paare ( x, y) setzt R und kein Paar, das kein Element ist, besitzt es.

BEISPIELE.

1) Einhaltung R zwischen Sätzen X= (20, 25) und Y= (4, 5, 6) ergibt sich durch Angabe der charakteristischen Eigenschaft: " X mehrere beim»,
X Î X, beim Î Y. Dann der Satz R = {(20, 4), (20, 5),(25, 5)}.

2) Einhaltung R zwischen Sätzen X= (2, 4, 6, 8) und

Y= (1, 3, 5) ist durch die Menge der Paare gegeben R = {(4, 1), (6, 3), (8, 5)}.

Wenn ein R– Entsprechung zwischen zwei numerischen Sätzen X und Y, nachdem alle übereinstimmenden Zahlenpaare dargestellt wurden R Auf der Koordinatenebene erhalten wir eine Figur, die Korrespondenzgraph genannt wird R. Umgekehrt wird jede Teilmenge von Punkten der Koordinatenebene als ein Graph einer Entsprechung zwischen numerischen Mengen angesehen X und Y.

Korrespondenzdiagramm

Zur visuellen Darstellung der Korrespondenzen zwischen endlichen Mengen werden zusätzlich zum Graphen Graphen verwendet. (Aus dem griechischen Wort "grapho" - ich schreibe, vergleiche: Zeitplan, Telegraf).

Um einen Korrespondenzgraphen zwischen Mengen zu erstellen X und Y Die Elemente jeder der Mengen werden als Punkte auf der Ebene dargestellt, von denen aus Pfeile gezeichnet werden X Î X zu beim Î Y, wenn das Paar ( x, y) gehört zu dieser Korrespondenz. Es stellt sich eine Zeichnung heraus, die aus Punkten und Pfeilen besteht.

BEISPIEL Konformität R zwischen Sätzen X= (2, 3, 4, 5) und Y= (4, 9) ist durch Aufzählung von Paaren gegeben R = {(2, 4), (4, 4), (3, 9)}.

Ebenso können wir 4 schreiben R 4, 3R 9. Und im Allgemeinen, wenn ein Paar
(x, y) Î R, dann sagen wir, dass das Element X Î X entspricht Element beim Î Y und aufschreiben xRy. Element 2 О X heißt das Urbild des Elements
4 Ö Y in Übereinstimmung R und mit 4 bezeichnet R-1 2. In ähnlicher Weise können Sie 4 schreiben R -1 4, 9R -1 3.

Der Begriff der Konformität. Methoden zur Angabe von Korrespondenzen

Ursprünglich wurde Algebra als Lehre vom Lösen von Gleichungen bezeichnet. In vielen Jahrhunderten ihrer Entwicklung hat sich die Algebra zu einer Wissenschaft entwickelt, die Operationen und Beziehungen auf verschiedenen Mengen untersucht. Daher ist es kein Zufall, dass Kinder bereits in der Grundschule mit algebraischen Konzepten wie Ausdruck (numerisch und mit Variablen), numerischer Gleichheit, numerischer Ungleichung und Gleichung vertraut gemacht werden. Sie untersuchen verschiedene Eigenschaften von arithmetischen Operationen mit Zahlen, die es Ihnen ermöglichen, Berechnungen rational durchzuführen. Und natürlich lernen sie im Anfangskurs der Mathematik verschiedene Abhängigkeiten und Beziehungen kennen, aber um sie zur Entwicklung der geistigen Aktivität von Kindern zu nutzen, muss der Lehrer einige allgemeine Konzepte der modernen Algebra beherrschen - das Konzept der Korrespondenz , Beziehung, algebraische Operation usw. Darüber hinaus wird der Lehrer durch die Beherrschung der in der Algebra verwendeten mathematischen Sprache in der Lage sein, das Wesen der mathematischen Modellierung realer Phänomene und Prozesse besser zu verstehen.

Beim Studium der Welt um uns herum betrachtet die Mathematik nicht nur ihre Objekte, sondern vor allem die Verbindungen zwischen ihnen. Diese Verbindungen heißen Abhängigkeiten, Korrespondenzen, Beziehungen, Funktionen. Beispielsweise werden bei der Berechnung der Längen von Objekten Entsprechungen zwischen Objekten und Zahlen hergestellt, die die Werte ihrer Längen sind; Bei der Lösung von Bewegungsproblemen wird bei konstanter Bewegungsgeschwindigkeit eine Beziehung zwischen der zurückgelegten Strecke und der Zeit hergestellt.

