Brüche sind gewöhnliche Zahlen, sie können auch addiert und subtrahiert werden. Da sie aber einen Nenner haben, sind hier komplexere Regeln erforderlich als bei ganzen Zahlen.

Betrachten Sie den einfachsten Fall, wenn es zwei Brüche mit demselben Nenner gibt. Dann:

Um Brüche mit gleichem Nenner zu addieren, addieren Sie ihre Zähler und lassen den Nenner unverändert.

Um Brüche mit demselben Nenner zu subtrahieren, ist es notwendig, den Zähler des zweiten vom Zähler des ersten Bruchs zu subtrahieren und den Nenner wieder unverändert zu lassen.

Innerhalb jedes Ausdrucks sind die Nenner der Brüche gleich. Durch die Definition von Addition und Subtraktion von Brüchen erhalten wir:

Wie Sie sehen, nichts Kompliziertes: Addieren oder subtrahieren Sie einfach die Zähler - und das war's.

Aber selbst bei solch einfachen Handlungen schaffen es Menschen, Fehler zu machen. Meistens vergessen sie, dass sich der Nenner nicht ändert. Wenn sie beispielsweise addiert werden, beginnen sie sich auch zu summieren, und das ist grundlegend falsch.

Die schlechte Angewohnheit, Nenner zu addieren, loszuwerden, ist ganz einfach. Versuchen Sie dasselbe beim Subtrahieren. Dadurch wird der Nenner Null und der Bruch verliert (plötzlich!) seine Bedeutung.

Denken Sie deshalb ein für alle Mal daran: Beim Addieren und Subtrahieren ändert sich der Nenner nicht!

Außerdem machen viele Leute Fehler, wenn sie mehrere negative Brüche addieren. Es gibt Verwirrung mit den Zeichen: wo ein Minus und wo - ein Plus.

Auch dieses Problem ist sehr einfach zu lösen. Es genügt, sich daran zu erinnern, dass das Minus vor dem Bruchzeichen immer auf den Zähler übertragen werden kann – und umgekehrt. Und natürlich zwei einfache Regeln nicht vergessen:

1. Plus mal Minus ergibt Minus;
2. Zwei Verneinungen ergeben eine Bejahung.

Analysieren wir das alles anhand konkreter Beispiele:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Im ersten Fall ist alles einfach, und im zweiten Fall fügen wir den Zählern der Brüche Minuspunkte hinzu:

Was ist, wenn die Nenner unterschiedlich sind?

Sie können Brüche mit unterschiedlichen Nennern nicht direkt addieren. Diese Methode ist mir zumindest unbekannt. Die ursprünglichen Brüche können jedoch immer so umgeschrieben werden, dass die Nenner gleich werden.

Es gibt viele Möglichkeiten, Brüche umzuwandeln. Drei davon werden in der Lektion "Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen" besprochen, daher werden wir uns hier nicht mit ihnen beschäftigen. Schauen wir uns einige Beispiele an:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Im ersten Fall bringen wir die Brüche mit der „Kreuzweise“-Methode auf einen gemeinsamen Nenner. Im zweiten suchen wir nach dem LCM. Beachten Sie, dass 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Die letzten Teiler in diesen Erweiterungen sind gleich, und die ersten sind teilerfremd. Daher ist LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

Was ist, wenn der Bruch einen ganzzahligen Teil hat?

Ich kann Sie erfreuen: Unterschiedliche Nenner von Brüchen sind nicht das größte Übel. Viel mehr Fehler treten auf, wenn der ganze Teil in den Bruchzahlen hervorgehoben wird.

Natürlich gibt es für solche Brüche eigene Additions- und Subtraktionsalgorithmen, aber sie sind ziemlich kompliziert und erfordern ein langes Studium. Verwenden Sie besser das einfache Diagramm unten:

1. Wandeln Sie alle Brüche, die einen ganzzahligen Teil enthalten, in unechte um. Wir erhalten normale Terme (wenn auch mit unterschiedlichen Nennern), die nach den oben diskutierten Regeln berechnet werden;
2. Berechnen Sie tatsächlich die Summe oder Differenz der resultierenden Brüche. Als Ergebnis werden wir praktisch die Antwort finden;
3. Wenn dies in der Aufgabe nicht erforderlich war, führen wir die Rücktransformation durch, d.h. Wir entfernen den unechten Bruch und markieren den ganzzahligen Teil darin.

