Vortrag 6

Matrizen

6.1. Grundlegendes Konzept

Bestimmung 1.Eine Matrix ist eine rechteckige Zahlentabelle.

Klammern oder doppelte vertikale Linien werden verwendet, um eine Matrix zu bezeichnen:

Die Zahlen, aus denen eine Matrix besteht, werden ihre genannt Elemente, Element Matrizen in ihr angesiedelt -te Zeile und -te Spalte.

Zahlen und (die Anzahl der Zeilen und Spalten einer Matrix) werden ihre Ordnungen genannt.

Das sagen sie auch - Matrixgröße
.

Wenn ein
, Matrix genannt Quadrat.

Zur Kurzschreibweise wird auch die Schreibweise verwendet
(oder
) und dann wird angegeben, in welchem ​​Umfang und , zum Beispiel,
,
,
. (Der Eintrag lautet wie folgt: Matrix mit Elementen ,ändert sich von Vor ,- aus Vor .)

Unter den quadratischen Matrizen stellen wir fest diagonale Matrizen, für die alle Elemente mit ungleichen Indizes (
) sind gleich Null:

.

Wir werden sagen, dass die Elemente
befindet sich auf der Hauptdiagonalen.

Diagonale Ansichtsmatrix

genannt Single Matrix.

Im Folgenden wird es Matrizen der Form geben

und
,

die genannt werden dreieckig Matrizen sowie Matrizen, die aus einer Spalte bestehen:

und eine Zeile:

(Matrix-Spalte und Matrix-Zeile).

Man nennt eine Matrix, in der alle Elemente gleich Null sind Null.

6.2. Determinanten der Ordnung n

Lassen Sie eine quadratische Matrix der Ordnung :

. (6.1)

Lassen Sie uns alle möglichen Dinge erstellen Matrixelemente, die sich in unterschiedlichen Zeilen und unterschiedlichen Spalten befinden, d. h. Produkte des Formulars

. (6.2)

Die Anzahl der Produkte der Form (6.2) ist (Wir akzeptieren diese Tatsache ohne Beweis).

Wir werden alle diese Produkte als Mitglieder der Ordnungsdeterminante betrachten entsprechend Matrix (6.1).

Die zweiten Indizes der Faktoren in (6.2) bilden eine Permutation des ersten natürliche Zahlen
.

Sie sagen die Zahlen und in einer Permutation sind Umkehrung, wenn
, und in der Permutation davor gelegen .

Beispiel 1 In einer Permutation von sechs Zahlen,
, Zahlen und ,und ,und ,und ,und Umkehrungen darstellen.

Die Permutation wird aufgerufen eben, wenn die Anzahl der Inversionen darin gerade ist, und seltsam wenn die Anzahl der Inversionen darin ungerade ist.

Beispiel 2 Permutation
- ungerade und Permutation
- eben ( Umkehrungen).

Bestimmung 2.Determinante der Reihenfolge ,entsprechend der Matrix(6.1), heißt algebraische Summe Mitglieder,wie folgt zusammengesetzt:die Terme der Determinante sind alle möglichen Produkte Matrixelemente,aus jeder Zeile und jeder Spalte eine genommen,wobei der Begriff mit dem Vorzeichen genommen wird"+",wenn die Menge der zweiten Indizes eine gerade Permutation von Zahlen ist
,und mit Vorzeichen"–",wenn ungerade.

Die Matrixdeterminante (6.1) wird wie folgt bezeichnet:

.

Kommentar. Definition 2 für
und
führt zu den bereits bekannten Determinanten 2. und 3. Ordnung:

,

Umsetzung um die Hauptdiagonale der Matrix heißt Übergang zur Matrix
, für die die Matrixzeilen sind Spalten und Spalten sind Zeilen:

.

Wir werden sagen, dass die Determinante
erhält man durch Transponieren der Determinante .

Eigenschaften der Ordnungsdeterminante n:

1.
(bei Transposition um die Hauptdiagonale ändert sich die Determinante nicht).

2. Wenn eine der Zeilen der Determinante aus Nullen besteht, ist die Determinante gleich Null.

3. Bei der Permutation zweier Strings ändert die Determinante nur das Vorzeichen.

4. Die Determinante, die zwei identische Zeichenfolgen enthält, ist gleich Null.

5. Wenn alle Elemente einer Reihe der Determinante mit einer Zahl multipliziert werden , die Determinante wird mit multipliziert .

6. Die Determinante, die zwei proportionale Zeilen enthält, ist gleich Null.

7. Wenn alle Elemente -te Reihe der Determinante wird als Summe dargestellt
, dann ist die Determinante gleich der Summe zweier Determinanten, für die alle Zeilen außer -th, sind die gleichen wie in der ursprünglichen Determinante, und -te Zeile in einer Determinante besteht aus , und in der anderen - von .

Bestimmung 3.-te Reihe der Determinante heißt Linearkombination ihrer übrigen Reihen,wenn so,das durch multiplizieren -te Zeile an ,und dann alle Linien addieren,Neben th,wir bekommen -te Zeile.

8. Wenn eine der Zeilen der Determinante eine Linearkombination der restlichen Zeilen ist, ist die Determinante gleich Null.

9. Die Determinante ändert sich nicht, wenn die Elemente einer ihrer Zeilen zu den entsprechenden Elementen einer anderen addiert und mit derselben Zahl multipliziert werden.

Kommentar. Wir haben die Eigenschaften der Determinante für Strings formuliert. Aufgrund Eigenschaft 1 (
) gelten sie auch für Spalten.

Alle oben genannten Eigenschaften haben sich im praktischen Unterricht bewährt
; für willkürlich akzeptiere sie ohne Beweis.

Wenn in der Determinante bestellen Element auswählen und streichen Sie die Spalte und Zeile durch, an deren Schnittpunkt sich befindet , die restlichen Zeilen und Spalten bilden die Determinante der Reihenfolge
, Was heisst unerheblich bestimmend dem Element entsprechend .