Spezifische Abhängigkeiten, Korrespondenzen, Beziehungen zwischen Objekten in der Mathematik wurden seit ihren Anfängen untersucht. Aber die Frage, was die unterschiedlichsten Korrespondenzen gemeinsam haben, was das Wesen jeder Korrespondenz ist, wurde Ende des 19. - Anfang des 20. Jahrhunderts aufgeworfen und im Rahmen der Mengenlehre beantwortet.

Im Grundkurs Mathematik werden verschiedene Beziehungen zwischen Elementen einer, zweier oder mehrerer Mengen untersucht. Daher muss der Lehrer ihre Essenz verstehen, was ihm helfen wird, die Einheit in der Methodik zum Studium dieser Beziehungen sicherzustellen.

Betrachten wir drei Beispiele für Korrespondenzen, die im Grundkurs Mathematik studiert wurden.

Im ersten Fall stellen wir eine Entsprechung zwischen den gegebenen Ausdrücken und ihren Zahlenwerten her. Im zweiten finden wir heraus, welche Zahl jeder dieser Figuren entspricht und ihren Bereich charakterisiert. Im dritten suchen wir nach einer Zahl, die eine Lösung der Gleichung ist.

Was haben diese Korrespondenzen gemeinsam?

Wir sehen, dass wir in allen Fällen zwei Mengen haben: In der ersten ist dies eine Menge von drei numerischen Ausdrücken und eine Menge von N natürlichen Zahlen (die Werte dieser Ausdrücke gehören dazu), in der zweiten ist dies ein Satz von drei geometrischen Formen und ein Satz von N natürlichen Zahlen; im dritten ist es ein Satz von drei Gleichungen und ein Satz von N natürlichen Zahlen.

Bei der Durchführung der vorgeschlagenen Aufgaben stellen wir eine Beziehung (Korrespondenz) zwischen den Elementen dieser Mengen her. Sie kann mithilfe von Diagrammen visualisiert werden (Abb. 1).

Sie können diese Übereinstimmungen angeben, indem Sie alle Elementpaare auflisten, die in einer bestimmten Übereinstimmung enthalten sind:

I. ((bei 1, 4), (bei 3, 20));

II. ((F 1 , 4), (F 2 , 10), (F 3 , 10));

III. ((y 1, 4), (y 2, 11), (y 3, 4)).

Die resultierenden Mengen zeigen, dass jede Entsprechung zwischen zwei Mengen X und Y als betrachtet werden kann Satz geordneter Paare aus ihren Elementen gebildet. Und da geordnete Paare Elemente eines kartesischen Produkts sind, gelangen wir zu folgender Definition des allgemeinen Korrespondenzbegriffs.

Definition. Eine Entsprechung zwischen Elementen einer Menge X und Y ist eine beliebige Teilmenge des kartesischen Produkts dieser Mengen.

Korrespondenzen werden normalerweise mit den Buchstaben P, S, T, R usw. bezeichnet. Wenn S eine Korrespondenz zwischen Elementen der Mengen X und Y ist, dann ist laut Definition S X x Y.

Lassen Sie uns nun herausfinden, wie Korrespondenzen zwischen zwei Mengen spezifiziert werden. Da die Korrespondenz eine Teilmenge ist, kann sie als beliebige Menge angegeben werden, d.h. entweder durch Auflisten aller Elementepaare, die in einer gegebenen Entsprechung stehen, oder durch Angabe einer charakteristischen Eigenschaft der Elemente dieser Teilmenge. Somit kann die Entsprechung zwischen den Mengen X = (1, 2, 4, 6) und Y = (3, 5) angegeben werden:

1) Verwendung eines Satzes mit zwei Variablen: a< b при условии, что а X, b Y;

2) Auflistung von Zahlenpaaren, die zu einer Teilmenge des kartesischen Produkts XxY gehören: ((1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (4, 5)). Diese Zuordnungsmethode umfasst auch die Zuordnung der Korrespondenz anhand eines Diagramms (Abb. 2) und eines Diagramms (Abb. 3).

