In diesem Artikel werden wir eine der wichtigsten geometrischen Formen - den Winkel - umfassend analysieren. Beginnen wir mit Hilfsbegriffen und Definitionen, die uns zur Definition eines Winkels führen. Danach geben wir die akzeptierten Methoden zur Bezeichnung von Winkeln an. Als nächstes werden wir uns ausführlich mit dem Prozess der Winkelmessung befassen. Abschließend zeigen wir, wie Sie die Ecken in der Zeichnung markieren können. Wir haben die gesamte Theorie mit den notwendigen Zeichnungen und grafischen Illustrationen zum besseren Einprägen des Materials versehen.

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Winkeldefinition.

Winkel ist eine der wichtigsten Figuren in der Geometrie. Die Definition eines Winkels ist durch die Definition eines Strahls gegeben. Die Idee eines Strahls kann wiederum nicht ohne Kenntnis von geometrischen Figuren wie einem Punkt, einer geraden Linie und einer Ebene gewonnen werden. Bevor Sie sich mit der Definition des Winkels vertraut machen, empfehlen wir daher, die Theorie aus den Abschnitten und aufzufrischen.

Wir gehen also von den Konzepten eines Punktes, einer geraden Linie auf einer Ebene und einer Ebene aus.

Lassen Sie uns zuerst die Definition eines Strahls geben.

Lassen Sie uns eine gerade Linie in der Ebene geben. Bezeichnen wir es mit dem Buchstaben a. Sei O irgendein Punkt der Geraden a . Der Punkt O teilt die Linie a in zwei Teile. Jeder dieser Teile wird zusammen mit dem Punkt O bezeichnet Strahl, und der Punkt O wird aufgerufen Beginn des Balkens. Sie können auch hören, dass der Strahl gerufen wird halbdirekt.

Der Kürze und Bequemlichkeit halber wurde die folgende Notation für Strahlen eingeführt: Ein Strahl wird entweder durch einen kleinen lateinischen Buchstaben (z. B. Strahl p oder Strahl k) oder durch zwei große lateinische Buchstaben bezeichnet, von denen der erste dem Anfang von entspricht der Strahl, und der zweite bezeichnet einen Punkt dieses Strahls (z. B. Strahl OA oder Strahl CD). Lassen Sie uns das Bild und die Bezeichnung der Strahlen in der Zeichnung zeigen.

Jetzt können wir die erste Definition eines Winkels geben.

Definition.

Ecke- Dies ist eine flache geometrische Figur (dh vollständig in einer bestimmten Ebene liegend), die aus zwei nicht übereinstimmenden Strahlen mit gemeinsamem Ursprung besteht. Jeder der Strahlen wird aufgerufen Eckseite, wird der gemeinsame Anfang der Seiten des Winkels genannt obere Ecke.

Es ist möglich, dass die Seiten eines Winkels eine gerade Linie bilden. Dieser Winkel hat einen eigenen Namen.

Definition.

Liegen beide Seiten eines Winkels auf derselben Linie, so heißt der Winkel eingesetzt.

Wir machen Sie auf eine grafische Darstellung eines entwickelten Winkels aufmerksam.

Ein Winkelsymbol wird verwendet, um einen Winkel zu bezeichnen. Wenn die Seiten des Winkels in kleinen lateinischen Buchstaben angegeben sind (z. B. ist eine Seite des Winkels k und die andere h), werden zur Bezeichnung dieses Winkels nach dem Winkelsymbol Buchstaben geschrieben, die den Seiten entsprechen einer Zeile, und die Reihenfolge der Aufzeichnung spielt keine Rolle (dh oder). Wenn die Seiten des Winkels durch zwei große lateinische Buchstaben angegeben werden (z. B. eine Seite des Winkels OA und die zweite Seite des Winkels OB), wird der Winkel wie folgt angegeben: Nach dem Winkelzeichen stehen drei Buchstaben geschrieben, die an der Bezeichnung der Seiten des Winkels beteiligt sind, und der Buchstabe, der dem Scheitelpunkt des Winkels entspricht, der sich in der Mitte befindet (in unserem Fall wird der Winkel als oder angegeben). Wenn der Scheitelpunkt der Ecke nicht der Scheitelpunkt einer anderen Ecke ist, dann kann ein solcher Winkel mit dem Buchstaben bezeichnet werden, der dem Scheitelpunkt der Ecke entspricht (z. B. ). Manchmal können Sie sehen, dass die Ecken in den Zeichnungen mit Zahlen (1, 2 usw.) gekennzeichnet sind, diese Ecken werden als bezeichnet und so weiter. Zur Verdeutlichung präsentieren wir eine Abbildung, in der die Ecken gezeigt und angegeben sind.

Jeder Winkel teilt die Ebene in zwei Teile. Wenn der Winkel nicht entwickelt wird, wird außerdem ein Teil der Ebene aufgerufen inneren Eckbereich, und der andere äußeren Eckbereich. Das folgende Bild erklärt, welcher Teil der Ebene der Innenseite der Ecke entspricht und welcher Teil der Außenseite.

Jeder der zwei Teile, in die ein abgeflachter Winkel eine Ebene teilt, kann als Innenbereich des abgeflachten Winkels betrachtet werden.

Die Definition des Inneren eines Winkels führt uns zur zweiten Definition eines Winkels.

Definition.

Ecke- Dies ist eine geometrische Figur, die aus zwei nicht übereinstimmenden Strahlen mit gemeinsamem Ursprung und dem entsprechenden inneren Bereich des Winkels besteht.

Es sollte beachtet werden, dass die zweite Definition des Winkels strenger ist als die erste, da sie mehr Bedingungen enthält. Man sollte jedoch die erste Definition des Winkels nicht verwerfen, noch sollte man die erste und zweite Definition des Winkels getrennt betrachten. Lassen Sie uns diesen Punkt erklären. Wenn es um einen Winkel als geometrische Figur geht, dann wird unter einem Winkel eine Figur verstanden, die aus zwei Strahlen mit gemeinsamem Ursprung zusammengesetzt ist. Wenn es notwendig wird, mit diesem Winkel irgendwelche Aktionen durchzuführen (z. B. einen Winkel zu messen), dann sollte ein Winkel bereits als zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Ursprung und einem inneren Bereich verstanden werden (sonst würde eine doppelte Situation entstehen aufgrund das Vorhandensein sowohl eines inneren als auch eines äußeren Bereichs des Winkels ).