Beispiel 3 In der Determinante

Nebenelement
ist die Determinante
.

Bestimmung 4.Algebraische Addition Element bestimmend seinen Minderjährigen genannt,multipliziert mit
,wo - Zeilennummer, - Spaltennummer,in dem sich das ausgewählte Element befindet .

Beispiel 4 In der Determinante

algebraische Addition
.

Satz 1 (über Stringexpansion).Die Determinante ist gleich der Summe der Produkte aller Elemente einer beliebigen Zeile und ihrer algebraischen Komplemente.

Satz 1 erlaubt uns, die Berechnung der Ordnungsdeterminante zu reduzieren zur Berechnung Ordnungsdeterminanten
.

Beispiel 5. Berechnen Sie die Determinante vierter Ordnung:

.

Wenden wir Satz 1 an und erweitern die Determinante in der 4. Zeile:

Kommentar. Man kann zuerst die Determinante vereinfachen, indem man Eigenschaft 9 verwendet, und dann Satz 1 verwenden. Dann die Berechnung der Determinante der Ordnung reduziert sich auf die Berechnung nur einer Ordnungsdeterminante
.

Beispiel 6 Berechnung

.

Addieren wir die erste Spalte zur zweiten und die erste Spalte multipliziert mit (
), zum dritten, als Ergebnis erhalten wir

.

Nun wenden wir Satz 1 an und erweitern die letzte Zeile:

,

die Berechnung der Determinante 4. Ordnung wurde auf die Berechnung nur einer Determinante 3. Ordnung reduziert.

,

die Berechnung der Determinante dritter Ordnung wurde auf die Berechnung nur einer Determinante zweiter Ordnung reduziert.

Beispiel 7 Ordnungsdeterminante berechnen :

.

Wir fügen die erste Zeile zur zweiten, dritten usw. hinzu. -te Zeile. Kommen Sie zur Determinante

.

Man erhält eine Dreiecksdeterminante.

Zutreffend
multipliziere Satz 1 (erweitere in der ersten Spalte) und erhalte

.

Kommentar. Die Dreiecksdeterminante ist gleich dem Produkt der Elemente der Hauptdiagonalen.

6.3. Grundlegende Operationen auf Matrizen

Bestimmung 5.Zwei Matrizen
,
,
,und
,
,
,heißt gleich wenn
.

Kurzeintrag:
.

Somit werden zwei Matrizen als gleich angesehen, wenn sie die gleiche Ordnung haben und ihre entsprechenden Elemente gleich sind.

Bestimmung 6.Die Summe zweier Matrizen
,
,
,und
,
,
,eine solche Matrix heißt
,
,
,was
.

Mit anderen Worten, es können nur Matrizen gleicher Ordnung addiert werden, und die Addition erfolgt elementweise.

Beispiel 8 Summe von Matrizen ermitteln

und
.

Gemäß Definition 6 finden wir

.

Die Matrixadditionsregel gilt für die Summe einer endlichen Anzahl von Termen.

Bestimmung 7.Matrixprodukt
,
,
,zu einer reellen Zahl eine solche Matrix heißt
,
,
,wofür
.

Mit anderen Worten, um eine Matrix mit einer Zahl zu multiplizieren, müssen Sie alle ihre Elemente mit dieser Zahl multiplizieren und die resultierenden Produkte an ihren ursprünglichen Stellen belassen.

Beispiel 9 Linearkombination finden
Matrizen

und
.

Unter Verwendung von Definition 7 erhalten wir

,
,

.

Eigenschaften von Matrixadditionsoperationen

und Multiplikation mit einer Zahl:

1. Addition ist kommutativ:
.

2. Addition ist assoziativ:.

3. Es gibt eine Nullmatrix
, erfüllt die Bedingung
für alle ABER.

4. Für jede Matrix ABER Es gibt eine entgegengesetzte Matrix BEI, erfüllt die Bedingung
.

Für beliebige Matrizen ABER und BEI und alle reellen Zahlen
Gleichberechtigung findet statt:

5.
.

6.
.

7.
.

8.
.

Eigenschaft prüfen 1. Bezeichnen
,
. Lassen
,

,
. Wir haben

und da die Gleichheit für ein beliebiges Element gemäß Definition 5 bewiesen ist
. Eigenschaft 1 ist bewiesen.

Eigenschaft 2 wird ähnlich bewiesen.

Als Matrix nimm die Ordnungsmatrix
, deren alle Elemente gleich Null sind.

Gefaltet mit beliebiger Matrix gemäß der in Definition 6 angegebenen Regel haben wir die Matrix nicht ändern, und Eigenschaft 3 ist wahr.

Lassen Sie uns Eigenschaft 4 überprüfen. Let
. Lasst uns
. Dann
, also ist Eigenschaft 4 wahr.

Wir verzichten auf die Prüfung der Eigenschaften 5 - 8.

Bestimmung 8.Matrixprodukt
,
,
,zu Matrix
,
,
,Matrix genannt
,
,
,mit Elementen
.

Kurzeintrag:
.

Beispiel 10 Produkt von Matrizen finden

und
.

Gemäß Definition 8 finden wir

Beispiel 11. Matrizen multiplizieren

und
.

Bemerkung 1. Anzahl der Elemente in einer Matrixzeile gleich der Anzahl der Elemente in der Matrixspalte (Anzahl der Matrixspalten gleich der Anzahl der Matrixzeilen ist ).

Bemerkung 2. In der Matrix
so viele Zeilen wie in der Matrix , und es gibt so viele Spalten wie in .

Bemerkung 3. Allgemein gesagt,
(Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ).

Um Bemerkung 3 zu rechtfertigen, genügt es, mindestens ein Beispiel anzuführen.

