Das Thema rationale Zahlen ist recht umfangreich. Man kann endlos darüber reden und ganze Werke schreiben, jedes Mal überrascht von neuen Chips.

Um in Zukunft Fehler zu vermeiden, werden wir uns in dieser Lektion ein wenig mit dem Thema rationale Zahlen befassen, daraus die notwendigen Informationen ziehen und weitermachen.

Unterrichtsinhalt

Was ist eine rationale Zahl

Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die als Bruch dargestellt werden kann, wobei a - ist der Zähler eines Bruchs b ist der Nenner des Bruchs. Und b darf nicht Null sein, da eine Division durch Null nicht erlaubt ist.

Rationale Zahlen umfassen die folgenden Kategorien von Zahlen:

• Ganzzahlen (zum Beispiel -2, -1, 0 1, 2 usw.)

• Dezimalbrüche (zum Beispiel 0,2 usw.)

• unendliche periodische Brüche (z. B. 0, (3) usw.)

Jede Zahl in dieser Kategorie kann als Bruch dargestellt werden.

Beispiel 1 Die ganze Zahl 2 kann als Bruch dargestellt werden. Die Zahl 2 gilt also nicht nur für ganze Zahlen, sondern auch für rationale.

Beispiel 2 Eine gemischte Zahl kann als Bruch dargestellt werden. Diesen Bruch erhält man, indem man die gemischte Zahl in einen unechten Bruch umwandelt.

Eine gemischte Zahl ist also eine rationale Zahl.

Beispiel 3 Die Dezimalzahl 0,2 kann als Bruch dargestellt werden. Dieser Bruch wurde durch Umwandeln des Dezimalbruchs 0,2 in einen gewöhnlichen Bruch erhalten. Wenn Sie an dieser Stelle Schwierigkeiten haben, wiederholen Sie das Thema.

Da der Dezimalbruch 0,2 als Bruch dargestellt werden kann, gilt er auch für rationale Zahlen.

Beispiel 4 Der unendliche periodische Bruch 0, (3) kann als Bruch dargestellt werden. Dieser Bruch wird durch Umwandlung eines reinen periodischen Bruchs in einen gewöhnlichen Bruch erhalten. Wenn Sie an dieser Stelle Schwierigkeiten haben, wiederholen Sie das Thema.

Da der unendliche periodische Bruch 0, (3) als Bruch dargestellt werden kann, gehört er auch zu den rationalen Zahlen.

In Zukunft werden wir alle Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen, zunehmend als eine Phrase bezeichnen - Rationale Zahlen.

Rationale Zahlen auf der Koordinatenlinie

Wir haben die Koordinatenlinie betrachtet, als wir negative Zahlen untersucht haben. Denken Sie daran, dass dies eine gerade Linie ist, auf der viele Punkte liegen. Folgendermaßen:

Diese Abbildung zeigt einen kleinen Ausschnitt der Koordinatenlinie von –5 bis 5.

Es ist nicht schwierig, ganze Zahlen der Form 2, 0, −3 auf der Koordinatenlinie zu markieren.

Viel interessanter ist es mit den restlichen Zahlen: mit gewöhnlichen Brüchen, gemischten Zahlen, Dezimalbrüchen etc. Diese Zahlen liegen zwischen ganzen Zahlen und es gibt unendlich viele dieser Zahlen.

Lassen Sie uns zum Beispiel eine rationale Zahl auf der Koordinatenlinie markieren. Diese Zahl liegt genau zwischen null und eins.

Versuchen wir zu verstehen, warum der Bruch plötzlich zwischen Null und Eins liegt.

Wie oben erwähnt, liegen zwischen ganzen Zahlen andere Zahlen - gewöhnliche Brüche, Dezimalbrüche, gemischte Zahlen usw. Wenn Sie beispielsweise den Abschnitt der Koordinatenlinie von 0 auf 1 vergrößern, sehen Sie das folgende Bild

Es ist ersichtlich, dass es zwischen den ganzen Zahlen 0 und 1 bereits andere rationale Zahlen gibt, die uns bekannte Dezimalbrüche sind. Hier ist auch unser Bruch sichtbar, der an der gleichen Stelle steht wie der Dezimalbruch 0,5. Eine sorgfältige Untersuchung dieser Figur gibt eine Antwort auf die Frage, warum sich der Bruch genau dort befindet.

