Lesen des Graphen der Ableitung einer Funktion. Diagramme lesen

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Unterrichtsziele:

Lehrreich: Zur Festigung der Kenntnisse der Studierenden, die in Vorbereitung auf die Prüfung mit Funktionsgraphen arbeiten.

Entwicklung: Entwicklung des kognitiven Interesses der Schüler an akademischen Disziplinen, der Fähigkeit, ihr Wissen in der Praxis anzuwenden.

Pädagogisch: Aufmerksamkeit und Genauigkeit kultivieren, den Horizont der Schüler erweitern.

Ausstattung und Materialien: Computer, Leinwand, Beamer, Präsentation „Grafiken lesen. BENUTZEN"

Während des Unterrichts

1. Frontale Erhebung.

1) <Презентация. Слайды 3,4>.

Was nennt man den Graphen einer Funktion, den Definitionsbereich und den Wertebereich einer Funktion? Definitionsbereich und Funktionsumfang bestimmen.\

2) <Презентация. Слайды 5,6>.

Welche Funktion heißt gerade, ungerade, Eigenschaften der Graphen dieser Funktionen?

2. Lösung der Übungen

1) <Презентация. Слайд 7>.

Periodische Funktion. Definition.

Lösen Sie die Aufgabe: Gegeben sei ein Graph einer periodischen Funktion, x gehört zum Intervall [-2;1]. Berechne f(-4)-f(-6)*f(12), T=3.

f(-4)=f(-4+T)=f(-4+3)= f(-1)=-1

f(-6)=f(-6+T)= f(-6+3*2)=f(0)=1

f(12)=f(12-4T)= =f(12-3*4)=f(0)=1

f(-4)-f(-6)*f(12)=-1-1*1=-2

2) <Презентация. Слайды 8,9,10>.

Ungleichungen mit Funktionsgraphen lösen.

a) Lösen Sie die Ungleichung f(x) 0, wenn die Abbildung den Graphen der Funktion y=f(x) zeigt, die auf dem Intervall [-7;6] gegeben ist. Antwortmöglichkeiten: 1) (-4;-3) (-1;1) (3;6], 2) [-7;-4) (-3;-1) (1;3), 3) , 4 ) (-6;0) (2;4) +

b) Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x), gegeben im Intervall [-4;7] Geben Sie alle Werte von X an, für die die Ungleichung f(x) -1 erfüllt ist.

[-0,5;3], 2) [-0,5;3] U , 3) [-4; 0,5] U +, 4) [-4;0,5]

c) Die Abbildung zeigt die Graphen der Funktionen y=f(x) und y=g(x), gegeben auf dem Intervall [-3;6]. Geben Sie alle Werte von X an, für die die Ungleichung f(x) g(x) erfüllt ist

[-1;2], 2) [-2;3], 3) [-3;-2] U +, 4) [-3;-1] U

3) <Презентация. Слайд 11>.

Zunehmende und abnehmende Funktionen

Eine der Abbildungen zeigt einen Graphen einer Funktion, die auf dem Segment zunimmt, die andere zeigt eine Funktion, die auf dem Segment [–2; 0] abnimmt. Liste diese Bilder auf.

4) <Презентация. Слайды 12,13,14>.

Exponential- und Logarithmusfunktionen

a) Was ist die Bedingung für die Zunahme und Abnahme der Exponential- und Logarithmusfunktionen? Welchen Punkt durchlaufen die Graphen der Exponential- und Logarithmusfunktionen, welche Eigenschaft haben die Graphen dieser Funktionen?

b) Eine der Abbildungen zeigt einen Graphen der Funktion y \u003d 2 - x. Geben Sie diese Abbildung an .

Der Graph der Exponentialfunktion geht durch den Punkt (0, 1) Da die Basis des Grades kleiner als 1 ist, muss diese Funktion fallend sein. (Nr. 3)

c) Eine der Abbildungen zeigt einen Graphen der Funktion y=log 5 (x-4). Geben Sie die Nummer dieses Diagramms an.

Graph der logarithmischen Funktion y=log 5 x geht durch den Punkt (1;0) , dann wenn x -4 = 1, dann y=0, x=1+4, x=5. (5;0) – Schnittpunkt des Diagramms mit der OX-Achse. Wenn x -4 = 5 , dann y=1, x=5+4, x=9,

5) <Презентация. Слайды 15, 16, 17>.

Ermitteln der Anzahl der Tangenten an den Graphen einer Funktion aus dem Graphen ihrer Ableitung

a) Die Funktion y=f(x) ist auf dem Intervall (-6;7) definiert. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung dieser Funktion. Alle Tangenten parallel zur Geraden y=5-2x (oder mit ihr zusammenfallend) werden in den Graphen der Funktion eingezeichnet. Geben Sie die Anzahl der Punkte im Diagramm der Funktion an, an denen diese Tangenten gezeichnet werden.

K = tga = f'(xo). Bedingt k \u003d - 2. Daher f '(x o) \u003d -2. Wir zeichnen eine gerade Linie y \u003d -2. Sie schneidet den Graphen an zwei Punkten, was bedeutet, dass die Tangenten an die Funktion an zwei Punkten gezogen werden.

b) Die Funktion y=f(x) ist auf dem Intervall [-7;3] definiert. Die Abbildung zeigt einen Graphen seiner Ableitung. Finden Sie die Anzahl der Punkte im Graphen der Funktion y=f(x), an denen die Tangenten an den Graphen parallel zur x-Achse sind oder mit ihr zusammenfallen.

Der Winkelkoeffizient von Geraden, die parallel zur x-Achse verlaufen oder mit ihr zusammenfallen, ist gleich Null. Daher ist K=tg a = f `(x o)=0. Die OX-Achse schneidet diesen Graphen an vier Punkten.

c) Funktion y=f(x) definiert auf dem Intervall (-6;6). Die Abbildung zeigt einen Graphen seiner Ableitung. Finden Sie die Anzahl der Punkte auf dem Graphen der Funktion y=f(x), in denen die Tangenten an den Graphen um 135° zur positiven Richtung der x-Achse geneigt sind.