Lassen Sie uns weitere Definitionen von angrenzenden und vertikalen Winkeln geben.

Definition.

Angrenzende Ecken- Dies sind zwei Winkel, bei denen eine Seite gemeinsam ist und die anderen beiden einen geraden Winkel bilden.

Aus der Definition folgt, dass sich benachbarte Winkel bis zu einem geraden Winkel ergänzen.

Definition.

Vertikale Winkel sind zwei Winkel, bei denen die Seiten des einen Winkels Verlängerungen der Seiten des anderen sind.

Die Abbildung zeigt vertikale Winkel.

Offensichtlich bilden zwei sich schneidende Linien vier Paare benachbarter Winkel und zwei Paare vertikaler Winkel.

Winkelvergleich.

In diesem Absatz des Artikels gehen wir auf die Definitionen von gleichen und ungleichen Winkeln ein und erklären auch bei ungleichen Winkeln, welcher Winkel als groß und welcher kleiner gilt.

Denken Sie daran, dass zwei geometrische Figuren gleich genannt werden, wenn sie überlagert werden können.

Gegeben seien zwei Winkel. Lassen Sie uns Argumente anführen, die uns helfen, eine Antwort auf die Frage zu erhalten: „Sind diese beiden Winkel gleich oder nicht?“

Offensichtlich können wir immer die Scheitelpunkte von zwei Ecken sowie eine Seite der ersten Ecke mit einer der Seiten der zweiten Ecke abgleichen. Kombinieren wir die Seite der ersten Ecke mit der Seite der zweiten Ecke, sodass die verbleibenden Seiten der Ecken auf derselben Seite der geraden Linie liegen, auf der die kombinierten Seiten der Ecken liegen. Wenn dann die anderen beiden Seiten der Ecken ausgerichtet sind, werden die Ecken aufgerufen gleich.

Wenn die anderen beiden Seiten der Winkel nicht übereinstimmen, werden die Winkel aufgerufen ungleich, und kleiner der Winkel wird als Teil eines anderen betrachtet ( groß ist der Winkel, der einen anderen Winkel vollständig enthält).

Offensichtlich sind die beiden geraden Winkel gleich. Es ist auch offensichtlich, dass ein entwickelter Winkel größer ist als jeder nicht entwickelte Winkel.

Winkelmessung.

Die Winkelmessung basiert auf dem Vergleich des gemessenen Winkels mit dem Winkel, der als Maßeinheit verwendet wird. Der Prozess der Winkelmessung sieht folgendermaßen aus: Von einer der Seiten des gemessenen Winkels ausgehend wird sein innerer Bereich nacheinander mit einzelnen Winkeln gefüllt, die dicht übereinander gestapelt werden. Gleichzeitig wird die Anzahl der gestapelten Ecken gespeichert, die das Maß für den gemessenen Winkel ergibt.

Tatsächlich kann jeder beliebige Winkel als Maßeinheit für Winkel verwendet werden. Es gibt jedoch viele allgemein akzeptierte Einheiten zum Messen von Winkeln in Bezug auf verschiedene Bereiche der Wissenschaft und Technologie, die spezielle Namen erhalten haben.

Eine der Einheiten zum Messen von Winkeln ist Grad.

Definition.

ein Grad ist ein Winkel gleich einhundertachtzigstel eines begradigten Winkels.

Ein Grad wird durch das Symbol "" bezeichnet, daher wird ein Grad als bezeichnet.

Somit können wir in einem entwickelten Winkel 180 Winkel in einen Grad einpassen. Es wird wie ein halber runder Kuchen aussehen, der in 180 gleiche Stücke geschnitten wird. Sehr wichtig: Die "Stücke des Kuchens" passen eng zusammen (d. h. die Seiten der Ecken sind ausgerichtet), wobei die Seite der ersten Ecke mit einer Seite der abgeflachten Ecke und der Seite der letzten Einheitsecke ausgerichtet ist fiel mit der anderen Seite der abgeflachten Ecke zusammen.

Beim Messen von Winkeln wird ermittelt, wie oft ein Grad (oder eine andere Maßeinheit von Winkeln) in den gemessenen Winkel passt, bis der innere Bereich des gemessenen Winkels vollständig abgedeckt ist. Wie wir bereits gesehen haben, passt der Grad in einem entwickelten Winkel genau 180-mal. Unten sind Beispiele für Winkel, in denen ein Winkel von einem Grad genau 30 Mal (ein solcher Winkel ist ein Sechstel eines geraden Winkels) und genau 90 Mal (ein halber gerader Winkel) passt.

Um Winkel kleiner als ein Grad (oder eine andere Maßeinheit für Winkel) zu messen und in Fällen, in denen der Winkel nicht durch eine ganze Zahl von Grad gemessen werden kann (Maßeinheiten für Takes), müssen Sie Teile eines Grades (Teile von Takes) verwenden Maßeinheiten). Bestimmte Teile des Studiums erhielten besondere Namen. Am gebräuchlichsten sind die sogenannten Minuten und Sekunden.

Definition.

Minute ist ein Sechzigstel eines Grades.

Definition.

Zweite ist eine sechzigstel Minute.

Mit anderen Worten, eine Minute hat sechzig Sekunden und ein Grad sechzig Minuten (3600 Sekunden). Das Symbol "" wird verwendet, um Minuten zu bezeichnen, und das Symbol "" wird verwendet, um Sekunden zu bezeichnen (nicht mit den Vorzeichen der Ableitung und der zweiten Ableitung verwechseln). Dann haben wir mit den eingeführten Definitionen und Notationen , und der Winkel, in den 17 Grad 3 Minuten und 59 Sekunden passen, kann als bezeichnet werden.

Definition.

Grad Maß für einen Winkel wird eine positive Zahl genannt, die angibt, wie oft ein Grad und seine Teile in einen bestimmten Winkel passen.

Zum Beispiel ist das Gradmaß eines begradigten Winkels einhundertachtzig und das Gradmaß eines Winkels ist .

Um Winkel zu messen, gibt es spezielle Messgeräte, das bekannteste davon ist ein Winkelmesser.

Wenn sowohl die Bezeichnung des Winkels (z. B.) als auch sein Gradmaß (z. B. 110) bekannt sind, verwenden Sie eine kurze Schreibweise der Form und sagen: "Der Winkel AOB ist einhundertzehn Grad."