Ein Bruch bedeutet, 1 durch 2 zu teilen. Und wenn wir 1 durch 2 teilen, erhalten wir 0,5

Der Dezimalbruch 0,5 kann als andere Brüche getarnt werden. Aus der grundlegenden Eigenschaft eines Bruchs wissen wir, dass sich der Wert des Bruchs nicht ändert, wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden.

Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit einer beliebigen Zahl multipliziert werden, beispielsweise mit der Zahl 4, erhalten wir einen neuen Bruch, und dieser Bruch ist ebenfalls gleich 0,5

Das bedeutet, dass der Bruch auf der Koordinatenlinie an derselben Stelle platziert werden kann, an der sich der Bruch befand

Beispiel 2 Versuchen wir, eine rationale Zahl auf der Koordinate zu markieren. Diese Zahl befindet sich genau zwischen den Zahlen 1 und 2

Der Bruchwert beträgt 1,5

Wenn wir den Abschnitt der Koordinatenlinie von 1 auf 2 vergrößern, sehen wir folgendes Bild:

Es ist ersichtlich, dass es zwischen den ganzen Zahlen 1 und 2 bereits andere rationale Zahlen gibt, die uns bekannte Dezimalbrüche sind. Hier ist auch unser Bruch sichtbar, der an der gleichen Stelle steht wie der Dezimalbruch 1,5.

Wir haben bestimmte Segmente auf der Koordinatenlinie vergrößert, um den Rest der Zahlen zu sehen, die auf diesem Segment liegen. Als Ergebnis haben wir Dezimalbrüche gefunden, die eine Stelle nach dem Komma hatten.

Aber das waren nicht die einzigen Zahlen, die auf diesen Segmenten lagen. Auf der Koordinatenlinie liegen unendlich viele Zahlen.

Es ist leicht zu erraten, dass zwischen Dezimalbrüchen mit einer Nachkommastelle bereits andere Dezimalbrüche mit zwei Nachkommastellen stehen. Mit anderen Worten, Hundertstel eines Segments.

Versuchen wir beispielsweise, die Zahlen zu sehen, die zwischen den Dezimalbrüchen 0,1 und 0,2 liegen

Ein anderes Beispiel. Dezimalzahlen, die zwei Nachkommastellen haben und zwischen Null und der rationalen Zahl 0,1 liegen, sehen so aus:

Beispiel 3 Wir markieren eine rationale Zahl auf der Koordinatenlinie. Diese rationale Zahl wird sehr nahe bei Null liegen.

Der Wert des Bruchs ist 0,02

Wenn wir das Segment von 0 auf 0,1 vergrößern, sehen wir, wo genau die rationale Zahl liegt

Wie man sieht, steht unsere rationale Zahl an der gleichen Stelle wie der Dezimalbruch 0,02.

Beispiel 4 Markieren wir eine rationale Zahl 0 auf der Koordinatenlinie, (3)

Die rationale Zahl 0, (3) ist ein unendlich periodischer Bruch. Sein Bruchteil endet nie, er ist unendlich

Und da die Zahl 0, (3) einen unendlichen Bruchteil hat, bedeutet dies, dass wir nicht in der Lage sein werden, die genaue Stelle auf der Koordinatenlinie zu finden, an der sich diese Zahl befindet. Wir können diesen Ort nur ungefähr angeben.

Die rationale Zahl 0,33333… wird der üblichen Dezimalzahl 0,3 sehr nahe kommen

Diese Abbildung zeigt nicht die genaue Position der Zahl 0,(3). Dies ist nur eine Veranschaulichung, die zeigt, wie nahe der periodische Bruch 0.(3) an der regulären Dezimalzahl 0.3 liegen kann.

Beispiel 5 Wir markieren eine rationale Zahl auf der Koordinatenlinie. Diese rationale Zahl befindet sich in der Mitte zwischen den Zahlen 2 und 3

Dies ist 2 (zwei ganze Zahlen) und (eine Sekunde). Ein Bruch wird auch als „halb“ bezeichnet. Daher haben wir zwei ganze Segmente und eine weitere Hälfte des Segments auf der Koordinatenlinie markiert.

Wenn wir eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch übersetzen, erhalten wir einen gewöhnlichen Bruch. Dieser Bruch auf der Koordinatenlinie befindet sich an derselben Stelle wie der Bruch

Der Bruchwert beträgt 2,5

Wenn wir den Abschnitt der Koordinatenlinie von 2 auf 3 vergrößern, sehen wir folgendes Bild:

Wie man sieht, steht unsere rationale Zahl an der gleichen Stelle wie der Dezimalbruch 2,5

Minus vor einer rationalen Zahl

In der vorherigen Lektion, die aufgerufen wurde, haben wir gelernt, wie man ganze Zahlen dividiert. Der Dividende und der Divisor können sowohl positive als auch negative Zahlen sein.

Betrachten Sie den einfachsten Ausdruck

(−6) : 2 = −3

In diesem Ausdruck ist der Dividende (−6) eine negative Zahl.

Betrachten Sie nun den zweiten Ausdruck

6: (−2) = −3

Hier ist der Divisor (−2) bereits eine negative Zahl. Aber in beiden Fällen erhalten wir die gleiche Antwort -3.

Da jede Division als Bruch geschrieben werden kann, können wir die oben besprochenen Beispiele auch als Bruch schreiben:

Und da der Wert des Bruchs in beiden Fällen gleich ist, kann man das Minus, das entweder im Zähler oder im Nenner steht, gemeinsam machen, indem man es dem Bruch voranstellt

Daher können Sie zwischen den Ausdrücken und und ein Gleichheitszeichen setzen, da sie den gleichen Wert haben

Wenn wir in Zukunft beim Arbeiten mit Brüchen auf ein Minus im Zähler oder im Nenner stoßen, werden wir dieses Minus gemeinsam machen und es vor den Bruch stellen.

Gegenteilige rationale Zahlen

Wie eine ganze Zahl hat eine rationale Zahl ihre Gegenzahl.

Beispielsweise ist für eine rationale Zahl die Gegenzahl . Es liegt auf der Koordinatenlinie symmetrisch zum Ort relativ zum Ursprung. Mit anderen Worten, diese beiden Zahlen sind gleich weit vom Ursprung entfernt

Wandeln Sie gemischte Zahlen in unechte Brüche um

Wir wissen, dass Sie, um eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch umzuwandeln, den ganzzahligen Teil mit dem Nenner des Bruchteils multiplizieren und zum Zähler des Bruchteils addieren müssen. Die resultierende Zahl ist der Zähler des neuen Bruchs, während der Nenner gleich bleibt.

Lassen Sie uns zum Beispiel eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch umwandeln

Multiplizieren Sie den ganzzahligen Teil mit dem Nenner des Bruchteils und addieren Sie den Zähler des Bruchteils:

Lassen Sie uns diesen Ausdruck berechnen:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Die resultierende Zahl 5 ist der Zähler des neuen Bruchs, und der Nenner bleibt gleich:

Der gesamte Prozess ist wie folgt geschrieben:

Um die ursprüngliche gemischte Zahl zurückzugeben, reicht es aus, den ganzzahligen Teil im Bruch auszuwählen

Aber diese Art, eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch umzuwandeln, ist nur anwendbar, wenn die gemischte Zahl positiv ist. Bei einer negativen Zahl funktioniert diese Methode nicht.

Betrachten wir einen Bruchteil. Nehmen wir den ganzzahligen Teil dieses Bruchs. Erhalten

Um den ursprünglichen Bruch zurückzugeben, musst du die gemischte Zahl in einen unechten Bruch umwandeln. Aber wenn wir die alte Regel anwenden, nämlich den ganzzahligen Teil mit dem Nenner des Bruchteils multiplizieren und den Zähler des Bruchteils zur resultierenden Zahl addieren, dann erhalten wir folgenden Widerspruch:

Wir haben einen Bruchteil bekommen, aber wir hätten einen Bruchteil bekommen sollen.

Wir schließen daraus, dass die gemischte Zahl falsch in einen unechten Bruch übersetzt wurde

Um eine negative gemischte Zahl korrekt in einen unechten Bruch zu übersetzen, müssen Sie den ganzzahligen Teil mit dem Nenner des Bruchteils und aus der resultierenden Zahl multiplizieren subtrahieren gebrochener Zähler. In diesem Fall wird alles zusammenpassen

Eine negative gemischte Zahl ist das Gegenteil einer gemischten Zahl. Wenn die positive gemischte Zahl auf der rechten Seite steht und so aussieht

Wie wir gesehen haben, die Menge der natürlichen Zahlen

unter Addition und Multiplikation abgeschlossen ist, und die Menge der ganzen Zahlen

geschlossen unter Addition, Multiplikation und Subtraktion. Keine dieser Mengen ist jedoch unter Division abgeschlossen, da die Division ganzer Zahlen zu Brüchen führen kann, wie in den Fällen von 4/3, 7/6, -2/5 usw. Die Menge aller solcher Brüche bildet die Menge der rationalen Zahlen. Somit ist eine rationale Zahl (rationaler Bruch) eine Zahl, die als dargestellt werden kann, wobei a und d ganze Zahlen sind und d nicht gleich Null ist. Lassen Sie uns einige Bemerkungen zu dieser Definition machen.

1) Wir haben gefordert, dass d von Null verschieden ist. Diese Forderung (mathematisch als Ungleichung geschrieben) ist notwendig, weil hier d ein Teiler ist. Betrachten Sie die folgenden Beispiele:

Fall 1. .

Fall 2. .

Im Fall 1 ist d ein Teiler im Sinne des vorigen Kapitels, d. h. 7 ist ein exakter Teiler von 21. Im Fall 2 ist d immer noch ein Teiler, aber in einem anderen Sinne, da 7 kein exakter Teiler von ist 25.

Nennt man 25 eine Teilbare und 7 einen Divisor, so erhalten wir den Quotienten 3 und den Rest 4. Das Wort Divisor wird hier also allgemeiner verwendet und trifft auf mehr Fälle zu als in Kap. I. In Fällen wie Fall 1 wird jedoch das in Kap. ICH; daher ist es notwendig, wie in Kap. Ich schließe die Möglichkeit d = 0 aus.

2) Beachten Sie, dass, obwohl die Ausdrücke rationale Zahl und rationaler Bruch synonym sind, das Wort Bruch selbst verwendet wird, um sich auf jeden algebraischen Ausdruck zu beziehen, der aus einem Zähler und einem Nenner besteht, wie zum Beispiel

3) Die Definition einer rationalen Zahl umfasst den Ausdruck „eine Zahl, die dargestellt werden kann als , wobei a und d ganze Zahlen sind und . Warum kann es nicht ersetzt werden durch den Ausdruck „eine Zahl der Form wobei a und d ganze Zahlen sind und Der Grund dafür ist die Tatsache, dass es unendlich viele Möglichkeiten gibt, denselben Bruch auszudrücken (z. B. 2/3 kann auch als 4/6, 6/9 oder oder 213/33 oder etc. geschrieben werden), und es ist für uns wünschenswert, dass unsere Definition einer rationalen Zahl nicht von einer bestimmten Ausdrucksweise abhängt.

Ein Bruch ist so definiert, dass sich sein Wert nicht ändert, wenn Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert werden. Es ist jedoch nicht immer möglich, nur durch Betrachten eines bestimmten Bruchs zu sagen, ob er rational ist oder nicht. Betrachten Sie zum Beispiel die Zahlen

Keiner von ihnen in der von uns gewählten Notation hat die Form , wobei a und d ganze Zahlen sind.

Wir können jedoch eine Reihe von arithmetischen Transformationen mit dem ersten Bruch durchführen und erhalten

Somit erhalten wir einen Bruch, der gleich dem ursprünglichen Bruch ist, für den . Die Zahl ist daher rational, aber es wäre nicht rational, wenn die Definition einer rationalen Zahl erfordern würde, dass die Zahl die Form a/b hat, wobei a und b ganze Zahlen sind. Im Falle eines Wandlungsbruchteils

zu einer Zahl führen. In späteren Kapiteln werden wir lernen, dass eine Zahl nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann und daher nicht rational ist oder als irrational bezeichnet wird.

4) Beachten Sie, dass jede ganze Zahl rational ist. Wie wir gerade gesehen haben, gilt dies für die Zahl 2. Im allgemeinen Fall beliebiger ganzer Zahlen kann man ihnen auf ähnliche Weise jeweils einen Nenner gleich 1 zuweisen und ihre Darstellung als rationale Brüche erhalten.

Gymnasiasten und Studenten mathematischer Fachrichtungen können diese Frage wahrscheinlich leicht beantworten. Aber für diejenigen, die von Beruf weit davon entfernt sind, wird es schwieriger. Was ist es wirklich?

Wesen und Bezeichnung

Rationale Zahlen sind solche, die als Bruch dargestellt werden können. Positiv, negativ sowie Null sind ebenfalls in diesem Set enthalten. Der Zähler eines Bruchs muss eine ganze Zahl sein, und der Nenner muss es sein

Diese Menge wird in der Mathematik mit Q bezeichnet und heißt „Körper der rationalen Zahlen“. Sie umfasst alle ganzen Zahlen und natürlichen Zahlen, die als Z bzw. N bezeichnet werden. Die Menge Q selbst ist in der Menge R enthalten. Dieser Buchstabe bezeichnet das sogenannte reelle Oder

Leistung

Wie bereits erwähnt, sind rationale Zahlen eine Menge, die alle ganzzahligen und gebrochenen Werte enthält. Sie können in unterschiedlichen Formen dargestellt werden. Zunächst in Form eines gewöhnlichen Bruchs: 5/7, 1/5, 11/15 usw. Ganzzahlen können natürlich auch in ähnlicher Form geschrieben werden: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2 usw. Zweitens ist eine andere Darstellungsart ein Dezimalbruch mit einem abschließenden Bruchteil: 0,01, -15,001006 usw. Dies ist vielleicht eine der häufigsten Formen.

Aber es gibt auch einen dritten - einen periodischen Bruch. Dieser Typ ist nicht sehr verbreitet, wird aber immer noch verwendet. Zum Beispiel kann der Bruch 10/3 als 3,33333... oder 3,(3) geschrieben werden. In diesem Fall werden unterschiedliche Darstellungen als ähnliche Zahlen betrachtet. Gleiche Brüche werden auch als 3/5 und 6/10 bezeichnet. Es scheint klar geworden zu sein, was rationale Zahlen sind. Aber warum wird dieser Begriff verwendet, um sich auf sie zu beziehen?

Herkunft des Namens

Das Wort „rational“ hat im modernen Russischen im Allgemeinen eine etwas andere Bedeutung. Es ist eher "angemessen", "überlegt". Aber mathematische Begriffe kommen der direkten Bedeutung sehr nahe: Im Lateinischen bedeutet „ratio“ „Verhältnis“, „Bruch“ oder „Teilung“. Somit spiegelt der Name die Essenz dessen wider, was rationale Zahlen sind. Allerdings die zweite Bedeutung

nicht weit von der Wahrheit entfernt.

Aktionen mit ihnen

Beim Lösen mathematischer Probleme stoßen wir ständig auf rationale Zahlen, ohne es selbst zu wissen. Und sie haben eine Reihe interessanter Eigenschaften. Alle folgen entweder aus der Definition einer Menge oder aus Aktionen.

Erstens haben rationale Zahlen die Ordnungsbeziehungseigenschaft. Das bedeutet, dass es zwischen zwei Zahlen nur ein Verhältnis geben kann – entweder sind sie gleich, oder eine ist größer oder kleiner als die andere. dh:

oder a = b oder a > b oder a< b.

Darüber hinaus impliziert diese Eigenschaft auch die Transitivität der Relation. Das heißt, wenn a mehr b, b mehr c, dann a mehr c. In der Sprache der Mathematik sieht das so aus:

(a > b) ^ (b > c) => (a > c).

Zweitens gibt es Rechenoperationen mit rationalen Zahlen, also Addition, Subtraktion, Division und natürlich Multiplikation. Gleichzeitig lassen sich auch im Prozess der Transformationen eine Reihe von Eigenschaften unterscheiden.

• a + b = b + a (Termersetzung, Kommutativität);
• 0 + ein = ein + 0 ;
• (a + b) + c = a + (b + c) (Assoziativität);
• a + (-a) = 0;
• ab=ba;
• (ab)c = a(bc) (Distributivität);
• a x 1 = 1 x a = a;
• a x (1 / a) = 1 (in diesem Fall ist a ungleich 0);
• (a + b)c = ac + ab;
• (a > b) ^ (ca > 0) => (ac > bc).

Wenn es um gewöhnliche und nicht oder ganze Zahlen geht, können Operationen mit ihnen gewisse Schwierigkeiten verursachen. Addition und Subtraktion sind also nur möglich, wenn die Nenner gleich sind. Wenn sie anfangs unterschiedlich sind, sollten Sie einen gemeinsamen finden, indem Sie den gesamten Bruch mit bestimmten Zahlen multiplizieren. Auch ein Vergleich ist meist nur möglich, wenn diese Bedingung erfüllt ist.

Division und Multiplikation gewöhnlicher Brüche werden nach ziemlich einfachen Regeln durchgeführt. Eine Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner ist nicht erforderlich. Die Zähler und Nenner werden separat multipliziert, während bei der Ausführung der Aktion der Bruch nach Möglichkeit reduziert und so weit wie möglich vereinfacht werden sollte.