6) <Презентация. Слайды 18, 19>.

Ermitteln der Steigung der Tangente aus dem Graphen der Ableitung einer Funktion

a) Die Funktion y=f(x) ist auf dem Intervall [-2;6] definiert. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung dieser Funktion. Geben Sie die Abszisse des Punktes an, an dem die Tangente an den Graphen der Funktion y=f(x) die kleinste Steigung hat.

k=tga=f'(xo). Die Ableitung der Funktion nimmt am Punkt x \u003d 2 den kleinsten Wert y \u003d -3 an. Daher hat die Tangente an den Graphen im Punkt x=2 die kleinste Steigung

b) Die Funktion y=f(x) ist auf dem Intervall [-7;3] definiert. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung dieser Funktion. Geben Sie die Abszisse des Punktes an, an dem die Tangente an den Graphen der Funktion y=f(x) am größten ist Winkelkoeffizient.

7) <Презентация. Слайд 20>.

Ermitteln des Werts der Ableitung aus dem Graphen einer Funktion

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y \u003d f (x) und eine Tangente an einem Punkt mit der Abszisse x o. Finde den Wert der Ableitung f `(x) am Punkt x o

f'(xo)=tga. Da in Abbildung a ein stumpfer Winkel ist, ist tg a< 0.Из прямоугольного треугольника tg (180 0 -a)=3:2. tg (180 0 -a)= 1,5. Следовательно, tg a= -1,5.Отсюда f `(x o)=-1,5

8) <Презентация. Слайд 21>.

Ermitteln des Minimums (Maximums) einer Funktion aus dem Graphen ihrer Ableitung

Bei x=4 ändert die Ableitung das Vorzeichen von Minus nach Plus. Also ist x=4 der Minimalpunkt der Funktion y=f(x)

Am Punkt x \u003d 1 ändert die Ableitung das Vorzeichen mit Plus und Minus . Also ist x=1 ein Punkt maximal Funktionen y=f(x))

3. Selbständiges Arbeiten

<Презентация. Слайд 22>.

1 Option

1) Finden Sie den Umfang der Funktion.

2) Lösen Sie die Ungleichung f(x) 0

3) Bestimmen Sie die Intervalle der abnehmenden Funktion.

4) Finde die Minimalpunkte der Funktion.

5) Geben Sie die Abszisse des Punktes an, an dem die Tangente an den Graphen der Funktion y=f(x) die größte Steigung hat.

Option 2

1) Finden Sie den Bereich der Funktion.

2) Lösen Sie die Ungleichung f(x) 0

3) Bestimmen Sie die Intervalle der ansteigenden Funktion.

Graph der Ableitung der Funktion y=f(x)

4) Finden Sie die maximalen Punkte der Funktion.

5) Geben Sie die Abszisse des Punktes an, an dem die Tangente an den Graphen der Funktion y=f(x) die kleinste Steigung hat.

4. Zusammenfassung der Lektion

Allgemeine Unterrichtsstunde zum Thema: „Verwenden der Ableitung und ihres Graphen zum Lesen der Eigenschaften von Funktionen“ Unterrichtsziel: Entwicklung spezifischer Fähigkeiten und Fertigkeiten für die Arbeit mit dem Graphen der Ableitung einer Funktion für deren Verwendung beim Bestehen der Prüfung; Um die Fähigkeit zu bilden, die Eigenschaften einer Funktion gemäß dem Graphen ihrer Ableitung zu lesen Bereiten Sie sich auf den Test vor

Aktualisierung des Referenzwissens 3. Beziehung zwischen den Werten der Ableitung, der Steigung der Tangente, dem Winkel zwischen der Tangente und der positiven Richtung der Abszisse der OX-Achse. Wenn die Ableitung positiv ist, dann ist die Steigung -positiv, dann ist der Neigungswinkel der Tangente an die OX-Achse spitz. Wenn die Ableitung negativ ist, dann ist die Steigung -negativ, dann ist der Neigungswinkel der Tangente an die OX-Achse stumpf. Wenn die Ableitung Null ist, dann ist die Steigung Null, dann ist die Tangente parallel zur OX-Achse

0 an jedem Punkt des Intervalls (a, b), dann nimmt die Funktion f (x) auf diesem Intervall zu. Wenn f (x) an jedem Punkt des Intervalls (a, b) 0 ist, dann steigt die Funktion f (x) auf diesem Intervall an. Wenn f(x) 7 Aktualisierung des Grundwissens Ausreichende Zeichen der Monotonie der Funktion. Wenn f (x) > 0 an jedem Punkt des Intervalls (a, b), dann wächst die Funktion f (x) auf diesem Intervall. Wenn f (x) an jedem Punkt des Intervalls (a, b) 0 ist, dann steigt die Funktion f (x) auf diesem Intervall an. Wenn f (x) an jedem Punkt des Intervalls (a, b) 0 ist, dann steigt die Funktion f (x) auf diesem Intervall an. Wenn f (x) an jedem Punkt des Intervalls (a, b) 0 ist, dann steigt die Funktion f (x) auf diesem Intervall an. Wenn f (x) an jedem Punkt des Intervalls (a, b) 0 ist, dann steigt die Funktion f (x) auf diesem Intervall an. Wenn f (x) title="(!LANG: Aktualisierung des Referenzwissens) Hinreichende Zeichen der Monotonie der Funktion. Wenn f (x) > 0 an jedem Punkt des Intervalls (a, b), dann ist die Funktion f (x) in diesem Intervall zunimmt. Wenn f(x)

Aktualisierung des Referenzwissens Innere Punkte des Definitionsbereichs einer Funktion, an denen die Ableitung gleich Null ist oder nicht existiert, werden kritische Punkte dieser Funktion genannt. Nur an diesen Stellen kann die Funktion ein Extremum (Minimum oder Maximum, Abb. 5a, b) haben. An den Punkten x 1, x 2 (Fig. 5a) und x 3 (Fig. 5b) ist die Ableitung 0; an den Punkten x 1, x 2 (Abb. 5b) existiert die Ableitung nicht. Aber sie sind alle Extrempunkte. 5. Anwendung der Ableitung zur Bestimmung kritischer Punkte, Extrempunkte

