Die ersten Historiker unserer Zivilisation – die alten Griechen – erwähnen Ägypten als Geburtsort der Geometrie. Es ist schwierig, ihnen zu widersprechen, wenn man weiß, mit welcher erstaunlichen Genauigkeit die riesigen Gräber der Pharaonen errichtet wurden. Die gegenseitige Anordnung der Ebenen der Pyramiden, ihre Proportionen, die Orientierung an den Himmelsrichtungen - es wäre undenkbar, eine solche Perfektion zu erreichen, ohne die Grundlagen der Geometrie zu kennen.

Schon das Wort „Geometrie“ kann mit „Messung der Erde“ übersetzt werden. Außerdem erscheint das Wort "Erde" nicht als Planet - Teil des Sonnensystems, sondern als Ebene. Die Markierung von Flächen für die Landwirtschaft ist höchstwahrscheinlich die ursprüngliche Grundlage der Wissenschaft geometrischer Formen, ihrer Arten und Eigenschaften.

Ein Dreieck ist die einfachste räumliche Figur der Planimetrie und enthält nur drei Punkte - Eckpunkte (es gibt nicht weniger). Das Fundament der Fundamente ist vielleicht der Grund, warum etwas Mysteriöses und Altes darin zu sein scheint. Das allsehende Auge in einem Dreieck ist eines der frühesten bekannten okkulten Zeichen, und die Geographie seiner Verbreitung und seines Zeitrahmens sind einfach erstaunlich. Von alten ägyptischen, sumerischen, aztekischen und anderen Zivilisationen bis hin zu moderneren Gemeinschaften okkulter Liebhaber, die auf der ganzen Welt verstreut sind.

Was sind dreiecke

Ein gewöhnliches ungleichmäßiges Dreieck ist eine geschlossene geometrische Figur, die aus drei Segmenten unterschiedlicher Länge und drei Winkeln besteht, von denen keines gerade ist. Darüber hinaus gibt es mehrere Sondertypen.

Bei einem spitzen Dreieck sind alle Winkel kleiner als 90 Grad. Mit anderen Worten, alle Winkel eines solchen Dreiecks sind spitz.

Ein rechtwinkliges Dreieck, über das Schulkinder wegen der Fülle an Sätzen schon immer geweint haben, hat einen Winkel mit einem Wert von 90 Grad oder, wie es auch genannt wird, einen rechten.

Ein stumpfes Dreieck zeichnet sich dadurch aus, dass einer seiner Winkel stumpf ist, dh sein Wert beträgt mehr als 90 Grad.

Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleich lange Seiten. In einer solchen Figur sind auch alle Winkel gleich.

Und schließlich sind in einem gleichschenkligen Dreieck mit drei Seiten zwei einander gleich.

Unterscheidungsmerkmale

Die Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks bestimmen auch seinen Hauptunterschied - die Gleichheit der beiden Seiten. Diese gleichen Seiten werden normalerweise als Hüften (oder häufiger als Seiten) bezeichnet, aber die dritte Seite wird als „Basis“ bezeichnet.

In der betrachteten Figur ist a = b.

Das zweite Zeichen eines gleichschenkligen Dreiecks folgt aus dem Sinussatz. Da die Seiten a und b gleich sind, sind auch die Sinus ihrer gegenüberliegenden Winkel gleich:

a/sin γ = b/sin α, woraus gilt: sin γ = sin α.

Aus der Gleichheit der Sinus folgt die Gleichheit der Winkel: γ = α.

Das zweite Zeichen eines gleichschenkligen Dreiecks ist also die Gleichheit zweier Winkel neben der Basis.

Drittes Zeichen. In einem Dreieck werden Elemente wie Höhe, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende unterschieden.

Wenn sich bei der Lösung des Problems herausstellt, dass im betrachteten Dreieck zwei dieser Elemente zusammenfallen: die Höhe mit der Winkelhalbierenden; Winkelhalbierende mit Median; Median mit Höhe - wir können definitiv schlussfolgern, dass das Dreieck gleichschenklig ist.