Aus den Definitionen des Winkels und des Gradmaßes des Winkels folgt, dass in der Geometrie das Maß des Winkels in Grad durch eine reelle Zahl aus dem Intervall (0, 180) ausgedrückt wird (in der Trigonometrie Winkel mit beliebigem Gradmaß werden betrachtet, sie werden genannt.) Ein Winkel von neunzig Grad hat einen besonderen Namen, er heißt rechter Winkel. Ein Winkel kleiner als 90 Grad wird genannt spitzer Winkel. Ein Winkel größer als neunzig Grad wird genannt stumpfer Winkel. Das Maß eines spitzen Winkels in Grad wird also durch eine Zahl aus dem Intervall (0, 90) ausgedrückt, das Maß eines stumpfen Winkels - durch eine Zahl aus dem Intervall (90, 180), ein rechter Winkel ist gleich neunzig Grad. Hier sind Abbildungen eines spitzen Winkels, eines stumpfen Winkels und eines rechten Winkels.

Aus dem Prinzip der Winkelmessung folgt, dass die Gradmaße gleicher Winkel gleich sind, das Gradmaß eines größeren Winkels größer ist als das Gradmaß eines kleineren und das Gradmaß eines Winkels, der aus mehreren Winkeln besteht gleich der Summe der Gradmaße der Komponentenwinkel ist. Die folgende Abbildung zeigt den Winkel AOB, der sich aus den Winkeln AOC, COD und DOB zusammensetzt, während .

Auf diese Weise, Die Summe benachbarter Winkel beträgt einhundertachtzig Grad, da sie einen geraden Winkel bilden.

Aus dieser Behauptung folgt, dass. Wenn nämlich die Winkel AOB und COD vertikal sind, dann sind die Winkel AOB und BOC benachbart und die Winkel COD und BOC sind auch benachbart, daher gelten die Gleichheiten und , woraus die Gleichheit folgt.

Zusammen mit dem Grad wird eine praktische Einheit zum Messen von Winkeln genannt Bogenmaß. Das Bogenmaß ist in der Trigonometrie weit verbreitet. Lassen Sie uns ein Radiant definieren.

Definition.

Ein Bogenmaß- Das zentrale Ecke, die der Länge des Bogens entspricht, gleich der Länge des Radius des entsprechenden Kreises.

Lassen Sie uns einen Winkel von einem Bogenmaß grafisch veranschaulichen. In der Zeichnung ist die Länge des Radius OA (sowie der Radius OB ) gleich der Länge des Bogens AB , daher ist der Winkel AOB per Definition gleich einem Bogenmaß.

Die Abkürzung "rad" wird verwendet, um Radianten zu bezeichnen. Wenn Sie beispielsweise 5 Rad schreiben, bedeutet dies 5 Radiant. Schriftlich wird jedoch häufig auf die Bezeichnung „rad“ verzichtet. Wenn zum Beispiel geschrieben steht, dass der Winkel gleich pi ist, bedeutet das pi rad.

Es sollte gesondert darauf hingewiesen werden, dass der Wert des Winkels, ausgedrückt in Bogenmaß, nicht von der Länge des Radius des Kreises abhängt. Dies liegt an der Tatsache, dass die Figuren, die durch einen bestimmten Winkel begrenzt sind, und ein Kreisbogen, der an der Spitze eines bestimmten Winkels zentriert ist, einander ähnlich sind.

Das Messen von Winkeln im Bogenmaß kann genauso erfolgen wie das Messen von Winkeln in Grad: Finden Sie heraus, wie oft ein Winkel von einem Bogenmaß (und seinen Teilen) in einen bestimmten Winkel passt. Und Sie können die Länge des Bogens des entsprechenden Mittelpunktswinkels berechnen und dann durch die Länge des Radius teilen.

Für die Belange der Praxis ist es hilfreich zu wissen, wie Grad- und Bogenmaße zueinander in Beziehung stehen, da ein ziemlicher Teil durchgeführt werden muss. In diesem Artikel wird eine Beziehung zwischen Grad und Bogenmaß eines Winkels hergestellt, und es werden Beispiele für die Umwandlung von Grad in Bogenmaß und umgekehrt gegeben.

Bezeichnung der Ecken in der Zeichnung.

In den Zeichnungen können der Bequemlichkeit und Klarheit halber Ecken mit Bögen markiert werden, die gewöhnlich im Innenbereich der Ecke von einer Seite der Ecke zur anderen gezogen werden. Gleiche Winkel sind mit gleicher Bogenzahl gekennzeichnet, ungleiche Winkel mit unterschiedlicher Bogenzahl. Rechte Winkel in der Zeichnung sind durch ein Symbol der Form "" gekennzeichnet, das im inneren Bereich des rechten Winkels von einer Seite der Ecke zur anderen dargestellt ist.

Wenn die Zeichnung viele verschiedene Winkel (normalerweise mehr als drei) markieren muss, ist es zulässig, bei der Bezeichnung der Winkel zusätzlich zu gewöhnlichen Bögen Bögen eines bestimmten Typs zu verwenden. Beispielsweise können Sie gezackte Bögen oder ähnliches darstellen.

Es ist zu beachten, dass Sie sich nicht von der Bezeichnung von Winkeln in den Zeichnungen mitreißen lassen und die Zeichnungen nicht überladen sollten. Wir empfehlen, nur die Winkel zu markieren, die für den Lösungs- oder Beweisprozess notwendig sind.

Referenzliste.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrie. Klassen 7 - 9: ein Lehrbuch für Bildungseinrichtungen.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrie. Lehrbuch für 10-11 Klassen der High School.
• Pogorelov A. V., Geometrie. Lehrbuch für die Klassen 7-11 von Bildungseinrichtungen.

- Erinnern wir uns an das Thema der letzten vorherigen Lektionen. (Neue Flächeneinheiten)

Welche neuen Flächeneinheiten hast du gelernt? (Hektar, sind)

War es schwierig oder einfach, neue Flächeneinheiten zu lernen? Wieso den?

Konnten Sie Schwierigkeiten überwinden?

Was denken Sie, wird uns das Studium des nächsten neuen Themas gelingen?

Mal schauen?

1. Mathematisches Diktat.

- Verringern Sie 160 um 90.

- 490 um 50 erhöhen.

- Reduzieren Sie 560 um das 80-fache.

- Erhöhen Sie 70 um das 9-fache.