Aktualisierung des Grundwissens Eine notwendige Bedingung für ein Extremum. Wenn x 0 der Extremumspunkt der Funktion f(x) ist und an diesem Punkt die Ableitung f existiert, dann ist f(x 0)=0. Dieser Satz ist eine notwendige Bedingung für ein Extremum. Wenn die Ableitung einer Funktion an einer Stelle gleich 0 ist, bedeutet dies nicht, dass die Funktion an dieser Stelle ein Extremum hat. Zum Beispiel ist die Ableitung der Funktion f (x) = x 3 bei x = 0 gleich 0, aber diese Funktion hat an dieser Stelle kein Extremum, die Funktion y = | hingegen x | hat ein Minimum bei x = 0, aber die Ableitung existiert dort nicht. Hinreichende Bedingungen für ein Extremum. Ändert die Ableitung beim Durchgang durch den Punkt x 0 ihr Vorzeichen von plus nach minus, so ist x 0 der Maximumpunkt. Ändert die Ableitung beim Durchgang durch den Punkt x 0 ihr Vorzeichen von Minus nach Plus, so ist x 0 der Minimalpunkt. 6. Notwendige und hinreichende Bedingungen für ein Extremum

Aktualisierung des Referenzwissens Die kleinsten und größten Werte der kontinuierlichen Funktion f(x) können sowohl an den internen Punkten des Segments [a; c] und an seinen Enden. Werden diese Werte an den internen Punkten des Segments erreicht, dann handelt es sich bei diesen Punkten um Extrempunkte. Daher ist es notwendig, die Werte der Funktion an den Extrempunkten aus dem Segment [a; c], an den Enden des Segments und vergleichen Sie sie. 7. Verwenden der Ableitung, um den größten und kleinsten Wert einer Funktion zu finden

1. Entwicklung von Kenntnissen, Fertigkeiten und Fähigkeiten zum Thema Charakterisieren Sie anhand der folgenden Daten aus der Tabelle das Verhalten der Funktion. Spickzettel für die praktische Arbeit х(-3;0)0(0;4)4(4;8)8(8;+) f΄(x) f(x)

Merkmale des Verhaltens der Funktion 1.ODZ: x gehört zum Intervall von -3 bis +; 2. Zunahmen in Intervallen (-3; 0) und (8; +); 3. Abnahme in Intervallen (0; 8); 4.Х=0 – maximaler Punkt; 5.Х=4 – Wendepunkt; 6.Х=8 – Mindestpunkt; 7.f(0) =-3; f(0)=-5; f(0) = 8;

5. Entwicklung von Kenntnissen, Fertigkeiten und Fähigkeiten zum Thema Die Funktion y = f(x) ist definiert und stetig auf der Strecke [–6; 6]. Formulieren Sie 10 Fragen, um die Eigenschaften einer Funktion gemäß dem Graphen der Ableitung y \u003d f "(x) zu bestimmen. Ihre Aufgabe besteht nicht nur darin, die richtige Antwort zu geben, sondern sie mithilfe der entsprechenden Definitionen geschickt zu argumentieren (zu beweisen). Eigenschaften, Regeln.

Fragenliste (korrigiert) 1) die Anzahl der Intervalle der ansteigenden Funktion y = f(x); 2) die Länge des Intervalls der abnehmenden Funktion y = f(x); 3) die Anzahl der Extrempunkte der Funktion y = f(x); 4) der Maximalpunkt der Funktion y = f(x); 5) der kritische (stationäre) Punkt der Funktion y = f(x), der kein Extremumpunkt ist; 6) die Abszisse des Graphpunkts, an dem die Funktion y = f(x) den größten Wert auf dem Segment annimmt; 7) die Abszisse des Graphpunkts, an dem die Funktion y = f(x) den kleinsten Wert auf dem Segment [–2; 2]; 8) die Anzahl der Punkte des Graphen der Funktion y = f(x), in der die Tangente senkrecht zur Achse OY steht; 9) die Anzahl der Punkte des Graphen der Funktion y = f(x), in der die Tangente mit der positiven Richtung der OX-Achse einen Winkel von 60° bildet; 10) die Abszisse des Punktes des Graphen der Funktion y = f(x), in der der Winkelkoeffizient Antwort: 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) -3; 5) -5; 6) 4; 7) –1; 8) 3; 9) 4; 10) -2.

Prüfung (B8 aus der Klausur) 1. Prüfungsaufgaben werden auf den Folien dargestellt. 2. Trage die Antworten in die Tabelle ein. 3. Ändern Sie nach Abschluss des Tests die Antwortblätter, überprüfen Sie die Arbeit Ihres Nachbarn gemäß den fertigen Ergebnissen. bewerten. 4. Problemaufgaben werden gemeinsam betrachtet und besprochen.

An den Graphen der Funktion y \u003d f (x) an seinem Punkt mit der Abszisse x 0 \u003d 2 wird eine Tangente gezogen. Bestimmen Sie die Steigung der Tangente, wenn die Abbildung einen Graphen der Ableitung einer bestimmten Funktion zeigt. Die Funktion y=f(x) ist auf dem Intervall (-5;5) definiert. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung dieser Funktion. Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte im Funktionsgraphen, an denen die Tangenten parallel zur x-Achse verlaufen. ein

Die Funktion ist im Intervall (-5;6) definiert. Die Abbildung zeigt einen Graphen seiner Ableitung. Geben Sie die Anzahl der Punkte an, an denen die Tangenten in einem Winkel von 135° zur positiven Richtung der x-Achse geneigt sind. Die Funktion ist im Intervall (-6;6) definiert. Die Abbildung zeigt einen Graphen seiner Ableitung. Geben Sie die Anzahl der Punkte an, deren Tangenten in einem Winkel von 45° zur positiven Richtung der x-Achse geneigt sind.