Die Regeln zum Wechseln zu unechten Brüchen und zum Hervorheben des ganzzahligen Teils werden ausführlich in der Lektion "Was ist ein numerischer Bruch" beschrieben. Wenn Sie sich nicht erinnern, wiederholen Sie es unbedingt. Beispiele:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Hier ist alles einfach. Die Nenner in jedem Ausdruck sind gleich, also müssen alle Brüche in unechte umgewandelt und gezählt werden. Wir haben:

Um die Berechnungen zu vereinfachen, habe ich in den letzten Beispielen einige offensichtliche Schritte übersprungen.

Eine kleine Anmerkung zu den letzten beiden Beispielen, wo Brüche mit einem hervorgehobenen ganzzahligen Teil subtrahiert werden. Das Minus vor dem zweiten Bruch bedeutet, dass der ganze Bruch subtrahiert wird und nicht nur sein ganzer Teil.

Lesen Sie diesen Satz noch einmal, sehen Sie sich die Beispiele an und denken Sie darüber nach. Hier machen Anfänger viele Fehler. Solche Aufgaben geben sie gerne bei Kontrollarbeiten ab. Auch in den Tests zu dieser Lektion, die in Kürze veröffentlicht wird, werden Sie ihnen immer wieder begegnen.

Zusammenfassung: Allgemeines Rechenschema

Abschließend gebe ich einen allgemeinen Algorithmus an, der Ihnen hilft, die Summe oder Differenz von zwei oder mehr Brüchen zu finden:

1. Wenn ein ganzzahliger Teil in einem oder mehreren Brüchen hervorgehoben ist, wandeln Sie diese Brüche in unechte um;
2. Bringen Sie alle Brüche auf eine für Sie bequeme Weise auf einen gemeinsamen Nenner (außer natürlich, die Compiler der Aufgaben haben dies getan);
3. Addieren oder subtrahieren Sie die resultierenden Zahlen gemäß den Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit demselben Nenner.
4. Reduzieren Sie das Ergebnis, wenn möglich. Wenn sich herausstellt, dass der Bruch falsch ist, wählen Sie den ganzen Teil aus.

Denken Sie daran, dass es besser ist, den ganzen Teil ganz am Ende der Aufgabe hervorzuheben, kurz bevor Sie die Antwort schreiben.

Im fünften Jahrhundert v. Chr. formulierte der antike griechische Philosoph Zeno von Elea seine berühmten Aporien, von denen die berühmteste die Aporie „Achilles und die Schildkröte“ ist. So klingt es:

Nehmen wir an, Achilles läuft zehnmal schneller als die Schildkröte und ist ihr tausend Schritte hinterher. In der Zeit, die Achilles für diese Distanz benötigt, wird die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung kriechen. Wenn Achilles hundert Schritte gelaufen ist, kriecht die Schildkröte weitere zehn Schritte und so weiter. Der Prozess wird auf unbestimmte Zeit fortgesetzt, Achilles wird die Schildkröte niemals einholen.

Diese Argumentation wurde zu einem logischen Schock für alle nachfolgenden Generationen. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Alle betrachteten sie auf die eine oder andere Weise als Zenons Aporien. Der Schock war so stark, dass " ... die Diskussionen werden derzeit fortgesetzt, die wissenschaftliche Gemeinschaft hat es noch nicht geschafft, zu einer gemeinsamen Meinung über das Wesen von Paradoxien zu gelangen ... mathematische Analyse, Mengenlehre, neue physikalische und philosophische Ansätze waren an der Untersuchung des Problems beteiligt ; keiner von ihnen wurde zu einer allgemein akzeptierten Lösung des Problems ..."[Wikipedia," Zenos Aporien "]. Jeder versteht, dass er getäuscht wird, aber niemand versteht, was die Täuschung ist.

Aus mathematischer Sicht hat Zeno in seiner Aporie den Übergang vom Wert zu deutlich demonstriert. Dieser Übergang impliziert die Anwendung anstelle von Konstanten. Soweit ich weiß, ist der mathematische Apparat zur Anwendung variabler Maßeinheiten entweder noch nicht entwickelt oder auf Zenos Aporie nicht angewendet worden. Die Anwendung unserer üblichen Logik führt uns in eine Falle. Durch die Trägheit des Denkens wenden wir konstante Zeiteinheiten auf den Kehrwert an. Physikalisch sieht das wie eine Verlangsamung der Zeit aus, bis sie in dem Moment, in dem Achilles die Schildkröte einholt, komplett zum Stillstand kommt. Wenn die Zeit stehen bleibt, kann Achilles die Schildkröte nicht mehr überholen.