Geometrische Eigenschaften einer Figur

1. Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks. Eine der charakteristischen Eigenschaften der Figur ist die Gleichheit der Winkel neben der Basis:

<ВАС = <ВСА.

2. Eine weitere oben diskutierte Eigenschaft: Median, Winkelhalbierende und Höhe in einem gleichschenkligen Dreieck sind gleich, wenn sie von der Spitze bis zur Basis gebaut werden.

3. Die Gleichheit der von den Eckpunkten an der Basis gezogenen Winkelhalbierenden:

Wenn AE die Winkelhalbierende des Winkels BAC und CD die Winkelhalbierende des Winkels BCA ist, dann gilt: AE = DC.

4. Die Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks sorgen auch für die Gleichheit der Höhen, die von den Eckpunkten an der Basis gezogen werden.

Wenn wir die Höhen des Dreiecks ABC (mit AB = BC) aus den Eckpunkten A und C bilden, dann sind die resultierenden Segmente CD und AE gleich.

5. Die Mediane, die von den Ecken an der Basis gezogen werden, werden ebenfalls gleich ausfallen.

Wenn also AE und DC Mediane sind, d. h. AD = DB und BE = EC, dann ist AE = DC.

Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks

Die Gleichheit der Seiten und Winkel an ihnen führt einige Merkmale in die Berechnung der Längen der Elemente der betreffenden Figur ein.

Die Höhe in einem gleichschenkligen Dreieck teilt die Figur in 2 symmetrische rechtwinklige Dreiecke, deren Hypotenusen die Seiten sind. Die Höhe wird in diesem Fall nach dem Satz des Pythagoras als Bein bestimmt.

Ein Dreieck kann alle drei Seiten gleich haben, dann wird es gleichseitig genannt. Die Höhe in einem gleichseitigen Dreieck wird auf ähnliche Weise bestimmt, nur für Berechnungen reicht es aus, nur einen Wert zu kennen - die Seitenlänge dieses Dreiecks.

Sie können die Höhe auch auf andere Weise bestimmen, indem Sie beispielsweise die Basis und den angrenzenden Winkel kennen.

Median eines gleichschenkligen Dreiecks

Der betrachtete Dreieckstyp wird aufgrund geometrischer Merkmale ganz einfach durch den minimalen Satz von Anfangsdaten gelöst. Da der Median in einem gleichschenkligen Dreieck sowohl seiner Höhe als auch seiner Winkelhalbierenden entspricht, unterscheidet sich der Algorithmus zu seiner Bestimmung nicht von der Reihenfolge, in der diese Elemente berechnet werden.

Beispielsweise können Sie die Länge des Medians durch die bekannte laterale Seite und den Wert des Winkels am Scheitelpunkt bestimmen.

So bestimmen Sie den Umfang

Da die betrachtete planimetrische Figur zwei immer gleiche Seiten hat, reicht es zur Bestimmung des Umfangs aus, die Länge der Basis und die Länge einer der Seiten zu kennen.

Betrachten Sie ein Beispiel, wenn Sie den Umfang eines Dreiecks bei bekannter Basis und Höhe bestimmen müssen.

Der Umfang ist gleich der Summe aus Grundfläche und doppelter Seitenlänge. Die laterale Seite wiederum wird nach dem Satz des Pythagoras als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks bestimmt. Seine Länge ist gleich der Quadratwurzel der Summe aus dem Quadrat der Höhe und dem Quadrat der halben Grundfläche.

Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks

Verursacht in der Regel keine Schwierigkeiten und die Berechnung der Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks. Die universelle Regel zur Bestimmung der Fläche eines Dreiecks als halbes Produkt aus Grundfläche und Höhe gilt natürlich auch in unserem Fall. Die Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks erleichtern die Aufgabe jedoch wieder.

Nehmen wir an, wir kennen die Höhe und den Winkel neben der Basis. Sie müssen den Bereich der Figur bestimmen. Sie können es so machen.