Beispiel 12. Multiplizieren Sie in umgekehrter Reihenfolge der Matrizen und aus Beispiel 10.

also allgemein
.

Beachten Sie, dass in einem bestimmten Fall die Gleichheit
Vielleicht.

Matrizen und , für die die Gleichheit
, werden genannt Permutation, oder pendeln.

Übungen.

1. Finden Sie alle Matrizen, die mit der gegebenen kommutieren:

a)
; b)
.

2. Finden Sie alle Matrizen zweiter Ordnung, deren Quadrate gleich der Nullmatrix sind.

3. Beweisen Sie das
.

Eigenschaften der Matrixmultiplikation:

Die Multiplikation ist distributiv.

Die Zahl zweiter Ordnung ist gleich der Differenz zwischen dem Produkt der Zahlen der Hauptdiagonale und dem Produkt der Zahlen der Nebendiagonalen, man findet folgende Bezeichnungen der Determinante: ; ; ; detA(bestimmend).

.

Beispiel:
.

Die Determinante einer Matrix dritter Ordnung wird eine Zahl oder ein mathematischer Ausdruck aufgerufen, der nach folgender Regel berechnet wird

Der einfachste Weg, die Determinante dritter Ordnung zu berechnen, besteht darin, die Determinante der ersten beiden Zeilen von unten zu addieren.

In der gebildeten Zahlentabelle werden die auf der Hauptdiagonale und auf den zur Hauptdiagonalen parallelen Diagonalen stehenden Elemente multipliziert, das Vorzeichen des Ergebnisses des Produkts ändert sich nicht. Die nächste Berechnungsstufe ist eine ähnliche Multiplikation von Elementen auf der Nebendiagonale und auf den dazu parallelen. Die Vorzeichen der Produktergebnisse werden umgekehrt. Addieren Sie dann die resultierenden sechs Terme.

Beispiel:

Zerlegung der Determinante nach den Elementen einer Zeile (Spalte).

Unerheblich M ij Element und ij quadratische Matrix ABER wird Determinante genannt und besteht aus den Elementen der Matrix ABER, verbleibend nach dem Löschen ich- ach linie und j-te Spalte.

Zum Beispiel ein Moll zu einem Element eine 21 Matrizen dritter Ordnung
es wird eine Determinante geben
.

Wir werden sagen, dass das Element und ij nimmt eine gerade Position ein, wenn i+j(die Summe der Zeilen- und Spaltennummern, an deren Schnittpunkt sich dieses Element befindet) - eine gerade Zahl, eine ungerade Stelle, wenn i+j- ungerade Zahl.

Algebraische Addition Und ij Element und ij quadratische Matrix ABER Ausdruck genannt (oder der Wert des entsprechenden Minors, der mit einem „+“-Zeichen genommen wird, wenn das Matrixelement eine gerade Stelle einnimmt, und mit einem „-“-Zeichen, wenn das Element eine ungerade Stelle einnimmt).

Beispiel:

eine 23= 4;

- algebraisches Komplement eines Elements eine 22= 1.

Satz von Laplace. Die Determinante ist gleich der Summe der Produkte der Elemente einer Reihe (Spalte) und ihrer entsprechenden algebraischen Additionen.

Veranschaulichen wir dies am Beispiel einer Determinante dritter Ordnung. Sie können die Determinante dritter Ordnung berechnen, indem Sie die erste Zeile wie folgt erweitern

In ähnlicher Weise können Sie die Determinante dritter Ordnung berechnen, indem Sie eine beliebige Zeile oder Spalte erweitern. Es ist praktisch, die Determinante entlang der Zeile (oder Spalte) zu erweitern, die mehr Nullen enthält.

Beispiel:

Somit reduziert sich die Berechnung der Determinante 3. Ordnung auf die Berechnung von 3 Determinanten zweiter Ordnung. Im allgemeinen Fall kann man die Determinante einer quadratischen Matrix berechnen n-ten Ordnung, reduziert es auf die Berechnung n Determinanten ( n-1) te Ordnung

Kommentar. Es gibt keine einfachen Methoden zur Berechnung von Determinanten höherer Ordnung, ähnlich den Methoden zur Berechnung von Determinanten 2. und 3. Ordnung. Daher kann nur die Dekompositionsmethode verwendet werden, um Determinanten oberhalb der dritten Ordnung zu berechnen.

Beispiel. Berechnen Sie die Determinante vierter Ordnung.

Erweitern Sie die Determinante um die Elemente der dritten Zeile

Eigenschaften von Determinanten:

1. Die Determinante ändert sich nicht, wenn ihre Zeilen durch Spalten ersetzt werden und umgekehrt.

2. Beim Permutieren zweier benachbarter Zeilen (Spalten) wechselt die Determinante das Vorzeichen ins Gegenteil.

3. Die Determinante mit zwei identischen Zeilen (Spalten) ist 0.

4. Der gemeinsame Faktor aller Elemente einer Zeile (Spalte) der Determinante kann aus dem Vorzeichen der Determinante entnommen werden.

5. Die Determinante ändert sich nicht, wenn die entsprechenden Elemente einer anderen Spalte (Zeile) multipliziert mit einer bestimmten Zahl zu den Elementen einer ihrer Spalten (Zeilen) addiert werden.

Determinanten der vierten und höheren Ordnung Es ist möglich, nach vereinfachten Schemata zu berechnen, die darin bestehen, Elemente von Zeilen oder Spalten zu erweitern oder auf eine Dreiecksform zu reduzieren. Zur Verdeutlichung werden beide Methoden besprochen. Matrizen 4. Ordnung.

Zeilen- oder Spaltenzerlegungsmethode

Wir betrachten das erste Beispiel mit ausführlichen Erläuterungen aller Zwischenaktionen.

Beispiel 1 Berechnen Sie die Determinante nach der Erweiterungsmethode.

Lösung. Um die Berechnungen zu vereinfachen, erweitern wir die Determinante vierter Ordnung in Bezug auf die Elemente der ersten Zeile (enthält ein Nullelement). Sie werden gebildet, indem Elemente mit ihren entsprechenden Additionen multipliziert werden (Löschungen von Zeilen und Spalten werden am Schnittpunkt des Elements gebildet, für das sie berechnet wurden - rot hervorgehoben).

Als Ergebnis reduzieren sich die Berechnungen darauf, drei Determinanten dritter Ordnung zu finden, die wir durch die Dreiecksregel finden

Die gefundenen Werte werden in die Ausgabedeterminante eingesetzt

Das Ergebnis lässt sich leicht mit einem Matrixrechner überprüfen YukhymCALC. Wählen Sie dazu im Taschenrechner das Element Matrix-Matrix Determinant aus und stellen Sie die Matrixgröße auf 4 * 4 ein.

Die Ergebnisse sind die gleichen, also sind die Berechnungen korrekt.

Beispiel 2 Berechnen Sie die Determinante einer Matrix vierter Ordnung.

Wie in der vorherigen Aufgabe führen wir Berechnungen nach der Zerlegungsmethode durch. Markieren Sie dazu die Elemente der ersten Spalte. Vereinfacht lässt sich die Determinante durch die Summe von vier Determinanten dritter Ordnung in der Form angeben

Die Berechnungen sind nicht zu kompliziert, Hauptsache nicht mit Zeichen und Dreiecken verwechseln. Wir setzen die gefundenen Werte in die Hauptdeterminante ein und fassen sie zusammen

Es ist gleich der Summe der Produkte der Elemente einer Reihe oder Spalte und ihrer algebraischen Komplemente, d.h. , wobei i 0 festgelegt ist.
Der Ausdruck (*) heißt Zerlegung der Determinante D in die Elemente der Zeile mit der Nummer i 0 .

Dienstzuweisung. Dieser Service dient dazu, die Determinante der Matrix online zu finden, wobei die gesamte Lösung im Word-Format ausgeführt wird. Zusätzlich wird eine Lösungsvorlage in Excel erstellt.

Anweisung. Wählen Sie die Dimension der Matrix aus und klicken Sie auf Weiter.

Matrixdimension 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Es gibt zwei Möglichkeiten, die Determinante zu berechnen: per Definition und Zerlegung nach Zeile oder Spalte. Wenn Sie die Determinante finden möchten, indem Sie Nullen in einer der Zeilen oder Spalten erstellen, können Sie diesen Rechner verwenden.

Algorithmus zum Finden der Determinante

1. Für Matrizen der Ordnung n=2 wird die Determinante nach folgender Formel berechnet: Δ=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
2. Für Matrizen der Ordnung n=3 wird die Determinante durch algebraische Additionen oder berechnet Sarrus-Methode.
3. Eine Matrix mit einer Dimension größer als drei wird in algebraische Additionen zerlegt, für die ihre Determinanten (Minoren) berechnet werden. Zum Beispiel, Matrixdeterminante 4. Ordnung wird durch Erweiterung in Zeilen oder Spalten gefunden (siehe Beispiel).

Zur Berechnung der Determinanten enthaltenden Funktionen in der Matrix werden Standardmethoden verwendet. Berechnen Sie beispielsweise die Determinante einer Matrix 3. Ordnung:

Lassen Sie uns die erste Zeilenerweiterung verwenden.
Δ = sin(x)× + 1× = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)

Methoden zur Berechnung von Determinanten

Bestimmung der Determinante durch algebraische Additionen ist eine gängige Methode. Ihre vereinfachte Version ist die Berechnung der Determinante nach der Sarrus-Regel. Bei einer großen Matrixdimension werden jedoch die folgenden Methoden verwendet:

1. Berechnung der Determinante durch Ordnungsreduktion
2. Berechnung der Determinante nach der Gaußschen Methode (durch Reduzierung der Matrix auf eine Dreiecksform).

In Excel wird zur Berechnung der Determinante die Funktion = MOPRED (Zellenbereich) verwendet.

Angewandte Verwendung von Determinanten

Die Determinanten werden in der Regel für ein bestimmtes System in Form einer quadratischen Matrix berechnet. Betrachten Sie einige Arten von Aufgaben auf Matrixdeterminante finden. Manchmal ist es erforderlich, einen unbekannten Parameter a zu finden, für den die Determinante gleich Null wäre. Dazu ist es notwendig, eine Gleichung für die Determinante aufzustellen (z Dreiecksregel) und, gleichgesetzt mit 0, den Parameter a berechnen.
Zerlegung nach Spalten (nach der ersten Spalte):
Minor für (1,1): Löschen Sie die erste Zeile und die erste Spalte aus der Matrix.
Lassen Sie uns die Determinante für diesen Moll finden. ∆ 1,1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6.

Bestimmen wir den Moll für (2,1): Dazu löschen wir die zweite Zeile und die erste Spalte aus der Matrix.

Lassen Sie uns die Determinante für diesen Moll finden. ∆ 2,1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4 . Minor für (3,1): Lösche die 3. Zeile und 1. Spalte aus der Matrix.
Lassen Sie uns die Determinante für diesen Moll finden. ∆ 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
Die Hauptdeterminante ist: ∆ = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14

Lassen Sie uns die Determinante finden, indem wir die Erweiterung nach Zeilen (nach der ersten Zeile) verwenden:
Minor für (1,1): Löschen Sie die erste Zeile und die erste Spalte aus der Matrix.