Wenn wir die gewohnte Logik umdrehen, ergibt sich alles. Achilles läuft mit konstanter Geschwindigkeit. Jedes nachfolgende Segment seines Weges ist zehnmal kürzer als das vorherige. Dementsprechend ist die Zeit, die für die Überwindung aufgewendet wird, zehnmal kürzer als die vorherige. Wenn wir in dieser Situation den Begriff „Unendlichkeit“ anwenden, dann wäre es richtig zu sagen „Achilles wird die Schildkröte unendlich schnell überholen“.

Wie vermeidet man diese logische Falle? Bleiben Sie in konstanten Zeiteinheiten und wechseln Sie nicht zu reziproken Werten. In Zenos Sprache sieht das so aus:

In der Zeit, die Achilles braucht, um tausend Schritte zu laufen, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Während des nächsten Zeitintervalls, gleich dem ersten, wird Achilles weitere tausend Schritte laufen und die Schildkröte wird hundert Schritte kriechen. Jetzt ist Achilles der Schildkröte achthundert Schritte voraus.

Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen ohne logische Paradoxien. Dies ist jedoch keine vollständige Lösung des Problems. Einsteins Aussage über die Unüberwindbarkeit der Lichtgeschwindigkeit ist Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“ sehr ähnlich. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung muss nicht in unendlich großen Zahlen, sondern in Maßeinheiten gesucht werden.

Eine andere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:

Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt ruht, und da er zu jedem Zeitpunkt ruht, ruht er immer.

In dieser Aporie wird das logische Paradoxon sehr einfach überwunden – es genügt zu verdeutlichen, dass der fliegende Pfeil zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum ruht, was tatsächlich Bewegung ist. Hier ist noch ein weiterer Punkt zu beachten. Aus einem Foto eines Autos auf der Straße kann weder die Tatsache seiner Bewegung noch die Entfernung zu ihm bestimmt werden. Um die Tatsache der Bewegung des Autos zu bestimmen, werden zwei Fotos benötigt, die vom selben Punkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen wurden, aber sie können nicht zur Bestimmung der Entfernung verwendet werden. Um die Entfernung zum Auto zu bestimmen, benötigen Sie zwei Fotos, die gleichzeitig von verschiedenen Punkten im Raum aufgenommen wurden, aber Sie können daraus nicht die Tatsache der Bewegung bestimmen (natürlich benötigen Sie noch zusätzliche Daten für Berechnungen, die Trigonometrie hilft Ihnen). Was ich besonders hervorheben möchte, ist, dass zwei Zeitpunkte und zwei Punkte im Raum zwei verschiedene Dinge sind, die nicht verwechselt werden sollten, da sie unterschiedliche Möglichkeiten der Erforschung bieten.

Mittwoch, 4. Juli 2018

Sehr gut sind die Unterschiede zwischen Menge und Multimenge in Wikipedia beschrieben. Wir schauen.

Wie Sie sehen können, "kann die Menge nicht zwei identische Elemente haben", aber wenn es identische Elemente in der Menge gibt, wird eine solche Menge als "Multimenge" bezeichnet. Vernünftige Wesen werden niemals eine solche Logik der Absurdität verstehen. Dies ist die Ebene sprechender Papageien und abgerichteter Affen, auf der der Verstand dem Wort „vollständig“ abwesend ist. Mathematiker agieren als gewöhnliche Trainer und predigen uns ihre absurden Ideen.

Es war einmal, dass die Ingenieure, die die Brücke gebaut haben, während der Tests der Brücke in einem Boot unter der Brücke waren. Wenn die Brücke einstürzte, starb der mittelmäßige Ingenieur unter den Trümmern seiner Schöpfung. Wenn die Brücke der Belastung standhalten konnte, baute der begabte Ingenieur andere Brücken.

So sehr sich Mathematiker auch hinter dem Satz „wohlgemerkt, ich bin im Haus“ oder vielmehr „Mathematik studiert abstrakte Konzepte“ verstecken, es gibt eine Nabelschnur, die sie untrennbar mit der Realität verbindet. Diese Nabelschnur ist Geld. Wenden wir die mathematische Mengenlehre auf Mathematiker selbst an.