Da die Summe der Winkel jedes Dreiecks 180° beträgt, ist es nicht schwierig, die Größe des Winkels zu bestimmen. Ferner wird unter Verwendung des gemäß dem Sinussatz ermittelten Anteils die Länge der Basis des Dreiecks bestimmt. Alles, Basis und Höhe - genügend Daten um die Fläche zu bestimmen - sind vorhanden.

Andere Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks

Die Lage des Mittelpunktes eines um ein gleichschenkliges Dreieck umschriebenen Kreises hängt vom Winkel der Spitze ab. Wenn also ein gleichschenkliges Dreieck spitzwinklig ist, liegt der Mittelpunkt des Kreises innerhalb der Figur.

Der Mittelpunkt eines um ein stumpfes gleichschenkliges Dreieck umschriebenen Kreises liegt außerhalb davon. Und schließlich, wenn der Winkel am Scheitelpunkt 90° beträgt, liegt der Mittelpunkt genau in der Mitte der Grundfläche, und der Durchmesser des Kreises geht durch die Grundfläche selbst hindurch.

Um den Radius eines um ein gleichschenkliges Dreieck umschriebenen Kreises zu bestimmen, genügt es, die Seitenlänge durch den doppelten Kosinus des halben Winkels an der Spitze zu teilen.

Ein Dreieck mit zwei gleichen Seiten heißt gleichschenkliges Dreieck. Diese Seiten werden als Seiten bezeichnet, und die dritte Seite wird als Basis bezeichnet. In diesem Artikel informieren wir Sie über die Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks.

Satz 1

Die Winkel nahe der Basis eines gleichschenkligen Dreiecks sind einander gleich

Beweis des Satzes.

Angenommen, wir haben ein gleichschenkliges Dreieck ABC, dessen Basis AB ist. Schauen wir uns das Dreieck BAC an. Diese Dreiecke sind nach dem ersten Zeichen einander gleich. So ist es, denn BC = AC, AC = BC, Winkel ACB = Winkel ACB. Daraus folgt, dass Winkel BAC = Winkel ABC, weil dies die entsprechenden Winkel unserer Dreiecke sind, die einander gleich sind. Hier ist die Eigenschaft der Winkel eines gleichschenkligen Dreiecks.

Satz 2

Die Seitenhalbierende in einem gleichschenkligen Dreieck, das zu seiner Basis gezogen wird, ist auch die Höhe und Winkelhalbierende

Beweis des Satzes.

Nehmen wir an, wir haben ein gleichschenkliges Dreieck ABC, dessen Basis AB ist und CD der Median ist, den wir zu seiner Basis gezogen haben. In den Dreiecken ACD und BCD ist Winkel CAD = Winkel CBD, wie die entsprechenden Winkel an der Basis eines gleichschenkligen Dreiecks (Theorem 1). Und Seite AC = Seite BC (per Definition eines gleichschenkligen Dreiecks). Seite AD \u003d Seite BD, Schließlich teilt Punkt D das Segment AB in gleiche Teile. Daraus folgt, dass Dreieck ACD = Dreieck BCD.

Aus der Gleichheit dieser Dreiecke haben wir die Gleichheit der entsprechenden Winkel. Das heißt, Winkel ACD = Winkel BCD und Winkel ADC = Winkel BDC. Gleichung 1 impliziert, dass CD eine Winkelhalbierende ist. Und Winkel ADC und Winkel BDC sind benachbarte Winkel, und aus Gleichung 2 folgt, dass sie beide rechte Winkel sind. Es stellt sich heraus, dass CD die Höhe des Dreiecks ist. Dies ist die Eigenschaft der Seitenhalbierenden eines gleichschenkligen Dreiecks.

Und jetzt ein wenig über die Zeichen eines gleichschenkligen Dreiecks.

Satz 3

Wenn zwei Winkel in einem Dreieck deckungsgleich sind, dann ist das Dreieck gleichschenklig.

Beweis des Satzes.

Nehmen wir an, wir haben ein Dreieck ABC, in dem Winkel CAB = Winkel CBA ist. Dreieck ABC = Dreieck BAC nach dem zweiten Gleichheitskriterium zwischen Dreiecken. So ist es, denn AB = BA; Winkel CBA = Winkel CAB, Winkel CAB = Winkel CBA. Aus einer solchen Gleichheit von Dreiecken haben wir die Gleichheit der entsprechenden Seiten des Dreiecks - AC = BC. Dann stellt sich heraus, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist.