Wie viel mehr ist 820 als 290?

Wie oft ist 400 weniger als 3600?

- Finden Sie die Zahl, deren sechster Teil gleich 102 ist.

- Finden Sie ein Viertel von 68.

(70, 540, 7, 630, 530, 9, 612, 17)

In welche Gruppen lässt sich diese Zahlenreihe einteilen? (Durch die Anzahl der Ziffern, durch eine Multiplizität von 2, durch eine Multiplizität von 10, durch die Summe der Ziffern, Zahlen zum Schreiben von Zahlen.)

Buchstaben werden unter den erhaltenen Zahlen auf die Tafel gelegt.

70, 540, 7, 630, 530, 9, 612, 17

G R F A U N L I

Ordnen Sie die resultierenden Zahlen in aufsteigender Reihenfolge und lesen Sie das resultierende Wort. (FNIGURLA)

Macht das Sinn?

Streiche 2 Buchstaben durch, um einen mathematischen Begriff zu bilden. (ZAHL)

2. Arbeiten mit geometrischen Formen.

Welche geometrischen Formen siehst du auf dem Bild?

(Auf dem Bild: Punkt, Gerade, Kreis, Segment, Winkel, Strahl, Viereck, Polylinie)

Welche Figuren lassen sich endlos fortführen? ( Gerade Linie, Balken, Seitenwinkel)

Was passiert, wenn Sie ein Liniensegment zeichnen, das den Mittelpunkt des Kreises mit einem Punkt darauf verbindet? ( Radius)

Welche interessanten Dinge wissen Sie über den Radius? (Alle Radien eines Kreises sind gleich. Der Radius ist der halbe Durchmesser.)

Welche Beziehung besteht zwischen einem Polygon und einer Polylinie? (Ein Polygon ist eine geschlossene Polylinie.)

Welche anderen flachen geometrischen Formen kennst du? (Dreieck, Rechteck, Quadrat, Oval usw.)

Was ist mit Weltraumfiguren? (Kugel, Würfel, Quader, Zylinder, Kegel, Pyramide.)

3. Arbeiten mit einem Winkel.

Was sind die Seiten eines Winkels? (Strahlen.)

Wenn Sie die Seiten des Winkels fortsetzen, erhalten Sie den gleichen Winkel oder einen anderen? (Derselbe.)

Welche Arten von Ecken gibt es? (Gerade, scharf, stumpf.)

Zeigen Sie mit Bleistiften ein Modell eines spitzen Winkels, eines stumpfen Winkels.

Stellen Sie sich vor, dass Ihre Bleistifte die Zeiger einer Uhr sind. Lege sie so auf dem Schreibtisch aus, dass sie 1h, 2h, 3h, 4h, 5h anzeigen. Was passiert mit dem Winkel zwischen ihnen? (Steigt.)

Wir können also sagen, welcher Winkel zwischen den Zeigern der Uhr größer und welcher kleiner ist? (Ja.)

4. Praktische Arbeit. Individuelle Aufgabe.

Jeder Schüler hat ein Modell mit spitzem Winkel (gelb), ein Modell mit stumpfem Winkel (blau) auf den Tischen. Spitzwinkelmodell nach Bereich vielübertrifft das stumpfe Winkelmodell.

Winkel mit Overlay vergleichen.

(Einige Leute platzieren Blau in Gelb, basierend auf der Fläche. Andere basierend auf der Verlängerung der Seiten und dass die Winkel basierend auf der Kurve verglichen werden sollten).

Problemsituation:

Warum erhält man beim Vergleich der gleichen Winkel ein anderes Ergebnis?

Wo und warum sind die Schwierigkeiten aufgetreten?

Welche Aufgabe hast du gemacht? (Winkel vergleichen)

Warum haben Sie Ihre Positionen nicht begründet? (Wir wissen nicht, wie man Winkel vergleicht)

Was müssen wir tun - vor Sie stellen Tor. (Wir müssen einen Winkelvergleichsalgorithmus erstellen)

Formulieren Unterrichtsthema. (Winkelvergleich)

1. Dialog führen.

(Schüler wählen eine Vorgehensweise und leiten daraus einen Algorithmus ab)

Auf welche Weise vergleichen wir etwas, sagen wir zum Beispiel - eine Person weiß mehr als eine andere oder mehr Zahlen, Bruchteile, Bruchteile ...

(Das Kleinere muss im Größeren enthalten sein, ein Teil davon sein)

Also, wie müssen wir die Ecken überlagern? (So ​​dass eine Ecke Teil der anderen ist)

Warum kann die blaue Ecke nicht innerhalb der gelben platziert werden? (Die Seiten der Ecke sind Strahlen. Wenn Sie sie fortsetzen, können Sie sehen, dass die blaue Ecke nicht innerhalb der gelben liegt.)

Kinder erhalten ein blaues Eckmodell, das in seiner Fläche mit Gelb vergleichbar ist.

Legen Sie die blauen Ecken übereinander und achten Sie darauf, dass sie gleich sind.

2. Arbeiten Sie in Gruppen.

Gibt Ihnen das eine Vorstellung davon, wie Sie die blauen und gelben Ecken übereinanderlegen können, um herauszufinden, welche größer ist?

Beraten Sie sich in Gruppen.

(Kinder äußern ihre Versionen. Wenn diese Versionen nicht korrekt sind, widerlegt sie der Lehrer oder eines der Kinder. Die richtige Art des Auferlegens wird ausgesprochen und der Algorithmus festgelegt.)

3. Algorithmus.

1) Platzieren Sie die Ecken so, dass eine ihrer Seiten zusammenfällt.

2) Wenn der andere zusammenfällt, sind die Winkel gleich; wenn nicht, dann ist der Winkel kleiner, dessen Seite in der anderen liegt.

4. Scheme-Unterstützung.

5. Vergleich der Ausgabe mit dem Text des Lehrbuchs. Buchseite eines.

- Stimmt unser Fazit mit dem Text des Lehrbuchs überein?

Sprechen Sie den Algorithmus zum Vergleichen von Winkeln.

1. Vergleichenin Paaren zwei willkürliche Winkel, die den Algorithmus aussprechen.

2. Aufgabennummer 4 auf Seite 2.

Vergleichen Sie die Winkel anhand des Stützschemas.