Wir haben sehr gut Mathematik studiert und jetzt sitzen wir an der Kasse und zahlen Gehälter aus. Hier kommt ein Mathematiker auf sein Geld zu uns. Wir zählen ihm den gesamten Betrag vor und legen ihn auf unserem Tisch in verschiedenen Stapeln aus, in die wir Scheine der gleichen Stückelung legen. Dann nehmen wir von jedem Stapel einen Schein und geben dem Mathematiker seinen „mathematischen Gehaltssatz“. Wir erklären die Mathematik, dass er die restlichen Rechnungen nur erhält, wenn er beweist, dass die Menge ohne identische Elemente nicht gleich der Menge mit identischen Elementen ist. Hier beginnt der Spaß.

Zunächst einmal wird die Logik der Abgeordneten funktionieren: "Sie können es auf andere anwenden, aber nicht auf mich!" Außerdem wird zugesichert, dass auf Banknoten derselben Stückelung unterschiedliche Banknotennummern vorhanden sind, was bedeutet, dass sie nicht als identische Elemente angesehen werden können. Nun, wir zählen das Gehalt in Münzen - es gibt keine Zahlen auf den Münzen. Hier erinnert sich der Mathematiker hektisch an die Physik: Verschiedene Münzen haben unterschiedlich viel Schmutz, die Kristallstruktur und Anordnung der Atome für jede Münze ist einzigartig ...

Und jetzt habe ich die interessanteste Frage: Wo ist die Grenze, ab der Elemente einer Multimenge zu Elementen einer Menge werden und umgekehrt? Eine solche Linie gibt es nicht - alles wird von Schamanen entschieden, die Wissenschaft ist hier nicht einmal annähernd.

Schau hier. Wir wählen Fußballstadien mit gleicher Spielfeldfläche aus. Die Fläche der Felder ist gleich, was bedeutet, dass wir eine Multimenge haben. Aber wenn wir die Namen der gleichen Stadien betrachten, bekommen wir viel, weil die Namen unterschiedlich sind. Wie Sie sehen können, ist dieselbe Menge von Elementen gleichzeitig eine Menge und eine Multimenge. Wie richtig? Und hier holt der Mathematiker-Schamane-Schüler ein Trumpf-Ass aus seinem Ärmel und beginnt uns entweder von einem Set oder einem Multiset zu erzählen. Auf jeden Fall wird er uns davon überzeugen, dass er Recht hat.

Um zu verstehen, wie moderne Schamanen mit der Mengentheorie arbeiten und sie an die Realität binden, genügt es, eine Frage zu beantworten: Wie unterscheiden sich die Elemente einer Menge von den Elementen einer anderen Menge? Ich werde es Ihnen zeigen, ohne „als nicht ein Ganzes denkbar“ oder „nicht als ein Ganzes denkbar“.

Sonntag, 18. März 2018

Die Quersumme einer Zahl ist ein Schamanentanz mit Tamburin, der nichts mit Mathematik zu tun hat. Ja, im Mathematikunterricht wird uns beigebracht, die Summe der Ziffern einer Zahl zu finden und zu verwenden, aber dafür sind sie Schamanen, um ihren Nachkommen ihre Fähigkeiten und Weisheit beizubringen, sonst sterben Schamanen einfach aus.

Benötigen Sie einen Nachweis? Öffnen Sie Wikipedia und versuchen Sie, die Seite „Summe der Ziffern einer Zahl“ zu finden. Sie existiert nicht. In der Mathematik gibt es keine Formel, mit der man die Quersumme einer beliebigen Zahl ermitteln kann. Schließlich sind Zahlen grafische Symbole, mit denen wir Zahlen schreiben, und in der Sprache der Mathematik klingt die Aufgabe so: „Finde die Summe von grafischen Symbolen, die eine beliebige Zahl darstellen.“ Mathematiker können dieses Problem nicht lösen, aber Schamanen können es elementar.

Lassen Sie uns herausfinden, was und wie wir tun, um die Summe der Ziffern einer bestimmten Zahl zu finden. Nehmen wir also an, wir haben die Zahl 12345. Was muss getan werden, um die Quersumme dieser Zahl zu finden? Betrachten wir alle Schritte der Reihe nach.

1. Notieren Sie die Nummer auf einem Blatt Papier. Was haben wir getan? Wir haben die Zahl in ein grafisches Zahlensymbol umgewandelt. Dies ist keine mathematische Operation.

2. Wir schneiden ein empfangenes Bild in mehrere Bilder mit separaten Nummern. Das Schneiden eines Bildes ist keine mathematische Operation.