Die Funktion y \u003d f (x) ist auf dem Segment [-6; 6] definiert. Der Graph seiner Ableitung ist in der Abbildung dargestellt. Geben Sie die Anzahl der Intervalle der ansteigenden Funktion y = f(x) im Intervall [-6;6] an. Die Funktion y \u003d f (x) ist auf dem Segment [-5; 5] definiert. Der Graph seiner Ableitung ist in der Abbildung dargestellt. Geben Sie die Anzahl der maximalen Punkte der Funktion y = f(x) auf dem Segment [-5;5] an.

Die Funktion y \u003d f (x) ist auf dem Segment definiert. Der Graph seiner Ableitung ist in der Abbildung dargestellt. Geben Sie die Anzahl der Mindestpunkte der Funktion y \u003d f (x) auf dem Segment an. Die Funktion y \u003d f (x) ist im Intervall [-6; 6] definiert. Der Graph seiner Ableitung ist in der Abbildung dargestellt. Geben Sie die Anzahl der Intervalle der abnehmenden Funktion y=f(x) auf dem Segment [-6;6] an. ab

Die Funktion y \u003d f (x) ist im Intervall [-6; 6] definiert. Der Graph seiner Ableitung ist in der Abbildung dargestellt. Finden Sie die Intervalle der zunehmenden Funktion y \u003d f (x) auf dem Segment [-6; 6]. Geben Sie in Ihrer Antwort die kleinste der Längen dieser Intervalle an. Die Funktion y \u003d f (x) ist auf dem Segment [-5; 5] definiert. Der Graph seiner Ableitung ist in der Abbildung dargestellt. Finden Sie die Intervalle der abnehmenden Funktion y \u003d f (x) auf dem Segment [-5; 5]. Geben Sie in Ihrer Antwort die größte der Längen dieser Intervalle an.

Die Funktion y \u003d f (x) ist auf dem Segment [-5; 4] definiert. Der Graph seiner Ableitung ist in der Abbildung dargestellt. Bestimme den kleinsten derjenigen Werte von X, bei denen die Funktion ein Maximum hat. Die Funktion y \u003d f (x) ist im Intervall [-5; 5] definiert. Der Graph seiner Ableitung ist in der Abbildung dargestellt. Bestimmen Sie den kleinsten dieser Werte von X, bei denen die Funktion ein Minimum hat.

Die Funktion y \u003d f (x) ist im Intervall (-6,6) definiert.Die Abbildung zeigt die Ableitung dieser Funktion. Finde den Minimalpunkt der Funktion. Die Funktion y \u003d f (x) ist im Intervall (-6,7) definiert.Die Abbildung zeigt die Ableitung dieser Funktion. Finden Sie den maximalen Punkt der Funktion.

Lösung von Aufgabe 19 Finden Sie anhand des Graphen der Ableitung der Funktion y \u003d f (x) den Wert der Funktion am Punkt x \u003d 5, wenn f (6) \u003d 8 Für x 3 f (x) \ u003d k \u003d 3, daher wird in diesem Intervall die Tangente durch die Formel =3x+b angegeben. Der Wert der Funktion am Kontaktpunkt ist gleich dem Wert der Tangente. Durch Bedingung f(6) = 8 8=3 6 + b b = -10 f(5) =3 5 -10 = 5 Antwort: 5

Zusammenfassung der Lektion Wir haben die Beziehung zwischen der Monotonie einer Funktion und dem Vorzeichen ihrer Ableitung sowie hinreichende Bedingungen für die Existenz eines Extremums betrachtet. Wir haben verschiedene Aufgaben zum Lesen des Graphen der Ableitung einer Funktion betrachtet, die in den Texten des einheitlichen Staatsexamens zu finden sind. Alle Aufgaben, die wir in Betracht gezogen haben, sind insofern gut, als sie nicht viel Zeit in Anspruch nehmen. Beim einheitlichen Staatsexamen ist es sehr wichtig, die Antwort schnell und richtig aufzuschreiben.

Hausaufgabe: eine Aufgabe, die sich auf das Lesen desselben Graphen bezieht, aber in einem Fall ist es ein Graph einer Funktion und im anderen Fall ein Graph ihrer Ableitung. Die Funktion y = f(x) ist definiert und stetig auf dem Intervall [–6; 5]. Die Abbildung zeigt: a) den Graphen der Funktion y = f(x); b) Diagramm der Ableitung y \u003d f "(x). Bestimmen Sie aus dem Diagramm: 1) die Mindestpunkte der Funktion y \u003d f (x); 2) die Anzahl der Intervalle der abnehmenden Funktion y \u003d f (x); 3) die Abszisse des Punkts des Graphen der Funktion y \u003d f (x), in dem es den größten Wert auf dem Segment annimmt ; 4) die Anzahl der Punkte des Graphen der Funktion y = f(x), bei dem die Tangente parallel zur OX-Achse verläuft (oder mit ihr zusammenfällt).

Literatur 1. Lehrbuch Algebra und Beginn der Analysis Klasse 11. CM. Nikolsky, M.K. Potapov und andere Moskau. "Erleuchtung" USE Mathematik. Typische Testaufgaben. 3.Posobie zur intensiven Vorbereitung auf die Prüfung in Mathematik. Graduierung, Einführung, USE bei +5. M. "WAKO" Internetquellen.

Allgemeine Lektion zum Thema:

"Verwenden der Ableitung und ihres Graphen zum Lesen der Eigenschaften einer Funktion"

Unterrichtstyp: eine verallgemeinernde Lektion unter Verwendung von IKT in Form einer Präsentation.

Unterrichtsziele:

Lehrreich:

Förderung der Assimilation der Verwendung des Derivats in praktischen Aufgaben durch Studenten;

Den Schülern beibringen, die Eigenschaften einer Funktion und einer Ableitung klar zu verwenden.

Entwicklung:

Die Fähigkeit entwickeln, die Frage der Aufgabe zu analysieren und Schlussfolgerungen zu ziehen;

Entwickeln Sie Fähigkeiten, um vorhandenes Wissen in praktischen Aufgaben anzuwenden.

Lehrreich:

Interesse am Thema wecken;

Die Notwendigkeit dieser theoretischen und praktischen Fähigkeiten, um Ihr Studium fortzusetzen.

Unterrichtsziele:

Entwickeln Sie spezifische Fähigkeiten und Fertigkeiten für die Arbeit mit einem Graphen der Ableitung einer Funktion für deren Verwendung beim Bestehen der Prüfung;

Bereiten Sie sich auf die Prüfung vor.

Unterrichtsplan.

1. Aktualisierung des Grundwissens (AKB).

2. Entwicklung von Kenntnissen, Fertigkeiten und Fähigkeiten zum Thema.

3. Prüfung (B8 aus der Prüfung).

4. Gegenseitige Überprüfung, Einstufung des "Nachbarn".

5. Zusammenfassung der Lektionen der Lektion.

Ausstattung: Computerunterricht, Whiteboard, Marker, Tests (2 Optionen).

Während des Unterrichts.

Organisatorischer Moment.

Lehrer . Hallo, nehmen Sie Platz.

Im Rahmen des Studiums des Themas „Untersuchung von Funktionen mit Hilfe der Ableitung“ wurden die Fähigkeiten ausgebildet, kritische Punkte einer Funktion, eine Ableitung zu finden, mit ihrer Hilfe die Eigenschaften einer Funktion zu bestimmen und deren Graphen zu erstellen. Heute betrachten wir dieses Thema aus einem anderen Blickwinkel: wie man die Eigenschaften der Funktion selbst durch den Graphen der Ableitung einer Funktion bestimmt. Unsere Aufgabe: zu lernen, in einer Vielzahl von Aufgaben zu navigieren, die sich auf Graphen von Funktionen und deren Ableitungen beziehen.

Zur Vorbereitung auf die Prüfung in Mathematik in KIMs wurden Aufgaben zur Verwendung des Ableitungsgraphen zum Studium von Funktionen gestellt. Daher müssen wir in dieser Lektion unser Wissen zu diesem Thema systematisieren und lernen, schnell Antworten auf die Fragen der Aufgaben B8 zu finden.

Folie Nummer 1.

Gegenstand: "Anwendung der Ableitung und ihres Graphen zum Lesen der Eigenschaften von Funktionen"

Unterrichtsziele:

Entwicklung der ZUN der Verwendung der Ableitung, ihrer geometrischen Bedeutung und des Graphen der Ableitung zur Bestimmung der Eigenschaften von Funktionen.

Entwicklung der Effizienz der Durchführung von USE-Tests.

Bildung von Persönlichkeitsmerkmalen wie Aufmerksamkeit, die Fähigkeit, mit Text zu arbeiten, die Fähigkeit, mit einem Graphen der Ableitung zu arbeiten

2. Aktualisierung des Grundwissens (AKB). Folien Nr. 4 bis Nr. 10.

Auf dem Bildschirm erscheinen nun Fragen zur Wiederholung. Ihre Aufgabe: zu jedem Item eine klare und prägnante Antwort geben. Die Richtigkeit Ihrer Antwort kann am Bildschirm überprüft werden.

( Die Frage erscheint zuerst auf dem Bildschirm, nach den Antworten der Schüler erscheint die richtige Antwort zur Überprüfung.)

Liste der Fragen für AOP.

Definition eines Derivats.

Die geometrische Bedeutung der Ableitung.

Die Beziehung zwischen den Werten der Ableitung, der Steigung der Tangente, dem Winkel zwischen der Tangente und der positiven Richtung der OX-Achse.

Anwendung der Ableitung, um Intervalle der Monotonie einer Funktion zu finden.

Anwendung der Ableitung zur Bestimmung kritischer Punkte, Extrempunkte

6 .Notwendige und hinreichende Bedingungen für ein Extremum

7 . Anwendung einer Ableitung, um den größten und kleinsten Wert einer Funktion zu finden

(Die Schüler beantworten jede Aufgabe und begleiten ihre Antworten mit Notizen und Zeichnungen an der Tafel. Bei fehlerhaften und unvollständigen Antworten korrigieren und ergänzen sie die Klassenkameraden. Nachdem die Schüler geantwortet haben, erscheint die richtige Antwort auf dem Bildschirm. So können die Schüler die Richtigkeit sofort feststellen ihrer Antwort.)

3. Entwicklung von Kenntnissen, Fertigkeiten und Fähigkeiten zum Thema. Folien Nr. 11 bis Nr. 15.

Den Studierenden werden Aufgaben von KIMs des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik der vergangenen Jahre, von Seiten im Internet zur Verwendung der Ableitung und ihres Graphen zum Studium der Eigenschaften von Funktionen angeboten. Aufgaben werden nacheinander angezeigt. Die Schüler schreiben ihre Lösungen an die Tafel oder mündlich. Dann erscheint die richtige Lösung auf der Folie und wird mit der Lösung der Schüler verglichen. Wenn bei der Entscheidung ein Fehler gemacht wird, wird dies von der ganzen Klasse analysiert.

Folie Nr. 16 und Nr. 17.

Im weiteren Verlauf des Unterrichts ist es ratsam, die Hauptaufgabe zu berücksichtigen: Gemäß dem Graphen der Ableitung müssen die Schüler (natürlich mit Hilfe des Lehrers) verschiedene Fragen zu den Eigenschaften der Funktion selbst stellen. Natürlich werden diese Probleme besprochen, ggf. korrigiert, zusammengefasst, in einem Notizbuch festgehalten, wonach die Phase der Lösung dieser Aufgaben beginnt. Hier ist darauf zu achten, dass die Schüler nicht nur die richtige Antwort geben, sondern auch argumentieren (beweisen) können, indem sie die entsprechenden Definitionen, Eigenschaften, Regeln verwenden.

Prüfung (B8 aus der Prüfung). Folien von Nummer 18 bis Nummer 29. Folie Nummer 30 - die Schlüssel zum Test.

Lehrer : Also haben wir Ihr Wissen zu diesem Thema zusammengefasst: Wir haben die grundlegenden Eigenschaften der Ableitung wiederholt, Probleme im Zusammenhang mit dem Ableitungsgraphen gelöst, die komplexen und problematischen Aspekte der Verwendung der Ableitung und des Ableitungsgraphen analysiert, um die Eigenschaften von Funktionen zu untersuchen.

Jetzt werden wir in 2 Optionen testen. Aufgaben erscheinen auf dem Bildschirm beide Optionen gleichzeitig. Sie studieren die Frage, finden die Antwort, tragen sie in den Antwortbogen ein. Tauschen Sie nach Abschluss des Tests Formulare aus und überprüfen Sie die Arbeit eines Nachbarn anhand vorgefertigter Antworten. Bewertung(bis zu 10 Punkte - "2", von 11 bis 15 Punkte - "3", von 16 bis 19 Punkte - "4", mehr als 19 Punkte - "5".).

Zusammenfassung der Lektion

Wir haben die Beziehung zwischen der Monotonie einer Funktion und dem Vorzeichen ihrer Ableitung sowie ausreichende Bedingungen für die Existenz eines Extremums betrachtet. Wir haben verschiedene Aufgaben zum Lesen des Graphen der Ableitung einer Funktion betrachtet, die in den Texten des einheitlichen Staatsexamens zu finden sind. Alle Aufgaben, die wir in Betracht gezogen haben, sind insofern gut, als sie nicht viel Zeit in Anspruch nehmen.

Beim einheitlichen Staatsexamen ist es sehr wichtig, die Antwort schnell und richtig aufzuschreiben.

Antwortbögen abgeben. Die Note der Unterrichtsstunde ist Ihnen bereits bekannt und wird ins Tagebuch eingetragen.

Ich denke, die Klasse ist bereit für den Test.

Hausaufgaben werden kreativ sein . Folie Nummer 33 .

Thema: Allgemeine Wiederholung des Lehrgangs Mathematik. Prüfungsvorbereitung

Lektion: Einen Graphen von Funktionen lesen. Problemlösung B2

1. Erläuterung des Konzepts eines Graphen, Lesetechnik

In unserem Leben sind Diagramme weit verbreitet, nehmen Sie beispielsweise eine Wettervorhersage, die als Diagramm der Änderungen beliebiger Indikatoren dargestellt wird, beispielsweise der Temperatur oder der Windstärke im Laufe der Zeit. Wir denken nicht lange nach, wenn wir diese Grafik lesen, auch wenn es vielleicht das erste Lesen einer Grafik in unserem Leben ist. Sie können auch ein Beispiel für eine Grafik der Wechselkursänderungen im Laufe der Zeit und viele andere Beispiele geben.

Also, der erste Graph, den wir betrachten werden.

Reis. 1. Diagrammdarstellung 1

Wie Sie sehen können, hat der Graph 2 Achsen. Die Achse, die nach rechts (horizontal) zeigt, wird als Achse bezeichnet . Die nach oben (vertikal) gerichtete Achse wird als Achse bezeichnet .

Schauen wir uns zunächst die Achse an. In diesem Diagramm ist entlang dieser Achse die Anzahl der Umdrehungen pro Minute für einen bestimmten Automotor aufgetragen. Es kann gleich sein usw. Auf dieser Achse gibt es auch Unterteilungen, einige davon sind durch Zahlen gekennzeichnet, andere sind dazwischenliegend und nicht markiert. Es ist leicht zu erraten, dass die erste Division von Null ist, die dritte usw.

Schauen wir uns nun die Achse an. In diesem Diagramm sind entlang dieser Achse die numerischen Werte des Newton-Werts pro Meter (), Drehmomentwerte, die gleich sind usw. aufgetragen. In diesem Fall ist der Teilungswert .

Wenden wir uns nun der Funktion selbst zu (der Linie, die auf dem Diagramm dargestellt wird). Wie Sie sehen können, spiegelt diese Linie wider, wie viele Newton pro Meter, dh welches Drehmoment, bei einem bestimmten Wert der Motorumdrehungen pro Minute anliegen. Nehmen wir den Wert von 1000 U/min. und von diesem Punkt auf dem Diagramm gehen wir nach links, dann sehen wir, dass die Linie durch Punkt 20 verläuft, d.h. der Drehmomentwert bei 1000 U / min ist gleich (Abbildung 2.2).

Nehmen wir den Wert 2000 U/min, dann verläuft die Linie bereits an der Stelle (Abbildung 2.2).

Reis. 2. Bestimmung des Drehmoments durch die Anzahl der Umdrehungen pro Minute

2. Das Konzept der Maximal- und Minimalwerte, die Methode zum Auffinden der Maximal- und Minimalwerte der Funktion gemäß dem Zeitplan

Stellen Sie sich nun vor, dass unsere Aufgabe darin besteht, den größten Wert aus diesem Diagramm zu finden. Wir suchen den höchsten Punkt () bzw. der niedrigste Wert des Drehmoments in diesem Diagramm wird als 0 betrachtet. Um den höchsten Wert der Funktion im Diagramm zu finden, müssen Sie den höchsten Wert berücksichtigen, den die Funktion erreicht die vertikale Achse. Wir schauen uns an, welcher Wert der höchste ist, und sehen auf der vertikalen Achse, was die größte erreichte Zahl sein wird. Wenn wir über den kleinsten Wert sprechen, dann nehmen wir im Gegenteil den niedrigsten Punkt und betrachten seinen Wert entlang der vertikalen Achse.

Reis. 3. Der größte und kleinste Wert der Funktion gemäß dem Diagramm

Der größte Wert ist in diesem Fall , der kleinste Wert 0. Es ist wichtig, den Maximalwert nicht zu verwechseln und korrekt anzugeben, einige geben den Maximalwert von 4000 U / min an, dies ist nicht der größte Wert, sondern der Punkt an dem der größte Wert genommen wird (Punktmaximum), ist der größte Wert genau .

Achten Sie auch auf die vertikale Achse, deren Maßeinheit, d.h. wenn beispielsweise statt Newton pro Meter () hunderte Newton pro Meter () angezeigt würden, müsste der Maximalwert mit eins multipliziert werden hundert usw.

Der größte und der kleinste Wert einer Funktion hängen sehr eng mit der Ableitung der Funktion zusammen.