Satz 4

Wenn in irgendeinem Dreieck seine Seitenhalbierende auch seine Höhe ist, dann ist ein solches Dreieck gleichschenklig

Beweis des Satzes.

In das Dreieck ABC zeichnen wir den Median CD ein. Es wird auch Höhe sein. Rechtwinkliges Dreieck ACD = rechtwinkliges Dreieck BCD, da Bein CD ihnen gemeinsam ist und Bein AD = Bein BD. Daraus folgt, dass ihre Hypotenusen einander gleich sind, wie die entsprechenden Teile gleicher Dreiecke. Dies bedeutet, dass AB = BC.

Satz 5

Wenn drei Seiten eines Dreiecks gleich drei Seiten eines anderen Dreiecks sind, dann sind diese Dreiecke kongruent

Beweis des Satzes.

Angenommen, wir haben ein Dreieck ABC und ein Dreieck A1B1C1, sodass die Seiten AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1 sind. Betrachten Sie den Beweis dieses Satzes durch Widerspruch.

Nehmen Sie an, dass diese Dreiecke einander nicht gleich sind. Daraus folgt, dass der Winkel BAC ungleich dem Winkel B1A1C1, der Winkel ABC ungleich dem Winkel A1B1C1, der Winkel ACB ungleich dem Winkel A1C1B1 zur gleichen Zeit ist. Andernfalls wären diese Dreiecke nach obigem Kriterium gleich.

Angenommen, Dreieck A1B1C2 = Dreieck ABC. Die Spitze C2 eines Dreiecks liegt mit der Spitze C1 relativ zur Linie A1B1 in derselben Halbebene. Wir haben angenommen, dass die Eckpunkte C2 und C1 nicht zusammenfallen. Angenommen, Punkt D sei der Mittelpunkt des Segments C1C2. Wir haben also die gleichschenkligen Dreiecke B1C1C2 und A1C1C2, die eine gemeinsame Basis C1C2 haben. Es stellt sich heraus, dass ihre Mediane B1D und A1D auch ihre Körpergröße sind. Das bedeutet, dass die Linie B1D und die Linie A1D senkrecht zur Linie C1C2 verlaufen.

B1D und A1D haben unterschiedliche Punkte B1 und A1 und können daher nicht zusammenfallen. Aber schließlich können wir durch den Punkt D der Geraden C1C2 nur eine Gerade senkrecht dazu ziehen. Wir haben einen Widerspruch.

Jetzt weißt du, was die Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks sind!

Bei dem beide Seiten gleich lang sind. Gleiche Seiten werden seitlich genannt, und die letzte Seite, die ihnen nicht gleich ist, ist die Basis. Per Definition ist ein regelmäßiges Dreieck auch gleichschenklig, aber das Gegenteil gilt nicht.

Terminologie

Wenn ein Dreieck zwei gleiche Seiten hat, dann nennt man diese Seiten Seiten und die dritte Seite Basis. Der von den Seiten gebildete Winkel wird genannt Scheitelwinkel, und die Winkel, von denen eine Seite die Basis ist, werden genannt Ecken an der Basis.

Eigenschaften

• Die Winkel, die den gleichen Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks gegenüberliegen, sind einander gleich. Aus diesen Winkeln gezogene Winkelhalbierende, Mittelwerte und Höhen sind ebenfalls gleich.
• Winkelhalbierende, Mittel-, Höhen- und Mittelsenkrechte zur Basis gezogen fallen zusammen. Die Mittelpunkte der eingeschriebenen und umschriebenen Kreise liegen auf dieser Linie.

Lassen a ist die Länge zweier gleicher Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks, b- die Länge der dritten Seite, h- Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks

• $a\; =\; \backslash frac\; b\; (2\; \backslash cos\; \backslash alpha)$(Korollar des Kosinussatzes);
• $b\; =\; a\; \backslash sqrt\; (2\; (1\; -\; \backslash cos\backslash beta))$(Korollar des Kosinussatzes);
• $b\; =\; 2a\backslash sin\backslash frac\backslash beta\; 2$;
• $b\; =\; 2a\backslash cos\backslash alpha$(Projektionssatz)

Der Radius des Inkreises kann auf sechs Arten ausgedrückt werden, je nachdem, welche zwei Parameter des gleichschenkligen Dreiecks bekannt sind:

• $r=\backslash frac\; b2\; \backslash sqrt(\backslash frac(2a-b)(2a+b))$
• $r=\backslash frac(bh)(b+\backslash sqrt(4h^2+b^2))$
• $r=\backslash frac(h)(1+\backslash frac(a)(\backslash sqrt(a^2-h^2)))$
• $r=\backslash frac\; b2\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash left\; (\backslash frac(\backslash alpha)(2)\; \backslash right)$
• $r=a\backslash cdot\; \backslash cos(\backslash alpha)\backslash cdot\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash left\; (\backslash frac(\backslash alpha)(2)\; \backslash right)$

Ecken kann auf folgende Weise ausgedrückt werden:

• $\backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (\backslash pi\; -\; \backslash beta)\; 2;$
• $\backslash beta\; =\; \backslash pi\; -\; 2\backslash alpha;$
• $\backslash alpha\; =\; \backslash arcsin\; \backslash frac\; a\; (2R),\; \backslash beta\; =\; \backslash arcsin\; \backslash frac\; b\; (2R)$(Sinussatz).
• Winkel gibt es auch ohne $(\backslash Pi)$ und $R$. Das Dreieck wird durch den Median und halbiert empfangen zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke, die Winkel werden berechnet:

$y\; =\; \backslash cos\backslash alpha\; =\; \backslash frac(b)(c),\; \backslash arccos\; y\; =\; x$

Umfang Ein gleichschenkliges Dreieck wird auf folgende Weise gefunden:

• $P\; =\; 2a\; +\; b$(a-Priorat);
• $P\; =\; 2R\; (2\; \backslash sin\; \backslash alpha\; +\; \backslash sin\; \backslash beta)$(Korollar des Sinussatzes).

Quadrat Dreieck wird auf folgende Weise gefunden:

$S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2bh;$

$S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; a^2\; \backslash sin\; \backslash beta\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; ab\; \backslash sin\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (b^2)(4\; \backslash tan\; \backslash frac\; \backslash beta\; 2);$ $S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash sqrt\; (\backslash left(a\; +\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash right)\; \backslash left(a\; -\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash right));$ $S\; =\; \backslash frac\; 2\; 1\; a\; \backslash sqrt\; \backslash beta\; =\; \backslash frac\; 2\; 1\; ab\; \backslash cos\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (b^1)(2\; \backslash sin\; \backslash frac\; \backslash beta\; 1);$