Was können Sie über den OS-Beam sagen? (Er teilte die Ecke in zwei Ecken)

Was können Sie über diese Strahlen sagen? (Winkel AOC ist kleiner als Winkel COB)

1. Aufgabe Nummer 8 auf Seite 2 (vergleiche Augenwinkel im Lehrbuch) und entwirre den Namen des berühmten Herrschers des alten Ägypten – Cheops. Sie erinnern sich, was sie aus dem Lauf der Welt um ihn herum über ihn wissen.

Kann man Ecken an der Cheops-Pyramide finden?

Was hast du über Ecken gelernt?

Problematische Lage.

Glaubst du, das ist alles bekannte Wissen über Winkel oder nicht?

1. Einführung des Konzepts der "Halbierenden" Verwendung praktische Arbeit.

Biegen Sie eine der auf dem Tisch liegenden Ecken in zwei Hälften. Erweitern Sie die Ecke.

Was hast du bekommen? (Eine Linie, die einen Winkel in zwei gleiche Winkel teilt)

Wie heißt diese Linie in der Mathematik? (Strahl) Wieso den?

Für einen Strahl, der innerhalb eines Winkels von seinem Scheitelpunkt gezogen wird, der den Winkel halbiert, gibt es einen speziellen Namen "Bisektor". (Auf dem Schreibtisch)

2. Zeichnungsüberprüfung im Lehrbuch

Es gibt einen lustigen, aber hilfreichen Reim, um sich an ein neues Konzept zu erinnern:

„Die Winkelhalbierende ist so eine ... die um die Ecken läuft und den Winkel teilt .... (Kinder beenden den Reim)

Wie hast du die Ecke halbiert? (Vorbeugen)

Welches neue Konzept hast du gelernt? (Bisektor)

Wie würden Sie einem Klassenkameraden erklären, der den Unterricht geschwänzt hat, was eine Winkelhalbierende ist?

1. Beispiele für das Auffinden eines Teils einer als Bruch ausgedrückten Zahl Nr. 10 p. 3.

(Sie entschlüsseln den Namen des Pharaos, zu dessen Ehren die allererste Pyramide gebaut wurde - Djoser)

2. Lösen von zusammengesetzten Aufgaben, um einen Teil einer Zahl zu finden, ausgedrückt als Bruch oder als Prozentsatz.

a) über Pharao Thutmosis Nr. 11 auf Seite 3.

b) über ein Kamel, das für lange Zeit ohne Wasser und Nahrung auskommt, um sich durch die Wüste zu bewegen Nr. 12 (a) bei st. 3.

Was ist das Thema des Unterrichts?

Wie werden die Winkel verglichen?

Wie finde ich heraus, welcher Winkel größer und welcher kleiner ist?

Welches neue Konzept hast du gelernt?

Wie findet man die Winkelhalbierende? Wieso den?

Wer braucht noch Hilfe beim Unterrichtsthema?

Konnten wir das neue Thema sofort verstehen? Wieso den?

Welche neuen Dinge haben Sie beim Lösen von Problemen gelernt?

Welches Wissen wird Ihnen im Leben nützlich sein? Wo?

Hausaufgaben: 1) Grundstufe: Wiederholen Sie den Algorithmus zum Vergleichen von Winkeln, Nr. 5 - praktische Arbeit zum Teilen eines Winkels in Teile und zum Vergleichen von Teilen durch Biegen; Nr. 12 (b) - ein Problem für Brüche;

2) Fortgeschrittene Stufe: Nr. 7 - Erhalt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks und eines Rechtecks ​​durch Biegen.

§ 28. Winkelvergleich durch Imposition - Lehrbuch für Mathematik Klasse 5 (Zubareva, Mordkovich)

Kurzbeschreibung:

Unterschiedliche geometrische Formen können auf vielfältige Weise miteinander verglichen werden. Einer dieser Wege ist das Auferlegen einer Figur auf eine andere. Neben anderen Abbildungen können Sie bei Bedarf Winkel miteinander vergleichen. Heute erfahren Sie es aus diesem Absatz des Lehrbuchs.
Eine Möglichkeit, Winkel zu vergleichen, ist Overlay. Winkel, die bei Überlagerung zusammenfallen, heißen gleich. Wenn die Winkel nicht übereinstimmen, können Sie leicht feststellen, welcher der Winkel kleiner und welcher größer als der andere sein wird. Um Ecken mit Overlay zu vergleichen, müssen Sie ihre Scheitelpunkte miteinander verbinden. Kombinieren Sie dann eine Seite einer Ecke mit der Seite der anderen Ecke. Wenn gleichzeitig auch ihre zweite Seite zusammenfällt, sind solche Winkel gleich. Die Überlagerungsmethode ist die einfachste grafische Methode, um die Winkelgleichheit zu bestimmen. Für diese Methode eignen sich Pauspapier oder andere durchscheinende Materialien. Oder Sie können einen Winkelmesser verwenden, den Wert einer Ecke messen und auf die zweite Ecke übertragen. Wählen Sie einen bequemen Weg, um verschiedene geometrische Probleme zu lösen und darzustellen, da dieses Wissen in Zukunft bei der Lösung von Problemen mit Formen nützlich sein wird. Sehen Sie sich den Lehrbuchabschnitt zu diesem Thema an, um den Stoff besser zu verstehen und sich zu merken!

§ 1 Winkelvergleich

In dieser Lektion lernen wir, wie man Winkel vergleicht und misst.

Denken Sie daran, dass ein Winkel eine geometrische Figur ist, die durch zwei Strahlen (die Seiten des Winkels) gebildet wird, die von einem Punkt ausgehen (der als Scheitelpunkt des Winkels bezeichnet wird).

Lassen Sie uns zwei Winkel mit einer Überlagerung vergleichen und herausfinden, ob die Winkel gleich sind oder nicht.

Nehmen wir zwei Ecken.

Malen Sie eine Ecke blau und die andere rot und legen Sie die rote Ecke auf die blaue.

Die Abbildung zeigt, dass der blaue Winkel größer ist als der rote, aber wir wissen nicht, um wie viel. Um Winkel zu vergleichen, müssen Sie lernen, wie man sie genau misst.

Der Winkel wird wie jeder andere Wert gemessen.

Wählen Sie dazu eine Maßeinheit (Maßeinheit) und finden Sie heraus, wie oft diese im Messwert enthalten ist.