3. Zusatzinformationen zur Ableitung einer Funktion

Steigt die Funktion auf dem betrachteten Abschnitt an, so ist die Ableitung der Funktion auf diesem Abschnitt an endlich vielen Punkten positiv oder gleich Null, meistens einfach positiv. In ähnlicher Weise ist, wenn die Funktion auf dem betrachteten Segment abnimmt, die Ableitung der Funktion auf diesem Segment an einer endlichen Anzahl von Punkten negativ oder gleich Null. Die umgekehrte Aussage gilt in beiden Fällen.

4. Lösung von Beispielen mit einer Beschränkung entlang der OX-Achse

Das folgende Beispiel hat einige Schwierigkeiten mit der Einschränkung auf der horizontalen Achse. Es ist notwendig, den größten und kleinsten Wert auf dem angegebenen Segment zu finden.

Die Grafik zeigt die Temperaturänderung über die Zeit. Auf der horizontalen Achse sehen wir Zeit und Tage, und auf der vertikalen Achse sehen wir die Temperatur. Es ist notwendig, die höchste Lufttemperatur am 22. Januar zu bestimmen, d. h. wir müssen nicht das gesamte Diagramm betrachten, sondern den Teil, der sich auf den 22. Januar bezieht, d. h. vom 22. Januar 00:00 Uhr bis zum 23. Januar 00:00 Uhr.

Reis. 4. Diagramm der Temperaturänderung

Durch die Begrenzung des Diagramms wird uns klar, dass die maximale Temperatur dem Punkt entspricht.

5. Ein weiteres Beispiel, eine Aufgabe aus der Klausur

Es wird ein Zeitplan für Temperaturänderungen für drei Tage festgelegt. Auf der Ochsenachse - die Tageszeit und der Tag des Monats, auf der Oy-Achse - der Wert der Lufttemperatur in Grad Celsius.

Wir müssen nicht den gesamten Zeitplan betrachten, sondern den Teil, der sich auf den 13. Juli bezieht, d. h. vom 13. Juli 00:00 Uhr bis zum 14. Juli 00:00 Uhr.

Reis. 5. Abbildung für ein weiteres Beispiel

Wenn Sie die oben beschriebenen Einschränkungen nicht eingeben, können Sie eine falsche Antwort erhalten, aber in einem bestimmten Intervall ist der Maximalwert offensichtlich: , und er wird am 13. Juli um 12:00 Uhr erreicht.

6. Lösen anderer Beispiele zum Lesen des Graphen einer Funktion

Beispiel 3: Ermitteln Sie, an welchem Datum erstmals fünf Millimeter Niederschlag gefallen sind:

Die Grafik zeigt die tägliche Niederschlagsmenge in Kasan vom 3. bis 15. Februar 1909. Die Tage des Monats sind horizontal aufgetragen, und die Niederschlagsmenge in Millimetern ist vertikal aufgetragen.

Reis. 6. Täglicher Niederschlag

Fangen wir der Reihe nach an. Am 3. sehen wir, dass etwas mehr als 0 herausgefallen ist, aber weniger als 1 mm. Niederschlag, am 4. fielen 4 mm Niederschlag usw. Erstmals erscheint am 11. Tag die Zahl 5. Der Einfachheit halber war es möglich, virtuell eine gerade Linie gegenüber der Fünf zu ziehen, zum ersten Mal wird sie das Diagramm genau am 11. Februar kreuzen, das ist die richtige Antwort.

Beispiel 4: Ermitteln Sie, an welchem Tag der Preis für eine Unze Gold am niedrigsten war

Das Diagramm zeigt den Goldpreis zum Handelsschluss für jeden Tag vom 5. März bis 28. März 1996. Die Tage des Monats werden horizontal und die Tage des Monats vertikal aufgetragen.

bzw. der Preis einer Unze Gold in US-Dollar.

Die Linien zwischen den Punkten sind nur zur Verdeutlichung eingezeichnet, die Information wird ausschließlich von den Punkten selbst getragen.

Reis. 7. Diagramm der Goldpreisentwicklung an der Börse

7. Lösung eines weiteren Beispiels

Zusätzliches Beispiel: Ermitteln Sie, an welcher Stelle des Segments die Funktion den größten Wert annimmt:

Die Ableitung einer Funktion ist in der Grafik angegeben.

Reis. 8. Abbildung für ein weiteres Beispiel

Die Ableitung wird auf dem Intervall definiert

Wie Sie sehen können, ist die Ableitung der Funktion in einem bestimmten Intervall negativ und am linken Randpunkt gleich Null. Wie wir wissen, wenn die Ableitung der Funktion negativ ist, nimmt die Funktion im betrachteten Intervall ab, daher nimmt unsere Funktion im gesamten betrachteten Segment ab, in diesem Fall nimmt sie den größten Wert an der Grenze ganz links an. Antwort: Punkt.

Also haben wir das Konzept eines Funktionsgraphen untersucht, untersucht, was die Achsen in einem Graphen sind, wie man den Wert einer Funktion aus einem Graphen findet, wie man den größten und kleinsten Wert findet.

Mordkovich A. G. Algebra und die Anfänge der mathematischen Analyse. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravina O. V. Algebra und die Anfänge der mathematischen Analyse. - M.: Trappe. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu, P. ua Algebra und die Anfänge der mathematischen Analyse. - M.: Aufklärung.

BENUTZEN. Festival der pädagogischen Ideen. Studieren ist einfach. Rf.

Das Diagramm (Abbildung 9) zeigt die durchschnittliche monatliche Lufttemperatur in Jekaterinburg (Swerdlowsk) für jeden Monat im Jahr 1973. Monate sind horizontal angegeben, Temperaturen in Grad Celsius sind vertikal angegeben. Bestimmen Sie aus dem Diagramm die niedrigste durchschnittliche Monatstemperatur in der Zeit von Mai bis einschließlich Dezember 1973. Geben Sie Ihre Antwort in Grad Celsius an.