Reis. 2 Abb. 3

Wenn man Korrespondenzen zwischen Elementen der Mengen X und Y untersucht, muss man oft die Korrespondenz berücksichtigen, die das Gegenteil davon ist. Lassen Sie zum Beispiel

S - Korrespondenz "mehr um 2" zwischen den Elementen der Mengen

X \u003d (4,5,8, 10) und Y \u003d (2,3,6). Dann ist S=((4, 2), (5,3), (8, 6)) und sein Graph ist derselbe wie in Abbildung 4a.

Die Umkehrung davon ist die weniger als 2-Übereinstimmung. Es wird zwischen den Elementen der Mengen Y und X betrachtet, und um es zu visualisieren, genügt es, die Richtung der Pfeile auf dem Beziehungsgraphen S umzukehren (Abb. 4b). Wenn die Entsprechung „weniger als 2“ mit S -1 bezeichnet wird, dann ist S -1 = ((2.4), (3.5), (6.8)).

Vereinbaren wir, den Satz „das Element x stimmt mit dem Element y überein“ wie folgt zu schreiben: xSy. Der Datensatz xSy kann als Verallgemeinerung der Datensätze spezifischer Korrespondenzen betrachtet werden: x = 2y; x > 3y + 1 usw.

Verwenden wir die eingeführte Notation, um den Begriff einer Korrespondenz zu definieren, die invers zu der gegebenen ist.

Definition. Sei S eine Entsprechung zwischen Elementen der Mengen X und Y. Eine Entsprechung S -1 zwischen Elementen der Mengen Y und X heißt invers, gegeben wenn yS -x genau dann, wenn xSy .

Die Entsprechungen S und S -1 werden gegenseitig invers genannt. Lassen Sie uns die Merkmale ihrer Diagramme herausfinden.

Zeichnen wir die Entsprechung S = ((4, 2), (5, 3), (8, 6)) (Abb. 5a). Beim Konstruieren eines Korrespondenzgraphen S -1 = ((2, 4), (3, 5), (6, 8)) müssen wir die erste Komponente aus der Menge Y = (2, 3, 6) und die zweite auswählen - aus der Menge X = (4, 5, 8, 10). Als Ergebnis entspricht der S-1-Fit-Plot dem S-Fit-Plot.Um zwischen den S- und S-1-Fit-Plots zu unterscheiden,

vereinbarten, die erste Komponente des S-1-Korrespondenzpaars als Abszisse und die zweite als Ordinate zu betrachten. Wenn zum Beispiel (5, 3) S, dann (3, 5) S -1 . Punkte mit den Koordinaten (5, 3) und (3, 5) und im allgemeinen Fall (x, y) und (y, x) sind symmetrisch zur Winkelhalbierenden des 1. und 3. Koordinatenwinkels. Daher sind die Graphen der zueinander inversen Entsprechungen S und S –1 symmetrisch bezüglich der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Koordinatenwinkels.

Um einen Korrespondenzgraphen S -1 zu erstellen, reicht es aus, Punkte auf der Koordinatenebene zu zeichnen, die symmetrisch zu den Punkten des Graphen S bezüglich der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Koordinatenwinkels sind.

Variante 1

№

Eine Entsprechung zwischen den Mengen X und Y ist beliebig _________________________________ ________________________________________________________________ Х x Y .

№2. In den Abbildungen sind die Korrespondenzen zwischen den Sätzen unter Verwendung von Graphen angegeben. Geben Sie ein Match-Diagramm an, in dem der Umfang der Match-Definition nicht mit dem Sendesatz des Matchs übereinstimmt.

№

1
) Graph, 2) Graph, 3) Aufzählung von Paaren, 4) charakteristische Eigenschaft

a
) b) a< b

№4. Welche Abbildung zeigt die inversen Korrespondenzgraphen?

a
) b) c) d)

№5. Zwischen den Mengen M = (A, B, C, D, D) und N = (1, 2, 3, 4, 5) gibt es eine Entsprechung Q: „Element m steht im russischen Alphabet unter der Zahl n ". Kreuzen Sie bitte die richtigen Aussagen an:

Sätze M und N sind äquivalent.

Der Umfang der Korrespondenz Q stimmt mit ihrer Wertemenge überein.

№6. (Praktische Aufgabe). Zwischen den Sätzen A \u003d (1, 2, 3, 4, 5) und B \u003d (2, 4, 6, 8,10) besteht eine Entsprechung T: " a kleiner b auf 2"

Listen Sie übereinstimmende Paare von T auf

Geben Sie die Entsprechung T -1 an, invers zur gegebenen, listen Sie ihre Paare auf

Zeichnen Sie T- und T-1-Korrespondenzdiagramme im selben Koordinatensystem

Test zum Thema "Korrespondenzen zwischen Sets"

Option 2

№1. Fügen Sie die fehlenden Wörter in den Satz ein:

Die Entsprechung zwischen den Mengen X und Y ist die Menge von ______________________________, deren erste Komponente _______ zur Menge X ist und deren zweite ___________________ ist.

№2. In den Abbildungen sind die Korrespondenzen zwischen den Sätzen unter Verwendung von Graphen angegeben. Geben Sie ein Match-Diagramm an, in dem der Match-Wertesatz mit dem Match-Ankunftssatz identisch ist.

№3. Ordnen Sie den Namen der übereinstimmenden Methode ihrem Bild zu.

1
), Aufzählung von Paaren 2) charakteristische Eigenschaft, 3) Graph, 4) Graph

a) b) a< b c) Р = ((2;3), (5;6), (4;5)) d)

№4. Welche Abbildung zeigt ein Eins-zu-Eins-Korrespondenzdiagramm?

a
) b) c) d)

№5. Zwischen den Mengen A = ( 1, 2, 3, 4, ) und B = ( 2, 4, 6, 8, 9) besteht eine Entsprechung Q : " a kleiner b dreimal." Kreuzen Sie bitte die richtigen Aussagen an:

Die Korrespondenz erfolgt eins zu eins.

Konformität " b mehr a 3 mal" ist die Umkehrung davon.

Der Geltungsbereich von Q stimmt nicht mit seiner Ursprungsmenge überein.

№6. (Praktische Aufgabe). Zwischen den Mengen M = (1, 2, 3, 4, 5) und N = (1, 2, 4, 6, 8,10) besteht eine Entsprechung T: m 2 = n

Listen Sie die passenden Paare von T auf.

Listen Sie die Korrespondenzpaare T -1 auf, invers zum gegebenen, erstellen Sie ihren Graphen.

Zeichnen Sie die Entsprechungen T und T -1 im selben Koordinatensystem.

Test zum Thema "Korrespondenzen zwischen Sets"

Antworttabelle.

1 Möglichkeit.

Option 2.

Teilmenge; Kartesisches Produkt von Mengen

Bestellte Paare; gehört; setze Y

1d, 2a, 3c, 4b

1c, 2b, 3d, 4a

ein, b

b,c

Bewertungskriterium:

№1 - 2 Punkte

№2 - 1 Punkt

№3 - 1 Punkt

№4 - 1 Punkt

№5 - 3 Punkte

№6-4 Punkte

Insgesamt 12 Punkte.

Markierungen:

12-11 Punkte - 5

10 - 9 Punkte - 4

8 - 6 Punkte - 3

Weniger als 6 Punkte - 2

Variante 1

№1. Fügen Sie die fehlenden Wörter in den Satz ein:

Eine Relation auf einer Menge X ist jede _________________________________ ________________________________________________________________ X x X.

№2. Auf der Menge A = (1, 2, 3, 4, 5, 6) sind verschiedene Relationen gegeben:

Spalten angeben:

№

Äquivalenzbeziehung.

Bestellbeziehung

die Parallelitätsbeziehung auf der Linienmenge der Ebene

№

a
) b) c) d)

№5. Vergleichen Sie die Beziehungen, die auf der Menge der Häuser und ihrer Eigenschaften angegeben sind:

"haben die gleiche Anzahl von Stockwerken"

„Mehr Wohnungen haben“

"2 Jahre früher gebaut werden"

Reflexivität

Symmetrie

Antisymmetrie

Transitivität

№X nicht älter beim” auf der Menge der Kinder definiert. Ist diese Relation eine Ordnungsrelation?

Olga 7 Jahre alt

Nikolay 8 Jahre

Valentin 9 Jahre alt

Anatoli 8 Jahre

Swetlana 7 Jahre alt

Petra 7 Jahre alt

Test zum Thema "Beziehungen zwischen Mengen"

Option 2

№1. Fügen Sie die fehlenden Wörter in den Satz ein:

Eine Relation auf einer Menge X ist eine Menge von ______________________________, deren beide Komponenten _____________________ zur Menge X sind.