Stellen wir uns die folgende Situation vor: Seryozha, Petya und Kolya haben beschlossen, den Winkel zu messen, aber jeder hat beschlossen, die Messung selbst vorzunehmen.

Was ist passiert?

Es stellte sich heraus, dass derselbe Winkel für Seryozha drei seiner Messungen entspricht, für Petya - für vier Messungen und für Kolya - für sechs Messungen.

Wer von ihnen hat Recht?

Was ist dieser Winkel wirklich?

In der Geometrie gibt es ein allgemein akzeptiertes, für alle gemeinsames Maß - das ist 1/90 eines rechten Winkels. Dieses Maß wird Grad genannt und bezeichnet: 1 °.

Ein rechter Winkel beträgt also 90° und ein gerader Winkel 180°.

Jeder spitze Winkel ist kleiner als 90° und jeder stumpfe Winkel ist größer als 90°.

Beim Addieren von Winkeln werden ihre Gradmaße addiert und beim Subtrahieren werden sie subtrahiert, zum Beispiel:

Außerdem muss beachtet werden, dass die Summe benachbarter Winkel immer 180° beträgt.

§ 2 Winkelmesser. Winkelmessung

Lassen Sie uns versuchen, das Problem mit unserem Wissen zu lösen.

Ein Winkel OMR ist gegeben - es ist eine gerade Linie, d.h. 90°, zwei Strahlen teilten es in drei Winkel.

Wie Sie auf dem Bild sehen können, beträgt ein Winkel 18 Grad und der andere 23 Grad.

Wir müssen berechnen, was der Winkel KMN ist?

Um den Wert des Winkels KMN zu finden, müssen die Gradmaße der Winkel KMR und NMO vom Gradmaß des Winkels OMR abgezogen werden:

∠KMN = ∠OMR - ∠KMR - ∠NMO = 90° - 18° - 23° = 49°

Der KMN-Winkel beträgt 49°.

Lassen Sie uns ein weiteres Problem lösen.

In der Abbildung sehen wir, dass ∠KOS eingesetzt wird, was bedeutet, dass es gleich 180 ° ist.

∠KOV = 60° und ∠AOC = 60°.

Lassen Sie uns den Wert ∠BOA finden.

∠BOA = ∠KOS - ∠KOV - ∠AOC = 180° - 60° - 60° = 60°

∠BOA = 60°

Um einen Winkel in Grad zu messen, müssen Sie wissen, wie oft er eine Messung von 1 ° enthält. Um Winkel in Grad zu messen, wird ein spezielles Werkzeug verwendet - ein Winkelmesser.

Der Winkelmesser besteht aus einem Lineal (geradlinige Skala) und einem Halbkreis (goniometrische Skala), die in Grad von 0 bis 180 unterteilt sind. Bei einigen Modellen beispielsweise ein kreisförmiger Winkelmesser - von 0 bis 360. Die Winkelmesserskala befindet sich auf einem Halbkreis .

Der Mittelpunkt dieses Halbkreises ist auf dem Winkelmesser mit einem Strich markiert, er wird als Mittelpunkt des Winkelmessers bezeichnet.

Messen wir ∠MKT.

Dazu setzen wir einen Winkelmesser so ein, dass die Mitte des Winkelmessers mit Punkt K, dem Anfang des CT-Strahls, zusammenfällt und der CT-Strahl selbst durch den Ursprung der Winkelmesserskala verläuft. Das Gradmaß eines Winkels wird durch einen Strich auf der Winkelmesserskala angezeigt, durch den die andere Seite des Winkels verläuft.

Also ist ∠MKT gleich 32°.

Mit Hilfe eines Winkelmessers können Sie nicht nur messen, sondern auch Winkel bauen.

Bauen wir einen Winkel von 110°, dessen eine Seite der Strahl OA ist.

Lassen Sie uns zuerst einen Strahl OA zeichnen.

Dann setzen wir den Winkelmesser so auf unseren Strahl, dass die Mitte des Winkelmessers mit dem Punkt O zusammenfällt - dem Anfang des Strahls OA, und der Strahl OA selbst durch den Ursprung der Winkelmesserskala geht.

Lassen Sie uns Punkt B gegen den Strich der Winkelmesserskala mit einer Markierung von 110 ° setzen und einen Balken von OB zeichnen.

Wir erhalten ∠AOB mit 110°.

Der Einfachheit halber geht das Ablesen von Grad auf der Winkelmesserskala in zwei Richtungen, und wenn wir einen Winkel messen oder bilden, müssen wir immer daran denken, dass ein spitzer Winkel weniger als 90 ° und ein stumpfer mehr als 90 ° beträgt.

§ 3 Zusammenfassung des Unterrichts

Fassen wir unsere Lektion zusammen:

1. Winkel werden mit einem Winkelmesser gemessen.

2. Um den Winkel mit einem Winkelmesser zu messen, benötigen Sie:

Befestigen Sie die Mitte des Winkelmessers an der Oberseite der Ecke;

Positionieren Sie den Winkelmesser so, dass eine Seite des Winkels durch den Ursprung der Skalenteilung 0 des Winkelmessers verläuft;

Sehen Sie, durch welche Teilung dieser Skala die andere Seite der Ecke verläuft.

Denken Sie beim Messen daran, dass ein spitzer Winkel kleiner als 90° und ein stumpfer Winkel größer als 90° ist.

3. Um einen Winkel einer bestimmten Größe zu bauen, benötigen Sie:

einen Balken halten

· Setzen Sie einen Winkelmesser auf diesen Balken, so dass die Mitte des Winkelmessers mit dem Anfang des Balkens zusammenfällt und der Balken selbst durch den Ursprung der Skalenteilung 0 des Winkelmessers verläuft.

· Setzen Sie einen Punkt auf den Strich der Winkelmesserskala mit einer Markierung des benötigten Wertes und ziehen Sie den zweiten Strahl vom Anfang des ursprünglichen Strahls durch diesen Punkt.

4. Ein rechter Winkel ist 90°, ein spitzer Winkel ist kleiner als 90°, ein stumpfer Winkel ist größer als 90°, ein gerader Winkel ist 180°.