3. Wandeln Sie einzelne Grafikzeichen in Zahlen um. Dies ist keine mathematische Operation.

4. Addieren Sie die resultierenden Zahlen. Das ist jetzt Mathematik.

Die Quersumme der Zahl 12345 ist 15. Dies sind die „Schneide- und Nähkurse“ von Schamanen, die von Mathematikern verwendet werden. Aber das ist noch nicht alles.

Aus mathematischer Sicht spielt es keine Rolle, in welchem ​​Zahlensystem wir die Zahl schreiben. In verschiedenen Zahlensystemen ist die Summe der Ziffern derselben Zahl also unterschiedlich. In der Mathematik wird das Zahlensystem als Index rechts neben der Zahl angegeben. Bei einer großen Zahl von 12345 möchte ich mir nicht den Kopf verdrehen, betrachten Sie die Zahl 26 aus dem Artikel darüber. Lassen Sie uns diese Zahl in binären, oktalen, dezimalen und hexadezimalen Zahlensystemen schreiben. Wir werden nicht jeden Schritt unter die Lupe nehmen, das haben wir bereits getan. Schauen wir uns das Ergebnis an.

Wie Sie sehen können, ist in verschiedenen Zahlensystemen die Summe der Ziffern derselben Zahl unterschiedlich. Dieses Ergebnis hat nichts mit Mathematik zu tun. Es ist, als würde man die Fläche eines Rechtecks ​​in Metern und Zentimetern zu ganz anderen Ergebnissen bringen.

Die Null sieht in allen Zahlensystemen gleich aus und hat keine Quersumme. Dies ist ein weiteres Argument dafür, dass . Eine Frage an die Mathematiker: Wie bezeichnet man in der Mathematik das, was keine Zahl ist? Was existiert für Mathematiker nur aus Zahlen? Für Schamanen kann ich das zulassen, aber für Wissenschaftler nicht. Realität besteht nicht nur aus Zahlen.

Das erhaltene Ergebnis sollte als Beweis dafür angesehen werden, dass Zahlensysteme Maßeinheiten für Zahlen sind. Schließlich können wir Zahlen mit unterschiedlichen Maßeinheiten nicht vergleichen. Wenn gleiche Handlungen mit unterschiedlichen Maßeinheiten derselben Größe nach dem Vergleich zu unterschiedlichen Ergebnissen führen, dann hat das nichts mit Mathematik zu tun.

Was ist echte Mathematik? Dies ist der Fall, wenn das Ergebnis einer mathematischen Aktion nicht vom Wert der Zahl, der verwendeten Maßeinheit und davon abhängt, wer diese Aktion ausführt.

Schild an der Tür Öffnet die Tür und sagt:

Autsch! Ist das nicht die Damentoilette?
- Junge Frau! Dies ist ein Labor zum Studium der unbestimmten Heiligkeit der Seelen beim Aufstieg in den Himmel! Nimbus oben und Pfeil nach oben. Welche andere Toilette?

Weiblich ... Ein Heiligenschein oben und ein Pfeil nach unten sind männlich.

Wenn Sie ein solches Designkunstwerk mehrmals täglich vor Augen haben,

Dann ist es nicht verwunderlich, dass Sie plötzlich ein seltsames Symbol in Ihrem Auto finden:

Ich persönlich gebe mir Mühe, bei einer kackenden Person (ein Bild) minus vier Grad zu sehen (Zusammensetzung mehrerer Bilder: Minuszeichen, Zahl vier, Gradbezeichnung). Und ich halte dieses Mädchen nicht für einen Narren, der keine Physik versteht. Sie hat nur ein Bogenstereotyp der Wahrnehmung von grafischen Bildern. Und Mathematiker lehren uns das ständig. Hier ist ein Beispiel.

1A ist nicht "minus vier Grad" oder "ein a". Das ist „pooping man“ oder die Zahl „sechsundzwanzig“ im hexadezimalen Zahlensystem. Wer ständig in diesem Zahlensystem arbeitet, nimmt Zahl und Buchstabe automatisch als ein grafisches Symbol wahr.

Beachten Sie! Bevor Sie eine endgültige Antwort schreiben, prüfen Sie, ob Sie den Bruchteil, den Sie erhalten haben, reduzieren können.

Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner Beispiele:

,

,

Einen echten Bruch von eins subtrahieren.

Wenn von der Einheit ein korrekter Bruch subtrahiert werden muss, wird die Einheit in die Form eines unechten Bruchs umgewandelt, dessen Nenner gleich dem Nenner des subtrahierten Bruchs ist.