Was die Division betrifft, so ähnelt diese Aktion der ersten mit einem kleinen Unterschied. Für den zweiten Bruch solltest du den Kehrwert finden, d. h.

"Dreh es um. Daher muss der Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten multipliziert werden und umgekehrt.

Schließlich wird eine weitere Eigenschaft rationaler Zahlen als Axiom von Archimedes bezeichnet. Auch der Begriff „Prinzip“ findet sich häufig in der Literatur. Sie gilt für die gesamte Menge der reellen Zahlen, aber nicht überall. Daher funktioniert dieses Prinzip für einige Sammlungen rationaler Funktionen nicht. Im Wesentlichen bedeutet dieses Axiom, dass Sie angesichts der Existenz von zwei Größen a und b immer genug a nehmen können, um b zu übertreffen.

Anwendungsgebiet

Für diejenigen, die gelernt oder sich daran erinnert haben, was rationale Zahlen sind, wird klar, dass sie überall verwendet werden: in der Buchhaltung, Wirtschaft, Statistik, Physik, Chemie und anderen Wissenschaften. Natürlich haben sie auch in der Mathematik ihren Platz. Da wir nicht immer wissen, dass wir es mit ihnen zu tun haben, verwenden wir ständig rationale Zahlen. Sogar kleine Kinder, die lernen, Gegenstände zu zählen, einen Apfel in Stücke zu schneiden oder andere einfache Handlungen auszuführen, begegnen ihnen. Sie umgeben uns buchstäblich. Und doch reichen sie nicht aus, um einige Probleme zu lösen, insbesondere am Beispiel des Satzes von Pythagoras kann man die Notwendigkeit verstehen, das Konzept einzuführen

Definition rationaler Zahlen

Rationale Zahlen sind:

• Natürliche Zahlen, die als Bruch dargestellt werden können. Beispiel: $7=\frac(7)(1)$.
• Ganze Zahlen, einschließlich der Zahl Null, die als positive oder negative Brüche oder als Null ausgedrückt werden können. Beispiel: $19=\frac(19)(1)$, $-23=-\frac(23)(1)$.
• Gewöhnliche Brüche (positiv oder negativ).
• Gemischte Zahlen, die als unechter gemeinsamer Bruch dargestellt werden können. Beispiel: $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ und $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$.
• Ein endlicher Dezimalbruch und ein unendlicher periodischer Bruch, die als gemeinsamer Bruch dargestellt werden können. Beispiel: $-7,73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$.

Bemerkung 1

Beachten Sie, dass ein unendlicher nichtperiodischer Dezimalbruch nicht für rationale Zahlen gilt, weil es kann nicht als gewöhnlicher Bruch dargestellt werden.

Beispiel 1

Die natürlichen Zahlen $7, 670, 21 \ 456$ sind rational.

Die ganzen Zahlen $76, -76, 0, -555 \ 666$ sind rational.

Ordentliche Brüche $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$ sind rationale Zahlen .

So werden rationale Zahlen in positive und negative unterteilt. Null ist eine rationale Zahl, aber keine positive oder negative rationale Zahl.

Lassen Sie uns eine kürzere Definition rationaler Zahlen formulieren.

Bestimmung 3

Rational Rufnummern, die als endlicher oder unendlicher periodischer Dezimalbruch dargestellt werden können.

Folgende Schlussfolgerungen können gezogen werden:

• Positive und negative ganze Zahlen und Bruchzahlen gehören zur Menge der rationalen Zahlen;
• rationale Zahlen können als Bruch dargestellt werden, der einen ganzzahligen Zähler und einen natürlichen Nenner hat und eine rationale Zahl ist;
• rationale Zahlen können als jede periodische Dezimalzahl dargestellt werden, die eine rationale Zahl ist.

Wie man feststellt, ob eine Zahl rational ist

1. Die Zahl wird als numerischer Ausdruck angegeben, der nur aus rationalen Zahlen und Vorzeichen von Rechenoperationen besteht. In diesem Fall ist der Wert des Ausdrucks eine rationale Zahl.
2. Die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl ist nur dann eine rationale Zahl, wenn die Wurzel eine Zahl ist, die das perfekte Quadrat einer natürlichen Zahl ist. Beispielsweise sind $\sqrt(9)$ und $\sqrt(121)$ rationale Zahlen, weil $9=3^2$ und $121=11^2$.
3. Die $n$-te Wurzel einer ganzen Zahl ist nur dann eine rationale Zahl, wenn die Zahl unter dem Wurzelzeichen die $n$-te Potenz einer ganzen Zahl ist. Beispielsweise ist $\sqrt(8)$ eine rationale Zahl, weil $8=2^3$.