5. Beim Addieren von Winkeln werden ihre Gradmaße addiert und beim Subtrahieren werden sie subtrahiert.

6. Die Summe benachbarter Winkel beträgt immer 180°.

Liste der verwendeten Literatur:

1. Peterson LG Mathe. 4. Klasse. Teil 1. / L.G. Peterson. – M.: Yuventa, 2014. – 96 S.: Abb.
2. Mathe. 4. Klasse. Methodische Empfehlungen für das Mathematik-Lehrbuch „Lernen lernen“ für die 4. Klasse. / L.G. Peterson. – M.: Yuventa, 2014. – 280 S.: mit Abb.
3. Zak S.M. Alle Aufgaben zum Lehrbuch Mathematik für die 4. Klasse L.G. Peterson und eine Reihe unabhängiger und kontrollierter Werke. GEF. – M.: UNVES, 2014.

Klasse: 3

Thema: Mathematik (Entwicklungsprogramm von L. V. Zankov)

Thema: Arten von Winkeln und ihr Vergleich.

Unterrichtsart: Entdeckung neuen Wissens

Ziele:

Tutorials: Eröffnen Sie Möglichkeiten, Winkel zu vergleichen.

Entwicklung:Entwickeln Sie Aufmerksamkeit, abstraktes Denken, Beobachtung, die Fähigkeit zu vergleichen, unabhängig zu analysieren und Schlussfolgerungen zu ziehen.

Pädagogen:Bei den Schülern ein Interesse an Mathematik, kulturelle Kommunikationsfähigkeiten und eine aktive Persönlichkeit zu fördern.

Verwendete Technologie: RKCHP

Gebildetes UUD:

Regulierung: die Fähigkeit, sich ein Ziel, eine Lernaufgabe zu setzen; Musterkontrolle durchführen.

Kognitiv: die Fähigkeit, Winkel mit dem Auge und der Überlagerungsmethode zu vergleichen und zu messen; Bauen Sie Winkel mit einem bestimmten Wert mit Messwerkzeugen; die Fähigkeit, die effektivsten Wege zur Lösung von Problemen zu wählen; sucht und hebt die notwendigen Informationen hervor, um Bildungsaufgaben zu erfüllen; Handlungen mit zeichensymbolischen Mitteln (Modellierung); logisch - Vergleich, Identifizierung, Verallgemeinerung.

Gesprächig: Planung und Durchführung der pädagogischen Zusammenarbeit mit dem Lehrer und den Mitschülern; in der Lage sein, anderen zuzuhören, die Fähigkeit, Schulungsfragen zu stellen; Besitz von monologischen und dialogischen Sprechformen;

Persönlich: Bewertung der eigenen Lernaktivitäten nach gemeinsam mit der Lehrkraft festgelegten Kriterien.

Ausrüstung: Computer, Winkelkarten und das Spiel „Glaubst du, dass …“, Schülerschere, Stöcke und Knetmasse

Während des Unterrichts

Stufen

Lehrertätigkeit

Studentische Aktivitäten

Grüße

Anruf

Prüfen wir die Bereitschaft. Ich wünsche Ihnen Erfolg.

Ich möchte die heutige Lektion mit den Worten des französischen Philosophen Jean Jacques Rousseau beginnen: „Ihr seid talentierte Kinder! Eines Tages werden Sie selbst angenehm überrascht sein, wie schlau Sie sind, wie viel und wie gut Sie wissen, wie Sie sich, wenn Sie ständig an sich arbeiten, neue Ziele setzen, um sie zu erreichen ... ".

Ich wünsche Ihnen, dass Sie sich heute in der Lektion von den Worten von J. J. Rousseau überzeugen lassen.

Bist du bereit zu gehen?

Dann geh.

Aufwärmen für den Geist.

Wenn Sie die Ausdrücke richtig lösen, können Sie das Thema der Lektion formulieren. Auf jede richtige Antwort folgt ein Buchstabe. Wenn Sie die Antworten in aufsteigender Reihenfolge anordnen, können Sie das Thema der Lektion lesen.

Auf der Folie: 8x6, 9x5, 18:2, 7x4, 30:5, 42:6, 72:9, 4x6, 5x7

e ich w c r a n n

500-200 900-2 733+100 580-40 806-6

u v o g l

Und jetzt lade ich Sie ein, ein Spiel mit mir zu spielen "Glaubst du das..."

1) wird die Wissenschaft genannt, die Winkel studiert Geometrie;

2) Winkel sind stumpf, gerade und scharf;

3) zwei Winkel können nicht verglichen werden;

4) Es gibt mehrere Möglichkeiten, Winkel zu vergleichen;

5) mit Hilfe von Ecken können Tierfiguren modelliert werden;

6) es gibt kein Werkzeug zum Vergleichen von Winkeln;

7) Aus drei Stöcken können Sie drei Winkel gleichzeitig auslegen: gerade, stumpf und spitz

8) Ein spitzer Winkel ist größer als ein stumpfer

Bei welchen Fragen haben Sie definitiv keine Zweifel und denken, dass Sie richtig geantwortet haben?

Warum sind Sie sicher, dass die Antworten richtig sind?

Bereitschaft prüfen

Rechnen Sie mündlich

Thema: Winkelvergleich

Fragen selbstständig beantworten

Kann in #1, 2, 6, 8 antworten

wusste, las

Sinn ergeben

Welche Fragen bezweifeln Sie?

Dann formulieren Sie bitte den Zweck der Lektion.

(Das Ziel wird an die Tafel geschrieben).

Wie werden wir das Ziel erreichen?

Ich biete Ihnen die Aufgabe Nr. 148 S. 80 im Lehrbuch an.

Wir erledigen die Aufgabe alleine.

Wir prüfen nach Muster: (auf der Folie)

3, 2, 7, 1, 4, 5, 8, 6,

War es einfach, Blickwinkel zu vergleichen? Was ist die Schwierigkeit?

Wer stimmt zu, widerspricht?

Wie wurden sie verglichen? Wie?

Kriterien:

"5" - 0 Fehler, "4" - 1-2 Fehler, "3" - 3-4 Fehler.

Praktische Arbeit №1.

Wir erledigen Aufgabe 3) dieser Nummer, zeichnen in ein Notizbuch 2 Ecken, die leicht zu vergleichen sind, und 2 Ecken, die schwer zu vergleichen sind. (1 Person - an der Tafel)

Gegenseitige Kontrolle

Wir prüfen, bewerten die Fähigkeit, Winkel zum Vergleich mit dem Auge zu zeichnen.

Und jetzt, um andere Aussagen aus dem Spiel "Glauben Sie, dass ..." zu bestätigen oder zu widerlegen, schlage ich vor, dass Sie sich mit ein paar Informationen vertraut machen, in denen Sie beim sorgfältigen Lesen Antworten auf Fragen finden können.