Ein Beispiel für das Subtrahieren eines echten Bruchs von einem:

Der Nenner des zu subtrahierenden Bruchs = 7 , d.h. wir stellen die Einheit als unechten Bruch 7/7 dar und subtrahieren nach der Subtraktionsregel für Brüche mit gleichem Nenner.

Einen echten Bruch von einer ganzen Zahl subtrahieren.

Regeln zum Subtrahieren von Brüchen - Korrigieren von Integer (natürliche Zahl):

• Wir übersetzen die gegebenen Brüche, die einen ganzzahligen Teil enthalten, in unechte Brüche. Wir erhalten normale Terme (es spielt keine Rolle, ob sie verschiedene Nenner haben), die wir nach den oben angegebenen Regeln betrachten;
• Als nächstes berechnen wir die Differenz der Brüche, die wir erhalten haben. Als Ergebnis werden wir fast die Antwort finden;
• Wir führen die umgekehrte Transformation durch, dh wir entfernen den unechten Bruch - wir wählen den ganzzahligen Teil im Bruch aus.

Einen echten Bruch von einer ganzen Zahl subtrahieren: Wir stellen eine natürliche Zahl als gemischte Zahl dar. Jene. Wir nehmen eine Einheit in einer natürlichen Zahl und übersetzen sie in die Form eines unechten Bruchs, der Nenner ist derselbe wie der des subtrahierten Bruchs.

Beispiel für die Subtraktion von Brüchen:

Im Beispiel haben wir die Einheit durch einen unechten Bruch 7/7 ersetzt und statt 3 eine gemischte Zahl notiert und vom Bruchteil einen Bruch abgezogen.

Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.

Oder anders ausgedrückt, Subtraktion verschiedener Brüche.

Regel zum Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu subtrahieren, müssen diese Brüche zunächst auf den kleinsten gemeinsamen Nenner (LCD) gebracht und erst danach wie bei Brüchen mit gleichem Nenner subtrahiert werden.

Der gemeinsame Nenner mehrerer Brüche ist LCM (kleinstes gemeinsames Vielfaches) natürliche Zahlen, die die Nenner der gegebenen Brüche sind.

Beachtung! Wenn im letzten Bruch Zähler und Nenner gemeinsame Teiler haben, dann muss der Bruch gekürzt werden. Einen unechten Bruch stellt man am besten als gemischten Bruch dar. Das Ergebnis der Subtraktion zu belassen, ohne den Bruch möglichst zu kürzen, ist eine unfertige Lösung des Beispiels!

Verfahren zum Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.

• finde das LCM für alle Nenner;
• setzen Sie zusätzliche Multiplikatoren für alle Brüche ein;
• alle Zähler mit einem zusätzlichen Faktor multiplizieren;
• wir schreiben die resultierenden Produkte in den Zähler und unterzeichnen einen gemeinsamen Nenner unter allen Brüchen;
• subtrahiere die Zähler von Brüchen und unterschreibe den gemeinsamen Nenner unter der Differenz.

Auf die gleiche Weise wird die Addition und Subtraktion von Brüchen bei Vorhandensein von Buchstaben im Zähler durchgeführt.

Subtraktion von Brüchen, Beispiele:

Subtraktion gemischter Brüche.

Beim Subtraktion gemischter Brüche (Zahlen) separat wird der ganzzahlige Teil von dem ganzzahligen Teil subtrahiert, und der Bruchteil wird von dem Bruchteil subtrahiert.

Die erste Möglichkeit besteht darin, gemischte Brüche zu subtrahieren.

Wenn die Bruchteile das gleiche Nenner und Zähler des Bruchteils des Minuends (wir subtrahieren davon) ≥ Zähler des Bruchteils des Subtrahends (wir subtrahieren ihn).

Zum Beispiel:

Die zweite Möglichkeit besteht darin, gemischte Brüche abzuziehen.

Wenn die Bruchteile verschieden Nenner. Zuerst bringen wir die Bruchteile auf einen gemeinsamen Nenner, und dann subtrahieren wir den ganzzahligen Teil von der ganzen Zahl und den Bruchteil von dem Bruchteil.

Zum Beispiel:

Die dritte Möglichkeit besteht darin, gemischte Brüche zu subtrahieren.

Der Bruchteil des Minuends ist kleiner als der Bruchteil des Subtrahends.