Lassen Sie uns die Determinante für diesen Moll finden. ∆ 1,1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6. Minor für (1,2): Löschen Sie die 1. Zeile und 2. Spalte aus der Matrix. Lassen Sie uns die Determinante für dieses Moll berechnen. ∆ 1,2 \u003d (3 (-2) -1 1) \u003d -7. Und um den Moll für (1,3) zu finden, löschen wir die erste Zeile und die dritte Spalte aus der Matrix. Lassen Sie uns die Determinante für diesen Moll finden. ∆ 1,3 = (3 2-1 2) = 4
Wir finden die Hauptdeterminante: ∆ \u003d (1 (-6) -0 (-7) + (-2 4)) \u003d -14

Der Begriff der Determinante ist einer der wichtigsten im Studium der linearen Algebra. Dieses Konzept ist NUR QUADRATISCHEN MATRIXEN inhärent, und dieser Artikel ist diesem Konzept gewidmet. Hier werden wir über Determinanten von Matrizen sprechen, deren Elemente reelle (oder komplexe) Zahlen sind. In diesem Fall ist die Determinante eine reelle (oder komplexe) Zahl. Alle weiteren Präsentationen werden eine Antwort auf die Fragen sein, wie man die Determinante berechnet und welche Eigenschaften sie hat.

Zuerst geben wir die Definition der Determinante einer quadratischen Matrix der Ordnung n mal n als Summe der Produkte von Permutationen von Matrixelementen an. Basierend auf dieser Definition schreiben wir Formeln zur Berechnung der Determinanten von Matrizen erster, zweiter und dritter Ordnung und analysieren detailliert die Lösungen mehrerer Beispiele.

Als nächstes wenden wir uns den Eigenschaften der Determinante zu, die wir in Form von Sätzen ohne Beweis formulieren. Hier wird eine Methode zur Berechnung der Determinante durch ihre Entwicklung über die Elemente einer Zeile oder Spalte erhalten. Dieses Verfahren reduziert die Berechnung der Determinante einer Matrix der Ordnung n mal n auf die Berechnung der Determinanten von Matrizen der Ordnung 3 mal 3 oder weniger. Stellen Sie sicher, dass Sie Lösungen zu mehreren Beispielen zeigen.

Lassen Sie uns abschließend auf die Berechnung der Determinante nach der Gauß-Methode eingehen. Diese Methode eignet sich gut zum Auffinden von Determinanten von Matrizen mit einer Ordnung größer als 3 mal 3, da sie weniger Rechenaufwand erfordert. Wir werden auch die Lösung von Beispielen analysieren.

Seitennavigation.

Definition der Matrixdeterminante, Berechnung der Matrixdeterminante per Definition.

Wir erinnern an einige Hilfsbegriffe.

Definition.

Permutation der Ordnung n heißt eine geordnete Zahlenmenge, die aus n Elementen besteht.

Für eine Menge mit n Elementen gibt es n! (n Fakultät) von Permutationen der Ordnung n. Permutationen unterscheiden sich nur in der Reihenfolge der Elemente.

Stellen Sie sich zum Beispiel eine Menge vor, die aus drei Zahlen besteht: . Wir schreiben alle Permutationen auf (es gibt insgesamt sechs, da ):

Definition.

Inversion in einer Permutation der Ordnung n jedes Indexpaar p und q wird aufgerufen, für das das p-te Element der Permutation größer als das q-te ist.

Im vorherigen Beispiel ist die Umkehrung der Permutation 4 , 9 , 7 p=2 , q=3 , weil das zweite Element der Permutation 9 ist und größer ist als das dritte Element, das 7 ist. Die Umkehrung der Permutation 9, 7, 4 sind drei Paare: p=1, q=2 (9>7); p=1 , q=3 (9>4 ) und p=2 , q=3 (7>4 ).

Wir interessieren uns mehr für die Anzahl der Inversionen in einer Permutation als für die Inversion selbst.

Sei eine quadratische Matrix der Ordnung n mal n über dem Körper der reellen (oder komplexen) Zahlen. Sei die Menge aller Permutationen der Ordnung n der Menge . Das Set enthält n! Permutationen. Lassen Sie uns die k-te Permutation der Menge als bezeichnen und die Anzahl der Inversionen in der k-ten Permutation als .

Definition.

Matrixdeterminante Und es gibt eine Zahl gleich .

Lassen Sie uns diese Formel in Worten beschreiben. Die Determinante einer quadratischen Matrix der Ordnung n mal n ist die Summe, die n enthält! Bedingungen. Jeder Term ist ein Produkt aus n Elementen der Matrix, und jedes Produkt enthält ein Element aus jeder Zeile und aus jeder Spalte der Matrix A. Ein Koeffizient (-1) erscheint vor dem k-ten Term, wenn die Elemente der Matrix A im Produkt nach Zeilennummer geordnet sind und die Anzahl der Inversionen in der k-ten Permutation des Satzes von Spaltennummern ungerade ist.

Die Determinante einer Matrix A wird üblicherweise als bezeichnet, und det(A) wird ebenfalls verwendet. Sie können auch hören, dass die Determinante Determinante genannt wird.

So, .

Dies zeigt, dass die Determinante der Matrix erster Ordnung das Element dieser Matrix ist.

Berechnung der Determinante einer quadratischen Matrix zweiter Ordnung - Formel und Beispiel.

etwa 2 mal 2 im Allgemeinen.

In diesem Fall ist n=2 , also n!=2!=2 .

.

Wir haben

Damit haben wir eine Formel zur Berechnung der Determinante einer Matrix der Ordnung 2 mal 2 erhalten, sie hat die Form .

Beispiel.

bestellen.

Lösung.

In unserem Beispiel . Wir wenden die resultierende Formel an :

Berechnung der Determinante einer quadratischen Matrix dritter Ordnung - Formel und Beispiel.

Lassen Sie uns die Determinante einer quadratischen Matrix finden etwa 3 mal 3 im Allgemeinen.

In diesem Fall ist n=3 , also n!=3!=6 .

Lassen Sie uns die notwendigen Daten zur Anwendung der Formel in Form einer Tabelle anordnen .

Wir haben

So haben wir eine Formel zur Berechnung der Determinante einer Matrix der Ordnung 3 mal 3 erhalten, sie hat die Form

In ähnlicher Weise kann man Formeln zur Berechnung der Determinanten von Matrizen der Ordnung 4 mal 4, 5 mal 5 und höher erhalten. Sie werden sehr voluminös aussehen.

Beispiel.

Berechnen Sie die Determinante der quadratischen Matrix etwa 3 mal 3.

Lösung.

In unserem Beispiel

Wir wenden die resultierende Formel an, um die Determinante einer Matrix dritter Ordnung zu berechnen:

Formeln zur Berechnung der Determinanten quadratischer Matrizen zweiter und dritter Ordnung werden sehr häufig verwendet, daher empfehlen wir Ihnen, sich diese zu merken.

Eigenschaften einer Matrixdeterminante, Berechnung einer Matrixdeterminante anhand von Eigenschaften.

Basierend auf der obigen Definition gilt Folgendes. matrixbestimmende Eigenschaften.

Die Determinante der Matrix A ist gleich der Determinante der transponierten Matrix A T , also .

Beispiel.

Achten Sie auf die Matrixdeterminante gleich der Determinante der transponierten Matrix ist.

Lösung.

Verwenden wir die Formel, um die Determinante einer Matrix der Ordnung 3 mal 3 zu berechnen:



Wir transponieren Matrix A:


Berechnen Sie die Determinante der transponierten Matrix:



Tatsächlich ist die Determinante der transponierten Matrix gleich der Determinante der ursprünglichen Matrix.

Wenn in einer quadratischen Matrix alle Elemente mindestens einer der Zeilen (einer der Spalten) Null sind, ist die Determinante einer solchen Matrix gleich Null.

Beispiel.

Prüfen Sie, ob die Matrixdeterminante Ordnung 3 mal 3 ist Null.

Lösung.




Tatsächlich ist die Determinante einer Matrix mit einer Nullspalte Null.

Wenn Sie zwei beliebige Zeilen (Spalten) in einer quadratischen Matrix vertauschen, ist die Determinante der resultierenden Matrix der ursprünglichen entgegengesetzt (d. h. das Vorzeichen ändert sich).

Beispiel.

Gegeben seien zwei quadratische Matrizen der Ordnung 3 mal 3 und . Zeigen Sie, dass ihre Determinanten entgegengesetzt sind.

Lösung.

Matrix B wird aus Matrix A erhalten, indem die dritte Zeile durch die erste und die erste durch die dritte ersetzt wird. Je nach betrachteter Eigenschaft müssen sich die Determinanten solcher Matrizen im Vorzeichen unterscheiden. Lassen Sie uns dies überprüfen, indem wir die Determinanten mit einer bekannten Formel berechnen.



Wirklich, .

Wenn in einer quadratischen Matrix mindestens zwei Zeilen (zwei Spalten) gleich sind, dann ist ihre Determinante gleich Null.

Beispiel.

Zeigen Sie, dass die Matrixdeterminante gleich Null ist.

Lösung.

In dieser Matrix sind die zweite und die dritte Spalte gleich, daher muss ihre Determinante je nach betrachteter Eigenschaft gleich Null sein. Lass es uns überprüfen.



Tatsächlich ist die Determinante einer Matrix mit zwei identischen Spalten Null.

Wenn in einer quadratischen Matrix alle Elemente einer beliebigen Zeile (Spalte) mit einer Zahl k multipliziert werden, dann ist die Determinante der resultierenden Matrix gleich der Determinante der ursprünglichen Matrix, multipliziert mit k. Zum Beispiel,



Beispiel.

Beweisen Sie, dass die Matrixdeterminante ist gleich dem Dreifachen der Determinante der Matrix .

Lösung.

Die Elemente der ersten Spalte der Matrix B ergeben sich aus den entsprechenden Elementen der ersten Spalte der Matrix A durch Multiplikation mit 3. Dann sollte aufgrund der betrachteten Eigenschaft die Gleichheit gelten. Überprüfen wir dies, indem wir die Determinanten der Matrizen A und B berechnen.



Also , was zu beweisen war.

BEACHTEN SIE.

Verwechseln oder verwechseln Sie die Begriffe Matrix und Determinante nicht! Die betrachtete Eigenschaft der Determinante einer Matrix und die Operation der Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl sind bei weitem nicht dasselbe.
, aber .

Wenn alle Elemente einer Reihe (Spalte) einer quadratischen Matrix die Summe von s Termen sind (s ist eine natürliche Zahl größer als eins), dann ist die Determinante einer solchen Matrix gleich der Summe von s Determinanten der erhaltenen Matrizen von der ursprünglichen, wenn als Elemente der Zeile (Spalte) jeweils ein Begriff verlassen wird. Zum Beispiel,


Beispiel.

Beweisen Sie, dass die Determinante einer Matrix gleich der Summe der Determinanten der Matrizen ist .

Lösung.

In unserem Beispiel , also aufgrund der betrachteten Eigenschaft der Matrixdeterminante, der Gleichheit . Wir überprüfen dies, indem wir die entsprechenden Determinanten von Matrizen der Ordnung 2 mal 2 mit der Formel berechnen .


Aus den erhaltenen Ergebnissen ist dies ersichtlich . Damit ist der Beweis abgeschlossen.

Wenn wir die entsprechenden Elemente einer anderen Zeile (Spalte) multipliziert mit einer beliebigen Zahl k zu den Elementen einer bestimmten Zeile (Spalte) der Matrix hinzufügen, dann ist die Determinante der resultierenden Matrix gleich der Determinante der ursprünglichen Matrix.

Beispiel.

Stellen Sie sicher, dass die Elemente der dritten Spalte der Matrix addieren Sie die entsprechenden Elemente der zweiten Spalte dieser Matrix, multipliziert mit (-2), und addieren Sie die entsprechenden Elemente der ersten Spalte der Matrix, multipliziert mit einer beliebigen reellen Zahl, dann ist die Determinante der resultierenden Matrix gleich die Determinante der ursprünglichen Matrix.

Lösung.

Wenn wir von der betrachteten Eigenschaft der Determinante ausgehen, dann ist die Determinante der Matrix, die nach allen in der Aufgabe angegebenen Transformationen erhalten wird, gleich der Determinante der Matrix A.

Zuerst berechnen wir die Determinante der ursprünglichen Matrix A:



Lassen Sie uns nun die notwendigen Transformationen der Matrix A durchführen.

Fügen wir zu den Elementen der dritten Spalte der Matrix die entsprechenden Elemente der zweiten Spalte der Matrix hinzu, nachdem wir sie zuvor mit (-2) multipliziert haben. Danach sieht die Matrix so aus:


Zu den Elementen der dritten Spalte der resultierenden Matrix addieren wir die entsprechenden Elemente der ersten Spalte, multipliziert mit:


Berechnen Sie die Determinante der resultierenden Matrix und stellen Sie sicher, dass sie gleich der Determinante der Matrix A ist, also -24:



Die Determinante einer quadratischen Matrix ist die Summe der Produkte der Elemente einer beliebigen Zeile (Spalte) durch ihre algebraische Additionen.



Hier ist das algebraische Komplement des Matrixelements , .

Diese Eigenschaft ermöglicht die Berechnung von Determinanten von Ordnungsmatrizen größer als 3 mal 3, indem sie auf die Summe mehrerer Determinanten von Ordnungsmatrizen um eine Stufe niedriger reduziert werden. Mit anderen Worten, dies ist eine wiederkehrende Formel zur Berechnung der Determinante einer quadratischen Matrix beliebiger Ordnung. Wir empfehlen Ihnen, sich daran zu erinnern, da es ziemlich häufig anwendbar ist.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel.

Ordne 4 mal 4 und erweitere es

• durch Elemente der 3. Reihe,
• durch die Elemente der 2. Spalte.

Lösung.

Wir verwenden die Formel zur Erweiterung der Determinante um die Elemente der 3. Reihe



Wir haben



Das Problem, die Determinante einer Matrix der Ordnung 4 mal 4 zu finden, wurde also auf die Berechnung von drei Determinanten von Matrizen der Ordnung 3 mal 3 reduziert:



Durch Einsetzen der erhaltenen Werte erhalten wir das Ergebnis:


Wir verwenden die Formel zur Erweiterung der Determinante um die Elemente der 2. Spalte


und wir handeln genauso.

Wir werden die Berechnung der Determinanten von Matrizen dritter Ordnung nicht im Detail beschreiben.



Beispiel.

Matrixdeterminante berechnen etwa 4 mal 4.

Lösung.

Sie können die Matrixdeterminante in Elemente jeder Spalte oder Zeile zerlegen, aber es ist vorteilhafter, die Zeile oder Spalte zu wählen, die die größte Anzahl von Nullelementen enthält, da dies dazu beiträgt, unnötige Berechnungen zu vermeiden. Erweitern wir die Determinante um die Elemente der ersten Zeile:



Wir berechnen die erhaltenen Determinanten von Matrizen der Ordnung 3 mal 3 nach der uns bekannten Formel:



Wir ersetzen die Ergebnisse und erhalten den gewünschten Wert


Beispiel.

Matrixdeterminante berechnen ungefähr 5 mal 5.

Lösung.

Die vierte Zeile der Matrix hat unter allen Zeilen und Spalten die meisten Nullelemente, daher empfiehlt es sich, die Matrixdeterminante genau um die Elemente der vierten Zeile zu erweitern, da wir in diesem Fall weniger Berechnungen benötigen.



Die erhaltenen Determinanten von Matrizen der Ordnung 4 mal 4 wurden in den vorherigen Beispielen gefunden, daher verwenden wir die vorgefertigten Ergebnisse:



Beispiel.

Matrixdeterminante berechnen etwa 7 mal 7.

Lösung.

Sie sollten nicht sofort die Determinante nach den Elementen einer Zeile oder Spalte zerlegen. Wenn Sie sich die Matrix genau ansehen, werden Sie feststellen, dass die Elemente der sechsten Reihe der Matrix erhalten werden können, indem Sie die entsprechenden Elemente der zweiten Reihe mit zwei multiplizieren. Das heißt, wenn wir die entsprechenden Elemente der zweiten Zeile multipliziert mit (-2) zu den Elementen der sechsten Zeile hinzufügen, ändert sich die Determinante aufgrund der siebten Eigenschaft nicht und die sechste Zeile der resultierenden Matrix besteht aus Nullen. Die Determinante einer solchen Matrix ist nach der zweiten Eigenschaft gleich Null.

Antworten:

Es sei darauf hingewiesen, dass die betrachtete Eigenschaft es ermöglicht, die Determinanten von Matrizen beliebiger Ordnung zu berechnen, jedoch müssen viele Rechenoperationen durchgeführt werden. In den meisten Fällen ist es vorteilhafter, die Determinante von Ordnungsmatrizen höher als die dritte nach der Gauß-Methode zu finden, die wir weiter unten betrachten werden.

Die Summe der Produkte der Elemente einer beliebigen Zeile (Spalte) einer quadratischen Matrix und der algebraischen Komplemente der entsprechenden Elemente einer anderen Zeile (Spalte) ist gleich Null.


Beispiel.

Zeigen Sie, dass die Summe der Produkte der Elemente der dritten Spalte der Matrix auf algebraische Komplemente der entsprechenden Elemente der ersten Spalte ist gleich Null.

Lösung.