Siehe auch

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Anmerkungen

Ein Auszug zur Charakterisierung des gleichschenkligen Dreiecks

Obwohl sie Angst vor ihr hatten, betrachteten sie Marya Dmitrievna in Petersburg als Cracker, und deshalb bemerkten sie aus den von ihr gesprochenen Worten nur ein unhöfliches Wort und wiederholten es flüsternd miteinander, in der Annahme, dass dieses Wort alles enthielt das Salz dessen, was gesagt wurde.
Fürst Wassili, der in letzter Zeit besonders oft vergessen hatte, was er gesagt hatte, und dasselbe hundertmal wiederholte, sagte jedes Mal, wenn er zufällig seine Tochter sah.
- Helene, j "ai un mot a vous dire", sagte er zu ihr, nahm sie beiseite und zog ihre Hand herunter. - J "ai eu vent de Certain projets relatifs a ... Vous savez. Eh bien, ma chere enfant, vous savez que mon c?ur de pere se rejouit do vous savoir… Vous avez tant souffert… Mais, chere enfant… ne consultez que votre c?ur. C "est tout ce que je vous dis. [Helen, ich muss dir etwas sagen. Ich habe von einigen Arten von ... gehört, weißt du. Nun, mein liebes Kind, du weißt, dass das Herz deines Vaters sich freut, dass du ... Du hast so viel ertragen... Aber, liebes Kind... Tu, was dein Herz dir sagt, das ist mein ganzer Rat.] Und immer die gleiche Erregung verbergend, drückte er seine Wange an die Wange seiner Tochter und ging davon.
Bilibin, der seinen Ruf als klügster Mensch nicht verloren hat und Helens uneigennütziger Freund war, einer jener Freunde, die brillante Frauen immer haben, Freunde von Männern, die niemals in die Rolle eines Liebhabers schlüpfen können, Bilibin einmal in einem Petit Comite [kleine intime Kreis] sagte zu seiner Freundin Helen Blick auf das Ganze.
- Ecoutez, Bilibin (Helen nannte Freunde wie Bilibin immer beim Nachnamen), - und sie berührte mit seiner weiß beringten Hand den Ärmel seines Fracks. - Dites moi comme vous diriez a une s?ur, que dois je faire? Lequel des deux? [Hör zu, Bilibin: Sag mir, wie würdest du deiner Schwester sagen, was soll ich tun? Welche von den beiden?]
Bilibin zog die Haut über seinen Augenbrauen zusammen und dachte mit einem Lächeln auf den Lippen darüber nach.
„Vous ne me prenez pas en by Überraschung, vous savez“, sagte er. - Comme veritable ami j "ai pense et reense a votre affaire. Voyez vous. Si vous epousez le prince (es war ein junger Mann)," er beugte seinen Finger, "vous perdez pour toujours la chance d" epouser l "autre, et puis vous mecontentez la Cour. (Comme vous savez, il y a une espece de parente.) Mais si vous epousez le vieux comte, vous faites le bonheur de ses derniers jours, et puis comme veuve du grand… le prince ne fait plus de mesalliance en vous epousant, [Du überraschst mich nicht, weißt du. Als wahrer Freund habe ich lange über deinen Fall nachgedacht. Weißt du, wenn du einen Prinzen heiratest, dann verlierst du das für immer Gelegenheit, die Frau eines anderen zu sein, und außerdem wird der Hof unzufrieden sein (Sie wissen, es handelt sich hier schließlich um Verwandtschaft.) Und wenn Sie den alten Grafen heiraten, dann werden Sie das Glück seiner letzten Tage nachholen, und dann ... wird es für den Prinzen keine Demütigung mehr sein, die Witwe eines Adligen zu heiraten.] - und Bilibin löste seine Haut.
– Voilà, ein wahres Ami! sagte Helen strahlend und berührte noch einmal Bilibips Ärmel mit ihrer Hand. - Mais c "est que j" aime l "un et l" autre, je ne voudrais pas leur faire de chagrin. Je donnerais ma vie pour leur bonheur a tous deux, [Hier ist ein wahrer Freund! Aber ich liebe beides und möchte niemanden verärgern. Für das Glück beider wäre ich bereit, mein Leben zu opfern.] - sagte sie.
Bilibin zuckte mit den Schultern und drückte aus, dass selbst er solch einem Kummer nicht länger helfen konnte.
„Une maitresse femme! Voila ce qui s „appelle poser carrement la question. Elle voudrait epouser tous les trois a la fois“, [„Gut gemacht, Frau! So heißt es, die Frage fest zu stellen gleichzeitig."] dachte Bilibin.

Gleichschenkligen Dreiecks ist ein Dreieck, in dem zwei Seiten gleich lang sind. Gleiche Seiten werden seitlich genannt und die letzte - die Basis. Per Definition ist ein regelmäßiges Dreieck auch gleichschenklig, aber das Gegenteil gilt nicht.