Beim Lesen schlage ich vor, das " Einfügung" für die bequeme Erfassung von Informationen. (+ wusste, ! - neu, ? nicht verstanden)

Texte für die Arbeit:

Was wussten Sie also schon?

Und welche neuen, interessanten Informationen zum Thema der Unterrichtsstunde haben Sie jetzt erfahren?

In Aufgabe Nr. 148 haben wir die Winkel auf welche Weise verglichen?

Welche andere Möglichkeit zum Vergleichen von Winkeln hast du kennengelernt?

Praktische Arbeit №2.

Ich schlage vor, die beiden Winkel auf diese Weise zu vergleichen.

Jedes Kind bekommt ein Blatt mit zwei Ecken:

Gemeinsam mit den Kindern wird vorläufig ein Algorithmus zum Winkelvergleich mit Hilfe eines Overlays erarbeitet:

Um Winkel zu vergleichen, benötigen Sie: Algorithmus:

1) Schnittecke Nr. 1; 2) Kombinieren Sie die Oberseiten der Ecken und eine der Seiten der Ecken; 3) Bestimmen Sie auf der zweiten Seite des Winkels, welcher Winkel größer (kleiner) ist.

Kinder schneiden eine der Ecken aus und legen sie gemäß dem Algorithmus auf die andere.

Wie werden die Winkel jetzt verglichen?

Mathematik ist eine exakte Wissenschaft. Welchen Weg halten Sie für genauer?

Sportunterricht Minute

Und jetzt kehre ich zu Frage Nummer 7 des Spiels zurück und erledige diese Aufgabe, um sie zu überprüfen. Lassen Sie uns die Ecken mit Plastilin und Stöcken modellieren.

Lassen Sie uns das Beispiel auf der Folie oder an der Tafel überprüfen.

Schätzung (die Fähigkeit, Ecken zu modellieren).

Kürzlich haben sie in einer Mathestunde verschiedene Blickwinkel gezeichnet. Ich schlage vor, dass Sie das mit dieser Aufgabe verbundene Problem lösen. Gleiten

Eine Aufgabe. Julia in der Zeichnung stellte sich als 7 stumpfe Winkel heraus, 1 gerader und 11 spitzer, und Vali 5 stumpfer Winkel, 2 gerader und 14 spitzer. Wer hat mehr Winkel und um wie viele?

Welche der bekannten Methoden des prägnanten Schreibens ist bequemer, um es aufzuschreiben? (Tisch).

Lassen Sie uns eine Tabelle erstellen und das Problem selbst lösen.

Untersuchung. Einschätzung der Fähigkeit, Probleme zu lösen.

Zweck: -Winkel vergleichen, -Wege finden, Winkel zu vergleichen

Aufgaben erledigen

Überprüfen Sie auf einer Probe

Etwa

Arbeiten Sie mit dem Bewertungsbogen

Zeichne Winkel zum Augenvergleich in ein Notizbuch

Werten Sie die Arbeit eines Nachbarn aus

Lesen Sie den Text, markieren Sie ihn mit Symbolen

Aussagen von Kindern

Winkelmesser, 2 Möglichkeiten zum Vergleichen von Winkeln, Grad, Geometrie

etwa

überlagern

Erstellen Sie zusammen mit dem Lehrer einen Vergleichsalgorithmus

Schneiden, auferlegen, ein Fazit ziehen

Überlagerungen

Ecken mit Stäbchen und Plastilin modellieren

Im Wert steigen

Lies die Aufgabe

Zeichnen Sie an die Tafel und in ein Heft

Prüfen Sie anhand der Norm

Betrachtung

Kommen wir zurück zum Spiel "Glaubst du, dass...".

Auf welche Fragen haben wir im Unterricht keine Antworten gefunden?

Kehren wir zu dem zu Beginn der Lektion gesetzten Ziel zurück.

Hast du erreicht? Wieso den? Was war schwierig? Wurden alle Fragen beantwortet?

Werfen wir einen Blick auf den Bewertungsbogen. Welche Fähigkeiten haben Sie im Unterricht entwickelt?

Wo können sie im Leben nützlich sein?

Hausaufgaben (nach Wahl des Schülers):

1) Kreuzworträtsel zum Thema der Lektion

2) Zeichne das Tier nur an den Ecken auf die Blätter.

3) Erledige die Aufgaben des Lehrbuchs S.80 Nr. 149, Nr. 150 (1)

Kreuzworträtsel:

Horizontal: 1. Zwei von einem Punkt ausgehende Strahlen bilden ... .. 2. Ein Gerät zur Winkelmessung heißt ... .. . Vertikal: 1. Der Punkt, der die beiden Strahlen des Winkels verbindet, heißt .... 2. Der genaueste Weg, um Winkel zu vergleichen. 3. Ein Winkel größer als ein rechter heißt ....

Füllen Sie die dritte Spalte der Tabelle aus.

Habe die Antwort auf Frage Nummer 5 nicht gefunden

Antworten.

Setzen Sie eine Durchschnittsnote für die Lektion.

Schneiden, bauen, basteln

Anwendungen

Texte für die Arbeit:

Die Form von Objekten und ihre Abmessungen werden von der Geometrie untersucht - einem Teil der großen Wissenschaft der Mathematik. Das Hauptkonzept der Geometrie ist eine Figur. Die Figuren haben eigene Namen: Kugel, Strahl, Gerade, Punkt, Strecke, Winkel, Dreieck ....

Zwei Strahlen, die vom selben Ausgangspunkt ausgehen, bilden einen Winkel. Die Strahlen, die einen Winkel bilden, werden Seiten des Winkels genannt, und ihr Anfangspunkt wird als Scheitelpunkt des Winkels bezeichnet. Winkel sind unterschiedlich: stumpf, gerade, scharf und entfaltet. Winkel können verglichen und gemessen werden. Es gibt viele Möglichkeiten, Winkel zu vergleichen. Sie können (ungefähr) mit dem Auge vergleichen oder Ecken übereinander legen. Messen Sie die Winkel mit einem speziellen Gerät - einem Winkelmesser. Der Winkelmesser zeigt den Winkel in Grad an.

Bewertungsblatt

Kennzeichen

Kennzeichen

Ergebnis:

Ergebnis: