Dieser Artikel setzt das Thema der Transformation algebraischer Brüche fort: Betrachten Sie eine solche Aktion als die Reduktion algebraischer Brüche. Lassen Sie uns den Begriff selbst definieren, die Abkürzungsregel formulieren und praktische Beispiele analysieren.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bedeutung der Abkürzung für algebraische Brüche

In den Materialien zur gewöhnlichen Fraktion haben wir deren Reduzierung berücksichtigt. Wir haben die Kürzung eines gemeinsamen Bruchs als Division seines Zählers und Nenners durch einen gemeinsamen Faktor definiert.

Das Kürzen eines algebraischen Bruchs ist eine ähnliche Operation.

Bestimmung 1

Algebraische Bruchreduktion ist die Division von Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Teiler. Dabei kann im Gegensatz zur Kürzung eines gewöhnlichen Bruchs (nur eine Zahl kann ein gemeinsamer Nenner sein) ein Polynom, insbesondere ein Monom oder eine Zahl, als gemeinsamer Faktor für Zähler und Nenner eines algebraischen Bruchs dienen.

Beispielsweise kann der algebraische Bruch 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 um die Zahl 3 gekürzt werden, als Ergebnis erhalten wir: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 . Wir können denselben Bruch durch die Variable x kürzen, und das ergibt den Ausdruck 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 . Es ist auch möglich, einen gegebenen Bruch durch ein Monom zu kürzen 3x oder eines der Polynome x + 2 j, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y oder 3 x 2 + 6 x y.

Das ultimative Ziel der Reduktion eines algebraischen Bruchs ist ein Bruch einer einfacheren Form, bestenfalls ein irreduzibler Bruch.

Unterliegen alle algebraischen Brüche der Kürzung?

Auch hier wissen wir aus den Materialien über gewöhnliche Brüche, dass es reduzierbare und irreduzible Brüche gibt. Nicht reduzierbar - Dies sind Brüche, die keine gemeinsamen Faktoren von Zähler und Nenner außer 1 haben.

Bei algebraischen Brüchen ist alles gleich: Sie können gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner haben oder nicht. Das Vorhandensein gemeinsamer Faktoren ermöglicht es Ihnen, den ursprünglichen Bruch durch Reduktion zu vereinfachen. Wenn es keine gemeinsamen Faktoren gibt, ist es unmöglich, einen gegebenen Bruch durch das Reduktionsverfahren zu optimieren.

Im Allgemeinen ist es für eine bestimmte Art von Fraktion ziemlich schwierig zu verstehen, ob sie einer Kürzung unterliegt. Natürlich ist in einigen Fällen das Vorhandensein eines gemeinsamen Teilers von Zähler und Nenner offensichtlich. Zum Beispiel ist beim algebraischen Bruch 3 · x 2 3 · y ziemlich klar, dass der gemeinsame Teiler die Zahl 3 ist.

Bei einem Bruch - x · y 5 · x · y · z 3 verstehen wir auch sofort, dass es möglich ist, ihn um x, oder y, oder um x · y zu kürzen. Und doch sind Beispiele für algebraische Brüche viel häufiger, wenn der gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner nicht so leicht zu erkennen ist, und noch häufiger - er fehlt einfach.

Beispielsweise können wir den Bruch x 3 - 1 x 2 - 1 um x - 1 kürzen, während der angegebene gemeinsame Teiler nicht im Datensatz steht. Aber der Bruch x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 lässt sich nicht kürzen, da Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler haben.

Daher ist die Frage, die Kontraktionsfähigkeit eines algebraischen Bruchs herauszufinden, nicht so einfach, und es ist oft einfacher, mit einem Bruch einer gegebenen Form zu arbeiten, als herauszufinden, ob er kontrahierbar ist. In diesem Fall gibt es solche Transformationen, die uns in bestimmten Fällen erlauben, den gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner zu bestimmen oder darauf zu schließen, dass der Bruch irreduzibel ist. Wir werden dieses Problem im nächsten Absatz des Artikels ausführlich analysieren.

Algebraische Bruchreduktionsregel

Algebraische Bruchreduktionsregel besteht aus zwei aufeinanderfolgenden Schritten:

• Finden der gemeinsamen Faktoren von Zähler und Nenner;
• im Falle einer solchen Feststellung die Durchführung der direkten Aktion zur Reduzierung des Anteils.

Die bequemste Methode zum Finden gemeinsamer Nenner besteht darin, die Polynome zu faktorisieren, die im Zähler und Nenner eines gegebenen algebraischen Bruchs vorhanden sind. Auf diese Weise können Sie das Vorhandensein oder Fehlen gemeinsamer Faktoren sofort visuell erkennen.

Die eigentliche Aktion des Reduzierens eines algebraischen Bruchs basiert auf der Haupteigenschaft eines algebraischen Bruchs, ausgedrückt durch die Gleichheit undefined , wobei a , b , c einige Polynome sind und b und c nicht Null sind. Der erste Schritt besteht darin, den Bruch auf die Form a c b c zu kürzen, wobei wir sofort den gemeinsamen Teiler c bemerken. Der zweite Schritt besteht darin, die Reduktion durchzuführen, d.h. Übergang zu einem Bruch der Form a b .

Typische Beispiele

Lassen Sie uns trotz einiger Offensichtlichkeiten den Sonderfall klären, wenn Zähler und Nenner eines algebraischen Bruchs gleich sind. Ähnliche Brüche sind auf der gesamten ODZ der Variablen dieses Bruchs identisch gleich 1:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1 ; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 j 1 2 x - x 2 j ;

Da gewöhnliche Brüche ein Spezialfall von algebraischen Brüchen sind, erinnern wir uns, wie sie gekürzt werden. Die in Zähler und Nenner geschriebenen natürlichen Zahlen werden in Primfaktoren zerlegt, dann werden die gemeinsamen Faktoren (falls vorhanden) reduziert.

Beispiel: 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Das Produkt einfacher identischer Faktoren kann als Grade geschrieben werden, und bei der Bruchreduktion die Eigenschaft der Division von Graden mit denselben Basen verwenden. Dann wäre die obige Lösung:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(Zähler und Nenner dividiert durch einen gemeinsamen Faktor 2 2 3). Oder wir geben der Klarheit halber, basierend auf den Eigenschaften von Multiplikation und Division, der Lösung die folgende Form:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Analog erfolgt die Reduktion algebraischer Brüche, bei denen Zähler und Nenner Monome mit ganzzahligen Koeffizienten haben.

Beispiel 1

Gegeben sei ein algebraischer Bruch -27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Es muss reduziert werden.

Lösung

Es ist möglich, Zähler und Nenner eines gegebenen Bruchs als Produkt von Primfaktoren und Variablen zu schreiben und dann zu reduzieren:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a a b b c z 2 3 a a b b c c c c c c c c z = = - 3 3 a a a 2 c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

Ein rationalerer Weg wäre jedoch, die Lösung als Ausdruck mit Potenzen zu schreiben:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 ein 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 ein 3 2 c 6 = - 9 ein 3 2 c 6 .

Antworten:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Wenn im Zähler und Nenner eines algebraischen Bruchs gebrochene numerische Koeffizienten vorhanden sind, gibt es zwei Möglichkeiten für weitere Aktionen: entweder diese gebrochenen Koeffizienten getrennt teilen oder zuerst die gebrochenen Koeffizienten loswerden, indem Zähler und Nenner mit einer natürlichen Zahl multipliziert werden . Die letzte Transformation wird aufgrund der Haupteigenschaft eines algebraischen Bruchs durchgeführt (Sie können darüber im Artikel „Reduzieren eines algebraischen Bruchs auf einen neuen Nenner“ nachlesen).

Beispiel 2

Gegeben sei ein Bruch 2 5 x 0 , 3 x 3 . Es muss reduziert werden.

Lösung

Man kann den Bruch wie folgt kürzen:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Versuchen wir, das Problem anders zu lösen, nachdem wir zuvor die Bruchkoeffizienten beseitigt haben - wir multiplizieren Zähler und Nenner mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner dieser Koeffizienten, d.h. pro LCM(5, 10) = 10. Dann bekommen wir:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Antwort: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Wenn wir allgemeine algebraische Brüche kürzen, bei denen Zähler und Nenner sowohl Monome als auch Polynome sein können, kann ein Problem auftreten, wenn der gemeinsame Teiler nicht immer sofort sichtbar ist. Oder mehr noch, es existiert einfach nicht. Dann werden Zähler und Nenner des algebraischen Bruchs faktorisiert, um den gemeinsamen Teiler zu bestimmen oder die Tatsache seines Fehlens zu beheben.

Beispiel 3

Gegeben sei ein rationaler Bruch 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Es muss gekürzt werden.

Lösung

Zerlegen wir die Polynome in Zähler und Nenner. Machen wir die Klammern:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Wir sehen, dass der Ausdruck in Klammern mit den abgekürzten Multiplikationsformeln umgewandelt werden kann:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Es ist deutlich zu sehen, dass es möglich ist, den Bruch um einen gemeinsamen Faktor zu reduzieren b 2 (a + 7). Nehmen wir eine Kürzung vor:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Wir schreiben eine kurze Lösung ohne Erklärung als Gleichheitskette:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Antworten: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b .

Es kommt vor, dass die gemeinsamen Faktoren durch numerische Koeffizienten verdeckt werden. Dann ist es beim Kürzen von Brüchen optimal, die Zahlenfaktoren bei höheren Potenzen von Zähler und Nenner herauszunehmen.

Beispiel 4

Gegeben sei ein algebraischer Bruch 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 . Es sollte nach Möglichkeit reduziert werden.

Lösung

Zähler und Nenner haben auf den ersten Blick keinen gemeinsamen Nenner. Versuchen wir jedoch, den angegebenen Bruch umzuwandeln. Nehmen wir den Faktor x im Zähler heraus:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Jetzt können Sie aufgrund von x 2 y eine gewisse Ähnlichkeit zwischen dem Ausdruck in Klammern und dem Ausdruck im Nenner erkennen . Nehmen wir die numerischen Koeffizienten bei höheren Potenzen dieser Polynome heraus:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 j 5 x 2 j - 7 10

Jetzt wird der gemeinsame Multiplikator sichtbar, wir führen die Reduktion durch:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Antworten: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Lassen Sie uns betonen, dass die Fähigkeit, rationale Brüche zu kürzen, von der Fähigkeit abhängt, Polynome zu faktorisieren.

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Enter

Basierend auf ihrer Haupteigenschaft: Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs durch dasselbe Polynom ungleich Null geteilt werden, wird ein gleicher Bruch erhalten.

Sie können nur Multiplikatoren reduzieren!

Mitglieder von Polynomen können nicht reduziert werden!

Um einen algebraischen Bruch zu kürzen, müssen zunächst die Polynome in Zähler und Nenner faktorisiert werden.

Betrachten Sie Beispiele für die Bruchreduktion.

Zähler und Nenner eines Bruchs sind Monome. Sie repräsentieren Arbeit(Zahlen, Variablen und ihre Grade), Multiplikatoren wir können reduzieren.

Wir kürzen die Zahlen um ihren größten gemeinsamen Teiler, also um die größte Zahl, durch die jede der gegebenen Zahlen teilbar ist. Bei 24 und 36 ist dies 12. Nach der Reduzierung von 24 bleibt 2 übrig, von 36 - 3.

Wir reduzieren die Grade um den Grad mit dem kleinsten Indikator. Einen Bruch kürzen bedeutet, Zähler und Nenner durch denselben Divisor zu dividieren und die Exponenten zu subtrahieren.

a² und a⁷ werden um a² reduziert. Gleichzeitig bleibt eins im Zähler von a² (wir schreiben 1 nur, wenn nach der Reduktion keine anderen Faktoren mehr übrig sind. 2 bleibt von 24, also schreiben wir die 1, die von a² übrig bleibt, nicht). Aus a⁷ bleibt nach Reduktion a⁵.

b und b werden mit b abgekürzt, die resultierenden Einheiten werden nicht geschrieben.

c³º und c⁵ werden um c⁵ reduziert. Aus c³º bleibt c²⁵, aus c⁵ - Einheit (schreiben wir nicht). Auf diese Weise,

Zähler und Nenner dieses algebraischen Bruchs sind Polynome. Es ist unmöglich, die Terme von Polynomen zu reduzieren! (nicht kürzbar, z. B. 8x² und 2x!). Um diesen Anteil zu reduzieren, ist es notwendig. Der Zähler hat einen gemeinsamen Faktor von 4x. Nehmen wir es aus der Klammer:

Sowohl der Zähler als auch der Nenner haben denselben Faktor (2x-3). Wir reduzieren den Bruch um diesen Faktor. Wir haben im Zähler 4x, im Nenner 1. Gemäß 1-Eigenschaft algebraischer Brüche ist der Bruch 4x.

Sie können nur Faktoren kürzen (Sie können einen bestimmten Bruch nicht um 25x² kürzen!). Daher müssen die Polynome im Zähler und Nenner eines Bruchs faktorisiert werden.

Der Zähler ist das volle Quadrat der Summe und der Nenner ist die Differenz der Quadrate. Nach Erweiterung mit den Formeln der abgekürzten Multiplikation erhalten wir:

Wir kürzen den Bruch um (5x + 1) (dazu die beiden im Zähler als Exponent streichen, aus (5x + 1) ² bleibt (5x + 1)):

Der Zähler hat einen gemeinsamen Faktor von 2, nehmen wir ihn aus der Klammer. Im Nenner - die Formel für die Differenz von Kubikzahlen:

Durch Erweiterung in Zähler und Nenner erhalten wir denselben Faktor (9 + 3a + a²). Wir kürzen den Bruch darauf:

Das Polynom im Zähler besteht aus 4 Gliedern. den ersten Term mit dem zweiten, den dritten mit dem vierten, und wir entfernen den gemeinsamen Faktor x² aus der ersten Klammer. Wir zerlegen den Nenner nach der Formel für die Kubiksumme:

Im Zähler nehmen wir den gemeinsamen Teiler (x + 2) aus Klammern heraus:

Wir kürzen den Bruch um (x + 2):

Ziele:

1. lehrreich- Festigen der erworbenen Kenntnisse und Fähigkeiten zum Reduzieren algebraischer Brüche beim Lösen komplexerer Aufgaben, Anwenden der Faktorisierung eines Polynoms auf unterschiedliche Weise, um die Fähigkeit zum Reduzieren algebraischer Brüche zu entwickeln. Wiederholen Sie die abgekürzten Multiplikationsformeln: (ein+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b) 2 =ein 2-2ab+b2,eine 2 -b2 =(ein+b)(a-b), Gruppierungsmethode, wobei der gemeinsame Teiler aus Klammern genommen wird.

2. Entwicklung - Entwicklung des logischen Denkens zur bewussten Wahrnehmung von Unterrichtsstoff, Aufmerksamkeit, Aktivität der Schüler im Unterricht.

3. Pflege - Erziehung zur kognitiven Aktivität, Bildung persönlicher Qualitäten: Genauigkeit und Klarheit des verbalen Ausdrucks von Gedanken; Konzentration und Aufmerksamkeit; Ausdauer und Verantwortungsbewusstsein, positive Motivation zum Studium des Faches, Genauigkeit, Gewissenhaftigkeit und Verantwortungsbewusstsein.

Aufgaben:

1. Um das untersuchte Material zu konsolidieren und die Arten der Arbeit zu diesem Thema zu ändern, „Algebraischer Bruch. Kürzung von Brüchen.

2. Entwickeln Sie Fähigkeiten und Fertigkeiten beim Reduzieren algebraischer Brüche, Verwenden verschiedener Methoden zum Faktorisieren von Zähler und Nenner, Entwickeln Sie logisches Denken, korrekte und kompetente mathematische Sprache, Entwickeln Sie Unabhängigkeit und Vertrauen in ihr Wissen und ihre Fähigkeiten bei der Ausführung verschiedener Arten von Arbeiten.

3. Interesse an Mathematik wecken durch Einführung verschiedener Arten der Stoffvertiefung: mündliche Arbeit, Arbeit mit einem Lehrbuch, Arbeit an der Tafel, mathematisches Diktat, Test, selbstständiges Arbeiten, das Spiel „Mathematisches Turnier“; Aktivitäten der Schüler anregen und fördern.

Planen:
ICH. Zeit organisieren.
II . Mündliche Arbeit.
III. Mathematisches Diktat.
IV.
1. Arbeite nach Lehrbuch und an der Tafel.
2. Arbeiten Sie in Gruppen an Karten - das Spiel "Mathematical Tournament".
3. Selbständiges Arbeiten auf den Ebenen (A, B, C).
v. Ergebnis.
1. Test (gegenseitige Überprüfung).
VI. Hausaufgaben.

Während des Unterrichts:

I. Organisatorischer Moment.

Emotionale Stimmung und Bereitschaft des Lehrers und der Schüler für den Unterricht. Die Schüler setzen Ziele und Ziele - diese Lektion bestimmt zu den Leitfragen des Lehrers das Thema der Lektion.

II. Mündliche Arbeit.

1. Brüche kürzen:

2. Finden Sie den Wert des algebraischen Bruchs:
bei c = 8, c = -13, c = 11.
Antwort: 6; -eines; 3.

3. Beantworten Sie die Fragen:

1) Was ist die nützliche Ordnung beim Faktorisieren von Polynomen?
(Bei der Zerlegung von Polynomen in Faktoren ist es sinnvoll, die folgende Reihenfolge einzuhalten: a) Entfernen Sie den gemeinsamen Faktor aus der Klammer, falls vorhanden; b) versuchen Sie, das Polynom mit den abgekürzten Multiplikationsformeln zu faktorisieren; c) versuchen, die Gruppierungsmethode anzuwenden, wenn die vorherigen Methoden nicht zum Ziel geführt haben).

2) Was ist das Quadrat der Summe?
(Das Quadrat der Summe zweier Zahlen ist gleich dem Quadrat der ersten Zahl plus zweimal dem Produkt aus der ersten Zahl und der zweiten plus dem Quadrat der zweiten Zahl.)

3) Was ist das Quadrat der Differenz?
(Das Quadrat der Differenz zwischen zwei Zahlen ist gleich dem Quadrat der ersten Zahl minus dem Doppelten des Produkts aus der ersten Zahl und der zweiten Zahl plus dem Quadrat der zweiten Zahl.)

4) Was ist der Unterschied zwischen den Quadratzahlen zweier Zahlen?
(Die Differenz der Quadrate zweier Zahlen ist gleich dem Produkt der Differenz dieser Zahlen und ihrer Summe).

5) Was ist bei der Gruppierungsmethode zu beachten? (Um ein Polynom nach der Gruppierungsmethode zu faktorisieren, müssen Sie: a) die Mitglieder des Polynoms in Gruppen zusammenfassen, die einen gemeinsamen Faktor in Form eines Polynoms haben; b) nehmen Sie diesen gemeinsamen Teiler aus Klammern heraus).
6) Um den gemeinsamen Teiler aus Klammern herauszunehmen, brauchst du ......?
(Finde diesen gemeinsamen Teiler; 2. entferne ihn aus Klammern).

7) Welche Methoden zur Faktorisierung eines Polynoms kennen Sie?
(Einklammerung des gemeinsamen Teilers, Gruppierungsmethode, abgekürzte Multiplikationsformeln).

8) Was wird benötigt, um den Bruch zu reduzieren?
(Um einen Bruch zu kürzen, musst du Zähler und Nenner durch ihren gemeinsamen Faktor dividieren).

III. Mathematisches Diktat.

1. Algebraische Brüche unterstreichen:

Ich wähle:

II-Option:

1. Ist es möglich, den Ausdruck darzustellen

Ich wähle:

II-Option:

als Polynom? Wenn Sie sich vorstellen können?

3. Welche Buchstabenwerte gelten für den Ausdruck:
Ich wähle:

II-Option:
(x-5)(x+7).

4. Schreibe einen algebraischen Bruch mit Zähler auf
Ich wähle:
3x2.
II-Option:
5 Jahre.
und Nenner

Ich wähle:
x(x+3).
II-Option:
y2 (y+7).
und kürze es.

IV. Vertiefung des Themas: „Algebraischer Bruch. Kürzung von Brüchen ":

1. Arbeite nach Lehrbuch und an der Tafel.

Faktorisiere Zähler und Nenner eines Bruchs und kürze ihn.
№441(1;3).

1. ; 3.

№442(1;3;5).

1. 3.

№443(1;3).

1. 3.

№444(1;3).

1. 3.

№445(1;3).

1. 3.

№446(1;3).

2. Arbeiten Sie in Gruppen an Karten - das Spiel "Mathematical Tournament".

(Aufgaben für das Spiel – „Anhang 1“.)
Die Festigung und Erprobung der Fähigkeiten zur Lösung von Beispielen zu diesem Thema erfolgt in Form eines Turniers. Die Klasse wird in Gruppen eingeteilt und ihnen werden Aufgaben auf Karten (Karten verschiedener Niveaus) angeboten.
Nach einer gewissen Zeit muss jeder Schüler die Lösung der Aufgaben seines Teams in ein Heft schreiben und erklären können.
Beratungen innerhalb des Teams sind erlaubt (sie werden vom Kapitän durchgeführt).
Dann beginnt das Turnier: Jedes Team hat das Recht, die anderen herauszufordern, aber nur einmal. ZB ruft der Kapitän der ersten Mannschaft die Schüler der zweiten Mannschaft zur Teilnahme am Turnier auf; der Kapitän der zweiten Mannschaft macht dasselbe, sie gehen ans Brett, tauschen Karten und lösen Aufgaben usw.

3. Selbstständiges Arbeiten nach Level (A, B, C)

„Lehrmaterial“ L.I. Zvavich et al., S. 95, S. 52. (Alle Studenten haben das Buch)
ABER . №1: I Option-1) a, b; 2) a, c; 5) ein.
II Option-1) c, d; 2) b, d, 5) c.
B . №2: Option I - a.
Option II - b.
BEI . №3: Option I - a.
Option II - b.

v. Ergebnis.

1. Test (gegenseitige Überprüfung).
(Aufgaben für den Test – „Anhang 2“.)
(auf Karten für jeden Schüler, nach Optionen)

VI. Hausaufgaben.

1) "DM" Seite 95 Nr. 1. (3,4,6);
2) Nr. 447 (gerade);
3) §24, wiederholen Sie §19 - §23.

Aufteilung und der Zähler und Nenner des Bruchs auf ihre gemeinsamer Teiler, was von Eins verschieden ist, heißt Fraktionsreduktion.

Um einen gemeinsamen Bruch zu kürzen, musst du seinen Zähler und Nenner durch dieselbe natürliche Zahl dividieren.

Diese Zahl ist der größte gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner des gegebenen Bruchs.

Folgendes ist möglich Entscheidungsprotokolle Beispiele für die Kürzung gewöhnlicher Brüche.

Der Student hat das Recht, jede Form der Aufzeichnung zu wählen.

Beispiele. Brüche vereinfachen.

Reduziere den Bruch um 3 (dividiere den Zähler durch 3;

Teilen Sie den Nenner durch 3).

Wir kürzen den Bruch um 7.

Wir führen die angegebenen Aktionen im Zähler und Nenner des Bruchs aus.

Der resultierende Bruch wird um 5 gekürzt.

Lassen Sie uns diesen Bruchteil reduzieren 4) auf der 5 7³- der größte gemeinsame Teiler (ggT) von Zähler und Nenner, der aus den gemeinsamen Faktoren von Zähler und Nenner besteht, die mit dem kleinsten Exponenten potenziert werden.

Zerlegen wir Zähler und Nenner dieses Bruchs in einfache Faktoren.

Wir bekommen: 756=2² 3³ 7 und 1176=2³ 3 7².

Bestimmen Sie den ggT (größter gemeinsamer Teiler) von Zähler und Nenner des Bruchs 5) .

Dies ist das Produkt der gemeinsamen Faktoren mit den kleinsten Exponenten.

gcd(756; 1176)= 2² 3 7.

Wir dividieren Zähler und Nenner dieses Bruchs durch ihren ggT, ​​also durch 2² 3 7 wir erhalten einen irreduziblen Bruch 9/14 .

Und es war möglich, die Erweiterungen von Zähler und Nenner als Produkt von Primfaktoren zu schreiben, ohne den Begriff des Grads zu verwenden, und dann den Bruch zu kürzen, indem dieselben Faktoren in Zähler und Nenner gestrichen wurden. Wenn es keine identischen Faktoren mehr gibt, multiplizieren wir die verbleibenden Faktoren getrennt im Zähler und getrennt im Nenner und schreiben den resultierenden Bruch aus 9/14 .

Und schließlich konnte dieser Anteil reduziert werden 5) allmählich, wobei die Zeichen der Teilung von Zahlen sowohl auf den Zähler als auch auf den Nenner des Bruchs angewendet werden. Denken Sie so: Zahlen 756 und 1176 auf eine gerade Zahl enden, also sind beide durch teilbar 2 . Wir kürzen den Bruch um 2 . Zähler und Nenner des neuen Bruchs sind Zahlen 378 und 588 auch unterteilt in 2 . Wir kürzen den Bruch um 2 . Wir bemerken, dass die Nummer 294 - sogar, und 189 ungerade ist und eine Reduktion um 2 nicht mehr möglich ist. Lassen Sie uns das Zeichen der Teilbarkeit von Zahlen überprüfen 189 und 294 auf der 3 .

(1+8+9)=18 ist durch 3 teilbar und (2+9+4)=15 ist durch 3 teilbar, daher die Zahlen selbst 189 und 294 sind geteilt in 3 . Wir kürzen den Bruch um 3 . Des Weiteren, 63 ist durch 3 teilbar und 98 - Nein. Iteriere über andere Primfaktoren. Beide Zahlen sind durch teilbar 7 . Wir kürzen den Bruch um 7 und erhalte den irreduziblen Bruch 9/14 .

Rechner online führt Reduktion algebraischer Brüche gemäß der Bruchkürzelregel: Ersetzen des ursprünglichen Bruchs durch einen gleichen Bruch, aber mit kleinerem Zähler und Nenner, d.h. Gleichzeitige Division von Zähler und Nenner eines Bruchs durch ihren gemeinsamen größten gemeinsamen Teiler (ggT). Der Rechner zeigt auch eine detaillierte Lösung an, die Ihnen hilft, den Ablauf der Reduktion zu verstehen.

Gegeben:

Lösung:

Fraktionsreduktion durchführen

Überprüfung der Möglichkeit, die Reduktion eines algebraischen Bruchs durchzuführen

1) Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) von Zähler und Nenner eines Bruchs

Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) von Zähler und Nenner eines algebraischen Bruchs

2) Kürzen des Zählers und Nenners eines Bruchs

Reduktion von Zähler und Nenner eines algebraischen Bruchs

3) Auswahl des ganzzahligen Teils des Bruchs

Extrahieren des ganzzahligen Teils eines algebraischen Bruchs

4) Umwandlung eines algebraischen Bruchs in einen Dezimalbruch

Umwandlung des algebraischen Bruchs in einen Dezimalbruch

Hilfe für die Entwicklung des Site-Projekts

Lieber Seitenbesucher.
Wenn Sie nicht finden konnten, wonach Sie gesucht haben, schreiben Sie unbedingt in die Kommentare, was der Website jetzt fehlt. Dies wird uns helfen zu verstehen, in welche Richtung wir uns weiter bewegen müssen, und andere Besucher werden bald in der Lage sein, das notwendige Material zu erhalten.
Wenn sich die Seite für Sie als nützlich erwiesen hat, spenden Sie die Seite für das Projekt nur 2 ₽ und wir werden wissen, dass wir uns in die richtige Richtung bewegen.