Reis. 9. Diagramm der Temperaturänderung

Bestimmen Sie anhand desselben Diagramms (Abbildung 9) die Differenz zwischen den höchsten und niedrigsten monatlichen Durchschnittstemperaturen im Jahr 1973. Geben Sie Ihre Antwort in Grad Celsius an. Das Diagramm (Bild 10) zeigt den Warmlaufvorgang eines Verbrennungsmotors bei einer Umgebungstemperatur von 15 Grad. Die Abszisse zeigt die seit dem Motorstart verstrichene Zeit in Minuten, die Ordinate zeigt die Motortemperatur in Grad Celsius. Eine Last kann an den Motor angeschlossen werden, wenn die Motortemperatur 45 Grad erreicht. Wie viele Minuten müssen Sie mindestens warten, bevor Sie die Last an den Motor anschließen?

Reis. 10. Plan zum Aufwärmen des Motors

Thema: Allgemeine Wiederholung des Lehrgangs Mathematik. Prüfungsvorbereitung

Lektion: Einen Graphen von Funktionen lesen. Problemlösung B2

Also, der erste Graph, den wir betrachten werden.

Reis. 1. Diagrammdarstellung 1

Wie Sie sehen können, hat der Graph 2 Achsen. Die Achse, die nach rechts (horizontal) zeigt, wird als Achse bezeichnet . Die nach oben (vertikal) gerichtete Achse wird als Achse bezeichnet .

Nehmen wir den Wert 2000 U/min, dann verläuft die Linie bereits an der Stelle (Abbildung 2.2).

Reis. 2. Bestimmung des Drehmoments durch die Anzahl der Umdrehungen pro Minute

Reis. 3. Der größte und kleinste Wert der Funktion gemäß dem Diagramm

Der größte und der kleinste Wert einer Funktion hängen sehr eng mit der Ableitung der Funktion zusammen.

Das folgende Beispiel hat einige Schwierigkeiten mit der Einschränkung auf der horizontalen Achse. Es ist notwendig, den größten und kleinsten Wert auf dem angegebenen Segment zu finden.

Reis. 4. Diagramm der Temperaturänderung

Durch die Begrenzung des Diagramms wird uns klar, dass die maximale Temperatur dem Punkt entspricht.

Es wird ein Zeitplan für Temperaturänderungen für drei Tage festgelegt. Auf der Ochsenachse - die Tageszeit und der Tag des Monats, auf der Oy-Achse - der Wert der Lufttemperatur in Grad Celsius.

Wir müssen nicht den gesamten Zeitplan betrachten, sondern den Teil, der sich auf den 13. Juli bezieht, d. h. vom 13. Juli 00:00 Uhr bis zum 14. Juli 00:00 Uhr.

Reis. 5. Abbildung für ein weiteres Beispiel

Beispiel 3: Ermitteln Sie, an welchem Datum erstmals fünf Millimeter Niederschlag gefallen sind:

Reis. 6. Täglicher Niederschlag

Beispiel 4: Ermitteln Sie, an welchem Tag der Preis für eine Unze Gold am niedrigsten war

Das Diagramm zeigt den Goldpreis zum Handelsschluss für jeden Tag vom 5. März bis 28. März 1996. Die Tage des Monats werden horizontal und die Tage des Monats vertikal aufgetragen.

bzw. der Preis einer Unze Gold in US-Dollar.

Die Linien zwischen den Punkten sind nur zur Verdeutlichung eingezeichnet, die Information wird ausschließlich von den Punkten selbst getragen.

Reis. 7. Diagramm der Goldpreisentwicklung an der Börse

Zusätzliches Beispiel: Ermitteln Sie, an welcher Stelle des Segments die Funktion den größten Wert annimmt:

Die Ableitung einer Funktion ist in der Grafik angegeben.

Reis. 8. Abbildung für ein weiteres Beispiel

Die Ableitung wird auf dem Intervall definiert

Mordkovich A.G. Algebra und Beginn der mathematischen Analysis. - M.: Mnemosyne.
Muravin G. K., Muravina O. V. Algebra und Beginn der mathematischen Analysis. - M.: Trappe.
Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra und der Beginn der mathematischen Analyse. - M.: Aufklärung.

BENUTZEN ().
Festival der pädagogischen Ideen ().
Studieren ist einfach RF ().

Das Diagramm (Abbildung 9) zeigt die durchschnittliche monatliche Lufttemperatur in Jekaterinburg (Swerdlowsk) für jeden Monat im Jahr 1973. Monate sind horizontal angegeben, Temperaturen in Grad Celsius sind vertikal angegeben. Bestimmen Sie aus dem Diagramm die niedrigste durchschnittliche Monatstemperatur in der Zeit von Mai bis einschließlich Dezember 1973. Geben Sie Ihre Antwort in Grad Celsius an.

Reis. 9. Diagramm der Temperaturänderung

Bestimmen Sie anhand desselben Diagramms (Abbildung 9) die Differenz zwischen den höchsten und niedrigsten monatlichen Durchschnittstemperaturen im Jahr 1973. Geben Sie Ihre Antwort in Grad Celsius an.
Das Diagramm (Bild 10) zeigt den Warmlaufvorgang eines Verbrennungsmotors bei einer Umgebungstemperatur von 15 Grad. Die Abszisse zeigt die seit dem Motorstart verstrichene Zeit in Minuten, die Ordinate zeigt die Motortemperatur in Grad Celsius. Eine Last kann an den Motor angeschlossen werden, wenn die Motortemperatur 45 Grad erreicht. Wie viele Minuten müssen Sie mindestens warten, bevor Sie die Last an den Motor anschließen?

Reis. 10. Plan zum Aufwärmen des Motors

Portal für den Studenten. Selbsttraining

1. Erläuterung des Konzepts eines Graphen, Lesetechnik

2. Das Konzept der Maximal- und Minimalwerte, die Methode zum Auffinden der Maximal- und Minimalwerte der Funktion gemäß dem Zeitplan

3. Zusatzinformationen zur Ableitung einer Funktion

4. Lösung von Beispielen mit einer Beschränkung entlang der OX-Achse

5. Ein weiteres Beispiel, eine Aufgabe aus der Klausur

6. Lösen anderer Beispiele zum Lesen des Graphen einer Funktion

7. Lösung eines weiteren Beispiels

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