Beispiel:

weil Bruchteile haben unterschiedliche Nenner, was bedeutet, dass wir wie bei der zweiten Möglichkeit zuerst gewöhnliche Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Der Zähler des Bruchteils des Minuends ist kleiner als der Zähler des Bruchteils des Subtrahends.3 < 14. Wir nehmen also eine Einheit aus dem ganzzahligen Teil und bringen diese Einheit in die Form eines unechten Bruchs mit gleichem Nenner und Zähler = 18.

In den Zähler von rechts schreiben wir die Summe der Zähler, dann öffnen wir die Klammern im Zähler von rechts, das heißt, wir multiplizieren alles und geben ähnliche an. Wir öffnen keine Klammern im Nenner. Es ist üblich, das Produkt in den Nennern zu belassen. Wir bekommen:

Aktionen mit Brüchen.

Beachtung!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

Also, was sind Brüche, Arten von Brüchen, Transformationen - wir haben uns erinnert. Kommen wir zur Hauptfrage.

Was kann man mit Brüchen machen? Ja, alles ist wie bei gewöhnlichen Nummern. Addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren.

Alle diese Aktionen mit Dezimal Operationen mit Brüchen unterscheiden sich nicht von Operationen mit ganzen Zahlen. Eigentlich sind sie dafür gut, dezimal. Die einzige Sache ist, dass Sie das Komma richtig setzen müssen.

gemischte Zahlen, wie gesagt, sind für die meisten Aktionen von geringem Nutzen. Sie müssen noch in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden.

Und hier sind die Aktionen mit gewöhnliche Brüche wird schlauer. Und viel wichtiger! Lass mich dich errinnern: alle Aktionen mit Bruchausdrücken mit Buchstaben, Sinus, Unbekannten usw. unterscheiden sich nicht von Aktionen mit gewöhnlichen Brüchen! Operationen mit gewöhnlichen Brüchen sind die Grundlage aller Algebra. Aus diesem Grund werden wir all diese Arithmetik hier sehr detailliert analysieren.

Addition und Subtraktion von Brüchen.

Jeder kann Brüche mit gleichem Nenner addieren (subtrahieren) (hoffe ich wirklich!). Nun, lassen Sie mich Sie daran erinnern, dass ich völlig vergesslich bin: Beim Addieren (Subtrahieren) ändert sich der Nenner nicht. Die Zähler werden addiert (subtrahiert), um den Zähler des Ergebnisses zu erhalten. Typ:

Kurz und ganz allgemein:

Was ist, wenn die Nenner unterschiedlich sind? Dann verwenden wir die Haupteigenschaft des Bruchs (hier war es wieder praktisch!), Wir machen die Nenner gleich! Zum Beispiel:

Hier mussten wir aus dem Bruch 2/5 den Bruch 4/10 machen. Nur um die Nenner gleich zu machen. Ich stelle fest, nur für den Fall, dass 2/5 und 4/10 sind der gleiche Bruchteil! Nur 2/5 ist uns unangenehm, und 4/10 ist gar nichts.

Übrigens ist dies die Essenz beim Lösen von Aufgaben in der Mathematik. Wenn wir draußen sind unbequem Ausdrücke tun das gleiche, aber bequemer zu lösen.

Ein anderes Beispiel:

Die Situation ist ähnlich. Hier machen wir aus 16 48. Durch einfache Multiplikation mit 3. Das ist alles klar. Aber hier stoßen wir auf etwas wie:

Wie sein?! Es ist schwer, aus einer Sieben eine Neun zu machen! Aber wir sind schlau, wir kennen die Regeln! Verwandeln wir uns jeder Bruch, so dass die Nenner gleich sind. Dies nennt man „auf einen gemeinsamen Nenner bringen“:

Wie! Woher wusste ich von 63? Sehr einfach! 63 ist eine Zahl, die gleichzeitig durch 7 und 9 teilbar ist. Eine solche Zahl erhält man immer durch Multiplikation der Nenner. Wenn wir zum Beispiel eine Zahl mit 7 multiplizieren, dann wird das Ergebnis sicherlich durch 7 geteilt!

Wenn Sie mehrere Brüche addieren (subtrahieren) müssen, müssen Sie dies nicht paarweise Schritt für Schritt tun. Du musst nur den Nenner finden, der allen Brüchen gemeinsam ist, und jeden Bruch auf denselben Nenner bringen. Zum Beispiel:

Und was wird der gemeinsame Nenner sein? Sie können natürlich 2, 4, 8 und 16 multiplizieren. Wir erhalten 1024. Albtraum. Es ist einfacher herauszufinden, dass die Zahl 16 perfekt teilbar ist durch 2, 4 und 8. Daher ist es einfach, aus diesen Zahlen 16 zu erhalten.Diese Zahl wird der gemeinsame Nenner sein. Verwandeln wir 1/2 in 8/16, 3/4 in 12/16 und so weiter.