Rationale Zahlen sind überall auf der Zahlenachse dicht: Zwischen je zwei rationalen Zahlen, die nicht gleich sind, kann mindestens eine rationale Zahl liegen (also unendlich viele rationale Zahlen). Gleichzeitig ist die Menge der rationalen Zahlen durch eine abzählbare Kardinalität gekennzeichnet (d. h. alle Elemente der Menge können nummeriert werden). Die alten Griechen haben bewiesen, dass es Zahlen gibt, die nicht als Bruch geschrieben werden können. Sie zeigten, dass es keine rationale Zahl gibt, deren Quadrat gleich $2$ ist. Dann reichten rationale Zahlen nicht aus, um alle Größen auszudrücken, was später zum Auftreten reeller Zahlen führte. Die Menge der rationalen Zahlen ist im Gegensatz zu den reellen Zahlen nulldimensional.

Rationale Zahlen

Viertel

1. Ordentlichkeit. a und b Es gibt eine Regel, die es Ihnen ermöglicht, zwischen ihnen eine und nur eine der drei Beziehungen eindeutig zu identifizieren: „< », « >' oder '='. Diese Regel heißt Ordnungsregel und wird wie folgt formuliert: zwei nicht-negative Zahlen und stehen in der gleichen Beziehung wie zwei ganze Zahlen und ; zwei nicht positive Zahlen a und b stehen in der gleichen Beziehung wie zwei nicht negative Zahlen und ; wenn plötzlich a nicht negativ und b- also negativ a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   Summierung von Brüchen

2. Additionsoperation. Für beliebige rationale Zahlen a und b es gibt einen sog Summationsregel c. Allerdings die Nummer selbst c genannt Summe Zahlen a und b und ist mit bezeichnet, und der Prozess, eine solche Nummer zu finden, wird aufgerufen Summe. Die Summationsregel hat folgende Form: .
3. Multiplikationsoperation. Für beliebige rationale Zahlen a und b es gibt einen sog Multiplikationsregel, was sie in Übereinstimmung mit einer rationalen Zahl bringt c. Allerdings die Nummer selbst c genannt Arbeit Zahlen a und b und wird mit bezeichnet, und der Prozess, eine solche Nummer zu finden, wird auch genannt Multiplikation. Die Multiplikationsregel lautet wie folgt: .
4. Transitivität der Ordnungsrelation. Für jedes Tripel rationaler Zahlen a , b und c wenn a weniger b und b weniger c, dann a weniger c, und wenn a gleich b und b gleich c, dann a gleich c. 6435">Kommutativität der Addition. Die Summe ändert sich nicht, wenn die Stellen der rationalen Terme ausgetauscht werden.
5. Assoziativität der Addition. Die Reihenfolge, in der drei rationale Zahlen addiert werden, hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.
6. Das Vorhandensein von Null. Es gibt eine rationale Zahl 0, die alle anderen rationalen Zahlen erhält, wenn sie summiert werden.
7. Das Vorhandensein von Gegenzahlen. Jede rationale Zahl hat eine entgegengesetzte rationale Zahl, die summiert 0 ergibt.
8. Kommutativität der Multiplikation. Indem die Plätze der rationalen Faktoren geändert werden, ändert sich das Produkt nicht.
9. Assoziativität der Multiplikation. Die Reihenfolge, in der drei rationale Zahlen multipliziert werden, hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.
10. Das Vorhandensein einer Einheit. Es gibt eine rationale Zahl 1, die bei Multiplikation jede andere rationale Zahl erhält.
11. Das Vorhandensein von Gegensätzen. Jede rationale Zahl hat eine umgekehrte rationale Zahl, die multipliziert 1 ergibt.
12. Distributivität der Multiplikation in Bezug auf die Addition. Die Multiplikationsoperation ist konsistent mit der Additionsoperation durch das Verteilungsgesetz:
13. Zusammenhang der Ordnungsbeziehung mit der Additionsoperation. Dieselbe rationale Zahl kann zur linken und rechten Seite einer rationalen Ungleichung addiert werden. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Axiom von Archimedes. Was auch immer die rationale Zahl ist a, können Sie so viele Einheiten nehmen, dass ihre Summe überschritten wird a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Zusätzliche Eigenschaften