№2. Auf der Menge ( 2, 3, 5, 7, 9) sind verschiedene Relationen gegeben:

Spalten angeben:

№
3. Bestimmen Sie anhand des Diagramms, welche der Beziehungen:

Bestellbeziehung

Beziehung "kleiner oder gleich" auf der Menge N

№4. Welche Abbildung zeigt den Graphen der Beziehung zwischen Mengen?

a
) b) c) d)

№5. Vergleichen Sie die Beziehungen, die für die Menge der Schüler der Klasse definiert sind, und ihre Eigenschaften:

"wohnen in der gleichen Straße"

„1 Jahr älter sein“

„näher an der Schule wohnen“

Reflexivität

Symmetrie

Antisymmetrie

Transitivität

№6. (Praktische Aufgabe). Zeichnen Sie den Beziehungsgraphen " X hat das gleiche Geschlecht wie beim” auf der Menge der Kinder definiert. Ist diese Relation eine Äquivalenzrelation?

Olga

Nikolaus

Valentin

Anatoli

Swetlana

Peter

Test zum Thema "Beziehungen zwischen Mengen"

Antworttabelle.

1 Möglichkeit.

Option 2.

Teilmenge; Kartesisches Produkt einer Menge (Kartesisches Quadrat)

Bestellte Paare; gehören; X einstellen

1a, 2a, 3a, b, 4b, 5a, 6b, 7b

1b, c, 2c, 3b, 4c, 5b, 6c, 7c

1a, 2b, 3a, d

1a, c, 2c

a – 1, 2, 4; b - 3, 4; im 3

a – 1, 2, 4; b – 3, c – 3, 4

Bewertungskriterium:

№1 - 2 Punkte

№2 - 7 Punkte

№3 - 3 Punkte

№4 - 1 Punkt

№5 - 3 Punkte

№6 - 2 Punkte

Insgesamt 18 Punkte.

Markierungen:

18-17 Punkte - 5

16 - 13 Punkte - 4

12 - 9 Punkte - 3

Weniger als 9 Punkte - 2

1. Matrixrang

3
5
2
4

2. Algebraische Addition eines Elements

A 23 = 12
A 23 \u003d -34
A 23 = 34
A 23 \u003d -12

3. Produkt von Matrizen

- Rechts

4. Wenn alle Elemente einer Zeile einer rechteckigen Matrix A der Dimension n x m mit zwei multipliziert werden, dann ist der Rang der Matrix A ...
erhöht sich um 2
Wird sich nicht ändern
wird sich verdoppeln

5. Das richtige Verhältnis

- Rechts

6. Der Wert der Determinante

2
4
5
3

7. Gegenseitige Anordnung der Linien 4x - 2y - 6 = 0 und 8x - 4y - 2 = 0 in der Ebene - Linien ...
sind parallel
sich schneiden
aufrecht
Spiel

8. Seien x und y die Lösung des Systems

4
7
5
6

9. Geben Sie unter den folgenden Gleichungen die Gleichung der Ellipse an

10. Die Gerade sei gegeben durch die Normalgleichung x sinα + y sinα - p = 0. Die richtige Aussage
Wenn OA eine Senkrechte ist, die vom Ursprung zu einer geraden Linie zurückgeführt wird, dann ist α der Winkel, den die Senkrechte OA mit der Ox-Achse bildet
Wenn OA eine Senkrechte ist, die vom Ursprung zu einer geraden Linie zurückgeführt wird, dann ist α die Länge dieser Senkrechten
p ist der Wert des Segments, das durch eine gerade Linie auf der x-Achse abgeschnitten wird
α ist der Neigungswinkel der Geraden zur positiven Richtung der Ox-Achse

11. Gegeben sei ein lineares System

Das System hat unendlich viele Lösungen
Das System hat keine Lösungen
Das System hat eine einzigartige Lösung
es kann nichts über das Vorhandensein von Lösungen gesagt werden (das System kann Lösungen haben oder nicht)

5x - 3y - 7 = 0
3x + y - 7 = 0
4x - 2y - 6 = 0
6x - y - 11 = 0

13. Finden Sie das Skalarprodukt von Vektoren