Die Determinante des Produkts quadratischer Matrizen gleicher Ordnung ist gleich dem Produkt ihrer Determinanten, d.h. , wobei m eine natürliche Zahl größer als eins ist, A k , k=1,2,…,m quadratische Matrizen derselben Ordnung sind.

Beispiel.

Stellen Sie sicher, dass die Determinante das Produkt zweier Matrizen ist und ist gleich dem Produkt ihrer Determinanten.

Lösung.

Lassen Sie uns zuerst das Produkt der Determinanten der Matrizen A und B finden:


Lassen Sie uns nun eine Matrixmultiplikation durchführen und die Determinante der resultierenden Matrix berechnen:



Auf diese Weise, , was gezeigt werden sollte.

Berechnung der Matrixdeterminante nach der Gauß-Methode.

Lassen Sie uns das Wesen dieser Methode beschreiben. Durch elementare Transformationen wird die Matrix A so reduziert, dass alle Elemente der ersten Spalte außer ihnen Null werden (dies ist immer möglich, wenn die Determinante von Matrix A ungleich Null ist). Wir werden dieses Verfahren etwas später beschreiben, aber jetzt werden wir erklären, warum dies getan wird. Es werden Nullelemente erhalten, um die einfachste Erweiterung der Determinante über die Elemente der ersten Spalte zu erhalten. Nach einer solchen Transformation der Matrix A erhalten wir unter Berücksichtigung der achten Eigenschaft und

wo - kleinere (n-1)-te Ordnung, erhalten aus Matrix A durch Löschen der Elemente ihrer ersten Zeile und ersten Spalte.

Mit der Matrix, der der Minor entspricht, wird das gleiche Verfahren zum Erhalten von Nullelementen in der ersten Spalte durchgeführt. Und so weiter bis zur endgültigen Berechnung der Determinante.

Jetzt bleibt die Frage zu beantworten: "Wie bekomme ich Nullelemente in die erste Spalte"?

Lassen Sie uns den Aktionsalgorithmus beschreiben.

Wenn , dann werden die Elemente der ersten Reihe der Matrix zu den entsprechenden Elementen der k-ten Reihe addiert, wobei . (Wenn ausnahmslos alle Elemente der ersten Spalte der Matrix A Null sind, dann ist ihre Determinante nach der zweiten Eigenschaft gleich Null und es wird kein Gauß-Verfahren benötigt). Nach einer solchen Transformation wird das "neue" Element von Null verschieden sein. Die Determinante der "neuen" Matrix ist aufgrund der siebten Eigenschaft gleich der Determinante der ursprünglichen Matrix.

Jetzt haben wir eine Matrix mit . Wenn wir zu den Elementen der zweiten Reihe die entsprechenden Elemente der ersten Reihe multipliziert mit addieren, addieren wir zu den Elementen der dritten Reihe die entsprechenden Elemente der ersten Reihe multipliziert mit . Usw. Abschließend addieren wir zu den Elementen der n-ten Reihe die entsprechenden Elemente der ersten Reihe, multipliziert mit . So erhält man die transformierte Matrix A, in der alle Elemente der ersten Spalte, außer , Null sind. Die Determinante der resultierenden Matrix ist aufgrund der siebten Eigenschaft gleich der Determinante der ursprünglichen Matrix.

Analysieren wir die Methode beim Lösen eines Beispiels, damit sie klarer wird.

Beispiel.

Berechnen Sie die Determinante einer Matrix der Ordnung 5 mal 5 .

Lösung.

Wenden wir die Gauß-Methode an. Lassen Sie uns die Matrix A so transformieren, dass alle Elemente ihrer ersten Spalte, außer , Null werden.

Da das Element anfangs ist, addieren wir zu den Elementen der ersten Reihe der Matrix die entsprechenden Elemente, zum Beispiel der zweiten Reihe, denn:

Das Zeichen „~“ bedeutet Äquivalenz.

Nun addieren wir zu den Elementen der zweiten Reihe die entsprechenden Elemente der ersten Reihe, multipliziert mit , zu den Elementen der dritten Reihe - die entsprechenden Elemente der ersten Reihe, multipliziert mit , und gehen Sie ähnlich vor bis zur sechsten Zeile:

Wir bekommen

mit Matrize Wir führen das gleiche Verfahren durch, um Nullelemente in der ersten Spalte zu erhalten:

Folglich,

Nun führen wir Transformationen mit der Matrix durch :

Kommentar.

In einem bestimmten Stadium der Matrixtransformation durch das Gauß-Verfahren kann eine Situation auftreten, in der alle Elemente der letzten Zeilen der Matrix Null werden. Dies wird über die Gleichheit der Determinante mit Null sprechen.

Zusammenfassen.

Die Determinante einer quadratischen Matrix, deren Elemente Zahlen sind, ist eine Zahl. Wir haben drei Möglichkeiten zur Berechnung der Determinante in Betracht gezogen:

1. durch die Summe von Produkten von Kombinationen von Matrixelementen;
2. durch Erweiterung der Determinante um die Elemente der Zeile oder Spalte der Matrix;
3. die Methode, die Matrix auf die obere Dreiecksmatrix zu reduzieren (nach der Gauß-Methode).

Es wurden Formeln zur Berechnung der Determinanten von Matrizen der Ordnung 2 mal 2 und 3 mal 3 erhalten.

Wir haben die Eigenschaften der Matrixdeterminante analysiert. Einige von ihnen ermöglichen es Ihnen, schnell zu verstehen, dass die Determinante Null ist.

Bei der Berechnung der Determinanten von Matrizen mit einer Ordnung von mehr als 3 mal 3 ist es ratsam, die Gauß-Methode zu verwenden: Führen Sie elementare Transformationen der Matrix durch und bringen Sie sie auf die obere Dreiecksmatrix. Die Determinante einer solchen Matrix ist gleich dem Produkt aller Elemente auf der Hauptdiagonale.