Vielen Dank, dass Sie nicht vorbeigekommen sind!

I. Das Verfahren zum Kürzen eines algebraischen Bruchs mit einem Online-Rechner:

1. Um einen algebraischen Bruch zu kürzen, geben Sie die Werte des Zählers und Nenners des Bruchs in die entsprechenden Felder ein. Wenn der Bruch gemischt ist, füllen Sie auch das Feld aus, das dem ganzzahligen Teil des Bruchs entspricht. Wenn der Bruch einfach ist, lassen Sie das Feld für den ganzzahligen Teil leer.
2. Um einen negativen Bruch anzugeben, setzen Sie ein Minuszeichen in den ganzzahligen Teil des Bruchs.
3. Abhängig vom angegebenen algebraischen Bruch wird automatisch die folgende Abfolge von Aktionen ausgeführt:

• Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) von Zähler und Nenner eines Bruchs;
• Reduktion von Zähler und Nenner eines Bruchs durch ggT;
• Extrahieren des ganzzahligen Teils eines Bruchs wenn der Zähler des Endbruchs größer als der Nenner ist.
• Umwandeln des endgültigen algebraischen Bruchs in einen Dezimalbruch auf Hundertstel gerundet.

Das Ergebnis der Kürzung kann ein unechter Bruch sein. In diesem Fall wird für den endgültigen unechten Bruch ein ganzzahliger Teil ausgewählt und der endgültige Bruch wird in einen echten Bruch umgewandelt.

II. Als Referenz:

Ein Bruch ist eine Zahl, die aus einem oder mehreren Teilen (Brüchen) einer Einheit besteht. Ein gewöhnlicher Bruch (einfacher Bruch) wird als zwei Zahlen (der Zähler des Bruchs und der Nenner des Bruchs) geschrieben, die durch einen horizontalen Balken (Bruchbalken) getrennt sind, der das Zeichen der Division angibt. Der Zähler eines Bruchs ist die Zahl über dem Bruchstrich. Der Zähler zeigt an, wie viele Teile aus dem Ganzen entnommen wurden. Der Nenner eines Bruchs ist die Zahl unter dem Bruchstrich. Der Nenner zeigt an, in wie viele gleiche Teile das Ganze geteilt wird. Ein einfacher Bruch ist ein Bruch, der keinen ganzzahligen Teil hat. Ein einfacher Bruch kann richtig oder falsch sein. Ein echter Bruch ist ein Bruch, dessen Zähler kleiner als der Nenner ist, also ist ein echter Bruch immer kleiner als eins. Beispiel für richtige Brüche: 8/7, 11/19, 16/17. Ein unechter Bruch ist ein Bruch, dessen Zähler größer oder gleich dem Nenner ist, also ist ein unechter Bruch immer größer oder gleich eins. Ein Beispiel für unechte Brüche: 7/6, 8/7, 13/13. gemischter Bruch - eine Zahl, die eine ganze Zahl und einen echten Bruch enthält und die Summe dieser ganzen Zahl und eines echten Bruchs bezeichnet. Jeder gemischte Bruch kann in einen unechten einfachen Bruch umgewandelt werden. Beispiel für gemischte Brüche: 1¼, 2½, 4¾.

III. Notiz:

1. Der Quelldatenblock ist gelb markiert, der Block der Zwischenberechnungen ist blau hervorgehoben, Lösungsblock grün hervorgehoben.
2. Verwenden Sie für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von gewöhnlichen oder gemischten Brüchen den Online-Bruchrechner mit detaillierter Lösung.