Übrigens, wenn wir 1024 als gemeinsamen Nenner nehmen, wird auch alles klappen, am Ende wird alles gekürzt. Nur wegen der Berechnungen wird nicht jeder an dieses Ende kommen ...

Lösen Sie das Beispiel selbst. Kein Logarithmus ... Es sollte 29/16 sein.

Also, mit der Addition (Subtraktion) von Brüchen ist das klar, hoffe ich? Natürlich ist es einfacher, in einer verkürzten Version mit zusätzlichen Multiplikatoren zu arbeiten. Aber dieses Vergnügen steht denen zur Verfügung, die ehrlich in den unteren Klassen gearbeitet haben ... Und nichts vergessen haben.

Und jetzt machen wir die gleichen Aktionen, aber nicht mit Brüchen, sondern mit Bruchausdrücke. Hier werden neue Rechen zu finden sein, ja ...

Also müssen wir zwei Bruchausdrücke hinzufügen:

Wir müssen die Nenner gleich machen. Und nur mit Hilfe Multiplikation! So sagt die Haupteigenschaft des Bruchs. Daher kann ich im ersten Bruch im Nenner nicht eins zu x addieren. (Aber das wäre schön!). Aber wenn Sie die Nenner multiplizieren, sehen Sie, alles wächst zusammen! Also schreiben wir den Strich des Bruchs auf, lassen oben ein Leerzeichen, fügen ihn dann hinzu und schreiben das Produkt der Nenner darunter, um es nicht zu vergessen:

Und natürlich multiplizieren wir nichts auf der rechten Seite, wir öffnen keine Klammern! Und jetzt, wenn wir uns den gemeinsamen Nenner der rechten Seite ansehen, denken wir: Um den Nenner x (x + 1) im ersten Bruch zu erhalten, müssen wir den Zähler und den Nenner dieses Bruchs mit (x + 1) multiplizieren. . Und im zweiten Bruchteil - x. Du bekommst das:

Beachten Sie! Klammern sind da! Dies ist der Rechen, auf den viele treten. Natürlich keine Klammern, aber ihre Abwesenheit. Klammern erscheinen, weil wir multiplizieren das Ganze Zähler u das Ganze Nenner! Und nicht ihre Einzelstücke ...

In den Zähler der rechten Seite schreiben wir die Summe der Zähler, alles ist wie in numerischen Brüchen, dann öffnen wir die Klammern im Zähler der rechten Seite, d.h. alles multiplizieren und liken. Sie müssen die Klammern in den Nennern nicht öffnen, Sie müssen nichts multiplizieren! Im Allgemeinen ist das Produkt in Nennern (beliebig) immer angenehmer! Wir bekommen:

Hier haben wir die Antwort bekommen. Der Prozess scheint lang und schwierig zu sein, aber er hängt von der Übung ab. Lösen Sie Beispiele, gewöhnen Sie sich daran, alles wird einfach. Diejenigen, die die Brüche in der vorgegebenen Zeit beherrschen, erledigen alle diese Operationen mit einer Hand an der Maschine!

Und noch eine Anmerkung. Viele beschäftigen sich bekanntlich mit Brüchen, hängen aber an Beispielen mit ganz Zahlen. Typ: 2 + 1/2 + 3/4= ? Wo kann man eine Zwei befestigen? Sie müssen nirgendwo befestigen, Sie müssen aus einer Zwei einen Bruchteil machen. Es ist nicht einfach, es ist sehr einfach! 2=2/1. So. Jede ganze Zahl kann als Bruch geschrieben werden. Der Zähler ist die Zahl selbst, der Nenner ist eins. 7 ist 7/1, 3 ist 3/1 und so weiter. Genauso ist es mit Buchstaben. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1 usw. Und dann arbeiten wir mit diesen Brüchen nach allen Regeln.

Nun, bei Addition - Subtraktion von Brüchen wurde das Wissen aufgefrischt. Transformationen von Brüchen von einem Typ zum anderen - wiederholt. Sie können auch überprüfen. Sollen wir uns ein wenig beruhigen?)

Berechnung:

Antworten (durcheinander):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Multiplikation / Division von Brüchen - in der nächsten Lektion. Es gibt auch Aufgaben für alle Aktionen mit Brüchen.

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