Eigenschaften

• Die Winkel, die den gleichen Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks gegenüberliegen, sind einander gleich. Aus diesen Winkeln gezogene Winkelhalbierende, Mittelwerte und Höhen sind ebenfalls gleich.
• Winkelhalbierende, Mittel-, Höhen- und Mittelsenkrechte zur Basis gezogen fallen zusammen. Die Mittelpunkte der eingeschriebenen und umschriebenen Kreise liegen auf dieser Linie.
• Winkel gegenüber gleichen Seiten sind immer spitz (folgt aus ihrer Gleichheit).

Lassen a ist die Länge zweier gleicher Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks, b- die Länge der dritten Seite, α und β - entsprechende Winkel, R- Radius des umschriebenen Kreises, r- der Radius der eingeschriebenen .

Die Seiten sind wie folgt zu finden:

Winkel können auf folgende Weise ausgedrückt werden:

Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks kann auf eine der folgenden Arten berechnet werden:

Die Fläche eines Dreiecks kann auf eine der folgenden Arten berechnet werden:

(Reiherformel).

Zeichen

• Die beiden Winkel eines Dreiecks sind gleich.
• Die Höhe entspricht dem Median.
• Die Höhe fällt mit der Winkelhalbierenden zusammen.
• Die Winkelhalbierende ist gleich dem Median.
• Die beiden Höhen sind gleich.
• Die beiden Mediane sind gleich.
• Zwei Winkelhalbierende sind gleich (Theorem von Steiner-Lemus).

siehe auch

Wikimedia-Stiftung. 2010 .

Sehen Sie in anderen Wörterbüchern, was das "gleichschenklige Dreieck" ist:

ISOSCHELES DREIECK, EIN DREIECK mit zwei gleich langen Seiten; die Winkel an diesen Seiten sind auch gleich ... Wissenschaftliches und technisches Lexikon

Und (einfaches) Dreieck, Dreieck, Ehemann. 1. Eine geometrische Figur, die von drei sich schneidenden geraden Linien begrenzt wird, die drei Innenwinkel bilden (mat.). Stumpfes Dreieck. Spitzwinkliges Dreieck. Rechtwinkliges Dreieck.… … Erklärendes Wörterbuch von Ushakov

ISOSHELES, oy, oy: ein gleichschenkliges Dreieck mit zwei gleichen Seiten. | Substantiv gleichschenklig, und, Ehefrauen. Erklärendes Wörterbuch von Ozhegov. S.I. Ozhegov, N. Yu. Schwedova. 1949 1992 ... Erklärendes Wörterbuch von Ozhegov

Dreieck- ▲ ein Polygon mit einem dreieckigen Dreieck ist das einfachste Polygon; ist gegeben durch 3 Punkte, die nicht auf derselben Geraden liegen. dreieckig. spitzer Winkel. spitzwinklig. rechtwinkliges Dreieck: Bein. Hypotenuse. gleichschenkligen Dreiecks. ▼… … Ideografisches Wörterbuch der russischen Sprache

Dreieck- DREIECK1, a, m davon oder mit def. Ein Objekt, das die Form einer geometrischen Figur hat, die von drei sich schneidenden geraden Linien begrenzt wird, die drei Innenwinkel bilden. Sie ging die Briefe ihres Mannes durch, vergilbte Frontdreiecke. DREIECK2, a, m ... ... Erklärendes Wörterbuch der russischen Substantive

Dieser Begriff hat andere Bedeutungen, siehe Dreieck (Bedeutungen). Ein Dreieck (im euklidischen Raum) ist eine geometrische Figur, die aus drei Liniensegmenten besteht, die drei nichtlineare Punkte verbinden. Drei Punkte, ... ... Wikipedia

Dreieck (Vieleck)- Dreiecke: 1 spitz, rechteckig und stumpf; 2 regelmäßig (gleichseitig) und gleichschenklig; 3 Winkelhalbierende; 4 Mediane und Schwerpunkt; 5 Höhen; 6 Orthozentrum; 7 Mittellinie. DREIECK, Vieleck mit 3 Seiten. Manchmal unter... Illustriertes enzyklopädisches Wörterbuch