Alle anderen Eigenschaften, die rationalen Zahlen innewohnen, werden nicht als grundlegende Eigenschaften herausgegriffen, weil sie im Allgemeinen nicht mehr direkt auf den Eigenschaften ganzer Zahlen beruhen, sondern anhand der gegebenen grundlegenden Eigenschaften oder direkt durch die Definition von bewiesen werden können ein mathematisches Objekt. Es gibt viele solcher zusätzlichen Eigenschaften. Es ist sinnvoll, hier nur einige davon zu nennen.

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Zählbarkeit einstellen

Numerierung rationaler Zahlen

Um die Anzahl der rationalen Zahlen abzuschätzen, müssen Sie die Kardinalität ihrer Menge finden. Es ist leicht zu beweisen, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist. Dazu genügt es, einen Algorithmus anzugeben, der rationale Zahlen aufzählt, d. h. eine Bijektion zwischen den Mengen rationaler und natürlicher Zahlen herstellt.

Der einfachste dieser Algorithmen ist wie folgt. Für jeden wird eine unendliche Tabelle gewöhnlicher Brüche zusammengestellt ich-te Zeile in jedem j te Spalte davon ist ein Bruch. Zur Eindeutigkeit wird angenommen, dass die Zeilen und Spalten dieser Tabelle von eins an nummeriert sind. Tabellenzellen sind mit , wo bezeichnet ich- die Zeilennummer der Tabelle, in der sich die Zelle befindet, und j- Spaltennummer.

Die resultierende Tabelle wird von einer "Schlange" gemäß dem folgenden formalen Algorithmus verwaltet.

Diese Regeln werden von oben nach unten durchsucht und die nächste Position wird durch die erste Übereinstimmung ausgewählt.

Bei einem solchen Bypass wird jede neue rationale Zahl der nächsten natürlichen Zahl zugeordnet. Das heißt, Brüche 1 / 1 erhalten die Nummer 1, Brüche 2 / 1 - die Nummer 2 usw. Es ist zu beachten, dass nur irreduzible Brüche nummeriert werden. Das formale Zeichen der Irreduzibilität ist die Einheit des größten gemeinsamen Teilers von Zähler und Nenner des Bruchs.

Nach diesem Algorithmus kann man alle positiven rationalen Zahlen aufzählen. Das bedeutet, dass die Menge der positiven rationalen Zahlen abzählbar ist. Es ist einfach, eine Bijektion zwischen den Mengen positiver und negativer rationaler Zahlen herzustellen, indem man einfach jeder rationalen Zahl ihr Gegenteil zuweist. Dass. auch die Menge der negativen rationalen Zahlen ist abzählbar. Ihre Vereinigung ist auch abzählbar durch die Eigenschaft abzählbarer Mengen. Die Menge der rationalen Zahlen ist auch abzählbar als Vereinigung einer abzählbaren Menge mit einer endlichen.

Die Aussage über die Zählbarkeit der Menge der rationalen Zahlen mag etwas verwirren, da man auf den ersten Blick den Eindruck bekommt, dass sie viel größer ist als die Menge der natürlichen Zahlen. Tatsächlich ist dies nicht der Fall, und es gibt genügend natürliche Zahlen, um alle rationalen Zahlen aufzuzählen.

Mangel an rationalen Zahlen

Die Hypotenuse eines solchen Dreiecks wird durch keine rationale Zahl ausgedrückt

Rationale Zahlen der Form 1 / n im Großen und Ganzen n es können beliebig kleine Mengen gemessen werden. Diese Tatsache erweckt den trügerischen Eindruck, dass rationale Zahlen im Allgemeinen beliebige geometrische Abstände messen können. Es ist leicht zu zeigen, dass dies nicht stimmt.

Anmerkungen

Literatur

• I. Kuschnir. Handbuch der Mathematik für Schüler. - Kiew: ASTARTA, 1998. - 520 p.
• P. S. Alexandrow. Einführung in die Mengenlehre und allgemeine Topologie. - M.: Kopf. ed. Phys.-Math. zündete. ed. "Wissenschaft", 1977
• I. L. Chmelnizki. Einführung in die Theorie der algebraischen Systeme

Verknüpfungen

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