Enzyklopädisches Wörterbuch

Dreieck- a; m. 1) a) Eine geometrische Figur, die von drei sich schneidenden geraden Linien begrenzt wird, die drei Innenwinkel bilden. Rechteckiges, gleichschenkliges Dreieck/Flachs. Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks. b) bzw. was oder mit def. Eine Figur oder ein Gegenstand einer solchen Form. ... ... Wörterbuch vieler Ausdrücke

SONDERN; m. 1. Eine geometrische Figur, die von drei sich schneidenden geraden Linien begrenzt wird, die drei Innenwinkel bilden. Rechteckig, gleichschenklig m. Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks. // was oder mit def. Eine Figur oder ein Objekt mit einer solchen Form. T. Dach. T.… … Enzyklopädisches Wörterbuch

Überprüfung der Hausaufgaben

№ 111.

Gegeben: CD = BD , 1 = 2

Beweisen: A B C - gleichschenklig

№ 107.

Seite EIN C ist 2 mal kleiner als AB

P = 50 cm,

P = 50 cm

x + 2x + 2x = 50

x = 10

2 X

2 X

AC = 10 cm,

AB = BC = 20 cm

Welche der Dreiecke sind gleichschenklig? Benennen Sie bei gleichschenkligen Dreiecken die Basis und die Seiten.

Gegeben: AD ist die Winkelhalbierende von ∆ BAC , BAC = 74 0 . Fund: BA D. (Abb.1)

Gegeben: KL - Höhe ∆ KMN. Suche: KLN . (Abb.2)

Gegeben: QS - Median ∆ PQR , PS = 5,3 cm. Suche: PR. (Abb. 3)

• Gegeben: ∆ ABC gleichschenklig mit Basis AC, VC Winkelhalbierende, AC = 46cm. Suche: AK. (Abb.4)
• Gegeben: ∆ ABC gleichschenklig mit Basis AC, VC Höhe, ABC=46 0 . Suchen: AVC. (Abb.5)
• Gegeben: ∆ C BD gleichschenklig mit Basis B C, DA Median, BDC=120 0 . Suche: adb. (Abb.6)

7. Klasse

Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks

Drei Wege führen zum Wissen:

Der Weg der Besinnung ist der edelste Weg,

Der Weg der Nachahmung ist der einfachste Weg,

Und der Weg der Erfahrung ist der bitterste Weg.

Konfuzius.

In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel an der Basis gleich.

Gegeben: ABC gleichschenklig

Beweisen:

Nachweisen:

1. Zeichne die Winkelhalbierende BD des Winkels B.

2. Betrachten Sie ∆AB D und ∆CBD:

AB = BC (nach Bedingung),

In D - gemeinsame Seite,

∠ EIN BD = ∠ C BD

∆ АВD = ∆CBD (nach 1 Gleichheitszeichen von Dreiecken)

3. In gleichen Dreiecken sind die entsprechenden Winkel ∠ A= ∠ C.

In einem gleichschenkligen Dreieck ist die zur Basis gezogene Winkelhalbierende der Median und die Höhe.

Gegeben: ABC gleichschenklig,

SONDERN D- Winkelhalbierende .

Beweisen: SONDERN D - Höhe,

SONDERN D - Median.

Nachweisen:

1) Überlege und:

∆ BAD = ∆CAD (nach 1 Gleichheitskriterium von Dreiecken).

2) In gleichen Dreiecken sind die entsprechenden Seiten und Winkel gleich

1 = 2 = 90° (benachbarte Ecken).

Daher ist AD der Median und die Höhe ∆ ABC.

Probleme lösen.

Savrasova S.M., Yastrebinetsky G.A. "Planimetrieübungen an fertigen Zeichnungen"

110

70

70

Probleme lösen.

Gegeben: AB \u003d BC, 1 \u003d 130 0.

L. S. Atanasyan. "Geometrie 7-9" Nr. 112.

Probleme lösen.

Suche: AB D .

Dreieck

ABC - gleichschenklig

D ist der Median

Also ist B D die Winkelhalbierende

40 0

40 0

CM. Savrasova, G.A. Yastrebinetsky "Übungen zu fertigen Zeichnungen"

Hausaufgaben:

• 19 (S. 35 - 36), Nr. 109, 112, 118.